Vectơ trong mặt phẳng với các bài toán đẳng thức bất đẳng thức ba điểm thẳng hàng hai điểm trùng nhau

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

---------

NÔNG THỊ CHUẨN

VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI
CÁC BÀI TOÁN:
ĐẲNG THỨC
BẤT ĐẲNG THỨC
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học:
BÙI VĂN BÌNH

Hà Nội – 2012

Nông Thị Chuẩn

-4-

Lớp k34 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Học tập và nghiên cứu khoa học là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi sinh
viên. Song trên con đường tìm kiếm và khám phá kho tàng kiến thức mà nhân
loại đã tích lũy được thì bất kể ai đều cần có sự chỉ bảo giúp đỡ của người
thầy. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình đã tận tình chỉ
bảo giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này.
Do đây là lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và hơn nữa do thời
gian, năng lực của bản thân còn hạn chế nên sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô cùng các bạn để đề
tài nghiên cứu khoa học của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 07 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nông Thị Chuẩn

Nông Thị Chuẩn

-5-

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng sự giúp đỡ, hướng
dẫn tận tình của thầy Bùi Văn Bình trong quá trình hoàn thành khóa luận tôi
xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả nào khác.
Nếu trùng tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận được
hoàn thiện hơn.

Sinh viên
Nông Thị Chuẩn

Nông Thị Chuẩn

-6-

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4
NỘI DUNG.................................................................................................. 10
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN..................... 10

1.1. Vectơ.................................................................................................. 10
1.2. Các phép toán vectơ ........................................................................... 12
1.3. Tích vô hướng của vectơ .................................................................... 14
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
..................................................................................................................... 16
2.1. Chứng minh các đẳng thức vectơ........................................................ 16
2.2. Chứng minh hệ thức hình học. ............................................................ 24
2.3. Chứng minh bất đẳng thức.................................................................. 29
2.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. ....................................................... 37
2.5. Chứng minh hai điểm trùng nhau. ...................................................... 44
KẾT LUẬN.................................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 49

Nông Thị Chuẩn

-7-

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành nên toán học. Đây là một môn học
thú vị nhưng tương đối khó đối với học sinh. Trong chương trình toán THCS
học sinh đã được làm quen với các đại lượng vô hướng, khi lên bậc THPT các
khái niệm đó tiếp tục được mở rộng. Trong đó vectơ là một ví dụ điển hình.

Khi mở rộng đoạn thẳng vô hướng sang đoạn thẳng có hướng ta có khái niệm
vectơ. Thông thường khi mở rộng một khái niệm nào đó thì đồng thời ta có
thêm một phương pháp mới để giải toán. Khái niệm vectơ cho ta cho ta một
phương pháp giải toán rất hiệu quả đó là phương pháp vectơ,là một trong
những phương thức phát triển năng lực sáng tạo trong giải toán. Phương pháp
vectơ được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán chứng minh, sử dụng phương
pháp vectơ để giải toán trong hình học phẳng ưu việt hơn sử dụng các phương
pháp khác.
Với những mong muốn trên cùng với sự giúp động viên giúp đỡ của
thầy giáo Bùi Văn Bình em chọn đề tài “Vectơ trong hình học phẳng và
các bài toán: đẳng thức, bất đẳng thức, các điểm thẳng hàng và trùng
nhau”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Nhằm rèn luyện khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của phương
pháp vectơ trong giải toán hình học phẳng, đặc biệt là trong chứng minh các
đẳng thức, bất đẳng thức,tính thẳng hàng và trùng nhau của các điểm.
Trình bày phương pháp giải giải và đưa ra các ví dụ mẫu để học sinh có
thể giải được các bài tập tương tự trong phần bài tập đề nghị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Lấy vectơ làm cơ sở để nghiên cứu những ứng dụng của vectơ vào giải
bài tập trong hình học phẳng.

