Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Dự Tuyển Giảng Viên Đại Học Vinh

Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

MỤC LỤC

Môn : Sức bền vật liệu F1

1

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bµi 1 : hîp lùc cña néi lùc vµ biÓu ®å néi lùc
1.1. hîp lùc cña néi lùc trªn tiÕt diÖn – øng lùc
1.1.1. Khái niệm nội lực:

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình
dáng nhất định. Khi có nguyên nhân ngoài (ví dụ ngoại lực) tác dụng, vật thể bị biến
dạng, lực liên kết thay đổi để chống lại biến dạng do ngoại lực gây ra. Lượng thay đổi
của lực liên kết gọi là nội lực .

H×nh 1-1. Ngoại lực tác động sinh ra nội lực
1.1.2. Khái niệm ứng suất:

Bây giờ chung quanh K (trên mặt cắt thuộc phần A như Hình 1-2a) ta lấy một phân tố
diện tích vô cùng bé ∆F , hợp lực của nội lực tác dụng lên ∆ F là ∆P

Môn : Sức bền vật liệu F1

2

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phần:
+

Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, kí hiệu σ .

+

Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu τ .

2
2
Như vậy: p = σ + τ (p : độ lớn của ứng suất tại K).

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân thành
hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó.
+

Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài n

của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén).

+

Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một
góc 90° cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( n , τ )) thì chiều của
pháp tuyến đó trùng với chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được
coi là âm .

H×nh 1-2. Quy ước chiều của ứng suất
1.1.3. Các thành phần nội lực:

Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang.
Sự thu gọn đó cho một lực R và một mômen M. Nói chung R và M có phương chiều bất
kỳ trong không gian. Để tính toán ta phân R ra thành ba thành phần (ta thường chọn
Oxyz sao cho Ox,Oy nằm trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống, Oz trùng trục thanh)
Môn : Sức bền vật liệu F1

3

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 1-3. Quy ước hệ trục tọa độ Oxyz
+

Thành phần nằm trên trục z gọi là lực dọc và kí hiệu Nz.

+

Thành phần nằm trên trục x, y gọi là các lực cắt và kí hiệu Qx , Qy.

Ta cùng phân M ra ba thành phần .
+

Các thành phần quay quanh trục x và y gọi là các mômen uốn và kí hiệu Mx ,
My.

+

Thành phần quay quanh trục z gọi là mômen xoắn và kí hiệu Mz.

Nz , Qx , Qy , Mx , My , Mz là sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng
được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:

Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực: Các thành phần nội
τ dF , τ zy dF . Lấy vi phân
lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là σ z dF , zx
các nội lực này trên toàn diện tích mặt cắt ngang F chính là các thành phần nội lực.
Do đó:

Môn : Sức bền vật liệu F1

4

Vũ Mạnh Thân

Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

1.2. BiÓu ®å néi lùc
1.1.1. Phương pháp mặt cắt

Để xác định nội lực trên mặt cắt ngang chứa điểm K của vật thể chịu lực như hình vẽ
(Hình 1.1b) ta dùng phương pháp mặt cắt (ppmc) như sau: Tưởng tượng dùng mặt phẳng
( π ) qua K và thẳng góc với trục thanh, cắt vật thể ra hai phần (A) và (B). Xét sự cân
bằng của một phần. Ví dụ phần (A):
Phần (A) được cân bằng là nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên phần (A). Nội lực
này phân bố trên diện tích mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân bằng với các
ngoại lực thuộc phần đang xét (A).
1.2.2. Bài toán phẳng – Biểu đồ nội lực:

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh. Hoành
độ trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị
nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng. Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác
định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn
nhất.
Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng
(yOz) thì hợp lực nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó: ta có bài toán phẳng.
+

Các thành phần nội lực: Chỉ có ba thành phần Nz , Mx , Qy nằm trong mặt
phẳng yOz.

+

Quy ước dấu : Quy ước dương của nội lực trong bài toán phẳng như trên hình
vẽ (Hình 2-4b) và (Hình 2-4c).
 Nz > 0 Khi có chiều hướng ra mặt cắt.
 Qy > 0 Khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim

đồng hồ (hoặc dấu của Qy giống dấu của τ )

 Mx > 0 Khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới) và ngược lại

các nội lực âm.

