Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHAN THỊ THÚY

TÔPÔ YẾU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận. Đặc biệt em xin
chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực tiếp hướng dẫn
em, tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khoá
luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa
học nên những vấn đề trình bày trong khoá luận không tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và
các bạn sinh viên. Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc
và lời chúc sức khoẻ đến các thầy cô và toàn thể các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phan Thị Thuý


LỜI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cứu khoá luận “Tôpô yếu và một số tính chất của
không gian định chuẩn” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích.
Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa
học.
Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của TS.
Trần Văn Bằng cũng như các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2. Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả
khác.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng bạn bè để
khoá luận được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Phan Thị Thuý


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Không gian Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

8

2.1. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2. Tôpô yếu* σ (E ∗ , E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3. Không gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4. Không gian tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5. Không gian lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu
thế kỷ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành Toán học cổ
điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát
từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình
vi phân.

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một
số nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu mực
của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và
có sử dụng đến những công cụ của giải tích và không gian vectơ. Ngoài ra nó
còn có những ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật.
Khi học bộ môn giải tích hàm, chúng ta sẽ được nhắc đến khái niệm: Không
gian tôpô. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về Không gian
tôpô cũng như bộ môn giải tích hàm em đã chọn đề tài: “Tôpô yếu và một số
tính chất của không gian định chuẩn”. Nghiên cứu đề tài này chúng ta có cơ
hội tìm hiểu sâu hơn về tôpô, một nội dung khá quen thuộc và bao hàm nhiều
tính chất đặc trưng và tổng quát của giải tích hàm.

2. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn.

1


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Tôpô
Định nghĩa 1.1. Cho tập X bất kỳ. Ta nói một họ τ những tập con của X là
một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn các tính chất sau:
(i) 0,
/ X ∈ τ,
(ii) Nếu Gα ∈ τ, ∀α ∈ Λ thì

Gα ∈ τ,
α∈Λ

(iii) Nếu G j ∈ τ, j = 1, n, thì
n

G j ∈ τ.
j=1

Cặp (X, τ) khi đó được gọi là một không gian tôpô. Mỗi phần tử x ∈ X được
gọi là một điểm.
Định nghĩa 1.2. Một tập X cùng với tôpô τ trên X, gọi là không gian tôpô
(X, τ) ( hay không gian tôpô X).
Các tập thuộc họ τ gọi là tập mở. Như vậy, cho một tôpô trên một tập X, có
nghĩa là qui định rõ những tập con nào đó của X được coi là tập mở và việc qui
định nó phải chú ý sao cho: X và 0/ đều là mở và giao của một số hữu hạn hoặc
2


hợp của một số bất kỳ tập mở cũng là tập mở. Vì họ tất cả các tập mở trong
không gian Metric (gồm cả không gian định chuẩn và không gian Hilbert) đều
là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.3. [So sánh Tôpô]
Khi có hai không gian tôpô τ, τ trên X ta nói tôpô τ yếu hơn tôpô τ (hay
tôpô τ mạnh hơn tôpô τ) nếu τ ⊂ τ ; nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ đều là
tập mở trong tôpô τ .
Trong tất cả các tôpô trên X, tôpô thô là tôpô yếu nhất, tôpô rời rạc là tôpô
mạnh nhất.
Định nghĩa 1.4. [Cơ sở và tiền cơ sở tôpô] Cho τ là một tôpô trên X. Một
họ con β của τ gọi là cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một

họ thuộc β . Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu ∀G ∈ τ, ∀x ∈
G, ∃V ∈ β sao cho x ∈ V ⊂ G.
Một họ con σ của họ τ gọi là một tiền cơ sở của τ nếu họ tất cả các giao
hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ. Như vậy họ con σ của τ là tiền cơ
sở của τ nếu ∀G ∈ τ, ∀x ∈ G, ∀W1 ,W2 , ...,Wn ∈ σ sao cho x ∈ W1 ∩ ... ∩Wn ⊂ G.
Hiển nhiên một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền
cơ sở của nó.
Định nghĩa 1.5. [Lân cận] Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Tập con
V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho
x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V được gọi là lân cận của x.
Mọi lân cận của x đều chứa một lân cận mở.
Định nghĩa 1.6. Cho không gian tôpô X, tập con A và điểm x ⊂ X.
• Điểm x gọi là điểm trong của A nếu có một lân cận V sao cho V ⊂ A.
• Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu có một lân cận V sao cho
V ∩ A = 0.
/
• Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có V ∩A = 0/
và V ∩ (X \ A) = 0.
/
Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A. Kí hiệu: ∂ A.
3


Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X.
• Ta gọi phần trong của A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A.
Kí hiệu: A◦
Từ định nghĩa ta có: A◦ là tập mở lớn nhất chứa trong A.
A ⊂ B thì A◦ ⊂ B◦ và A mở nếu và chỉ nếu A = A◦ .
• Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A.
Kí hiệu: A¯

Từ định nghĩa ta có: A¯ là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
¯
A ⊂ B thì A¯ ⊂ B¯ và A đóng nếu và chỉ nếu A = A.
Không gian tôpô X gọi là không gian Hausdorff nếu với mỗi cặp điểm khác
nhau x1 , x2 ∈ X, tồn tại một lân cận V của x1 và một lân cận U của x2 sao cho
U ∩V = 0.
/
Cho X là một không gian tôpô. Tập con A ⊆ X gọi là compact (trong X)
nếu vối mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn. Nghĩa là nếu Di là các
tập con mở của X với mọi i thuộc I và
A⊆

