Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2 phương pháp đưa về bài toán cauchy, phương pháp khử lặp

Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán
học hiện đại. Rất nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học,… đều dẫn
đến việc giải các phương trình vi phân. Tuy nhiên lớp các phương trình vi
phân có thể tìm được nghiệm chính xác rất hẹp. Do đó, để giải được các
phương trình vi phân thông thường người ta thường phải sử dụng các phương
pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng của chúng.
Do nhu cầu thực tiễn, các nhà khoa học đã tìm ra rất nhiều phương
pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân.
Trong khóa luận này em xin trình bày một số phương pháp giải gần
đúng bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2.
Nội dung chính của khóa luận gồm các chương:
Chƣơng 1: Các kiến thức mở đầu.
Chƣơng 2: Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình
vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán Cauchy, phương pháp
khử lặp.
Chƣơng 3: Ứng dụng vào giải những bài toán cụ thể.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do đặc điểm đề tài, do thời gian và tài
liệu nghiên cứu hạn chế nên khóa luận của em chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong được sự chỉ bảo, tham gia đóng góp ý kiến của
các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em hoàn chỉnh hơn.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

1

Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của
các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a *, nếu a không sai khác a* nhiều.
Đại lượng : = | a – a* | gọi là sai số thực sự của a. Do không biết a * nên ta
cũng không biết . Tuy nhiên, ta có thể tìm được a  0, gọi là sai số tuyệt
đối của a, thỏa mãn điều kiện:
| a – a* |  a

(1.1.1)

hay a  a  a*  a  a . Đương nhiên, a thỏa mãn đều kiện (1.1.1) càng
nhỏ càng tốt. Sai số tương đối của a là :

 a :

a
|a|

Ví dụ 1 :
Giả sử a* =  ; a = 3,14. Do 3,14  a*  3,15  3,14  0,01 nên ta có thể
lấy a  0, 01 . Mặt khác, 3,14    3,142  0, 002 do đó có thể coi

a  0, 002

Ví dụ 2 :
Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm và b = 1cm với
a  b  0, 01 . Khi đó ta có  a 

0,01
0,01
 1% hay
 0,1% còn b 
1
10

 b  10 a . Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù
a  b . Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương
đối.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

2


Khúa lun tt nghip

Ngụ Th Tõm-K34C Toỏn

1.1.2 Sai s thu gn
Mt s thp phõn a cú dng tng quỏt nh sau:
a ( p10 p p110 p1 ps10 ps )

trong ú 0 i 9,(i p 1, p s) ; p 0 l nhng s nguyờn.
Nu p s 0 thỡ a l s nguyờn.

Nu p s = - m ( m > 0 ) thỡ a cú phn l gm m ch s.
Nu s = + thỡ a l s thp phõn vụ hn.
Thu gn mt s a l vt b mt s cỏc ch s bờn phi a c mt
s ngn gn hn v gn ỳng nht vi a.
Quy tc thu gn :
Gi s a p10 p p110 p1 ps10 ps v ta gi li n s hng
th j. Gi phn vt b l , ta t a p10 p p110 p1 j 110 j 1 j10 j ,
trong ú:

u 0,5.10 j 10 j
j 1, neỏ

j :
u0 0,5.10 j

j , neỏ

Nu = 0,5 .10j thỡ

u j leỷ
j 1, neỏ

j :
u j chaỹ
n

j , neỏ

Vớ d
3,141592 3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1 3

Sai s thu gn a 0 l mt s tha món iu kin :
| a | a
Vỡ a = p . 10p + p-1 . 10p-1 + . . . + j . 10j +
p
p 1
j 1
j
Cũn a p10 p110 j 110 j 10

GVHD: PGS.TS. Khut Vn Ninh

3


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

 )10   | 0,5.10
Nên | a  a | | (  j  
j
j

j

Sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên :
| a* - ā |  | a* - a | + | a – ā |  a + a
1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác chữ số ‘ 0’ và cả chữ số ‘ 0 ‘ nếu
nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữa lại .

