Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở tiểu học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẪN THỊ HẰNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO
VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Hà Nội - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

MẪN THỊ HẰNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO
VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học. TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013


Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa
Giáo dục Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp
đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt
nghiệp. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn
Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em
hoàn thành tốt khóa luận này.
Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận
không tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định. Em
xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các giảng viên và các
bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Mẫn Thị Hằng


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp “Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu
học” được hoàn thành theo quan điểm riêng của tác giả và sự định
hướng của người hướng dẫn, không trùng với bất kì khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Mẫn Thị Hằng

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học. . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Một số khái niệm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Một số dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1. Mục đích của việc bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2. Các biểu hiện của học sinh giỏi Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Các dạng toán về phép chia ở Tiểu học . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

10

Chương 2. Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu
học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1. Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự nhiên . . . . . . .

12

2.1.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết của
một số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1


2.3. Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một
hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4. Các bài toán về phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.5. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài

toán có lời văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.6. Bài toán chứng minh, giải thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.6.1. Kiến thức cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.6.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.6.3. Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Mỗi môn học ở bậc Tiểu học đều góp phần rất quan trọng vào việc hình
thành và phát triển nhân cách của trẻ em. Trong đó, môn Toán có vị trí
và ý nghĩa quan trọng, góp phần không nhỏ trong việc hình thành cho
học sinh một phương pháp tư duy riêng biệt để nhận thức thế giới và
cũng hỗ trợ cho việc học tập các môn học khác được tốt hơn.
Các kiến thức và kĩ năng số học có thể nói là trọng tâm và đồng thời
cũng là hạt nhân của môn Toán thuộc bậc Tiểu học. Các kiến thức khác
đều gắn chặt và phát triển song song cùng với sự phát triển của hệ thống
kiến thức về số học. Trong nội dung của số học có các phép toán căn
bản: cộng, trừ, nhân và chia.
Một trong bốn phép tính đó là phép chia. Nó góp một phần quan trọng
trong việc phát triển kỹ năng và tư duy toán học cho học sinh bậc Tiểu
học. Phép chia bắt đầu xuất hiện từ lớp 2 và đến lớp 4 thì các dấu hiệu
chia hết về căn bản lần lượt được giới thiệu cho học sinh. Việc dạy các
kiến thức về phép chia ở Tiểu học là một vấn đề khá phức tạp nên các

em chỉ được trang bị những kiến thức căn bản nhất. Tuy nhiên, việc
nâng cao phần kiến thức này lại có tầm quan trọng trong việc nâng cao
năng lực tư duy cho các em học sinh khá, giỏi. Được sự định hướng của
TS. Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài “Một số dạng toán nâng cao

3


về phép chia ở Tiểu học” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục khóa luận
thành hai chương
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kiến thức chuẩn
bị cần thiết cho mục đích của khóa luận. Đó là một số kiến thức cơ bản
về phép chia ở Tiểu học; các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học; lí
thuyết về việc bồi dưỡng học sinh giỏi; các dạng toán về phép chia ở
Tiểu học.
Chương 2. Đây là phần chính của khóa luận, chúng tôi trình bày một
số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu học.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại các dạng bài tập và xây dựng các dạng toán về phép chia hết
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở Tiểu học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán về phép chia hết trong chương trình môn Toán
ở Tiểu học.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.

4


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học
1.1.1. Một số khái niệm đơn giản
Ở Tiểu học, ngay từ lớp 2 học sinh đã được học về bảng nhân, bảng chia.
Trước tiên, học sinh được học giới thiệu về phép nhân và được học các
bảng nhân 2, 3, 4, 5. Sau khi học bảng nhân 2, 3, 4, 5 thì học sinh được
giới thiệu về phép chia và được học bảng chia 2, 3, 4, 5. Học sinh được
tiếp nhận những khái niệm ban đầu về phép chia. Phép chia chính là
phép toán ngược của phép nhân.
Ví dụ
3 × 7 = 21

5 × 6 = 30

21 : 3 = 7

30 : 5 = 6

21 : 7 = 3

30 : 6 = 5

Đến đầu kì I của lớp 3, học sinh được học bảng nhân, bảng chia 6, 7, 8, 9
và được học bài “Phép chia hết và phép chia có dư”. Phép chia hết là
phép chia có số dư bằng 0 và bé hơn số chia. Thực chất, các bài toán về

phép chia có số dư bằng 0 chính là phép chia hết.

