Luận văn thạc sĩ đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------

Nguyễn Thị Kim Ngân

ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------Nguyễn Thị Kim Ngân

ĐỒ THỊ
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên, năm 2015


i

Mục lục
Mở đầu
1

Một số khái niệm cơ bản
1.1 Tập hợp và quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tập hợp và phép toán . . . . . . . . . . .
1.1.2 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . .
1.2 Đồ thị và đường đi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm đồ thị . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Đường đi và chu trình . . . . . . . . . .
1.2.3 Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị
1.3 Đồ thị con và sự đẳng hình . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Đồ thị con và đồ thị riêng . . . . . . . .
1.3.2 Sự đẳng hình của các đồ thị . . . . . . .
1.4 Một vài mô hình đồ thị . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Lấn tổ trong sinh học . . . . . . . . . . .
1.4.2 Thi đấu vòng tròn . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bài toán đường đi . . . . . . . . . . . . .
1.5 Chu trình Euler và chu trình Hamilton . . . . . .
1.5.1 Chu trình Euler . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Chu trình Hamilton . . . . . . . . . . . .
1.6 Tập ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Tập ổn định trong, tập ổn định ngoài . . .
1.6.2 Tập nhân của đồ thị . . . . . . . . . . . .
1.7 Chu số và Sắc số . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Chu số của đồ thị . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Sắc số của đồ thị . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
3
3
4
5
5
6
7
12
12
12
13
13
14
14
15
15
17
18
18
19
20
20
23


ii

2

Ứng dụng của lý thuyết đồ thị
2.1 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ví dụ vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
26

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


iii

Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này em xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô
thuộc Khoa Toán - Tin, các cán bộ nhân viên phòng Sau Đại học thuộc
trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu và các
đồng nghiệp trường THPT Hàn Thuyên, gia đình và bạn bè luôn nhiệt tình
giúp đỡ động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho em học tập, nghiên
cứu hoàn thiện luận văn này.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ,
người đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình viết luận
văn về đề tài:"Đồ thị" .

Thái Nguyên, tháng 4 - 2015
Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Kim Ngân


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đồ thị (Graph) đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học,
kỹ thuật khác nhau bởi lý thuyết đồ thị là phương pháp khoa học có tính
khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối quan hệ của
những đối tượng được nghiên cứu.
Trên thực tế, nhiều bài toán liên quan đến một tập các đối tượng và những
mối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán học phải đặt ra một mô hình biểu
diễn một cách chặt chẽ và tổng quát bằng ngôn ngữ, kí hiệu. Đó là đồ thị.
Những ý tưởng cơ bản trên được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học
Leonhard Euler. Ông đã dùng mô hình đồ thị để giải bài toán về những cây
..
cầu Konigsberg nổi tiếng.
Nhiều khái niệm lý thuyết đồ thị được sinh ra từ các vấn đề thực tiễn:
đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường đi
Euler, đường đi Hamilton... Vì vậy lý thuyết đồ thị đã gắn kết nhiều ngành
khoa học với nhau. Các thuật toán ngắn gọn và thú vị của lý thuyết đồ thị
giúp chúng ta giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp trong thực tế. Ngoài ra,
khi đưa bài toán về mô hình đồ thị ta còn có thể xây dựng các thuật toán và
nhờ vào ứng dụng của tin học để giải quyết chúng. Vì thế chúng tôi đã lựa
chọn đề tài "Đồ thị". Tuy nhiên, trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này
chúng tôi chỉ trình bày khái quát một số phần của lý thuyết đồ thị và một

vài ứng dụng vào giải toán sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tác giả tìm hiểu về lý thuyết đồ thị thuộc chuyên ngành Toán rời rạc và
vận dụng một số kết quả đạt được để giải một số bài tập. Trong luận văn
tập trung xét một số khái niệm cơ bản và chứng minh một số kết quả thuộc
lý thuyết đồ thị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Luận văn nghiên cứu một số ứng dụng của lý
thuyết đồ thị vào giải toán sơ cấp.


2

3.2. Phạm vi nghiên cứu:
Lý thuyết đồ thị làm cơ sở nghiên cứu vận dụng bài toán đường đi, bài toán
tô màu đồ thị, chu trình hamilton, chu trình Euler vào giải một số bài toán
sơ cấp.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu nhằm hệ thống lý thuyết, phân
tích và lựa chọn một số bài toán giải được bằng phương pháp đồ thị.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn đã trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết
đồ thị và vận dụng giải một số bài toán. Luận văn gồm phần mở đầu, hai
chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Được phân chia ra làm 7 mục. Mục 1.1 tập trung trình bày về
tập hợp và quan hệ tương đương. Mục 1.2 trình bày về khái niệm đồ thị
và đường đi với kết quả chính: là các khái niệm cơ bản về đồ thị. Mục 1.3
nêu ra khái niệm đồ thị con, đồ thị riêng và sự đẳng hình của các đồ thị.
Mục 1.4 giới thiệu một vài mô hình đồ thị. Mục 1.5 trình bày một số vấn
đề cơ bản về chu trình Euler, chu trình Hamilton. Mục 1.6 tập trung trình

bày về các tập con đặc biệt của tập đỉnh thuộc đồ thị. Mục 1.7 Trình bày
định nghĩa và một số kết quả của chu số và sắc số để vận dụng giải toán sơ
cấp.
Chương 2: Trình bày phương pháp đồ thị và một số ví dụ vận dụng của
phương pháp vào giải toán sơ cấp.


