Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm cận của tích phân loại laplace và áp dụng đối với một số tích phân đặc biệt

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa
Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ
em hoàn thành khoá luận này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khoá luận.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Hanh

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào
khóa luận tốt nghiệp "Phương pháp tích phân từng phần trong
khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và áp dụng với
một số tích phân đặc biệt" được hoàn thành không trùng với bất kỳ
khóa luận nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tôi đã thừa kế những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Hanh

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN

5

1.1. Một số khái niệm về bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Một số ví dụ về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Các tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . .

10

2 TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE

19

2.1. Ý tưởng của phương pháp khai triển tiệm cận đối với tích
phân loại Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Trường hợp f (t) đủ trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3. Trường hợp f (t) không đủ trơn . . . . . . . . . . . . . .

24

3 MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

28

3.1. Hàm Gamma không hoàn chỉnh . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2. Tích phân Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3. Bài toán của Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

33

Tài liệu tham khảo

34

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi giải quyết nhiều bài toán trong thực tế thường xảy ra rằng,
những chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của
một đại lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của
chuỗi. Trường hợp điển hình là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ
bởi một số số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mong
muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi
giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó),
nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại. Các chuỗi như vậy được
gọi là chuỗi bán hội tụ và việc tính toán giá trị số thường được thực hiện
bởi một số các số hạng đầu của chuỗi. Để minh họa cho điều này, ta
xét một bài toán được xét đến lần đầu tiên vào năm 1754 bởi L. Euler.
Chuỗi hàm
∞

2

(−1)n n!xn

3

S(x) = 1 − 1!x + 2!x − 3!x + ... =

(0.1)

n=0

là một chuỗi phân kì với mọi x = 0. Thế nhưng với những giá trị đủ nhỏ
của x, các số hạng đầu của chuỗi giảm rất nhanh và có thể tính toán
định lượng giá trị số xấp xỉ của chuỗi này.
Một vấn đề được đặt ra là hàm nào của biến x có giá trị số biểu
diễn sự xấp xỉ đó. Euler đã xét hàm φ(x) = xS(x) và bằng tính toán
đơn giản ta thấy rằng
φ (x) = 1! − 2!x1 + 3!x2 − ... =
hay
x2 φ (x) + φ(x) = x.

x − φ(x)
x2


2

Điều đó cho thấy rằng hàm φ(x) nhận được từ nghiệm của một phương
trình vi phân. Mặt khác, sử dụng tích phân Euler loại hai

∞

e−t tn dt

n! =
0

ta thu được
∞

∞
−t

e dt − x

S(x) =
0
∞

∞
−t

e−t t2 dt − ...

2

e tdt + x
0

0

∞

(−1)n e−t (xt)n dt.

=
n=0

0

Giả thiết rằng nếu có thể lấy tổng một cách hình thức qua dấu tích phân
thì S(x) trở thành

∞
0

e−t
dt.
1 + xt

(0.2)

Bây giờ ta có thể thấy rằng
∞

f (x) =
0

e−t
dt

1 + xt

(0.3)

là một hàm hoàn toàn được xác định theo biến x, giải tích trong mặt
phẳng phức x cắt dọc theo nửa trục không âm. Một vấn đề nảy sinh ở
đây là khi nào chuỗi phân kỳ (0.1) biểu diễn hàm (0.3). Để trả lời cho
vấn đề này trước hết ta lưu ý rằng
1
=
1 + xt

m

(−xt)m+1
(−xt) +
; ∀m = 0, 1, 2...
1
+
xt
n=0
n

Do đó, ta có thể viết
f (x) = Sm (x) + Rm (x);
với

(0.4)

m

(−1)n n!xn

Sm (x) =
n=0

(0.5)


3

là tổng riêng thứ m và
∞
m+1

Rm (x) = (−x)

0

e−t tm+1
dt
1 + xt

(0.6)

là phần dư của chuỗi (0.1). Ta xét hai trường hợp sau
(i) Nếu Re x

0 thì ta có |1 + xt|−1 ≤ 1 và
∞

m+1

|Rm (x)| ≤ |x|

e−t tm+1 dt = (m + 1)! |x|m+1

(0.7)

0

(ii) Nếu Re x < 0, φ = arg x và

π
< ±φ < π thì |1 + xt|−1 < |cosec φ| và
2

do đó
|Rm (x)| ≤ (m + 1)! |x|m+1 |cosec φ| .

