Dạng song song tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------- 
 
 
 
 
 
ĐẶNG THỊ HOA

 
 
 
 
 

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
 
 
 
 
 
 
 
 
 

HÀ NỘI – 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
------------ 
 
 
 
 
ĐẶNG THỊ HOA

 
 
 
 
 

DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
 

 

Người hướng dẫn khoa học
THS. ĐINH THỊ KIM THÚY

 
 
 
 
HÀ NỘI – 2012
 


LỜI CẢM ƠN
 
Em xin cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ 
Hình học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện  giúp đỡ em 
hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ths. Đinh Thị Kim Thúy, người 
đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và truyền đạt kinh nghiệm cho em trong suốt 
quá trình nghiên cứu khóa luận. 
Do lần đầu tiên làm quen với nghiên cứu khoa học nên đề tài khóa luận 
của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong được sự chỉ 
bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được 
hoàn thiện hơn. 
Em xin chân thành cảm ơn!
 
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN

 
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ chỉ bảo, tận tình của cô 
hướng dẫn, em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận tốt nghiệp của em. Em 
xin cam  đoan bài khóa luận trên là do bản thân em nghiên  cứu  cùng  với sự 
giúp đỡ của cô giáo hướng dẫn mà có và không sao chép từ bất cứ tài liệu có 
sẵn nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 
 
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
SINH VIÊN

Đặng Thị Hoa


MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 
NỘI DUNG.................................................................................................... 3 
Chương 1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ...................................................... 3 
1.1. Định nghĩa, ví dụ..................................................................................... 3 
1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên................... 5 
1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính   .......................................................... 6 
1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính ............................................................ 8 
1.5. Hạng của dạng song tuyến tính.............................................................. 10 
1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với hai 
cơ sở khác nhau............................................................................................ 11 
1.7. Dạng toàn phương  ................................................................................ 13 
Bài tập chương 1 .......................................................................................... 19 
Chương 2. DẠNG HERMITE ...................................................................... 26 
2.1. Dạng song tuyến tính liên hợp ............................................................... 26 

2.1.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 26 
2.1.2. Sự xác định định dạng song tuyến tính liên hợp ................................. 27 
2.1.3. Ma trận của dạng song tuyến tính liên hợp ......................................... 29 
2.1.4. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính liên hợp 
đối với hai cơ sở khác nhau. ......................................................................... 29 
2.1.5. Dạng toàn phương liên hợp ................................................................ 30 
2.2. Dạng Hermite ........................................................................................ 31 
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 31 
2.2.2. Sự xác định dạng Hermite .................................................................. 32 
2.2.3. Ma trận của dạng Hermite .................................................................. 32 


2.2.4. Mối liên hệ giữa dạng song tuyến tính liên hợp trên không gian unita và 
dạng  Hermite............................................................................................... 34 

2.2.5. Giới thiệu về dạng toàn phương Hermite ............................................ 34                    

Bài tập chương 2 .......................................................................................... 37                    
KẾT LUẬN.................................................................................................. 41 

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42                    


 

 
1 
 

MỞ ĐẦU

 
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói, đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán 
nói  chung,  Đại  số  tuyến  tính  là  một  môn  khoa  học  quan  trọng  vì  nó  là  nền 
tảng của nhiều môn toán như: Hình học Aphin, Hình học Ơclit, Hình học vi 
phân..... 
Cấu trúc không gian vectơ cho phép diễn đạt các khái niệm như độc 
lập  tuyến  tính  và  phụ  thuộc  tuyến  tính,  tập  sinh,  hạng,  cơ  sở  và  tọa  độ, 
không gian con k chiều (đường thẳng, mặt phẳng)…Tuy nhiên cấu trúc này 
chưa cho phép nói đến các khái niệm mang nội dung hình học nhiều hơn như 
độ  dài  vectơ  và  góc  giữa  hai  vectơ…Để  diễn  đạt  những  khái  niệm  này, 
người ta  cần cấu  trúc  không  gian vectơ Euclid.  Chính vì thế  ta  cần  nghiên 
cứu và tìm hiểu sâu hơn về dạng song tuyến tính. Do đó em đã chọn đề tài: 
“Dạng song tuyến tính”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về dạng song tuyến tính.  
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
     

Đối tượng  nghiên  cứu là đại số tuyến  tính,  cụ  thể là  dạng  song tuyến 

tính. 
Phạm  vi  nghiên  cứu  là  tất  cả  tài  liệu  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến 
tính. 
4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu có 
liên quan…   
5. Nội dung của khóa luận
 

Nội dung của khóa luận gồm có hai chương chính như sau: 

     

Chương 1. Dạng song tuyến tính 

 


 

 
2 
 

          Nội dung của chương 1 xoay quanh 2 vấn đề chính: 
      

Định nghĩa dạng song tuyến tính và các khái niệm, các định lí liên quan 

đến dạng song tuyến tính nhằm giúp chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề mà chúng 
ta đang nghiên cứu. 
     