3

Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
1.1

Tập hợp và quan hệ

1.1.1

Tập hợp và phép toán

Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Chúng ta luôn gặp nó trong
đời thường, ví dụ như tập hợp các sinh viên trong một khoa, tập hợp các
thành viên trong một gia đình, tập hợp các con số thỏa mãn một tính chất
nào đó...
Mỗi đối tượng x trong một tập hợp X được gọi là một phần tử của tập hợp
đó, kí hiệu x ∈ X. Nếu phần tử x không thuộc X, ta kí hiệu x ∈ X. Ta nói
hai tập hợp A và B là bằng nhau và viết A = B nếu mọi phần tử thuộc A
thì thuộc B và ngược lại. Một tập A được gọi là tập con của tập B, kí hiệu
A ⊂ B nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B. Tập hợp rỗng là tập hợp
không chứa bất kỳ một phần tử nào, kí hiệu ∅. Rõ ràng tập ∅ ⊂ X với mọi
tập X.

Cho A và B là hai tập hợp tùy ý. Ta có các định nghĩa sau:
(1) Tập hợp A − B = {x ∈ A|x ∈ B} được gọi là hiệu của tập hợp A và
tập hợp B.
(2) Tập hợp các cặp (a, b) với a ∈ A và b ∈ B được gọi là tích Đề-các
của A và B và được kí hiệu A × B.
(3) Hợp của A và B gồm các phần tử thuộc A hoặc B, kí hiệu A ∪ B
nghĩa là x ∈ A ∪ B tương đương với x ∈ A hoặc x ∈ B.
(4) Giao của A và B gồm các phần tử thuộc A và B, kí hiệu A ∩ B nghĩa
là x ∈ A ∩ B tương đương với x ∈ A và x ∈ B. Khi A ∩ B = ∅,


4

ta bảo A và B không giao nhau hay dời nhau hay không có phần tử
chung.
Định lý 1.1.1. Với các tập hợp A, B, C và X tùy ý, ta luôn có:
(1) Tính chất giao hoán

(2) Tính chất kết hợp

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

(3) Tính chất phân phối

(4) Công thức De Morgan

1.1.2

A∩B =B∩A

A ∪ B = B ∪ A.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B)
X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B).

Quan hệ tương đương

Giả thiết tập X = ∅. Tích Đề-các X × X được định nghĩa như sau:
X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}.
Định nghĩa 1.1.2. Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi
trong X. Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy.
Định nghĩa 1.1.3. Giả thiết X = ∅ và S = ∅ là một quan hệ hai ngôi trong
X. Quan hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa
mãn ba điều kiện sau đây:
(i) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx.
(ii) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx.
(iii) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy và ySz thì ta cũng có
xSz.
Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay
cho S. Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với
x làm đại diện. Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau:
Tính chất 1.1.4. Với quan hệ tương đương ∼ trong X = ∅, ta có


5

(i) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x).
(ii) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y, z ∼ x.

(iii) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y).
(iv) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau.

1.2
1.2.1

Đồ thị và đường đi
Khái niệm đồ thị

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng
lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra
từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học L. Euler, người Thụy Sĩ. Ông cũng là người
..
đã sử dụng đồ thị để giải quyết bài toán cầu Konigsberg nổi tiếng. Nhờ Lý
thuyết đồ thị mà nhiều bài toán phức tạp, diễn giải dài dòng được mô tả
hình học một cách trực quan và cô đọng. Các thuật toán ngắn gọn và trực
quan của Lý thuyết đồ thị đã giúp chúng ta giải quyết rất nhiều bài toán
phức tạp trong thực tế. Vậy đồ thị ở đây là cái gì và có phải là hình ảnh của
một hàm số nào đó mà ta thường khảo sát và vẽ hay không?
Lý thuyết đồ thị (theo tiếng Anh và tiếng Đức đọc là "graph") nghiên cứu
những tính chất toán học, những quan hệ không phụ thuộc vào bản chất
riêng những mối quan hệ này. Nó được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị là một cặp G = (V, E), trong đó
(1) V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các đỉnh.
(2) E ⊆ V × V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các cạnh.
Thông thường người ta hay ký hiệu một đồ thị bằng chữ G (chữ cái đầu
của từ tiếng Đức "Graph", còn tập đỉnh thường được ký hiệu bởi chữ V (là
chữ cái đầu tiên của từ "vertex") và tập cạnh bởi chữ E ( chữ cái đầu tiên
của từ "edge"). Về bản chất, đồ thị là một tập các đối tượng được biểu diễn
bằng các đỉnh và giữa các đối tượng này có một mối quan hệ nhị nguyên

biểu diễn bằng các cạnh. Với hai đỉnh x, y ∈ V, đoạn thẳng hay đoạn cong
nối x và y biểu thị cạnh (x, y) của đồ thị và ta nói rằng, đỉnh y là đỉnh kề
với đỉnh x. Khi đó hai đỉnh x, y kề với cạnh (x, y). Nếu cặp đỉnh x, y tạo
thành một cạnh của đồ thị và hai đỉnh này không được sắp thứ tự thì cạnh


6

(x, y) được gọi là cạnh vô hướng; còn nếu chúng được sắp thứ tự thì cạnh
được viết thành [x, y] và được gọi là cạnh có hướng. Người ta phân đồ thị
thành hai lớp.
Định nghĩa 1.2.2. Đồ thị chỉ chứa các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô
hướng. Đồ thị chỉ chứa các cạnh có hướng được gọi là đồ thị có hướng.
Hiển nhiên, mỗi đồ thị vô hướng có thể biểu diễn bằng một đồ thị có hướng
bằng cách thay mỗi cạnh vô hướng (x, y) bằng hai cạnh có hướng tương
ứng [x, y] và [y, x].
Định nghĩa 1.2.3. Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đối xứng nếu
(x, y) ∈ E, ([x, y] ∈ E), thì (y, x) ∈ E, ([y, x] ∈ E).
Như vậy, các đồ thị vô hướng đều là đối xứng.
Định nghĩa 1.2.4. Đồ thị G = (V, E), trong đó mỗi cặp đỉnh được nối với
nhau bởi không quá một cạnh được gọi là đơn đồ thị hay đồ thị. Nếu đồ thị
có những cặp đỉnh được nối với nhau nhiều hơn một cạnh thì được gọi là
đa đồ thị. Đồ thị được gọi là đồ thị hữu hạn nếu tập các đỉnh hữu hạn.
Trong luận văn này chúng ta giới hạn chỉ xét các đồ thị hữu hạn. Ta ký hiệu
n là số đỉnh, m là số cạnh của một đồ thị hữu hạn.
1.2.2

Đường đi và chu trình

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị.

