TIỂU LUẬN Một số bài toán về hình học không gian

Một số bài toán về hình học không gian

MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU.... ....... ........ ....... ...................................................................... 4
I. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………….. 4
II. Đối tượng nghiên cứu... ........ ............................................................................ 4
III. Mục đích nghiên cứu .... ........ .......................................................................... 4
IV. Phương pháp nghiên cứu ....... .......................................................................... 5
V. Nội dung đề tài……………………………………………………………….. 5
PHẦN NỘI DUNG . ....... ........ ..............................................................................6
1. Các kiến thức cơ bản………………………………………………….. 6
1.1. Các tiên đề cơ bản của hình học không gian....... .................................. 6
1.2. Điều kiện xác định mặt phẳng.................................................................6
1.3. Hai đường thẳng song song…………………………………………… 6
1.3.2. Các tính chất………………………………………………………… 6
1.4. Hai đường thẳng vuông góc................................................................... 7
1.4.1. Định nghĩa........................................................................................... 7
1.4.2. Nhận xét.............................................................................................. 7
1.5. Hai mặt phẳng song song....................................................................... 7
1.5.1. Định nghĩa…………………………………………………………... 7
1.5.2. Các tính chất………………………………………………………… 8
1. 5.3. Định lí Talet....................................................................................... 8
1.6. Hai mặt phẳng vuông góc.. ....... ........................................................... 9
1.6.1 Định nghĩa…………………………………………………………… 9
1.6.2 Các tính chất…………………………………………………………. 9
1.7. Đường thẳng song song với mặt phẳng……………………………… 10
1.7.1. Định nghĩa ....... .................................................................... ……... 10
1.7.2. Các tính chất...................................................................................... 10
1.8. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng............................................... 11
1.8.1. Định nghĩa..... ................................................................................... 11

1.8.2. Các tính chất ……………………………………………………… 11

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 1

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
1.9. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng
và mặt phẳng…………………………………………………………………….. 11
1.9.1 Các tính chất…………………………………………………………… 11
1.10. Góc…………………………………………………………………. 12
1.10.1. Góc giữa hai đường thẳng…………………………………………12
a. Cách xác định………………………………………………………...12
b. Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc ………………...12
1.10.2. Góc giữa hai mặt phẳng ………………………………………… 13
a. Cách xác định……………………………………………………. 13
b. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau……... 13
1.10.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ……………………………. 13
a. Định nghĩa…………………………………………………………13
b. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với
nhau……………………………………………………………………………… 14
1.11. Khoảng cách……………………………………………………….. 14
1.11.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng
……………………………………………………………………………. 14
1.11.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song………………………………………………………………..

14

1.11.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau………………….. 14
1.11.4. Nhận xét…………………………………………………………. 14
1.12. Hình chóp, hình lăng trụ…………………………………………… 14
1.12.1. Hình chóp và hình tứ diện………………………………………... 14
a. Hình chóp………………………………………………………. 15
b. Hình tứ diện………………….…………………………………. 15
c. Thể tích của khối chóp…………………………………………. 15
1.12.2. Hình lăng trụ và hình hộp………………………………………… 16
a. Hình lăng trụ……………………………………………………. 16
b. Hình hộp……………………………………………………….. 16
c. Thể tích của khối lăng trụ………………………………………. 16
2. Các dạng toán cơ bản…………………………………………………………17
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 2

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
2.1. Dạng 1: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ………………. 17
2.2. Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng……………………………………18
2.3. Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian…………. 19
2.4. Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau………………………….. 20
2.5. Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song…………………………... 20
2.6. Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng………………. 22
2.7. Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song…………………………….. 23
2.8. Dạng 8: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng……………… 24

2.9. Dạng 9: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng……………. 25
2.10. Dạng 10: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng…………………………… 27
2.11. Dạng 11: Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng………………… 28
2.12. Dạng 12: Tính số đo góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng…………………... 29
2.13. Dạng 13: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau………………….. 30
2.14. Dạng 14: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng…………….. 33
2.15. Dạng 15: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ………………………… 34
2.16. Dạng 16: Xác định thiết diện của một hình đa diện n mặt tạo bởi mặt phẳng
(  ) ( (  ) thỏa các điều kiện cho trước )…………………………………………35
2.17. Một số ví dụ về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến, thiết
diện của một khối đa diện cắt bởi mạt phẳng……………………………………. 39
2.18. Dạng 17. Tính thể tích khối đa diện……………………………………….. 44
3. Bài tập đề nghị……………………………………………………………….. 48
KẾT LUẬN.. ....................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........ ....... ........ ......................................................... 55