Định  nghĩa  dạng  toàn phương và các khái  niệm,  các  định  lí của dạng 

toàn  phương,  phương  pháp  Lagrange  đưa  dạng  toàn  phương  về  dạng  chính 
tắc. 
    

Chương 2. Dạng Hermite 

   

 Nội dung của chương 2 đi vào tìm hiểu dạng song tuyến trong không 

gian vectơ phức trong đó xoay quanh 2 vấn đề chính: 
   

Trình  bày  các  định  nghĩa,  định  lí  liên  quan  đến  dạng  song  tuyến  tính 

liên hợp. 
   

Định nghĩa dạng Hermite (dạng song tuyến tính liên hợp đối xứng) và 

các khái niệm liên quan đến dạng Hermite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 


 

 
3 
 

NỘI DUNG
Chương 1
DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

1.1. Định nghĩa, ví dụ
Cho V và W là hai không gian vectơ trên trường K.
Định nghĩa
        Ánh xạ  f : V  W  K được gọi là  một dạng song tuyến tính trên 
V  W   nếu  nó  thỏa  mãn  các  điều  kiện  sau  với  mọi  x, x  V , y, y  W và 

,  K :  
(I)
(II)

f (x  x, y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y)
 
f (x, y  y)  f (x, y)  f (x, y), f (x, y)  f (x, y)

Nói cách khác khi cố định một biến thì f là dạng tuyến tính đối với biến 
còn lại. Dạng song tuyến tính trên V  V còn được gọi là dạng song tuyến tính 
trên V. 
Ví dụ 1.
 a) Nếu g là một dạng tuyến tính trên V và h là một dạng tuyến tính trên 
W, thì f(x, y) = g(x).h(y) với mọi  x  V, y  W  là một dạng song tuyến tính 
trên  V  W . Chẳng hạn khi  V  K 2  và  W  K 3 , thì  
f (x, y)  (x1  x 2 )(y1  2y 2  3y3 )  

là một dạng song tuyến tính trên  K 2  K 3.  
Thật vậy, đặt  
g(x)  x1  x 2 , x  x1, x 2   K 2  

                 h(y)  y1  2y2  3y3 , y  y1, y 2 , y3   K 3  
Vì  g(x) là một dạng tuyến tính trên  K 2 nên  f (x, y) thỏa mãn (I) 

 


 

 
4 
 

Vì  h(y) là một dạng tuyến tính trên  K 3 nên  f (x, y) thỏa mãn (II) 
Suy ra f(x, y) thỏa mãn các điều kiện của một dạng song tuyến tính.  
Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K 2  K 3.  
b) Ánh xạ  f : K 2  K 2  K cho bởi 
f (a,b,c,d) 

a b
  
c d

là một dạng song tuyến tính (tính chất của định thức). 
       Thật vậy, với bất kì  x  (a, b), y  (c,d), x  (a, b), y  (c,d) thuộc  K 2 và 
,  K  ta có: 
f (x  x, y) 

            f (x, y) 

a b
c

f (x, y  y) 

               f (x, y) 

a  a b  b a b a  b
 f (x, y)  f (x, y)  


c
d
c d c d

d



a b
c d

   f (x, y)  

a
b
a b a b
 
 f (x, y)  f (x, y)  

c  c d  d
c d c d

a
b
a b
  f (x, y)   

c  d
c d

Vậy f là một dạng song tuyến tính trên  K 2 .  
Ví dụ 3. Nếu E là không gian Euclid, thì tích vô hướng là một dạng song 
tuyến tính trên E. Thật vậy, Với  x, x1, x 2 , y, y1, y 2  E và  ,   
      Theo định nghĩa tích vô hướng trên E ta có x1  x 2 , y  x1, y  x 2 , y   
và  x, y   x, y  
Lại có 
x, y1  y 2  y1  y 2 , x  y1, x  y 2 , x  x, y1  x, y 2

x,  y  y, x   y, x   x, y

Vậy tích vô hướng là một dạng song tuyến tính trên E.   

