Bài tập tọa độ vec tơ trong măt phẳng

CHUYấN VECT LP 10

Chuyên đề toán véc tơ
Dng1:VECT
A. CC KIN THC CN NH.
1. Vec t l on thng cú hng.
2. xỏc nh mt vec t cn bit mt trong hai iu kin
* im u v im cui ca vec t.
* di v hng.




3. Hai vec t a v b c gi l cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau. Nu hai
vec t cựng phng thỡ chỳng cú th cựng hng hoc ngc hng.
4. di ca mt vec t l khong cỏch gia im u v im cui ca vec t ú.












5. a = b | a |= | b | v a , b cựng hng
B. BI TP.
1/ Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O. Lit kờ tt c cỏc vec t bng nhau nhn nh v tõm ca hỡnh vuụng lm

im u v im cui.
2/ Cho t giỏc ABCD. Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC, CD, DA. Chng minh
NP = MQ v PQ = MN .
3/ Cho tam giỏc ABC. Gi M, N l trung im cỏc cnh AB v AC. So sỏnh di ca hai vec t
NM v BC . Vỡ sao cú th núi hai vec t ny cựng phng?
uuur uuur uuur uuur
4/ Cho t giỏc ABCD, chng minh rng AB = DC AD = BC


5/ Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD. Dng AM = BA , MN = DA , NP = DC , PQ = BC . Chng minh AQ = 0

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức véc tơ
A. Phơng pháp
*C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại.
*C2: Biến đổi tơng đơng. (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng)
*C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh.
*C4: Tạo dựng hình phụ.

Dựa vào các quy tắc đã học:

- Quy tắc ba điểm
- Quy tắc hình bình hành
- Quy tắc trung điểm
-Quy tc trng tõm tam giỏc

B. Một số ví dụ
VD1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

1. CMR : AD + BC = 2 EF ;
r




2. CMR : OA + OB + OC + OD = 0 ;










3. CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý)








VD2: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi

M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1

1. AM = AB + AC ;
3
8
GV BIấN SON HOA HONG TUYấN

Trang1


CHUYấN VECT LP 10


1



3



2. MI =
+
.
6 AB 8 AC
C. Bài tập

uuur uuur uuur uuur

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB + CD = AD + CB .
Bài 2: Chouuu
tam
r giác
uuur ABC,
uuur gọi
r G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:
1. GA + GB + GC = 0
uuuur uuur uuur uuuur
2. MA + MB + MC = 3MG
Bài 3: Cho
ABC.
uuuurtamuuugiác
r uu
ur r Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
AM + BN + CP = 0 .
uuuur uuuur uuuur uuuur
Bài 4: Cho hai tam giác ABC, ABC lần lợt có trọng tâm là G, G. CMR: AA ' + BB' + CC ' = 3GG ' .
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA. Gọi K
là trung điểm của MN.
uuur 1 uuur 1 uuur
1. CMR: AK = AB + AC ;
4
6
uuur 1 uuur 1 uuur
2. Gọi D là trung điểm của BC. CMR: KD = AB + AC .
4
3
Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G.
uuur 2 uuur 1 uuur

uuur
1 uuur uuur
1. Chứng minh rằng: AH = AC AB ; CH = AB + AC
3
3
3
uuuur 1 uuur 5 uuur
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: MH = AC AB
6
6
Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi J là điểm trên đ ờng BC kéo
dài sao cho 5JB = 2JC.
uur 3 uuur 2 uuur
uur 5 uuur 2 uuur
1. Chứng minh rằng: AI = AB + AC ; AJ = AB AC
5
5
3
3
uuur 35 uur 1 uur
AI AJ
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: AG =
48
16
Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác
ABC. Gọi I là tâm đờng tròn đi
trung
điểm
uuuqua
r uuu

r uuu
r của
uuur3 cạnh tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng: HA + HB + HC = 2HO
uuur 2 uuur
2. Chứng minh rằng HG = HO . Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng.
uuur 3uuur uuur uuur uuur
3. Chứng minh rằng: OA + OB + OC = OH = 3OG
uuur uur
4. Chứng minh rằng: OH = 2OI
uuur uuur uuur uuur r
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G : GA + GB + GC + GD = 0 (1)
Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm
Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác.
uuuur uuur uuur 3 uuuur
Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F. Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO
2

(

)

Dạng 3: Biểu diễn véc tơ
A. Phơng pháp
*C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phơng pháp
xen điểm hoặc hiệu.
*C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tợng, từ đó khai triển biểu thức này.