Di
i∈I

thì có một tập hữu hạn I0 ⊆ I sao cho:
Di ⊇ A.
i∈I0

Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact
trong X. Tức là nếu Di là mở trong X, ∀i ∈ I và
Di = X
i∈X

thì có một tập hữu hạn I0 ⊆ I sao cho
Di = X.
i∈I0

4

1.2. Ánh xạ liên tục
Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi là
liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của f (x) trong Y đều tồn tại lân cận U
của x trong X sao cho f (U) ⊂ V , hay f −1 (V ) là một lân cận của x.
Vì mọi lân cận đều chứa một lân cận mở nên trong định nghĩa trên ta có
thể thay lân cận là lân cận mở.
Ánh xạ là liên tục trên X nếu nó liên tục tại ∀x ∈ X.
Định lý 1.1. Mọi ánh xạ f : X → Y , các điều kiện sau tương đương:
a) f liên tục,
b) f −1 (G) mở trong X với mọi tập mở trong Y ,
c) f −1 (F) đóng trong X với mọi tập F đóng trong Y ,
d) f A¯ ⊂ f (A) với mọi A ⊂ X.
Hệ quả 1.1. Hợp thành của các ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục.
Cho ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở G trong X, f (G)
mở trong Y ; gọi là đóng nếu mọi tập đóng F trong X, f (F) là đóng trong Y .
Một song ánh f : X → Y gọi là một phép đồng phôi nếu f và f −1 đều là
ánh xạ liên tục.
Nếu có một phép đồng phôi f : X → Y thì các không gian X và Y gọi là
đồng phôi với nhau.
Rõ ràng f là phép đồng phôi thì f −1 cũng là một phép đồng phôi.
Hợp thành của các phép đồng phôi là một phếp đồng phôi.
Định lý 1.2. Cho f : X → Y là một song ánh, liên tục. Khi đó, các điều kiện
sau là tươnng đương:
a) f là phép đồng phôi,
b) f là ánh xạ mở,
c) f là ánh xạ đóng.
Chứng minh:
Vì f liên tục, f là phép đồng phôi
⇔ f −1 : X → Y liên tục

⇔ f −1

−1

(G) là mở với mọi G trong X
5


⇔ f (G) là mở với mọi G trong X
⇔ f là ánh xạ mở
Vậy a) ⇒b)
Tương tự ta có a) ⇒c)
Giả sử X là một tập hợp, {Ys , ξs }s∈S là một họ không gian tôpô, { fs : X → Ys }s∈S
là một họ ánh xạ fs từ X vào Ys . Trong họ các tôpô trên X sao cho tất cả các
ánh xạ fs đều liên tục, tồn tại một tôpô yếu nhất. Họ ℑ tất cả các tập hợp có
dạng
k

fs−1 (Vi )
i=1

trong đó s1 , s2 , ..., sk ∈ S, Vi là tập mở trong không gian Vsi với i = 1, 2, ..., k là
một cơ sở của không gian tôpô (X, ξ ).
ξ được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ { fs }s∈S .
Giả sử {(Xs , ξ )}s∈S là một họ không gian tôpô, Y là một tập hợp, { fs }s∈S là
một họ ánh xạ fs : Xs → Y . Trong tất cả các ánh xạ fs đều liên tục, tồn tại một
tôpô ξ mạnh nhất. Với ∀V ⊂ Y,V ∈ ξ khi và chỉ khi với mỗi s ∈ S, fs−1 (V ) ∈ ξs .
ξ gọi là tôpô cuối xác định bởi họ ánh xạ { fs }s∈S .

1.3. Không gian Banach

Định nghĩa 1.7. Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính định
chuẩn ( không gian định chuẩn) nếu với mỗi x ∈ X, tồn tại số thực x , gọi là
chuẩn của x, thoả mãn:
a) x

0

b) x = 0 ⇔ x = 0
c) cx = |c| . x , mọi vô hướng c ,∀x ∈ X
d) x + y

x + y , ∀x, y ∈ X

Nếu chỉ có tính chất a)c) và d) thì · được gọi là một nửa chuẩn.
Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn
a) Một dãy các vectơ {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X nếu
lim xn − x = 0,

n→∞

6


nghĩa là, nếu ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n

N, xn − x < ε.

Trong trường hợp này, ta viết xn → x hoặc
lim xn = x

n→∞

b) Một dãy các vectơ {xn } trong X là dãy Cauchy nếu
lim

m,n→∞

nghĩa là, nếu ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n

xn − x = 0,
0, xn − x < ε

c) Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy. Tuy
nhiên, điều ngược lại không đúng.
Ta nói X là không gian đầy nếu nó thoả mãn: mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.9. Dãy {xn } trong không gian Banach X là:
a) Bị chặn dưới nếu in f xn > 0,
b) Bị chặn trên nêú sup xn < ∞,
c) Chuẩn hoá nếu x = 1, ∀n.