(0.8)

Trong cả hai trường hợp, phần dư có cùng bậc với số hạng đầu tiên của
phần dư của S(x) và tiến nhanh đến 0 khi x → 0. Giới hạn hội tụ đều
trong bất kỳ hình quạt nào đó mà |arg x| < π − ε, ε > 0. Nếu Re x > 0
thì phần dư nhỏ hơn số hạng dư đầu tiên và nếu x > 0 thì phần dư cùng
dấu với số hạng đầu tiên của phần dư.
Có một số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận của các tích phân
như phương pháp pha dừng, phương pháp đường giảm nhanh, phương
pháp điểm yên ngựa. Tuy nhiên, một trong những phương pháp được

quan tâm trước hết trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân
đó là phương pháp tích phân từng phần. Để hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp chương trình bậc đào tạo cử nhân khoa học Toán học em chọn
đề tài "Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm
cận của tích phân loại Laplace và áp dụng với một số tích phân
đặc biệt".
Luận văn gồm 03 chương. Chương 1, được giành để đưa ra một số
kiến thức căn bản về lý thuyết tiệm cận. Chương 2 của luận văn, chúng
tôi trình bày một cách hệ thống một số phương pháp ước lượng xấp xỉ


4

tích phân loại Laplace. Cuối cùng, chúng tôi sử dụng phương pháp tích
phân từng phần để thu được khai triển của một số tích phân đặc biệt.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm
cận, trình bày một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân
loại Laplace. Ứng dụng phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ một
số tích phân đặc biệt.

3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

4. Dự kiến đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận.
Trình bày phương pháp tích phân từng phần xấp xỉ tích phân loại
Laplace.

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ một số tích
phân đặc biệt.


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI
TÍCH TIỆM CẬN
Trước khi giới thiệu các khái niệm cơ bản về giải tích tiệm cận,
chúng ta xét việc tính giá trị của tích phân sau
∞

I(ε) =
0

e−t
dt; ε > 0.
1 + εt

Ở đây chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ giá
trị của tích phân trên. Tích phân từng phần lần thứ nhất ta được
∞

I(ε) = 1 − ε
0

e−t
dt.
(1 + εt)2

Lập lại quá trình này N lần ta nhận được

I(ε) = 1 − 1!ε + 2!ε2 − 3!ε3 + ... + (−1)N N !εN
∞
e−t
N +1
+ (−1)
(N + 1)!
dt.
(1 + εt)N +2
0

(1.1)

Phương trình (1.1) dẫn đến một số khái niệm quan trọng mang tính trực
giác sau đây
(i) −ε cùng bậc với ε, còn 2!ε2 là cùng bậc với ε2 , ký hiệu là
−ε = O(ε);

2!ε2 = O(ε2 ).

(ii) 2!ε2 có bậc nhỏ hơn ε được ký hiệu bởi
2!ε2 = o(ε).


6

(iii) Nếu xấp xỉ của tích phân I(ε) là 1 − 1!ε + 2!ε2 thì đây là xấp xỉ có
độ chính xác tới bậc của ε2 . Trong việc tính toán các tích phân trên,
tham số ε là số thực. Chúng ta sẽ phát biểu chính xác các khái niệm có
tính trực giác trên cho biến phức ở mức độ tổng quát.

1.1.

Một số khái niệm về bậc

Định nghĩa 1.1. Cho f (z) và g(z) là hai hàm xác định trên miền D
trong mặt phẳng phức C và z0 là một điểm giới hạn của miền đó, ta nói
(i) Hàm f (z) có bậc "O lớn" đối với g(z) khi z → z0 và ký hiệu là
f (z) = O(g(z)); z → z0
nếu tồn tại một hằng số M và một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ M |g(z)| ; ∀z ∈ U ∩ D.
(ii) Hàm f (z) có bậc "o nhỏ" hơn g(z) khi z → z0 và ký hiệu là
f (z) = o(g(z)); z → z0
nếu
lim

z→z0

f (z)
= 0.
g(z)

(iii) Hàm f (z) tương đương với hàm g(z) khi z → z0 ký hiệu là
f (z) ∼ g(z); z → z0
nếu
f (z)
= 0.
z→z0 g(z)
lim

(iv) Hàm f (z) xấp xỉ bằng I(z) tới bậc δ(z) khi z → z0 , nếu

I(z) − f (z)
= 0.
z→z0
δ(z)
lim


7

Trở lại phương trình (1.1), ở đây cho z là ε và z0 = 0. Xét xấp xỉ
f (ε) = 1 − ε + 2!ε2 . Ta thấy
I(ε) − f (ε)
= 0.
ε→0
ε2
lim

Như vậy f (ε) được gọi là xấp xỉ của I(ε) tới bậc ε2 .

