Các dạng khác nhau của định lý haln banach và ứng dụng

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................... 1
LỜI NÓI ĐẦU .............................................................................................. 2
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 2
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................ 3
4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 3
5. Cấu trúc khóa luận................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..................................... 4
1.1. Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach. ........ 4
1.2. Quan hệ thứ tự và bổ đề Zorn ............................................................ 12
1.3. Tập lồi .................................................................................................. 14
1.4. Hàm cỡ ................................................................................................. 20
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN –
BANACH VÀ ỨNG DỤNG ....................................................................... 22
2.1. Dạng giải tích ....................................................................................... 22
2.2. Dạng hình học ...................................................................................... 27
2.3. Lý thuyết hàm lồi liên hợp .................................................................. 32
KẾT LUẬN................................................................................................. 40

Phạm Thị Thuần

1

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm – một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại, giải tích
hàm hình thành như một ngành khoa học độc lập và giao thời của thế kỉ XIX
và XX, khi người ta phát hiện sự tương tự sâu xa giữa một số khái niệm về
đại số, giải tích và hình học. Giải tích hàm kết hợp và khái quát tư tưởng của
nhiều phần khác nhau của giải tích cổ điển (như tích biến phân, phép tịnh vi
phân và tích phân, phương trình vi phân và tích phân), lý thuyết tập hợp, đại
số tuyến tính và hình học nhiều chiều.
Khái niệm quan trọng nhất của giải tích hàm là khái niệm tổng quát về
không gian. Nét tiêu biểu của giải tích hàm là xét các không gian vô hạn
chiều, gồm các hàm, các dãy hay các đối tượng chung khác, và cả các phép
tính đối với phần tử của các không gian đó. Cùng với sự phát triển khái niệm
không gian thì khái niệm hàm số cũng được tổng quát hóa. Đại lượng biến
thiên không phụ thuộc đối bằng số, mà phụ thuộc một hàm số nào đó được
gọi là phiến hàm. Phiếm hàm là một hàm số xác định trên không gian hàm
nào đó. Một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích hàm là nguyên lý thác
triển Haln – Banach.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm, em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Các dạng khác nhau của định lý
Haln – Banach và ứng dụng” làm khóa luận tốt nghiệp đại học của mình.
Nghiên cứu đề tài này, chúng ta có thêm những hiểu biết về định lý
Haln – Banach, các dạng khác nhau và một số ứng dụng của nó.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
về các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm.

Phạm Thị Thuần

2

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng
dụng của nó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng
dụng.

Phạm Thị Thuần

3

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Banach.
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là
  
 ,  ,  và K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:

 
 
a) Phép cộng:
 : V  V  V , ( ,  )    


b) Phép nhân:
.: K  V  V ,  ,  

 

thỏa mãn những điều kiện (hoăc tiên đề) sau đây:
 
  
   
(V1)         (    ) ,  ,  ,   V






    

(V2) 0  V :   0  0     ,   V


    
(V3)   V ,  '  V :    '   '    0
 

   
(V4)        ,  ,   V




(V5)          ,  ,   K , α  V


 
 
(V6)          ,  K ,  ,   V







(V7)           ,
 

(V8) 1.   , α  V


 ,   K ,   V

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian
vectơ trên trường K hay K - không gian vectơ (gọi tắt là không gian vectơ).
Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hướng.

Phép cộng “  ” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là nhân vectơ với
vô hướng.
Khi K  R thì V được gọi là không gian vectơ thực. Khi K 

thì V

được gọi là không gian vectơ phức.

Phạm Thị Thuần

4

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Một số ví dụ
Ví dụ 1.1. Tập các vectơ tự do trong không gian với các phép toán cộng vectơ
và nhân vectơ với một số thực như đã định nghĩa trong chương trình bậc phổ
thông trung học là một không gian vectơ thực.
Ví dụ 1.2. Cho trường K và n  1 . Xét tích đề các

K n = { ( x1 , x2 ,, xn ) xi  R , i  1,2,, n }
với hai phép toán:

 x1, x2 ,, xn   ( y1, y2 ,, yn )   x1  y1, x2  y2 ,, xn  yn 
  x1 , x2 ,, xn     x1 ,  x2 ,,  xn  ,   K
thì K n cùng với hai phép toán trên là một K – không gian vectơ.
Ví dụ 1.3. Tập X là tập khác rỗng, V là một K – không gian vectơ. Tập 
gồm tất cả các ánh xạ  : X  V với các phép toán:

