Không gian lp (ω)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐÀO THỊ HÀ

KHÔNG GIAN L p (Ω)

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - người thầy
đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của
mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và
các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ
nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Không gian L p (Ω)” không có sự
trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Đào Thị Hà


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian L p (Ω) . . . . . .

10

2.2. Tính phản xạ.Tính tách được. Không gian đối ngẫu của L p (Ω) . . .
15
2.3. Tích chập và phép chỉnh hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4. Tính compac mạnh trong L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Sự phát triển của Toán học tuy có những thăng trầm ở từng thời điểm
lịch sử song kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, đó là sự
phát triển của ngành Giải tích toán học.
Với sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là Giải tích hàm,
nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống, trong vật lý, trong khoa học kỹ thuật
được giải quyết nhanh gọn, chính xác. Những phương pháp và kết quả rất
mẫu mực của Giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có
liên quan. Sự xâm nhập ấy một mặt đã mở ra những chân trời rộng lớn cho
ngành Giải tích hàm nhiệm vụ phải đúc kết những kết quả của những ngành
Toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó đề ra những mẫu toán học
tổng quát và trừu tượng.
Giải tích hàm là một môn học trong chương trình. Tuy nhiên vì thời gian
trên lớp có hạn nên khó có thể đi sâu nghiên cứu.Qua khóa luận này, em
không dám có tham vọng tìm hiểu sâu về môn Giải tích hàm mà chỉ mong

muốn được nghiên cứu tìm hiểu sâu hơn về một vấn đề hay một không gian
của Giải tích hàm. Chính vì vậy mà em đã chọn đề tài "Không gian L p (Ω) "
để có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về một không gian có nhiều ứng dụng này.
Nội dung của đề tài gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Không gian L p (Ω)
Do thời gian và trình độ có hạn, mặc dù em đã rất cố gắng nhưng vẫn
không thể tránh được những thiếu sót nên em rất mong các thầy cô chỉ bảo,
các bạn sinh viên quan tâm góp ý.

1


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian L p (Ω).

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian L p (Ω) bao gồm khái niệm và các tính chất
của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 2 chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Không gian L p (Ω).

2


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C)
cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn,
thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );
ii)(∀x ∈ X)(∀α ∈ P) αx = |α| x ;
iii)(∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là
X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm x ∈ X, nếu lim xn − x = 0. Kí hiệu
n→∞

lim xn = x hay xn → x(n → ∞).

n→∞

3


Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
cơ bản nếu lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.5. Cho không gian định chuẩn X trên R. Ta gọi không gian
L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp
(không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X ∗ .
Định nghĩa 1.6. Không gian liên hợp của không gian X ∗ được gọi là không
gian liên hợp thứ hai của X và kí hiệu là X ∗∗ .
Định lý 1.1. Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn
X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X.
Định nghĩa 1.7. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu
X = X ∗∗ .
Định lý 1.2. Không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian
phản xạ.
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và M ⊂ X là
một không gian con đóng tuyến tính của X. Khi đó M là phản xạ.
Hệ quả 1.1. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi không gian
đối X ∗ của nó là phản xạ.
Định lý 1.3. (Milman-Pettis) Mọi không gian Banach lồi đều, đều là phản
xạ.
Định lý 1.4. (Hahn-Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định
trên không gian tuyến tính con Xo của không gian định chuẩn X(Xo = X)
đều có thể thác triển lên toàn không gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là
có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn
4

không gian X sao cho:
1) F(x) = f (x)(∀x ∈ Xo );
2) F

X

= f

Xo .

Mệnh đề 1.2. Cho E là không gian metric tách được và F ⊂ E là tập con
bất kì. Khi đó F cũng tách được.
Định lý 1.5. Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và (xn ) là dãy bị
chặn trong X. Khi đó tồn tại dãy con (xnk ) hội tụ theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ).
Điều ngược lại cũng đúng.
Định lý 1.6. (Banach - Alaoglu - Bourbaki) Cho E là một không gian
Banach. Hình cầu đơn vị đóng BX ∗ = { f ∈ X ∗ ; f ≤ 1} là compac theo
tôpô yếu σ (X, X ∗ ).
Định lý 1.7. Cho X là một không gian Banach sao cho X ∗ là tách được. Khi
đó BX là khả metric theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ).
Ngược lại, nếu BX khả metric theo tôpô yếu σ (X, X ∗ ) thì X ∗ là tách được.
Hệ quả 1.2. Cho X là một không gian Banach tách được, ( fn ) là một dãy
bị chặn trong X ∗ . Khi đó, tồn tại một dãy con ( fnk ) hội tụ theo tôpô yếu*
σ (X ∗ , X).