1.4. Toán tử tuyến tính
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P = K C). Ánh xạ
A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thoả mãn
các điều kiện:
1) (∀x, x ∈ X) ,

A(x + x ) = Ax + Ax ,

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) ,

A(αx) = αAx.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
Khi A chỉ thoả mãn điều kiện 1) thì ta nói A là toán tử cộng tính.
Khi A chỉ thoả mãn tính chất 2) thì ta nói A là toán tử thần nhất.
Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính.

7


Chương 2

Tôpô yếu và một số tính chất
của không gian định chuẩn
2.1. Tôpô yếu
Cho E là một không gian Banach và f ∈ E ∗ . Kí hiệu ϕ f : E → R là hàm
tuyến tính ϕ f (x) = f , x . Khi f chạy khắp E ∗ ta có họ ánh xạ ϕ f

f ∈E ∗

,

ϕ f : E → R . Bây giờ ta bỏ qua tôpô trong E ( sinh bởi . ) và định nghĩa một
tôpô mới trong E như sau:
Định nghĩa 2.1. Tôpô yếu σ (E, E ∗ ) trong E là tôpô thô nhất sinh bởi họ ánh
xạ ϕ f

f ∈E ∗

.

Chú ý rằng mỗi ánh xạ ϕ f là liên tục đối với mỗi tôpô thường nên tôpô yếu là
yếu hơn tôpô thường.
Mệnh đề 2.1. Tôpô yếu σ (E, E ∗ ) là Hausdorff.
Chứng minh. Cho x1 , x2 ∈ E, x1 = x2 . Ta chứng tỏ rằng có hai tập mở O1 và
O2 đối với tôpô yếu σ (E, E ∗ ) : x1 ∈ O1 , x2 ∈ O2 và O1 ∩ O2 = 0/
Theo Định lý Hahn - Banach, tồn tại một siêu phẳng đóng tách ngặt {x1 }, {x2 }.

8


Do vậy, ∃ f ∈ E ∗ và sao cho:
f , x1 < α < f , x2 .
Đặt
O1 = {x ∈ E; f , x < α} = ϕ −1
f ((−∞, α))
O2 = {x ∈ E; f , x > α} = ϕ −1
f ((α, +∞))
Rõ ràng, O1 và O2 là mở đối với σ (E, E ∗ ) và thỏa mãn các tính chất theo yêu
cầu.
Mệnh đề 2.2. Cho x0 ∈ E, ε>0 và tập hữu hạn { f1 , f2 , ..., fk } trong E ∗ .
Xét tập:
V = V ( f1 , f2 , ..., fk ; ε) ={x ∈ E : | fi , x − xo | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}.
Ta có V là một lân cận của x0 đối với tôpô σ (E, E ∗ ).
Hơn nữa, ta có một cơ sở lân cận của x0 đối với σ (E, E ∗ ) bằng cách cho ε, k
và các fi ∈ E ∗ khác nhau.
k

Chứng minh. Rõ ràng V = ∩ ϕ −1

fi [(ai − ε, ai + ε)] , ai = f i , x0 là mở đối với
tôpô σ (E, E ∗ ) và x0 ∈ V.

i=1

Ngược lại, cho U là một lân cận của x0 đối với tôpô σ (E, E ∗ ). Từ định
nghĩa của σ (E, E ∗ ), tồn tại tập mở W, x0 ∈ W,W ⊂ U và có dạng :
ϕ −1
fi (ωi ) .

W=
h.hn

Trong đó ωi là một lân cận của ai = fi , x0 .
Do đó , ∃ε>0 : (ai − ε, ai + ε) ⊂ Wi , ∀i

⇒ x0 ∈ V ⊂ W ⊂ U.

Kí hiệu :
Ta nói dãy (xn ) trong E hội tụ về x theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ), và viết là : xn

x.

x yếu theo σ (E, E ∗ ).

Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta nói: “xn

Để thật rõ ràng, ta sẽ nhấn mạnh sự hội tụ mạnh bằng cách nói xn → x mạnh ,
nghĩa là:

xn − x → 0
9


Mệnh đề 2.3. Cho dãy (xn ) ⊂ E. Khi đó:
(i) [xn

x yếu theo σ (E, E ∗ )] ⇔ [ f , xn → f , x ∀ f ∈ E ∗ ]

(ii) Nếu xn → x mạnh, thì xn
(iii) Nếu xn
(iv) Nếu xn

x yếu theo σ (E, E ∗ )

x yếu theo σ (E, E ∗ ), thì ( xn ) là bị chặn và x ≤ lim inf xn
x yếu theo σ (E, E ∗ ) và nếu fn → f mạnh trong E ∗ ( fn − f

E∗

→ 0),

thì fn , xn → f , x
Chứng minh. (i) Suy ra từ Mệnh đề (*): " Cho dãy (xn ) trong X. Khi đó xn → x
( theo tôpô τ) nếu và chỉ nếu ϕi (xn ) → ϕi (x) ,∀i ∈ I." và định nghĩa tôpô yếu
σ (E, E ∗ )
(ii) Suy ra từ (i), vì | f , xn − f , x | ≤ f . xn − x , nó cũng được suy ra từ
tính chất tôpô yếu là tôpô yếu hơn tôpô mạnh
(iii) Suy ra từ nguyên lý bị chặn đều. Vì với mỗi f ∈ E ∗ , tập ( f , xn )n là bị
chặn nên cho n → ∞ trong bất đẳng thức

| f , xn | ≤ f . xn ,
chúng ta có
| f , x | ≤ f lim inf xn
Nên
x = sup | f , x | ≤ lim inf xn .
f ≤1

