Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Mở ĐầU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn. Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có
thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản
suất và trong đời sống xã hội hiện đại.
Trong chương trình toán thì hàm số đóng một vai trò quan trọng trong
việc dạy và học. Theo Khinsin: Không có khái niệm nào có thể phản ánh
được những hiện tượng của thực tế khách quan một cách trực tiếp và cụ thể
như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể bộc lộ được
ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm
tương quan hàm. Đứng trên quan điểm hàm xem xét chúng ta thấy rõ tính hệ
thống cùng sự liên quan giữa các phần Đại số và Giải tích, giữa Đại số và Số
học, Hình học và Giải tích. Vì vậy, việc tổ chức dạy học hàm số có tầm trọng
đặc biệt, ảnh hưởng sâu sắc tới việc dạy học các nội dung khác như: Phương
trình, giới hạn, liên tục, đạo hàm,Trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10,
chúng ta cũng bắt gặp các bài tập liên quan đến hàm số. Bài tập về hàm số là
sự thách thức lớn đối với mỗi thí sinh trong các kì thi. Các bài tập về hàm số
thường chiếm từ 2 điểm đến 3 điểm. Đây là kì thi có tính quyết định với các
em, nó là bước ngoặt mới. Chính vì vậy để làm được các bài tập này thì chúng
ta cần phải nắm vững các vấn đề về hàm số ngay từ ban đầu, phải có một nền
móng vững chắc. Do đó đòi hỏi thầy giáo - người giữ vai trò chủ đạo trong
hoạt động dạy và học phải có phương pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao
hiệu quả quá trình nhận thức cho học sinh, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu dạy
học. Để góp phần làm được điều đó, giáo viên cần lựa chọn những kiến thức
cơ bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng
cố kiến thức để học sinh cùng giải quyết.

Dng Th Yn

1

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Nghiên cứu về hàm số từ đó hệ thống lại thành các dạng bài tập tổng
quát nhất là vấn đề thiết thực, góp phần giúp các em học sinh nắm chắc chủ đề
hàm số hơn nữa làm tốt bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào
lớp 10. Khi đó, các em không còn bỡ ngỡ khi cầm đề thi trong tay. Vì những lí
do nêu trên mà tôi chọn đề tài là: Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi
tuyển sinh lớp 10 THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về hàm số ở cấp trung học cơ sở.
- Hệ thống hóa các dạng bài tập về chủ đề Hàm số trong đề thi tuyển
sinh vào lớp 10.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về hàm số ở cấp trung học cơ sở.
- Hệ thống hóa các dạng bài tập về chủ đề Hàm số trong đề thi tuyển
sinh vào lớp 10.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
5. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Cở sở lí luận
1.1. Chủ đề hàm số ở cấp THCS.
1.2. Chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Chương 2: Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT.
2.1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.
2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng.
2.3. Dạng 3: Mối tương quan giữa đường thẳng và đường thẳng.
2.4. Dạng 4: Mối tương quan giữa đường thẳng và parabol.
2.5. Dạng 5: Điểm cố định.

Dng Th Yn

2

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận
1.1. Chủ đề hàm số ở cấp THCS
1.1.1. Nội dung
1.1.1.1. Khái niệm về hàm số và các khái niệm có liên quan
Tuy thuật ngữ Hàm số và định nghĩa hàm số chỉ được đưa vào chính
thức từ lớp 7 nhưng những hình ảnh và những ví dụ về hàm số đã xuất hiện
một cách ngầm ẩn ngay từ bậc tiểu học. Vì vậy việc nghiên cứu hàm số trong