Ví dụ : a = 0,0030140. Ba chữ số “ 0 “ đầu không có nghĩa.
p
p 1
ps
Mọi chữ số có nghĩa j của a  (  p 10   p 110     p  s 10 )

gọi là chữ số chắc nếu a  .10i trong đó  là tham số cho trước . Tham số
 được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc.
Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là j. Để j+1 và cả chữ
số trước nó vẫn chắc, phải có a  a  .10i1 . Suy ra .10i1  0,5.10i1  .10i1
hay  

5
. Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu  = 0,5 ( = 1)
9

khi viết số gần đúng, chỉ lên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính
toán sai số chỉ tác động đến chữ số không chắc mà thôi.
1.2 Sai số tính toán
Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau :
a) Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế. Sai
số này không loại trừ được.
b) Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không
thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ
được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do
đó có sai số. Sai số các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu trong §1.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

4


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn
nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử phải tìm đại y theo công thức:

y  f ( x1 , x2 ,, xn )
*
Gọi xi , y * (i  1, n) và xi , y , (i  1, n) là các giá trị đúng và gần đúng

của đối số và hàm số.
Nếu f khả vi liên tục thì:


| y  y | | f ( x1, x2 ,..., xn )  f ( x , x ,..., x ) | | fi ' | .| xi  xi* |
n

*
1

*

*
2

*
n

i 1


f
'
f
trong đó f i là đạo hàm
tính tại các điểm trung gian. Do
liên tục
xi

xi

và xi khá bé ta có thể coi
n

y   | fi ' ( x1 ,..., xn ) |.xi
i 1

(1)

do đó
n
y

y 
 |

ln f | .xi
| y | i 1 xi

(2)

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:
1.2.1 Sai số của tổng
Giả sử tính y = x1 + x2 + …+ xn ;

y
 1, i  1,..., n
xi

Theo công thức (1) có :
y = |1| . x1 + |1| . x2 + …+ |1| . xn
 y = x1 + x2 +…+ xn

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

5


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

n

 y   xi
i 1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số
hạng thành phần.
Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số tương đối sẽ là một
số lớn.
Vậy khi tính toán ta phải tránh việc tính các hiệu số của hai số rất gần
nhau nếu không tránh được thì cần phải lấy các số với nhiều chữ số chắc.
1.2.2

Sai số của tích
Giả sử tính sai số của với y = x1 . x2 … xn ; | y | = | x1 | . | x2 | …| xn |
 ln |y| = ln |x1| + ln |x2| + …+ ln|xn|

hay ln | y |

n

 ln | x |
i

i 1

n

n

i 1

i 1

 ln | y |   ln | xi |    ln | xi |
n

 y   x
i 1

i

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số
hạng thành phần.
1.2.3 Sai số tương đối của một thương
Giả sử tính y 
'
Ta có y x1 

x1
x2

x
1 '
; y x2   12
x2
x2

Có

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

6

Khóa luận tốt nghiệp

y |

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

x
1
| .x1  |  12 | .x2
x2
x2



|x |
1
.x1  12 .x2
| x2 |
x2



| x2 | .x1  | x1 | .x2
| x22 |

Có

y 

y | x2 | .x1  | x1 | .x2 | x2 |

.
| y|
| x2 |2
| x1 |



| x2 | .x1  | x1 | .x2
| x1 | .| x2 |



| x2 | .x1 | x1 | .x2

| x1 | . | x2 | | x1 | . | x2 |



x1 x2

| x1 | | x2 |

  x1   x2
Vậy sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối
của các số hạng thành phần.
1.2.4 Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo


Cho y  x , khi đó  y |

d
ln y | .x |  | . x
dx

Nếu   1 ( phép lũy thừa) thì  y   x do đó độ chính xác giảm.
Nếu 0    1 ta có phép khai căn, khi đó  y   x hay độ chính xác
tăng.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

7


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Nếu   1 ta có phép nghịch đảo,  y   x nghĩa là độ chính xác
không đổi.
1.3 Bài toán ngƣợc của lí thuyết sai số
Giả sử đại lượng y tính theo công thức y = f (x1, x2, … , xn) hỏi phải lấy
xi bằng bao nhiêu để y  const cho trước ?
Sau đây là hai phương pháp đơn giản để giải bài toán trên :
1.3.1 Nguyên lí ảnh hưởng đều
a ) Ta coi |