( +  ) ( x ) =  ( x ) +  ( x )
(  ) ( x ) =  ( x )
với  ,   Ω ,   K là một K – không gian vectơ.
Một số tính chất
Giả sử V là một K không gian vectơ. Các tính chất sau đây suy ra ngay
từ định nghĩa của không gian vectơ:

a) Vectơ 0 nói trong tiên đề (V2) là duy nhất, đó là phần tử tập trung
lập của phép công và được gọi là vectơ không.


b) Với   V , phần tử  ' nói trong tiên đề (V3) là duy nhất. Nó là


phần tử của  đối vói phép cộng trong V và kí hiệu là  .
c) Trong V có quy tắc giản ước và chuyển vế.
   
 
       
  
  
       

Phạm Thị Thuần

5

K34 cử nhân Toán

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
 
 

d) Với   V ta có 0.  0 ,   R ta có  .0  0.

 
 
e) Với   R ,   V , nếu  . = 0 thì  =0 hoặc   0.




f) Với   R ,   V ta có : (  )  = (  ) = ( ).

1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2. Hàm số thực p : X  R xác định trên không gian tuyến tính
thực X gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với mọi x, y  X và với mọi

  K , ta đều có
1) p  x  y   p  x   p  y  ;
2) p   x    p  x  .
Nếu p là một nửa chuẩn trên X thì p( x)  0 với mọi x  X .
Thật vậy, với mọi x  X

0  p  0  p  x    x    p  x   p   x   2 p  x .
Từ định nghĩa của nửa chuẩn ta suy ra ngay
 n
 n
a) p  i xi    i p( xi ) )

 i 1
 i 1

với mọi 1 ,..., n  R..
b) p ( x)  p( y )  p ( x  y ) với mọi x, y  X .
Một số ví dụ
Ví dụ 1.4. Đối với mọi x  R , ta có p  x   x là một nửa chuẩn.
n
n

Ví dụ 1.5. Với x  1 ,  2 ,,  n   K , p  x  

2

  j là một nửa chuẩn.
j 1

Định nghĩa 1.3. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P  R hoặc P 

)

cùng với ánh xạ từ X vào tập số thực R , ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa
mãn các tiên đề sau đây:

Phạm Thị Thuần

6

K34 cử nhân Toán

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
a) (x  X ) x  0, x  0  x   ; (ký hiệu phần tử không là  )
b) (x  X ),(  P )  x   x ;
c) (x, y  X ) x  y  x  y .
số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là
X . Các tiên đề a), b), c) gọi là hệ tiên đề chuẩn.

Một số ví dụ
Ví dụ 1.6. Đối với số thực bất kỳ x  R ta đặt

x  x

(1.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho
một chuẩn trên R . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R1 .
Ví dụ 1.7. Cho không gian vectơ k chiều E k . Trong đó
E k  {x   x1 , x2 ,, xk  : x j  R hoặc x j C}

Đối với vectơ bất kỳ x   x1 , x2 ,, xn   E k ta đặt
n

x 

x

2

(1.2)

j

j 1

Công thức (1.2) cho một chuẩn trên E k . Không gian định chuẩn tương
ứng kí hiệu là E k .
Ví dụ 1.8. Cho không gian vectơ  2 . Đối với vectơ bất kỳ x   xn    2 ta đặt


x 

x

2

(1.3)

n

n 1

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3)
cho một chuẩn trên  2 . Không gian chuẩn tương ứng ký hiệu là  2 .
Định nghĩa 1.4. Dãy điểm ( xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm x  X , nếu lim xn  x  0 . Ký hiệu
n 

Phạm Thị Thuần

7

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
lim xn  x hay xn  x ( n  )
n 

(1.4)

Tính chất
a) Nếu dãy ( xn ) hội tụ tới x , thì dãy chuẩn

 x  hội tụ tới
n

x . Hay nói

cách khác, chuẩn . là một giá trị thực liên tục theo biến x .
b) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ trong không gian định chuẩn X , thì dãy
chuẩn tương ứng

 x  bị chặn.
n

c) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ tới x , dãy điểm  yn  hội tụ đến y trong
không gian định chuẩn X , dãy số  n  hội tụ tới số  , thì
xn  yn  x  y  n    ,  n xn   x  n   