 

             


 

 
5 
 

1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng, đối xứng lệch và thay phiên
Định nghĩa.  
Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng nếu 

   

f (x, y)  f (y, x), x, y  V  

Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là đối xứng lệch nếu 

   

f (x, y)  f (y, x), x, y  V  

Dạng song tuyến tính  f (x, y)  trên V gọi là thay phiên nếu 

   

f (x, x)  0 , x  V  

Ví dụ:
Cho  V  K 2 .  Khi  đó  f (x, y)  x1y 2  x 2 y1   là  một  dạng  song  tuyến 

(i)

tính đối xứng, còn   g(x, y)  x1y2  x 2 y1 vừa là một dạng song tuyến 
tính thay phiên, vừa là đối xứng lệch.  
Dạng  song  tuyến  tính  f (x, y)  x1y1  x 2 y 2   trên  K 2   là  đối  xứng, 

(ii)

nhưng không thay phiên.
(iii)

Ánh xạ  f : R n  R n  R xác định bởi: 
f (x, y)  x1y1  x 2 y 2  ...  x n y n , 

là một dạng song tuyến tính đối xứng trên  R n  với  x  (x1,...x n ), y  (y1,..yn ).  
Nhận xét.  
1. Mọi dạng song tuyến tính thay phiên là đối xứng lệch.
Thật vậy:  do f là dạng song tuyến tính thay phiên nên với mọi  x, y  V  ta có 
 f (x  y, x  y)  0

f (x  y, x  y)  0
 f (x  y, x  y)  f (x  y, x  y)

 f (x, x  y)  f (y, x  y)  f (x, x  y)  f (y, x  y)
 f (x, x)  f (x, y)  f (y,x)  f (y, y)  f (x, x)  f (x, y)  f (y,x)  f (y, y)
 2f (x, y)  2f (y,x)  0  f (x, y)  f (y,x)
W.

 

 


 

 
6 
 

  2. Mọi dạng song tuyến tính trên V đều có thể biểu được thành tổng 
của  một  dạng  song  tuyến  đối  xứng  và  một dạng  song  tuyến  tính  thay  phiên 
trên V. 
Thật vậy: với  x, y  V đặt  
1
f (x, y)  f (y, x)
2
 
1
f 2 (x, y)  f (x, y)  f (y, x)
2
f1 (x, y) 

 

Dễ dàng chứng minh được  f1 là dạng song tuyến tính đối xứng và  f 2 là 

dạng tuyến tính thay phiên thỏa mãn  f  f1  f 2  
1.3. Sự xác định dạng song tuyến tính   
          Cho  S={1,2 ,...m }  là cơ sở của V và  T={1, 2 ,...n }  là cơ sở của 
W.  Khi đó, tương tự như  ánh xạ tuyến tính, dạng  song tuyến tính được xác 
định duy nhất qua các giá trị của nó trên  S  T . 
Định lí 1.1 Ánh xạ   f : V  W  K  là một dạng song tuyến tính khi và chỉ khi 
tồn tại mn phần tử  a ij  K,i  1,2,...m, j  1,2,...n sao cho 
m n

f (x, y)   a ijx i y j  
i 1 j1

với mọi  x  x11  ...  x n n và y  y11  ...  y n n . Hơn nữa khi đó 
f ( i ,  j )  a ij ,i  1,2,...m, j  1,2,...n  

và f là dạng song tuyến tính duy nhất trên V thỏa mãn điều kiện này. 
Nếu kí hiệu  A  (a ij )  M(m,n;K) thì ta có thể viết f(x, y) như sau: 
                          f (x, y)  (x1,...x m )A(y1,...y n )T . 
Chứng minh. 
Giả sử f là dạng song tuyến tính tùy ý trên  V  W . Với mỗi cặp (i, j) 
trong  đó  i  1,2,...m, j  1,2,...n ta  đặt  f ( i ,  j )  a ij .  Khi  đó,  với  bất  kì 
x  x11  ...  x m m , y  y11  ...  y n n  V  ta có:   

 


 