toàn bộ chương trình và sách giáo khoa phải kể đến hai giai đoạn khác nhau:
Giai đoạn ngầm ẩn (trước lớp 7) và Giai đoạn tường minh (từ lớp 7 trở đi).
Giai đoạn ngầm ẩn: Ngay từ những lớp đầu tiên của tiểu học, học sinh
đã được làm quen ngầm với khái niệm tương ứng. Đó là những tương ứng
đơn giản giữa các phần tử của hai tập hợp. Ví dụ như sự tương ứng giữa số
học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số đĩa, Các em cũng làm
quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên.
Giai đoạn tường minh: Những vấn đề cơ bản về hàm số như: định nghĩa
hàm số, đồ thị hàm số, được trình bày trong chương II phần đại số sách giáo
khoa Toán 7. Định nghĩa về hàm số (Sách giáo khoa Toán 7 tập 1 - NXBGD
Việt Nam năm 2010) được phát biểu như sau: Giả sử X và Y là hai tập hợp
số. Một hàm số f từ tập X đến tập Y là quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x
thuộc X một và chỉ một giá trị y thuộc, Y mà ta kí hiệu là y f x . Người
ta viết f : X Y

xy
Theo khái niệm này qua cách diễn đạt trên thì định nghĩa khái niệm
hàm số chỉ đề cập đến đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên và

Dng Th Yn

3

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

đặc trưng phụ thuộc của hàm số.
Đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức
độ sâu rộng hơn. Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách khái quát
hơn, chặt chẽ hơn trong chương II sách giáo khoa Toán 9 tập 1 và chương IV
sách giáo khoa Toán 9 tập 2. ở đây học sinh được gặp lại khái niệm hàm số và
bước đầu nghiên cứu về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, xem xét các
hàm số y ax b a 0 và y ax 2 a 0 . Định nghĩa hàm số được phát
biểu như sau: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho
mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một giá trị tương ứng của y thì y
được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số. Đến đây học sinh thấy
một cách đầy đủ các đặc trưng khoa học của khái niệm hàm số.
Tuy nhiên, tôi chỉ tập trung chủ yếu vào giai đoạn thứ 2. ở đây, chúng
ta tìm hiểu về hàm số đến lớp 9 (Toán trung học cơ sở).
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b (trong đó
a, b là các số cho trước và a 0 ).

Hàm số bậc hai y ax 2 a 0 .
Hàm số đồng biến: Cho hàm số y f x xác định trên tập hợp số thực
.
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f x cũng tăng
lên thì hàm số y f x được gọi là hàm số đồng biến trên

.

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f x lại giảm
đi thì hàm số y f x được gọi là hàm số nghịch biến trên

.

1.1.1.2. Đặc điểm của hàm số

Hàm số mang những đặc điểm chung của toán học.
Tính thực tiễn phổ dụng

Dng Th Yn

4

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Toán học luôn bắt nguồn từ thực tiễn.
Ví dụ: hàm số xác định giá trị tương ứng của các đại lượng với nhau:
như số người với số ghế ngồi, số bát với số đũa,
Mang tính lôgic, chặt chẽ cao
Toán học nói chung và hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng trong thực
tiễn và các nghành khoa học khác như vật lí, hóa học,
Ví dụ: hàm số biểu thị mối quan hệ của các đường thẳng ( có thể song
song, cắt nhau, trùng nhau).
Hàm số biểu thị sự tương ứng của các đại lượng.
Hàm số nghiên cứu các dạng bài tập, tạo điều kiện phục vụ cho các
nghành khác.
Ngoài ra, hàm số còn có những đặc điểm riêng sau:
Hàm số có tác dụng trực tiếp trong việc giải các bài toán và phát triển
khả năng tư duy cho học sinh.
ứng dụng hàm số để giải các bài toán về bất phương trình, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất, giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Dùng phương pháp hàm số để giải các dạng bài tâp khác nhau.
Ví dụ: sử dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán về phương
trình và hệ phương trình.
Do đó việc dạy và học tốt hàm số ở cấp trung học cở sở tạo cơ sở cho
việc dạy và học ở các bậc học cao hơn.
1.1.1.3. Tính chất của hàm số và một số kiến thức cơ bản
a) Hàm số bậc nhất y ax b

Hàm đồng biến, hàm nghịch biến
Hàm số bậc nhất y ax b xác định với mọi giá trị của x thuộc

và

có tính chất sau:
Đồng biến trên

Dng Th Yn

khi a 0 .

5

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
Nghịch biến trên

GVHD: ThS. Dương Thị Hà
khi a 0 .

Đồ thị hàm số y ax b
Đồ thị của hàm số y ax b a 0 là một đường thẳng cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y ax nếu
b 0, trùng với đường thẳng y ax nếu b 0 .