(iv) Suy ra từ bđt
| fn , xn − f , x | ≤ | fn − f , xn |+| f , xn − x | ≤ fn − f . xn +| f , xn − x |
và từ (i),(iii)
Mệnh đề 2.4. Khi E là hữu hạn chiều, tôpô yếu σ (E, E ∗ ) và tôpô thường
trùng nhau. Đặc biệt, một dãy (xn ) hội tụ yếu nếu và chỉ nếu nó hội tụ mạnh.
Chứng minh. Vì tôpô yếu luôn có số tập mở ít hơn tôpô mạnh, nên ta chỉ
cần chứng tỏ mỗi tập mở trong tôpô mạnh đều là mở trong tôpô yếu. Giả sử
x0 ∈ E, U là một lân cận của x0 theo tôpô mạnh.
Ta phải tìm một lân cận V của x0 theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ) sao cho V ⊂ U. Nói
cách khác ta phải tìm f1 , f2 , ..., fk ∈ E ∗ , ε>0 sao cho :
10


V = {x ∈ E : | fi , x − xo | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k} ⊂ U
+) Lấy r > 0 cố định sao cho B (x0 , r) ⊂ U. Chọn một cơ sở e1 , e2 , ..., ek trong
E sao cho: ei = 1, ∀i
Khi đó ∀x ∈ E, ta có phân tích :
k

x = ∑ xi .ei
i=1

và các ánh xạ: x → xi là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E.

Kí hiệu: fi
k

Ta có:

x − x0 ≤ ∑ | fi , x − x0 |i=1

r
Chọn ε = , ta được V ⊂ U
k
Nhận xét 2.1. Tập mở (tập đóng) đối với tôpô yếu σ (E, E ∗ ) luôn luôn mở
(đóng) đối với tôpô mạnh. Trong không gian vô hạn chiều bất kỳ tôpô yếu thực
sự thô hơn tôpô mạnh, tức là tồn tại tập mở theo tôpô mạnh mà không mở theo
tôpô yếu. Ta có hai ví dụ:
• VÍ DỤ 1:
Cho E là không gian vô hạn chiều, mặt cầu đơn vị:
S = {x ∈ E; x = 1}
không là tập đóng đối với tôpô yếu σ (E, E ∗ ),
∗
Cụ thể hơn ta có: S¯σ (E,E ) = BE
σ (E,E ∗ )

Trong đó S¯

(1)

là bao đóng của S theo tôpô σ (E, E ∗ ) và BE là hình

cầu đơn vị trong E :

BE ={x ∈ E; x ≤ 1}
Trước hết, chúng ta chứng tỏ rằng ∀x0 ∈ E, x0 ≤ 1 đều thuộc S¯σ (E,E

∗)

Thực vậy,
Giả sử V là một lân cận của x0 theo tôpô σ (E, E ∗ ). Ta chứng minh
V ∩ S = 0.
/

11


Theo Mệnh đề 2.2, ta luôn có thể giả thiết V có dạng:
V = {x ∈ E; | fi , x − xo | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Với ε>0; f1 , f2 , ..., fk ∈ E ∗ , cố định y0 ∈ E, y0 = 0 :

fi , y0 = 0,

∀i = 1, 2, ..., k.
Phần tử y0 như vậy là tồn tại vì nếu không thì ánh xạ :
ϕ : E → Rk
xác định bởi :
ϕ (x) = ( fi , x )1≤i≤ k
là đơn ánh và ϕ là một đẳng cấu từ E lên ϕ (E) ⇒ dimE ≤ k (mâu
thuẫn với giả thiết :E là vô hạn chiều)
Hàm g (t) = x0 + t.y0 liên tục trên [0, ∞), g(0)<1 và
lim g (t) = +∞

t→+∞

⇒ ∃t0 >0 : x0 + t0 .y0 = 1
⇒ x0 + t0 .y0 ∈ V ∩ S và ta có :
∗
S ⊂ BE ⊂ S¯σ (E,E )

Để hoàn thành chứng minh (1), ta chỉ cần chứng tỏ BE -đóng theo
σ (E, E ∗ ). Điều này dễ thấy vì:
BE =

∩

f ∈E ∗ , f ≤1

{x ∈ E; | f , x | ≤ 1}

là giao của các tập đóng yếu
• VÍ DỤ 2:
Cho hình cầu
U = {x ∈ E; x < 1}
với E là không gian vô hạn chiều, không là tập mở theo tôpô yếu
σ (E, E ∗ ). Giả sử, ngược lại, U là mở yếu thì phần bù
12


U C = {x ∈ E; x ≥ 1}
là đóng yếu
⇒ S = BE ∩U C cũng đóng yếu ( mâu thuẫn VD1)
Nhận xét 2.2. Trong không gian vô hạn chiều, tôpô yếu là không thể metric
hoá được, tức là không có một metric nào trong E sinh ra tôpô yếu σ (E, E ∗ ).