 
7 
 
n


f (x, y)  f ( x i i ,  y j j )   x if  i ,  y j j 
 j1

i 1
j1
i 1


m

m

n

n

n

 

m n

m n

  x i  y jf (i ,  j )   x i y jf (i ,  j )   a ijx i y j
i 1

j1

i 1 j1

i 1 j1





  Ngược lại, giả sử tồn tại mn phần tử  a ij | i  1,2,...m, j  1,2,...n sao cho 
ánh  xạ  f : V  W  K   thỏa  mãn  điều  kiện  trong  định  lí.  Khi  đó  với  bất  kì 
m

m

n

n

x   x i i , x   xi i  V, y   y j j , y   yj j  W, ,  K ta có 
i 1

i 1

j1

j1

m
n
n
m

m

f (x  x, y)  f   x i i   xi i ,  y j j   f   (x i  xi )i ,  y j j 
 i 1

 i 1

i 1
j1
j1




m n

m n

  (x i  xi )y jf (i ,  j )   (x i  xi )y ja ij
i 1 j1

i 1 j1

m n

m n

  x i y ja ij   xi y ja ij  f (x, y)  f (x, y)
i 1 j1

       

i 1 j1

n
m


f  x, y   f (  x i i ,  y j j )  f  x i i ,  y j j 
 i 1

i 1
j1
j1


m

m n

n

m n

  x i y jf (i ,  j )    x i y ja ij  f (x, y)
i 1 j1

i 1 j1

Tương tự ta cũng chứng minh được  f (x, y  y)  f (x, y)  f (x, y) và   
f (x, y)  f (x, y) . Do đó f là dạng song tuyến tính trên V  W . Khi  x  i ,  
y   j  thì  x i  1, x t  0  với  t  i ,  y j  1, yh  0  với  h  j . 

  Vì vậy ta có:  f ( i ,  j )  a ij  với mọi cặp (i, j). 
Giả  sử  g  là  một  dạng  song  tuyến  tính  trên  V  thỏa  mãn  điều  kiện  
g( i ,  j )  a ij.  

 


 

 
8 
 

 Khi  đó  với  hai  vectơ  bất  kì x  x11  ...  x m m , y  y11  ...  y n n  
ta có  
m n

g(x, y)   a ijx i y j  f (x, y)  
i 1 j1

Vậy f = g. Định lí được chứng minh.
1.4. Ma trận của dạng song tuyến tính
 Định nghĩa
Ma trận  A  (a ij ) mn  trong đó  a ij  f (i ,  j ),i  1,2,...m, j  1, 2,...n
được gọi là ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  trên  V  W theo cặp 
cơ sở (S, T). Nếu f là dạng song tuyến tính trên V thì ma trận biểu diễn của f 
theo cặp (S, S) được nói gọn là ma trận biểu diễn của f theo S. 
Ví dụ. Tìm ma trận biểu diễn của dạng song tuyến tính f  với 
i) Dạng song tuyến tính f trên  K 2  K 3 được cho bởi  
f (x1, x 2 ; y1, y 2 , y3 )  (x1  x 2 )(y1  2y 2  y3 )  

ii) Dạng song tuyến tính trên  R 2 , x  (x1, x 2 ), y  (y1, y2 ) cho bởi 
f (x, y) 

x1 x 2
 
y1 y 2

iii)  Nếu  f  là  tích  vô  hướng  trên  không  gian  vectơ  Euclid,  thì  ma  trận 
biểu diễn của f  theo cơ sở  (a) = {a1,a 2 ,...a n } trong không gian vectơ E như 
thế nào? 
Giải. 
a
a
 i)Đặt  A   11 12
 a 21 a 22

a13 
, 

a 23 

chọn cơ sở của  K 2 là  (e)  e1  (1,0), e2  (0,1) và cơ sở của  K 3 là 
()  1  (1,0,0),  2  (0,1,0),  2  (0,0,1) ta có:  

 


 

 
9 
 

a11  f (e1, 1)  (1  0)(1  2.0  3.0)  1
a 21  f (e2 , 1 )  (0  1)(1  2.0  0)  1
a12  f (e1,  2 )  2

 

a 22  f (e2 , 2 )  2
a13  f (e1, 3 )  3
a 23  f (e2 , 3 )  3

Vậy ma trận của f theo cặp cơ sở   (e),()   là 
 1 2 3 
A
 
 1 2 3 

ii) Nếu chọn cơ sở của  R 2 là  (e)  e1  (1,0), e2  (0,1) thì 
a11  f (e1,e1 ) 
a12  f (e1,e2 ) 

1 0
0
1 0
1 0
0 1

1

a 21  f (e2 ,e1) 
a 22  f (e2 ,e2 ) 

0 1
 1
1 0
0 1
0 1

 

0

  Vậy ma trận của f  theo cơ sở (e) là  
 0 1
A 
 


1
0



iii) Nếu f là tích vô hướng của không gian Euclid, thì ma trận biểu diễn 
của f  theo cơ sở S chính là ma trận Gram của cơ sở đó.  
Nhận xét:
1. Một dạng song tuyến tính f hoàn toàn được xác định nếu biết ma trận 
của nó đối với một cơ sở nào đó. 
2. Nếu A là ma trận biểu diễn của một dạng song tuyến tính f. Khi đó f 
đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng, và f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối 
xứng lệch. Thật vậy: 
  f đối xứng khi và chỉ khi A đối xứng. 