Đồ thị của hàm số y ax b a 0 còn được gọi là đường
thẳng y ax b a 0 , b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
Đồ thị của hàm y ax a 0 là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

0 0 ; 0 và A 1; a
Đồ thị y ax b a 0 là đường thẳng cắt trục tung tại A 0 ; b , trục
b
hoành tại B ; 0 .
a

Hệ số góc của đường thẳng y ax b
Đường thẳng y ax b có hệ số góc là a.
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b với tia Ox , Bx ; BA
90 0 thì a 0.
90 0 thì a 0.

A

A
B

B

Dng Th Yn

6

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng
nhau.

Quan hệ giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng y ax b a 0 và y ax b a 0
Đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ
khi a a; b b.
Đường thẳng trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi
a a; b b.

Đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a.
b) Hàm số y ax 2 a 0

Tập xác định của hàm số
Hàm số y ax 2 a 0 xác định với mọi x

.

Tính chất biến thiên của hàm số
Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0 .

Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0 .
x

x

y ax 2

y ax 2

Đồ thị của hàm số y ax 2 a 0
Đồ thị của hàm số y ax 2 a 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ
và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol
với đỉnh .
Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của
đồ thị.

Dng Th Yn

7

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của
đồ thị.
y

a0

a0

1.1.2. Những thuận lợi và khó khăn khi học chủ đề hàm số
a) Thuận lợi
Hàm số được xây dựng trên cơ sở những ví dụ từ cụ thể đến phức tạp.
Học sinh khi học về khái niệm hàm số sẽ thấy được những dạng khác
nhau, muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong tất cả các phân môn toán
học và qua các chương mục khác nhau, từ đó thấy được vị trí trung tâm của
khái niệm này trong toàn bộ chương trình toán.
Học sinh nắm được phương pháp khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ
cấp, biết vận dụng phương pháp này để khảo sát những hàm số cụ thể như:
y ax b ; y ax ; y

a
; y ax 2 ; Do đó rèn luyện cho học sinh thành
x

thạo kĩ năng vẽ hình.
Học sinh nắm được mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị.
Một điều kiện thuận lợi nữa là khi học hàm số thì có rất nhiều ứng dụng
trong thực tế và là căn bản để học tiếp lên các bậc học cao hơn.
b) Khó khăn
Mặc dù đã được biết đến khái niệm hàm số từ lớp 7 nhưng kiến thức đó

Dng Th Yn

8

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

chỉ mang tính chất giới thiệu và hầu như các ví dụ thì đều đơn giản, cụ thể, dễ
hiểu nên khi vào các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 các em gặp không ít những
khó khăn, cụ thể như:
Các bài tập thường là sự kết hợp của nhiều dạng bài khác nhau.
Không tìm ra hướng đi đúng cho bài toán.
Kiến thức về hàm số chưa nắm vững.
Chưa xác định được bài toán đó thuộc dạng nào.
Chưa biết phương pháp giải của dạng toán đó.
.
Học sinh gặp phải khó khăn khi làm việc với những quy tắc tương ứng
cho bằng bảng số.
1.2. Chủ đề hàm số trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10
Hàm số giữ vị trí trung tâm trong toàn bộ chương trình toán học.
Mặt khác: Hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong các đề thi
vào lớp 10, là câu hỏi thách thức với mỗi thí sinh. Trong các đề thi tuyển sinh
vào lớp 10 trong cả nước thì hầu hết đều có một bài tập về hàm số và các bài
toán có liên quan. Phần bài tập về hàm số thông thường chiếm số lượng điểm
từ 2 điểm đến 3 điểm. Chính vì vậy, học sinh phải làm tốt các bài tập này cũng
đồng nghĩa với việc tiến gần vào lớp 10 hơn.
Các bài tập trong đề thi tuyển sinh vào 10 thường là các bài tập có sự
chắt lọc dựa trên những tính chất và các kiến thức về hàm số, có thể bài được
đưa ra trong đề thi là câu vẽ đồ thị hàm số, viết phương trình đường thẳng, tìm

mối tương quan nào đó, Trong các đề thi tuyển sinh vào 10 thì chúng ta có
thể phân loại bài tập về hàm số thành các dạng bài tập cụ thể khác nhau như:
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng.
Dạng 3: Mối tương quan giữa đường thẳng và đường thẳng.
Dạng 4: Mối tương quan giữa đường thẳng và parabol.