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 3

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Chương trình môn Toán ở lớp 11 hiện nay có những thay đổi khá căn bản.
Đầu tiên là nghiên cứu phép dời hình trong mặt phẳng; từ phép tịnh tiến, đối xứng
trục, đối xứng tâm, phép quay để đi đến định nghĩa phép dời hình và khái niệm hai

hình bằng nhau. Sau đó là phép vị tự, phép đồng dạngvà khái niệm về hai hình đồng
dạng, tổng quát hóa của khái niệm hai tam giác đồng dạng ở cấp THCS. Tiếp theo
là giới thiệu một cách trực quan những yếu tố của hình học không gian và những
tính chất cơ bản của quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong không gian.
Quan hệ vuông góc được xây dựng dựa trên khí niệm tích vô hướng của hai vectơ
trong không gian. Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng trước đây chỉ có
trong chương trình Hình học 12 thì nay đã được đưa vào lớp 11 để làm cho việc
chứng minh một số định lí được gọn gàng và có hệ thống hơn.
Tuy nhiên hình học không gian là môn học có tính trừu tượng cao đồng thời
có tính trực quan nên trong quá trình học tập của học sinh cũng như quá trình giảng
dạy của giáo viên gặp không ít khó khăn. Ý thức được điều đó nên em chọn đề tài:
“Một số bài toán về hình học không gian” cho học phần tiểu luận tốt nghiệp.
II. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu một số bài toán hình học không gian còn các
định nghĩa, tính chất, định lý chỉ hệ thống lại cho người đọc dễ dàng ôn tập cũng
như ghi nhớ.
III. Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu đề tài Một số bài toán về hình học không gian bên cạnh mục
tiêu là hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp, nó cũng là dịp để em ôn tập củng
cố lại các kiến thức đã học, đồng thời nâng cao thêm vốn hiểu biết của mình về hình
học không gian để giảng dạy tốt hơn ở lĩnh vực này khi ra trường. Và em hi vọng
đây sẽ là một nguồn tài liệu bổ ích để các bạn sinh viên và những ai quan tâm đến
môn học Hình học không gian tham khảo.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài đã sử dụng phương pháp thống kê, phân tích, tổng hợp một số tài liệu
có liên quan đến Hình học không gian.
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 4

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
V. Nội dung đề tài
Đề tài “Một số bài toán về hình học không gian” gồm có ba phần
- Các kiến thức cơ bản.
- Các dạng toán cơ bản.
- Bài tập đề nghị.
Ở phần các kiến thức cơ bản, ngoài việc tóm tắt lí thuyết còn xem một số
định lí như những tính chất và sử dụng chúng để chứng minh một số dạng toán.Có
đưa ra các dạng toán cơ bản, nêu phương pháp giải và cho ví dụ trong từng trường
hợp cụ thể, tổng hợp một số đề tốt nghiệp THPT và đề Tuyển sinh Đại Học. Các bài
tập đề nghị có chọn lọc ứng với các dạng toán cơ bản đã nêu trên.
Vì thời gian có hạn, nên nội dung đề tài chắc sẽ không tránh khỏi những sai
lầm và thiếu sót, kính mong sự đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên.

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 5

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian

PHẦN NỘI DUNG
1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Các tiên đề cơ bản của hình học không gian
-Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước .

-Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước
-Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng .
-Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó (đường
thẳng chung đó dược gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng trên).
-Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Định lí: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
1.2. Điều kiện xác định mặt phẳng
-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một
điểm không thuộc đường thẳng đó.
-Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
Ba điều kiện xác định mặt phẳng đều có thể quy về một nội dung cơ bản cần
nhớ là: “Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng
hàng của mặt phẳng đó”.
1.3. Hai đường thẳng song song
1.3.1. Định nghĩa
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm
chung.
1.3.2 Các tính chất
a. Điểm A không thuộc đường thẳng a, có một và chỉ một đường thẳng qua A
và song song a .
b. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì
song song với nhau.