Định nghĩa 1.5. Dãy điểm  xn  , n  1,2,... trong không gian định chuẩn X
được gọi là một dãy Cauchy (dãy cơ bản), nếu với mọi   0 , tồn tại một số
N 0    sao cho

un  um   , với mọi m, n  N 0   
Mệnh đề 1.1. Trong không gian định chuẩn, mọi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.
Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là
trường số thực

hoặc trường số phức

). Ánh xạ A từ không gian X vào

không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
i) (x, x '  X ) A( x  x ')  Ax  Ax ' ;
ii)  x  X    P  A x   Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện i) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ
thỏa mãn điều kiện ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y  P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Phạm Thị Thuần

8

K34 cử nhân Toán

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian đối
ngẫu, kí hiệu X * , là không gian của tất cả các hàm tuyến tính bị chặn trên X :
f : X  K là tuyến tính, và f

X*

 sup f  x   .
x

X

1

. X được định nghĩa là một chuẩn trên X * , được gọi là chuẩn, với mọi
*

x  X , f  x  f

X*

. x X.

Bổ đề 1.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;
3) A bị chặn.
Chứng minh
1)  2) Giả sử toán tử A liên tục.

Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi điểm x  A , do đó toán tử A
liên tục tại điểm x0  X .
2)  3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0  X , nhưng toán tử A không bị

chặn.
Khi đó (n 

*

)(xn  X ) Axn  n xn .

Hiển nhiên xn   , đặt yn 

xn
, thì
n xn

yn   khi n   suy ra yn  x0  x0

yn 

1
 0 (n  ) , nghĩa là
n

( n  ) .

Theo giả thiết, ta có

A( yn  x0 )  Ax0  0 (n  ) suy ra Ayn  0 ( n  ) .
 x
Nhưng Ayn  A  n
 n xn


1
Axn  1 .
 
n
x
n


Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên.

Phạm Thị Thuần

9

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Vì vậy toán tử A liên tục tại điểm x0  X thì bị chặn.
3)  1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa C  0

(*)

Ax  C x , x  X

Lấy một điểm bất kỳ x  X và dãy điểm tùy ý ( xn )  X hội tụ tới x .
Nhờ hệ thức (*)
Axn  Ax  A( xn  x)  C xn  x  0 ( n  ) .

Do đó A liên tục tại điểm x . Suy ra A liên tục.
Bổ đề được chứng minh.
1.1.3. Không gian Banach
Định nghĩa 1.8. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy Cauchy trong không gian này đều hội tụ.
Nhận xét : - Trong không gian Banach, một dãy hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.
- Không gian Banach cũng là không gian định chuẩn đầy.
Ví dụ 1.9. Cho   a  b   . Khi đó, X  C  a, b là không gian Banach
thực, với chuẩn
u  max u ( x) .

(1.5)

a  x b

Sự hội tụ un  u khi n   trong X tương đương với
un  u  max un ( x)  u ( x)  0 khi n  
a  x b

Nghĩa là, dãy (un ) , n  1,2,... các hàm số liên tục un :  a, b   R liên tục đều
trên  a, b  đến hàm số liên tục u :  a, b   R , n  1,2,...
Thật vậy, trước hết ta chỉ ra . là một chuẩn.

Phạm Thị Thuần

10

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Với u  C  a, b  , u  max u ( x)  0 và u  0
a  x b

 max u ( x )  0  u ( x)  0 , x   a, b   u  0 trong X .
a  x b

Với   R , u  C  a, b  :

u  m
ax  u ( x)   max u ( x)   u .
a  x b
a  x b
Ngoài ra, từ u ( x)  v( x)  u ( x )  v( x) , với u, v  C  a, b , ta có
uv  u  v

Cuối cùng ta chỉ ra X  C  a, b là không gian Banach. Theo định nghĩa, ta
xét dãy (un ) , n  1,2,... là một dãy Cauchy trong X .
Khi đó
un  um  max un ( x)  um ( x )   , n, m  n 0 ( )
a  x b

(1.6)

Từ (1.6) suy ra

un ( x )  u ( x) khi n   , với x   a, b 

(1.7)

Cho m   trong (1.6), ta có :
max un ( x)  u ( x)   , n  n0 ( )
a  x b

Vậy sự hội tụ trong (1.7) là đều trên  a, b 
Từ các điều kiện trên ta có u :  a, b   R liên tục. Chứng tỏ u  C  a, b  và
un  u khi n   trong X .

