Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích

trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán



Ngô thị thủy

PHẫP NGHCH O VI
BI TON QU TCH

khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyờn ngnh : Hỡnh hc

Ngi hng dn khoa hc
GV. Đinh văn thủy

Hà Nội - 2012


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã
nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.
Tác giả khóa luận xin gửi tới các thầy cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất, đặc biệt là
thầy giáo Đinh Văn Thủy người đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Tác giả khóa luận

Ngô Thị Thủy

SVTH: Ngô Thị Thủy

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của
riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thủy, không trùng với các tác giả
khác.
Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012
Tác giả khóa luận

Ngô Thị Thủy

SVTH: Ngô Thị Thủy

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................................1
1. Lý do chọ đề tài ......................................................................................................................1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................1
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu ...............................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................................2
NỘI DUNG.................................................................................................................................3
CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO ..........................................................................................3
1.1. Các định nghĩa .....................................................................................................................3
1.1.1. Không gian bảo giác .........................................................................................................3
1.1.2. Phép nghịch đảo................................................................................................................3
1.2. Các tính chất ........................................................................................................................3
1.3. Các định lý ...........................................................................................................................4
1.4. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc ...........................................................10
CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH........................................12
2.1. Bài toán quỹ tích ................................................................................................................12
2.2. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích....................................................................12
2.3. Các ví dụ minh họa ............................................................................................................12
2.4. Bài tập tự luyện..................................................................................................................27
2.5. Hướng dẫn .........................................................................................................................30
KẾT LUẬN...............................................................................................................................42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................43

SVTH: Ngô Thị Thủy

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán. Việc
giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc
đáo sẽ phát huy tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học. Mỗi bài tập
hình học có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng
hợp, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ và phương pháp biến hình.
Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép
giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh,
bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán.
Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến
hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép
vị tự. Phép nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ
thông, chỉ được đề xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi.
Phép nghịch đảo với những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải
quyết mới trong một số lớp bài toán của hình học.
Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép nghịch đảo và
giải các bài toán của hình học, tôi đi vào nghiên cứu lý thuyết phép nghịch
đảo và ứng dụng của phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học.
Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có
hạn nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc
giải các bài toán quỹ tích.
Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: "phép nghịch đảo với bài toán
quỹ tích".

2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng
của nó trong việc giải bài toán quỹ tích.

SVTH: Ngô Thị Thủy

1

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử
dụng phép nghịch đảo vào giải bài toán quỹ tích.
3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo.
- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải
bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và không gian.
4.Phương pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham
khảo có liên quan.

SVTH: Ngô Thị Thủy

2

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1. Các định nghĩa
1.1.1. Không gian bảo giác
Không gian E n ( n = 1, 2, 3) bổ sung phần tử  (điểm vô cực ) gọi là
không gian bảo giác Bn .
Trong không gian bảo giác Bn mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi
qua điểm .
1.1.2. Phép nghịch đảo
Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k. Phép
biến hình N : B  Bn sao cho:
M  M ' N (M)

Nếu M  O thì M'  
Nếu M   thì M'  O
O, M,M ' thẳng hàng
Nếu M  O, thì 
OM.OM '  k

thì N được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k.
Kí hiệu N

k

O

hoặc N (O,k).

Nhận xét:
N (O,k)  X o N (O,-k) trong đó X o là phép đối xứng tâm O.
1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất 1
Phép nghịch đảo là biến hình đối hợp : N 2 là phép đồng nhất.
1.2.2. Tính chất 2
Nếu M' là ảnh của M qua N (O,k) thì O, M, M' thẳng hàng.
SVTH: Ngô Thị Thủy

3

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Nếu M, O, N không thẳng hàng M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua
N (O,k) thì tứ giác MM'N'N là tứ giác nội tiếp.
1.2.3. Tính chất 3
Nếu phương tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo N (O,k) có tập
các điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính

k ( gọi là siêu cầu nghịch

đảo).
Nếu phương tích nghịch đảo k  0 thì phép nghịch đảo N (O,k) không
có điểm bất động.
1.3. Các định lý
1.3.1. Định lý 1
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành
siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E 2 . Việc chứng minh trong E3 hoàn toàn
tương tự.
+) Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo
thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo.
Giả sử trong E 2 cho phép nghịch đảo N (O,k) và d là đường thẳng nào
đó không đi qua O.
Hạ OH  d, Hd, H'  N (H)
Xét M bất kỳ thuộc d và M'  N (M).
Khi đó OM.OM '  OH.OH '  k
 Tứ giác MM'N'H là tứ giác nội tiếp.
 ( H'M', MM')  (H'H, MH)  90 .
Do OH' cố định  M' nằm trên đường tròn đường khính OH.