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 6

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
a, b phân biêt

a // c
 

b // c




a // b

c. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
a   P    R 
b  Q   R 

 
c  P   Q 
 a, b, c phân biêt

a, b, c đông quy


a, b, c đôi môt song song

d. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song
P   Q   d

P   a


Q   b


a // b



d//a //b

d  a hoac d  b


1.4. Hai đường thẳng vuông góc
1.4.1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
90o.
1.4.2. Nhận xét
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
vuông góc với đường thẳng còn lại.
a

c
 
 a

 c


//

//


b
a
b
b



c  b
c  a


1.5. Hai mặt phẳng song song
1.5.1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
1.5.2. Các tính chất
a. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song
với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 7

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
 a, b
a 


 a
 b

 P 
b  
// Q 
// Q 



P 

//

Q 

b. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng
song song với mặt phẳng đó.
c. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt
phẳng (P) chứa a và song song với (Q).
d. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song
song với nhau.

P , Q  phân biêt


P  // R 

Q  // R 




P 

//

Q 

e. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P)
thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.


 

P 

P 

// Q 
 R   a



P   Q   b

a // b


1.5.3. Định lí Talet
Nếu ba mặt phẳng đôi một song song P , Q , R  cắt hai dường thẳng a và a’
lần lượt tại A,B,C và A’,B’,C’ thì:
AB
BC
CA
=
=
A' B' B'C ' C ' A'

Định lí Talet đảo
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a. Lấy các điểm phân biệt A,B,C trên a
và A’,B’,C’ trên a’ sao cho:
AB
BC
CA
=
=
A' B' B'C ' C ' A'

Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC, lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song,
tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.
1.6. Hai mặt phẳng vuông góc
1.6.1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 8

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
1.6.2. Các tính chất
a. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
P   a
a  Q 



P 





Q 

b. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với
mặt phẳng (Q).
 P   Q 
 a  P 



P   Q   b

a  b

 a 

Q 

c. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm
trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
P 
 A

 
 a
 a




Q 
P 

 A


 a 

P 

Q 

d. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
P   Q   a

  P    R 

Q   R 




a 

R 

e. Qua một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất
một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 9

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian

1.7. Đường thẳng song song với mặt phẳng
1.7.1. Định nghĩa
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng
không có điểm chung.
1.7.2. Các tính chất
a. Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với một
đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P).
a   P 

 b   P 
 a // b




a //

P 

b. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q)
chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
a // P 



Q   a
P   Q   c




a // c

c. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với
một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
a //
b 



P 
P 



a // b

d. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
P   Q   c


P  // a

Q  // a




a // c

e. Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng
chứa a và song song với b.
1.8. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.8.1. Định nghĩa
Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
1.8.2. Các tính chất

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 10

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
a. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
a


 





d
d

a
b

b





 
a
b
P 
P 



d



P 

b. Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông
góc với đường thẳng a cho trước .
c. Có duy nhất một đường thẳng a đi qua một điểm O cho trước và vuông
góc với một mặt phẳng (P) cho trước .
1.9. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và
mặt phẳng
1. 9.1. Các tính chất

a. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
cũng vuông góc với đường thẳng còn lại .
 a // b
P   a



 b 

P 

b. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song
song với nhau.
a, b phan biet

  a  P  
 b  P 


a // b

c. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì
cũng vuông góc mặt phẳng còn lại.
P  //
 a  



Q 
P 



Q 

a 

d. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.
a  P 


a  Q 

P , Q  phan biet


GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc



P 

Trang 11

//

Q 

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên

Một số bài toán về hình học không gian
e. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau. Đường thẳng
nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
a //
b 



P 
P 



a  b

f. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó)
cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
a   P 

a  b
 b  P 


 a //

P 

g. Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b

nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).
1.10. Góc
1.10.1 Góc giữa hai đường thẳng
a. Cách xác định
Để xác định góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bất kì trong không gian, ta lấy
điểm O bất kì. Từ điểm O ta vẽ hai đường thẳng l1, l2 lần lượt song song (hoặc
trùng) với d1, d2. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng l1
và l2.
Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.
0  (d1 , d2)  900.
 