1.2.

Khái niệm về khai triển tiệm cận
Trong phương trình (1.1) chứa một dãy sắp thứ tự 1, ε, ε2 , ε3 , ...

Đặc điểm của dãy này là số hạng thứ (j + 1) của dãy nhỏ hơn nhiều so
với số hạng thứ j của nó. Đặc điểm này xác định tính chất của một dãy
tiệm cận. Phương trình (1.1) cho ta một khai triển tiệm cận của tích
phân I(ε) tương ứng với dãy tiệm cận {εj }∞
j=0 . Ta phát biểu chính xác
các khái niệm này như sau

Định nghĩa 1.2. (i) Dãy hàm {δj (z)} được gọi là dãy tiệm cận khi
z → z0 nếu với mỗi j = 1, 2, ... thì
δj+1 (z) = o(δj (z)); z → z0 .
(ii) Giả sử I(z) là một hàm liên tục và cho {δj (z)} là dãy tiệm cận khi
N
j=1 aj δj (z)

z → z0 . Chuỗi có dạng

được gọi là khai triển tiệm cận

của I(z) khi z → z0 tới bậc δN (z) nếu với mọi m = 1, 2, ...N ta có
m

aj δj (z) + O(δm+1 (z)); z → z0 .

I(z) =
j=1

Khi đó ta viết

N

I(z) ∼

aj δj (z); z → z0 .
j=1

(1.2)

8

Trong phương trình (1.2) các số hạng của chuỗi có thể thu được lần lượt
từ công thức
n−1
j=0 aj δj (z)

I(z) −
an = lim

δn (z)

z→z0

.

Khi tính toán các số hạng này có thể lớn tùy ý, đối với phương trình
(1.2) thường là N = ∞, mặc dù trong thực tế chuỗi tiệm cận này thường
không hội tụ.

1.3.

Một số ví dụ về khai triển tiệm cận

Ví dụ 1.1. Quay trở lại phương trình (1.1), vế phải của phương trình
này là khai triển tiệm cận của tích phân I(z) với số hạng thứ (n+1) là rất
nhỏ so với các số hạng trước nó. Điều này đúng với mọi n = 0, 1, .....N −1.
Với n = N , do ε > 0 nên ta có: 1 + εt ≥ 1. Do đó
∞

0

∞

e−t
dt ≤
(1 + εt)N +2

e−t dt = 1.
0

Từ đó suy ra
∞

(−1)

N +1

N +1

(N + 1)!ε

0

e−t
dt
(1 + εt)N +2

≤ (−1)N +1 (N + 1)!εN +1 = o (−1)N N !εN

.

Điều quan trọng chúng ta thấy rằng khai triển trong phương trình
(1.1) không hội tụ. Thật vậy, với ε cố định thì số hạng (−1)N N !εN tiến
đến vô cực khi N → ∞. Nhưng với N cố định thì số hạng này bị triệt
tiêu khi ε → 0 và đây là lý do cho thấy khai triển tiệm cận trên đem lại
một xấp xỉ tốt cho tích phân I(ε) khi ε → 0.
Ví dụ 1.2. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân
∞

J(z) =
0

e−zt
dt; z → ∞.
1+t


9

1
Đặt t = zt, ε = , ta thấy rằng
z
∞

e−t
J =ε
dt .
1 + εt
0

1
Vì vậy từ phương trình (1.1), với ε = ta có
z
1
1
2!
(N − 1)!
J(z) = − 2 + 3 − ... + (−1)N −1
+ RN (z)
z z
z
zN
với
(−1)N N ! ∞
e−t dt
RN (z) =
.
N +1
t
z N +1
0
1+

(1.3)

z

Ta thấy rằng
|RN (z)| ≤

N!
1
=
o
z N +1
zN

.

1 1 2!
Lưu ý rằng trong phương trình (1.3) khi z → ∞, thì dãy hàm , 2 , 3 , ...
z z z
chính là một dãy tiệm cận. Do đó phương trình (1.3) là khai triển tiệm
cận của tích phân I(z) với z đủ lớn. Hơn nữa, khai triển trên không hội
tụ khi N → ∞ và z cố định. Thế nhưng từ đánh giá trên ta thấy khi
z → ∞ và N cố định thì RN → 0.
Ví dụ 1.3. Tìm khai triển tiệm cận của tích phân
∞

I(z) =
z

e−t
dt; z → ∞.
t

Lấy tích phân từng phần N lần ta thu được
1
1
2!