1.2. Tích phân Lebesgue
1.2.1. Định nghĩa
a) Tích phân của hàm đơn giản
Định nghĩa 1.8. Trong một không gian X, với một σ - đại số F và một độ
đo µ trên F , cho một tập hợp A đo được (tức là A ∈ F ) và một hàm đơn

n

giản không âm trên tập hợp A : f (x) = ∑ αi χAi (x) (các tập hợp Ai đo được,
i=1

5


n

Ai = A). Nếu mỗi Ai là một đoạn ∆i trong Rk thì tích phân

rời nhau và
i=1

n

của f (x) là số ∑ αi |∆i |.
i=1

Trong trường hợp tổng quát khi mỗi Ai là một tập hợp đo được thì thay
|∆i | bằng µ (Ai ) . Vì vậy tích phân của hàm đơn giản không âm f (x) trên tập
hợp A đối với độ đo µ là số
n

f (x) dµ = ∑ αi µ (Ai ).
i=1

+ Tính chất: Nếu hai hàm đơn giản f , g ≥ 0 và f ≤ g trên tập hợp A thì
f ≤ g.

A

A

b) Tích phân các hàm đo được bất kỳ
* f (x) ≥ 0 trên tập hợp A. Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu tăng
và hội tụ tới f . Ta gọi tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với độ đo µ là
số (hữu hạn hay vô cực)
f (x) dµ = lim

fn (x) dµ.

n→∞

A

A

* f (x) có dấu bất kỳ trên tập hợp A. Đặt:
f = f+− f−
f + − f − có nghĩa

với f + = max { f , 0}, f − = max {− f , 0}. Nếu hiệu số
A

A

thì ta gọi nó là tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với độ đo µ:

A

f − (x) dµ

f + (x) dµ −

f (x) dµ =
A

A

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f (x) khả tích.
* Khi X = Rk , F = Lk , µ = µ k thì tích phân định nghĩa như trên thường
gọi là tích phân Lebesgue và được ký hiệu
f (x) dµ (x)hoặc (L)
A

f (x) dx.
A

6


Kí hiệu (Ω, M , µ) là một không gian đo, ở đó, Ω là một tập và
i) M là một σ -đại số trong Ω, tức là, M là một họ các tập con của Ω có
tính chất:
a) 0/ ∈ M ,
b) A ∈ M ⇒ Ac ∈ M ,
∞

An ∈ M , khi An ∈ M , ∀n,

c)
n=1

ii) µ là một độ đo, tức là, µ : M → [0, ∞] thỏa mãn:
a) µ(0)
/ = 0,
∞

b) µ

∞

= ∑ µ(An ) khi (An ) là một họ đếm được các tập con đôi

An

n=1

n=1

một rời nhau của M .

Các phần tử của M được gọi là các tập đo được. Đôi khi ta viết |A| thay cho
µ(A).
iii) Ω là σ - hữu hạn, tức là, tồn tại một họ đếm được (Ωn ) trong M sao cho
∞

Ω=

Ωn và µ(Ωn ) < ∞.
n=1

Những tập E ∈ M có µ(E) = 0 được gọi là các tập có độ đo không. Ta
nói rằng một tính chất thỏa mãn hầu khắp nơi (hoặc tại hầu hết x ∈ Ω) nếu
nó thỏa mãn tại ∀x ∈ Ω, trừ ra trên một tập có độ đo không.
* Ta kí hiệu L1 (Ω, µ) hoặc đơn giản L1 (Ω) (hoặc chỉ là L1 ) là không gian
các hàm khả tích từ Ω vào R.
* Ta kí hiệu

f thay cho
f

L1

Ω

f dµ và

= f

1

| f |dµ =

=

| f |.