Tuy nhiên, nếu E ∗ là tách được thì ta có thể định nghĩa một chuẩn trong E mà
cảm sinh trên các tập hợp bị chặn của E, tôpô yếu σ (E, E ∗ ).
Nhận xét 2.3. Nói chung, trong không gian vô hạn chiều, luôn tồn tại dãy
hội tụ yếu và không hội tụ mạnh. Chẳng hạn, nếu E ∗ tách được hoặc nếu E là
không gian phản xạ thì ta có thể xây dựng một dãy (xn ) ⊂ E sao cho:
xn = 1 và xn

0 yếu

Tuy nhiên,cũng có các không gian vô hạn chiều với tính chất mọi dãy hội tụ
yếu là hội tụ mạnh. Chẳng hạn:
l 1 có tính chất đặc biệt , các không gian như vậy là rất hiếm.
Điều này không mâu thuẫn với nhận xét 2.2, ở đó khẳng định rằng trong không
gian vô hạn chiều, tôpô yếu và tôpô mạnh luôn phân biệt: Tôpô yếu thực sự thô
hơn tôpô mạnh.
Cần nhớ rằng hai không gian metric (hoặc khả metric) với cùng sự hội tụ của
các dãy thì có tôpô trùng nhau. Tuy nhiên, nếu hai không gian tôpô có cùng sự
hội tụ của các dãy thì chưa chắc các tôpô đã trùng nhau.

2.2. Tôpô yếu* σ (E ∗ , E)
Cho tới giờ, ta có hai tôpô trong E ∗ :
(a) Tôpô thường (mạnh) sinh bởi chuẩn của E ∗
(b) Tôpô yếu σ (E ∗ , E ∗∗ )
Bây giờ ta định nghĩa một tôpô thứ ba trên E ∗ , được gọi là tôpô yếu* và kí
hiệu:

σ (E ∗ , E)

(* để chỉ tôpô trên không gian đối ngẫu)
Với mỗi x ∈ E, xét phiếm hàm tuyến tính: ϕx : E ∗ → R;

f → ϕx ( f ) = f , x
13


Khi x chạy khắp trong E ta có họ (ϕx )x∈E các ánh xạ từ E ∗ vào R .
Định nghĩa 2.2. Tôpô yếu*,σ (E ∗ , E), là tôpô thô nhất trên E ∗ sinh bởi họ ánh
xạ ϕ(x)x∈E .
Vì E ⊂ E ∗∗ nên tôpô σ (E ∗ , E) là thô hơn tôpô σ (E ∗ , E ∗∗ ), tức là tôpô
σ (E ∗ , E) có ít tập mở hơn tôpô σ (E ∗ , E ∗∗ ) ⇒

σ (E ∗ , E) có ít tập mở hơn

tôpô mạnh.
Nhận xét 2.4. Nguyên nhân phải nghiên cứu tôpô yếu* là vì: “ một tôpô thô
hơn sẽ có nhiều tập compact hơn”. Chẳng hạn;
Hình cầu đơn vị đóng: BE ∗ trong E ∗ không là tập compact theo tôpô mạnh
(trừ khi dimE< ∞), nhưng là tập compact theo tôpô yếu* σ (E ∗ , E).
Mệnh đề 2.5. Tôpô yếu* σ (E ∗ , E) là Hausdorff.
Chứng minh. Giả sử f1 , f2 ∈ E ∗ , f1 = f2 . Khi đó, ∃x ∈ E : f1 , x = f2 , x
(không cần tới Định lý Hahn-Banach, mà do f1 = f2 )
Giả sử rằng: f1 , x < f2 , x và chọn α : f1 , x <α< f2 , x
Đặt
O1 = { f ∈ E ∗ ; f , x < α} = ϕx−1 ((−∞, α))
O2 = { f ∈ E ∗ ; f , x > α} = ϕx−1 ((α, +∞))
Khi đó O1 và O2 là các tập mở trong σ (E ∗ , E):

f1 ∈ O1 , f2 ∈ O2 và

O1 ∩ O2 = 0.
/

Mệnh đề 2.6. Cho f0 ∈ E ∗ , một tập hữu hạn {x1 , x2 , ..., xk } trong E và ε>0,
xét
V = V (x1 , x2 , ..., xk ; ε) = { f ∈ E ∗ ; | f − fo | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Khi đó : V là một lân cận của f0 đối với tôpô σ (E ∗ , E)
Hơn nữa, ta sẽ nhận được một cơ sở lân cận của f0 đối với σ (E ∗ , E) bằng
cách cho ε, k và các xi trong E thay đổi.
Kí hiệu: Nếu ( fn ) ⊂ E ∗ , fn → f theo σ (E ∗ , E) thì ta viết : fn
Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta nhấn mạnh :” fn
“ fn

f theo σ (E ∗ , E ∗∗ )” và “ fn → f mạnh”
14

f theo σ (E ∗ , E)”,

f.