H×nh 1-4. Quy ước dấu của nội lực

Môn : Sức bền vật liệu F1

5

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Ví dụ : Vẽ biểu đồ nội lực Mx, Qy của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 2-5).

H×nh 1-5. Sơ đồ dầm mút thừa

Bài giải:
a) Tính các phản lực: Sử dụng các phương trình cân bằng:

∑Z = 0 ⇔ H

A

=0

2l
+ P.3l − M − VB .2l = 0 ⇔ 2ql 2 + 3ql 2 − ql 2 − VB .2l = 0 ⇔ VB = 2ql
2
∑ Y = 0 ⇔ P + q.2l − VA − VB = 0 ⇔ ql + 2ql − VA − 2ql = 0 ⇔ V A = ql

∑m

A

= 0 ⇔ q.2l.

Kiểm tra có được:

∑m

C

= V Al + P.2l − M − VB l = ql 2 + 2ql 2 − ql 2 − 2ql 2 = 0

b) Tính nội lực: Sử dụng phương pháp mặt cắt:

Chọn A là gốc tọa độ (0 ≤ z ≤ 3l)
Trên AC: Tưởng tượng mặt cắt ngang 1-1 đi qua trọng tâm O (0 ≤ z ≤ l) chia dầm ra 2
phần và xét cân bằng phần AO:

H×nh 1-6. Cân bằng phần AO
+

Các phương trình cần bằng:

∑Z = 0 ⇔ N − H = 0 ⇔ N = 0
∑ Y = 0 ⇔ qz + Q − V = 0 ⇔ qz + Q
Z

A

y

Z

A

y

− ql = 0 ⇔ Q y = q(l − z )

z
qz 2
1
∑ m A = 0 ⇔ q.z. 2 + Q y .z − M x = 0 ⇔ 2 + qz(l − z ) − M x = 0 ⇔ M x = − 2 qz 2 + ql.z
+

Tại gốc A (z=0):

Môn : Sức bền vật liệu F1

Q y = ql M x = 0
,
6

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

+

Ngành: Cầu – Đường

1 2
Q y = 0 M x = 2 ql
Tại C (z=l):
,

Trên CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2 đi qua trọng tâm O (l ≤ z ≤ 2l) chia dầm ra
2 phần và xét cân bằng phần ACO:

H×nh 1-7. Cân bằng phần ACO
+

Các phương trình cần bằng:

∑Z = 0 ⇔ N − H = 0 ⇔ N = 0
∑ Y = 0 ⇔ qz + Q − V = 0 ⇔ qz + Q
Z

A

y

Z

A

y

− ql = 0 ⇔ Q y = q(l − z )

z
qz 2
m
=
0
⇔
q
.
z
.
+
Q
.

z
−
M
−
M
=
0
⇔
+ qz (l − z ) − ql 2 − M x = 0
∑ A
y
x
2
2

1
⇔ M x = − qz 2 + ql.z − ql 2
2
+

1 2
M
=
−
ql
x
Q =0
2
Tại C (z=l): y
,

+

Tại B (z=2l):

Q y = −ql M x = − ql 2
,

Trên BD: Tưởng tượng mặt cắt ngang 3-3 đi qua trọng tâm O (2l ≤ z ≤ 3l) chia dầm ra
2 phần và xét cân bằng phần OD:

H×nh 1-8. Cân bằng phần OD
+

Các phương trình cần bằng:

∑Z = 0 ⇔ N = 0
∑ Y = 0 ⇔ P − Q = 0 ⇔ Q = ql
∑ m = 0 ⇔ Q .( 3l − z) + M = 0 ⇔ M
Z

y

D

y

Môn : Sức bền vật liệu F1

y

x

7

x

= −ql (3l − z )
Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

+

Tại B (z=2l):

Q y = ql M x = − ql 2
,

+

Tại D (z=3l):

Q y = ql M x = 0
,

Ta vẽ được biểu đồ mômen Mx và lực cắt Qy như hình vẽ (Hình 2-9):

H×nh 1-9. Biểu đồ nội lực

Các nhận xét :
+

Trên những đoạn thanh :
 q = 0 => biểu đồ Qy là đường thẳng song song với trục hoành => Biểu

đồ Mx là đường bậc 1.
 q = const => Qy bậc 1 và Mx bậc 2.
+

Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0.