         Rõ ràng, nếu f đối xứng thì  a ij  f (i ,  j )  f ( j , i )  a ji với mọi  i, j nên 
A đối xứng. 

 


 

 
10 
 

 m
        Ngược lại, nếu A đối xứng, tức là  a ij  a ji , i,j thì với     x i i tùy ý 
i 1

 n
thuộc  V và     y j j tùy ý thuộc  W ta có: 
j1
m n
n m
 
 
f (, )   a ijx i y j   a ji y jx i  f (, )  
i 1 j1

j1 i 1

Vậy f đối xứng  .   
   f đối xứng lệch khi và chỉ khi A đối xứng lệch. 
          Rõ  ràng,  nếu  f  đối  xứng  lệch  thì  a ij  f (i ,  j )  f ( j , i )  a ji với 
mọi  i, j nên A đối xứng lệch. 
 m
         Ngược lại, nếu A đối xứng lệch, tức là  a ij  a ji , i,j thì với     x i i  
i 1

 n
tùy ý thuộc  V và     y j j tùy ý thuộc  W ta có: 
j1

m n
n m
n m
 
 

f (, )   a ijx i y j   a ji y jx i   a ji y jx i  f (, )  
i 1 j1

j1 i 1

j1 i 1

       Vậy f đối xứng lệch  .  
1.5. Hạng của dạng song tuyến tính
Định nghĩa.
     

Hạng của dạng song tuyến tính f trên V là hạng của một ma trận biểu 

diễn của nó và được kí hiệu là rank(f) .  
 

Ta nói dạng song tuyến tính f suy biến nếu  rank(f )  dim V , và không 

suy biến nếu  rank(f )  dim V . 
Ví dụ.      Dạng song  tuyến  tính  f (x, y)  x1y1  3x 2 y 2   trên  K 2 có  hạng 
rank(f) = 2.  

 


 

 
11 

 

Thật vậy, chọn cơ sở của  K 2 là  (e)  e1 =(1,0),e2  (0,1) ta có 
1 0
ma trận của dạng song tuyến tính f trong  (e) là  A  
 
 0 3

Vì 

1 0
0 3

 3  0 nên  rankA  2  

Vậy hạng của dạng song tuyến tính f là  rankf  2.  
1.6. Liên hệ giữa hai ma trận của cùng một dạng song tuyến tính đối với
hai cơ sở khác nhau
Theo định nghĩa, ma trận dạng song tuyến tính thay đổi khi ta đổi cơ sở 
của  không  gian  vectơ.  Ta  hãy  xét  mối  liên  quan  giữa  hai  ma  trận  của  cùng 
một dạng song tuyến tính đối với hai cơ sở khác nhau.
Định lí 1.2.

Giả  sử  trong  không  gian  tuyến  tính  V,  cho  hai  cơ  sở 

S  {1,2 ,...n }  và  (T)  {1,2 ,...n } .  A  và  B là  hai  ma  trận  tương  ứng 
của  cùng  một  dạng  song  tuyến  tính  f (x, y) trong  S và  T  , P là  ma  trận 
chuyển từ cơ sở   S sang cơ sở   T  . Khi đó ta có  
B  PT AP  

trong đó  PT  là ma trận chuyển vị của ma trận  P . 
Chứng minh.   
Kí hiệu  A  (a ij ) nn ,  B  (bij ) nn , P  (cij ) nn  ta có 
n

n

b kl  f (k , l )  f ( cik i , c jl j ) 
i 1

i 1

n

n

 cik c jlf (i ,  j ) 

 cik a ijc jl

i, j1

i, j1

với  mọi k,l  = 1,…,n,  b kl  chính  là phần tử nằm  ở  dòng  k, cột l  của  ma  trận 
P T AP . Điều này tương đương với  B  P T AP .       

Chú ý:
1. Ta có det P ≠ 0; rank ( B ) = rank ( A ). 