Phạm Thị Thuần

11

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Hay C  a, b  là không gian Banach thực với chuẩn u  max u ( x) với
a  x b

u X .

Mệnh đề 1.2. Giả sử un  u khi n   là một dãy Cauchy trong không gian
định chuẩn X trên trường K có một dãy con , n '  1,2,... hội tụ, nghĩa là
un '  u khi n '   trong X .

Khi đó, dãy ban đầu hội tụ đến u : un  u khi n   trong X .

Hệ quả 1.1. Giả sử


u

j 1

u j   , với (un )  X trên trường K , n  1,2,...

j 1

Khi đó, dãy (un ) , n  1,2,... là một dãy Cauchy trong X .
1.2. Quan hệ thứ tự và bổ đề Zorn
1.2.1. Quan hệ thứ tự
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một tập hợp,  là một quan hệ trong X sao
cho:
1) x  x với mọi x  X (phản xạ) ;
2) x  y và y  x  x  y với mọi x, y  X (phản xứng) ;
3) x  y và y  z  x  z với mọi x, y, z  X (bắc cầu).
Khi ấy ta gọi quan hệ  là một thứ tự (hay thứ tự bộ phận) trên tập X ,
và X được sắp thứ tự bộ phận theo thứ tự đó.
Một số ví dụ
Ví dụ 1.10. Trong

Phạm Thị Thuần

,

,

,

quan hệ  thông thường là quan hệ thứ tự.

12

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Ví dụ 1.11. Trong
*

q

*

xét quan hệ “chia hết”. a chia hết cho b nếu tồn tại

sao cho a.q = b, kí hiệu a b . Quan hệ này là quan hệ thứ tự.

Ví dụ 1.12. Quan hệ bao hàm () trong tập hợp ( S ) các tập con của một tập
S là quan hệ thứ tự.
1.2.2. Quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận
Định nghĩa 1.10. Cho S là một tập được sắp thứ tự. Nếu với x, y  S ta có
x  y hoặc y  x thì ta nói x và y so sánh được với nhau.

Nếu mọi x, y  S đều so sánh được với nhau thì ta nói S là tập sắp thứ
tự toàn phần (còn gọi là sắp thứ tự tuyến tính hay sắp thẳng).
Trong trường hợp trái lại ta nói S là tập sắp thứ tự bộ phận.

Một số ví dụ
Ví dụ 1.13. Quan hệ  thông thường trên

,

,

,

là quan hệ thứ tự toàn

phần.
Ví dụ 1.14. Quan hệ “chia hết” trong

*

là quan hệ thứ tự bộ phận (chẳng

hạn 2 và 3 không so sánh được với nhau).
Ví dụ 1.15. Nếu X  2 thì ( X ) với quan hệ  là quan hệ thứ tự bộ phận.
Thật vậy, chọn a, b  X , a  b thì {a}  {b} và {b}  {a} nên {a} và
{b} không so sánh được với nhau.

1.2.3. Bổ đề Zorn
Định nghĩa 1.11. c là cận trên của Q nếu a  Q suy ra a  c , m được gọi là
phần tử lớn nhất trong Q nếu và chỉ nếu a  Q ta có m  a , khi đó a  m .
Bổ đề 1.2. Nếu S là một tập sắp thứ tự bộ phận và mọi tập sắp thứ tự tuyến
tính của tập S đề có cận trên, thì tập S có một phần tử tối đại.

Phạm Thị Thuần

13

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
1.3. Tập lồi
1.3.1. Định nghĩa 1.12. X là một không gian tuyến tính trên trường số thực.
Một tập hợp con K của X được gọi là lồi nếu với mỗi x, y  K thì:
ax  (1  a) y

(1.8)