+

Bề lõm của Mx hứng mũi tên lực phân bố q.

+

Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mômen tập trung ) thì tại
những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước nhảy và độ lớn
bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại các điểm
ấy .

Môn : Sức bền vật liệu F1

8

Vũ Mạnh Thân


Bi ging th vic

Ngnh: Cu ng

Bài 2 : quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI
trọng ngang trong thanh thẳng
2.1. quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng ngang trong
thanh thẳng
2.1.1. Quan h vi phõn gia ti trng phõn b vi lc ct v mụmen un trong thanh

thng:
Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các thành
phần nội lực trên hai mặt cắt nh hình vẽ (Hình 2-1).
Quy ớc: chiều dơng trục Oz hớng sang phải, q(z) > 0 khi hớng lên nh hình vẽ (Hình
2-1).

Hình 2-1. on thanh vi phõn dz chu ti trng phõn b

Y = 0 Q + (Q
y



dQ y
dz

m

O

= q(z )

y

+ dQ y ) q( z )dz = 0

(1.1)

1
2
= 0 M x + ( M x + dM x ) Q y dz q( z )( dz ) = 0
2

Bỏ qua lợng VCB bậc 2

Từ (1.1) và (1.2)





dM x
= Qy
dz

(1.2)

d 2M x
= qz
dz 2

Kt lun : o hm ca lc ct ti mt im bng cng ti trng phõn b theo
chiu di ti im ú, o hm ca mụmen un ti mt im bng lc ct ti im ú,
cũn o hm bc hai ca mụmen un bng cng ti trng phõn b theo chiu di.
T kt lun trờn ta suy ra cỏc kt qu:
+

V mt hỡnh hc, lc ct ti mt tit din chớnh bng dc ca tip tuyn vi
biu mụmen un ti ú v cng ti trng phõn b theo chiu di l

Mụn : Sc bn vt liu F1

9

V Mnh Thõn


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt.
+

Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc
của q(z) một bậc và bậc của hàm số mômen uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt
một bậc.

2.1.2. Quan hệ giữa tải trọng tập trung với độ dốc bước nhảy trên biểu đồ lực cắt và

biểu đồ mômen uốn trong thanh thẳng:

H×nh 2-2. Đoạn thanh vi phân dz chịu tải trọng tập trung

Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu PO và MO, các thành phần nội lực trên hai
mặt cắt như hình vẽ (Hình 2-2).
Quy ước: chiều dương trục Oz hướng sang phải, PO > 0 khi hướng lên, MO > 0 khi có
chiều quay theo chiều kim đồng hồ như hình vẽ (Hình 2-2).

∑ Y = 0 ⇒ −Q
⇒ ∆Q y = PO

∑m

O4

y

− PO + ( Q y + ∆Q y ) = 0

(1.3)

= 0 ⇒ − M x − Q y dz − PO

dz
− M O + ( M x + ∆M x ) = 0
2

dz
Q y dz PO 2 ⇒ ∆M x = M O
Bỏ qua các lượng VCB :
,

(1.4)

Ta đã chứng minh được nhận xét: “Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc
mômen tập trung ) thì tại những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước
nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại
các điểm ấy.”
2.2. C¸ch vÏ biÓu ®å theo nhËn xÐt
• Khái niệm :

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh. Hoành độ
trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị
nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng. Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác
Môn : Sức bền vật liệu F1

10

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn

nhất.
•

Các tính chất:
+

Với biểu đồ lực cắt (QY) và biểu đồ lực dọc trục (Nz): tung độ dương của biểu
đồ được biểu diễn về phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ .

+

Với biểu đồ mômen uốn (Mx): tung độ dương (Mx > 0) được đặt phía y > 0 và
ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0 .