(N − 1)!
I(z) = e−z
− 2 + 3 − ... + (−1)N −1
+ RN (z)
z z
z
zN
với

∞
N

RN (z) = (−1) N !
z
−z

−z

(1.4)

e−t
dt.
tN +1

e
e
, 2 , ... lập thành một dãy tiệm cận. Ta có
z z
đánh giá về phần dư như sau
∞

N!
N !e−z
e−z
−t
|RN (z)| < N +1
e dt = N +1 = o
.
z
z
zN
z

Khi z → ∞, các số hạng


10

Vì vậy phương trình (1.4) là khai triển tiệm cận của tích phân đã cho.
Khi N → ∞ với z cố định, dãy này phân kỳ và |RN | → ∞. Khi z → ∞
với N cố định thì RN → 0.
Thông thường, chuỗi tiệm cận sẽ mang lại xấp xỉ tốt như mong
muốn. Chẳng hạn trong ví dụ trên khi z = 10 và N = 2, sai số giữa kết
quả chính xác với hai số hạng đầu tiên của chuỗi là R2 (10) thỏa mãn
R2 (10) < 0, 002e−10 .
Rõ ràng sai số đó là rất nhỏ. Thực ra ngay cả khi z = 3 và N = 2, ta có
2
= 3, 7 × 10−3 .
R2 (3) <
3
(3e)

Tuy nhiên, ta không thể lấy quá nhiều các số hạng của chuỗi bởi vì phần
dư của chuỗi chỉ giảm nhanh trong một số các số hạng đầu của chuỗi và
các số hạng tiếp theo bắt đầu tăng trở lại khi N tăng. Về nguyên tắc,
ta có thể tìm được một giá trị "tối ưu" của N để khi z cố định thì phần
dư đó là nhỏ nhất (xấp xỉ tốt nhất). Ở đây, chúng ta sẽ không tìm hiểu
thêm về vấn đề này. Trong hầu hết các áp dụng, ta chỉ cần thu được
một vài số hạng đầu của khai triển tiệm cận là đủ.

1.4.

Các tính chất của khai triển tiệm cận
Các tính chất sau đây của khai triển tiệm cận có thể được thiết

lập một cách dễ dàng như sau
Tính chất 1.1. (Tính duy nhất của chuỗi tiệm cận)
Cho dãy tiệm cận {δj (z)}∞
j=1 , khi đó khai triển tiệm cận của hàm f (z)
là duy nhất. Rõ ràng, nếu cho
N

f (z) ∼

aj δj (z) khi z → z0
j=1


11

thì dãy {δj (z)} là một dãy khai triển tiệm cận. Khi đó các hệ số an là
duy nhất.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử f (z) còn có khai triển tiệm cận khác là
N

f (z) ∼

bj δj (z).
j=1

Khi đó ta đặt cj = aj − bj , ta thấy rằng
0 ∼ c1 δ1 (z) + c2 δ2 (z) + c3 δ3 (z) + ...
Chia cả hai vế cho δ1 (z) và lấy giới hạn đối với c1 khi z → z0 ta suy ra
c1 = 0. Lặp lại quá trình này đối với δ2 (z), δ3 (z)..... ta nhận được cj = 0
với mọi j = 1, 2, 3.... Do đó aj = bj với mọi j = 1, 2, 3, ....
Xét hàm f (z) là giải tích khắp nơi bên ngoài đường tròn |z| = R. Khi
đó hàm f (z) hội tụ nên khai triển chuỗi Taylor có dạng
f (z) = a0 +

a1 a2
+ 2 + ...
z
z

Trong trường hợp này, chuỗi Taylor hội tụ tương đương với chuỗi tiệm
∞
1
. Nếu f (z) không giải tích tại vô
cận hội tụ, với dãy tiệm cận là
z j j=0
cực thì nó không thể có khai triển tiệm cận nào thỏa mãn đối với mọi
arg z khi z → ∞. Các khai triển tiệm cận điển hình tìm được chỉ thỏa

mãn trong phạm vi của một số hình quạt nào đó của mặt phẳng phức.
Thường thì khai triển tiệm cận của một hàm f (z) cho trước sẽ có dạng
f (z) ∼ φ(z) a0 +

a1 a2
+ 2 + ...
z
z

với z nằm trong hình quạt của mặt phẳng phức. Dãy tiệm cận này hoặc
∞
∞
φ(z)
1
là
khi xét đến khai triển của f (z), hay đơn giản là
z j j=0
z j j=0
f (z)
nếu ta lựa chọn việc khai triển tiệm cận đối với
.
φ(z)