5


1.1.2. Một số dấu hiệu chia hết
Sách giáo khoa Toán 4, chương 3 đã giới thiệu cho các em học sinh một
số dấu hiệu chia hết. Cụ thể như sau
Dấu hiệu chia hết cho 2
- Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2.
- Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
Dấu hiệu chia hết cho 5
- Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Dấu hiệu chia hết cho 9
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
- Các số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 3
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Các số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

1.2. Các bài toán về phép chia hết ở Tiểu học
Trong sách giáo khoa Toán có đưa ra một số bài toán về phép chia hết
nhưng ở mức độ đơn giản. Dựa vào các dấu hiệu chia hết đã học, học
sinh có thể tìm hoặc điền thêm vào các số cần lập hoặc có thể tìm nhanh
kết quả của bài toán.
Ví dụ 1 ([3] - trang 96, bài tập 2). Viết số chia hết cho 5 thích hợp vào
chỗ chấm
6

a) 150 < . . . < 160;
b) 3 575 < . . . < 3 585;
c) 335; 340; 345; . . . ; . . . ; 360.
Ví dụ 2 ([4] - trang 96, bài tập 2). Viết chữ số thích hợp vào dấu (*)
để được số chia hết cho 9.
a) 4 ∗ 95;

c) 891∗;

b) 89 ∗ 1;

d) ∗ 891.

Khi đó, học sinh chỉ cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5; 9 để điền chữ
số thích hợp.
Ví dụ 3. Cho các số 1 234; 2 346; 7 542; 165 342; 9 144; 8 235; 5 733.
a) Số nào chia hết cho 2?
b) Số nào chia hết cho 9?
Ở ví dụ này, học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2; 9 để làm bài. Các
số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 và các số
chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Ví dụ 4 ([3] - trang 99, bài tập 2). Trong các số 57 234; 64 620; 5 270; 77 285
a) Số nào chia hết cho cả 2 và 5?
b) Số nào chia hết cho cả 2 và 3?
c) Số nào chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9?
Ở các ví dụ này, học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5 và 9 để
làm bài.
Đối với học sinh khá, giỏi thì độ khó của bài toán sẽ được nâng lên.
Cũng vẫn sử dụng các dấu hiệu chia hết nhưng phải kết hợp với tư duy

7


linh hoạt, sáng tạo, tìm ra mấu chốt của bài toán để lập luận và thực
hiện lời giải để tìm ra kết quả.
Ví dụ 5. Tìm các chữ số a, b biết rằng số 283ab cùng chia hết cho 2; 3; 5.
Lời giải. Vì 283ab cùng chia hết cho 2 và 5 nên b = 0.
Vậy số cần tìm phải có dạng 283a0.
Vì số này chia hết cho 3 nên theo dấu hiệu chia hết cho 3 ta phải có
tổng các chữ số của nó
(2 + 8 + 3 + a + 0) chia hết cho 3.
Do đó
(13 + a) chia hết cho 3.
Bởi vì 0 ≤ a < 10 và (13 + a) chia hết cho 3 nên xảy ra các trường hợp
sau
(i) 13 + a = 15. Khi đó, ta nhận được a = 2 và số phải tìm là 28 320.
(i) 13 + a = 18. Khi đó, ta nhận được a = 5 và số phải tìm là 28 350.
(i) 13 + a = 21. Khi đó, ta nhận được a = 8 và số phải tìm là 28 380.
Như vậy, các chữ số cần tìm là a = 2; 5; 8 và b = 0.
Trong chương trình Toán Tiểu học, các bài toán về phép chia hết chỉ
được đưa ra ở mức độ đơn giản. Chủ đề phép chia hết chủ yếu xuất hiện
trong các sách tham khảo, sách nâng cao bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.