Như vậy nhìn vào biểu đồ momen uốn (Mx) ta biết ngay các thớ dọc của thanh chịu
căng ở phía có đặt tung độ Mx.
•

Các nhận xét :
+

Trên những đoạn thanh :
 q = 0 => biểu đồ Qy là đường thẳng song song với trục hoành => Biểu

đồ Mx là đường bậc 1.
 q = const => Qy bậc 1 và Mx bậc 2.
+

Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0.

+

Bề lõm của Mx hứng mũi tên lực phân bố q.

+

Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mômen tập trung ) thì tại
những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước nhảy và độ lớn
bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại các điểm
ấy .

Ta có thể sử dụng các liên hệ vi phân hoặc tính chất và các nhận xét để: Vẽ và kiểm tra
biểu đồ nội lực nhanh chóng.
Ví dụ 1 : Vẽ biểu đồ nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 2-3).

H×nh 2-3. Sơ đồ nhịp dầm console

Môn : Sức bền vật liệu F1

11

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Kiểm tra:
+

Tại A: Qy = 0 => tiếp tuyến với biểu đồ Mx tại đây nằm ngang . Ngoài ra vì
đạo hàm bậc hai của Mx (tức là q) âm nên bề lõm của biểu đồ Mx hướng về phía
Mx < 0 (hướng lên trên).

+

Tại B: có lực tập trung P = qa nên biểu đồ lực cắt Qy tại B có bước nhảy và độ
lớn bằng qa.

+

Tại C: có mômen tập trung qa2 quay theo chiều kim đồng hồ nên biểu đồ
mômen uốn Mx tại đó có bước nhảy từ trái sang phải bằng chính qa2.

Ví dụ 2 : Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q của khung phẳng như hình vẽ (Hình 2-4).

H×nh 2-4. Sơ đồ khung phẳng

1
QCBC = 0; M CBC = − qa 2
2
(căng các thớ trên)

Cuối cùng vẽ được biểu đồ M, N, Q như hình vẽ (Hình 2-5).
Môn : Sức bền vật liệu F1

12

Vũ Mạnh Thân

Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 2-5. Các biểu đồ nội lực

Môn : Sức bền vật liệu F1

13

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bµi 3 : øng suÊt trªn tiÕt diÖn vµ biÕn d¹ng
cña thanh
3.1. øng suÊt trªn tiÕt diÖn
3.1.1. Quan sát biến dạng:

Kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các thớ
dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các mặt cắt ngang), chúng
tạo thành lưới ô vuông . Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô vuông trở thành
lưới ô chữ nhật như hình vẽ (Hình 3-1).

H×nh 3-1. Biến dạng thanh bị kéo

3.1.2. Các giả thuyết:

Căn cứ vào sự quan sát biên dạng trên, ngoài ba giả thuyết cơ bản của môn SBVL ở
chương mở đầu, và trong phần này người ta đưa ra hai giả thuyết nữa:
+

Giả thuyết 1 về mặt cắt ngang: Trước và sau biến dạng, các mặt cắt ngang luôn
luôn phẳng và vuông góc với trục thanh.

+

Giả thuyết 2 về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép và
đẩy nhau.

3.1.3. Công thức tính ứng suất:

Xét mặt cắt ngang bất kỳ, chọn hệ trục Oxyz, O là trọng tâm mặt cắt ngang. Nội lực
chỉ có Nz , tách tại điểm A bất kỳ thuộc mặt cắt ngang một phân tố hình hộp bé.