0  a 1

cũng thuộc K .
1.3.2. Ví dụ. Hình tròn, hình tam giác, nửa hình tròn là những tập lồi trong
mặt phẳng.
1.3.3. Các tính chất: Là hệ quả trưc tiếp từ định nghĩa.
Định lý 1.1. K là tập lồi trong không gian tuyến tính X trên trường số thực
R . Giả sử cho x1 , x2 ,, xn  K . Khi đó, mọi x có dạng:
n

n

x  a j x j , a j  0 ,
j 1

a

j

1

(1.9)

j 1

đều thuộc K .
Chứng minh
- n  1 : Kết luận hiển nhiên đúng.
- n  2 : Ta có từ x1 , x2  K , 1  0 , 2  0 và 1  2  1 , thì
x  1 x2  1 x2  K

theo định nghĩa tập lồi.
- Giả thiết quy nạp, kết luận của bài toán đúng với n  k , tức là
k

x1 , x2 ,, xk  K , i  0 , i  1, n

  1
i

i 1

thì
k

x  i xi  K

i 1

- Xét n  k  1. Lấy x1 , x2 ,, xk , xk 1  K , lấy i  0 , i  1, k  1

Phạm Thị Thuần

14

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
k 1

và



i

 1.

i 1

Chỉ có hai khả năng xảy ra :
a) Nếu k 1  1 thì 1  2  ...  k  0 , vì thế:
k 1

x  i xi  xk 1  K (Theo giả thiết xk 1  K )
i 1

k

b) Nếu k 1  1 ta đặt 0  i .
i 1

k

Khi đó rõ ràng 0  0 và 0  0 (Chú ý là

  1 và 
i

k 1

 1)

i 1

ta có
k 1

k

x  i xi  0 
i

i 1

Vì

1

,..., k  [0,1] và
0
0

k

i


i 1

0



i
x  x .
0 i k 1 k 1

(*)

0
 1 nên từ x1 , x2 ,, xk , xk 1  K và
0

theo giả thiết quy nạp, suy ra:
k

x 
i 1

i
x K
0 i
k 1

Do x  K , xk 1  K , 0  0, k 1  0 và 0  k 1   i  1 , nên từ tính lồi của
i 1

K suy ra:
x  0 x  k 1 xk 1  K

(**)

Từ (*) và (**) suy ra:
k

x   i xi  K
i 1

Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n  k  1
Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh.

Phạm Thị Thuần

15

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
x được xác định trong (1.9) gọi là tổ hợp lồi của x1 , x2 ,, xk .

Định lý 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực:
a) Tập  là lồi;
b) Một tập con chỉ chứa một điểm là lồi;
c) Mọi không gian tuyến tính con của X là lồi;
d) Tổng của hai tập con lồi là lồi;
e) Nếu K lồi thì - K cũng lồi ;
f) Giao của họ tùy ý các tập hợp lồi là lồi ;
g) Cho {K j } là dãy các tập con lồi được sắp xếp theo thứ tự toàn phần
bởi phép bao hàm. Khi đó, hợp của các K j :  K j là lồi;
h) Ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là lồi;
i) Nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là lồi.
Chứng minh
d) Đặt C  A  B , thì C  {c : c  a  b, a  A, b  B}
Lấy c1 , c2 tùy ý thuộc C , và 0    1 là số thực tùy ý.
Vì
c1  C  c1  a1  b1 với a1  A, b1  B
c2  C  c2  a2  b2 với a2  A, b2  B .

Từ đó

 c1  (1   )c2   (a1  b1 )  (1   )(a2  b2 )
 [ a1  (1   )a2 ]  [b1  (1   )b2 ]

(*)

Do A, B lồi, mà a1 , a2  A, b1 , b2  B nên

 a1  (1   )a2  A ; b1  (1   )b2  B .
Vì lẽ đó từ (*) suy ra  c1  (1   )c2  C .
Điều đó có nghĩa là C lồi, tức A  B lồi.

Phạm Thị Thuần

16

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
f) Chứng minh bằng quy nạp
- n2
Lấy a, b tùy ý thuộc A1  A2 và  là số tùy ý sao cho 0    1 .
Do A1 , A2 là hai tập hợp lồi, mà a, b  A1 ; a, b  A2 , nên
 a  (1   )b  A1

 a  (1   )b  A2

Từ đó  a  (1   )b  A1  A2 , hay A1  A2 là tập lồi.
- Giả sử kết luận đúng với n  k , nghĩa là:
nếu A1 , A2 ,..., Ak lồi thì A1  A2  ...  Ak lồi.
Ta chứng minh kết luận đúng với n  k  1 . Thật vậy,
ta đặt B  A1  A2  ...  Ak .
Chứng minh tương tự như trên ta có B  Ak 1 cũng là tập hợp lồi, với
Ak 1 lồi.