Mệnh đề 2.7. Cho ( fn ) là một dãy trong E ∗ . Khi đó:
f theo σ (E ∗ , E) ⇔ [ fn , x → f , x , ∀x ∈ E]

(i) [ fn

f theo σ (E ∗ , E ∗∗ )

(ii) Nếu fn → f mạnh thì fn

f theo σ (E ∗ , E ∗∗ ), thì theo σ (E ∗ , E)

Nếu fn

(iii) Nếu fn

f theo σ (E ∗ , E) thì ( fn ) là bị chặn và f ≤ lim inf fn

(iv) Nếu fn

f theo σ (E ∗ , E) và nếu xn → x mạnh trong E, thì

f n , xn → f , x
Nhận xét 2.5. Gỉa sử fn
và xn

f theo σ (E ∗ , E) (hoặc fn

f theo σ (E ∗ , E ∗∗ ))

x theo σ (E, E ∗ ). Khi đó, nói chung ta không thể kết luận rằng:

f n , xn → f , x .
Nhận xét 2.6. Khi E là một không gian hữu hạn chiều thì ba tôpô (mạnh,yếu,yếu*)
trên E ∗ là trùng nhau
Thật vậy:
Phép nhúng chính tắc J : E → E ∗∗ là toàn ánh ( Vì dimE = dimE ∗∗ )
⇒ σ (E ∗ , E)=σ (E ∗ , E ∗∗ )
Mệnh đề 2.8. Cho ϕ : E ∗ → R là một hàm tuyến tính liên tục theo σ (E ∗ , E)
trên E ∗ . Khi đó, ∃xo ∈ E : ϕ ( f ) = f , xo , ∀ f ∈ E ∗ .
Việc chứng minh dựa vào bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Cho X là một không gian vectơ và ϕ, ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕk là (k + 1) phiếm
hàm tuyến tính trên X sao cho: [ϕi (v) = 0, ∀i = 1, 2, ..., k] ⇒ [ϕ (v) = 0] (2)

Khi đó
k

∃λ1 , λ2 , ..., λk ∈ R : ϕ = ∑ λi .ϕi
i=1

Chứng minh. Xét ánh xạ

F : X → Rk+1 , F (u) = [ϕ (u) , ϕ1 (u) , ..., ϕk (u)]

Theo (2), a = [1, 0, ..., 0] ∈
/ R (F)
Do đó ta có thể tách ngặt {a} và R (F) bởi một siêu phẳng trong, tức là
∃λ , λ1 , λ2 , ..., λk và α sao cho:
k

λ <α<λ .ϕ (u) + ∑ λi .ϕi (u), ∀u ∈ X
i=1
k

⇒ λ .ϕ (u) + ∑ λi .ϕi (u) = 0 ,∀u ∈ X và λ <0 (do vậy λ = 0)
i=1

15


Chứng minh. (chứng minh mệnh đề 2.8)
Vì ϕ là liên tục theo σ (E ∗ , E) nên tồn tại lân cận V của 0 theo σ (E ∗ , E)
sao cho :
|ϕ ( f )|<1, ∀ f ∈ V.

Ta luôn có thể giả sử rằng:
V = { f ∈ E ∗ , | f , xi | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k} , với xi ∈ E, ε>0.
Đặc biệt,

[ f , xi = 0, ∀i = 1, 2, ..., k] ⇒ [ϕ ( f ) = 0] .
k

k

ϕ ( f ) = ∑ λi f , xi =

Theo Bổ đề 2.1,

i=1

f , ∑ λi xi , ∀ f ∈ E ∗
i=1

Hệ quả 2.1. Gỉa sử H là một siêu phẳng trong E ∗ , đóng theo σ (E ∗ , E). Khi
đó H có dạng : H = { f ∈ E ∗ ; f , x0 = α} với một x0 ∈ E, x0 = 0; α ∈ R
Chứng minh. Ta có:
H = { f ∈ E ∗ ; ϕ ( f ) = α},
ở đó ϕ là phiếm hàm tuyến tính trên E ∗ , ϕ ≡ 0. Giả sử f0 ∈
/ H, V là một lân
cận của f0 theo tôpô σ (E ∗ , E): V ⊂ H C .
Ta giả thiết : V = { f ∈ E ∗ , | f − f0 | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
Vì V là tập lồi nên :
ϕ ( f )<α, ∀ f ∈ V

(3)

ϕ ( f )> α, ∀ f ∈ V

(3’)

Hoặc

Giả thiết chẳng hạn (3) xảy ra. Khi đó ta có :
ϕ (g)< α − ϕ ( f0 ) , ∀g ∈ W = V − f0
Và vì

−W = W nên

|ϕ (g)| ≤ |α − ϕ ( f0 )| , ∀g ∈ W

Từ (4) ⇒ ϕ liên tục tại 0 theo σ (E ∗ , E)
(Vì W là một lân cận của 0)
Áp dung Mệnh đề 2.8 ⇒ ∃x0 ∈ E : ϕ ( f ) = f , x0 , ∀ f ∈ E ∗
16

(4)


Nhận xét 2.7. Giả sử đơn ánh chính tắc J : E → E ∗∗ không là toàn ánh. Khi
đó tôpô σ (E ∗ , E) là thô hơn hẳn tôpô σ (E ∗ , E ∗∗ )
Thật vậy:
Giả sử ξ ∈ E ∗∗ với ξ ∈
/ J (E). Khi đó tập :
H = { f ∈ E ∗ ; ξ , f = 0}
là đóng theo σ (E ∗ , E ∗∗ ). Cũng theo ví dụ này, các tập lồi là đóng theo tôpô