H×nh 3-2. Mặt cắt ngang một phân tố hình hộp bé

Dựa vào giả thuyết 1 thì trên mặt căt ngang chỉ có ứng suât pháp mà không có ứng
suất tiếp, thật vậy nếu có ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang sẽ bị vênh không còn phẳng và
vuông góc trục thanh nữa (trái với giả thuyết 1).
Dựa vào giả thuyết 2 trên các mặt cắt dọc không có ứng suất nào cả.Vậy trong
Môn : Sức bền vật liệu F1

14

Vũ Mạnh Thân

Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σ z thôi. Nội lực
tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là : σ z dF. Và tổng nội lực này trên toàn
diện tích F của mặt cắt ngang là:
N z = ∫ σ z dF
F

(3.1)

Ta xét thêm điều kiện biến dạng : xét phân tố chiều dài dz . Giả sử cố định mặt cắt 11 thì khi có Nz tác dụng mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2'. Do giả thuyết 1 nên mọi điểm
thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc với trục thanh nên mọi thớ dọc đều dãn dài như nhau và
bằng δ ( dz ) .
⇒ Biến dạng tỷ đối:

εz =

Theo định luật Hooke:

δ ( dz )
= const
dz

εz =

σz

E

(3.2)

(3.3)

Với E : hằng số tỉ lệ gọi là mođuyn đàn hồi.
Khi kéo (nén ), E tùy thuộc vào mỗi loại vật liệu và có thứ nguyên [ lực / (chiều
dài)2].
Đơn vị thường dùng MPa, kN/cm2, N/mm2,... E xác định được bằng thí nghiệm.

Từ (3.2) và (3.3) ⇒ σ z = E.ε z = const đối với mọi điểm trên cùng một mặt cắt ngang.
Và từ (3.1) ⇒

N z = σ z ∫ dF = σ z F
F

⇒

σz =

Nz
F

(3.4)

Với F: diện tích mặt cắt ngang, dấu của σ z giống như dấu của Nz (Nz > 0 khi chiều
dương hướng ra mặt cắt và ngược lại Nz < 0 khi chiều dương hướng vào mặt cắt).
Vậy trong kéo (nén) đúng tâm, trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố đều.
3.2. biÕn d¹ng cña thanh

3.2.1. Biến dạng dọc:

Ta đã có biến dạng của dz là : δ ( dz ) = ε z dz
Môn : Sức bền vật liệu F1

15

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Vậy độ biến dạng dài tuyệt đối của đoạn 1 là:
Hay:

σz
( dz ) = ∫ N z ( dz )
E
EF
l
l

∆l = ∫

∆l = ∫ δ ( dz ) = ∫ ε z ( dz )
l

l

(3.5)

Nếu trên suốt l: E = const, F = const, Nz = const

⇒ ∆l =

N zl
EF

(3.6)

Trường hợp thanh có nhiều đoạn li và: Ei = const, Fi = const, Nzi = const trên suốt
chiều dài li
n

⇒ ∆l = ∑
i =1

N zi li
Ei Fi

(3.7)

Tích số EF : gọi là độ cứng của thanh khi kéo hay nén đúng tâm.
z

Tương tự biến dạng dọc của một đoạn chiều dài z là:

δ =∫

0

Nz
dz
EF

(3.8)

3.2.2. Biến dạng ngang:

Ta nhận thấy rằng khi thanh chịu kéo, chiều dài của nó dãn ra, còn bề ngang thì co
lại, trái lại khi thanh chịu nén thì chiều dài của nó co lại, chiều ngang phình ra.
Như vậy khi kéo, nén thì phương ngang cũng bị biến dạng. Giữa biến dạng ngang tỷ
ε
ε
đối ng và biến dạng dọc tỷ đối d có mối liên hệ :

ε ng = − µε d
Với: µ là hệ số Poisson xác định được bằng thí nghiệm. µ phụ thuộc vào từng vật
liệu và µ = 0 ÷ 0,5
Dấu: – ở trên chứng tỏ

ε ng

luôn luôn ngược dấu với

εd .

