Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình ví phân tuyến tính phức

Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.
Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Thị Trang


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,
khóa luận tốt nghiệp “Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính phức” được hoàn thành theo quan
điểm riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Lê Thị Trang

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Tích phân phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Khái niệm về điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Đường cong kín bao quanh điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính phức 25

2.3.1. Nghiệm đơn của phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.2. Trường hợp nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.3. Nghiệm của tập con chính tắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.4. Tìm nghiệm của tập con chính tắc bằng phương pháp loại trừ . . . . . . . . . . . . .

35

2.4. Điều kiện cần đối với điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . .
1

36


2.5. Điều kiện đủ đối với điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn
mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm
của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân đóng vai trò quan
trọng trong kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác. Chúng ta
hãy xét một phương trình vi phân đơn giản
f (x) =

df (x)
.
dx

Trong phương trình trên, nếu f (x) biểu diễn cho vận tốc của một vật
thì f (x) chính là gia tốc của vật đó (là đại lượng đặc trưng cho độ biến
thiên vận tốc). Sự ra đời của phương trình vi phân cũng xuất phát từ
việc xác định mối quan hệ xác định giữa một bên là một đại lượng biến
thiên liên tục (được biểu diễn bằng hàm f (x)) và bên còn lại là độ biến
thieen của đại lượng đó (biểu diễn bằng đạo hàm bậc nhất hoặc cao
hơn). Điều này được thể hiện rõ trong cơ học cổ điển. Cụ thể là Định
luật Newton về chuyển động cho phép xác định vị trí của một vật dựa
vào vận tốc, gia tốc và một số lực tác động được biểu diễn dưới dạng
hàm vi phân theo thời gian.

Đối với hàm thông thường, nghiệm là một giá trị số. Còn trong phương
trình vi phân, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa biết nhằm
thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thường, nó sẽ là một họ các phương
3


trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ được xác định
chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Tuy nhiên,
đối với một số phương trình chúng ta không thể áp dụng những phương
pháp đã biết để tìm nghiệm của nó. Vì vậy, ta cần phải xây dựng một
phương pháp tìm nghiệm khác cho những phương trình này. Phương
pháp thông dụng là ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm của phương
trình dưới dạng chuỗi lũy thừa
∞

an z n ,

f (z) =
n=0

trong đó an ∈ C.
Một trong những điểm liên quan trực tiếp đến vấn đề tìm nghiệm chuỗi
của phương trình vi phân tuyến tính là sự phân loại điểm thường và điểm
kỳ dị. Lý thuyết nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính thực
đã có sự hoàn thiện khá căn bản. Tuy nhiên chuyển sang miền phức có
những khó khăn nhất định. Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Hào em chọn đề tài “Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính phức” để hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp chuyên ngành toán giải tích. Khóa luận được bố cục thành
hai chương

Chương 1. Trong chương này, em đưa ra một số kiến thức chuẩn bị
cho khóa luận. Đó là số phức và mặt phẳng phức, hàm biến phức, tích
phân phức. Cũng ở đây liên quan đến việc tìm hiểu phương trình vi phân
tuyến tính phức nên em trình bày khái niệm về phương trình vi phân
tuyến tính phức, định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phức.
Chương 2. Đây là phần chính của khóa luận. Ở đây em giới thiệu về
4


vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính phức. Trong đó em trình bày vấn đề điểm kỳ dị, cấu trúc nghiệm
của phương trình, điều kiện cần đối với điểm kỳ dị chính quy và điều
kiện đủ đối với điểm kỳ dị chính quy.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày về vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính phức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc nghiệm trong phương trình
vi phân tuyến tính phức. Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với một
khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân toán học, nên chúng tôi chỉ trình bày
vấn đề này trong phạm vi về điểm kỳ dị chính quy của phương trình vi
phân tuyến tính phức. Việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm tại những điểm
kỳ dị không chính quy khá phức tạp nên chúng tôi xin dành cho những
nghiên cứu về sau.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà
i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép
cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như
các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
6


Một số tính chất của phép cộng và nhân số phức
+ Tính chất giao hoán
z1 + z2 = z2 + z1 ; z1 .z2 = z2 .z1 .
+ Tính chất kết hợp
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ); (z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ).