SVTH: Ngô Thị Thủy

4

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Ngược lại, lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH',
N  N (N') , tương tự như trên ta có :
(N'H', NN')  ( NH, HH')  90  OH  HN
Nd
Vậy N (d)  (OH')
+) Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép
nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo.
1.3.2. Định lý 2
Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu
cầu không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E 2 .

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) và (C) là đường tròn không đi
qua O. (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A,B.
Gọi A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) và (C')
là đường tròn đường kính A'B'. Ta chứng minh (C')  N (C).
+) M  (C), M'  N (M).
Nếu M  A hoặc B thì M' trùng A' hoặc B' tức M'  (A'B').
Nếu M  A, B thì ta có tứ giác AMM'A' là tứ giác nội tiếp.
SVTH: Ngô Thị Thủy

5

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

 AMO  AA 'M '
Tứ giác BMM'B' nội tiếp  A 'B'M '  BMM '
Do M  (C)  AMB  90 tức M'  (C'). (1)
+) N'  (C') đều có A, B là ảnh của A', B' qua phép nghịch đảo N.
 N  N (N') nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy N'  (C') đều có N(C) sao cho N (N) N'. (2)
Từ (1) và (2) suy ra (C')  N (C).
Hệ quả:
Các siêu cầu có tính chất : Phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là hình kép.
1.3.3. Định lý 3
Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó.
Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất.
1.3.4. Định lý 4
Nếu A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) thì ta có:
A'B'  k

AB
OA.OB

Chứng minh:
+) Nếu A, B, O thẳng hàng ta có:
OA ' 

k

k
, OB' 
OA
OB

 A 'B'  OB'  OA ' 
k
A'B'  k

k
k

OB OA

OA  OB
BA
 k
OA.OB
OA.OB

AB
OA.OB

SVTH: Ngô Thị Thủy

6

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

+) Nếu A, B, O không thẳng hàng. Khi đó ta có: ABB'A' là tứ giác
nội tiếp.
 OAB OB'A '


A 'B' OA '

AB OB

A'B'

OA '.AB OA.OA '.AB
AB

k
OB
OA.OB
OA.OB

Nhận xét:
Nếu qua phép nghịch đảo N (O,k), siêu cầu ( C1 )( O1 ,R) biến thành
siêu cầu ( C2 )( O 2 ,R) thì:
R 2 k

R1
OO12  R12

R1

k

P

O (C )
1

Chứng minh:
Gọi AB là đường kính của ( C1 ) mà O  AB và A', B' thứ tự là ảnh của
A, B qua N (O,k).
( C2 )  (A'B') và A'B' k
R2  k

AB
OA.OB

R1
k
(OO1  R) OO1  R

R1

P

 O (C )
1

1.3.5. Định lý 5
Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép
nghịch đảo N (O,k), (k  0) là có n siêu cầu đi qua M, N trực giao với siêu cầu
nghịch đảo.
Chứng minh:
Ta chứng minh trong E 2 :
SVTH: Ngô Thị Thủy

7

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

+) Điều kiện cần :
Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) (k  0), (C) là đường tròn nghịch
đảo và M, M' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên. Ta
phải chứng minh có hai đường tròn ( C1 ), ( C2 ) trực giao với (C).
Gọi (C') là đường tròn bất kỳ qua M và M'.