Vậy A1  A2  ...  Ak  Ak 1 lồi.
1.3.4. Định nghĩa 1.13. Siêu phẳng H là tập các điểm x thỏa mãn phương
trình f  x    với mỗi   R và f là hàm tuyến tính khác 0.
Mệnh đề 1.3. H đóng khi và chỉ khi f bị chặn.
Định nghĩa 1.14. Giả sử A, B  X
- Siêu phẳng

 f  

tách A và B nếu x  A , f  x    và x  B ,

f  x  .

- Siêu phẳng  f    tách ngặt A và B nếu   0 sao cho x  A ,
f  x      , và x  B , f  x      .

1.3.5. Bao lồi
Định nghĩa 1.15. Cho A là một tập con tùy ý của không gian tuyến tính X
trên trường số thực.

Phạm Thị Thuần

17

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Bao lồi của A được định nghĩa là giao của tất cả các tâp lồi chứa A .

Kí hiệu: coA .
Định lý 1.3
a) Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất chứa A.
b) Bao lồi của A gồm tất cả các tổ hợp lồi những điểm thuộc A .
Chứng minh
Phần a) dễ thấy theo định nghĩa bao lồi.
Phần b) thật vậy, dĩ nhiên một tổ hợp lồi của một hoặc hai phần tử của
A bao giờ cũng thuộc vào coA .

Giả sử ta đã chứng minh được rằng mọi tổ hợp lồi của k  2 phần tử của A
đều thuộc coA , và cho x là một tổ hợp lồi của k  1 phần tử của A .
n

n

x   ajxj , xj  A, aj  0 ,
j 1

a

j

 1.

j 1

Ta có thể viết:
x  (1  ak 1 ) y  ak 1 xk 1

với

 a1 
 ak 
y 
 x1  ...  
 xk
1

a
1

a
k 1 
k 1 


Nhưng rõ ràng y là một tổ hợp lồi của các x1 , x2 ,..., xk nên theo giả thiết quy

nạp: y  coA . Mà x là tổ hợp lồi của y và xk 1 , vậy x  coA .
Như thế, nếu gọi D là tập tất cả các tổ hợp lồi của những phần tử của A thì
D  coA . Mặt khác, chính D cũng là tổ hợp lồi, vì rằng nếu:
k

m

x  ai xi  D,
i 1

y  b j y j  D
j 1

và
k

m

i 1

j 1

 x  1    y     ai xi   1   b j y j

Phạm Thị Thuần

18

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
với  ai  0 , i  1, k , (1   )b j  0, j  1, m
k

m

( ai ) xi   1    b j y j  1.
i 1

i 1

Nên

 x  1    y  D.
Mà D là bao hàm A nên theo định nghĩa bao lồi thì D  coA .
Vậy: D  coA .
Định lý được chứng minh.
1.3.6. Tập cực biên
Định nghĩa 1.16. Cho K là tập con trong không gian tuyến tính.
-

S  K là tập cực biên nếu với mỗi x, y  K , tồn tại t   0,1 để

tx  1  t  y  S

thì x, y  S .
- Điểm x0 là điểm cực biên của K nếu
x0  tx  1  t  y , 0  t  1 , x, y  K thì x  y  x0 .

Một số ví dụ
Ví dụ 1.16. K là đoạn 0  x  1 , hai mút 0 và 1 là các điểm cực biên của K .
Ví dụ 1.17. K là hình cầu mở x 2  y 2  1 không có điểm cực biên.
Ví dụ 1.18. K là một khối đa diện gồm tất cả các mặt. Các tập con cực biên
của nó là: các mặt, các cạnh, các đỉnh của chính K .
Định lý 1.4. K là một tập lồi, E là tập con cực biên của K , F là một tập
con cực biên của E . Khi đó F là một tập con cực biên của K .
Định lý 1.5. Cho ánh xạ tuyến tính  : K  U , K là tập con lồi của U , E là
tập con cực biên của K. Khi đó, nghịch ảnh của E sẽ là  hoặc là một tập
con cực biên của nghịch ảnh của K.