 

Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng d1, d2 và ( u , v )= 
thì góc giữa hai dường thẳng d1 và d2 bằng  nếu   900 và bằng 180o-  nếu 
> 900.
b. Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng d1, d2 được gọi là vuông góc với nhau nếu (d1 , d2) = 900.

a  b  u .v = 0.
 
( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a,b).

1.10.2 Góc giữa hai mặt phẳng
a. Cách xác định

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 12

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến  . Để tính góc giữa
chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với  , lần lượt cắt (P) và (Q)
theo các giao tuyến p, q. Lúc đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường p, q.
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình
chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) thì S’=S.cos  , trong đó  là góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (P’).
b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
1.10.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a. Định nghĩa
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900.
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và
hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900.
b. Điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
1.11. Khoảng cách
1.11.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng  ) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt
phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng  ).

1.11.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất
kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
1.11.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 13

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
Khoảng cách giữa khoảng cách chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó .
1.11.4. Nhận xét
a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
1.12. Hình chóp, hình lăng trụ
1.12.1. Hình chóp và hình tứ diện
a. Hình chóp
Cho đa giác A1A2...An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa
giác đó . Nối S với các đỉnh A1, A2,..., An để được n tam giác: SA1A2, SA2A3,…,
SAnA1.
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2...An gọi là hình chóp và được kí
hiệu là S.A1A2...An.

Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. Đa giác A1A2...An gọi là mặt đáy của
hình chóp .Các cạnh của mặt đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Các đoạn thẳng
SA1, SA2,…., SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp. Mỗi tam giác SA1A2,
SA2A3,…, SAnA1 gọi là một mặt bên của hình chóp. Nếu đáy của hình chóp là một
tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác,
hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,….
b. Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác
ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí
hiệu là ABCD. Các đỉnh A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB,
BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không có điểm chung
gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là các mặt của
tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Đặc biệt, hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều được gọi là hình tứ diện
đều.
c. Thể tích của khối chóp
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 14

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích
mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.
Kí hiệu: diện tích mặt đáy của khối chóp là Sđáy và chiều cao của khối
chóp là h (h là khoảng cách từ đỉnh khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối
chóp) thì thể tích V của khối chóp đó được tính theo công thức
V=

1
Sđáy.h.
3

1.12.2. Hình lăng trụ và hình hộp
a. Hình lăng trụ
Cho hai mặt phẳng (P) và (P’) song song. Trên (P) cho đa giác A1A2...An.
Qua các đỉnh A1, A2,..., An, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và lần lượt
cắt mặt phẳng (P’) tại A’1, A’2,..., A’n. Thấy rằng các tứ giác A1A2A’2A’1,
A2A3A’3A’2,…, AnA1 A’1A’n là những hình bình hành và hai đa giác A1A2...An,
A’1A’2...A’n có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Hình hợp bởi các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…,
AnA1A’1A’n và hai đa giác A1A2...An, A’1A’2...A’n gọi là hình lăng trụ hoặc lăng
trụ và kí hiệu là A1A2...An.A’1A’2...A’n.
Mỗi hình bình hành nói trên là một mặt bên của hình lăng trụ. Hai đa giác
A1A2...An, A’1A’2...A’n gọi là mặt đáy của hình lăng trụ.Các cạnh của hai đa giác đó
gọi là cạnh đáy; các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2,…, AnA’n gọi là các cạnh bên của
hình lăng trụ.Các đỉnh ủa hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.
Nếu đáy của hình lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác thì lăng trụ
tương ứng được gọi là lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác.
b. Hình hộp
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Như vậy, hình hộp có sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những
hình bình hành. Mỗi mặt có một mặt song song với nó . Hai mặt như thế gọi là hai
mặt đối diện.
Bốn đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Điểm cắt nhau đó gọi là tâm của hình hộp.
c. Thể tích của khối lăng trụ
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 15