OM.OM '  k  P O

(C')

  k  (C)  (C')

Do qua M, M' có vô số đường tròn nên có hai đường tròn qua M, M'
trực giao với (C).
+) Điều kiện đủ:
Giả sử có hai đường tròn ( C1 ), ( C2 ) qua M, M' và trực giao với (C).
Khi đó :

P

O (C )  k  P O (C )  OM.OM '  k
1

2

 O thuộc trục đẳng phương MM' của (C1) và ( C2 ) và OM.OM '  k.
M, M' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo N (O,k).
Dễ thấy k  0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường tròn ( C1 ) và ( C2 ).
1.3.6. Định lý 6
Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làm ngược
hướng của hình.
Chứng minh:
Để chứng minh định lý này, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
Cho phép nghịch đảo N (O,k) biến đường cong (C) thành đường cong
(C'). Nếu hai điểm A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C') và tại đó chúng
có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạn
thẳng AA'.

SVTH: Ngô Thị Thủy

8

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

+) Chứng minh bổ đề:
Ta lấy trên (C) và (C')
hai điểm tương ứng M , M' khá
gần A và A' sao cho khoảng cách
OM không bị triệt tiêu khi M tiến
dần tới A. Khi đó bốn điểm A, A',
M, M' luôn thuộc một đường tròn.
Theo hệ thức
M'A' 

k MA
OA.OM

thì khi M tiến tới A thì M' tiến dần tới A'. Do đó, các cát tuyến MA, M'A' của
các đường cong (C), (C') đến trùng với các tiếp tuyến At, A't' của chúng ở
A, A'.
Gọi (K) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA'M'M, ở vị trí A, A' , (K)
lần lượt tiếp xúc với (C) và (C'). Khi đó các tiếp tuyến At, A't' đồng thời là
tiếp tuyến của (K) tại A, A' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua
trung trực của đoạn thẳng AA'.
+) Chứng minh định lý:

Giả sử có hai đường cong
(C) và (S) cắt nhau ở A qua phép
nghịch đảo N (O,k) biến thành
(C') và (S') cắt nhau ở A'  N (A).
Theo bổ đề trên, các tiếp
tuyến At của (C) và A't' của (C')
đối xứng nhau qua trung trực của AA', các tiếp tuyến Au của (S) và A'u' của
(S') đối xứng nhau qua trung trực của AA'.
Vậy (At,Au)  (A't',A'u').

SVTH: Ngô Thị Thủy

9

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

1.3.7. Định lý 7
Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k') là phép vị
tự tâm O, tỉ số

k'
.
k

Chứng minh:

Xét điểm M'  E n ( n  2, 3 ) bất kỳ.
Gọi M'  N (M), M" N '(M'). Khi đó ta có:
OM.OM ' = k ,

OM '.OM"  k'

 k ' 
 k'
 OM"  OM hay M"  V  O,  (M).
k
 k

 k'
Do M bất kỳ trong không gian En  N '  N = V  O,  .
 k

1.4. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
1.4.1. Trong E1
Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy có
gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo.
M(x,y) là điểm bất kỳ và M'(x',y') là ảnh của M qua phép nghịch đảo
đó. Khi đó, theo định nghĩa ta có:
 O,M,M ' thẳng hàng

OM.OM '  k

 O, M,M ' thẳng hàng
   
OM.OM '  k

x.x' + y.y' = k (*)
Công thức (*) xác định tọa độ của điểm M' đối với hệ tọa độ đã chọn.
1.4.2. Trong E 3
Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có
gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo.
Điểm M = (x,y,z) bất kỳ. Ta ký hiệu M' = (x',y',z') là ảnh của M qua
phép nghịch đảo N (O,k). Theo định nghĩa, ta có:
SVTH: Ngô Thị Thủy

10

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 O,M,M ' thẳng hàng

OM.OM '  k
 x ' y' z '
 

 x y z
 xx ' yy' zz '  k


GVHD: Đinh Văn Thủy

O, M, M ' thẳng hàng
   

OM.OM'  k

(**)

Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ tọa Đềcác
vuông góc, có cực trùng với gốc tọa độ và phương tích là k (k  0).