f
| .xi  c , (c  const ) , i  1, n

xi

Suy ra
n

y  |
i 1

f
| .xi  nc
xi

Vậy

xi 

c
y

,(i  1, n)
f
f
|
| n.|
|
xi
xi

b) Nếu coi xi = const ( i = 1,…, n ) thì : xi 

c) Nếu coi  x1   x2  ...   xn và đặt k 

k

y
n

| x
j 1

j

f
|
x j

do đó: xi 

y
n
f
|
|

j 1 x j

n
xi
f
| hay

thì y  k .| xi
| xi |
xi
i 1

| xi | y
;(i  1, n)
f
| xj
|

x j
j 1
n

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

8


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Ví dụ
Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 cm. Chiều cao h = 3m. Hỏi R và
h phải bằng bao nhiêu để thể tích V được tính chính xác tới 0,1 m3 ?
Giải
Ta có V =  R2h.
Áp dụng nguyên lí ảnh hưởng đều thứ nhất ta có

Nên  

V
 R 2 h  12


0,1
V
 0,003 và
 2 Rh  37, 7
3,12
R

Suy ra
R 

Do đó h 
1.3.2

0,1
V
 0,001;
  R 2  12,6
3.37,7
h

0,1
 0,003
3.12,6

Phương pháp biên.
Giả sử hàm

y  f ( x1 , x2 ,..., xn ) đồng thời theo các biến

x1, x2 ,..., x p và nghịch biến theo các biến còn lại x p1 ,..., xn . Nếu biết cận
thay đổi của đối số xi  xi  xi ;(i  1, n) thì:

y  f ( x1 ,..., x2 , x p 1 ,..., xn )  y  y  f ( x1 ,..., x p , x p 1,..., xn )
Từ đây suy ra 0  y  y  y
1.4

Sai phân

1.4.1 Định nghĩa:
Giả sử f là một hàm xác định trên tập X, h > 0 sao cho x + h  X, khi
đó biểu thức f ( x)  f ( x  h)  f ( x) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm
f ( x ) tại x.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

9


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

 2 f  (f )  [ f ( x  h  h)  f ( x  h)]  [ f ( x  h)  f ( x)]
 f ( x  2h)  2 f ( x  h)  f ( x )

 f ( x  h)  f ( x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự  f  (
n

n1

f ) được gọi là sai phân cấp n của f ( x) tại x.

1.4.2 Tính chất của sai phân
1.4.2.1 Sai phân là một ánh xạ tuyến tính ( toán tử tuyến tính )

 k ( f  g )   k f   k g.
k ( . f )   .k f
1.4.2.2

c = 0 với c - const .

1.4.2.3

Giả sử P(x) là đa thức bậc n

P(x) là đa thức bậc n-1
m P(x) = c - hằng số nếu m = n
m P(x) = 0 - nếu m > n
n

1.4.2.4

f ( x  nh)   Cnk  k f ( x)

k 0

n

  Cnk  k f
k 0

1.4.3 Bảng sai phân
f (xi) = yi với i = 0; 1; 2; …; n .

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

10


Khóa luận tốt nghiệp

xi

yi

x -3

y-3

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

yi

2yi

3yi

4yi

...

y-3
x -2

2y-3

y-2

3y-3

y-2
x -1

3y-2

y-1
x0

y+1

3y-1

y+2

...
4y-1

2y0
3y0

y+1
x+2

...
4y-2

2y-1

y+0
y0

x +1

4y-3

2y-2

y-1

2y+1
y+2

x+3

y+3

1.5 Một số kiến thức về phƣơng trình vi phân thƣờng
Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa
hàm số chưa xác định ( đóng vai trò như ẩn số ) và những đạo hàm của hàm
số đó:

F ( x, y( x), y ' ( x),...., y ( n) ( x))  0

(1.5.1)

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
trình.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

11


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Hàm số y   ( x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.5.1) nếu thay

y   ( x), y '   ' ( x),..., y ( n) ( x) vào (1.5.1) thì ta được phương trình đồng
nhất thức.
Hàm số y   ( x, c);(c  R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5.1) nếu: ( x, y )  D; (D
là miền xác định của phương trình ) ta có thể giải ra đối với c, c   ( x, y ) .

Hàm y   ( x, c) thỏa mãn (1.5.1) khi (x, y) chạy khắp D

c  R .