 


 

 
12 
 

2. Như đã biết,  một vectơ ej của hệ cơ sở (e) = {e1, e2,...en}có tọa độ 
trong  hệ  cơ  sở  (e)  là  ej  =  (0,0,…0,1,0,…0)  và  một  vectơ  x  có  biểu  diễn  
x  (x1, x 2 ,...x n )   trong  cơ sở  (e) .  Do  đó nếu không  nói  gì thêm, thì  ta luôn 

hiểu hệ  (e) , xác định như trên là hệ chính tắc và nói cho x  (x1, x 2 ,...x n ) thì 
hiểu đây là tọa độ của x trong hệ cơ sở chính tắc. 
3. Hai ma trận  A và  B như trên được gọi là tương đẳng. Như vậy hai 
ma trận là tương đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng là ma trận biểu diễn của 
cùng một dạng song tuyến tính.
Ví dụ.   Trong  V  =  R 3   với  cơ  sở  chính  tắc  (e)  {e1 ,e 2 ,e 3} cho  dạng 
song tuyến tính:  
f (x, y)  x1y1  x 2 y 2  x 3 y3 . 

Hãy tìm ma trận  B của f trong cơ sở ()  {1  (1,1,0),  2 (1,0,1), 3 (1,1,1)}.    
Bài giải.   
Cách 1. (trực tiếp)
Gọi ma trận của f trong cơ sở  () là  
 b11 b12

B   b 21 b 22
b

 31 b32

b13 

b 23   
b33 

ta có 
b11  f (1, 1)  1.1  3.1.1  2.0.0  4
b12  f (1,  2 )  1.1  3.1.0  2.0.1  1
b13  f (1, 2 )  1.1  3.1.1  2.0.1  4
b 21  f ( 2 , 1)  1; b 22  f (2 ,  2 )  3; b 23  f ( 2 , 3 )  4
b31  f (3 , 1)  4; b32  f (3 ,  2 )  3; b33  f (3 , 3 )  6

 4 1 4


     Vậy   B   1 3 3  . 
4 3 6



 

 


 

 

13 
 

Cách 2. Trong cơ sở  (e) , f có ma trận     
1 0 0
A e   0 3 0   
0 0 2



Ma trận chuyển từ cơ sở  (e) sang cơ sở ()  là 
 1 1 1
P   1 0 1  
 0 1 1



Vậy  B  P T .A.P  
1 1 0  1 0 0  1 1 1  4 1 4 

 

                1 0 1 
 0 3 0  1 0 1   1 3 3   
1 1 1  0 0 2  0 1 1  4 3 6 



 


1.7. Dạng toàn phương
Định nghĩa  
Cho  f  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên  V . Ta gọi ánh xạ xác 
định bởi 
(x)  f (x, x)  

là dạng toàn phương trên  V sinh bởi  f (hoặc liên kết với f). 
Ví dụ.  Với  mọi  vectơ  x  (x1, x 2 ), y  (y1, y 2 ) ,  dạng  song  tuyến  tính 
f (x, y)  3x1y 2  x 2 y1 , sinh ra dạng toàn phương  (x)  2x1x 2 .   

Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính cùng sinh ra một dạng toàn 
phương. Chẳng hạn, nếu f là một dạng song tuyến tính không đối xứng, ta đặt 
g(y, x)  f (x, y), x, y  V thì các dạng song tuyến tính f và g trên V cùng sinh 

ra một dạng toàn phương nhưng  f  g . 
   Bổ đề sau đây không chỉ cho ta ví dụ, mà còn cho ta biết dạng tổng quát của 
dạng toàn phương, đồng thời giải thích tên gọi ‘‘toàn phương’’ (toàn bậc hai). 

 


 

 
14 
 

Bổ đề 1.1 Cho  S   là  cơ  sở  của  không  gian  vectơ  V   chiều  n.  Một  ánh  xạ 

 : V  K  là một dạng toàn phương khi và chỉ khi nó được viết dưới dạng  
n n

(x)   a ijx i x j  
i 1 j1

trong đó  (x1, x 2 ,...., x n )  là tọa độ của x theo S và  a ij  K  
      

Nếu ta cố định một cơ sở S của không gian vectơ, thì nhiều khi ta cũng 

nói  (x)   là  dạng  toàn  phương  của  các  biến  (tọa  độ) x1, x 2 ,...x n .  Ngược  lại, 
khi cho dạng toàn phương dưới dạng  
n n