Định nghĩa 1.2.5. Đường đi trên một đồ thị G đã cho là một dãy các đỉnh
< x1 , x2 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xk−1 , xk > sao cho, mỗi đỉnh trong dãy (không
kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước nó bằng một cạnh nào đó, nghĩa là:
∀i, i = 2, 3, . . . , k − 1, k ta đều có cạnh (xi−1 , xi ) ∈ E.
Với đường đi < x1 , x2 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xk−1 , xk > ta nói rằng, đường đi
này đi từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk . Số cạnh trên đường đi gọi là độ dài
của đường đi đó. Đường đi đơn là đường đi mà các đỉnh của nó khác nhau
từng đôi một.
Định nghĩa 1.2.6. Chu trình là một đường đi khép kín, có nghĩa đỉnh đầu
của đường đi trùng với đỉnh cuối của đường đi. Chu trình được gọi là chu
trình đơn nếu các đỉnh của nó khác nhau từng đôi.


7

Ta thường ký hiệu chu trình qua [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , .., xk−1 , xk ], trong đó
x1 ≡ xk . Để thu gọn, trong ký hiệu của chu trình ta thường không viết đỉnh
cuối [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , .., xk−1 ].
Trong một đồ thị, đỉnh nút là đỉnh kề với chính nó. Hai cạnh có ít nhất một
đỉnh chung được gọi là hai cạnh kề nhau.
1.2.3

Bậc của đỉnh và tính liên thông của đồ thị

Định nghĩa 1.2.7. Cho đồ thị G = (V, E). Ta có định nghĩa sau:
(1) Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông nếu trên đồ thị có đường
đi vô hướng nối chúng với nhau.
(2) Đồ thị G được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ thị đều liên
thông với nhau.
(3) Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu mọi cặp đỉnh đều

có đường đi có hướng nối chúng với nhau.
(4) Số cạnh kề với đỉnh a ∈ V được gọi là bậc của đỉnh a trong đồ thị
G và được ký hiệu qua deg(a). Riêng khuyên tại một đỉnh được tính
hai lần cho bậc của nó. Đỉnh bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập, đỉnh bậc
1 được gọi là đỉnh treo.
Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ tương đương. Nó tạo nên
một phân hoạch trên tập các đỉnh. Mỗi lớp tương đương của quan hệ này
được gọi là một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của đồ thị.
Định nghĩa 1.2.8. Đồ thị được gọi là đầy đủ nếu hai đỉnh bất kỳ đều có
cạnh nối.
Người ta thường ký hiệu đồ thị vô hướng đầy đủ n đỉnh là Kn . Trong đồ thị
đầy đủ Kn mỗi đỉnh đều có bậc là n − 1 và đồ thị là liên thông. Hai đỉnh
bất kỳ được nối với nhau bằng một đường đi ngắn nhất có độ dài bằng 1.
Đó chính là cạnh nối hai đỉnh ấy.
Định lý 1.2.9. Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị G = (V, E), n =
|V | 2, vô hướng liên thông luôn có đường đi đơn.
Chứng minh: Giả sử x, y là hai đỉnh phân biệt của đồ thị vô hướng liên
thông G. Ta có ít nhất một đường đi giữa x và y. Gọi x0 , x1 , . . . , xk với


8

x0 = x, xk = y là dãy các đỉnh của đường đi có độ dài ngắn nhất (bao
giờ cũng có). Đây chính là đường đi đơn cần tìm. Thật vậy, giả sử nó
không là đường đi đơn. Khi đó xi = xj với 0
i < j. Điều này có
nghĩa là giữa các đỉnh x và y có đường đi ngắn hơn nữa qua các đỉnh
x0 , x1 , . . . , xi−1 , xj , . . . , xk nhận được bằng cách xóa đi các cạnh tương
ứng với dãy các đỉnh xi , . . . , xj−1 .
Định lý 1.2.10. Đồ thị n đỉnh (n

đỉnh cùng bậc.

2) không có đỉnh nút có ít nhất hai

Chứng minh: Xét 3 trường hợp dưới đây:
Trường hợp 1: Đồ thị có đỉnh bậc 0 : nghĩa là đồ thị có đỉnh cô lập. Khi
đó đỉnh của các bậc chỉ có thể là: 0, 1, 2, ..., n − 2. Số các bậc khác nhau
nhiều nhất là n − 1.
Trường hợp 2: Đồ thị có đỉnh bậc n − 1. Khi đó đồ thị không có đỉnh cô
lập. Vậy, bậc của các đỉnh chỉ có thể là 0, 1, 2, ..., n − 1. Số các bậc khác
nhau nhiều nhất cũng là n − 1.
Trường hợp 3: Đồ thị không có đỉnh bậc 0 và đỉnh bậc n − 1. Khi đó, số
các bậc khác nhau nhiều nhất cũng là n − 1.
Trong cả ba trường hợp, số các bậc khác nhau không quá n − 1. Như vậy ít
nhất phải có hai đỉnh chung một bậc theo Nguyên lý Dirichlet.
Định lý 1.2.11. Đồ thị n đỉnh (n 4) không có đỉnh nút và có đúng hai
đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc bậc
n − 1.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử đồ thị trên có hai
đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n − 1. Loại hai đỉnh cùng bậc 0 hay bậc n − 1 này
đi, ta được đồ thị G . Theo Định lý 1.2.10, đồ thị G có hai đỉnh cùng bậc.
Hai đỉnh này cũng cùng bậc trong G. Mâu thuẫn với giả thiết.
Định lý 1.2.12. Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai
lần số cạnh của đồ thị.
Chứng minh: Ta tính bậc của các đỉnh. Mỗi đỉnh thuộc một cạnh nào đó
thì bậc của nó tăng thêm 1. Vì mỗi cạnh có hai đỉnh nên tổng tất cả các bậc
của các đỉnh trong một đồ thị bằng hai lần số cạnh của đồ thị.
Hệ quả 1.2.13. Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số chẵn.