Ω

1.2.2. Các tính chất sơ cấp
+ Cộng tính: Nếu A ∩ B = ∅ thì

f=

f + f.
A

A∪B

B

+ Bảo toàn thứ tự:
. Nếu f ∼ g thì

f = g. Nói riêng nếu f = 0, h.k.n trên A thì
A

A

. Nếu f ≤ g trên A thì

f ≤ g. Nói riêng nếu f ≥ 0 thì
A

f = 0.
A

A

f ≥ 0.
A

7


+ Tuyến tính:
. c f = c f (c là hằng số).
A

A

. ( f + g) =
A

f + g.
A

A

+ Khả tích:
. Nếu

f ≤ | f |.

f có nghĩa thì
A

A

A

. f khả tích khi và chỉ khi | f | khả tích.
. Nếu | f | ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích.
. Nếu f , g khả tích thì f ± g cũng khả tích. Nếu f khả tích, g giới nội thì f g
cũng khả tích.

1.2.3. Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân
Định lý 1.8. (Định lý về sự hội tụ đơn điệu, Beppo Levi) Cho ( fn ) là một
dãy hàm trong L1 thỏa mãn:
a) f1 ≤ f2 ≤ · · · fn ≤ fn+1 ≤ · · · h.k.n trên Ω,
b) Supn

fn < ∞.

Khi đó fn (x) hội tụ h.k.n trên Ω tới một giới hạn hữu hạn, kí hiệu là f (x),
hàm f thuộc vào L1 và fn − f

1

→ 0.

Định lý 1.9. (Định lý về sự hội tụ trội Lebesgue) Cho ( fn ) là một dãy hàm
trong L1 thỏa mãn:
a) fn (x) → f (x)h.k.n trên Ω,
b) Có một hàm g ∈ L1 để ∀n, | fn (x)| ≤ g(x)h.k.n trên Ω.
Khi đó f ∈ L1 và fn − f

1

→ 0.

Bổ đề 1.1. (Bổ đề Fatou) Cho ( fn ) là một dãy hàm trong L1 thỏa mãn:
a) ∀n : fn ≤ 0 h.k.n,
b) Supn

fn < ∞.

Với hầu hết x ∈ Ω ta đặt f (x) = lim infn→∞ fn (x) ≤ +∞. Khi đó f ∈ L1 và
f ≤ lim inf
n→∞

8

fn .


Kí hiệu:
Ta kí hiệu Cc (RN ) là không gian tất cả các hàm liên tục trên RN với giá
compac, tức là:
Cc (RN ) = { f ∈ C(RN ); f (x) = 0 ∀x ∈ RN \K, K là tập compac}.
Định lý 1.10. (Tính trù mật) Không gian Cc (RN ) là trù mật trong L1 (RN ),
tức là:
∀ f ∈ L1 (RN ) ∀ε > 0 ∃ f1 ∈ Cc (RN ) sao cho f − f1

1

≤ ε.

Cho (Ω1 , M1 , µ1 ) và (Ω2 , M2 , µ2 ) là hai không gian đo σ − hữu hạn.
Khi đó ta có thể xác định không gian đo (Ω, M , µ) trên tích đêcac
Ω = Ω1 × Ω2 .
Định lý 1.11. (Tonelli) Cho F(x, y) : Ω1 × Ω2 → R là một hàm đo được
thỏa mãn:
a)

Ω2 |F(x, y)|dµ2

< ∞ với hầu hết x ∈ Ω

và
Ω1 dµ1 Ω2 |F(x, y)|dµ2
Khi đó F ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ).

b)

< ∞.

Định lý 1.12. (Fubini) Giả sử F ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ).
Khi đó với hầu hết x ∈ Ω1 , F(x, y) ∈ Ly1 (Ω2 ), và

Ω2 F(x, y)dµ2

∈ Lx1 (Ω1 ).

Tương tự với hầu hết y ∈ Ω2 , F(x, y) ∈ Lx1 (Ω1 ) và

Ω1 F(x, y)dµ1

∈ Ly1 (Ω2 ).

Hơn nữa, ta có:
F(x, y)dµ2 =

dµ1
Ω1

Ω2

dµ2
Ω2

=
Ω1 ×Ω2

9

F(x, y)dµ1
Ω1

F(x, y)dµ1 dµ2 .


Chương 2

Không gian L p(Ω)
2.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của không
gian L p (Ω)
Định nghĩa 2.1. Cho p ∈ R với 1 < p < ∞. Ta đặt:

L p = { f : Ω → R; f là đo được và | f | p ∈ L1 (Ω)}
với

1/p

f
Ta sẽ kiểm tra

p

Lp

= f

p

p

| f (x)| dµ

=

.