Dng Th Yn

9

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Dạng 5: Điểm cố định.
Từ đó đưa ra những phương pháp giải tương ứng.
Kết luận
Hàm số trong chương trình toán THCS là bước khởi đầu tạo nền móng
cho việc nghiên cứu hàm số ở các bậc học tiếp theo. Việc nghiên cứu khái
niệm được triển khai qua các lớp học ở cấp THCS giúp học sinh nắm được các
quy tắc tương ứng khi biểu diễn hàm số bởi công thức hoặc bằng bảng số. Từ
việc hiểu được lý thuyết sẽ giúp các em tiếp cận được bài tập một cách dễ
dàng hơn.
Trong chương này đã đi tìm hiểu cở sở lý luận về hàm số, tìm hiểu được
kiến thức liên quan tới vấn đề này. Những kiến thức đó là nguồn tài liệu tham
khảo đối với các em học sinh. Chương này đã tổng hợp lại những kiến thức lí

thuyết cơ bản nhất về hàm số trong chương trình toán THCS, đặc biệt là kiến
thức gắn liền với kì thi tuyển sinh vào 10. Từ đó có những dạng bài tập tương
ứng. Trên cơ sở đó với mục đích giúp học sinh có một tài liệu về chủ đề hàm
số trong đề thi tuyển sinh vào 10, khóa luận sẽ phân dạng các bài toán xuất
hiện trong đề thi tuyển sinh vào 10. Các dạng bài tập này sẽ có phương pháp
làm như thế nào, điều đó được đề cập tới trong chương 2.

Dng Th Yn

10

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Chương 2: Bài toán về chủ đề hàm số trong đề thi tuyển
sinh lớp 10 THPT
2.1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
2.1.1. Phương pháp giải
Đối với hàm bậc nhất: y ax b a 0
Khi b 0 thì y ax
Đồ thị hàm số y ax là đường thẳng đi qua 2 điểm O 0 ; 0 và

A 1; a .
Khi b 0
Thông thường chọn 2 điểm thuộc đồ thị để vẽ.
Chọn x 0 thì y b , ta được điểm A 0 ; b thuộc trục Oy .

b
b
Chọn y 0 thì x , ta được điểm B ; 0 thuộc trục Ox.
a
a

Vẽ đường thẳng qua A, B ta được đồ thị của hàm số y ax b.
Chú ý: Điểm M x M ; y M

thuộc đồ thị hàm số

y ax b khi y M ax M b.

Đối với hàm y ax 2 a 0
Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y.
Cho x lần lượt bằng 2; 1; 0;1; 2 rồi tìm các giá trị y tương ứng
bằng cách lập bảng.
Chú ý: Điểm M x M ; y M

thuộc y ax 2 khi và chỉ khi

y M ax M2 .

2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: (Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, TP HCM, năm 2011 - 2012).
Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x 2 và đường thẳng d : y 2 x 3 trên

Dng Th Yn

11

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

cùng một hệ trục tọa độ.
Giải

d đi qua 2 điểm 1; 1 ; 0 ; 3
(P): Lập bảng giá trị
x

2

1

0

1

2

4

1

0

1

4

y x2

Ví dụ 2: (Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán, Thái Bình, năm 2011).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P): y x 2
Vẽ parabol (P).
Giải
(P): Lập bảng giá trị
x

2

1

0

1

2

4

1

0

1

4

y x2

Dng Th Yn

12

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học Thành Phố Huế, năm
2007).
Cho hàm số y ax 2 a 0
1) Xác định a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt đường thẳng

:

y 2 x 3 tại điểm A có tung độ bằng 1.

2) Vẽ đồ thị (P) của hàm số ứng với giá trị a vừa tìm được trong câu 1 và
vẽ đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Giải
1) Điểm A ở trên

và có tung độ bằng 1 nên

Do đó A 2 ; 1 .
A là giao điểm của đồ thị hàm số y ax 2 với d nên A

1 a.22

a

(P).