9

Chứng minh: Nếu số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị là một số lẻ thì tổng
tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị là một số lẻ (mâu thuẫn theo
Định lý 1.2.12). Vậy, số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải là một số
chẵn.
Hệ quả 1.2.14. Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh đó phải
liên thông với nhau.
Chứng minh: Giả sử hai đỉnh đó là a và b. Xét mảng liên thông G chứa a.
Bậc của mỗi đỉnh trong G bằng bậc của mỗi đỉnh đó trong G. Nếu b ∈
/G
thì trong G chỉ có một đỉnh bậc lẻ, trái với Hệ quả 1.2.13. Vậy b phải thuộc
mảng liên thông G chứa a.
Ví dụ 1.2.15. Có bao nhiêu cạnh trong một đồ thị có 10 đỉnh và mỗi đỉnh
có bậc bằng 6?
Bài giải: Gọi số cạnh của đồ thị bằng m. Theo Định lý 1.2.12 ta có 2m =
10.6 = 60. Vậy m = 30.
Ví dụ 1.2.16. Giả sử đồ thị G = (V, E) có n đỉnh và m cạnh. Ký hiệu r, s
là bậc lớn nhất và bậc nhỏ nhất của các đỉnh của G. Khi đó ta có các bất
2m
đẳng thức s
r.
n
n

deg(xi ) theo Định lý 1.2.12. Vậy ns

Bài giải: Hiển nhiên 2m =
i=1,xi ∈V

2m

nr và suy ra s

2m
n

r.

Định lý 1.2.17. Đồ thị G có n đỉnh. Nếu bậc của mỗi đỉnh trong G không
n
nhỏ hơn thì đồ thị G liên thông.
2
Chứng minh: Ta chứng minh kết luận bằng phương pháp phản chứng. Giả
sử đồ thị G không liên thông. Khi đó, có ít nhất hai đỉnh a và b nằm trong
hai mảng liên thông khác nhau. Vậy, n deg(a) + deg(b) n − 2. Điều
này dẫn đến mâu thuẫn.
Định lý 1.2.18. Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng liên thông và
(n − p)(n − p + 1)
không có đỉnh nút. Khi đó m
.
2


10

Chứng minh: Giả sử rằng mỗi mảng liên thông Gi có ni đỉnh, ni
1.
Không mất tính tổng quát có thể xem G1 là mảng có nhiều đỉnh nhất. Khi
đó ta có thể "dồn" các đỉnh cho mảng G1 mà không làm thay đổi số đỉnh,

số cạnh và số mảng liên thông của đồ thị cho đến khi n2 = n3 = ... =
np = 1. Thật vậy, giả sử còn mảng Gi mà n1
ni
2. Chọn a là một
đỉnh của Gi sao cho nếu ta bỏ a và các cạnh kề với nó thì phần còn lại
vẫn liên thông. Giả sử a được nối với k đỉnh trong mảng Gi . Hiển nhiên
1 k ni − 1 < n1 . Ta chọn k đỉnh bất kỳ trong G1 và
• Thêm k cạnh mới nối a với các đỉnh đã chọn trong G1 .
• Xóa bỏ k cạnh nối với các đỉnh ở trong Gi .

Hình 1.1: Cách dồn các đỉnh cho mảng G1 .

Đỉnh a liên thông với đỉnh trong G1 nên thuộc vào mảng G1 . Ta được một
đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số mảng liên thông không thay đổi vì mảng
Gi bớt a và k cạnh vẫn còn ít nhất một đỉnh, G1 thêm đỉnh a và k cạnh mới.
Thực hiện phép "dồn" trên cho đến khi
n1 = n − p + 1, n2 = n3 = · · · = np = 1
và G1 có m cạnh. Vậy, số cạnh của G1 bằng m
(n − p)(n − p + 1)
. Kết thúc chứng minh định lý.
2

n−p+1
2

Hệ quả 1.2.19. Đồ thị G có n đỉnh và có số cạnh m >
G là liên thông.

, nghĩa là: m

(n − 2)(n − 1)
thì
2


11

(n − p)(n − p + 1)
. Vậy
2
(n − 2)(n − 1)
(n − p)(n − p + 1)
. Bất đẳng thức này chỉ thỏa
2
2
mãn khi p = 1. Như vậy đồ thị G là liên thông.
Chứng minh: Theo Định lý 1.2.18 ta có m

Định lý 1.2.20. Đồ thị vô hướng với n đỉnh (n 3), không có đỉnh nút và
bậc của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 2, luôn có chu trình.
Chứng minh: Giả sử < x1 , x2 , ..., y, ..., xk > là một đường đi đơn dài nhất
trên đồ thị. Khi đó đỉnh y = x2 kề với x1 cũng phải nằm trên đường đi này.
Từ đó ta có chu trình [x1 , x2 , ..., y] và chứng minh xong.
Định lý 1.2.21. Đồ thị vô hướng với n 4 đỉnh, không có đỉnh nút và bậc
của mỗi đỉnh đều không nhỏ hơn 3, luôn có chu trình đơn độ dài chẵn.
Chứng minh: Giả sử < x1 , x2 , ..., y1 , ...y2 , ..., xk > là một đường đi đơn
dài nhất trên đồ thị. Khi đó đỉnh y1 , y2 = x2 kề với x1 cũng phải nằm trên
đường đi. Từ đó ta có ba chu trình là [x1 , ..., y1 ], [x1 , ..., y2 ], [x1 , y1 ..., y2 ].
Nếu hai chu trình đầu có độ dài lẻ thì chu trình thứ ba có độ dài chẵn.