Nông Thị Chuẩn

-8-

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do thời gian có hạn và chỉ trong khuôn khổ của một khoá luận tốt
nghiệp nên đề tài của em chỉ giới hạn trong các bài toán: Chứng minh hệ thức
hình học, các đẳng thức vectơ, các bất đẳng thức, chứng minh ba điểm thẳng
hàng và hai điểm trùng nhau.

Nông Thị Chuẩn

-9-

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN
1.1. Vectơ
1.1.1. Định nghĩa vectơ
B

Vectơ là một đoạn thẳng đã định
hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào
của đoạn thẳng là điểm đầu (điểm gốc)
và điểm mút nào của đoạn thẳng là
điểm cuối (điểm ngọn).

A


Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B. Kí hiệu là: AB .

Chú ý:


 Cho hai điểm phân biệt A và B thì ta có hai vectơ AB và BA là

khác nhau.
 
 Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA , BB ,…

gọi là vectơ–không.
1.1.2. Độ dài của vectơ


Độ dài của vectơ AB là độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: AB . Như vậy,

ta có:

 ) AB  AB  BA.

 ) Độ dài của vectơ-không bằng 0.
1.1.3. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.


Hai vectơ AB và CD gọi là cùng phương

B

nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thẳng
A

song song hoặc trùng nhau.


Hai vectơ cùng phương AB và CD gọi

Nông Thị Chuẩn

- 10 -

Lớp k34 CN Toán

C

D


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

là cùng hướng nếu chiều đi từ A đến B trùng
B

với chiều đi từ C đến D.



Hai vectơ cùng phương AB và CD

gọi là ngược hướng nếu chiều đi từ A đến

A

C

B ngược với chiều đi từ C đến D.
Chú ý:
+) Vectơ-không được coi là

D

cùng hướng, ngược hướng với mọi vectơ.
1.1.4. Hai vectơ bằng nhau.


Hai vectơ AB và CD gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương cùng
 
hướng và cùng độ dài. Kí hiệu: AB  CD .
Chú ý:
 Quan hệ hai vectơ bằng nhau là một quan hệ tương đương. Đại
     
diện cho mỗi lớp tương đương kí hiệu là a, b, c, x, y, z ,...

 Nếu đã cho vectơ a và một điểm A thì có một điểm B duy nhất
 

sao cho AB  a .

 Mọi vectơ–không đều bằng nhau. Kí hiệu là 0 .
1.1.5. Góc giữa hai vectơ.



 
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0 . Từ một điểm O ta vẽ OA  a và
 


OB  b . Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo giữa hai vectơ a và b .
 
A
Kí hiệu: a, b .

 


a


a


Nhận xét:

Nông Thị Chuẩn


b

- 11 -

O


b

Lớp k34 CN Toán

B


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 
 a, b   00 ,1800 



 a, b  00  a và b cùng hướng.

 
 

 


  a, b   180  a và b ngược hướng.


 
  a, b   90 thì ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
0

0

 
Kí hiệu: a  b .

1.2. Các phép toán vectơ
1.2.1. Phép cộng vectơ.



Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ c . Kí hiệu:
  
c  a  b , được xác định như sau:
 
 
Từ một điểm A nào đó dựng AB  a từ B dựng BC  b . Khi đó vectơ
 


c  AC gọi là tổng của hai vectơ a và b .

B


a


a

b


b

C
A

Quy tắc tìm vectơ tổng được gọi là phép cộng hai vectơ.
Chú ý:
  


+) Nếu a  b  0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và

kí hiệu là a .

 


+) Vectơ a luôn ngược hướng với vectơ a và a  a . Mỗi

vectơ có một vectơ đối duy nhất.

Từ định nghĩa ta có các quy tắc sau:

Nông Thị Chuẩn

- 12 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:
  
AB  BC  AC .
B

A

C

+ Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn
  
có: AB  AD  AC .
A

D

B

C

Tính chất:

 
Với mọi a, b, c ta có:
   
i. a  b  b  a.
  
ii. a  0  a.
     
iii. ( a  b)  c  a  (b  c)
1.2.2. Phép trừ vectơ.


