Tài liệu ôn thi tốt nghiệp môn toán

* ÑAÏO HAØM
1.
2.
3.

(u ±v )/ =u / ±v /
(u.v )/ =u / .v +u.v /
(C.v )/ =C.v /
/

4.

u / .v −v / .u
u 
=
 
v2
v 

5.

−C .v /
C 
  =
v2
v 

(v ≠0)

/

6.(C ) =0
/

7.( x ) =1
/

(

8. x α

)

(u α)

/

=α..x α−1

/

/

−v /
1 
  = 2
v
v 

/

−1
1 
9.  = 2
x
x 

(

10.

x

)

/

( )
12.(e )

=

(

1
2.

x

11. a x

/

=a x . ln a

x

/

=e x

13.(log a x ) =
/

15.(sin x )

/

16.(cos x ) =−sin x
1
/
17.( tan x ) =
cos 2 x
−1
/
18.(cot x ) =
sin 2 x
/

ax + b
cx + d

ta coù

20.

a x 2 + b1 x + c1
y= 1 2
a 2 x + b2 x + c 2

/

u/
=
2. u

u

/

=a u . ln a.u /

u

/

=e u .u /

(log a

1

x
=cos x

y=

)

u/
=
u. ln a
/
(ln u )/ =u
u
/
(sin u ) =u / . cos u

1
x. ln a

19.

u

(a )
(e )

14.(ln x ) =
/

=α

..x α−1 .u /

u)

(cos u )/

=−
u / . sin u

(tan u )/

u/
=
cos 2 u
−u /
=
sin 2 u

(cot u )/
y/ =

/

ad − bc
(cx + d ) 2

ta coù:

y/ =

a1
a2

b1 2
a
x +2 1
b2
a2

(a x
2

1

2

c1
b
x+ 1
c2
b2

+ b2 x + c 2

)

2

c1
c2

• Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1. Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
Tập xác đònh
Đạo hàm y/
Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác đònh): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R
a > 0

∆ ≤ 0

Giải tìm m

Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm:
a < 0

y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⇔ ∆ ≤ 0


ax + b

2. Hàm số nhất biến : y = cx + d

* Tập xác đònh
* Đạo hàm y/
* Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác đònh :
Giải tìm m
* Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0

y / > 0 ( y/ < 0 ) .

• Tìm m để hàm sốá có cực đại , cực tiểu
* Tập xác đònh
* Đạo hàm y/
* Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt
* Giải tìm m

• Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò
* Tập xác đònh
* Đạo hàm y/
* Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
* Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0
• Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x0
Cách 1: * Tập xác đònh
* Đạo hàm y/
* Hàm số đạt cực trò tại x0 :

y/(x0) = 0
y/ đổi dấu khi x qua x0
2

a ≠ 0

∆ > 0


* Chú ý:

• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
y/ (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”
• Hàm số đạt cực đại tại x0 :
y/ (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”
Cách 2: * Tập xác đònh
* Đạo hàm y/
* Đạo hàm y//
* Hàm số đạt cực trò tại x0 :

 y / ( x0 ) = 0
 //
 y ( x0 ) ≠ 0

* Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 }
* Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 }
• Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0
* Tập xác đònh
* Đạo hàm y/ = f/ (x)
* Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0 khi :

 f / ( x0 ) = 0

 f ( x0 ) = y0
 f // ( x ) ≠ 0
0


* TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y= f (x) trên

Khoảng (a ; b )
Đoạn [a;b ]
• Tính y’
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 ∈ ( a; b )
y = yCD
• Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
• Kết luận : max
( a ;b )

y=M
Chọn số lớn nhất M , kết luận : max
[ a ;b ]

y = yCT
hoặc min
( a ;b )

y=m
Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : min
[ a ;b ]

• Tiếp tuyến của đường cong ( C)
1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA):
* (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
 f ( x) = g ( x)

3.Tiếp tuyến sg sg (d) :

4.Ttuyến vuông góc (d) :

* Điều kiện tiếp xúc:  f / ( x) = g / ( x)

k tt = f / ( x0 ) = k d
ktt .k d =−1

3


• Biện luận số giao điểm của ( C) và d:
* (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) , * Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2:
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b2 – 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
• Nếu (*) là phương trình bậc 3:

a ≠ 0
⇔
∆ > 0


x = x0

1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 ⇔  Ax 2 + Bx + C = 0 = g ( x) (2)