12

Định nghĩa 1.3. Một hàm f được gọi là có biểu diễn dưới dạng một
chuỗi lũy thừa tiệm cận trong một hình quạt của mặt phẳng z khi
z → ∞ nếu
a1 a2

+ 2 + ...
z
z
nhìn chung, chuỗi này thường không hội tụ.
f (z) ∼ a0 +

Cho hàm g(z) khác hàm f (z), g(z) có biểu diễn của chuỗi lũy thừa tiệm
cận trong hình quạt nào đó dưới dạng
g(z) ∼ b0 +

b1 b2
+ 2 + ...
z
z

Khi đó, tổng của hai hàm f + g và tích hai hàm f g cũng có biểu diễn của
chuỗi lũy thừa tiệm cận, ta nhận được bằng cách cộng và nhân tương
ứng các số hạng trong chuỗi, nghĩa là
∞

f (z) + g(z) ∼
n=0

và

∞

f (z)g(z) ∼
n=0

an + bn
zn
cn
,
zn

ở đây cn = a0 bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b1 + an b0 .
Chuỗi lũy thừa tiệm cận có thể được lấy tích phân hoặc lấy vi
phân các số hạng tương ứng để nhận được khai triển tiệm cận
f (z) ∼ −
∞

f (ζ) − a0 −
z

a1 2a2
− 3 + ....,
z2
z
a1
ζ

dζ ∼

a2
a3
+ 2 + ...
z
2z

Lưu ý rằng, nhiều chuỗi tiệm cận (ngoại trừ chuỗi lũy thừa tiệm cận)
có thể lấy tích phân các số hạng tương ứng được nhưng nói chung, nó
không cho phép lấy vi phân từng số hạng để thu được khai triển tiệm
cận.


13

Tính chất 1.2. (Tính không duy nhất của khai triển tiệm cận)
Một khai triển tiệm cận cho trước có thể được biểu diễn bởi hai hàm
hoàn toàn khác nhau.
π
π
< arg z < ,
2
2
hàm f (z) được cho dưới dạng khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận

Chứng minh. Giả sử khi z → ∞ với Re z > 0 và −
∞

f (z) ∼
n=0

an
.
zn

Khi đó khai triển cũng giống như biểu diễn f (z) + e−z trong hình quạt,
từ đó suy ra chuỗi lũy thừa tiệm cận biểu diễn e−z với Re z > 0 là bằng

0, nghĩa là

∞
−z

e

∼
n=0
n −z

ở đó bn = 0 với n ≥ 0 vì limz→∞ z e

bn
zn
= 0 với n ≥ 0 và Re z > 0. Số

hạng e−z được gọi là số hạng nhỏ siêu việt, hay nói cách khác là "vượt
∞
an
. Một chuỗi
quá tất cả các bậc" đối với chuỗi lũy thừa tiệm cận
n
z
n=0
lũy thừa tiệm cận không bao hàm các kiến thức xung quanh các số hạng
vượt quá tất cả các bậc.
Khi f (z) có biểu diễn dưới dạng chuỗi tiệm cận (không nhất thiết
phải là chuỗi lũy thừa tiệm cận) trong một hình quạt nào đó của mặt
phẳng phức, nó có thể có một biểu diễn tiệm cận khác hoàn toàn nằm ở

gần kề hình quạt đó. Trong thực tế, ngay cả khi f (z) giải tích với biến z
lớn tùy ý nhưng hữu hạn, khai triển tiệm cận có thể thay đổi gián đoạn
khi hình quạt là hình quạt chéo. Trường hợp này thường được quy về
hiện tượng Stokes trong [1]. Để minh họa cho trường hợp này ta xét
ví dụ sau
Ví dụ 1.4. Xét dáng điệu tiệm cận của tích phân
I(z) = sinh(z −1 ); z → 0, z ∈ C.