 
Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu: a  b là tổng của vectơ


  

a và vectơ đối của vectơ b , tức là: a  b  a  (b) .

Quy tắc tìm vectơ hiệu được gọi là phép trừ hai vectơ.
Từ định nghĩa ta có quy tắc 3 điểm cho phép trừ như sau: với 3 điểm
  
bất kì A, B, C. Ta có: AB  AC  CB .
1.2.3. Phép nhân vectơ với một số.

Nông Thị Chuẩn

- 13 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k là một vectơ,kí hiệu là

k a được xác định như sau:



 Nếu k  0 thì k a cùng hướng với a .


 Nếu k <0 thì k a ngược hướng với a .


và k a  k a .

Quy tắc tìm k a là phép nhân vectơ với một số thực.

Tính chất:
 

Với mọi a, b và k, l  R . Ta có:


i. k (la )  (kl )a.

 
ii. (k  l )a  k a  la.
 


 


iii. k ( a  b)  k a  kb ; k a  b  k a  kb.





     
iv. 1a  a;0a  0; k 0  0.

1.3. Tích vô hướng của vectơ
1.3.1. Định nghĩa.



Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số kí hiệu là a.b được xác

định bởi công thức:

  
 
a.b  a . b .cos( a, b ).
Chú ý:


 
a.b
 cos(a, b)    .
a .b
 

 a  b  a.b  0.

1.3.2. Bình phương vô hướng

Nông Thị Chuẩn

- 14 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp



a

2

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Bình phương vô hướng của a là tích vô hướng a.a và được kí hiệu là
2  2
2
hay đơn giản là a . Áp dụng định nghĩa tích vô hướng, ta có: a  a .

Bình phương vô hướng của vectơ a là bình phương độ dài của vectơ

đó.
1.3.3. Các hằng đẳng thức về tích vô hướng.
  2 2 2

i. a  b  a  b  2a.b.





 
2 2

ii. a  b  a  b  2a.b.





   
2 2
iii. a  b a  b  a  b .







Suy ra, biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng:
 1
a.b 
2
 1
hay: a.b 
4

 2 2 2
ab  a  b


 
a
 b

2



 2
 a b .



được gọi là dạng độ dài biểu thức tích vô hướng.
Ngoài ra biểu thức tích vô hướng còn được viết dưới dạng tọa độ như


sau: Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy cho hai vectơ a và b có toạ



độ là a  x1 , y1  và b  x2 , y2  . Khi đó: a.b  x1 x2  y1 y2 .
1.3.4. Tính chất.
 
Với mọi vectơ a, b, c và k R.. Ta có:
 
i. a.b  b.a.
             
ii. a (b  c )  a.b  a.c; a b  c  a.b  a.c.





 

iii. ( k a )b  k (a.b).

Nông Thị Chuẩn

- 15 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG

2.1. Chứng minh các đẳng thức vectơ.
2.1.1. Phương pháp.
Để chứng minh các đẳng thức vectơ ta sử dụng:
 Quy tắc tam giác.
 Quy tắc hình bình hành.
 Quy tắc trung điểm.
 Các tính chất của phép cộng, phép trừ, phép nhân vectơ
với một số để thực hiện biến đổi tương đương các đẳng thức cần chứng minh.
Ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:
Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại:
- Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức.
- Nếu xuất phát từ vế đơn giản hơn thì ta cần thực hiện việc phân tích
vectơ.
Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là
luôn đúng.

Hướng 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng về đẳng thức cần chứng
minh.
Hướng 4: Tạo dựng hình phụ:
- Khi gặp bài toán chứa bình phương độ dài các đoạn thẳng ta chuyển
 2
các đẳng thức cần chứng minh về dạng bình phương vô hướng: AB2  AB .
- Khi gặp bài toán chứa tích độ dài đoạn thẳng ta chuyển về tích độ dài
vectơ hoặc sử dụng định nghĩa tích vô hướng để giải.
2.1.2. Một số ví dụ minh họa.