Dựa vào các quy tắc đã học:

B. Một số ví dụ

- Quy tắc ba điểm;
- Quy tắc hình bình hành;
- Quy tắc trung điểm.
-Quy tac trong tam tam giac

GV BIấN SON HOA HONG TUYấN

Trang2


CHUYấN VECT LP 10

VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy biểu diễn các véc tơ
uuur uuur uuur
uuur uuur
AB, BC , CA theo hai véc tơ BN , CP .
r
r






VD2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 . Hãy biểu diễn

PM , PN theo hai véc tơ AB và AC .

C. Bài tập
Bài 1: Cho tam uuur
giác ABC,
gọirG là trọng tâm của tam giác và B là điểm đối
B qua
uuuur uuuu
r xứng
uuur rvới uuu
r G. Hãy biểu
diễn các véc tơ CB ', AB ', MB ' (M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ a = AB, b = BC .

Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài
sao cho 5JB = 2JC.

uur uur

uuur uuur

1. Biểu diễn AI , AJ theo AB, AC ;
uuur
uur
uuur
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biểu diễn AG theo AI và AJ .
Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểmuuu
trên
cạnh
r uuu

r BC kéo dài sao cho IB=3IC.
uur
1. Biểu diễn AI theo hai véc tơ AB, AC ;

uuur

2. Gọi J, K lần lợt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA. Hãy biểu diễn JK
uuur uuur
theo AB, AC ;

uuur

uur uuur

3. Biểu diễn BC theo AI , JK .
uur
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc tơ AI (I là trung điểm BO),

uuur uuur
uuur
BG (G là trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ AB, AD .
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc tơ AC , AD, AF , EF theo hai véc tơ AB, AE .

Dạng 4: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài
A. Phơng pháp

uuuur r
uuuur r

- Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng OM = v hoặc dạng OM = v trong đó O là điểm cố định;
r
v là véc tơ cố định.

B. Một số ví dụ
VD: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lợt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau:
uur uur r
1. IA + 2 IB = 0 ;
uur uur uuur
2. JA + 2 JB = CB ;
uuur uuur uuur r
3. KA + KB + 2KC = 0 .
C. Bài tập
uuur uuur r
Bài 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M thoả mãn: 2 MA 3MB = 0 .
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi Muuu
là
của
r trung
uuurđiểmuuu
r AB
r và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
1. Xác định K sao cho 3AB + 2AC 12AK = 0 ;
uuur uuur
uuur r
2. Xác định D sao cho 3AB + 4AC 12KD = 0 .
Bài 5: Cho ABC và một điểm M bất kì.
r uuuur uuur uuur
1. Chứng minh rằng v = 3MA 5MB + 2MC không đổi;
uur uur uur r

2. Xác định điểm I thoả mãn 3IA 2IB + IC = 0 ;

BI TP LM THấM
1/cho tam giỏcABC ni tip trong
ng trũn (O) Gi H l trc tõm tam giỏc ABC; B l im x vi B qua
uuuur uuuur
uuur
uuur
O.Hóy so sỏnh cỏc vecto: AHv B ,C; AB , & HC
2/ Cho HBH ABCD .Hai uuu
im
trung
im
BC&AD
r M&Nl
uuuur uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
a/ Tỡm tng ca 2 vecto: NC & MC ; AM & CDv AD & NC
GV BIấN SON HOA HONG TUYấN

Trang3


CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

uuuur uuur uuur uuur
b/ C/M : AM + AN = AB + AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