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao
của khối lăng trụ đó.
Kí hiệu: diện tích mặt đáy của khối lăng trụ là S và chiều cao của khối
lăng trụ là h thì thể tích V của khối lăng trụ đó được tính theo công thức
V=

1
S.h.
3

2. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
2.1. Dạng 1: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :
Giả sử cần xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta thực hiện
như sau:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (Q) chứa a và có điểm chung với (P).
Bước 2: Xác định giao tuyến b của (P) và (Q).
Bước 3: Xác định giao điểm M của a và b.
Nếu có điểm chung M thì điểm M là giao điểm của a và (P).
Nếu không có điểm chung M thì a không cắt (P).
Ví dụ
Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AD, G là trọng
tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:

a. MN và (ABG).
b. AG và (BMN).
Giải
a.

Do G là trọng tâm  BCD  BG cắt CD tại E.

A

Trong  ACD, AE cắt MN tại F. Ta có:
 F  AE   ABG 

F  MN


b.

 F = MN  (ABG).

Trong mp(ABG), BF cắt AG tại K. Ta có:
 K  BF  BMN 

K  AG


M

F

B

D
E
C

 K = AG  (BMN).

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

N

K

Trang 16

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
2.2. Dạng 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp:
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B, C là ba
điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.

Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD. AC cắt BD tại O. Mặt phẳng (  ) cắt SA, SB, SC, SD
lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm của A’C’ và B’D’. Chứng minh S, I,
O thẳng hàng.
Giải
Ta có O = AC  BD, suy ra:

 O  AC 

O  BD 

S

SAC  1
SBD  2

I

Do I =A’C’  B’D’, suy ra:
 I  A' C ' 

O  B' D ' 
S 
S 

Do 

D'

A'
B'

SAC  3
SBD  4

A

D
O
B

SAC  5
SBD  6

C

Từ (1)-(6) suy ra: S, I, O là ba điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD), nên S, I, O thẳng hàng.
2.3. Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Phương pháp:
Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta chứng minh giao điểm của
hai đường thẳng a, b thuộc vào đường thẳng c.
Ví dụ
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (  ) có hai cạnh AB và CD không
song song với nhau. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng và M là trung điểm của
đoạn SC.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB). Gọi giao điểm này
là N.
b. Với O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng ba đường thẳng SO,
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 17

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian

AM và BN đồng quy.
Giải
a. Gọi E  AB  CD

S

Ta có: MAB   SCD   ME.
Gọi N   AB  CD . Ta có

M

N   SD  MAB

N

b.Gọi I   AM  BN . Ta có

E

 I   AM  BN

AM  SAC 

 I  SO.

BN  SBD 

SAC   SBD   SO

D

C

I
A

O
B

2.4. Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp:
Giả sử cần chứng minh hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta có thể
dùng phương pháp phản chứng bằng cách giả sử a và b không chéo nhau,
tức là tồn tại một mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng này. Từ đây dùng
suy luận để dưa đến điều mâu thuẫn.
2.5. Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta có thể dùng một trong các
cách sau đây:
a. Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng và dùng phương pháp
chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng.
b. Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
c. Dùng tính chất: Hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy.
d. Dùng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng:
a   P    R 
b  Q   R 


c  P   Q 

 a, b, c phân biêt

a, b, c đông quy


a, b, c đôi môt song song

Ví dụ 1
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và
trên b ta lấy hai điểm phân biệt C, D.
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 18

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
a. Chứng minh AC và BD chéo nhau.
b. Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là một điểm trên đoạn BD. Khi đó
đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được không?
c. Gọi O là một điểm trên đoạn MN. Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt
DM.
Giải
a. Giả sử AC và BD không chéo nhau và chúng cùng nằm trong một mặt
phẳng. Mặt phẳng này chứa cả bốn điểm A, B, C, D. Từ đó suy ra hai đường thẳng
a, b cùng đồng phẳnglà trái với giả thiết (a, b chéo
nhau). Vậy AC và BD chéo nhau.

B

b. Nếu MN//AB ta suy ra AM và BN đồng

A

phẳng. Điêù này trái với kết quả của câu a. Vậy MN

N
O

M

không thể song song với AB.