Nông Thị Chuẩn

- 16 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 1: Cho

Trường ĐHSP Hà Nội 2

ABC . Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác và M là điểm tuỳ

ý. Chứng minh rằng:
   
a) GA  GB  GC  0.
   
b) MA  MB  MC  3MG.

Giải:

A

a) Gọi A1 là trung điểm của BC, ta có:
 

GB  GC  2GA1 (quy tắc trung điểm). (1)

G
Mặt khác, ta có: GA  2GA1 mà GA cùng

phương ngược hướng GA1 nên suy ra:
B
A1


2GA1  GA. (2)
 

   
Từ (1) và (2) suy ra: GB  GC  GA  GA  GB  GC  0.

C

b) Ta có:
        
MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC
   
 3MG  GA  GB  GC


 3MG. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho

ABC có trọng tâm G, M là trung điểm của BC và H là điểm

đối xứng của B qua G. Chứng minh rằng:
 2  1 

1  
a) AH  AC  AB và CH   AB  AC .
3
3
3
 1  5 
b) MH  AC  AB.
6
6





Giải:
a) Theo quy tắc trung điểm, ta có:
 

AH  AB  2 AG
 2 

2  
 AB  AC (vì AG  AM )
3
3



Nông Thị Chuẩn



- 17 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 2  1 
 AH  AC  AB.
3
3

A

Tương tự, ta có:
 2  1 
CH  CA  CB

3
3
2  1  
 CA  CA  AB
3
3
1  1 
1  
 CA  AB   AB  AC .
3
3
3







H
G
B

M

C



b) Ta có:

   1   1   1  
MH  MC  CH  BC  CH  BA  AC  AB  AC
2
2
3
 1  5 
Vậy: MH  AC  AB . (đpcm)
6
6



 



Ví dụ 3: Cho ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác. Chứng minh rằng:
   
aIA  bIB  cIC  0
Giải:
Gọi BB1, CC1 lần lượt là các đường phân giác của

ABC . Dựng hình

bình hành AB2IC2 có AB2 CC1 VÀ AC2BB1. Ta được:
  
IA  IB2  IC2 (1)
A

Ta có:
IB2 C1 A b


IB C1B a


Mà IB2 và IB cùng phương

nhưng ngược hướng nên suy ra:

b 
IB2   IB (2)
a

Nông Thị Chuẩn

- 18 -

B2

C2
B1

C1
I

C

Lớp k34 CN Toán

B


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lại có:
IC2 B1 A c


IC B1C a



và IC2 cùng phương ngược hướng với vectơ IC , suy ra:

c 
IC2   IC (3)
a

Thay (2) và (3) vào (1). Ta được:

b  c 
IA   IB  IC
a
a
   
 aIA  bIB  cIC  0 (đpcm).

Nhận xét: bằng việc dựng thêm hình phụ là hình bình hành AB2IC2 ta dễ
dàng nhận thấy ngay đẳng thức (1). Sau đó, sử dụng định lí Thales và tính
chất của đường phân giác ta có được đẳng thức (2) và (3) từ đó có ngay điều
phải chứng minh.
Ví dụ 4:Cho

ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có G là trọng tâm. Gọi F là

giao điểm của AG với (O) và M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng
minh rằng:
 
3 AG.AF  AB 2  AC 2

Giải:

A
Gọi E là điểm đối xứng của A
M

qua tâm O và I là trung điểm của BC.
Ta có:
 
AE. AB  AB 2 (do EBAB)
 
AE. AC  AC 2 (do ECAC).

B

Suy ra:
  

AE ( AB  AC )  AB 2  AC 2

Nông Thị Chuẩn

- 19 -

Lớp k34 CN Toán

G .