Ω

là một chuẩn sau.

Định nghĩa 2.2. Ta đặt:
L∞ (Ω) = { f : Ω → R, f là đo được và có một hằng số C để

| f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω}.
với
f
Chú ý sau suy ra

L∞

= f
∞

∞

= int{C; | f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω}.

là một chuẩn.
10


Chú ý 1:
Nếu f ∈ L∞ khi đó ta có:
| f (x)| ≤ f

∞ h.k.n

trên Ω.

Thật vậy: có tồn tại một dãy Cn thỏa mãn Cn → f

∞

và với mỗi n,

| f (x)| ≤ Cn h.k.n trên Ω. Do đó | f (x)| ≤ Cn ∀x ∈ Ω\En với |En | = 0.
∞

En thì |En | = 0 và

Ta đặt: E =
n=1

| f (x)| ≤ Cn ∀n, ∀x ∈ Ω\E.
Chứng tỏ | f (x)| ≤ f

∞ ∀x

∈ Ω\E.

Kí hiệu:
Cho 1 ≤ p ≤ ∞, ta kí hiệu p’ là số mũ liên hợp
1 1
+ = 1.
p p
Định lý 2.1. (Bất đẳng thức Holder) Giả sử rằng f ∈ L p và g ∈ L p với
1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó f g ∈ L1 và
| f g| ≤ f

p

g

p

.

(2.1)

Chứng minh. Kết luận là rõ ràng nếu p = 1 hoặc p = ∞. Do đó ta sẽ giả
thiết 1 < p < ∞.
Ta nhắc lại bất đẳng thức Young:
ab ≤

1 p 1 p
a + b ∀a ≤ 0, ∀b ≤ 0.
p
p

Bất đẳng thức (2.2) suy từ tính lõm của hàm loga trên (0; ∞):
log

1 p 1 p
a + b
p
p

Ta có:
| f (x)g(x)| ≤

≥

1

1
loga p + logb p = log ab.
p
p

1
1
| f (x)| p + |g(x)| p , ∀x ∈ Ω.
p
p
11

(2.2)


Chứng tỏ f g ∈ L1 và
| f g| ≤

1
f
p

p
p+

1
g
p

p

p

.

(2.3)

Thay f bởi λ f (λ > 0) trong (2.3) ta có:
| f g| ≤
−1
p

Chọn λ = f

g

p /p
p

λ p−1
f
p

p
p+

1
g
λp

p

p

.

(2.4)

(để làm cực tiểu vế phải của (2.4)) ta thu được

(2.1)
Chú ý 2:
Bất đẳng thức Holder có thể mở rộng như sau:
Giả sử giả sử rằng f1 , f2 , ........, fk là các hàm thỏa mãn:
fi ∈ L pi , 1 ≤ i ≤ k với

1
1
1
1
=
+
+···+
≤ 1.
p
p1 p2
pk

Khi đó tích f = f1 f2 · · · fk thuộc L p và
f

p

≤ f1

f2

p1

p2 · · ·

fk

pk .

Nói riêng, nếu f ∈ L p ∩ Lq với 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ thì f ∈ Lr ∀r, p ≤ r ≤ q, và ta
có ”bất đẳng thức nội suy” như sau:
f

r

≤ f

α
p

f

1−α
q

, ở đó

1 α 1−α
= +
, 0 ≤ α ≤ 1.
r
p
q

Định lý 2.2. L p là một không gian vectơ và

p

là một chuẩn trên L p với

mỗi p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Trường hợp p = 1 và p = ∞ là rõ ràng. Do đó ta giả thiết
1 < p < ∞ và giả sử f , g ∈ L p . Ta có:
| f (x) + g(x)| p ≤ (| f (x)| + |g(x)|) p ≤ 2 p (| f (x)| p + |g(x)| p ).

12


nên f + g ∈ L p . Mặt khác,
f +g

p
p

≤

| f + g| p−1 | f + g| ≤

| f + g| p−1 | f | +

| f + g| p−1 |g| .

Nhưng | f + g| p−1 ∈ L p , nên theo bất đẳng thức Holder ta thu được:
p
p

f +g
tức là f + g

p

≤ f

p+

≤ f +g

p−1
p (

f

p+

g p ),

g p.