Ví dụ 1.2.22. Giả sử đơn đồ thị G với k thành phần liên thông, trong đó
các thành phần liên thông này tương ứng có n1 , n2 , . . . , nk đỉnh. Khi đó số
k

cạnh của G không vượt quá
i=1

ni
2

.

Bài giải: Một cạnh không thể nối hai đỉnh thuộc hai thành phần liên thông
khác nhau. Vì thành phần liên thông thứ i có ni đỉnh nên trong thành phần
này có nhiều nhất là n2i cạnh. Do đó, số cạnh của G không vượt quá
k
i=1

ni
2

.

Ví dụ 1.2.23. Giả sử đơn đồ thị G với n đỉnh có k thành phần liên thông.
(n − k)(n − k + 1)
Khi đó số cạnh của G không vượt quá
.
2
Bài giải: Theo Ví dụ 1.2.22 số cạnh của G không vượt quá tổng
k

k
k

i=1

ni
2

=

n2i

ni

k

−

i=1

ni
i=1

2

2
k

i=1

−

k

ni
i=1

2

n2
−n
k
=
.
2


12

n2
Vậy nên
n2 − (k − 1)(2n − k).
k
Ví dụ 1.2.24. Giả sử đơn đồ thị G có n đỉnh. Đồ thị G là liên thông nếu nó
(n − 1)(n − 2)
có nhiều hơn
cạnh.
2
Bài giải: Nếu đồ thị G không liên thông thì nó có thành phần liên thông
gồm k đỉnh với 1

k < n. Do vậy, đồ thị G có nhiều nhất là f (k) =
n2 − n
k
n−k
2
+
=
k
−
nk
+
cạnh. Vậy nên f (k) đạt giá trị cực đại tại
2
2
2
k = 1 hoặc k = n − 1. Vì thế, nếu G không liên thông thì số cạnh của G
(n − 1)(n − 2)
không vượt quá
cạnh.
2

1.3
1.3.1

Đồ thị con và sự đẳng hình
Đồ thị con và đồ thị riêng

Định nghĩa 1.3.1. Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G = (V , E ) được gọi
V ⊆V
là đồ thị con của đồ thị G nếu

E = E ∩ (V × V ).
Đồ thị G = (V, E ), E ⊆ E, được gọi là đồ thị riêng của đồ thị G.
Như vậy, mỗi tập con các đỉnh V của đồ thị G tương ứng duy nhất với một
đồ thị con của nó. Do vậy, để xác định một đồ thị con ta chỉ cần nêu tập
đỉnh của nó. Còn đồ thị riêng là đồ thị giữ nguyên tập đỉnh và bỏ bớt đi
một số cạnh.
1.3.2

Sự đẳng hình của các đồ thị

Định nghĩa 1.3.2. Hai đồ thị G1 = (V1 , E1 ) và G2 = (V2 , E2 ) được gọi
là đẳng hình với nhau nếu có một song ánh S : V1 → V2 , x → S(x), trên
tập các đỉnh, bảo toàn quan hệ các cạnh, có nghĩa: Với mọi x, y ∈ V1 , cạnh
(x, y) ∈ E1 khi và chỉ khi (S(x), (S(y)) ∈ E2 .
Người ta thường không phân biệt hai đồ thị đẳng hình với nhau vì về thực
chất chúng chỉ khác nhau tên gọi của các đỉnh và cách biểu diễn bằng hình
vẽ.
Ví dụ 1.3.3. Hãy trồng 9 cây trong sân trường để sao cho chúng tạo thành
nhiều hàng nhất, (mỗi hàng có 3 cây thẳng hàng).


13

Hình 1.2: Hai đồ thị đẳng hình.

1.4

Một vài mô hình đồ thị

Trong mục này chúng ta giới thiệu một vài mô hình đồ thị từ các lĩnh

vực ứng dụng khác nhau.
1.4.1

Lấn tổ trong sinh học

Mô hình đồ thị được sử dụng có liên quan đến sự tương tác của các loài
vật. Chẳng hạn sự cạnh tranh của các loài trong một hệ sinh thái có thể mô
hình hóa bằng đồ thị lấn tổ. Mỗi loài được biểu diễn bằng một đỉnh. Một
cạnh vô hướng nối hai đỉnh nếu hai loài được biểu diễn bằng hai đỉnh này
là cạnh tranh với nhau, chẳng hạn: Chúng cùng chung nguồn thức ăn hoặc
cùng chung nguồn nước uống. Nhìn vào đồ thị ta biết ngay những loài nào
cạnh tranh hoặc không cạnh tranh.
Ví dụ 1.4.1. Mô hình lấn tổ của một số loài.

Hình 1.3: Đồ thị lấn tổ.