O

I

F E

C


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 
 2 AE. AI  AB 2  AC 2
 
 3 AE. AG  AB 2  AC 2
 
 
 3 AG.AF  AB 2  AC 2 (do FE  FA ). (đpcm)

Nhận xét: Sử dụng tích vô hướng và tính chất đường trung tuyến ta
nhận được vế phải của đẳng thức cần chứng minh. Việc vận dụng định nghĩa
tích vô hướng cho ta lời giải bài toán ngắn gọn hơn.
Ví dụ 5: Cho

ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam

giác, G là trọng tâm và D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh
rằng:
  

a) HA  HB  HC  2 HO
   
b) OA  OB  OC  OH

Giải:
a) Ta có:
BHDC (vì cùng vuông góc với AC)
CHDB (vì cùng vuông góc với AB).
Suy ra: BHCD là hình bình hành.
  
 HB  HC  HD . Do đó:
    

HA  HB  HC  HA  HD  2 HO
  

Vậy: HA  HB  HC  2 HO .
b) Ta có:

B
  
OA  OH  HA
D
  
OB  OH  HB
  
OC  OH  HC
   
 
Suy ra: OA  OB  OC  3OH  2 HO  OH . (đpcm)

Nông Thị Chuẩn

- 20 -

Lớp k34 CN Toán

A

O.

H
G

M

C

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 6: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho

CA m
 . Chứng
CB n

minh rằng với S là một điểm bất kì ta luôn có:

n 
m 
SC 
SA 
SB
mn
mn
Giải:
Theo giả thiết:
CA m
AC
m
 

CB n
AC  CB m  n


AC
m
A

AB m  n

m 
 AC 
AB
mn
 
m  
 SC  SA 
( SB  SA)
mn
 
m 
m 
 SC  SA 
SA 
SB
mn
mn

n 
m 
 SC 
SA 
SB . (đpcm).
nm

mn

Ví dụ7: Cho

C

B

S

ABC có trong tâm G. Một đường thẳng d không đi qua G lần

lượt cắt các đường thẳng GA, GB, GC tại A1, B1,C1. Chứng minh rằng:
  
GA GB GC
      0.
GA1 GB1 GC1
Giải:




GA1
GB1
GC1
Đặt:   m;   n;   p.
GA
GB
GC



Vì A1, B1, C1 thẳng hàng nên ta có A1C1  k A1 B1.

Nông Thị Chuẩn

- 21 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do đó:
 
 
GC1  GA1  k (GB1  GA1 )



 GC1  kGB1  (1  k )GA1



 pGC  knGB  (1  k )mGA (1)
   
Vì GA  GB  GC  0 nên suy ra:


 
GC  GA  GB (2)

A

A1

C1
B1

G

B

Thay (2) vào (1), ta được:
 


p (GA  GB )  knGB  (1  k )mGA




  pGA  pGB  knGB  (1  k )mGA
 
Vì GA, GB không cùng phương nên ta có:

C

d

 p  (1  k )m

 p  kn


GA
Vậy: 
GA1

 p
  m  1  k
p p
1 1 1

   1    0
m n
m n p
 p  k
 n
 
GB GC
     0. (đpcm).
GB1 GC1

2.1.3. Bài tập đề nghị
Bài tập 1: Cho

ABC . Chứng minh rằng, với G là trọng tâm của tam giác ta

có:
     
1
GA.GB  GB.GC  GC.GA    AB 2  BC 2  CA2  .
6
  1    
Hướng dẫn: Biến đổi GA.GB  BA  CA CB  AB . Biến đổi tương tự đối
9
 
 
với GB.GC và GC.GA sau đó vế với vế ta được đẳng thức cần chứng minh.