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính ∆ của (2), xét dấu ∆ và kết luận

Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0
 A≠0

⇔  ∆ ( 2) > 0
g ( x ) ≠ 0
0


• Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0
* Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
* Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
* Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình.
* KHẢO SÁT HÀM SỐ : ( Các bước làm bài toán )
3
2
ax + b
Hàm số bậc ba : y = ax + bx + cx + d
y=
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 )
Hà
m
số
4
2
cx
+
d
y
=

ax
+
bx
+
c
Hàm số trùng phương :
• Tập xác đònh : D = R
 d
• Tập xác đònh : D = R\  − 
• Đạo hàm : y’= . . . . .
 c
⇔
y’= 0
x=?
ad − bc
2
•
Đạ
o
hà
m
:
y’=
lim y = ?
lim y = ?
( cx + d )
x →−∞

x →+∞

⇒ y ' > 0 ( hoặc y’<0 ) , ∀x ∈ D
d
y’ không xác đònh ⇔ x = −
c
• Tiệm cận :
d
a
. Tiệm cận đứng : x = − , Tiệm cận ngang : x =
c
c
• Bảng biến thiên :
⇒ Các khỏang đồng biến (hoặc nghòch biến ) . Hàm số
không có cực trò
• Vẽ đồ thò :
HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT:

• Bảng biến thiên :
⇒ Các khỏang đồng biến , nghòch
biến , điểm cực đại , điểm cực tiểu .
• Vẽ đồ thò :

•

4


A. LŨY THỪA

• a n = a.a...a
• a0 = 1

( n thừa số)

n

an
a
•  = n
b
b
• ( a m ) n = ( a n ) m = a m .n

1
an
= a m .a n

• a −n =
• a m+ n

• a m− n =

• (a.b) n = a n .b n

m
n

• a = n am

m

a
an

1
n

• a =n a

B. LOGARIT
• log a N = M ⇔ a M = N

• log a 1 = 0
• log a a = 1

( a, N > 0 , a ≠ 1 )

• log a a N = N

• a loga N = N

• log a N 1 .N 2 =log a N 1 +log a N 2
• log a

N1
=log a N 1 −log a N 2
N2

• log a N =

log b N

log b a

• log a N =

1
log N a

• log a k N =

1
log a N
k

• log b a. log a N =log b N

• log a N k = k . log a N

• a > 1 thì loga f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0
• 0 < a < 1 thì loga f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)
C. Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng ax= b ( a> 0 , a ≠ 0 )
Dạng log a x = b ( a> 0 , a ≠ 0 )
• b ≤ 0 : pt vô nghiệm
• Điều kiện : x > 0
x
b
• log a x = b ⇔ x = a
• b>0 : a = b ⇔ x = log a b
D. Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng log a x > b ( a> 0 , a ≠ 0 )

Dạng ax > b ( a> 0 , a ≠ 0 )
• Điều kiện : x > 0
• b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R
b
• log a x > b ⇔ x > a , khi a >1
• b>0 :
x
log a x > b ⇔ x < a b , khi 0 < x < 1
. a > b ⇔ x > log a b , khi a>1
5


. a > b ⇔ x < log a b , khi 0 < a < 1
* Cách giải : Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ
x

NGUN HÀM
1) ∫dx = x +C
kdx = kx +C
∫
xα+1
1 ( ax +b)α+1
α
α
2) ∫ x dx =
+C
∫(ax +b) dx = a α +1 +C
α +1
1
dx

1
3) ∫ dx =ln x +C
=
∫ ax +b a ln ax +b +C
x
1
−1
dx
−1
1
4) ∫ 2 dx =
+C
=
+C
2
∫ (ax +b)
x
x
a ( ax +b)
1 ( ax +b )
( ax +b )
5) ∫e x dx =e x +C
e
dx
=
e
+C
∫
a ( cx +d )
x

a
1a
( cx +d )
6) ∫a x dx =
+C
a
dx
=
+C
∫
ln a
c ln a
−1
7) ∫sin xdx =−cos x +C
sin(
ax
+
b
)
dx
=
cos( ax +b) +C
∫
a
1
8) ∫cos xdx =sin x +C
cos(
ax
+
b