K

I

C

D

Lập luận tương tự ta chứng minh được MN
không thể song song với CD.
c. Trong mp(CAN) đường thẳng AO không song song với CN nên cắt CN tại
I. Trong mp(BMD) đường thẳng BO không song song với MD nên cắt MD tại K.
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AB.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a. MN//CD.

b. Gọi P là giao điểm của SC và mặt phẳng (AND). Hai đường thẳng AN
và DP cắt hau tại I. Chứng minh SI//AB và

S

I

SA//IB.
Giải

M

a. MN là đường trung bình của

N

tam giác SAB nên MN//AB mà AB//CD,
theo giả thiết, nên suy ra MN//CD.

A

P

B

b. Gọi E  AD  BC
Trong mặt phẳng (SBC), NE cắt SC

C

D
E

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 19

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
tại P, ta có P là giao điểm của SC và mặt phẳng (AND).
Ta có: AB  (SAB), CD  (SCD) mà AB // CD và SI  SAB   SCD  nên SI //
AB // CD.
Vì SI = 2MN và AN = NI nên SABI là hình bình hành. Do đó SA // IB.
Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. Gọi (P) là
mặt phẳng chứa Ị và cắt AD, AC lần lượt tai M, N. Chứng minh rằng tứ giác IJMN
là hình thang. Khi nào nó là hình bình hành?
Giải

A

Ba mặt phẳng (ACD), (BCD) và (P) đôi một cắt
M

nhau theo các giao tuyến CD, IJ và MN. Vì IJ // CD

N

(đường trung bình của tam giác BCD) nên theo định lí
2 ta có IJ // MN. Vậy tứ giác IJMN là hình thang.
Hình thang IJMN là hình bình hành khi IN // JM.

J

B

D

I

Khi đó hai mặt phẳng (ABC), (ABD) lần lượt chứa hai

C

đường thẳng song song IN và JM nên giao tuyến AB
của chúng song song với IN và JM. Tứ giác IJMN là hình bình hành khi M và N lần
lượt là trung điểm của AC và AD.
2.6. Dạng 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) (a không nằm
trong (P)) ta chứng minh a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P).
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm
của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho
AD = 3AM.
a. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng
NG//(SCD).
b. Chứng minh rằng MG//(SCD).

Giải

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 20

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
a. Chứng minh NG//(SCD).
Ta có: MN//IA //CD


AM IN 1


AD IC 3

S
K

IN 1

IS 3

(G là trọng tâm của tam giác SAB).
IG IN 1




IS IC 3

G

 GN//SC.

D

M

A
I
N

SC  (SCD)  GN//(SCD).

B

C

b. Chứng minh MG//(SCD).
Giả sử IM cắt CD tại K  SK  (SCD)
MN//CD 

AM IN 1
IM 1

 


AD IC 3
IK 3

 IG 1


Ta có:  IS 3  GM//SK  MG//(SCD).
IM 1


 IK 3

2.7. Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp:
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này có
chứa hai đường thẳng cắt đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SA, SD. Chứng minh:
a. (OMN)//(SCD).
b. (ONP)//(SBC).
Giải
a. Theo bài ra ta có:
O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm hai đường chéo BD và AC.
M, N là trung điểm SB, SA nên:
OM là đường trung bình của  SBD, do đó:
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 21

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
 OM // SD
 OM//(SCD) (1)

SD  mpSCD 

Tương tự:
 ON // SD

SC  mp SCD 



S

ON//(SCD)
N

(2)
M

Từ (1) và (2) suy ra: (OMN)//(SCD).

A

b. Tương tự câu a:
 ON // SC


SC  mpSBC 
 OP // SB

SB  mpSBC 

P

D
O

 ON//(SBC) (3)

C

B

 OP//(SBC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: (ONP)//(SBC).
2.8. Dạng 8: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta chứng
minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong (P).
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần
lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a. SC  (BHK).
b. HK  (SBC)

S

Giải
a. Do H là trực tâm tam giác ABC nên
BH  AC
Ngoài ra BH  SA
A

Nên BH  SC.