3/ Cho lục giác đều ABCDEF tâm O C/M : OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
4/ Cho VABCuuuu
.Các
là trung
:AB;AC;BC
r điểm
uuuur M,N,P
uuuur uuuu
r uuuurđiểm
uuuu
r uuur uuur
a/ Tìm hiệu : AM − AN ; MN − NC ; MN − PN ; BP − CP
uuuur uuur
uuuur
b/ Phân tích AM theo 2 vecto : MN & MP
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
5/Cho 6 điểm :A,B,C,D,E,F .CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD
VABC . Gọi M,N,Plà trung điểm AB;AC;BC.CMR với điểm O tùy ý ta có :
6/
uuur Cho
uuur uuur uuuu
r uuur uuur
OA + OB + OC = OM + ON + OP
uuur uuur uuur uuur uuur
7/ Cho ngũ giác ABCDE .CMR AB + BC + CD = AE − DE
8/Cho VABC có G là trọng tâm.Cho các điểm D.E.F là
điểm
I là giao điểm của
uurtrung
uuur uuu

r uuuBC;CA;AB.Gọi
r
r uuur r uuur
r uur
AD&EF .Đặt u = AE ; v = AF .Hãy phân tích các vecto AI ; AG; DE; DC theo vecto: uvà v ?
uuur uuur uuur uuur
9/ Cho hbh ABCD cmr : AB + 2 AC + AD = 3 AC
uuur uuur uuur uuur r
10/ Cho tứ giác ABCD .Xác định điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0
uuur uuur
uuuur
11/Cho VABC có trung tuyến AM . Phân tích AM theo 2 vectơ AB & AC
12/Cho VABC .Gọi M là
uuurtrung điểm AB và N thuộc AC : NA=2NC . gọi K là trung điểm MN . Phân tích
uuur
uuur
AK theo vecto AB và AC
uuur 1 uuur 2 uuur
1
13/Cho VABC .Điểm I trên cạnh AC sao cho CI= CA , Jlà điểm mà BJ = AC − AB
4
2
3
uur 3 uuur uuur
a/ CM BI = AC − AB
b/CM B,I,J thẳng hàng c/ Hãy dựng điểm thỏa ĐK bài toán
4
uuur uuur uuur
uuur uuur uuuur r
14/Cho VABC . a/Tìm điểm K sao cho KA + 2 KB = CB b/Tìm M: MA + MB + 2MC = 0

15/Cho VABC .Gọi A’là điểm đối xứng với B qua A; B ’ là điểm đối xứng với C qua B ;C ’là điểm đối xứng
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
vớiA qua C .CMR với điểm O bất kì ta có : OA + OB + OC = OA' + OB ' + OC '
16/Cho 2 hình bình hành chung đỉnh A :ABCD vàAB’C’D’.CMR :
uuur uuuur uuuur r
a/ BB ' + CC ' + DD ' = 0
b/ Hai tam giác ∆BC ' D và ∆B 'CD ' có cùng trọng tâm
17/Cho hinh binh hành ABCD tam O va M .
r
→
→
→
→
a/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
→

→

→

→

→

b/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO
18/ Cho hinh binh hanh ABCD co tam O va M, N la trung điem BC, CD.
r
→
→
→

a/ CMR : OA + OM + ON = 0
1 →
→
→
b/ CMR : AM = ( AD + 2 AB )
2
19/Cho hinh binh hanh ABCD co O la tam . Goi I la trung điem BC va G la trong tam VABC
→

→

→

a/ ChƯng minh : 2 AI = 2 AO + AB
→

→

→

→

b/ ChƯng minh : 3 DG = DA + DB + DC

CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT

GV BIÊN SOẠN HOA HOÀNG TUYÊN

Trang4

CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VÀ TRONG MẶT PHẲNG
1 Trục tọa độ
r
• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e .
r
Kí hiệu ( O; e ) .
r
r
r
• Toạ độ của vectơ trên trục: u = (a) ⇔ u = a.e .

uuur
r
• Toạ độ của điểm trên trục: M (k ) ⇔ OM = k .e .
uuur
• Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB = a ⇔ AB = a.er .
uuur
r
Chú ý:+ Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB .
uuur
r
+ Nếu AB ngược hướng với e thì AB = − AB .