1.6 Bài toán biên đối với phƣơng trình vi phân thƣờng
1.6.1 Một số nghĩa
a) Bài toán Cauchy
Nếu từ phương trình (1.5.1) ta giải ra được đối với đạo hàm cấp cao

d ( n) ( y)
 f ( x, y, y ' ,..., y ( n1) )
nhất:
n
d (x )

(1.5.2)

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.5.2) được phát biểu như sau:
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.5.2) sao cho khi x = x o thì

y( x0 )  y0 , y ' ( x0 )  y01 , …, y( n1) ( x0 )  y0( n1) trong đó x0, y0, …, y0( n1) là các
giá trị tùy ý cho trước mà ta gọi là các giá trị ban đầu.
Trong trường hợp n = 2 thì bài toán Cauchy được phát biểu như sau:
Cho phương trình vi phân cấp hai y"  f ( x, y, y ' )

(1.5.3)

Trong trường hợp này bài toán Cauchy được phát biểu như sau: Tìm
nghiệm y(x) của phương trình (1.5.3) thỏa mãn các điều kiện ban đầu :

y( x0 )  y0 , y ' ( x0 )  y01
 Định lí về sự tồn tại nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy
- Định nghĩa : Cho phương trình vi phân : y

( n)

 f ( x, y, y ' ,..., y ( n1) )

hàm số f ( x, u1, u2 ,..., un ) xác định trong miền G  R

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

n 1

được gọi là thỏa

12


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

mãn điều kiện Lipsit theo các biến u1, u2, …, un nếu tồn tại hằng số L > 0
(hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kì ( x, u1 , u2 ,..., un )  G ;

( x, u 1 , u 2 ,..., u n )  G ta có bất đẳng thức :
n

| f ( x, u1 , u2 ,..., un )  f ( x, u 1 , u 2 ,..., u n ) |  L| ui  u i |

i 1

- Định lí : Giả sử trong miền G  R

n 1

hàm f ( x, u1, u2 ,..., un ) liên tục

và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u1, u2, …, un. Khi đó với bất kì điểm trong

( x0 , y0 , y0' ..., y0( n1) )  G tồn tại duy nhất nhiệm y = y(x) của phương trình
(1.5.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu y( x0 )  y0 , y ' ( x0 )  y01 ,..., y ( n1) ( x0 )  y0( n1)
b) Giả sử hàm f (x); fi(x) liên tục trên đoạn [a; b] và fn  0 lập phương
trình vi phân tuyến tính
n

L( y )   f i ( x) y ( i ) ( x)  f ( x)
i 0

(1.6.1)

(v )
(v )
Chọn các hằng số:   ;   sao cho ma trận :

 1(0) ...1( n 1) 1(0) ...1( n 1) 


...................................



  (0) ... ( n 1)  (0) ... ( n 1) 
m
m
m
 m


(1.6.2)

Có hạng là m, ta lập tổ hợp tuyến tính sau:
n 1

V ( y )   [ ( ) y ( ) (a)   ( ) y ( ) (b)],   1, m
 0

(1.6.3)

Do ma trận (1.6.2) có hạng m nên các tổ hợp (1.6.3) là độc lập tuyến
tính. Các đẳng thức: V ( y)  g  ,   1,m (1.6.4) trong đó g là những số
được gọi là điều kiện biên của phương trình ( 1.6.1). Nếu g   0,  thì ta

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

13


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

gọi là điều kiện biên thuần nhất. Phương trình (1.6.1) cùng các điều kiện
(1.6.4) lập thành bài toán biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g   0,  và f ( x)  0 .
Trong trường hợp khác ta gọi là không thuần nhất đôi khi có thể gọi là bán
thuần nhất nếu g   0,  nhưng f ( x)  0 . Định nghĩa tổng quát về bài toán
( )
biên trên đây bao gồm cả bài toán Cauchy thông thường khi (    0,  ,  ) .

Ta thâý rằng  ( x)  0 thỏa mãn điều kiện bài toán biên thuần nhất.
Nghiệm đó được gọi là nghiệm tầm thường.
Nếu 1 , 2 ,...., k là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì tổ
hợp tùy ý của chúng: c11  c2 2  ...  ckk cũng là nghiệm của bài toán đó.
c) Cho phương trình:
F ( x, y ( x), y ' ( x),...., y ( n ) ( x))  0; a  x  b

(1.6.5)

Bài toán biên hai điểm đối với phương trình (1.6.6) được đặt ra như
sau: Cho hàm số y(x) thỏa mãn điều kiện biên ở hai đầu đoạn thẳng

i  y (a), y ' (a),..., y ( n 1) (a)   0 , i  1, L

(1.6.6)

 j  y (b), y ' (b),..., y ( n 1) (b)   0 , j  L  1, n

(1.6.7)