8


1.3. Bồi dưỡng học sinh giỏi
1.3.1. Mục đích của việc bồi dưỡng học sinh giỏi
Bồi dưỡng học sinh giỏi là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học
các bộ môn. Với việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhằm các mục đích

sau
- Nâng cao hứng thú học tập, phát triển năng lực toán học của những
học sinh có năng khiếu về môn Toán.
- Giúp học sinh thấy rõ hơn vai trò, tầm quan trọng của môn Toán
trong đời sống và sản xuất.
- Phát triển tư duy logic, tác phong nghiên cứu, thói quen tự học của
học sinh.
1.3.2. Các biểu hiện của học sinh giỏi Toán
Ở cùng lứa tuổi có những học sinh trong hoạt động nhận thức, tư duy
thể hiện tính linh hoạt và mềm dẻo hơn. Trong học tập bộ môn Toán,
các học sinh này có một số biểu hiện như sau
- Tiếp thu bài mới nhanh hơn những học sinh khác.
- Có cách suy nghĩ độc đáo để giải quyết các vấn đề không quen thuộc.
- Có thái độ không muốn dừng lại với những cái đã biết, các mẫu đã
học, với những điều vẫn còn thắc mắc, hoài nghi.
- Tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán.

9


1.3.3. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, giáo viên có thể áp dụng các biện pháp
sau
- Củng cố vững chắc và hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học thông
qua những gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào nội dung bài học.
- Ra thêm một số bài toán khó hơn trình độ chung đòi hỏi việc vận
dụng sâu khái niệm đã học hoặc vận dụng những phương pháp giải một
cách linh hoạt, sáng tạo hơn.
- Yêu cầu giải toán bằng nhiều cách, phân tích, so sánh tìm ra cách
giải quyết hay, hợp lí và ngắn gọn nhất.

- Sử dụng một số bài toán có yếu tố chứng minh, suy diễn để bồi
dưỡng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng tự lập đề toán và giải.
- Tổ chức một số cuộc thi về toán học.
- Giới thiệu tiểu sử của một số nhà toán học xuất sắc để giáo dục
tình cảm yêu thích môn Toán và kính trọng các nhà toán học.

1.4. Các dạng toán về phép chia ở Tiểu học
Dựa vào nội dung của bài toán được đưa ra, ta có các dạng toán sau
Dạng 1. Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự nhiên
Dạng 2. Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết
của một số tự nhiên
Dạng 3. Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc
10


một hiệu
Dạng 4. Các bài toán về phép chia có dư
Dạng 5. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài
toán có lời văn
Dạng 6. Bài toán chứng minh, giải thích
Kết luận
Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phép
chia ở Tiểu học, lí thuyết về việc bồi dưỡng học sinh giỏi và các bài toán
về phép chia hết ở Tiểu học. Trong chương trình Toán Tiểu học, số lượng
các bài toán về chia hết ít. Chúng xuất hiện ở các sách toán nâng cao,
toán bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Trong quá trình nghiên cứu một số sách tham khảo, sách toán nâng cao
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, tôi đã phân ra thành 6 dạng toán về phép
chia hết dựa vào nội dung của bài toán được đưa ra.

Trình độ, khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, có những
học sinh có khả năng về mặt này nhưng lại yếu về mặt khác. Mỗi giáo
viên cần tạo điều kiện thuận lợi để các khả năng vượt trội đó của học
sinh được phát triển một cách tốt nhất. Chính vì vậy, việc xây dựng hệ
thống các dạng toán về phép chia là một việc rất cần thiết mà chúng tôi
đã thực hiện ở chương tiếp theo.