)
dx
=
sin( ax +b) +C
∫
a
dx
dx
1
9) ∫
=
tan
x
+
C
=
∫ cos 2 (ax +b) a tan( ax +b) +C
cos 2 x
dx
dx
−1
10) ∫
=−
cot
x
+
C
=
∫ sin 2 ( ax +b) a cot(ax +b) +C
sin 2 x

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
u( x)
/
1. ∫ f (e ).u ( x )dx
Đặt
1

∫ f (ln x). x dx
3. ∫ f ( ax +b ).dx
4. ∫ f (sin x, cos x)dx
2.

n

t =u ( x )

Đặt

t =ln(x )

Đặt

t =n ax +b

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng cơng thức hạ bậc:

cos 2 x =

1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
, sin 2 x =
2
2

• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan
5.
6.

∫f(
∫f(

x
2

a 2 − x 2 ).dx

Đặt

x =a sin t

a 2 + x 2 ).dx

Đặt

x =a tan t

6

7.

∫f(

8.

∫f(

x 2 − a 2 ).dx
1
x 2 ±a 2

).dx

a
cos t

Đặt

x=

Đặt

t = x + x 2 ±a 2

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b

b

b

∫ u.v dx = u.v a − ∫ u vdx
/

a

a

∫P ( x).e
Đặt

/

ax +b

dx .

u = P ( x ) ta có u / = P / ( x )
1
v / = e ax +b chon v = e ax +b
a

∫ P( x). cos(ax + b)dx .
u = P ( x ) ta có u / = P / ( x )

Đặt:

v / = cos(ax + b) chon v =

1
sin( ax + b)
a

∫P( x). sin(ax +b)dx .
u = P ( x ) ta có u / = P / ( x )

Đặt:

v / = sin( ax + b) chon v =

−1
cos( ax + b)
a

∫P ( x). ln u ( x)dx .
Đặt:

u =ln x ta có u / =

1
x

v / = P ( x ) chon v =∫P ( x ) dx

Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn còn v/ là phần còn lại của biểu thức
dưới dấu tích phân mà nguyên hàm của phần này đã biết.

7

DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH

 (C1 ) và (C 2 )
( H )
x = a, x = b (a < b)

 (C1 ) và (C 2 )
( H )
y =c, y =d (c
b

d

S = ∫ y C1 − y C 2 dx

S =∫ x C1 −x C 2 dy

a

c

b

VOx =π∫ y

d

2
C1

−y

2
C2

VOy =π∫ x C2 1 −x C2 2 dy

dx

a

c

SỐ PHỨC
* i 2 = −1
1

z

* z = 2
z
*z
*

z = a + b.i = a 2 + b 2

*

= a + b.i ⇒ z = a − b.i

z = z = a +b
2

2

a = c
a + b.i = c + d .i ⇔ 
b = d
c + d .i (c + d .i )(a − b.i )
=
*
a + b.i
( a + b.i )(a − b.i )

* z1 + z 2 = z1 + z 2
* z1 − z 2 = z1 − z 2
* z1.z2

= z1.z2 ;

1. α = a + b.i .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta có:

 a + a2 + b2
− a + a2 + b2

+ i.
b ≥ 0 : β = ±

2
2


 a + a2 + b2
− a + a2 + b2

− i.
b < 0 : β = ±
2
2

2. z = r (cos ϕ + i. sin ϕ)


r = a 2 + b 2

a

 cos ϕ =
r

b
 sin ϕ =

r


3. z1 .z 2 = r1 r2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i. sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]
z1 r1

= [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 − ϕ 2 )]
4.
z 2 r2

8











 z1  z1
 ÷=
 z2  z2


5.

1 1
= [cos(−ϕ) + i. sin(−ϕ)]
z r

[ r (cos ϕ + i.sin ϕ )] n = r n (cos nϕ + i.sin nϕ ) ; [ (cos ϕ + i. sin ϕ )] n = (cos nϕ + i. sin nϕ )
* KHỐI ĐA DIỆN , MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY

• Thể tích của khối lăng trụ : V = B. h
( B : diện tích đáy , h là chiều cao )
• Thể tích của khối hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c là ba kích thước )
• Thể tích của khối lập phương : V = a3
(a: cạnh )
1

• Thể tích của khối chóp : V = 3 B. h

( B : diện tích đáy , h là chiều cao )