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
z1 .(z2 + z3 ) = z1 .z2 + z1 .z3 .
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là
x2 + y 2 .

|z| =
Modul của số phức có các tính chất

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,
(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,
(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C.
Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z¯ = x − iy.
Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i

và
|z|2 = z.¯
z;

1
z¯
= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác
7


định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2π) và
eiθ = cosθ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng,
ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức
Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là
w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0.
n→∞

n→∞

Dễ dàng kiểm tra rằng
w = lim zn ⇔
n→∞



 lim Rezn = Rew,
n→∞


 lim Imzn = Imw.

n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0 khi m, n → ∞
⇔ ∀ε < 0 ∃N > 0 sao cho |zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N.

1.2. Hàm biến phức
1.2.1. Hàm liên tục
Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại
điểm z0 ∈ Ω nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
8


(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z − z0 | < δ thì
|f (z) − f (z0 )| < ε.
(ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ).
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω. Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục.
1.2.2. Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h
ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z)

tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f (z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z. Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại
mọi điểm của Ω. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Định lý 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g) = f + g ,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g) = f g + f.g ,
f
f .g − f.g
f
=
.
(iii) Nếu g(z0 ) = 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và
g
g
g2
Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
9


Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường
của hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương ứng như ánh xạ

của một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo
nghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến
tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai
các đạo hàm riêng của các tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại
các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi
phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến
điều kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải
được điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong
đó hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả
vi tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.2. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 - khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂v
∂u
∂v
∂u
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x
1.2.3. Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an (z − z0 )n

(1.1)

n=0

hoặc bằng phép đổi biến đơn giản ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi dạng
∞

an z n ,
n=0

10

(1.2)


trong đó an ∈ C. Từ Định lý Abel ta thấy rằng nếu chuỗi (1.2) hội tụ
điểm z0 nào đó, thì nó cũng hội tụ tại mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Bây giờ
ta sẽ chứng minh luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.1) hội tụ
tuyệt đối.
∞

Định lý 1.3. (H’adamard) Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được
tính bởi công thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là
đĩa hội tụ.
Chú ý. Trên biên của đĩa hội tụ |z| = R, thì chuỗi có thể hội tụ cũng
có thể phân kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

∞

z 2n+1
2n) và sin z =
(−1)
.
cos z =
(−1)
(
(2n
+
1)!
n=0
n=0

nz

2n

n

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng
mũ phức
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cos z =
và sin z =
.
2
2
11


∞

Định lý 1.4. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh

n=0

hình trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f cũng là một chuỗi lũy thừa
thu được bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f , tức
là

∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f có cùng bán kính hội tụ với f .
Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.
Đạo hàm của chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm của từng
số hạng của nó.
Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai
∞

triển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

an (z − z0 )n

n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
∞

an (z − z0 )n ;

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f có khai triển lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f giải tích trên Ω. Từ Định lý 1.3 ta thấy

rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên đó.

1.3. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
12


Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z (a) và z (b) được hiểu như giới hạn một phía
z (a) = lim+
h→0

z(b + h) − z(b)
z(a + h) − z(a)
và z (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b]
và tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên
mỗi đoạn [ak , bk+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo

hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và
t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường
cong.
13


Ví dụ 1.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.1. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương đương xác
định như trên thì
d

b

f (z(t)).z (t)dt =
a

f (z(t(s))).z (t(s)).t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)).¯
z (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1

ak+1

f (z)dz =
γ

f (z(t)).z (t)dt.
k=0 a
k

14


Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Định lý 1.5. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

f (z)dz + β
γ

γ

(ii) Nếu γ − là đường cong đóng ngược hướng với γ thì
f (z)dz = −
γ−

f (z)dz.
γ

f (z)dz ≤ sup |f (z)| length(γ).

(iii) Ta có

z∈γ
γ

Định lý 1.6. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Hệ quả 1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm
liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.3. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f = 0 thì f là hàm
hằng.