11


Chương 2
Một số dạng toán nâng cao về phép
chia ở Tiểu học
2.1. Vận dụng dấu hiệu chia hết để tìm các số tự
nhiên
2.1.1. Kiến thức cần lưu ý
Đối với các bài toán thuộc dạng này, chúng ta cần yêu cầu học sinh nắm
chắc các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 9; 3 mà sách giáo khoa Toán Tiểu
học đã đưa ra. Ngoài các dấu hiệu chia hết này, học sinh cần nắm vững
một số dấu hiệu chia hết sau để có thể giải được các bài toán nâng cao
về chia hết
Dấu hiệu chia hết cho 4
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia
hết cho 4.
- Các số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số
chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 25
- Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì chia
hết cho 25.
12

- Các số chia hết cho 25 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số
chia hết cho 25.
Dấu hiệu chia hết cho 8
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 thì chia
hết cho 8.
- Các số chia hết cho 8 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số
chia hết cho 8.
Dấu hiệu chia hết cho 125
- Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì chia
hết cho 125.
- Các số chia hết cho 125 thì ba chữ số tận cùng của nó tạo thành số
chia hết cho 125.
Dấu hiệu chia hết cho 11
- Các số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số
hàng lẻ chia hết cho 11 thì chia hết cho 11.
- Các số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn và
tổng các chữ số hàng lẻ của nó chia hết cho 11.
Trong các bài toán nâng cao về chia hết, học sinh Tiểu học không chỉ
gặp các bài toán về các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11
mà các em còn thường gặp các bài toán liên quan đến chia hết cho
6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99. Đối với các bài toán này, đầu tiên học sinh
cần đi tìm điều kiện chia hết cho các số trên. Khi tìm điều kiện chia hết
cho một số, ta phải phân tích số đó thành tích của các số, sao cho các

13


số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Khi đó, ta có

6 = 2 × 3;

12 = 3 × 4;

15 = 3 × 5;

18 = 2 × 9;

24 = 3 × 8;

36 = 4 × 9;

45 = 5 × 9;

99 = 9 × 11.

Như vậy, ta có điều kiện chia hết cho 6; 12; 15; 18; 24; 36; 45; 99 cụ thể
như sau
Điều kiện chia hết cho 6
Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.
Điều kiện chia hết cho 12
Một số tự nhiên chia hết cho 12 khi số đó chia hết cho cả 3 và 4.
Điều kiện chia hết cho 15
Một số tự nhiên chia hết cho 15 khi số đó chia hết cho cả 3 và 5.
Điều kiện chia hết cho 18
Một số tự nhiên chia hết cho 18 khi số đó chia hết cho cả 3 và 6.
Điều kiện chia hết cho 24
Một số tự nhiên chia hết cho 24 khi số đó chia hết cho cả 3 và 8.
Điều kiện chia hết cho 36
Một số tự nhiên chia hết cho 36 khi số đó chia hết cho cả 4 và 9.

Điều kiện chia hết cho 45
Một số tự nhiên chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho cả 5 và 9.
Điều kiện chia hết cho 99
Một số tự nhiên chia hết cho 99 khi số đó chia hết cho cả 9 và 11.

14


2.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ
bốn chữ số 0; 4; 5; 9 và thỏa mãn
a) Chia hết cho 2 và 5?
b) Chia hết cho 9?
c) Chia hết cho 36?
Hãy liệt kê các số đó.
a) Phân tích. Để giải được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết
cho 2 và 5
+ Các số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
+ Các số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Mà số cần lập chia hết cho cả 2 và 5 nên ta tìm được chữ số tận cùng
chỉ có thể là 0. Như vậy, chữ số tận cùng có 1 cách chọn từ các chữ số
đã cho. Tiếp theo, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau, ta có
thể tìm được số cách chọn cho chữ số hàng chục và hàng trăm. Từ đây,
ta có thể dễ dàng kể tên và tìm được số các số cần lập.
Lời giải. Gọi số lập được có dạng abc (a = 0; a, b, c là các chữ số khác
nhau). Để abc chia hết cho 2 và 5 thì c chỉ có thể là 0. Từ đó, ta suy ra
c = 0.
Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên chữ số a có ba cách chọn từ
các chữ số
a = 4; a = 5 hoặc a = 9.