Giá trị hệ số Poisson µ của một số vật liệu như sau:

Ví dụ : Vẽ biểu đồ lực dọc Nz , tính ứng suất, biến dạng toàn phần của thanh. Vẽ
biểu đồ biến dạng (chuyển vị) của thanh chịu lực như hình vẽ (Hình 3-3a). Biết E =
2.104 kN/cm2, F = 1 cm2.
Bài giải:

Môn : Sức bền vật liệu F1

16

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 3-3. Thanh chịu lực dọc trục
a) Vẽ Nz :Dùng phương pháp mặt cắt : 1-1, 2-2, 3-3 và có xét cân bằng phần trên có

N1, N2, N3.

b) Tính ứng suất:

c) Biến dạng toàn phần:

d) Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị):

Biểu đồ biến dạng diễn tả sự biến dạng của mặt cắt ngang theo vị trí của chúng đối
với một gốc cố định nào đấy. Ơ đây gốc là đầu ngàm và tính từ ngàm ra với công thức:

Môn : Sức bền vật liệu F1

17

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Môn : Sức bền vật liệu F1

Ngành: Cầu – Đường

18

Vũ Mạnh Thân


Bi ging th vic

Ngnh: Cu ng

Bài 4 : ứng suất trên mặt cắt nghiêng, thế
năng biến dạng đàn hồi và bài toán siêu tĩnh
4.1. ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Gi s ti K ta tỏch ra khi vt th n hi chu lc mt phõn t cú cỏc mt song
song vi cỏc mt phng ca h ta , trong ú mt vuụng gúc vi trc Oz l mt mt
chớnh khụng cú ng sut chớnh. Cũn cỏc mt kia l bt k nờn cú cỏc thnh phn ng
sut. Ta ký hiu cỏc ng sut ú nh sau:

+
+


ng sut phỏp
cú kốm theo mt ch s, ch s ny biu din phng ca
phỏp tuyn ca mt ct cú ng sut tỏc dng.
ng sut tip ch cú hai ch s: ch s th 1 ch phng ca phỏp tuyn ca mt
ct cú ng sut tip tỏc dng, ch s th 2 biu din phng song song vi ng
sut tip

Vớ d :

xy

l ng sut tip trờn mt ct cú phỏp tuyn x v

xy

// trc y.

Hình 4-1. ng sut phỏp v ng sut tip ca trng thỏi ng sut phng



Gi s ó bit: x , y v xy , bõy gi ta thit lp cụng thc tớnh ng sut phỏp v
tip trờn mt ct nghiờng bt k song song vi Oz
.

Tng tng ct phõn t bi mt mt ct (R) cú phỏp tuyn u lm vi trc x mt gúc

Mt (R) // Oz, mt ny ct phõn t ra hai phn (A) v (B).


Gi s xột cõn bng phn (A). Gi u , uv tỏc dng trờn mt ct nghiờng ( ). Ta xột
cỏc lc tỏc dng trờn cỏc mt ca phn (A). Gi cỏc cnh ln lt l dx, dy, dz, ds.
Trờn din tớch dy.dz cú cỏc hp lc

x dydz v xy dydz.

Trờn din tớch dx.dz cú cỏc hp lc

y

Trờn din tớch dz.ds cú cỏc hp lc

u dzds v uv dzds.

Mụn : Sc bn vt liu F1

dxdz v

19

yx

dxdz.

V Mnh Thõn

Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

ds =

Ngoài ra còn có:

dy
dx
=
cos α sin α

H×nh 4-2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt α

∑m

O'

= 0 ⇒ τ xy dydz

dx
dy
− τ yx dzdx
=0
2
2

⇒ τ xy = τ yx

(4.1)

Gọi là định luật đổi ứng của ứng suất tiếp trẽn hai mặt cắt vuông góc nhau.

∑U = 0 ⇒ σ
∑V = 0 ⇒ τ

u

uv

=
=

σx +σ y σx −σ y
+
cos 2α − τ xy sin 2α
2
2

σ x −σ y
sin 2α + τ xy cos 2α
2

(4.2)

(4.3)

Công thức (5.2) và (5.3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các
mặt cắt nghiêng ( α ) song song với một phương chính không có ứng suất.

Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng ( β ) với:

β =α +

σx +σ y σx −σ y
−
cos 2β − τ xy sin 2β
2
2
π
β =α +
2
Thay :
σ x +σ y σ x −σ y
⇒σv =
+
cos 2α + τ xy sin 2α
2
2
(4.4)
σ u + σ v = σ x + σ y = const

π
2

⇒ σv =

Lấy: (5.2) + (5.4) vế theo vế có:

(4.5)

Đẳng thức (5.5) gọi là định luật bất biến của ứng suất pháp trên hai mặt cắtvuông góc
nhau.
Ví dụ : Một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng chịu ứng suất như vẽ (Hình 4.3).
0
Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc α = 45 so với trục x.