Định lý 2.3. (Fischer-Riesz) L p là một không gian Banach với mỗi p,
1 ≤ p ≤ ∞.
Chứng minh. Ta chia hai trường hợp p = ∞ và 1 ≤ p < ∞.
Trường hợp 1: p = ∞
Giả sử ( fn ) là một dãy Cauchy trong L∞ . Với mỗi số nguyên k ≥ 1 có một số
nguyên Nk để fm − fn

∞

≤

1
k

∀m, n ≥ Nk . Do đó có một tập có độ đo không

Ek sao cho:
| fm (x) − fn (x)| ≤
Đặt E =

k Ek

1
∀x ∈ Ω\Ek , ∀m, n ≥ Nk .
k

(2.5)

thì E là tập có độ đo không và ta thấy ∀x ∈ Ω\E, dãy fn (x)

là Cauchy (trong R). Vì vậy, fn (x) → f (x) ∀x ∈ Ω\E. Chuyển qua giới hạn
trong (2.5) khi m → ∞ ta được:
| f (x) − fn (x)| ≤

1
∀x ∈ Ω\E, ∀n ≥ Nk .
k

Ta kết luận rằng f ∈ L∞ và f − fn

∞

≤

1
k

∀n ≥ Nk , do đó fn → f trong L∞ .

Trường hợp 2: 1 ≤ p < ∞
Giả sử ( fn ) là dãy Cauchy trong L p . Ta chỉ cần chứng minh rằng dãy này có
một dãy con hội tụ trong L p .
Chúng ta lấy ra một dãy con ( fnk ) sao cho:
fnk+1 − fnk

p

≤

13

1
∀k ≥ 1.
2k


[Cụ thể ta làm như sau: chọn n1 sao cho fm − fn
chọn n2 ≥ n1 sao cho fm − fn

≤

p

1
22

p

≤

1
2

∀m, n ≥ n1 ; sau đó

∀m, n ≥ n2 ......].Ta khẳng định rằng

fnk hội tụ trong L p . Để đơn giản kí hiệu ta viết fk thay cho fnk . Như vậy ta

có:
fk+1 − fk
Đặt

p

≤

1
∀k ≥ 1.
2k

(2.6)

n

gn (x) =

∑ | fk+1 (x) − fk (x)|,
k=1

thì
gn

p

≤ 1.

Theo Định lý về sự hội tụ đơn điệu, gn (x) tiến tới giới hạn hữu hạn, gọi là
g(x) h.k.n trên Ω với g ∈ L p . Mặt khác, với m ≥ n ≥ 2 ta có:

| fm (x) − fn (x)| ≤ | fm (x) − fm−1 (x)| + · · · + | fn+1 (x) − fn (x)|
≤ g(x) − gn−1 (x).
Do vậy với hầu hết x ∈ Ω, fn (x) là Cauchy và hội tụ tới giới hạn hữu hạn,
gọi là f (x).
Với hầu hết x ∈ Ω, ta có:
| f (x) − fn (x)| ≤ g(x) ∀n ≥ 2,
và đặc biệt f ∈ L p . Cuối cùng, theo Định lý hội tụ trội, fn − f

(2.7)
p

→ 0, do

đó
| fn (x) − f (x)| p → 0 h.k.n và | fn − f | p ≤ g p ∈ L1 .
Định lý 2.4. Cho fn là một dãy trong L p và f ∈ L p sao cho fn − f
Khi đó, tồn tại một dãy con ( fnk ) và một hàm h ∈ L p thỏa mãn:
a) fnk (x) → f (x) h.k.n trên Ω,
b) | fnk (x)| ≤ h(x) ∀k, h.k.n trên Ω.

14

p

→ 0.


Chứng minh. Kết luận là rõ ràng khi p = ∞.
Vì vậy ta giả sử 1 ≤ p < ∞. Do ( fn ) là một dãy Cauchy nên theo chứng minh
Định lý 2.3, có một dãy con ( fnk ) kí hiệu bởi ( fk ) thỏa mãn (2.6) và fk (x)

hội tụ h.k.n tới một hàm f ∗ (x) với f ∗ ∈ L p .
Hơn nữa, từ (2.7) ta có | f ∗ (x) − fk (x)| ≤ g(x) ∀k, h.k.n trên Ω với g ∈ L p .
Theo Định lý hội tụ trội, fk → f ∗ trong L p và vì vậy f = f ∗ h.k.n. Ngoài ra,
ta còn có | fk (x)| ≤ | f ∗ (x)| + g(x), nên ta có điều phải chứng minh.