Nông Thị Chuẩn

- 22 -



Lớp k34 CN Toán




Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bài tập 2: Cho ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

   
Chứng minh: AM  BN  CP  0 .
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường trung tuyến.
Bài tập 3: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ABC . AN,
BM, CK là các đường phân giác của ABC . Chứng minh rằng:


 
a (b  c) AM  b(a  c) BN  c (a  b)CK  0
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất đường phân giác.
Bài tập 4: Gọi O là điểm bất kì nằm trong ABC . Chứng minh rằng:


 
S OBC OA  S OCA OB  S OAB OC  0
Hướng dẫn: Dựng hình phụ.
Bài tập 5: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng:


 
SinA.OA  sin B.OB  sin C.OC  0
Hướng dẫn: Kẻ đường kính BA1, ta có A1 = A, trong tam giác vuông A1BC
có BC = a= A1BsinA1 = 2RsinA. Tương tự, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt đối diện với các
đỉnh A, B, C là a, b, c. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp
xúc với các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng:
   
a AA1  bBB1  cCC1  0
Hướng dẫn: Áp dụng kết quả ví dụ 6.
Bài tập 7: Cho hình vuông ABCD tâm O. Chứng minh rằng:

  

MA  MB  MC  4MO.(1)
với M là điểm bất kì.
Từ đó suy ra cách giải bài toán: Cho A1A2…An là một đa giác nhận O
làm tâm đối xứng, với điểm M bất kì. Ta có:
 


MA1  MA2  ...  MAn  nMO

Nông Thị Chuẩn

- 23 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hướng dẫn: Đẳng thức (1) dễ dàng chứng minh. Lưu ý rằng n-giác nhận O
làm tâm đối xứng nên n phải là số chẵn.
2.2. Chứng minh hệ thức hình học.
2.2.1. phương pháp.
Khi gặp dạng toán chứng minh hệ thức chứa các bình phương độ dài
đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạn thẳng, chúng ta có thể chuyển hệ thức
về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ tương ứng, hay tích độ dài
các vectơ. Từ đó sử dụng tích vô hướng để giải.

2.2.2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Hình bình hành ABCD có đường chéo lớn là AC. Từ C hạ
các đường vuông góc CE, CF lần lượt xuống các tia AB, AD. Chứng minh
rằng:
AB. AE  AD. AF  AC 2

Giải:
F

Theo định nghĩa tích vô hướng.
Ta có:

D

   
AB. AE  AC. AB
   
AD.AF  AC. AD

Suy ra:

A
       2
AB. AE  AD.AF  AC AB  AD  AC



C

B

E



Do AC là đường chéo lớn nên ABC  900 và điểm B nằm giữa hai
điểm A, E. Cũng thế điểm D nằm giữa hai điểm A và F. Vậy:
    2
AB. AE  AD.AF  AC
 AB. AE  AD.AF  AC 2 . (đpcm)

Ví dụ 2: Trên cạnh AB của ABC cân đỉnh C cho điểm P. Chứng minh rằng:
PC 2  AC 2  AP.BP

Nông Thị Chuẩn

- 24 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải:
Đẳng thức cần tìm viết dưới dạng vectơ là:
   
PC 2  AC 2  AP.PB
Để chứng minh đẳng thức này, trước hết ta biến đổi vế phải:

       
AC 2  AP.PB  AC 2  ( AC  CP)( PC  CB )
       
 AC 2  AC.PC  AC.CB  CP 2  CP.CB
       
 AC 2  AC.PC  ( AC.CB  CP.CB )  CP 2
      
 AC ( AC  PC )  CB( AC  CP)  CP 2
    
 ( AC  CP)( AC  CB)  CP 2
   2
 AP( AC  CB)  CP
B

P

C

A

D

 
    
Nếu vẽ CD  AC thì AC  CB  CD  CB  BD và ABD vuông tại B.
    
AP AC  CB  AP.BD  0





   
Do đó: AC 2  AP.PB  CP 2 (1) và đẳng thức được chứng minh.