mạnh, không nhất thiết đóng theo tôpô σ (E ∗ , E). Sau đây là hai loại tập lồi
đóng trong E ∗ :
(a) Các tập lồi là đóng mạnh ( thì đóng theo σ (E ∗ , E ∗∗ ) theo Định lý: " Cho
C là tập con lồi của E. Khi đó, C là đóng theo tôpô yếu σ (E, E ∗ ) ⇔ nó đóng
theo tôpô mạnh."
(b) Các tập lồi là đóng theo σ (E ∗ , E)
Định lý 2.1. (BANACH- ALAOGLU- BOURBAKI)
Hình cầu đơn vị đóng BE ∗ = { f ∈ E ∗ ; f ≤ 1} là compact theo tôpô σ (E ∗ , E)
Nhận xét 2.8. Tính compact của BE ∗ là tính chất cốt yếu nhất của tôpô yếu*
σ (E ∗ , E)
Chứng minh. Xét tích đêcac Y = RE bao gồm tất cả các ánh xạ : E → R .
Ta kí hiệu các phần tử của Y bởi: ω = (ωx )x∈E với E → R.
Không gian Y là được trang bị với tôpô tích - là tôpô thô nhất trên Y sinh
bởi họ các ánh xạ: ω → ωx (khi x chạy khắp E). Tất nhiên, tôpô này trùng với
tôpô của sự hội tụ theo từng điểm.
Sau đây E ∗ luôn được trang bị với tôpô yếu*σ (E ∗ , E). Vì E ∗ bao gồm các ánh
xạ đặc biệt từ E → R (ánh xạ tuyến tính liên tục) nên ta có thể coi E ∗ như một
tập con của Y .
Cụ thể hơn, gọi Φ: E ∗ → Y là đơn ánh chính tắc .

Φ ( f ) = (ωx )x∈E với ωx = f , x .
Rõ ràng, Φ liên tục từ E ∗ vào Y .
Ánh xạ ngược Φ−1 cũng liên tục từ Φ (E ∗ ) (với tôpô trong Y ) vào E ∗ .
Thật vậy:
17


Áp dụng Mệnh đề (*):" Cho không gian tôpô Z và ánh xạ ψ : Z → X. Khi
đó, ψ liên tục nếu và chỉ nếu ϕi ◦ ψ liên tục từ Z vào Yi , ∀i ∈ I ",
ta chỉ cần chứng tỏ rằng với mỗi x ∈ E, ánh xạ: x → Φ−1 (ω) , x là liên tục

trên Φ (E ∗ ). Điều này là hiển nhiên vì Φ−1 (ω) , x = ωx
(ω = Φ ( f ) với một f ∈ E ∗ và Φ−1 (ε) , x = f , x = ωx )
Nói cách khác, Φ là một đồng cấu từ E ∗ lên Φ (E ∗ ).
Mặt khác, rõ ràng Φ (B∗E ) = K, ở đó:
K = ω ∈ Y, |ωx |

x , ωx+y = ωx + ωy , ωλ x = λ ωx , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ E Ta chỉ

còn phải chứng minh rằng K là tập con compact của Y.
Thật vậy;
K = K1 ∩ K2 , với :

Đặt

K1 = {ω ∈ Y ; |ωx | ≤ x , ∀x ∈ E}
K2 = ω ∈ Y, ωx+y = ωx + ωy , ωλ x = λ ωx , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ E
Tập hợp K1 lại có thể viết được thành tích của các khoảng compact:
K1 = ∏ [− x ; + x ]
x∈E

Nhớ lại rằng : tích tuỳ ý của các không gian compact là compact. Do đó, K1 là
compact.
Mặt khác, K2 là đóng trong Y . Thực vậy; ∀λ ∈ R, x, y ∈ E , các tập :
Ax,y = ω ∈ Y ; ωx+y − ωx − ωy = 0
Bλ ,x = {ω ∈ Y ; ωλ x − λ ωx = 0}
là các tập đóng trong Y.
(Vì các ánh xạ : ω → ωx+y − ωx − ωy và ω → ωλ x − λ ωx là liên tục trong Y ).
Và ta có thể viết :
K2 =

Ax,y
x,y∈E







Bλ ,x 

x∈E,λ ∈R

⇒ K là compact vì là giao của tập compact K1 và tập đóng K2
18


2.3. Không gian phản xạ
Định nghĩa 2.3. Cho E là một không gian Banach và J : E → E ∗∗ là đơn ánh
chính tắc từ E → E ∗∗ . Không gian E được gọi là phản xạ nếu J là toàn ánh .
Tức là : J (E) = E ∗∗ .
Khi E là phản xạ , thì E ∗∗ thường được đồng nhất với E.
Nhận xét 2.9. Rất nhiều không gian quan trọng trong giải tích là phản xạ. Rõ
ràng ,các không gian hữu hạn chiều là phản xạ. (Vì dim E = dimE ∗ =dimE ∗∗ )
L p ( và l p ) là không gian phản xạ với 1Không gian Hilbert là không gian phản xạ
Tuy nhiên, một số không gian trong giải tích không phải là không gian phản
xạ.
VD:
+) L1 và L∞ ( và l 1 , l ∞ ) không là không gian phản xạ.