14

1 −1
1 −1
Ta có z = r.eiθ . Do đó, khi z → 0 số hạng cần tìm là ez hay − e−z
2
2
còn tùy thuộc vào giá trị cos θ là âm hay dương, nghĩa là
1 −1
π
I(z) ∼ ez ; z → 0, |arg z| <
2
2
và
π
3π
1 −1
< |arg z| <
.
I(z) ∼ − e−z ; z → 0,
2

2
2
Ta thấy rằng khai triển tiệm cận của hàm sinh(z −1 ) thay đổi gián đoạn
π
qua θ = .
2
Đôi khi ta có thể xác định được một tích phân mà không cần sử
dụng bất kì phương pháp tiệm cận nào. Dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu
hai loại tích phân như vậy.
Loại tích phân thứ nhất có dạng
b

f (z, t)dt; z → ∞,
a

ở đó f (z, t) ∼ f0 (t) khi z → z0 và t ∈ [a, b].
Loại tích phân thứ hai có dạng
b

f (t)dt; z → z0 .
z

Để xác định được dáng điệu của tích phân loại hai, ta sử dụng dữ kiện
sau:
Giả sử f (z, t) ∼ f0 (t) khi z → z0 và t ∈ [a, b], ta thấy rằng

b
a f0 (z)dt

hữu hạn và khác không. Lúc đó, giới hạn khi z → z0 và tích phân này

có thể thay đổi (đây là trường hợp đặc biệt của dãy tiệm cận có thể lấy
tích phân các số hạng tương ứng) vì vậy
b

b

f (z, t)dt ∼
a

f0 (z)dt; z → z0 .
a

(1.5)


15

Vậy để xác định được dáng điệu của tích phân loại hai này ta sử dụng
phương pháp tích phân từng phần.
Ví dụ 1.5. Tìm hai số hạng khác không đầu tiên trong khai triển tiệm
cận của tích phân
1

I(z) =
0

sin tz
dt; z → 0.
t

Vì sin z hội tụ đều nên nó được biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor
z3
sin z = z − + ...
3!
Từ đó suy ra
t2 z 3
sin tz
∼z−
+ ...
t
3!
Vậy
1

I(z) ∼

t2 z 3
z3
+ ... dt = z −
+ ...
3!
3.3!

z−
0

Đôi khi chúng ta chưa thể áp dụng được ngay điều này, lúc đó ta
cần phải biến đổi về dạng phương trình (1.5). Để minh họa cho điều này
ta xét hai ví dụ dưới đây
Ví dụ 1.6. Đánh giá tích phân sau

∞

2

e−t dt; z → 0.

I(z) =
z
2

Ta muốn tìm khai triển của e−t , mà ở đó t hữu hạn. Bằng trực giác ta
cho rằng khi z → 0 dẫn đến tích phân I(z) có dạng
∞

2

e−t dt.

I(z) =
0

Do đó, ta có thể viết tích phân trên thành hiệu hai tích phân như sau
∞

I(z) =

−t2

e
0

z

2

e−t dt.

dt −
0

(1.6)


16

Ta có thể ước lượng chính xác tích phân thứ nhất của phương trình (1.6)
bằng cách đặt s = t2 như sau
∞

e−t

2

0

∞

1
dt =
2

e−s s

− 21

0

1
1
ds = Γ
2
2

√
=

π
2

trong đó Γ (Gamma) là hàm được xác định bởi
∞

uz−1 e−u du.

Γ(z) =
0

Để đánh giá được tích phân thứ hai của phương trình (1.6) ta sử dụng
chuỗi Taylor
−t2

e
Do đó

t4
= 1 − t + − ...
2
2

√

z3 z5
π
−z+ −
+ ...
I(z) =
2
3
10

Ví dụ 1.7. Đánh giá tích phân sau
∞

E1 (z) =
z

e−t
dt; z → 0+ .
t

Tương tự ví dụ (1.6) ở trên ta viết
∞
z

e−t
dt =
t

∞
0

e−t
dt −
t

z
0

e−t
dt.
t

1
vào để xóa
t
∞
dt
bỏ sự gián đoạn của tích phân tại t = 0, ta nhận được tích phân
t
z

1
nhưng tích phân này không hội tụ. Nếu ta thêm bớt
vào tích
t(t + 1)
phân đã cho thì khó khăn sẽ được giải quyết, ta có
Tích phân này không xác định tại t = 0. Nếu ta thêm bớt

∞

E1 (z) =
z

dt
+
t(t + 1)
z

e−t −

−
0

∞

e−t −
0

1
t+1

dt
.
t

1
t+1

dt
t
(1.7)