15

1.4. Đại cương về phương trình vi phân phức
Định nghĩa 1.2. Trước hết ta định nghĩa hàm giải tích theo hai biến
phức f (z, ω) là một hàm giải tích của z và ω trong miền D nếu
(i) f (z, ω) là một hàm liên tục theo z và ω trong D.
∂f ∂f
(ii) Tồn tại các đạo hàm riêng
,
tại mọi điểm của D.
∂z ∂ω
Định nghĩa hàm này bao hàm cả các điều kiện Cauchy-Riemann là nếu
z = x + iy, ω = u + iυ, f (z, ω) = P (x, y, u, υ) + iQ(x, y, u, υ),
thì P và Q là các hàm khả vi trong D với bốn đối số thực, các đạo hàm
riêng của chúng liên tục và thỏa mãn các phương trình
∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q ∂P
∂Q
=
;
=
;
=
;
=
.
∂x
∂y ∂y

∂x ∂u
∂υ ∂υ
∂u
Ta gọi phương trình vi phân phức cấp một là phương trình có dạng
dω
= f (z, ω);
dz

(1.3)

ở đó hàm f (z, ω) giải tích trong lân cận của điểm (z0 , w0 ).
Ta gọi nghiệm của phương trình vi phân (1.3) là tất cả các hàm giải tích
ω = ω(z) thỏa mãn phương trình đó. Nói chung, nghiệm của phương
trình vi phân phức cũng phụ thuộc vào các hằng số tùy ý; nghiệm như
vậy cũng được gọi là nghiệm tổng quát. Nghiệm suy ra từ nghiệm tổng
quát với các giá trị cụ thể của hằng số được gọi là nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương
trình có dạng
dn ω
dn−1 ω
dω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p

(z)
+ pn (z)ω = f (z),
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
16

(1.4)


trong đó p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) và f (z) là các hàm giải tích trong miền D
của mặt phẳng phức.
Nếu f (z) ≡ 0 thì phương trình có dạng
dn−1 ω
dω
dn ω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p
(z)
+ pn (z)ω = 0.
1

n−1
dz n
dz n−1
dz

(1.5)

Phương trình (1.5) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng với phương trình (1.4). Trong trường hợp pi (z) (i = 1, n)
là các hằng số thì phương trình được gọi là phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng số.
Đối với phương trình vi phân việc nghiên cứu vấn đề tồn tại và duy nhất
nghiệm là khá phức tạp. Dưới đây chúng tôi chỉ phát biểu kết quả cho
trường hợp tổng quát.
Bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy là bài toán tìm hàm giải tích
ω = ω(z) là nghiệm của phương trình vi phân (1.3) thỏa mãn điều kiện
(z0 , ω0 ) ∈ D × G và ω (z0 ) = ω0 .
Định lý 1.7. (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm) Xét phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất cấp n
dn ω
dn−1 ω
dω
+
p
(z)
+
·
·
·
+

p
(z)
+ pn (z)ω = 0.
1
n−1
dz n
dz n−1
dz
Khi đó, tồn tại duy nhất một hàm giải tích ω(z) trên hình tròn |z − z0 | <
a là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu là ω (z0 ) = ω0 .
Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối,
đều trong bất kỳ đường tròn có tâm z0 , trong đó các hệ số p1 (z), ..., pn (z)
là các hàm giải tích trong miền D nào đó của mặt phẳng phức.
17


Chương 2
Vấn đề điểm kỳ dị và cấu trúc
nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính phức
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề về điểm kỳ dị và cấu
trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính. Đó là điều liên quan
trực tiếp đến vấn đề nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
phức. Dưới đây, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm tổng quát về điểm kỳ
dị của phương trình vi phân tuyến tính.

2.1. Khái niệm về điểm kỳ dị của phương trình vi
phân tuyến tính phức
Để đơn giản trong việc trình bày, chúng tôi chỉ trình bày khái niệm
điểm kỳ dị đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương

trình vi phân tuyến tính cấp cao hơn hoàn toàn tương tự.
Định nghĩa 2.1. Điểm z0 được gọi là điểm thường của phương trình vi
phân tuyến tính
P (z)ω (z) + Q(z)ω (z) + R(z)ω(z) = 0
nếu các hàm

(2.1)