Cần nhớ : 1/ Tam giác đều cạnh a có : Đường cao h =

2/ Hình vuông cạnh a có : Đường chéo a 2

a 3
2

và diện tích S =

và diện tích S = a 2

1 2
• Hình nón có : Diện tích xung quanh S xq = π rl - Thể tích V = 3 π .r .h
• Hình trụ có :Diện tích xung quanh S xq = 2π rl - Thể tích V = π .r 2 .h
( l : đường sinh, r : bán kính đáy, h : đường cao )
4

• Mặt cầu có : Diện tích S = 4 π R2 - Thể tích V = 3 π r

9

3

a2 3
4


* TỌA

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. AB =( x B −x A , y B −y A , z B −z A )
2. AB = AB =

(xB

−x A ) +( y B −y A ) +( z B −z A )
2

2

3. a ±b =(a1 ±b1 , a 2 ±b2 , a 3 ±b3 )
4. k.a =(ka1 , ka 2 , ka 3 )
5. a = a12 +a 22 +a 32
a1 =b1

6. a =b ⇔a 2 =b2

a =b
3
 3
7. a.b =a1 .b1 +a 2 .b2 +a 3 .b3
a
a
a
8. a // b ⇔a =k .b ⇔a ∧b =0 ⇔ 1 = 2 = 3
b1
b2
b3
9. a ⊥b ⇔a.b =0 ⇔a1 .b1 +a 2 .b2 +a 3 .b3 =0
 a2
a3 a3
a1 a1
10. a ∧b =
,
,
b
b3 b3
b1 b1
 2
11. a , b, c đồng phẳng ⇔ a ∧ b .c = 0

(

)

(

a2 

b2 


)

12. a , b, c không đồng phẳng ⇔ a ∧ b .c ≠ 0

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1

 x −kx B y A −ky B z A −kz B 
M A
,
,

1−k
1−k 
 1−k

14. M là trung điểm AB
 x + xB y A + yB z A + z B 
M A
,
,

2
2
2




15. G là trọng tâm tam giác ABC
 x + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + z C 
G A
,
,
,
3
3
3



16. Véctơ đơn vị : e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1)
17. M ( x,0,0) ∈ Ox; N (0, y,0) ∈ Oy; K (0,0, z ) ∈ Oz
18. M ( x, y,0) ∈ Oxy; N (0, y, z ) ∈ Oyz; K ( x,0, z ) ∈ Oxz
1

1

2
2
2
19. S ∆ABC = 2 AB ∧ AC = 2 a1 + a 2 + a3

1

20. V ABCD = 6 ( AB ∧AC ). AD
21. V ABCD. A B C

/

/

/

D/

= ( AB ∧ AD ). AA /
10

2


CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

•
A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔ [ AB, AC ] ≠ 0
→

→

→
→
1 [AB
, AC]
2

•

S∆ABC =

•

Đường cao AH =

•

Shbh =

→

2.S ∆ABC
BC

→

[AB, AC]

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh

⇔

AB = DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

→
• [ AB, AC ]. AD ≠ 0
→

• Vtd =

→

→
→
1 →
[AB, AC] . AD
6

Đường cao AH của tứ diện ABCD
3V
1
V = S BCD . AH ⇒ AH =
S BCD
3

• Thể tích hình hộp :

[

]

V ABCD. A/ B / C / D / = AB; AD . AA /

Dạng4: Hình chiếu của điểm M

1. H là hình chiếu của M trên mpα
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mpα : ta có a d = n α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)

Viết phương trình mpα qua M và vuông góc với (d): ta có
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mpα

Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng 4.1)

H là trung điểm của MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:

Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)

H là trung điểm của MM/

11

nα = a d


MẶT PHẲNG
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mpα :
 

n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của α ⇔ n ⊥ α

2. Cặp vé
ctơ chỉ phương của mpα:



a// b là cặp vtcp của α ⇔ a , b cùng // α
  



 

3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]


4. Pt mpα qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0


(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

x y z
+ + =1
a b c

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : Giả sử α1 ∩ α2 = d trong đó

(α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
° α cắt β ⇔A1 : B1 : C1 ≠ A 2 : B2 : C2
A

B

C

D

A

B

C

D

1
1
1
1
° α// β ⇔A = B =C ≠ D
2
2
2

2
1
1
1
1
° α≡β ⇔A = B =C = D
2
2
2
2

ª α ⊥β ⇔A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,α) =

Ax o + By o + Cz o + D
A 2 + B2 +C 2

10.Góc giữa hai mặt phẳng :

 
n1 . n 2
cos(α , β ) =  
n1 . n 2

12


CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :


qua A ( hay B hay C )