1
4

1
2) Vẽ (P): y x 2
4

Dng Th Yn

13

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Lập bảng giá trị
x

4

2

0

2

4

1
y x 2 4
4

1

0

1

4

2.1.3. Luyện tập
Bài 1: (Đề thi vào lớp 10 môn Toán, tỉnh Quảng Trị, năm 2011).
Vẽ đồ thị hàm số: y x 3 . Tìm trên d điểm có hoành độ và tung độ
bằng nhau.
Giải

Đồ thị hàm số d : y x 3 đi qua điểm 3 ; 0 ; 0 ; 3

Dng Th Yn

14

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Theo giả thiết ta có tung độ và hoành độ bằng nhau nên x y .
Khi đó: 2 y 3

y

3
2

3 3
Vậy M ; .
2 2

Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội, năm 2010).

1
Vẽ đồ thị (P) của hàm y x 2 và đường thẳng d
2

trên

cùng hệ trục tọa độ.
Giải

d đi qua điểm 0 ; 1 ; 2 ; 0
(P): Lập bảng giá trị
x

1
y x2
2

4

2

0

2

4

8

2

0

2

8

Dng Th Yn

15

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Khánh Hòa, 19/ 06/ 2009).
Cho (P): y x 2 . Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Giải
a) Vẽ (P): Lập bảng giá trị
x

2

1

0

1

2

4

1

0

1

4

y x2

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT TP HCM, 2009).
Vẽ đồ thị (P) y

1 2
x của hàm số và đường thẳng d :
2

trên cùng

một hệ trục tọa độ.
Giải

d đi qua điểm 0 ; 4 ; 4 ; 0
Vẽ (P): Lập bảng giá trị
x

y

1 2
x
2

4
8

Dng Th Yn

2

0

2

4

2

0

2

8

16

K34B - SP Toỏn

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 5: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, Cần Thơ, 2009).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y ax 2 có đồ thị (P). Tìm
a biết rằng (P) cắt đường thẳng d có y x

3
tại điểm A có hoành độ bằng
2

3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm được.
Giải

9
9

( ) x A 3; y A . Khi đó: A 3 ; .
2
2


(P) cắt d tại A A
Mặt khác A

9
9
1

a.32 a.9 a .
2
2
2

(P)

1
Do đó (P): y x 2
2
Lập bảng giá trị của (P)
x

1
y x2
2

4

2

0

2

4

8

2

0

2

8

Dng Th Yn

17

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 6: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quảng Ngãi, 2009).
Cho hàm số y x 2 có đồ thị (P) và đường thẳng d : y x 2
Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục tọa độ .
Giải
Vẽ (P): Lập bảng giá trị

x

2

1

0

1

2

4

1

0

1

4

y x2

d đi qua 2 điểm 0 ; 2 ; 2 ; 0

Dng Th Yn

18

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 7: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Đà Nẵng, 2010) .
Cho hai hàm số: y 2 x 2 có đồ thị (P) và y x 3 có đồ thị d .
Vẽ các đồ thị (P) và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
Giải
( ) đi qua 0 ; 3 và 1; 2 .
(P): Lập bảng giá trị
x

2

1

0

1

2

2

0

2

8

y 2x2
8

Bài 8: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Khánh Hòa, 2010).
Cho hàm số y mx m 2 có đồ thị là d m .
Khi m 1 vẽ đường thẳng d 1.
Giải
Hàm số y mx m 2 d m .
Vẽ đường thẳng d 1 khi m 1

Dng Th Yn

19

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
Khi m 1

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

y 1 x 1 2 x 1 d1

d 1 đi qua điểm 1; 0 ; 0 ;1

Bài 9: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành Phố Huế,12/7/2006).
Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc (P) của hàm số

y ax 2 và điểm B không thuộc (P).
Tìm hệ số a và vẽ (P).
Giải
Điểm A có tọa độ A 2 ; 3

A

(P) 3 4a

a

3
4

3
Khi đó (P): y x 2
4
Lập bảng giá trị
x

3
y x2
4

4

2

0

2

12

3

0

3

Dng Th Yn

4
12

20

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 10: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học Huế, 2011).