17

Tích phân thứ nhất trong phương trình (1.7) bằng
1+z
z2 z3
ln
= − ln z + ln(1 + z) = − ln z + z − + − ...
z
2
3
Lúc này, tích phân thứ hai sẽ là một hằng số, ta gọi hằng số này là
−γ (γ được gọi là hằng số Euler, nó xấp xỉ bằng 0, 577216). Để ước tính
được tích phân thứ ba trong phương trình (1.7), ta lưu ý khai triển chuỗi
Taylor này có dạng
e−t −

1
=

t+1

1−t+

t2
− ... − 1 − t + t2 − ...
2

t2
= − + ...
2
Từ đây ta có tích phân thứ ba bằng
−

z2
+ ...
4

Vậy
z2
E1 (z) = −γ − ln z + z − + ...
4
Giờ ta xét đến tích phân dạng
b

f (t)dt; z → ∞.
z

Tích phân như vậy thường được đánh giá bằng cách sử dụng phương
pháp tích phân từng phần. Đôi khi ta cần phải viết lại tích phân này

trước khi áp dụng phương pháp tích phân từng phần. Để rõ hơn về vấn
đề này, ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 1.8. Đánh giá tích phân sau
∞

2

e−t dt; z → ∞.

I(z) =
z
2

Giá trị của e−t là rất lớn tại điểm biên t = z. Bởi vì tích phân từng phần
ước tính được giá trị của tích phân trên đường biên, sử dụng phương


18

pháp tích phân từng phần đối với tích phân trên ta có
∞

1
2t
1
−
2t

2

−2te−t

−

I(z) =
z

=e

−t2

∞

dt

∞

e−t

−

2

z

z

dt
2t2

hay
2

e−z
I(z) =
+O
2z

e−z
z3

3

.

Ví dụ 1.9. Đánh giá tích phân
z

1

t− 2 e−t dt; z → ∞.

I(z) =
0

Khi z → ∞ thì I(z) sẽ có dạng
∞

1

t− 2 e−t dt.
0

Vì vậy

∞

I(z) =

∞

− 21 −t

t

1

t− 2 e−t dt.

e dt −
z

0

Cũng như ở ví dụ (1.6), tích phân thứ nhất có thể được ước lượng chính
xác như sau

∞

1

t− 2 e−t dt = Γ
0

1
2

=

√

π.

Tích phân thứ hai có thể được đánh giá bằng cách sử dụng phương pháp
tích phân từng phần. Do đó ta nhận được
I(z) =

√

e−z
π− √ +O
z

e−z
3

z2

.

Chương 2
TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE
Một trong những phương pháp đơn giản nhất để tìm ra khai triển
tiệm cận của một hàm xác định bởi tích phân xác định là lấy tích phân
từng phần. Các số hạng liên tiếp của chuỗi tiệm cận thu được bằng cách
lấy tích phân lặp từng phần. Đặc tính tiệm cận của chuỗi được xác định
bằng cách kiểm tra phần dư, nó có dạng một tích phân xác định. Tuy
nhiên phương pháp này có nhiều hạn chế và việc thiết lập các kết quả
có tính tổng quát thường gặp phải những khó khăn nhất định. Trong
phần này chúng tôi trình bày phương pháp lấy tích phân từng phần đối
với tích phân loại Laplace được xác định bởi
b

f (t)e−zφ(t) dt; z → ∞.

I(z) =
a

2.1.

Ý tưởng của phương pháp khai triển tiệm cận
đối với tích phân loại Laplace
Chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận khi z → ∞ của các tích

phân có dạng
b

f (t)e−zφ(t) dt

I(z) =

(2.1)

a

ở đó f (t) và φ(t) là những hàm biến thực khả vi. Một trường hợp đặc
biệt của các tích phân như vậy (khi φ(t) = t, a = 0, b = ∞) là biến đổi
Laplace được xác định bởi
∞

f (t)e−zt dt,

£(z) =
0

(2.2)


20

cũng vì lý do đó mà người ta gọi các tích phân như vậy là tích phân loại
Laplace.
Trước hết chúng ta phân tích ý tưởng dẫn đến việc xấp xỉ tích phân này
từ khía cạnh mang tính trực giác. Để có được điều đó, trước tiên ta xét
tích phân dạng
b

f (t)e−zt dt.