15


Khi đó, chữ số b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại. Như thế,
số các số chia hết cho 2 và 5 là
3 × 2 × 1 = 6 (số).
Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 2 và 5 lập được từ bốn
chữ số 0; 4; 5 và 9 là
450; 490; 540; 590; 940; 950.
b) Phân tích. Để giải được bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho
9. Như vậy, tổng các chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9. Từ bốn
chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các
chữ số chia hết cho 9 để lập thành các số có ba chữ số khác nhau chia
hết cho 9
+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5.
+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9.
Đối với mỗi nhóm, ta lập luận để tìm được số cách chọn cho từng chữ
số của số cần lập. Sau đó, dễ dàng kể tên và tìm được số các số cần lập.
Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abc (a = 0; a, b, c là các chữ số khác
nhau). Để abc chia hết cho 9 thì thì tổng các chữ số của nó
(a + b + c) phải chia hết cho 9.
Ta có
0 + 4 + 5 = 9;
4 + 5 + 9 = 18.

16


Mà 9; 18 là những số chia hết cho 9 và (0; 4; 5) hay (4; 5; 9) là những cặp
số có các chữ số khác nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết

cho 9 được lập từ hai nhóm chữ số trên. Cụ thể như sau
+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5. Vì a = 0 nên khi chọn a thì a có hai
cách chọn. Mặt khác, các số đều có ba chữ số khác nhau nên khi đã chọn
a thì b chỉ còn hai cách chọn và c còn lại một cách chọn. Do đó, số các
số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9 là
2 × 2 × 1 = 4 (số).
Đó là các số 405; 450; 504; 540.
+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9. Lập luận tương tự nhóm trước ta
được số các số chia hết cho 9 là
3 × 2 × 1 = 6 (số).
Đó là các số 459; 495; 549; 594; 945; 954.
Vậy 6 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 lập được từ bốn chữ
số 0; 4; 5 và 9 là
405; 450; 504; 540; 459; 495; 549; 594; 945; 954.
c) Phân tích. Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và
9. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 4 “Các số chia hết cho 4 thì hai chữ
số tận cùng của số đó tạo thành số chia hết cho 4”, ta tìm được chữ số
hàng chục và hàng đơn vị. Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó
là số có ba chữ số khác nhau, ta sẽ tìm được chữ số hàng trăm dựa vào
chữ số hàng chục và hàng đơn vị đã tìm được. Cuối cùng, dựa vào dấu
17


hiệu chia hết cho 9 ta loại đi các trường hợp không thỏa mãn.
Lời giải. Gọi số cần lập có dạng abc (a = 0; a, b, c là các chữ số khác
nhau). Bởi vì 36 = 4 × 9 nên số cần lập chia hết cho cả 4 và 9.
Để số lập được chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của số đó phải tạo
thành số chia hết cho 4. Do đó, bc chỉ có thể là 04 hoặc 40.
Do số phải tìm chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó là (a + 4 + 0)
phải chia hết cho 9. Khi đó a chỉ có thể là 5.

Vậy có 2 số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 36 được lập từ bốn
chữ số đã cho là
540; 504.
Ví dụ 2 ([7] - trang 71, bài tập 1). Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy thiết
lập các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.
Phân tích. Bởi vì 6 = 2 × 3 nên để làm được bài toán này cần dựa vào
dấu hiệu chia hết cho 2 và 3.
Từ dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.
Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và dữ kiện các chữ số cần lập
phải khác nhau mà ta tìm được hai chữ số còn lại.
Lời giải. Bởi vì 6 = 2 × 3 nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2
và 3. Dựa vào bốn chữ số đã cho là 0; 1; 5; 8, ta có thể lập được
+ Các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.
+ Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Ta có
0 + 1 + 5 = 6;
0 + 1 + 8 = 9.
18


.
.
Mà 6..3; 9..3 và (0; 1; 5) và (0; 1; 8) là những cặp số có các chữ số khác
nhau nên các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6 có chữ số tận
cùng là 0 hoặc 8 sẽ được lập từ hai nhóm chữ số trên.
Vậy các số đó là
150; 510; 108; 180; 810.
2.1.3. Bài tập tham khảo
Bài 1. Tìm số các số có ba chữ số được lập từ các chữ số 3; 4; 5 và chia
hết cho 5.