SVTH: Ngô Thị Thủy

11

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có
tính chất  cho trước. Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu
hạn điểm hoặc vô hạn điểm.
Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước:
Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất  thuộc
hình (H).
Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính
chất  .
2.2. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích
Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất  ta chọn phép nghịch đảo

thích hợp biến mỗi điểm M có tính chất  thành điểm M’ có tính chất  ' và
quỹ tích những điểm M’ phải tìm được dễ dàng. Từ đó suy ra quỹ tích của
những điểm M có tính chất  là ảnh của quỹ tích những điểm M’ có tính chất
 ' qua phép nghịch đảo đã chọn ở trên. (Do tính chất đối hợp của phép nghịch

đảo).
2.3. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho đường tròn (O). Hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P
cố định trong vòng tròn. (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A. (C') là
đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A’. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của
(C) và (C’).
Giải
Cách 1: Dùng phép biến hình.
Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), Ax, A’y lần lượt là tiếp
tuyến tại A, A’ của (O).

SVTH: Ngô Thị Thủy

12

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Xét phép nghịch đảo của N cực P, phương tích

P

 P (O) . Khi đó ta

có: N (P,k) biến (C) thành A’y, (C’)
thành Ax.


N biến giao điểm I của (C)

và (C’) thành M là giao điểm của Ax
và A’y mà M là cực của đường thẳng
AA’ đối với đường tròn (O), P  AA ' .
 M nằm trên đường thẳng đối

cực p của điểm P đối với (O).
Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo



cực P, phương tích k = P P

(O)

.

+) Xác định quỹ tích I.
Gọi r là bán kính của (O), OP  p tại K.
Ta có: OP.OK  r 2

(1)



2



OP.OK  OP. OP  PK  OP  OP.OK


P

 P (O)  r

2

(2)

 OP.PK

Từ (1) và (2) suy ra

P

 P (O)  OP.KP  0

Đặt K’ là ảnh của K qua phép nghịch đảo đã chọn, ta có:
PK.PK ' 

P

 P (O)

 K’ trùng với O.

Vậy, tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OP
Cách 2: Không dùng phép biến hình.

SVTH: Ngô Thị Thủy

13

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Thuận:
Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), M là giao điểm của các tiếp
tuyến Ax, A’y của (O) , K  OP sao cho PO.PK  PA.PA ' .
+) Ta có: I, P,M thẳng hàng.
Thật vậy: PI là trục đẳng phương của (C) và (C’).

 M (C)  MA , P  M (C')  MA '
Mà MA = MA’  P  M
 P M
 M  PI .

(C) 
(C') 
2

P

2

Vậy P, I, M thẳng hàng.
+) Ta chứng minh OK  KM.
Thật vậy: Theo cách lấy đểm K thì: PO.PK  PA.PA '
 PO.PK  PA.PA ' 
 POA

PO PA '

PA PK

PA 'K  OAP  A 'KP

Mà (OAA’) là đường tròn đường kính OM  MKO  90 hay
MK  OK .

+) Ta chứng minh I  (OM) .
Xét tứ giác OAA’I có:
AIA '  AIP  PIA ' 

1
1
AO1P  PO1A

2
2





1
1
 AOA '  AOA '  AOA '
2
2
 I  (AOA ')  (OM)
 MOI  90  PIO  90.

P, O là điểm cố định  I thuộc đường tròn đường kính OP.
Đảo lại:

SVTH: Ngô Thị Thủy

14

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Với I bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP. Ta chứng minh tồn tại

hai đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại hai điểm A, A’ sao cho A, P, A’
thẳng hàng.
Thật vậy:
Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho PI.PM 

P

 P (O)

Bằng cách: + Kẻ qua P dây cung BB’.
+ Dựng (IBB’).
+ Đường thẳng IP cắt (IBB”) tại giao điểm thứ 2 là M.
thì M là điểm cần dựng.
Dựng đường tròn kính OM, đường tròn này cắt (O) tại hai điểm A, A’.
(C) là đường tròn (API), (C’) là đường tròn (A’PI).
Ta chứng minh A, P, A’ thẳng hàng.
Ta có: AA’ là trục đẳng phương của (O) và (OM).

 P (O)  PB.PB'
P  P (OM)   PI.PM
P

(Do

OIP  90  OIM  90  I  (OM)

Theo cách dựng điểm M thì PI.PM  PB.PB' .
 P thuộc trục đẳng phương AA’ của (O) và (OM). Hay A, P, A’

thẳng hàng.