Phạm Thị Thuần

19

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
1.4. Hàm cỡ
1.4.1. Định nghĩa 1.17. Cho C là một tập con lồi, mở của X chứa gốc.
Ta định nghĩa hàm cỡ của C là ánh xạ p : X  R  xác định bởi:
x


p  x   inf t  0 :  C .
t



1.4.2. Mệnh đề 1.4. Cho p là hàm cỡ của C . Khi đó p có các tính chất
sau:
1) p  tx   tp  x  , t  0 , x  X ;
2) p  x  y   p  x   p  y  , x, y  X ;
3) 0  p  x   M x X , x  X ;
4) p  x   1  x  C.

Chứng minh
1) Hiển nhiên.
2) Từ tính chất đầu tiên, nếu   p  x  thì
nếu   0 thì

x



 C. Do đó

x
y
,
 C . Do C lồi nên t   0,1 , ta có
p  x   p  y   
t

Vì vậy, nếu chọn t 

x
y
 1  t 
 C.
p  x  
p y  

p  x  
x y
  0,1 , thì
 C.
p  x   p  y   2
p  x   p  y   2

Vì p  x  y  được định nghĩa là số nhỏ nhất t sao cho

p x  y
 C , nên
t

ta có p  x  y   p  x   p  y   2 .
Do   0 tùy ý, ta suy ra p  x  y   p  x   p  y  .

Phạm Thị Thuần

20

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
3) Ta có C là mở, nên tồn tại r  0 sao cho C  B  0, r  .
Từ đó, x  0 trong X ,

2
x r
.  C suy ra p  x   x
r
xX 2

vì p( x) là cận dưới đúng với mọi t sao cho

X

x
 C.

t

4) Giả sử x  C , khi đó 1    x  C với   0 nào đó, vì C mở.
Vì thế, theo định nghĩa của p  x  ta thấy rằng:
p x 

1
 1.
1 

Trái lại, nếu p  x   1 , khi đó   1 sao cho
Vậy 

x



x



 C.

 1    .0  C vì C lồi. Do đó x  C.

Mệnh đề được chứng minh.

Phạm Thị Thuần

21

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG KHÁC NHAU CỦA ĐỊNH LÝ HALN –
BANACH VÀ ỨNG DỤNG
2.1. Dạng giải tích
2.1.1. Những định lý mở rộng của các phiếm hàm tuyến tính
Định lý Hahn – Banach liên quan đến sự mở rộng của các phiếm hàm
tuyến tính từ một không gian con của không gian tuyến tính lên toàn không
gian.
Định lý 2.1. (Dạng thực của định lý Hahn – Banach)
Cho X là không gian tuyến tính thực và cho p : X  R là một phiếm
hàm thỏa mãn:
p  tx   t. p  x  , p  x  y   p  x   p  y 

với mọi t  0 , x, y  X . Cho f : Y  R tuyến tính với Y là không gian con
của X sao cho f  x   p  x  , x  Y .
Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính  : X  R sao cho
y  Y ,   y  = f  y  và   x   p  x  , x  X .

Chứng minh
Cho P là tập các phiếm hàm tuyến tính h , được xác định trên tập xác
định, D (h)  Y , mở rộng f thỏa mãn:
h  y   f  y  y  Y
h  x   p  x  x  X

Bây giờ ta xác định một quan hệ thứ tự trên tập P sao cho ta có thể sử dụng
bổ đề Zorn.

Trong P , ta nói h1  h2 nếu và chỉ nếu D  h1   D  h2  và h1  h2 trong D (h1 ) .
Hiển nhiên, P là tập khác rỗng (vì nó chứa ít nhất f ).
Bây giờ, cho  h A là tập con sắp thứ tự toàn phần của P .

Phạm Thị Thuần

22

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Cho h xác định trên   A D  h  và cho h  x   h  x  với x  D  h  .
Sắp thứ tự này tốt bởi vì  h A là tập sắp thứ tự toàn phần (vì thế, tất cả h
đúng trên biên). Theo định nghĩa của  , ta có h là cận trên.
Do vậy, theo bổ đề Zorn cho  P,   , ta thấy rằng P có phần tử lớn nhất,
gọi phần tử này là  .
Ta cần kiểm tra rằng D  Λ   X
Giả sử rằng D  Λ   X . Khi đó, cho x0  D  Λ  . Khi đó ta khẳng định
rằng có a sao cho ta có thể mở rộng  đến h : D  Λ   R x0  R