Nếu P nằm trong đoạn thẳng AB, chuyển đẳng thức (1) sang đẳng thức
vô hướng, ta có:
PC 2  AC 2  AP.BP



Nếu điểm P nằm ngoài đoạn AB thì vì AP và PB ngược hướng nên:

Nông Thị Chuẩn

- 25 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
   
AP.PB  AP . PB .cos1800   AP.PB

Vậy: PC 2  AC 2  AP.PB (đpcm).
Ví dụ 3: Giả sử I là tâm đường tròn nội tiếp

ABC với các cạnh BC = a, CA

= b, AB = c. Chứng minh:
IA2 IB 2 IC 2


1
bc
ca
ab

Giải:
Theo giả thiết IA, IB, IC là các đường phân giác nên ta có:

  
aIA  bIB  cIC  0
  
Từ đó: ( aIA  bIB  cIC ) 2  0
 
 
 
 a 2OA2  b 2 IB 2  c 2 IC 2  2abIA.IB  2bcIB.IC  2caIC.IA  0
 
  
Vì: IA  IB  BA và ( IA  IB ) 2  c 2 .
 
A
 2 IA.IB  IA2  IB 2  c 2

I

c

B

a

b

D

C

 
 
Tương tự, ta có: 2 IB.IC  IB 2  IC 2  a 2 và 2 IC.IA  IC 2  IA2  b 2 .
 a 2 IA2  b 2 IB 2  c 2 IC 2  ab( IA2  IB 2  c 2 ) 
bc ( IB 2  IC 2  a 2 )  ca( IC 2  IA2  b 2 )  0
 (a  b  c)( aIA2  bIB 2  cIC 2 )  abc (a  b  c)
IA2 IB 2 IC 2



 1.
bc
ca
ab

Nông Thị Chuẩn

- 26 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 4: Cho

Trường ĐHSP Hà Nội 2

ABC có AB = c, BC = a, CA = b, trên đoạn AB lấy điểm M.

Chứng minh rằng:
c 2CM 2  a 2 AM 2  b 2 BM 2  (a 2  b 2  c 2 ) AM .BM

Giải:

C

Giả sử

MA
 k  MA  kMB.
MB

b

a

Ta có:



AM  k MB
 
 
 CM  CA  k CB  CM





A

c

M

B



 CA  kCB
 CM 
1 k


 BM CA  AM CB
 CM 
AM  BM




 cCM  BM CA  AM CB


2
2
2
 c 2 CM  b 2 BM  a 2 AM  2 AM BM (CA.CB)
 
Do 2(CA.CB)  a 2  b 2  c 2 nên
2

2

2

c 2 CM  b 2 BM  a 2 AM  (a 2  b 2  c 2 ) AM . BM . (đpcm).

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để cho hai
đường chéo của tứ giác vuông góc là AB2+CD2=BC2+AD2.
Giải:
Giả sử tứ giác ABCD có hệ thức:
AB 2  CD 2  BC 2  AD 2 (1)

Ta cần chứng minh AC  BD . Ta có:
 2  2
 2  2
(1)  ( BA  BC )  ( DC  DA )  0
   

   
 ( BA  BC )( BA  BC )  ( DC  DA)( DC  DA)  0

Nông Thị Chuẩn

- 27 -

Lớp k34 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

     
 ( BA  BC )CA  ( DC  DA) AC  0
    
 AC ( BA  BC  DC  DA)  0
    
 AC AB  DA  DC  CB  0


  
 AC  DB  DB   0



D

C

A

B
 
 
Vậy: 2 AC.DB  0 hay AC  BD.
 
Ngược lại, nếu ta có: AC  BD suy luận ngược lại quá trình trên ta suy

ra:
AB 2  BC 2  DC 2  DA2  0 hay AB 2  CD 2  BC 2  AD 2 . (đpcm)

2.2.3. Bài tập đề nghị.
Bài tập 1: Trong đường tròn tâm O cho hai dây cung AB, CD cắt nhau tại M.
Qua trung điểm S của dây BD kẻ đường thẳng SM cắt AC tại K. Chứng minh
rằng:
AK AM 2

KC CM 2

Hướng dẫn: Đặt

Nông Thị Chuẩn

AK
 x . Chú ý hệ thức MA.MB = MC.MD = k.
KC

- 28 -

Lớp k34 CN Toán