Nếu các phương trình (1.6.5) – (1.6.7) là tuyến tính đối với

y ( x), y ' ( x),..., y ( n ) ( x) thì bài toán biên (1.6.5) – (1.6.7) là bài toán biên tuyến

tính. Để đơn giản ta hạn chế trường hợp bài toán biên tuyến tính với n  2 .
Khi đó phương trình vi phân và điều kiện biên được viết dưới dạng:
L  y ( x)   y" ( x)  p( x) y ' ( x)  q( x) y( x)  f ( x); a  x  b

(1.6.8)

l0  y (a)    0 y (a)  0 y ' (a)   0

(1.6.9)

l1  y (b)   1 y (b)  1 y ' (b)   1

(1.6.10)

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

14


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Trong đó p(x); q(x); f (x) là những hàm số cho trước  0 , 0 ,  0 ,

1 , 1 ,  1 là những hằng số cho trước.
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã được xem xét trong giáo trình về
phương trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại và duy

nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao. Giả thiết các điều kiện
sau được thỏa mãn: |o| + |o| > 0; |1| + |1| > 0.
1.6.2 Điều kiện giải được của bài toán biên
Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả, chẳng hạn:

 y" ( x)  0

 y (a )  y (b)  1
 y ' (a )  y ' (b)  0

Giả sử biết một nghiệm riêng 0 của phương trình (1.6.1) và hệ nghiệm
cơ bản 1 , 2 ,...., n của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán
biên (1.6.1 ) – (1.6.2) và (1.6.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số
ci trong biểu thức   0  c11  c22  ...  ckk sao cho điều kiện (1.6.4)
được thỏa mãn. Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được là ma
trận:

 V1 (1 )...V1 (n )V1 (0 )  g1 


V
(

)...
V
(

)
V
(


)

g
2
1
2
n
2
0
2


 ......................................... 


V
(

)...
V
(

)
V
(

)

g

m
n
m
0
m
 m 1
Có cùng hạng với ma trận:

 V1 (1 )...V1 (n ) 


V
(

)...
V
(

)
2
1
2
n


 ....................... 


 Vm (1 )...Vm (n ) 

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

(1.6.11)

15


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Nếu ma trận (1.6.11) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và
có (n  r ) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m  n .
Trong trường hợp m  n bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm
thường khi định thức của ma trận (1.6.11) bằng không. Như vậy trong trường
hợp m  n hoặc bài toán biên thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài
toán biên thuần nhất tương ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường.

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

16


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Chƣơng 2
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG CẤP 2 - PHƢƠNG PHÁP ĐƢA VỀ BÀI

TOÁN CAUCHY, PHƢƠNG PHÁP KHỬ LẶP
2.1 Phƣơng pháp đƣa bài toán biên về bài toán Cauchy
2.1.1 Bài toán
Xét phương trình vi phân

L  y ( x)   y" ( x)  p( x) y ' ( x)  q( x) y ( x)  f ( x); a  x  b

(2.1.1)

Tìm hàm số y = y(x) sao cho bên trong [a, b] thì thỏa mãn phương trình
(2.1.1) còn ở hai đầu mút thì thỏa mãn điều kiện biên:

l0  y (a)    0 y (a)   0 y ' (a)   0

(2.1.2)

l1  y (b)   1 y (b)  1 y ' (b)   1

(2.1.3)

Trong đó p(x); q(x); f(x) là những hàm số cho trước  0 , 0 ,  0 , 1 , 1 ,  1
là những hằng số cho trước.
2.1.2 Các phương pháp đưa bài toán biên về bài toán Cauchy
2.1.2.1 Phƣơng pháp biến thiên hằng số
Ta biết rằng từ giáo trình về phương trình vi phân thì nghiệm của bài
toán (2.1.1) có thể viết dưới dạng

y( x)  Z ( x)  c1Z1 ( x)  c2Z 2 ; a  x  b
trong đó c1, c2 là những hằng số tùy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) là những nghiệm của
bài toán Cauchy sau :

Z " ( x)  p ( x) Z ' ( x)  q ( x) Z ( x)  f ( x)
Z (a)  0; Z ' (a)  0

Z1" ( x)  p( x) Z1' ( x)  q( x) Z1 ( x)  f ( x)
Z1 (a)  0; Z1' (a)  1

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

(2.1.4)