→→
° (α) : 


vtpt
n
=
[AB
, AC ]


° Cặp vtcp: AB , AC
→

→

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
quaM trung điểm AB

° (α) :   →

vtpt n = AB

Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc AB)
quaM

(

α
)
:
→

°
uu


Vì
α
⊥
(d)
nê
n
vtpt
n
=
a
d ....( AB )


Dạng 4: Mpα qua M và // β : Ax + By + Cz + D = 0
qua M



° (α) : Vì α / / β nên vtpt n =n
α
β



Dạng 5: Mpα chứa (d) và song song (d/)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
a d = aα
 Mpα chứa (d) nên

Mpα song song (d/) nên a d = bα

[

■ Vtpt n = a d , a d

/

/

]

Dạng 6 Mpα qua M,N và ⊥ β :
■ Mpα qua M,N nên MN = aα
■ Mpα ⊥ mpβ nên

n β = bα


qua M (hay N)

→
):

° (α


vtpt n =[ MN , n ]

β


Dạng 7 Mpα chứa (d) và đi qua
■ Mpα chứa d nên a d = aα
■ Mpα đi qua M ∈ (d ) và A nên AM = bα
qua A

→ uu
° (α) : 


vtpt n =[ ad , AM]

(Cách 2: Sử dụng chùm mp)

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
13


TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)
x =x o +a 1t


(d) : y =y o +a 2 t ; t ∈
R
z =z +a t
o
3


2.Phương trình chính tắc của (d)
(d) :

x −x o
a

=

1

y −y o
a2

=

z-z

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

0

a3

3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :

(d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d

/


→
 d chéo d’ ⇔ [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng)

→
 d,d’ đồng phẳng ⇔ [ a d , a d / ]. MN = 0


→
 d,d’ cắt nhau ⇔ [ a d , a d / ] ≠ 0 và [ a d , a d / ]. MN =0

/
 d,d’ song song nhau ⇔ { a d // a d / và M ∉ (d ) }

/
 d,d’ trùng nhau ⇔ { a d // a d / và M ∈ (d ) }

4.Khoảng cách : Cho (d) qua M có vtcp a d ; (d’) qua N có vtcp a d /

Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) =

Kc giữa 2 đường thẳng :

d (d ; d ) =
/

[ a d ; AM ]
ad

[ a d ; a d / ].MN
[a d ; a d / ]



5.Góc : (d) có vtcp a d ; ∆’ có vtcp a d ; (α ) có vtpt n
/

Góc giữa 2 đường thẳng :


a d .a d /
cos(d, d' ) = 
ad . ad /

Góc giữa đường và mặt :

 
ad . n
sin(d,α) = 

ad . n

CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B

quaA
(d )
Vtcp

(hayB)
ad = AB

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (∆ )
14



qua A
(d ) : 


Vì (d) / / ( ∆) nên vtcp a = a

d
∆

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mpα


qua A
(d ): 



Vì
(d)
⊥
(
α
)
nê
n
vtcp
a
=
n

d
α

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên α : d/ = α ∩ β
 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα
quaM ∈ (d )

( β ) ⊃ (d ) ⇒ a = a
d
β
/ (α)
( β ) 
ª (d )
 ( β ) ⊥ (α ) ⇒ nα = bβ
( β )
 ⇒ n β = [a d ; nα ]


Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)


qua A
(d ) : 

 
vtcpa = [ a , a ]

1
d d
2

Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :




+ Tìm a d = [ a d1, a d2]
+ Mpα chứa d1 , (d)

; mpβ chứa d2 , (d)

⇒

Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = α ∩ β
với mpα = (A,d1) ; mpβ = (A,d2)
Dạng 8: PT d // ∆ và cắt d1,d2 : d = α 1 ∩ α 2
với mpα1 chứa d1 // ∆ ; mpα2 chứa d2 // ∆
Dạng 9: PT d qua A và ⊥ d1, cắt d2 : d = AB

với mpα qua A, ⊥ d1 ; B = d2 ∩ α
Dạng 10: PT d ⊥ (P) cắt d1, d2 : d = α ∩ β
với mpα chứa d1 ,⊥(P) ; mpβ chứa d2 , ⊥ (P)