(x)   a ijx i x j  
i 1 j1

ta hiểu đó là dạng toàn phương trên  K n  và  (x1, x 2 ,...x n )  là tọa độ của x theo 
cơ sở tự nhiên. 
Chứng minh. Từ định lí 1.1 ta suy ra bổ đề 1.1.  
Chú ý.    Cho một trường P với đơn vị e, nếu đẳng thức ne = 0 xảy ra với một 
số nguyên dương n, thì số bé nhất trong các số đó gọi là đặc số của của trường 
P. Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta nói đặc số của trường 
P bằng 0. Vậy đặc số của trường chỉ có thể là số nguyên tố hoặc số 0. Kí hiệu 
là   char(P)  n . Ví dụ, trường các số hữu tỉ  ¤ , trường các số thực  ¡ , trường 
số phức  £  có đặc số bằng 0, trường thặng dư theo môđun nguyên tố p có đặc 
số p.   
Bổ đề 1.2 Giả sử  char  K    2.   Cho    là một dạng toàn phương trên V. Khi 
đó tồn tại duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng h sinh ra   . Dạng này 

được xác định bởi công thức: 

1
h(x,y)  [( x  y )  ( x)  (y)]  
2
với mọi  x,y  V . Hơn nữa, nếu   trong cơ sở S được viết dưới dạng  

 


 

 
15 
 
n n

(x)   a ijx i x j  
i 1 j1

thì ma trận biểu diễn của h theo S là  (a ij ) , trong đó  aij 

a ij  a ji
2

 

Chứng minh. 
Giả sử f là dạng song tuyến tính nào đó sinh ra dạng toàn phương    
x, y  V  ta đặt 

1
h(x, y)  [(x  y)  (x)  (y)]  
2

có thể thấy ngay  h  là dạng song tuyến tính đối xứng  V sinh ra    
 Giả sử  k cũng là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V sinh ra   . 
Khi đó  x, y  V ta có: 
(x, y)  k(x  y, x  y)  k(x, x)  k(x, y)  k(y,x)  k(y, y)
 
 (x)  2k(x, y)  (y)

 

Vì vậy  dạng  song  tuyến tính  đối xứng  k hoàn toàn được  xác định bởi 

 qua công thức: 

1
k(x,y)  [( x  y )  ( x)  (y)] = h(x,y)  
2

   Dạng  song  tuyến  tính  h  trên  được  gọi  là  dạng  cực  của  dạng  toàn 
phương Γ. Ma trận  (a ij )  được gọi là ma trận biểu diễn của   . 
Định lí 1.3 Giả sử  char(K)  2 . Nếu f là một dạng song tuyến tính đối xứng 
trên V có chiều n, thì tồn tại cơ sở S để ma trận biểu diễn của nó có dạng 
đường chéo hay theo cơ sở đó f và dạng toàn phương sinh bởi nó được cho 
bởi các công thức sau: 
f ( x, y )  d1x1y1  ...  d n x n y n  

                                       (x)

 

 d1x12  ...  d n x 2n  


 

 
16 
 

 

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương. Nói cách 

khác mọi dạng toàn phương đều có thể đưa về dạng chính tắc.   
Chứng minh.   Giả sử   là một dạng toàn phương trên không gian vectơ V. Dễ 
dàng chứng minh được định lí bằng qui nạp theo số chiều n của V.        
        Việc tìm ma trận biểu diễn dạng chính tắc của dạng song tuyến tính đối 
xứng tương đương với việc tìm dạng chính tắc của dạng toàn phương sinh bởi 
nó. Điều đó được thực hiện bằng thuật toán sau: 
Thuật toàn Lagrange
    

 Thuật  toán  này  được  thực  hiện  theo  cách  giảm  dần  số  biến.  Cho  ma 

trận đối xứng  A = (g ij )  là ma trận biểu diễn của   .  
1. Nếu  gij  0  với mọi i thì chọn hệ số  gij  0 . Khi đó  i  j . Thực hiện 
phép biến đổi biến 

 x k  yk (k  j)
 

 x j  yi  y j

Khi đó ta đưa về trường hợp 2 sau đây. 
 2.  Tồn tại  gii  0 . Chọn một i như vậy. Thực hiện phép đổi biến  
 x k  y k (k  i)

a ik  
x  y 
yj
i 
 i
a
ii
k i


Thực chất của bước này là ta nhóm tất cả các hạng tử chứa  x i  lại với 
nhau và thêm vào một bình phương tổ hợp tuyến tính của các biến còn lại để 
được một bình phương đủ, và do đó sẽ tách ra được một dạng toàn phương có 
số biến ít hơn. Cụ thể khi đó  (y1,...y n )  di yi 2  (y1,.., yi ,...y n )  
3. Lặp lại các bước trên đối với    và cứ thế tiếp tục cho đến khi đạt 
được  dạng  chính  tắc  (z)  d1z12  ...  d n z n2   trong  đó  z1,...z n là  tập  biến  ở 
bước cuối cùng. 