Vậy quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và (C’) là đường tròn đường
kính OP.
Nhận xét:
Ta thấy bài toán vẫn được giải nếu ta không sử dụng phép biến hình.
Tuy nhiên, ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải bài toán nếu như ta
không dự đoán trước được quỹ tích cần tìm. Khó khăn này sẽ được khắc phục
nếu ta dùng phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó.
SVTH: Ngô Thị Thủy

15

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình
toán phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng
tốt trong việc giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ
tích cần tìm góp phần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toán
quỹ tích.
Ví dụ 2:
Cho đường tròn (O), gọi (C), (C’) là hai đường tròn đi qua tâm O và
trực giao với nhau và cùng tiếp xúc với (O), cắt nhau tại giao điểm thứ hai
là I. Tìm quỹ tích I khi (C), (C’) thay đổi.
Giải
Nhận xét
Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta có thể sử dụng phép nghịch đảo

để đưa về hình vẽ đơn giản hơn.
Gọi R là bán kính của (O).
Chọn phép nghịch đảo cực là O, phương
tích k = -R2, khi đó (O) có ảnh là chính nó,
(C), (C’) lần lượt biến thành các đường
thẳng t1, t2. Do tính chất bảo tồn góc giữa
hai đường cong của phép nghịch đảo
 t1, t2 là hai tiếp tuyến của (O) và t1  t 2

Gọi K là giao điểm của t1 và t2 thì I và K là hai điểm tương ứng với
nhau trong N (O,-R2).
Ta có: OK  R 2  tập hợp K là đường tròn (O,R 2 )
OI.OK   R 2  OI 




R
2

 Tập hợp I là đường tròn  O,

SVTH: Ngô Thị Thủy

R 
.
2

16

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Ví dụ 3:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, d là trục đẳng
phương của (O) và (O’). Chứng minh rằng có hai đường tròn (I) và (I’) cùng
đi qua một điểm M  d và cùng tiếp xúc với (O) và (O’). Tìm quĩ tích giao
điểm thứ hai của hai đường tròn đó.
Giải
Với mỗi điểm M  d, xét phép nghịch đảo N cực là điểm M, phương
tích k  MA 2 . Vì d là trục đẳng phương của (O) và (O’), M  d



P M

(O)

  P  M (O')  MA

2

k

 Qua N , đường tròn (O) và

(O’) biến thành chính nó, các đường
tròn qua M tiếp xúc với (O) và (O’)
biến thành các tiếp tuyến chung của
(O) và (O’) là c và c’. Vậy, với mỗi
điểm M  d, có hai đường tròn qua
M, tiếp xúc với cả (O) và (O’) là ảnh
của hai tiếp tuyến chung c và c’ của
hai đường tròn (O) và (O’) qua phép nghịch đảo N.
+) Quỹ tích giao điểm thứ hai của (I) và (I’).
Gọi N’ là giao điểm của 2 tiếp tuyến chung c và c’ của (O) và (O’), và
N là ảnh của N’ qua phép nghịch đảo N đã chọn , tức ta có:
MA 2  MN.MN '  AN  MN ' hay ANN '  90

(1)

Giao điểm thứ hai của (I) và (I’) là ảnh của N’ qua phép nghịch đảo





N M, MA 2 .

SVTH: Ngô Thị Thủy

17

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Theo (1): ANN '  90  Tập hợp điểm N là đường tròn đường kính
AN'.
Ví dụ 4:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB. Một đường
tròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E. Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tại
điểm thứ hai lần lượt là D’, E’.Tìm quỹ tích D’, E’.
Nhận xét
Ta thấy

P

 C (O)  CD.CD'  CE.CE '  CA.CB

C là điểm cố định cho trước.
CA.CB là số không đổi và khác 0.

Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C,k) với k  CA.CB thì D’, E’
lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D’,
E’ là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn.
Giải
Ta có:
CA.CB  CD.CD'  CE.CE '  k 

P PM1.PM 2  PA.PB  k

Xét phép nghịch đảo N (C,k). Khi đó, N (D) = D’, N (E) = E’.
Quỹ tích D là đường thẳng d
 Quỹ tích D’, E’ là ảnh của đường

thẳng d qua N (C,k).
Ta thấy (O) là đường tròn bất động
đối với N (C, k), góc giữa đường thẳng d
và (O) bằng 900. Do tính chất bảo tồn góc
của hai đường cong của phép nghịch đảo

SVTH: Ngô Thị Thủy

18

K34B – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

nên N (d)  N (O) tức N (d)  (O), Cd  CN (d).
Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên là đường tròn đi
qua (C) và trực giao với (O).
Gọi J là giao điểm của AC với (CD’E’) thì (ABJC)  1 .
Vậy, quỹ tích D’, E’ là đường tròn đường kính CJ, với J là điểm trên AC sao
cho (ABJC)  1 .
Ví dụ 5:
Cho (O) và hai điểm A, B cố định trên nó. Giả sử điểm M di động trên
(O). Gọi (C1), (C2) thứ tự là các đường tròn qua M tiếp xúc với AB lần lượt tại

A và B. Gọi M’ là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2).
Tìm quĩ tích M’.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB,
ta có: P



I

(C1 )

 


P

I

(C2 )





AB2
4

 I thuộc trục đẳng phương của

(C1) và (C2).
 I, M, M’ thẳng hàng và:
IM.IM ' 

AB2
4

 AB2 
Xét phép nghịch đảo N  I,
 thì M’ và M là hai điểm tương ứng

4



với nhau.
Theo đề bài, tập hợp các điểm M là đường tròn (O).
 Tập hợp các điểm M’ là ảnh của (O) qua phép nghịch đảo cực I,
AB 2
phương tích
.
4

SVTH: Ngô Thị Thủy

19

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Xác định N [(O)]:
Gọi R là bán kính của (O), (O') = N [(O)], R’ là bán kính của (O’) thì
AB2
AB2
R.
4
4 R
R'

AB2
R I
(O)
4
R.





Mặt khác A, B cũng là hai điểm tương ứng trong phép nghịch đảo
 AB2 
N  I,
.
 4 



 A,B  (O')

 (O') là đường tròn đối xứng với (O) qua đường thẳng AB.
Ví dụ 6:
Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự, đường thẳng d quay quanh
P. Gọi (C1), (C2) là các đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M1, M2.
a. Tìm tập hợp các điểm N1, N2 lần lượt là giao điểm của (AM1M2) với
các đường thẳng BM1, BM2.
b. Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm thứ hai của M1M2 và N1N2
Giải
a. Ta có:
PM12  PM 22  PA.PB
 Tập hợp các điểm M1,M 2 là





đường tròn (C)  P, PA.PB và P là
trung điểm của M1M2.
Hiển nhiên: PM1.PM 2  PA.PB  k
(k là thực không đổi).
Xét phép nghịch đảo N 1 = N 1(P,k).

SVTH: Ngô Thị Thủy

20

K34B – SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Văn Thủy

Giả sử A'= N 1(A) thì: PA.PA '  PA.PB
 A' là điểm đối xứng của B qua P.

Mặt khác, tứ giác AA'M1M2 là tứ giác nội tiếp  A '  (AM1M 2 )


P

 B (AM M )  BA.BA '  k ' là số không đổi.
1

2





Xét phép nghịch đảo N2 = N2 B,BA.BA ' thì ta có:
N2   AM1M 2     AM1M 2  nên N2(M1) = N1, N2 (M2) = N2.



 Tập hợp các điểm N1, N2 là ảnh của đường tròn (C)  P, PA.PB



qua phép nghịch đảo N2 (Ký hiệu (C') = N2 [(C)] ).
b, Q là giao điểm của M1M2 và N1N2, ta có:

P  Q



 QM1.QM 2  QN1.QN 2
 AM1M 2  

Q (C)  QM .QM
P  Q (C')   QN .QN
P

(1)

1

2

(2)

1

2

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

P

Q (C)  P Q (C')

Vậy, tập hợp các điểm Q là trục đẳng phương của hai đường tròn (C)
và (C’).
Ví dụ 7:
Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O). Các cát tuyến thay đổi
AMN và APQ cắt (O) tại M, N, P, Q. Giải sử giao điểm thứ hai của các cặp
đường tròn (AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) thứ tự là B, C.
Tìm quỹ tích điểm B,C.
Giải

SVTH: Ngô Thị Thủy

21

K34B – SP Toán