MẶT CẦU
15

d=α∩β


TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

S(I, R) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R 2 (1)
2

2

2

S(I,R) : x 2 + y 2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
2
2
2
( với a +b +c −d >0 )

• Tâm I(a ; b ; c) và R = a 2 + b 2 + c 2 − d
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
2
2

2
Cho (S) : (x −a) +(y −b) +(z −c) = R2 và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α: tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mpα )
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có
ad

=
nα

 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)

(S) : ( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R2

α : Ax + By + Cz + D = 0

 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r = R2 − d2 ( I , α)

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpα : ta có a d = n α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
x =x o +a1t

d :
y =y o +a 2 t


z =z o +a 3 t


(1) và

(S) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R2 (2)
2

2

2

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
2
2
2
ª S(I,R) : ( x −a ) +( y −b) +( z −c ) =R 2 (1) - Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
16


 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mpα
Pt mặt cầu tâm I


A.xI +B.y I +C .zI +D
(S ) : 
R =d(I, α) =

A2 +B 2 +C 2


Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc (∆ ):


tâm I
(S ) : 
R =
d(I, ∆
)


Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I,R) : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 A,B,C,D ∈ mc(S)

⇒

hệ pt, giải tìm a, b, c,

d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I,R) : x 2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α). Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d

Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
→

Tiếp diện α của mc(S) tại A : α qua A, vtpt n
=IA
Dạng 8: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và ⊥ ∆
+ Viết pt mpα vuông góc ∆ : n = a ∆ = ( A, B, C )
+ Mpα : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = R
Dạng 9: Mặt phẳng α tiếp xúc (S) và // 2 đt a,b :

 
n = [ a ,b ]

(α) : pt : Ax +By +Cz + D = 0
từ d(I, α) = R ⇒D

Dạng 10: Mpα chứa ∆ và tiếp xúc mc(S) :

thuộc chùm mp chứa ∆
(α) : 
R = d(I, α) ⇒ m,n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ MẪU – THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2008 – 2009
17


Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Trích từ cuốn Cấu trúc đề thi
của NXB Giáo Dục

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số y =

3 − 2x
x −1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt.
Câu II. (3,0 điểm)
2x −1

1. Giải bất phương trình: log 1 x +1 < 0
2
π
2

2. Tính tích phân: I = ∫ (sin x + cos 2x)dx
0

2

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x – e2x trên đoạn [−1 ; 0]
Câu III. (1,0 điểm)
Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích

của khối chóp S.ABCD theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn làm phần
dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IVa. (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt
phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0.
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Câu Va. (1,0 điểm). Tìm môđun của số phức : z = 4 – 3i + (1 – i)3
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu IVb. (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và đường
thẳng d có phương trình :

x − 2 y −1 z
=
= .
1
2
1

1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
2. Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Câu Vb. (1,0 điểm). Viết dạng lượng giác của số phức: z = 1 – 3 i.
18


Câu
I
(3,0 điểm)

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Đáp án

Điểm

(2,0 điểm)
Tập xác định : D = ¡ \{1}

0,25

Sự biến thiên:
1

• Chiều biến thiên: y ' = − (x − 1) 2 < 0 ∀x ∈ D .

0,50

Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ ; 1) và (1 ; +∞)
• Cực trị: Hàm số không có cực trị.
y = lim y = −2;
• Giới hạn: lim
x →−∞
x →+∞

lim y = +∞ và lim y = −∞
x →1+

x →1−

Suy ra, đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một

tiệm cận ngang là đường thẳng y = – 2.
• Bảng biến thiên:
x −∞
1
+∞
y’
−
−
y

−2

+∞

0,50

0,25

−∞

−2

• Đồ thị:
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; − 3) và cắt trục hoành tại điểm
3

 ; 0 ÷.
2


- Đồ thị nhận điểm I(1 ; −2) (là giao điểm của hai đường tiệm
cận) làm tâm đối xứng.
y

O

−2
−3

(1,0 điểm)
19

3
2

1

I

0,50
x


Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
⇔ Phương trình (ẩn x)

3 − 2x
= mx + 2 có hai nghiệm phân biệt
x− 1

⇔ Phương trình (ẩn x) mx – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân
biệt, khác 1