+) C (K), không gian của các hàm liên tục trên một không gian metric compact
K không phải không gian phản xạ
Nhận xét 2.10. Sử dụng J trong định nghĩa trên. R.C.Jame đã xây dựng một
ví dụ hay về không gian phản xạ với tính chất là tồn tại một toàn ánh, đẳng cự
từ E → E ∗∗ . Kết quả sau mô tả tính chất cơ bản của không gian phản xạ:
Định lý 2.2. (KAKUTANI)
Cho E là một không gian Banach. Khi đó E là phản xạ ⇔ BE = {x ∈ E; x = 1}
là compact theo tôpô yếu σ (E, E ∗ )
Chứng minh. Giả thiết E là không gian phản xạ ⇒ J (BE ) = BE ∗∗
Ta có BE ∗∗ là compact theo tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) ( theo Định lý 2.1). Do đó, ta chỉ
cần chứng minh: J −1 là liên tục từ E ∗∗ với σ (E ∗∗ , E ∗ ) vào E với σ (E, E ∗ ).
Theo Mệnh đề (*), ta chỉ cần chứng minh rằng với mỗi f ∈ E ∗ cố định, ánh
xạ: ξ → f , J −1 ξ liên tục trên E ∗∗ với σ (E ∗∗ , E ∗ ). Mà f , J −1 ξ = ξ , f và
ánh xạ: ξ → ξ , f là liên tục trên E ∗∗ với σ (E ∗∗ , E ∗ )
⇒ BE là compact theo σ (E, E ∗ ).
+) Để chứng minh chiều ngược lại, ta cần tới hai bổ đề sau:
19


Bổ đề 2.2. (HELLY)
Cho E là không gian Banach, f1 , f2 , ..., fk ∈ E ∗ và γ1 , γ2 , ...γk ∈ R. Các tính
chất sau tương đương:
(i) ∀ε>0, ∃xε ∈ E sao cho : xε ≤ 1 và
| fi , xε − γi |<ε ,∀i = 1, 2, ..., k
k

k

i=1

i=1

(ii) ∑ βi γi ≤ ∑ βi fi , β1 , β2 , ..., βk ∈ R
Chứng minh. (i) ⇒ (ii)
k

Cho β1 , ..., βk cố định thuộc R và đặt S = ∑ |βi |.
i=1

Từ (i) ta có:
k

k

i=1

i=1

∑ βi fi , xε − ∑ βi .γi ≤ ε.S
Và do đó :
k

∑ βi .γi ≤ ∑ βi . fi . xε + ε.S ≤

k

k

∑ βi . fi + εS.

i=1

i=1

i=1

Vì ε > 0 bất kỳ nên ta có (ii).
(ii) ⇒ (i)
Đặt γ = (γ1 , γ2 , ..., γk ) ∈ Rk và xét ánh xạ ϕ : E → Rk
ϕ (x) = ( f1 , x , ..., fk , x ).
Tính chất (i) chính là γ ∈ ϕ (BE )
Giả sử ngược lại là (i) sai , tức là γ ∈
/ ϕ(BE ). Khi đó, {γ} và ϕ(BE ) được tách
ngặt trong Rk bởi một siêu phẳng, tức là ∃β = (β1 , β2 , ..., βk ) ∈ Rk , α ∈ R sao
cho:
β .ϕ(x) < α < β .γ,
⇒

k

k

i=1

i=1

∀x ∈ BE

∑ βi . fi , x < α < ∑ βi .γi , ∀x ∈ BE

Và do đó
k

k

i=1

i=1

∑ βi . fi ≤ α < ∑ βi .γi
(mâu thuẫn với (ii)).
20


Bổ đề 2.3. (GOLDSTINE)
Cho E là không gian Banach bất kỳ. Khi đó J (BE ) trù mật trong BE ∗∗ đối với
tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ) và do đó J (BE ) trù mật trong E ∗∗ đối với tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ).
Chứng minh. Giả sử ξ ∈ BE ∗∗ và V là một lân cận của ξ đối với tôpô σ (E ∗∗ , E ∗ ).
Ta cần chứng minh V ∩ J (BE ) = 0.
/ Ta có thể giả thiết
V = {η ∈ E ∗∗ : | η − ξ | < ε, ∀i = 1, 2, ..., k}
với
f1 , f2 , ..., fk ∈ E ∗ , ε > 0.
Ta cần tìm x ∈ BE sao cho J (x) ∈ V , tức là
| fi , x − ξ , fi | < ε

∀i = 1, 2, ..., k.

Đặt γi = ξ , fi . Theo Bổ đề 2.2, ta chỉ cần chứng tỏ rằng

k

k

∑ β i γi

≤

i=1

∑ βi f i

i=1

Điều này luôn đúng vì
k

∑ βi γi =

i=1

k

ξ , ∑ βi fi
i=1

và ξ ≤ 1
Nhận xét 2.11. J(BE ) là đóng trong BE ∗∗ theo tôpô mạnh.
Thực vậy;
Nếu ξn = J (xn ) → ξ thì ta có (xn ) là dãy Cauchy trong BE ( vì J là phép đẳng

cự). Do đó xn → x và ξ = Jx. Chứng tỏ: J (BE ) không trù mật trong BE ∗∗ theo
tôpô mạnh, trừ khi J (BE )=BE ∗∗ , tức là khi E là phản xạ.
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ (2.2) (TIẾP):
Đơn ánh chính tắc J : E → E ∗∗ luôn liên tục từ σ (E, E ∗ ) vào σ (E ∗∗ , E ∗ ).
Vì với mỗi f ∈ E ∗ cố định, ánh xạ x → Jx, f = f , x là liên tục đối với
σ (E, E ∗ ).
21