14

1.4.2

Thi đấu vòng tròn

Một cuộc thi đấu thể thao trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng
một lần gọi là đấu vòng tròn. Cuộc thi đấu như thế có thể được mô hình
bằng một đồ thị có hướng, trong đó mỗi đội là một đỉnh và cạnh (a, b), đi
từ đỉnh a đến đỉnh b nếu đội a thắng đội b.
Ví dụ 1.4.2. Mô hình đấu vòng tròn 6 đội với thắng thua tương ứng.

Hình 1.4: Mô hình thi đấu vòng tròn.

1.4.3

Bài toán đường đi

Định lý 1.4.3. Giả sử đồ thị G có n đỉnh. Tồn tại đường đi từ đỉnh a đến
đỉnh b trên đồ thị G khi và chỉ khi tồn tại một đường đi từ a đến b trên đồ
thị này với độ dài không lớn hơn n − 1.
Chứng minh: Giả sử có đường đi từ đỉnh a tới đỉnh b. Ta có thể chọn:
< a = x1 , x2 , ..., xk = b > là đường đi có độ dài ngắn nhất. Khi đó, độ dài
của đường đi là k − 1. Nếu k − 1 n − 1 thì định lý được chứng minh.
Nếu ngược lại, giả sử k − 1 > n − 1 khi đó k > n. Trong dãy đỉnh của
đường đi sẽ có ít nhất hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn xi = xj . Khi đó
< a = x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xk = b > cũng là đường đi từ a tới b nhưng
với độ dài ngắn hơn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết của đường đi ngắn
nhất. Định lý được chứng minh xong.


15

1.5
1.5.1

Chu trình Euler và chu trình Hamilton
Chu trình Euler
..

Thành phố Konigsberg thuộc Phổ được chia ra làm bốn vùng bằng các
nhánh sông Pregel. Các vùng này gồm hai vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof
và một miền nằm giữa hai nhánh của sông Pregel. Vào thế kỷ thứ 18 người

ta đã xây 7 chiếc cầu nối các vùng này với nhau.

Hình 1.5: Mô hình đa đồ thị của thành phố Konigsberg.

Khi đi bộ người ta thường tự hỏi không biết có thể xuất phát tại một địa
điểm nào đó trong thành phố đi qua tất cả các cầu, mỗi chiếc cầu không đi
qua nhiều hơn một lần, rồi trở lại điểm xuất phát được không?
L. Euler đã giải bài toán này và công bố lời giải vào năm 1736. Có thể đây
là một ứng dụng đầu tiên của Lý thuyết Đồ thị. Euler đã nghiên cứu bài
toán này, mô hình nó bằng một đa đồ thị. Bốn vùng được biểu diễn bằng 4
đỉnh và các cầu là các cạnh. Ta có mô hình bài toán qua một đồ thị và nó
trở thành bài toán: Có tồn tại chu trình đơn trong đa đồ thị chứa tất cả các
cạnh?
Định nghĩa 1.5.1. Chu trình đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị G được
gọi là chu trình Euler. Đường đi Euler trong G là đường đi đơn chứa mọi
cạnh của G.


16

Điều kiện cần và đủ cho chu trình Euler
Có các tiêu chuẩn rất đơn giản để khẳng định một đa đồ thị có chu trình
hoặc đường đi Euler hay không. Euler đã phát hiện ra các tiêu chuẩn này
..
khi giải các bài toán cầu Konigsberg. Chúng ta giả sử trong mục này chỉ
xét các đồ thị hữu hạn, tức là các đồ thị có một số hữu hạn các đỉnh và các
cạnh. Từ định nghĩa ở trên ta có điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của chu
trình vô hướng Euler như sau:
Định lý 1.5.2. Đa đồ thị liên thông G có chu trình vô hướng Euler khi và
chỉ khi mỗi đỉnh đều có bậc chẵn.

Chứng minh: Điều kiện cần: Mỗi lần chu trình đi qua một đỉnh thì đỉnh
đó bớt đi hai cạnh kề. Cuối cùng số cạnh kề của mỗi đỉnh bằng 0. Do đó số
cạnh kề với mỗi đỉnh phải là một số chẵn.
Điều kiện đủ: Xuất phát từ một đỉnh a nào đó ta lập dãy cạnh kề liên tiếp
cho đến khi hết khả năng đi tiếp. Khi dừng phải ở đỉnh a vì bậc các đỉnh
đều chẵn, ta được chu trình C1 . Nếu đã vét hết các cạnh thì đó chính là chu
trình cần tìm. Nếu vẫn còn cạnh thì do tính liên thông của đồ thị, phải có
một cạnh nào đó chưa được chọn và kề với đỉnh a1 nào có của chu trình
đã có. Lại xuất phát từ a1 và tiếp tục quá trình như trên cho đến khi hết
khả năng đi tiếp, ta được chu trình C2 , ... Khi đã vét hết các cạnh ta lập
chu trình Euler cho đồ thị này như sau: Từ đỉnh a đi theo nửa trên của C1
cho đến a1 , lại tiếp tục từ a1 đi theo nửa trên của C2 cho đến a2 , ... Khi đã
đến chu trình con cuối cùng ta đi ngược lại theo các nửa dưới của chu trình
con... và cuối cùng trở về đỉnh a. Ta nhận được một chu trình Euler.
Đa đồ thị có hướng có thể có chu trình Euler vô hướng nhưng không có
chu trình Euler có hướng.
Hệ quả 1.5.3. Đa đồ thị liên thông G có đường đi Euler vô hướng khi và
chỉ khi số đỉnh bậc lẻ bằng 2.
Chứng minh: Nếu có đường đi Euler vô hướng nối a với b thì a, b là hai
đỉnh duy nhất có bậc lẻ. Ngược lại, giả sử a, b là hai đỉnh duy nhất có bậc
lẻ. Xây dựng đồ thị G từ G bằng cách thêm vào cạnh mới (a, b). Đồ thị
G không có đỉnh bậc lẻ, nên theo Định lý 1.5.2 G có chu trình Euler vô
hướng. Bỏ cạnh (a, b) đi ta có đường đi Euler vô hướng trong đồ thị G.
Với đồ thị có hướng, ta có điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của chu trình
có hướng Euler như sau:


17

Định lý 1.5.4. Đa đồ thị có hướng liên thông có chu trình Euler có hướng

khi và chỉ khi tại mỗi đỉnh của đồ thị số cạnh đi vào bằng số cạnh đi ra
(đỉnh cân bằng), nghĩa là: Với mọi x ∈ V ta có r− (x) = r+ (x), trong đó
r− (x) là số cạnh đi vào đỉnh x và r+ (x) là số cạnh đi ra khỏi đỉnh x.
Hệ quả 1.5.5. Đa đồ thị có hướng liên thông G có đường đi Euler có
hướng khi và chỉ khi trong G có hai đỉnh a và b thỏa mãn r− (a) = r+ (a) −
1, r− (b) = r+ (b) + 1 và các đỉnh còn lại đều cân bằng.
1.5.2

Chu trình Hamilton

Năm 1857, W. R. Hamilton, nhà toán học người Ireland đã đưa ra trò
chơi sau đây: Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của một khối đa diện 12 mặt
ngũ giác đều có ghi tên một thành phố lớn của thế giới. Hãy tìm cách đi
bằng các cạnh của khối này để đi qua các thành phố, mỗi thành phố đúng
một lần. Bài toán này đã dẫn tới khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.5.6. Đường Hamilton trên một đồ thị là đường đi qua mỗi
đỉnh của đồ thị đúng một lần. Chu trình Hamilton trên một đồ thị là chu
trình đi qua mỗi đỉnh của đồ thị đúng một lần.
..

Định lý 1.5.7. [D. Konig] Đồ thị đầy đủ luôn có đường đi Hamilton.
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho đồ thị có hướng đầy đủ. Giả sử
G là đồ thị có hướng đầy đủ. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh n
của đồ thị. Với n = 1 hoặc n = 2, định lý luôn đúng.
Giả sử kết luận đúng cho n. Xét trường hợp G là đồ thị đầy đủ có n + 1
đỉnh và đồ thị G xây dựng từ G bằng cách bớt một đỉnh a nào đó và các
cạnh kề với a. Đồ thị G có n đỉnh và cũng đầy đủ nên theo giả thiết quy
nạp, nó có đường Hamilton (H) =< x1 , x2 , . . . , xn > .
Nếu trong G có cạnh (xn , a) thì đường < (H), a) > sẽ là đường Hamilton
trong G.

Nếu trong G có cạnh (a, x1 ) thì đường < a, (H) > sẽ là đường Hamilton
trong G.
Trong trường hợp ngược lại, đồ thị G phải có các cạnh (a, xn ) và (x1 , a)
nghĩa là có các cạnh ngược hướng nhau. Khi đó sẽ phải có ít nhất một cặp
cạnh sát nhau nhưng ngược hướng nhau là (xi, a) và (a, xi+1 ). Khi đó ta có
đường < x1 , ..., xi , a, xi+1 , ..., xn > là một đường đi Hamilton trên đồ thị
G.


18

1.6

Tập ổn định

Mục này tập trung trình bày về các tập con đặc biệt của tập đỉnh thuộc
đồ thị. Đó là tập ổn định trong, tập ổn định ngoài và tập nhân.
1.6.1

Tập ổn định trong, tập ổn định ngoài

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với ánh xạ kề F : V → 2V , x →
F (x) ⊂ V với (x, y) ∈ E khi y ∈ F (x).
Định nghĩa 1.6.1. Tập con B ⊂ V được gọi là tập ổn định trong của đồ
thị G nếu B ∩ F (x) = ∅ với mọi x ∈ B. Tập con B của V được gọi là tập
ổn định trong cực đại nếu thêm vào B bất kỳ một đỉnh nào nữa cũng làm
mất tính ổn định trong của nó. Tập con C được gọi là tập ổn định trong lớn
nhất nếu C là một trong số các tập ổn định trong của đồ thị G với nhiều
phần tử nhất. Lực lượng u = |C| của tập ổn định trong lớn nhất được gọi
là số ổn định trong của G.

Từ định nghĩa ta suy ra rằng, trong tập ổn định trong không có hai đỉnh nào
kề nhau. Hiển nhiên, nếu B là tập ổn định trong thì mọi tập con B của B
cũng là một tập ổn định trong của đồ thị G.
Định lý 1.6.2. Giả sử đồ thị G = (V, E) có n đỉnh. Ký hiệu r là bậc lớn
nhất của các đỉnh và u là số ổn định trong. Ta có bất đẳng thức
u

n
.
r+1

Chứng minh: Ký hiệu C là tập ổn định trong lớn nhất của đồ thị G. Khi
đó u = |C|. Với mỗi đỉnh y ∈
/ C có ít nhất một đỉnh thuộc C kề với y bởi
vì nếu không như vậy thì C = C ∪ {y} cũng là một tập ổn định trong với
C ⊂ C , C = C : mâu thuẫn. Từ kết quả này suy ra rằng, số cạnh với một
đỉnh thuộc C, không kể hướng, phải lớn hơn hoặc bằng |V \ C| = n − u.
n
Vì số cạnh của G không lớn hơn ru nên ru n − u hay u
.
r+1
Ví dụ 1.6.3. [Tám quân hậu của Gauss] Hãy đặt tám quân hậu vào các
ô của một bàn cờ vua sao cho chúng không ăn được lẫn nhau.
Bài giải: Xây dựng một đồ thị G vô hướng với 64 đỉnh là 64 ô của bàn cờ
và với hai đỉnh x, y ta có cạnh (x, y) của đồ thị khi đặt hai quân hậu vào