Q(z)
R(z)
và
là giải tích tại đó. Trong các trường hợp khác
P (z)
P (z)
18


nó được gọi là điểm kỳ dị.
Việc tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
(cũng có thể nói tương tự với phương trình cấp cao) gắn liền với đặc
trưng giải tích của hàm thương mà mẫu số là đa thức hệ số của đạo hàm
cấp hai. Mục tiêu chính của khóa luận là trình bày về sự phân loại điểm
kỳ dị cũng tương tự như phương trình vi phân tuyến tính thực.
Phân loại điểm kỳ dị. Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị chính quy của
phương trình (2.1) nếu nó là một điểm kỳ dị của phương trình đó, đồng
thời các hàm
(z − z0 )

R(z)
Q(z)

; (z − z0 )2
P (z)
P (z)

đều có khai triển chuỗi Taylor hội tụ tại z0 , nghĩa là các hàm này giải
tích tại điểm z = z0 .
Các hàm này có thể không xác định tại z0 . Trong trường hợp này, các
giá trị tại z0 được gán là các giá trị giới hạn của chúng khi z → z0 . Đặc
biệt, nếu P (z), Q(z) và R(z) là các đa thức thì z0 được gọi là điểm kỳ dị
chính quy của phương trình (2.1) nếu nó là một điểm kỳ dị và các giới
hạn sau
lim (z − z0 )

z→z0

Q(z)
R(z)
và lim (z − z0 )2
z→z0
P (z)
P (z)

đều nhận giá trị hữu hạn.
Điểm z0 được gọi là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình (2.1)
nếu nó không phải là một điểm kỳ dị chính quy.
Để thuận lợi cho việc trình bày chương này ta nhắc lại một số kết quả

19

liên quan tới phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n
dn−1 ω
dω
dn ω
+
p
(z)
+
·
·
·
+
p
(z)
+ pn (z)ω = 0.
1
n−1
dz n
dz n−1
dz

(2.2)

Cho z0 là điểm tùy ý trong lân cận nào đó mà n hệ số của phương trình
trên đều giải tích. Khi đó, theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, tồn
tại một nghiệm duy nhất của phương trình mà nghiệm này và n − 1 đạo
hàm đầu tiên của nó được gán cho các giá trị tùy ý khi z = z0 . Nghiệm
này có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa của z − z0 , hội tụ ít nhất
trong đường tròn tâm z0 và đường lấy chu vi của nó đi qua điểm kỳ dị
của các hệ số gần z0 nhất. Nói cách khác, tính kỳ dị của nghiệm có thể

không khác với tính kỳ dị của phương trình.
Giống như phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số thực, nếu
ω1 , ω2 , ..., ωn
là n nghiệm phân biệt, lập thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình,
thì định thức Wronski ∆ (ω1 , ..., ωn ) không thể triệt tiêu tại z = z0 , bởi
vì



∆ = ∆0 exp −


z

p1 (z)dz
z0




,



ở đó ∆0 là các giá trị của ∆ tại z = z0 và đường lấy tích phân được hạn
chế trong miền chứa z0 mà p1 (z) giải tích. Rõ ràng ∆ không thể bị triệt
tiêu tại bất cứ điểm nào có thể trừ ra một điểm kỳ dị của p1 (z).
Điểm tại vô cực có thể là điểm kỳ dị hoặc không là điểm kỳ dị, bởi các
hệ số của phương trình thu được nhờ phép thế z = ζ −1 và sau khi rút
gọn về dạng (2.2) có hoặc không có điểm kỳ dị tại gốc.

Như vậy, các điểm kỳ dị có thể tìm trực tiếp bằng việc kiểm tra phương
20


trình. Đối với một vài điểm không kỳ dị bất kỳ ta có thể tìm được n
nghiệm phân biệt cơ bản. Vấn đề đặt ra bây giờ là có tồn tại một hệ
nghiệm cơ bản tương ứng với điểm kỳ dị tùy ý đã cho hay không và có
thể chứng minh được sự tồn tại của những nghiệm này hay không, đồng
thời nghiên cứu dáng điệu của chúng trong lân cận của điểm kỳ dị. Việc
nghiên cứu này đưa đến kết quả đã biết là định lý Fuchs của phương
trình vi phân tuyến tính, chúng ta sẽ giới thiệu ở phần sau.