 

 

 
17 
 

4. Biểu diễn  x1,...x n qua  z1,...z n  ta được ma trận chuyển cơ  sở P gồm 
các dòng là các vectơ hệ số của  x i (biểu diễn qua  z1,...z n  ). Khi đó 
 d1 0
0 d
2
T
P AP  
 .. ..

0 0

..
..
..

0
0
..



 



.. d n 

Ví dụ.   Cho dạng song tuyến tính có ma trận biểu diễn là  
0 1 2 
A   1 0 1  
 2 1 0 



tức là dạng toàn phương tương ứng của nó có dạng 
(x1, x 2 , x 3 )  2x1x 2  4x1x 3  2x 2 x 3  

Dùng thuật toán Lagrange, đưa dạng toàn phương   về dạng chính tắc. 
Bài giải.    
Thực hiện đổi biến    
 x1  y1

 x 2  y1  y2       (1) 
x  y
3
 3

 ta được  

y 
y
(x)  2y12  2y1y 2  2y1y3  2y 2 y3  2  y12  2y1  2  3    2y2 y3
3 
 2


2

z 
z2
z2
z
 2z12  2  2  3   2z 2z3  2z12  2  3z 2z3  3
3
2
3
 2

Ta đã thực hiện đổi biến    


 y 2 y3 
 z 2 z3 
 
z1  y1  
 y1  z1    
3 
3       (2) 
 2
 2

z  y khi i  2,3
z  y khi i  2,3
 i
 i
i

i

 

 


 

 
18 
 

để biểu thức trong móc vuông thành bình phương đủ.  
1
1
 (z)  2z12   z 22  2z 2 .3z3  9z32   4z 23  2u12  u 22  4u 32  


2
2

trong đó  
z1  u1

z 2  u 2  3u 3       (3) 
z  u
3
 3
1

Tóm lại dạng chính tắc của    là:  (u1, u 2 ,u 3 )  2u12  u 22  4u 32  
2

Từ (1), (2) và (3) ta được  
u2

x

u

 u3
1
1

2

u2

 2u 3  
 x 2  u1 
2

x3  u3


nên ma trận chuyển cơ sở là   
1

1  2


1
P  1

2
0 0




1

2   

1 



Như vậy 
2 0
0 1 2 

1

T
P  1 0 1 P   0 
2

 2 1 0 
0 0





0

0  

4 

Chú ý: Dạng chính tắc của dạng toàn phương hay dạng song tuyến tính xác 
định không duy nhất.

 


 

 
19 
 

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1. Xét xem các ánh xạ sau đây có là dạng song tuyến tính không? 
a)f : R  R  R,f (x, y)  c
b)f : R  R  R,f (x, y)  x 2 y

 
c)f : R  R  R,f (x, y)  x  y
d)f : R  R  R,f (x, y)  a.x.y, a  const

e)f : R  R  R,f (x, y)  x  1
Bài 2. Cho ánh xạ  f : P2 (x)  P2 (x)  R xác định bởi: 
f (a 0 +a1x1 +a 2 x 2 ,b0 +b1x1 +b 2 x 2 )  a 0b0 +a1b1 +a 2b 2  

Chứng tỏ rằng f là dạng song tuyến tính trên  P2 (x).   
Bài 3.  Ánh xạ  f : K 2  K  cho bởi  f (x1, x 2 )  x1  x 2 có là dạng song tuyến 
tính trên K hay không? 
Bài 4.  Cho ánh xạ  f : M 2  M 2  R  xác định bởi: 
 x
f  1
  x3

x 2   y1
,
x 4   y3

y2  
  x y  x 2 y 2  x 3 y3  x 4 y 4  
y 4   1 1

 Chứng minh rằng f là dạng song tuyến tính trên  M 2 .  
Bài 5. Viết ma trận của dạng song tuyến tính f trên 

3

 trong cơ sở chính tắc, 

3

 trong cơ sở chính tắc, 

ở đây  x   x1, x 2 , x 3  , y   y1, y 2 , y3   
a)f (x, y)  2x1y1  5x1y 2  3x 2 y3  4x 3 y1  x 3 y3
b)f (x, y)  4x1y 2  5x1y3  8x 2 y1  6x 2 y3  x 3 y3

 

Bài 6. Viết ma trận của dạng song tuyến tính f trên 
ở đây  x   x1, x 2 , x 3  , y   y1, y 2 , y3   
a)f (x, y)  5x1y1  4x1y 2  3x 2 y 2  6x 2 y3  x 3y3

b)f (x, y)  2x1y 2  6x1y3  x 2 y 2  x 2 y3  x 3 y1  5x 3 y3