0,50

2

 m < −6 − 2 5
m ≠ 0

m
≠
0


2
⇔  −6 + 2 5 < m < 0
⇔ ∆ = (m − 4) + 20m > 0 ⇔  2
m > 0
 m + 12m + 16 > 0
 m.12 − (m − 4).1 − 5 ≠ 0



Câu
II
(3,0 điểm)

Đáp án

0,50
Điểm

1. (1,0 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
0,50

2x − 1
>1
x +1
x − 2 > 0

 x < −1
x−2
x − 2 > 0
⇔
>0 ⇔ 
⇔ 

x +1
x − 2 < 0
x > 2

  x + 1 < 0

0,50

2. (1,0 điểm)
π
2

π

2
x
I = ∫ sin dx + ∫ co s 2xdx
2
0
0
π

0,25

π

2
x2 1
= −2 cos
+ sin 2x
20 2
0

0,50

= 2− 2

0,25

3. (1,0 điểm)
Ta có: f’(x) = 1 – 2e2x.

Do đó:

0,25

f’(x) = 0 ⇔ x = − ln 2 ∈ (−1 ; 0)
f’(x) > 0 ∀x ∈ [−1 ; − ln 2 );

0,25

f’(x) < 0 ∀x ∈ (− ln 2 ; 0];
Suy ra:

max f (x) = f ( − ln 2) = − ln 2 −

x∈[ −1;0]

1
2
−2

min f (x) = min{f ( −1);f (0)} = min{−1 − e ; −1} = −1 − e

x∈[ −1;0]

20

−2

0,50

III
(1,0 điểm)

Do S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên đáy ABCD là hình
vuông cạnh a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và gọi I là trung
·
điểm của cạnh BC. Ta có SO là đường cao và SIO
là góc giữa mặt

0,50

bên và mặt đáy của khối chóp đã cho.
S

Trong tam giác vuông SOI, ta có:
a
a 3
·
SO = OI.tan SIO
= .tan 600 =
.
2
2

0,25

D

2

Diện tích đáy : SABCD = a .

O

A

B

I

C

Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là:
1
1 a 3 a3 3
VS.ABCD3 = SABCD .SO = a 2 .
=
3
3
2
6

0,25

Đáp án

Điểm

Câu

IV.a

1. (1,0 điểm)
Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của
A trên (P)


0,25



Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên v là một vectơ
chỉ phương của d. Suy ra, d có phương trình :

x −1 y − 4 z − 2
=
=
1
2
1

0,25

Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
 x −1 y − 4 z − 2
=
=

2

1
 1
 x + 2y + z − 1 = 0

0,50
2
3

Giải hệ trên, ta được : x = − , y =

2
1
,z= .
3
3

 2 1 1
;
; ÷
 3 3 3

Vậy H  −

.
2. (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
• Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A. tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Ta có:
2

2

0,50

2

2 
1
5 6
 2 
R = AH = 1 + ÷ +  4 − ÷ +  2 − ÷ =
.
3 
3
3
 3 

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
21

0,50


(2,0 điểm)

(x − 1) 2 + (y − 4) 2 + (z − 2) 2 =

50
3

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta
có R bằng khoảng cách từ A đến (P). Suy ra :
R=

1.1 + 2.4 + 1.2 − 1
1 + 2 +1
2

2

2

=

0,50

5 6
3

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x − 1) 2 + (y − 4) 2 + (z − 2) 2 =

50
3

0,50

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0

V.a
(1,0 điểm)
IV.b
(2,0 điểm)

Ta có: z = 4 – 3i + (1 – 3i – 3 + i) = 2 – 5i

0,50

Do đó: z = 4 + 25 = 29

0,50

1. (1,0 điểm)
Kí hiệu (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là giao
điểm của (P) và d, ta có H là hình chiếu vuông góc của A trên d.


0,25



Do v = (1 ; 2 ; 1) là một vectơ chỉ phương của d nên v là một vectơ
pháp tuyến của (P). Suy ra, (P) có phương trình : x + 2y + z – 6 = 0

0,25

Đáp án

Điểm

Câu

 x − 2 y −1 z
=
=

2
1
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:  1
 x + 2y + z − 6 = 0

Giải hệ trên, ta được : x =

7
5
1
,y= ,z= .
3
3
3

7 5 1
;
; ÷.
 3 3 3

Vậy H 

2. (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:

• Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta
có:
2

2

0,50

0,50

2

165
7  5
 1 
R = AH =  + 1÷ +  − 2 ÷ +  − 3 ÷ =
.
3
3  3
 3 

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x + 1) 2 + (y − 2) 2 + (z − 3) 2 =
22

0,50
55
3

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = 0
• Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d. Ta
có R bằng khoảng cách từ A đến d. Suy ra :

R=

1
2

2

2

3
3 −3
−3 1
+
+
1 1 1 1 2
1 + 2 +1
2

2

0,50

2

2

=

165
3

Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x + 1) 2 + (y − 2) 2 + (z − 3) 2 =

55
3

0,50

Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = 0
V.b
(1,0 điểm)

1

Ta có z = 2  −
2

3 
i÷
2 ÷


0,50

  π
 π 
= 2 cos  − ÷+ i sin  − ÷
 3 
  3

0,50

ĐỀ 1: ( Thời gian làm bài 150 phút )
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH : ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm ) . Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 − 1 có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
x 3 − 3x 2 + k = 0 .
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Giải phương trình 3 3x − 4 = 92x − 2
b. Cho hàm số y =

1
sin 2 x

. Tìm ngun hàm F(x ) của hàm số , biết rằng đồ thị của hàm
π
6

số F(x) đi qua điểm M( ; 0) .
1
x

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + + 2 với x > 0 .
Câu III ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ). Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần
dành riêng cho chương trình đó .
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :
x+2 y z+3
=
=
và mặt phẳng (P) : 2x + y − z − 5 = 0
1
−2
2
23


a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1
y = ln x, x = , x = e và trục hoành .
e
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
x = 2 + 4t

(P) : −x + y + 2z + 5 = 0
y = 3 + 2t và mặt phẳng

z = −3 + t

a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) .
b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một
khoảng là 14 .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm căn bậc hai cũa số phức z = − 4i
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a. (2d)
x
y′
y

−∞

0
−

+∞

0
−1

+∞

2
+

0

−

3

−∞

b. (1đ) pt ⇔ −x3 + 3x2 − 1 = k − 1

Đây là pt hoành độ điểm chung của (C) và đường thẳng (d) : y = k − 1
Căn cứ vào đồ thị , ta có :
Phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ −1 < k − 1 < 3 ⇔ 0 < k < 4
24


Câu II ( 3,0 điểm )
x ≥ 1


3x − 4
3x − 4
= 92x − 2 ⇔ 3
= 32(2x − 2) ⇔ 3x − 4 = 4x − 4 ⇔ 
a. ( 1đ ) 3
π
6

π
6

2
2
(3x − 4) = (4x − 4)

⇔x=

8
7

b. (1đ) Vì F(x) = − cotx + C . Theo đề : F ( ) = 0 ⇔ − cot + C = 0 ⇔ C = 3 ⇒ F (x) = 3 − cot x
c. (1đ) Với x > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cơsi :
x+

1
1
x >0
≥ 2 . Dấu “=” xảy ra khi x = ⇔ x 2 = 1 
→x =1
x
x
M iny = y(1) = 4
⇒ y ≥ 2+2 = 4

. Vậy :

(0;+∞ )

Câu III ( 1,0 điểm ) :
Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC .

Khi đó : SO là trục đường tròn đáy (ABC) . Suy ra : SO ⊥ (ABC) .
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực của cạnh SA , cắt SO tại I .
Khi đó : I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC
Tính bán kính R = SI .
Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : SJ.SA = SI.SO ⇒ SI =
∆ SAO vuông tại O . Do đó : SA =

SJ.SA SA 2
=
SO
2.SO

3 3
2 6
=
SO2 + OA 2 = 1 + = 3 ⇒ SI =
2.1 2
3

Diện tích mặt cầu : S = 4πR2 = 9π
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1. Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a. (0,5 đ) A(5;6; − 9)
b. (1,5đ)

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) : ud = (1; −2;2)

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : n P = ((2;1; −1)


 
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ∆ ) : u∆ = [ud ;n P ] = (0;1;1)
x = 5

+ Phương trình của đường thẳng ( ∆ ) : y = 6 + t (t ∈ ¡ )
z = −9 + t

1

e

ln xdx + ∫ ln xdx
1/e
1

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : + Diện tích : S = −

∫

1
x
+ ∫ln xdx = x ln x −∫dx = x(ln x −1) + C

+ Đặt : u = ln x, dv =dx ⇒du = dx, v =x

25