2.2. Đường cong kín bao quanh điểm kỳ dị
Cho các hệ số của phương trình (2.2) một giá trị và chỉ có duy nhất
một điểm kỳ dị cô lập. Cho ω1 , ω2 , ..., ωn là tập các nghiệm cơ bản và
z0 là một điểm thường (nghĩa là không kỳ dị) của phương trình. Ta vẽ
một chu tuyến đóng γ có điểm đầu và điểm cuối tại z0 không đi qua một
điểm kỳ dị bất kỳ, nhưng có thể chứa một hay nhiều điểm kỳ dị ở bên
trong nó.
Cho W1 , W2 , ..., Wn tương ứng là ω1 , ω2 , ..., ωn khi biến z mô tả chu tuyến
γ lấy theo chiều dương. Ta có thể xác định W1 , W2 , ..., Wn bằng phương
pháp thác triển giải tích qua hữu hạn bước.
Bởi vì các hệ số p1 (z), p2 (z), ..., pn (z) là không đổi qua cách mô tả của
chu trình này, nên phương trình là không đổi. Điều đó nói lên rằng các
hàm
W1 , W2 , ..., Wn

21

là các nghiệm của (2.2); do đó chúng có thể biểu thị tuyến tính qua các
số hạng của hệ cơ bản


W1





 W2


...




W
n

ω1 , ω2 , ..., ωn , như vậy
= a11 ω1 + a12 ω2 + · · · + a1n ωn ,
= a21 ω1 + a22 ω2 + · · · + a2n ωn ,

(2.3)

= an1 ω1 + an2 ω2 + · · · + ann ωn ,

trong đó các hệ số aij (i, j = 1, n) là những hằng số.

Tại điểm z bất kỳ trên chu tuyến


∆(ω1 , ω2 , ..., ωn ) = ∆0 exp −


z

p1 (z)dz




,



z0

tích phân được lấy từ z0 đến z dọc theo chiều dài chu tuyến mà phần
phía trong của chu tuyến nằm về bên trái. Cho ∆1 là giá trị của định
thức Wronski sau khi mô tả đầy đủ chu tuyến γ, khi đó




∆1 = ∆0 exp − p1 (z)dz = e−2πiR ∆0 ,


γ

trong đó R là tổng thặng dư của p1 (z) tại cực điểm nằm bên trong chu
tuyến. Như vậy ∆ (W1 , W2 , ..., Wn ) khác không tại z = z0 và vì tại điểm
thường z bất kỳ


∆ (W1 , W2 , ..., Wn ) = ∆1 exp −


z

p1 (z)dz
z0





nên W1 , W2 , ..., Wn lập thành một hệ nghiệm cơ bản.
Chú ý rằng
|ars | =

∆(W1 , W2 , ..., Wn ) ∆1
=
= 0.
∆(ω1 , ω2 , ..., ωn )
∆0
22

= 0,

Với những kết quả ban đầu được thiết lập ở trên ta có thể xác định được
các hằng số λ1 , λ2 , ..., λn để nghiệm riêng
u = λ1 ω1 + λ2 ω2 + ... + λn ωn
trở thành su sau khi chu tuyến được mô tả một cách đầy đủ, trong đó
s là một hằng số. Cho u bằng U sau khi mô tả chu tuyến, khi đó
U = λ1 W1 + λ2 W2 + · · · + λn Wn .
Vì vậy nếu U = su thì
n

λr (ar1 ω1 + ar2 ω2 + · · · + arn ωn ).

s(λ1 ω1 + λ2 ω2 + · · · + λn ωn ) =
r=1

Sử dụng đồng nhất thức ta nhận được
sλr = λ1 a1r + λ2 a2r + · · · + λr arr + · · · + λn anr ; r = 1, 2, ..., n.

(2.4)

Khi các hằng số bất định λr được loại bỏ từ đồng thời các phương trình
này thì phương trình sẽ thỏa mãn với s tìm được, nghĩa là
a11 − s
a12

···

an1

a22 − s · · ·

an2

a21

···

···

···

a1n

a2n

· · · ann − s

= 0.

···

Phương trình trên được gọi là phương trình đặc trưng của hệ đã chọn.
Nó không thể có nghiệm bằng không hay |ars | bằng không, trái với giả
thiết hệ đã chọn là cơ bản. Mỗi giá trị của s thỏa mãn phương trình đặc
trưng tương ứng với các hằng số λ1 , λ2 , ..., λn mà tỷ số của nó có thể biểu
diễn từ phương trình (2.4). Điều này dẫn đến nghiệm u xác định từ một
23