(2.1.5)

17


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Z 2" ( x)  p( x) Z 2' ( x)  q( x) Z 2 ( x)  f ( x)
Z 2 (a)  1; Z 2' (a)  0

(2.1.6)

Cho nên sau khi giải (2.1.4) – (2.1.6) có thể sử dụng điều kiện
(2.1.2)  (2.1.3) để xác định c1, c2 từ hệ phương trình sau:

c1  0 Z1 (a)   0 Z1' (a)   c2  0 Z 2 (a )   0 Z 2' (a )    0   0 Z (a )   0 Z ' (a )



'
'
'
c1 1Z1 (b)  1Z1 (b)   c2 1Z 2 (b)  1Z 2 (b)    1  1Z (b)  1Z (b)
Sau khi xác định được c1, c2 ta dễ dàng tìm được nghiệm của bài toán
(2.1.1)  (2.1.3) .

Thuật toán mô tả ở trên có nhược điểm cơ bản như sau:
1) Nó chỉ áp dụng để giải các bài toán biên với phương trình vi phân
tuyến tính.
2) Trong quá trình thực hiện có thể dẫn đến sự thiếu chính xác (chẳng
hạn khi Z1 ( x) tăng nhanh theo biến x còn y(x) lại là đại lượng nhỏ thế thì một
thay đổi nhỏ trong quá trình tính c1, c2 có thể dẫn đến sai số lớn khi tính y ( x ) ).
2.1.2.2 Phƣơng pháp bắn.
Khi giải bài toán biên (2.1.1)  (2.1.3) có thể sử dụng phương pháp bắn
để giải bài toán Cauchy

L  Z ( x, t )   f ( x) , a  x  b, l0  Z (a, t )    0

(2.1.7)

Z (a, t )  t nếu 0  0
Hoặc Z ' (a, t )  t nếu  0  0 với t = to và t = t1; to  t1.
Sau đó ta tìm t2  t1 

 (t1 )(t1  t0 )
, (t )  l1  Z (b, t )    1
 (t1 )   (t0 )

Lại một lần nữa giải (2.1.7) với t = t 2. Dễ dàng chứng tỏ rằng ở bài toán
nói trên Z ( x, t2 )  y( x) .

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

18


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

Phương pháp bắn có thể khái quát cho trường hợp bài toán phi tuyến
nhưng cũng như phương pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số.
2.1.2.3 Phƣơng pháp dồn vi phân .
Khác với phương pháp khử lặp, phương pháp biến thiên hằng số và
phương pháp bắn, phương pháp dồn vi phân giải bài toán Cauchy không phải
để cho phương trình ban đầu mà là để cho những phương trình trung gian
khác (trong nhiều trường hợp bậc của nó thấp hơn bậc của phương trình ban đầu).
Như vậy với điều kiện o  0 lược đồ của phương pháp dồn vi phân đối
với phương trình (2.1.1) – ( 2.1.3) gồm những bước như sau :
1)

Giải các bài toán Cauchy:

 Z1' ( x)   Z12 ( x)  p ( x) Z1 ( x)  q ( x)

0

Z

(
a
)


 1
0


(2.1.8)

 Z 2' ( x)   Z 2 ( x)  Z1 ( x)  p ( x)   f ( x )

0

 Z 2 (a)  
0


(2.1.9)

đối với Z1(x), Z2 (x) với x  [a, b]
2) Sử dụng các giá trị của Z1(x), Z2(x) để tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau:

 y ' ( x)  Z1 ( x) y ( x)  Z 2 ( x), a  x  b

 1  1Z 2 (b) 

y
(

b
)


1  1Z1 (b) 


(2.1.10)

Những nghiệm của bài toán (2.1.8) – (2.1.9) được gọi là các bước dồn
thuận, còn quá trình tính y(x) - nghiệm của bài toán (2.1.10)) gọi là bước dồn
ngược.
Nếu o  0 thì quá trình dồn thuận là quá trình giải các bài toán
Cauchy:

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

19


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

u1' ( x)  u12 ( x)q( x)  u ( x) p( x)  1, a  x  b

0

u1 (a)   
0


u2' ( x)  u1 ( x)  u2 ( x)q( x)  f ( x)  , a  x  b

0
 '
u2 (a)  
0

Sau khi tính được u1(x), u2(x) ta tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau:

 y ( x)  u1 ( x) y ' ( x)  u2 ( x), a  x  b

 1u1 (b)  1u1 (b) 

y
(
b
)


 1  1u1 (b) 

Nếu thỏa mãn điều kiện:  0 . 0  0; 1.1  0; q( x)  0; a  x  b thì
phương pháp dồn vi phân sẽ ổn định đối với sai số tính toán.
2.2 Phƣơng pháp khử lặp giải bài toán biên đối với phƣơng trình vi phân
tuyến tính cấp 2
2.2.1 Nội dung phương pháp
Cho bài toán biên:

y" ( x)  p( x) y ' ( x)  q( x) y( x)  f ( x); a  x  b

 0 y (a)  1 y ' (a)  A

  0 y (b)  1 y (b)  B

(2.2.1)
(2.2.2)

Ta xét hệ phương trình thu được do việc thay phương trình (2.2.1) và
điều kiện (2.2.2) bằng tỉ số sai phân hữu hạn:

yi  2  2 yi 1  yi
yi 1  yi

p
 qi yi  fi , i  0, n  2
i
h2
h

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

(2.2.3)

20


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

y1  y0


y


A
0
0
1

h

  y   yn  yn1  B
1
 0 n
h

(2.2.4)

Phương pháp khử lặp giải hệ trên được tiến hành như sau:
Trước hết ta viết n-1 phương trình đầu tiên của (2.2.3) dưới dạng:

yi  2  mi yi 1  ki yi  h 2 f i ;(i  0, n  2)

(2.2.5)

trong đó :
mi  2  hpi

ki  1  hpi  h 2qi ;(i  0, n  2)

Giả sử có: yi 1  ci (di  yi  2 );(i  0, n  2)

(2.2.6)
(2.2.7)

các số ci , di được tính theo công thức:
Với i = 0:

y1  c0d0  c0 y2

1 y1  (1  0h) y0  Ah
y2  m0 y1  k0 y0  h 2 f0
Từ ( ** )  y0 

(*)
(**)
(***)

 Ah
1

y
1   0h 1   0h 1

Thay vào (***):

  Ah


1
y2  m0 y1  k0 

y1   h 2 f 0
 1   0 h 1   0 h 

1k0 
k0 Ah
2
 y2   m0 
 y1  h f 0 
1   0 h 
1   0 h


GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

21


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

  a1  0h  y2  m0  a1  0h   k01  y1  h2 f0  a1  0h   k0 Ah
h2 f 0  a1   0 h   k0 Ah
 a1  0h 
 y1 

y2

m0  a1   0 h   k01
m0  a1   0h   k01

(4*)

Từ (*) và (4*) suy ra :

1   0h

1   0 h

c

0
c0  m  a   h   k 

m0  a1   0 h   k01
0
1
0
0 1





2
k0 Ah
c d  h f 0  a1   0h   k0 Ah
d 

 h2 f0
0
0 0


m0  a1   0 h   k01
m0  a1   0 h   k01


(2.2.8)

Với i = 1, 2, …, n-2 thay (2.2.7) vào (2.2.6) ta được:

yi2  mi yi1  ki ci1 (di1  yi1 )  h2 fi
 yi1 (mi  ki ci1 )   yi1  kici1di1  h2 fi
1
h 2 fi  ki ci di 1
 yi 1 
yi 2 
mi  ki ci 1
mi  ki ci 1

(2.2.9)

Từ (2.2.7) và (2.2.9) suy ra:

1

c


i

mi  ki ci 1


2
c d  h fi  ki ci 1di 1
 i i
mi  ki ci 1

1

ci  m  k c

i
i i 1
d  h 2 f  k c d
i
i i 1 i 1
 i

(2.2.10)

Việc tính toán được tiến hành theo thứ tự sau :
 Chiều thuận
Theo công thức (2.2.6) ta tính giá trị mi , ki. Ta tìm được c0, d0 sau đó
áp dụng công thức truy hồi (2.2.10) ta tìm được giá trị c i, di với

i  1,2,..., n  2 .