19

đỉnh x, y thì chúng có thể ăn lẫn nhau. Các ô cần tìm để đặt các quân hậu

chính là một tập ổn định trong 8 đỉnh. Bài toán có 92 nghiệm được suy ra
từ 12 tập ổn định trong khác nhau sau đây:
A1 , B6 , C8 , D3 , E7 , F4 , G2 , H5
A3 , B5 , C8 , D4 , E1 , F7 , G2 , H6
A3 , B5 , C2 , D8 , E1 , F7 , G4 , H6
A4 , B2 , C7 , D5 , E1 , F8 , G6 , H3
A5 , B7 , C2 , D6 , E3 , F1 , G8 , H4
A6 , B1 , C5 , D2 , E8 , F3 , G7 , H4

A4 , B6 , C1 , D5 , E2 , F8 , G3 , H7
A4 , B8 , C1 , D5 , E7 , F2 , G6 , H3
A5 , B1 , C4 , D6 , E8 , F2 , G7 , H3
A5 , B7 , C2 , D6 , E3 , F1 , G4 , H8
A5 , B8 , C4 , D1 , E7 , F2 , G6 , H3
A7 , B2 , C6 , D3 , E1 , F4 , G8 , H5 .

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với ánh xạ kề F : V → 2V , x →
F (x) ⊂ V với (x, y) ∈ E khi y ∈ F (x).
Định nghĩa 1.6.4. Tập con K ⊂ V được gọi là tập ổn định ngoài của đồ
thị G nếu K ∩ F (x) = ∅ với mọi x ∈
/ K. Tập con K của V được gọi là tập
ổn định ngoài cực tiểu nếu bỏ đi khỏi K bất kỳ một đỉnh nào nữa cũng làm
mất tính ổn định ngoài của nó. Tập con K được gọi là tập ổn định ngoài
nhỏ nhất nếu K là một trong số các tập ổn định ngoài của đồ thị G với ít
phần tử nhất. Lực lượng v = |K| của tập ổn định ngoài nhỏ nhất được gọi
là số ổn định ngoài của G.
Từ định nghĩa ta suy ra ngay rằng, nếu K là tập ổn định ngoài thì mọi tập
con K chứa K cũng là một tập ổn định ngoài của đồ thị G.
Ví dụ 1.6.5. [Năm quân hậu] Hãy đặt năm quân hậu vào các ô của một
bàn cờ vua sao cho chúng kiểm soát được toàn bộ bàn cờ.

Bài giải: Xây dựng một đồ thị G vô hướng với 64 đỉnh là 64 ô của bàn cờ
và với hai đỉnh x, y ta có cạnh (x, y) của đồ thị khi đặt hai quân vào đỉnh
x, y thì chúng có thể ăn lẫn nhau. Các ô cần tìm để đặt các quân hậu chính
là một tập ổn định ngoài 5 đỉnh. Một nghiệm của bài toán là năm quân hậu
được đặt ở C6 , D3 , E5 , F7 , G4 .
1.6.2

Tập nhân của đồ thị

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị với ánh xạ kề F : V → 2V , x →
F (x) ⊂ V với (x, y) ∈ E khi y ∈ F (x).


20

Định nghĩa 1.6.6. Tập con N ⊂ V được gọi là tập nhân của đồ thị G nếu
N vừa là tập ổn định trong và cũng là tập ổn định ngoài của đồ thị G, nghĩa
là: N ∩ F (x) = ∅ và N ∩ F (y) = ∅ với mọi x ∈ N, y ∈
/ N.
Định lý 1.6.7. Giả sử N là một tập con của tập đỉnh V của đồ thị G =
(V, E). Nếu N là tập nhân thì N là một tập ổn định trong cực đại.
Chứng minh: Giả sử N không là một tập ổn định trong cực đại. Khi đó
có y ∈
/ N để N ∪ {y} vẫn là một tập ổn định trong. Vì N là tập nhân của
đồ thị G nên N ∩ F (y) = ∅ hay có x ∈ N ∩ F (y). Vậy ∅ = N ∩ F (x) chứa
y. Điều mâu thuẫn này suy ra điều giả sử là sai và định lý đã được chứng
minh.
Định lý 1.6.8. Giả sử G là một đồ thị đối xứng không có đỉnh nút. Khi đó
mọi tập ổn định trong cực đại N của tập đỉnh V đều là tập nhân của đồ
thị G = (V, E).

Chứng minh: Giả sử N là một tập ổn định trong cực đại của đồ thị G.
Ta chỉ ra N cũng là một tập ổn định ngoài của đồ thị G. Thật vậy, giả sử
y∈
/ N. Khi đó y phải kề với một đỉnh x nào đó của N vì N là một tập ổn
định trong cực đại. Vì đồ thị G là đối xứng nên x ∈ F (y). Vậy N là tập ổn
định ngoài. Điều này chỉ ra N là tập nhân của đồ thị G = (V, E).
Hệ quả 1.6.9. Mọi đồ thị đối xứng không có đỉnh nút đều có tập nhân.
Chứng minh: Vì G luôn luôn có tập ổn định trong cực đại N. Khi đó N
là tập nhân của đồ thị G = (V, E) theo Định lý 1.6.8.

1.7

Chu số và Sắc số

1.7.1

Chu số của đồ thị

Cho đồ thị G = (V, F ) có n đỉnh, m cạnh và p mảng liên thông.
Định nghĩa 1.7.1. Đại lượng c = m − n + p được gọi là chu số của đồ thị
G.
Định lý 1.7.2. Nếu thêm một cạnh mới vào đồ thị G thì chu số hoặc tăng
thêm 1 hoặc không thay đổi.