+ Nếu A(a), B(b) thì AB = b − a .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB + BC = AC .
2. Hệ trục toạ độ
r r

• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j .
O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung. r
r
r
r
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y ) ⇔ u = x.i + y. j .
uuur
r
r
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y. j .
r
r
• Tính chất: Cho a = ( x; y ), b = ( x′; y′ ), k ∈ R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) :

r r  x = x′
r
r r
+ a=b⇔
+ a ± b = ( x ± x′ ; y ± y′ ) + ka = (kx; ky)
 y = y′
v
v
v
+ 0 =(0;0)
+ i = (1;0) + j = (0;1) +o(0;0) +M ∈ ox ⇔ M ( x;0)

+M ∈ oy ⇔ M (0; y )

r
x ′ y′

r r
+ b cùng phương với a ≠ 0 ⇔ ∃ k ∈ R: x′ = kx và y′ = ky .⇔
(nếu x ≠ 0, y ≠ 0).
=
x
y
uuur
+ AB = ( xB − x A ; yB − y A ) .
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI =
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG =

x A + xB

; yI =

2
x A + x B + xC
3

y A + yB
2

; yG =

.

y A + yB + yC

x − kxB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: x M = A

; yM =
1
−
k
uuur uuur
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔ MA = k MB ).

3
y A − kyB
1− k

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục tọa độ
Bài 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.

uuur

a) Tìm tọa độ của AB .
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn uuu
thẳng
r AB.
uuur r
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5MB = 0 .
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3NB = −1 .
Bài 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA − 2 MB = 1 .
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB .

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục tọa độ
GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN

Trang5

.
.


CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

r
r r r r 1r r r r r
a) a = 2i + 3 j ; b = i − 5 j ; c = 3i ; d = −2 j .
3
r
r
r
r 3r r
r r r
1r r r
r
b) a = i − 3 j ; b = i + j ; c = −i + j ; d = −4 j ; e = 3i .
2
2
r
r r r
Baøi 2. Viết dưới dạng u = xi + yj khi biết toạ độ của vectơ u là:
r
r
r
r
r

r
r
r
a) u = (2; −3); u = (−1; 4); u = (2; 0); u = (0; −1)
b) u = (1;3); u = (4; −1); u = (1; 0); u = (0; 0) .
r
r
Baøi 3. Cho a = (1; −2), b = (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:
r r
r r r r
r 1r
r r r r r r r
r r
a) x = a + b ; y = a − b ; z = 2a − 3b .
b) u = 3a − 2b; v = 2 + b; w = 4a − b .
2
r

1 r
r
Baøi 4. Cho a = (2; 0), b =  −1; ÷, c = (4; −6) .

2
r r r r
r r r r
a) Tìm toạ độ của vectơ d = 2a − 3b + 5c .
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma + b − nc = 0 .
r
r r
c) Biểu diễn vectơ c theo a , b .

Baøi 5. Cho hai điểm A(3; −5), B(1; 0) .
uuur
uuur
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC = −3 AB .
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Baøi 7. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
uuur uuur uuur
a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC .
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2 AB − 3 AC . d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2 BN − 4CN = 0 .
Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Baøi 9. Cho hai đỉnh của hình vuông là: (1; 2) ; (3; 5). Tìm hai đỉnh còn lại của hình vuông.
Bài 10. Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0). Xác định điểm D sao cho ABCD là hình thang cân đáy AB.
Bai11 Cho ∆ABC :A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 12. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 13. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
8 9
Bài 14. Tam giác ABC có A(1; 3) ; B(0; 1), trực tâm H ( ; ) . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam
5 5
giác ABC.
Baøi 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:

ÔN TẬP: HÌNH HỌC CHƯƠNG I LỚP 10
ĐỀ 1:
1.Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J là trung điểm của AC và BD . CMR :

uuur uuur uur
AB + CD = 2 IJ
uuur uuur uuur uuur
2.Cho bốn điểm A,B,C, D tuỳ ý . Chứng minh rằng : AB + CD = AD + CB
uuur 1 uuur 1 uuur
3. Cho tam giác ABC . Gọi G là trong tâm tam giác . CMR: AG = AB + AC
3
3
uuur 1 uuur 2 uuur
4.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: AM = AB + AC .
3
3
uuur uuur uuur uuur
5.Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 AC .
ĐỀ 2:

GV BIÊN SOẠN HOA HOÀNG TUYÊN

Trang6

CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

uuur uur uur uuur

uuur

Bài 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: 2( AB + AI + JA + DA) = 3DB .
Bài 2. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a)

uuur
2 uuur 4 uuur
AB = − CM − BN
3
3

b)

uuur
4 uuur 2 uuur
AC = − CM − BN
3
3

c)

Bài 3. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.

uuuur 1 uuur 1 uuur
MN = BN − CM .
3
3

uuur 2 uuur 1 uuur uuur
1 uuur uuur
AH = AC − AB và CH = − ( AB + AC ) .
3
3
3
uuuur 1 uuur 5 uuur
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH = AC − AB .
6
uuur r uuur r6
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB = a , AD = b . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân
uur uuur
r r
tích các vectơ BI , AG theo a , b .
a) Chứng minh:

ĐỀ3:
1.Cho ∆ ABC và một điểm M thỏa hệ thức

BM = 2MC

uuuur

a) CMR : AM =

b) Gọi BN là trung tuyến của ∆ ABC và I là trung điểm của BN.
CMR : i/ 2 MB + MA + MC = 4MI
ii/ AI + BM + CN = CI +
2.Cho ABC,
dựng uuu
cácrhìnhuuu
bình
uur
u
rhành
r ACMN; BCQP; ABRS.
uur
uuuu
r
uuu
r
a.)CMR: SR +PQ +MN =0
b). CMR: SN +MQ =RP
3.Cho ABC. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả

1
2
AB + AC
3
3

BN + AM

uur
uur uur

2 uur
IA = 2.IB , JA = − 3 JC .G là trọngTâm tam giác ABC

uuur uuur
uur
uu
r 2 uuur
uuu
r
a)CMR: IJ = AC −2AB
b)Tính IG theo . AB, AC c)CMR: IJ đi qua trọng tâm G.
5
4.Cho hình bình hành ABCD.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
a) Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 AC .
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM = AB + AC + AD .
ĐỀ 4:
Bài 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ.
uuuu
r
uuuu
r
uuuur
uuur
uur
1) Chứng minh rằng : M P + N Q = M Q + N P = 2EF
uuuur
uuuu
r

uuur
uuur
r
2) Xác định điểm G sao cho M G + N G + P G + Q G = 0
ur
r
r
ur
: Cho a = (2;1), b = (3; - 4), c = (- 7; 2) . Tìm tọa độ của x

Bài2

sao cho

ur
ur
r r
x + 2a = 5b - c

Bài 3 : Cho ba điểm A(-1;4), B(-3;-2),
uuuC(2;3).
r uuur
1) Tìm tọa độ của các vectơ

uuur
A B, C A, B C

2)
3)
4)

5)
6)

Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Tìm tọa độ trung điểm I của GA
Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 5 sao cho
ba điểm B, C, E thẳng hàng
ĐỀ 5:
Bài 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, M là trung điểm của BC.
uuur uuur
uuur
uuur uuur uuuur
a) Chứng minh GB + GC = 2GM
b) Phân tích vecto AG theo AB, AC
Bài 2. Cho A(1; 1), B(2; –1), C(-5; 9).
a) Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho B là điểm đối xứng của E qua A
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có tâm O.
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur
a. Chứng minh rằng : AB + CD = AD − BC .
b. Phân tích OA theo AB, AD .
Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của ∆ABC, Còn M là
trung điểm của BC
uuur uuuur
a. So sánh hai vec tơ HA, MO .

uuur uuur uuur

uuur

b. Chứng minh rằng : i) HA + HB + HC = 2 HO
c) Ba điểm O , H , G có thẳng hàng khơng ?