Môn : Sức bền vật liệu F1

20

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

Bài giải:

H×nh 4-3. Bài toán ứng
suất trên mặt cắt nghiêng

4.2. ThÕ n¨ng biÕn d¹ng ®µn håi

Giả sử có một thanh bị kéo hay nén trong giới hạn đàn hồi. Thanh bị biến dạng, do
đó lực đặt vào thanh tạo ra một công, và thanh tích luỹ một năng lượng gọi là thế năng
biến dạng đàn hồi. Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể lại trở vể hình dạng và kích
thước cũ.
Thí dụ thanh bị kéo bởi một lực P, và có biến dạng ∆l . Trong quá trình lực tăng từ 0

đến P, lực kéo tạo ra công A nó tích luỹ vào thanh dưới dạng thế năng U, tức là ta có:
U = A (4.6)
Trong quá trình kéo đến giá trị P1
tương ứng với biến dạng ∆l1 , nếu ta
tăng thêm dP1 thì biến dạng tăng thêm
d ∆l1 (Hình 4-4). Khi đó P1 tạo ra một
công nguyên tố:
dA = P1d ∆l1
Trên đồ thị, công nguyên tố dA
H×nh 4-4

biếu thị bàng nguyên tố diện tích dΩ .

Do đó công toàn bộ tương ứng với lực P và biến dạng ∆l được biểu thị bằng diện tích Ω
của tam giác OAB giới hạn bởi đường thẳng OA trục hoành và bằng:
1
P∆l
U=A= 2
Thay:

∆l =

(4.7)

N zl
EF có được:
U=

N z2 l
2 EF

(4.8)

Suy rộng công thức này cho trường hợp thanh có nhiều đoạn độ cứng và nội lực
Môn : Sức bền vật liệu F1

21

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

không đổi, hoặc trường hợp thanh có độ cứng và nội lực thay đổi liên tục, ta có:
U=

1 n N zi2 li
∑
2 i =1 EFi

(4.9)

l

1 N 2 dz
U= ∫ z
2 0 EF

(4.10)

Ví dụ : Tính chuyển vị thẳng đứng đầu A của hệ thanh ABC bằng cách áp dụng quan
hệ về năng lượng (Hình 4-5).
Nội lực trên các thanh AB và AC bằng:

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ thanh:
2
N zAC
.a
2
N .a
P 2a
1 
1 
U = zAB + cos α =
.
1 +

2
2 EF
2 EF
2 EF tan α  cos 3 α 

H×nh 4-5

Đặt ∆ là chuyển vị thẳng đứng do lực P thì công của ngoại lực bằng:
A=

P∆

2

Vì A = U nên ta có:
∆=

Pa
1 
1 
.
1 +

2
EF tan α  cos 3 α 

4.3. Bµi to¸n siªu tÜnh

Bài toán tĩnh định: Khi tìm các ẩn như phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang... Chỉ
cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập thôi, thì ta gọi đó là bài toán tĩnh
định .
Số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập = số ẩn
Bài toán siêu tĩnh: là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học
độc lập thì sẽ không giải được tất cả các phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang, (số ẩn lớn
hơn số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập)
Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số - số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập
Cách giải bài toán siêu tĩnh bậc n: Ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học độc
lập ta phải lập thêm n phương trình biến dạng nữa.
Ví dụ 1: Xác định phản lực tại A,B (Hình 4.6a)
Môn : Sức bền vật liệu F1

22

Vũ Mạnh Thân


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

H×nh 4-6. Sơ đồ bài toán siêu tĩnh 2

Ví dụ 2: Tìm ứng suất trong thanh (1) và (2) (2 thanh cùng vật liệu và có F1 = F2 =
12cm2). Giả sử AD tuyệt đối cứng . ( Hình 4.7a )
Bài giải:

H×nh 4-7. Sơ đồ bài toán siêu tĩnh 2

Môn : Sức bền vật liệu F1

23

Vũ Mạnh Thân


Bi ging th vic

Ngnh: Cu ng

Bài 5 : Trạng tháI ứng suất
5.1. các định nghĩa về trạng tháI ứng suất
5.1.1. Khỏi nim trng thỏi ng sut:

Trng thỏi ng sut ti mt im l trng thỏi chu lc ca im ang xột, c c
trng bi tp hp cỏc giỏ tr ng sut phỏp v ng sut tip trờn nhng mt ct vụ cựng
bộ (VCB) khỏc nhau i qua im ú.

Hình 5-1. ng sut trờn nhng mt vụ cung bộ ang xột

xỏc nh ng sut ti mt im trong vt th n hi, ta tỏch riờng ra mt hỡnh
hp cú kớch thc vụ cựng bộ VCB (gi l phõn t) bao quanh im ú. Chỳ ý rng cỏc
cnh ca phõn t l VCB nờn ta cú th coi phõn t l dim ang xột v ng sut trờn cỏc
mt ca phõn t c xem nh ng sut trờn cỏc mt i qua im ú. Trong lý thuyt
n hi ngi ta ó chng minh c rng: "Ti mt im bt k thuc vt th n hi
chu lc, ta luụn luụn cú th tỏch ra c mt phõn t sao cho trờn cỏc mt ca nú ch cú
cỏc ng sut phỏp m khụng cú ng sut tip ( = 0 )". Phõn t ú c coi l phõn t
chớnh, cỏc mt ca phõn t gi l cỏc mt chớnh, cỏc ng sut phỏp trờn cỏc mt gi l
cỏc ng sut chớnh, phng phỏp tuyn ca cỏc mt gi l phng chớnh.
Mt phõn t hỡnh hp cú sỏu mt, nh vy núi chung cú
sỏu thnh phn ng sut chớnh. Nhng do iu kin cõn
bng, cỏc mt i din cú cỏc thnh phn ng sut chớnh
bng nhau v tr s v ngc chiu nhau, do ú ch cú ba

ng sut chớnh. Ta ký hiu cỏc ng sut chớnh 1 , 2 , 3
2 3 (so sỏnh nh s thc)
vi th t quy c 1
Hình 5-2. ng sut chớnh


Vớ d : 1 = 2kN/cm2 ; 2 = 3 kN/cm2; 3 =-10 kN/cm2.

5.1.2. Phõn loi trng thỏi ng sut:

Cn c vo cỏc ng sut chớnh trờn mt phõn t chớnh ta phõn ra ba loi trng thỏi
ng sut.
+

Trng thỏi ng sut n: Trờn phõn t chớnh ch cú mt ng sut chớnh khỏc
khụng v hai ng sut chớnh khỏc bng khụng. ú l trng hp thanh chu kộo
(hay nộn) ỳng tõm.

Mụn : Sc bn vt liu F1

24

V Mnh Thõn


Bài giảng thử việc

Ngành: Cầu – Đường

+

Trạng thái ứng suất Phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác
không và một ứng suắt chính bằng không.

+

Trạng thái ứng suất Khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác
không

Trong giáo trình sức bền vật liệu chỉ quan tâm đến trạng ĩhái ứng suất phẳng. Từ đó
có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn.
Còn trạng thái ứng suất khối được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi.

H×nh 5-3. Ba trạng thái ứng suất

5.2. Tr¹ng th¸I øng suÊt ph¼ng
5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng:

Giả sử tại K ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song
song với các mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt
chính không có ứng suất chính. Còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng
suất. Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau:
+
+

σ
Ứng suất pháp
có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của
pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng.
Ứng suất tiếp chỉ có hai chỉ số: chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt
cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng
suất tiếp

Ví dụ :

τ xy

là ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp tuyến x và

τ xy

// trục y.

H×nh 5-4. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp của trạng thái ứng suất phẳng

Giả sử đã biết:

σ x , σ y và τ xy , bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và

Môn : Sức bền vật liệu F1

25

Vũ Mạnh Thân