K

H

Mặt khác: K là trực tâm tam giác SBC nên

C

A'
B

BK  SC.
Vậy SC  (BHK).
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 22

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên

Một số bài toán về hình học không gian
b. Từ SC  (BHK) ta suy ra HK  SC.
Mặt khác HK  BC.
c. Vậy HK  (SBC).
2.9. Dạng 9: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Phương pháp:
-Cách 1: Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau,




ta chỉ cần chứng minh: AB. CD = 0.
-Cách 2: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng
minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
-Cách 3: Dùng định lí ba đường vuông góc.
Ví dụ 1
Chứng minh rằng nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc với nhau
thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau (hai cạnh đối là hai cạnh không có
điểm chung).
Giải
Giả sử tứ diện ABCD có AB  CD , BC  DA . Cần chứng minh CA  DB .
Trước hết ta chứng minh hệ thức sau đây












AB. DC + BC . DA + CA. DB = 0.

Thật vậy, ta có:







 
 
AB. DC =  DB  DA . DC = DB. DC - DA. DC , (1)









 
 
BC . DA =  DC  DB . DA = DC . DA - DB. DA , (2)










 
 
CA. DB =  DA DC . DB = DA. DB - DC . DB . (3)



Từ (1), (2), (3) suy ra:












AB. DC + BC . DA + CA. DB =
























= DB. DC - DA. DC + DC . DA - DB. DA + DA. DB - DC . DB












 AB. DC + BC . DA + CA. DB = 0.

GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 23

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian












Do đó nếu AB. DC = 0 và BC . DA = 0, nghĩa là AB  DC và BC  DA thì CA. DB =0,
nghĩa là CA  DB.
A'

Ví dụ 2
Cho

hình

lăng

trụ

tam

giác

C'
B'

ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm tam giác

A

ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Chứng minh rằng: AA’  BC

H
C

B

và AA’  B’C’.

Giải
Ta có: BC  AH  BC  A’H vì A’H  (ABC).
 BC  (A’HA)  BC  AA’

Và B’C’  AA’ vì BC//B’C’.
Ví dụ 3
Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không đồng phẳng có hai đường chéo
AC và BF vuông góc. Vẽ CH vuông góc BE và FK vuông góc DA.
a. Chứng minh các tam giác ACH và BFK là các tam giác vuông.
b. Chứng minh AH  BF và BK  AC.
Giải
a. Ta có AB  BC và AB  BE (hai cạnh liên tiếp của
hình chữ nhật).

A

K

F

D

 AB  (CBE)

Trong (CBE), ta có:
CH  BE gt 


 BH  chAH / mpBCE 

B

 AH  CH (định lí ba

C

H
E

đường vuông góc).
Vậy tam giác ACH vuông tại H.
Tương tự, ta có: BK  FK.
Vậy tam giác BFK vuông tại K.
 CH  BE  gt 
 CH  (ABEF).
CH  AH cmt 

b. Ta có: 

Mặt khác: HA = ch CA/mp(ABEF), và AC  BF  (ABEF).
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 24

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên


Một số bài toán về hình học không gian
Vậy: HA  BF (định lí ba đường vuông góc).
Tương tự, ta có: BK  AC.

2.10. Dạng 10: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp:
+ Tìm các vectơ vhỉ phương của hai đường thẳng này, giả sử các vectơ chỉ




phương ấy là u , v .
+ Góc  là góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2), ta có:
cos  = cos u, v  .
 





Ví dụ
Cho hình chop S.ABCD có SA=SB=AB=AC=a và BC= a 2 .Tính góc giữa
các đường thẳng AB và SC.
Giải
Ta có: AB=AC=a

và BC= a 2 suy ra tam giác


S



đều

ABC vuông tại A, nên AC . AB =0 và tam giác SAB


nên  SA, AB  =1200





A







   
SC . AB =  SA AC . AB = SA. AB + AC . AB






= SA . AB .cos1200 =




C

a2
.
2

a2
    SC . AB
 cos  SC, AB  =   = 22 =
a

 SC . AB


B

1
.
2

Do đó góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 600.
2.11. Dạng 11: Tính số đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
Để tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ) ta đi xác định
d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (  ). Khi đó góc giữa đường thẳng d và
d’ chính là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (  ). Ta đi tính số đo của
góc này.
Ví dụ
GVHD: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Trang 25

SVTH: Lưu Thuỷ Tiên