2.2. Tính phản xạ.Tính tách được. Không gian
đối ngẫu của L p (Ω)
Ta sẽ xét ba trường hợp :
A) 1 < p < ∞,
B) p = 1,
C) p = ∞.
A. Không gian L p (Ω) với 1 < p < ∞.
Trường hợp này là “thuận” nhất: L p là phản xạ, tách được và đối ngẫu của
L p là L p .
Định lý 2.5. L p là phản xạ với mỗi p, 1 < p < ∞.
Chứng minh gồm 3 bước:
Bước 1:(Bất đẳng thức Clarkson thứ nhất).
Cho 2 ≤ p < ∞. Ta có khẳng định:
f +g
2

p

f −g
+
2
p

p

1
≤ ( f
2
p

p
p+

g pp ) ∀ f , g ∈ L p .

Chứng minh (2.8). Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh:
a+b
2

p

a−b
+
2

p

≤ (|a| p + |b| p ) ∀a, b ∈ R.
15

(2.8)


Đầu tiên ta chú ý rằng:
α p + β p ≤ (α 2 + β 2 ) p/2 ∀α, β ≥ 0

(Do tính thuần nhất, giả sử β = 1 chú ý hàm
(x2 + 1) p/2 − x p − 1
tăng trên [0, ∞)).
a+b
2

Chọn α =

p

a+b
2

và β =

a−b
+
2

a−b
2

p

, ta thu được:
2

a+b
2

≤

a−b
+
2

2

p/2

=

a2 b2
+
2
2

p/2

1
≤ (|a| p + |b| p ).
2
( bất đẳng thức sau cùng suy ra từ tính lồi của hàm x → |x| p/2 vì p ≥ 2).
Bước 2:
L p là lồi đều, và do đó phản xạ với 2 ≤ p < ∞. Thật vậy, lấy ε > 0 và
f , g ∈ L p , với f

p

≤ 1, g

p

≤ 1, và f − g

Theo (2.8):
f +g
2
và do đó

f +g
2
p

p

p

ε
< 1−
2
p

< 1 − δ với δ = 1 − [1 −

> ε.
p

ε p 1/p
2 ]

> 0.

Vì vậy, L p là lồi đều và do đó nó phản xạ theo Định lý 1.3.
Bước 3:
L p là phản xạ với 1 < p ≤ 2.
Chứng minh. Cho 1 < p < ∞.
Xét toán tử T : L p → (L p )∗ được xác định như sau:
Lấy u cố định ∈ L p , ánh xạ f ∈ L p → u f là một phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên L p và vì vậy nó xác định một phần tử, gọi là Tu , trong (L p )∗
sao cho:
Tu, f =

u f ∀ f ∈ Lp .
16


Ta khẳng định rằng:
Tu

(L p )∗

= u

∀u ∈ L p .

p

(2.9)

Thật vậy, từ bất đẳng thức Holder, ta có:
| Tu, f | ≤ u
và do đó Tu

(L p )∗

p

f

p

∀ f ∈ Lp

≤ u p . Mặt khác, đặt:

fo (x) = |u(x)| p−2 u(x) ( fo (x) = 0 nếu u(x) = 0).
Rõ ràng ta có:
fo ∈ L p ,

fo

p

p−1
p và

= u

Tu, fo = u

p
p;

Vì vậy:
Tu

(L p )∗

≥

Tu, fo
= u
fo p

p.

(2.10)

Do đó, T là một phép đẳng cự từ L p vào (L p )∗ . Vậy T (L p ) là một không
gian con đóng của (L p )∗ (vì L p là một không gian Banach).
Bây giờ giả sử 1 < p ≤ 2. Do L p là phản xạ (theo bước 2) nên (L p )∗
cũng phản xạ (Hệ quả 1.1). Theo Mệnh đề 1.1, T (L p ) là phản xạ và kéo theo
L p cũng phản xạ.
Chú ý 3:
L p cũng lồi đều với 1 < p ≤ 2 . Điều này là một hệ quả của bất đẳng thức
Clarkson thứ hai, với 1 < p ≤ 2:
f +g
2

p
p

f −g
+
2

p

≤
p

1
f
2

p
p+

1
g
2

1/(p−1)
p
p

∀ f , g ∈ Lp.