uuur uuur uuur uuur

ii) OA + OB + OC = OH
ĐỀ 6:

1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. M, N, K lần lượt là trung điểm AB, AC, BC.
GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN

Trang7

uuur uuur uuur

uuur

iii) OA + OB + OC = 3OG


CHUN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

uuuur

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

a. Chứng minh : GM + GN + GK = GA + GB + GC .
b. Biết A( -1 ; 0), B( 3 ; 3), C(-6 ; 0). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
c. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2.Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

uuur

uuur

uuur

uuur

uuur

a. AB + CD = AD + CB .

uuur

uuur

uuur

uuur

b. AB + CA + BD = AD − AC .

uuur

uuur uuur

uuur

3.Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB = 3MC , NA = 3CN ,

uur uuur r
PA + PB = 0 .

a .Tính

uuur uuur
PM , PN

theo

uuur uuur
AB, AC .

b. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

4. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).

a. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b. Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
ĐỀ 7:
Bài 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh : OA + OB + OC + OD = 0
c) Cho điểm P định bởi:

b) Chứng minh : 2 AO +

AB = 2 AI

3 AP + 8 AC = 11AB .Chứng minh ba điểm B,P,C thẳng hàng

Bài 2.Trong hệ trục tọa độ (O; i; j ) .Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Tính tọa độ

AB, AC .

b) Xác định tọa độ trung điểm I của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác ABC

c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Cho

x = 2i + (2m − 1) j , ( m là số thực).Tìm m để x và AC cùng phương

Bài 3.Cho tam giác ABC có AB=c ,BC=a ,AC=b và trọng tâm G .
Chứng minh : Nếu a. GA + b. GB + c. GC = 0 thì tam giác ABC đều
Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(2;-3),C(-2;1).
a)Tìm tọa dộ điểm N nằm trên đường thẳng y= 3x biết N thuộc đường thẳng AC.
uuur uuur uuur

b)Tìm hai số m và n thỏa hệ thức : m AB + n AC = BC
Bài 5: Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
ĐỀ SỐ 8

uuur uuur

uuur uuur

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. CMR : AB + AD = AB − AD

Bài 2. Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS.
uur uuur uuuur r
uuur uuuur uuur
a) CMR: SR + PQ + MN = 0
b) CMR: SN + MQ = RP

uur uuur uur

Bài 3. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả IB = BA , JA = −

uur 2 uuur uuur
AC − 2 AB
5

a) CMR: IJ =

uuur uuur

uur

b) Tính IG theo AB, AC

2 uuur
JC .
3

c) CMR : IJ đi qua trọng tâm G.

Bài 4: Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).

uuur uuur uuur
AB, AC , BC .
uuur uuur uuur
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2 AB − 3 AC .
a) Tìm toạ độ các vectơ

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

uuur

uuur

uuur r
=0.

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2 BN − 4CN
ĐỀ SỐ 9
Bài 1 Cho 2 điểm A(1;2) ,B(3;–4). Tìm tọa độ điểm C biết C là điểm đối xứng với A qua B.

Bài 2 Cho A(–1;2), B(3;5), C(m;2m+1). Xác định m để A,B,C thẳng hàng
Bài 3Cho A(3;7), B(1;0), C(–5;7). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 4 Cho ∆ABC.
uur uur uur r
uuur uuur r
a) Xác định điểm I sao cho: IA + 3IB − 2IC = 0 .
b) Xác định điểm D sao cho: 3DB − 2 DC = 0 .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
MA + 3MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC .

Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
trung điểm của MN. Chứng minh:
a)

uuur 1 uuur 1 uuur
AK = AB + AC
4
6

b)

uuur 1 uuur 1 uuur
KD = AB + AC .
4
3

CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT.
GV BIÊN SOẠN HOA HỒNG TUN

Trang8

uuur uuur
CN = 2 NA . K là


CHUYÊN ĐỀ VECTƠ LỚP 10

GV BIÊN SOẠN HOA HOÀNG TUYÊN

Trang9