Bài 2. Cho các chữ số 0; 1; 3; 5; 6. Hãy lập tất cả các số có ba chữ số
khác nhau từ các chữ số đã cho, sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 9.
Bài 3. Cho các chữ số 0; 3; 5; 6; 7. Từ các chữ số trên hãy lập thành số
có bốn chữ số khác nhau sao cho
a) Số lập được chia hết cho 2 và 5.
b) Các số lập được chia hết cho 15.
Bài 4. Tìm các số có hai chữ số, biết rằng các số này đều chia hết cho
tích các chữ số của chúng.
Bài 5. Tìm số có năm chữ số sao cho khi đọc các chữ số của số đó theo
thứ tự ngược lại hoặc đổi chỗ chữ số hàng đơn vị với hàng trăm thì số
đó không thay đổi giá trị. Biết rằng số này chia hết cho 25.

19


2.2. Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ
số chưa biết của một số tự nhiên
2.2.1. Kiến thức cần lưu ý
Khi giải các bài toán dạng này ta thường làm như sau
- Trước tiên, dùng các dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng.
- Sau đó, dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia
hết còn lại của số phải tìm để xác định các chữ số còn lại.
2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giá trị của a và b để số 37a8b chia biết cho 2; 3 và 5.
Phân tích. Đầu tiên, sử dụng kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ta
tìm được giá trị của b là 0.
Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 “Các số chia hết cho 3 thì tổng
các chữ số của nó chia hết cho 3” để tìm được giá trị của a.
Lời giải. Từ các dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 ta thấy
37a8b chia hết cho 2 nên b = 0; 2; 4; 6 hoặc 8.

37a8b chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc 5.
Số 37a8b chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0. Như vậy, ta nhận được số cần
tìm là 37a80.
Ta có 37a80 chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó
(3 + 7 + a + 8 + 0 = 18 + a) chia hết cho 3.
.
.
Bởi vì 18..3 nên a..3. Do a là chữ số nên suy ra a = 0; 3; 6; 9. Ta xét từng
20


trường hợp
(i) Với a = 0, ta có số 37 080 chia hết cho 2; 3; 5.
(ii) Với a = 3, ta có số 37 380 chia hết cho 2; 3; 5.
(iii) Với a = 6, ta có số 37 680 chia hết cho 2; 3; 5.
(iiii) Với a = 9, ta có số 37 980 chia hết cho 2; 3; 5.
Như vậy với các chữ số a = {0; 3; 6; 9}; b = 0 thì số 37a8b chia hết cho
2; 3 và 5.
Ví dụ 2 ([7] - trang 64, ví dụ 6). Hãy viết thêm vào bên trái số 123 một
chữ số và bên phải hai chữ số để nhận được số bé nhất có sáu chữ số
khác nhau chia hết cho 45.
Phân tích. Bởi vì 45 = 5 × 9 nên số phải tìm chia hết cho cả 5 và 9.
- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5, ta tìm được giá trị của chữ số hàng
đơn vị là 0 hoặc 5.
- Tiếp theo, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, ta tìm được tổng của
hai chữ số còn lại.
- Sau đó, dựa vào điều kiện các chữ số phải khác nhau mà ta loại
được một số trường hợp không hợp lí.
- Cuối cùng, dựa vào yêu cầu số đó là số bé nhất, ta tìm được số cần
tìm.

Lời giải. Gọi chữ số cần viết thêm vào bên trái là a; bên phải là bc.
Tức là số cần tìm có dạng N = a123bc.
Bởi vì 45 = 5 × 9 nên N chia hết cho cả 5 và 9. N chia hết cho 5 nên c
bằng 0 hoặc 5. Ta xét hai trường hợp
(i) Nếu c = 0 thì N = a123b0. Bởi vì N chia hết cho 9 nên tổng các
21