Bất đẳng thức này khó chứng minh hơn bất đẳng thức Clarkson thứ nhất. Rõ

ràng, nó kéo theo L p là lồi đều khi 1 < p ≤ 2.
17


Định lý 2.6. (Định lý về phép biểu diễn Riesz) Cho 1 < p < ∞ và
φ ∈ (L p )∗ . Khi đó tồn tại một hàm duy nhất u ∈ L p mà:
φ, f =

u f ∀ f ∈ Lp.

Hơn nữa,
u

p

(L p )∗ .

= φ

Chú ý 4:
Định lý 2.6 rất quan trọng. Nó nói lên rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên L p với 1 < p < ∞ đều có thể biểu diễn “cụ thể” được bởi một tích
phân. Ánh xạ φ → u, là một phép đẳng cự tuyến tính, toàn ánh nên ta có thể
đồng nhất không gian “trừu tượng” (L p )∗ với L p .
Từ đây về sau ta sẽ luôn đồng nhất:
(L p )∗ = L p .
Chứng minh. Ta xét toán tử T : L p → (L p )∗ xác định bởi
Tu, f =

u f ∀u ∈ L p , ∀ f ∈ L p .

Lý luận như trong chứng minh Định lý 2.5 (bước 3) đã có:
Tu

(L p )∗

= u

p

∀u ∈ L p .

Ta khẳng định rằng T là toàn ánh. Thật vậy, đặt E = T (L p ), vì E là một
không gian con đóng nên ta chỉ cần chứng tỏ E là trù mật trong (L p )∗ . Lấy
h ∈ (L p )∗∗ sao cho h, Tu = 0 ∀u ∈ L p . Do L p là phản xạ nên h ∈ L p và
thỏa mãn uh = 0 ∀u ∈ L p . Chọn u = |h| p−2 h, ta suy ra h = 0.
Định lý 2.7. Không gian Cc (RN ) là trù mật trong L p (RN ) với 1 ≤ p < ∞.
Trước khi chứng minh Định lý 2.7 ta giới thiệu một số kí hiệu

18


Kí hiệu:
Hàm (phép toán) cắt là hàm Tn : R → R được xác định:

r nếu |r| ≤ n,
Tn r =
 nr nếu |r| > n.
|r|

Với tập E ⊂ Ω, ta định nghĩa hàm đặc trưng χE như sau:

1 nếu x ∈ E,
χE (x) =
0 nếu x ∈ Ω\E.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh rằng: Với mỗi f ∈ L p (RN ) và ε > 0,
tồn tại một hàm g ∈ L∞ (RN ) và một tập compac K trong RN sao cho g = 0
phía ngoài K và
f −g

p

< ε.

(2.11)

Thật vậy, gọi χn là hàm đặc trưng của B(0, n) và đặt fn = χn Tn f . Theo Định
lý hội tụ trội, fn − f

p

→ 0 nên ta có thể chọn g = fn với n đủ lớn. Tiếp

theo, với δ > 0, tồn tại (theo Định lý 1.10) một hàm g1 ∈ Cc (RN ) sao cho:
g − g1
Ta luôn có thể giả sử g1
Tn g1 với n = g

∞

≤ g

∞,

1

< δ.

vì nếu không thì ta chỉ việc thay g1 bởi

∞.

Cuối cùng ta có:
g − g1

p

≤ g − g1

1/p
1

g − g1

1−(1/p)
∞

≤ δ 1/p (2 g

Chọn δ > 0 đủ nhỏ, ta có:

δ 1/p (2 g

1−(1/p)
∞)

19

< ε.