1
Cho hàm số y x 2 có đồ thị (P) và hàm số y mx 2 m 1
4

m 0 có đồ thị d .
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị (P) và đồ thị d khi m 1 .
Giải
Vẽ (P), d khi m 1 y x 3

(P): Lập bảng giá trị
x

(

4

2

0

2

4

1
y x 2 4
4

1

0

1

4

đi qua điểm 0 ; 3 ; 3 ; 0

Dng Th Yn

21

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Bài 11: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc Học Huế, 25/ 06/ 2010).
Cho hàm số y ax 2 .
Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm M 2 ; 8 .
Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ (P) của hàm số đã cho với giá trị a vừa
tìm được và đường thẳng d đi qua M 2 ; 8 có hệ số góc bằng 2.
Giải
Đồ thị (P) của hàm số y ax 2 đi qua M 2 ; 8 nên
8 a. 2

2



a2

Vậy a 2 và hàm số đã cho là y 2 x 2 .

d có hệ số góc bằng 2. Suy ra phương trình có dạng
y 2 x b

d đi qua M 2 ; 8 8 2.(2) b

b4

Khi đó d : y 2 x 4.
Vẽ (P): Lập bảng giá trị

Dng Th Yn

22

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

2

1

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

1

2

8
d đi qua 2 điểm
0 ;24 ; 20; 0 2

8

x

0

y 2x2

2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
2.2.1. Phương pháp giải
Lập phương trình đường thẳng d khi biết quan hệ về hệ số góc (song song
hay vuông góc) và đi qua điểm A .
Phương trình đường thẳng d có dạng: y ax b.
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc để tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và điểm A vào công thức để tìm hệ số b.
Lập phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A x 1 ; y 1 ; B x 2 ; y 2 .
Phương trình đường thẳng d có dạng: y ax b.
Do đồ thị hàm số đi qua 2 điểm A, B nên có hệ phương trình:
y1 ax1 b

y2 ax2 b.

Dng Th Yn

23

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Giải hệ này tìm được a, b.
Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A x ; y và tiếp xúc với
parabol (P) y ax 2 .
Phương trình đường thẳng d có dạng: y ax b.
Do đường thẳng đi qua điểm A nên có phương trình: y ax b.
Do đồ thị hàm số tiếp xúc với (P) nên phương trình:
ax 2 ax b có nghiệm kép.

Giải phương trình trên tìm được a, b.
Chú ý: Một số bài toán liên quan:
Nêu dạng phương trình d : y ax b.
Sử dụng dữ kiện bài toán tìm được a, b.
2.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nam Định, 2011).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M có hoành độ bằng 2 và M
thuộc đồ thị hàm số y 2 x 2 . Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa
độ và điểm M (biết đường thẳng OM là đồ thị của hàm số bậc nhất).
Giải
Vì M thuộc đồ thị hàm y 2 x 2 nên M 2 ; 8
Gọi phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M có dạng là:

y ax b

(d )

Vì d đi qua O 0 ; 0 và M 2 ; 8 nên
b 0

b 0


8 a.2 b
a 4.

Vậy d có dạng là: y 4 x.

Dng Th Yn

24

K34B - SP Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS. Dương Thị Hà

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 TP HCM đề chung vào trường chuyên,
(2006 - 2007).
Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng
y 3x 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

Giải
Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y ax b
Vì đường thẳng d song song với đường thẳng y 3 x 1 nên
a 3; b 1

Mặt khác: d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 nên x 0; y 4 hay

4 3.0 b b 4.

Vậy phương trình đường thẳng (

có dạng y 3 x 4.

Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, tỉnh Hải Dương, năm 2002 - 2003).

1
Cho hàm số y x 2
2
Vẽ đồ thị của hàm số. Gọi A, B là 2 giao điểm trên đồ thị của hàm số có
hoành độ lần lượt là 1 và 2 . Viết phương trình đường thẳng A, B .
Giải
Lập bảng giá trị
x

1
y x2
2

4

2

0

2

4

8

2

0

2

8

Dng Th Yn

25

K34B - SP Toỏn