I(z) =

(2.3)

0

Trong trường hợp này hàm φ(t) = t có giá trị nhỏ nhất tại t = 0. Khi
z → ∞, biểu thức tích phân có số mũ rất nhỏ với mọi giá trị của t, trừ
khi t gần 0 (vì khi z → ∞ và t → 0 thì zt có thể vẫn nhận giá trị hữu
hạn). Điều đó cho ta thấy rằng, giá trị chính của tích phân được phân
bố chủ yếu trong lân cận của điểm t = 0. Như vậy, tính toàn cục của bài
toán được thay thế bởi một vấn đề mang tính địa phương trong lân cận
của điểm t = 0. Điều đó lý giải cho việc thu được đánh giá tiệm cận của
những tích phân như vậy.

2.2.

Trường hợp f (t) đủ trơn
Trong phần này ta xét trường hợp hàm φ(t) là đơn điệu trên đoạn

[a, b]. Như sự phân tích trên, việc xác định giá trị của tích phân này
dựa trên việc xác định dáng điệu của nó trong lân cận của điểm biên
trên đoạn đó. Trước khi đưa ra điều kiện để thực hiện phương pháp này,
chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể. Từ đó, ta sẽ có được sự nhìn
nhận một cách trực giác về điều kiện xác định cho phương pháp này.
Ví dụ 2.1. Đánh giá tích phân
∞

(1 + t2 )−2 e−zt dt; z → +∞.
0

21

Lấy tích phân từng phần ta được
∞
2 −2 −zt

(1 + t ) e
0

(1 + t2 )−2 e−zt
dt =
−z
1
1
= +O
.
z
z3

∞
0

1
+
z

∞

(−4t)(1 + t2 )−3 e−zt dt
0

Ví dụ 2.2. Đánh giá tích phân sau
∞

2

(t + 1)−1 e−z(t+2) dt; z → ∞.
0

Trước tiên ta viết lại tích phân I(z) như sau
∞

d −z(t+2)2
e
dt

I(z) =
0

(t + 1)−1
dt.
(−2z)(t + 2)

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần ta được
(t + 1)−1
I(z) = e
(−2z)(t + 2)
−4z

e
e−4z
=
.
+O
4z
z2

∞

−z(t+2)2

0

1
+
2z

∞

−z(t+2)2

e
0

d
dt

(t + 1)−1
t+2

dt

Ví dụ 2.3. Đánh giá tích phân
2

exp(z cosh t)dt; z → ∞.

I(z)
1

Hàm cosh t là đơn điệu tăng trên đoạn [1, 2], vì vậy tích trên được viết
dưới dạng
2

I(z) =
1

d
dt
exp(z cosh t)
.
dt
z sinh t

Lấy tích phân từng phần ta thu được
I(z) ∼

ez cosh 2
; z → +∞.

z sinh 2

Từ những ví dụ này ta thấy được việc đánh giá tiệm cận của tích
phân dạng
b

f (t)e−zt dt

I(z) =
a


22

phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f (t) tại lân cận của điểm t = a.
Trường hợp riêng nếu f (t) đủ trơn, bằng phương pháp tích phân từng
phần, nó đem lại khai triển tiệm cận đầy đủ cho hàm f (t). Từ kết quả
đã được chứng minh đầy đủ trong ví dụ (2.1) ta có
∞

∞
2 −3 −zt

t(1 + t ) e

dt ≤

0

0

1
te−zt dt = .
z

Nói tóm lại, từ những chứng minh khá đầy đủ của việc lấy tích phân
từng phần ở các ví dụ trên chúng ta nhận được kết quả sau đây
Bổ đề 2.1. (Tích phân từng phần)
Cho tích phân
b

f (t)e−zt dt

I(z) =

(2.4)

a

ở đó đoạn [a, b] là đoạn hữu hạn trên trục thực. Ký hiệu f (m) (t) là đạo
hàm liên tục đến cấp m của hàm f (t), f (0) (t) ≡ f (t). Giả sử f (t) có đạo
hàm liên tục đến cấp (N + 1), lúc đó f (N +2) (t) liên tục từng khúc trên
[a, b]. Khi đó
N

I(z) ∼
n=0

e−za (n)
f (a); z → +∞.

z n+1

(2.5)

Chứng minh. Với m ≤ N . Thực hiện phép lấy tích phân từng phần ta
có
m−1

I(z) =
n=0

+

1
zm

e−za (n)
f (a) −
z n+1

m−1

n=0

e−zb (n)
f (b)
z n+1

b

e−zt f (m) (t)dt, m = 1, 2, ...N.
a

Mặt khác, do
lim z n ez(a−b) = 0

z→∞

nên phần cận dưới t = b là không đáng kể (vượt quá tất cả các bậc) so
với phần cận trên t = a, vì vậy ta có thể bỏ qua.