h  x  tx0   Λ  x   t.a
và
Λ  x   t.a  p  x  tx0 
x  D  Λ  và t  R

Λ  x   a  p  x  x0 

 Λ  x   a  p  x  x0 
x  D  Λ  (thay x bởi

x
x
nếu t  0 và  nếu t  0 ).
t
t

Vậy có số a hay không? Điều đó đủ để kiểm tra rằng:
sup Λ  x   p  x  x0   inf p  y  x0   Λ  y  .
yD (  )

xD Λ 

Từ biểu diễn này, ta chú ý đến tính tuyến tính của  ta có
Λ x  Λ y  Λ x  y
 Λ  x  x0  x0  y 
 p  x  x0  x0  y   p  x  x0   p  x0  y 

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, từ bất đẳng thức mở rộng của p
suy ra

Λ  x   p  x  x0   p  x0  y   Λ  y  x, y.

Phạm Thị Thuần

23

K34 cử nhân Toán

Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
Do đó
sup  Λ  x   p  x  x0    inf  p  x0  y   Λ  y   .
y

x

Từ đây, có thể chọn a để có thể mở rộng  đến h sao cho
h  x  tx0   Λ  x   t.a và Λ  x   ta  p  x  tx0  .

Nhưng điều này mâu thuẫn với  là phần tử lớn nhất.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.2. (Dạng phức của định lý Haln – Banach)
Cho X là không gian tuyến tính phức p : X  R là ánh xạ sao cho

p  x   y    p  x    p  y  và p  tx   tp  x 
x, y  X , t  0 và  ,  C thỏa mãn     1.

Cho f : Y  X  C tuyến tính sao cho

f  y   p  y  , y  Y
Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính  : X  C sao cho   y   f  y 
với y  Y và   x   p  x  , x  X .
Chứng minh
Ta kí hiệu phần thực và phần ảo của f ( x) tương ứng là R f và Tf .
Ta sẽ đưa về trường hợp biến thực. Kí hiệu l  x   R f  x  là phần thực của f .
Vì f  ix   if  x  , nên ta có

l  ix   R f  ix   R if  x   Tf  x  . Vì vậy

f  x   l  x   il  x  .
Khi đó với mỗi z  , ta có R z  z , nên l  x   f  x   p  x  .
Áp dụng dạng thực của định lý Hahn – Banach đối với l và p

p 1    x   y   1    p  x    p  y  ,    0;1

Phạm Thị Thuần

24

K34 cử nhân Toán


Các dạng khác nhau của định lý Haln – Banach và ứng dụng
tồn tại phiếm hàm tuyến tính L xác định trên X sao cho
L  x   p  x  , x  X và l  y   L  y  , y  Y .

Kí hiệu  là phiếm hàm cho bởi Λ  x   L  x   iL  x  ,  là tuyến tính và
Λ  y   L  y   iL  y   l  y   il  y   f  y  với y  Y .

Hơn nữa, vì z là thực, với mỗi z C ta viết z  ei z với  nào đó.
Vậy R å Λ  x   ei Λ  x   Λ  ei x  . Vì thế, từ Λ  ei x  là thực ta có
Λ  ei x   L  ei x   p  ei x   ei p  x   p  x  .

Định lý được chứng minh.
2.1.2. Những ứng dụng của định lý Haln – Banach
Định lý 2.3. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và f là phiếm hàm
tuyến tính xác định trên không gian con Y  X với

f

Y

f  x .

 sup
xY , x

X

1

Khi đó, f được mở rộng đến g  X * sao cho g  f trên Y và
g

X*

 f

Y*

.

Chứng minh
Sử dụng một trong hai dạng thực hoăc phức của định lý Haln – Banach
(phụ thuộc vào trường vô hướng K , trên X ) với p  x   f

Y*

x X.

Dễ dàng kiểm tra rằng nó thỏa mãn tính chất nửa chuẩn của giả thiết trong
định lý Haln – Banach và f  p trong Y .
Ta có thể mở rộng
g

Y*

 f

Y*

X*

đến g với

g  x  p x  f

Y*

x X , do đó

.

Mặt khác, nếu mỗi
g

f

y  Y  X , thỏa mãn

y

Y

 1 ta thấy rằng

 g  y   f  y  (theo định lý Haln – Banach) , do đó g

Phạm Thị Thuần

25

X*

 f

Y*

.

K34 cử nhân Toán