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

22


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

 Chiều ngƣợc
Từ phương trình (2.2.7) với i = n - 2 và từ phương trình cuối cùng của
hệ (2.2.8), ta được :

 yn1  cn2 (d n2  yn )


yn  yn1

y


B
0
n
i

h
giải hệ này với ẩn yn , ta được :

yn 

1cn2d n2  Bh
1 (1  cn2 )  0 h

(2.2.11)

Sử dụng các giá trị đã biết cn2 , dn2 ta tìm đượ yn. Sau đó ta tính được
các giá trị yi với i  n  1, n  2,...,1 và áp dụng liên tiếp công thức truy hồi (2.2.7)

 yn1  cn2 (d n2  yn )
 y  c (d  y )
 n  2 n 3 n 3
n 1

....................................
 y1  c0 (d0  y2 )

(2.2.12)

Dựa vào điều kiện (2.2.2) sau khi thay đổi bởi tỉ số sai phân hữu hạn, ta
được y0 là :

y0 

1 y1  Ah
1   0 h

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

(2.2.13)

23


Khóa luận tốt nghiệp
i

xi

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

mi

ki

fi
ci

di

yi

0

x0

m0

k0

f0

co

d0

yo

1

x1

m1

k1

f1

c1

d1

y1

2

x2

m2

k2

f2

c2

d2

y2

...

...

...

...

...

...

...

...

n-2

xn-2

mn-2

kn-2

dn-2

yn-2

n-1

xn-1

yn-1

n

xn

yn

fn-2

cn-2

Như vậy, việc tính toán dường như được đuổi 2 lần. Việc tính toán theo
hướng thuận nhằm vào việc tính các ci, di theo thứ tự tăng của chỉ số i, trong
đó để tính các giá trị c0, d0 thì sử dụng điều kiện biên được cho ở đầu mút trái
của đoạn, sau đó sang bước thứ nhất của chiều ngược có sử dụng các giá trị
cn-2, dn-2 với điều kiện biên cho mút bên phải của đoạn lấy tích phân sau đó thì
thu được các giá trị liên tiếp cần tìm của hàm yi theo chỉ số i giảm dần từ i=n

đến i = 1.
2.2.2 Ví dụ
Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình:

y ''  2 xy '  2 y  4 x

 y (0)  y ' (0)  0
với điều kiện biên: 
 y (1)  1  e  3,718
Giải
Sử dụng công thức sai phân trung tâm:

yi' 

yi 1  yi " yi  2  2 yi 1  yi
, yi 
h
h2

và lấy h = 0,1 thì xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình trên và điều
kiện biên ta được hệ phương trình sai phân là:

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

24


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Tâm-K34C Toán

yi 1  yi
 yi  2  2 yi 1  yi

2
x
 2 yi  4 xi
i

0,01
0,1

y1  y0

0
; i  0,8
 y0 
0,1

 y10  1  e  3,718


Sau khi biến đổi ta được hệ:

 yi 2  (2  0,2 xi ) yi 1  (0,98  0,2 xi ) yi  ( 0,01).4 xi

; i  0,8
1,1y0  y1  0
 y  3,718
 10

i

Như vậy ta có:
mi = -2 – 0,2 xi
ki = 0,98 + 0,2 xi
fi = - 4 x i
Thứ tự điền vào bảng :
xi
mi
ki

0  1
1  1

0  1
1  0

A=0

B = 3,718

fi

y(xi)
ci

di

yi

0

0,0

-2,00

0,98

0,0

-0,9016

0,0000

1,1092

1,0000

1

0,1

-2,02

1,00

-0,4

-0,8941

-0,0040

1,2202

1,1100

2

0,2

-2,04

1,02

-0,8

-0,8865

-0,0116

1,3534

1,2408

3

0,3

-2,06

1,04

-1,2

-0,8787

-0,0226

1,5098

1,3941

4

0,4

-2,08

1,06

-1,6

-0,8706

-0,0330

1,6916

1,5735

5

0,5

-2,10

1,08

-2,0

-0,8622

-0,0510

1,9026

1,7840

6

0,6

-2,12

1,10

-2,4

-0,8535

-0,0723

2,1552

2,0333

7

0,7

-2,14

1,12

-2,8

-0,8445

-0,0971

2,4453

2,3323

8

0,8

-2,16

1,14

-3,2

-0,8352

-0,1254

2,7928

2,6964

9

0,9

3,2100

3,1479

10 1,0

3,7182

3,7182

GVHD: PGS.TS. Khuất Văn Ninh

25