1−(1/p)
.
∞)


Định nghĩa 2.3. Không gian đo Ω được gọi là tách được nếu có một họ đếm
được (En ) các phần tử của M sao cho σ -đại số sinh bởi (En ) trùng với M
(tức là, M là σ - đại số nhỏ nhất chứa tất cả En ).
Ví dụ: Không gian đo Ω = RN là tách được. Thật vậy, ta sẽ chọn cho
(En ) một họ đếm được các tập mở sao cho mỗi tập mở trong RN đều là hợp
của các En . Tổng quát hơn, nếu Ω là một không gian metric tách được và M
bao gồm các tập Borel (tức là M là σ - đại số sinh bởi các tập mở trong Ω)
thì Ω là một không gian đo tách được.
Định lý 2.8. Giả sử Ω là một không gian đo tách được. Khi đó L p (Ω) là
tách được với mọi p, 1 ≤ p < ∞.
Ta chỉ xét trường hợp Ω = RN , vì nếu L p (RN ) tách được thì L p (Ω) cũng
tách được với mọi tập đo được Ω ⊂ RN . Thật vậy, có một phép đẳng cự chính
tắc từ L p (Ω) vào L p (RN ) (thác triển bằng 0 bên ngoài Ω).
Do vậy L p (Ω) sẽ được đồng nhất với một không gian con của L p (RN ) và do
đó L p (Ω) là tách được (theo Mệnh đề 1.2)
Chứng minh Định lý 2.8 khi Ω = RN . Gọi R là họ đếm được các tập

trong RN có dạng: R = ∏Nk=1 (ak , bk ) với ak , bk ∈ Q.
Gọi ε là không gian véctơ trên Q sinh bởi các hàm (χR )R∈R , có nghĩa là,

ε bao gồm các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ của các hàm χR ,
vì vậy ε là đếm được.
Ta chứng minh rằng ε là trù mật trong L p (RN ). Thật vậy, với
f ∈ L p (RN ) và ε > 0, tồn tại hàm f1 ∈ Cc (RN ) sao cho

f − f1

p

< ε.

Lấy R ∈ R là hình lập phương chứa supp f1 (giá của f1 ). Với δ > 0, dễ
dàng xây dựng được một hàm f2 ∈

ε

sao cho f1 − f2

∞

< ε và f2 triệt

tiêu bên ngoài R. Ta chỉ cần chia R thành các hình lập phương nhỏ thuộc
R sao cho trên đó, dao động (tức là sup-inf) của f1 bé hơn δ . Khi đó ta
có f1 − f2

p

≤ f1 − f2

δ > 0 được chọn sao cho

1/p < δ |R|1/p .
∞ |R|
δ |R|1/p < ε.

20

Do vậy, f − f2

p

< 2ε, nếu


B. Không gian L1 (Ω).
Chúng ta bắt đầu với sự mô tả không gian đối ngẫu của L1 (Ω).
Định lý 2.9. (Định lý phép biểu diễn Riesz) Giả sử φ ∈ (L1 )∗ . Khi đó, tồn
tại một hàm duy nhất u ∈ L∞ sao cho:
φ, f =

u f ∀ f ∈ L1 .

Hơn nữa,
u

∞

= φ

(L1 )∗ .

Chú ý 5:
Định lý 2.9 khẳng định rằng mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1 đều
có thể biểu diễn “cụ thể” bởi một tích phân. Ánh xạ biến φ → u, là một phép
đẳng cự, toàn ánh tuyến tính, nó cho phép ta đồng nhất không gian “trừu
tượng” (L1 )∗ với L∞ .
Từ nay về sau ta luôn đồng nhất: (L1 )∗ = L∞ .
Chứng minh. Giả sử (Ωn ) là một dãy con các tập đo được trong Ω sao cho
∞

Ω=

Ωn và |Ωn | < ∞ ∀n. Đặt χn = χΩn .

n=1

Tính duy nhất của u là rõ ràng. Thật vậy, giả sử u ∈ L∞ thỏa mãn:
u f = 0 ∀ f ∈ L1 .
Chọn f = χn signu (ta luôn qui ước sign 0 = 0) ta suy ra u = 0 h.k.n trên Ωn
và vì vậy u = 0 h.k.n trên Ω.
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của u. Đầu tiên ta xây dựng một hàm
θ ∈ L2 (Ω) sao cho:
θ (x) ≥ εn > 0 ∀x ∈ Ωn .
Dễ thấy hàm θ là tồn tại. Thật vậy, ta xác định θ bằng α1 trên Ω1 , bằng α2
trên Ω2 \Ω1 ,.....,bằng αn trên Ωn \Ωn−1 ,....., và ta điều chỉnh các hằng số
αn > 0 để θ ∈ L2 .

21