Ánh xạ weingarten và một số vấn đề liên quan

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết sm xin dược bày tỏ lòng biết
ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm đã
tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Thắm

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo
trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Kết quả của đề tài này không có sự
trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Thắm

2

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Trang
Mở đầu ........................................................................................................... 4
Nội dung ......................................................................................................... 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ..................................................................... 5
§1 Khái niệm ánh xạ .................................................................................... 5
§2 Không gian Euclide ................................................................................. 7
Chương 2 Ánh xạ Weingarten và một số vấn đề liên quan...................... 15
§1 Ánh xạ Weingarten ................................................................................. 15
1.Cơ sở lý thuyết về ánh xạ Weingarten ................................................. 15
2.Ánh xạ Weingarten ............................................................................... 18
§2 Một số vấn đề liên quan đến ánh xạ Weingarten .................................... 23
1. Công thức tính toán ............................................................................. 23
2. Độ cong pháp dạng, công thức Mơ-nhi-ê, công thức Ơle................... 25
3. Đường trên đa tạp 2- chiều.................................................................. 28
§3 Một số ví dụ liên quan đến ánh xạ Weingarten ...................................... 36
Kết luận .......................................................................................................... 42
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 43

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn học quan trọng, tương đối khó trong chương trình
toán phổ thông và để học, hiểu được nó người học cần có sự tư duy cao.
Sau khi học chương trình toán tại trường, đặc biệt sau khi học môn hình
học vi phân, với mong muốn được tìm hiểu sâu thêm về hình học vi phân và
nghiên cứu sâu hơn nữa về ánh xạ Weingarten, em đã chọn đề tài “ Ánh xạ

Weingarten và một số vấn đề liên quan” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn nữa về ánh xạ Weingarten và một số vấn đề liên
quan.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về ánh xạ Weingarten và một số vấn đề liên quan.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Khái niệm ánh xạ Weingarten và một số bài toán có liên quan đến ánh
xạ Weingarten.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về ánh xạ Weingarten và một số vấn đề liên quan.
5. Các phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan.

4


NỘI DUNG
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng ta sẽ nói đến một số định nghĩa, ký hiệu và
một số định lý của không gian vectơ Euclid.
§1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ
Định nghĩa 1.1
Ta gọi là tích Đề các (Descartes) của 2 tập hợp X và Y một tập hợp kí
hiệu là X Y , gồm tất cả các cặp x, y sao cho x

X Y

X,y Y

x, y \ x X , y Y

Định nghĩa 1.2
Ta gọi mỗi tập con R của tích Đề các X
trên tập hợp X . Nếu
Trái lại, nếu x, y

x, y

X là một quan hệ hai ngôi

R , ta nói x có quan hệ R với y và viết xRy .

R ta nói x không có quan hệ R với y , viết xRy .

Định nghĩa 1.3
Ta gọi mỗi tập con R của tích Đề các X Y là một quan hệ hai ngôi từ
tập X đến tập Y . Quan hệ R được gọi là một ánh xạ từ tập X đến tập Y nếu
với mọi x X có một và chỉ một y Y sao cho x, y
duy nhất đó là y

f x .

5

R . Ta ký hiệu phần tử

Khi đó

R

x, f x \ x

X

Ánh xạ này thường được ký hiệu là f : X

Y và R được gọi là đồ thị của

ánh xạ f .
Các tập X ,Y được gọi lần lượt là tập nguồn và tập đích của ánh xạ f . Tập
hợp f x

f x \x

X gọi là tập giá trị của f .

Có thể nói một cách đơn giản :
Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần
tử x X với một phần tử y

f x hoàn toàn xác định của Y .

6


§2 KHÔNG GIAN EUCLID

1.Định nghĩa và ký hiệu
Định nghĩa 1.1 (xem [4] tr.139)
Cho V là ¡ - không gian vectơ. Khi đó tích vô hướng trên V là ánh xạ

.,. :V V ¡
r ur
r ur
x, y a x, y
thỏa mãn 4 tiên đề sau
r ur
ur r
i) x, y
y, x

r ur r
ii) x, y z
iii)

r ur
x, y V

r ur
x, y

r ur
x, y

r r
x, z

r ur r
x, y , z V

r ur
x, y

r r
iv) x, x

0

r r
x, x

0

r ur
x, y V ,

¡

r
x V
r r
x 0

r ur
ur
r
Ta gọi mỗi số thực x, y là tích vô hướng của x và y

r ur
Ngoài ra tích vô hướng còn được ký hiệu bởi x. y .

Định nghĩa 1.2
Không gian vectơ Euclide là một ¡ - không gian vectơ trên đó xác
định một tích vô hướng.
Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ
Euclide hữu hạn chiều.
Không gian Euclide được gọi là n chiều nếu không gian vectơ
Euclide liên kết với nó có n chiều.

7


uur
Ta thường ký hiệu E n là không gian Euclide n chiều và E n là không
gian vectơ Euclide n chiều.
ur ur uurn
ur ur
E bất kỳ, ta ký hiệu . là tích vô hướng của hai vectơ
Với ,
ur
ur
và và
ur ur ur ur
ur ur
.
. cos ,

Định nghĩa 1.3

uur ur
Cho không gian vectơ Euclide E n ,
ur
(chuẩn / mođun) của vectơ .

uur
E n . Ta gọi số

ur 2

là độ dài

uur
Khoảng cách giữa hai điểm p, q E n là giá trị pq .
Ta ký hiệu d p, q
uur
d p, q
pq .

là khoảng cách giữa hai điểm p, q khi đó

Định nghĩa 1.4
ur
Hệ ei
được gọi là hệ vectơ trực chuẩn nếu
i 1,n

ur uur
ei .e j

ur
Mục tiêu 0, ei

n
i 1

0 khi i
1 khi i

j
j

trong đó

ur
ei

i 1,n

là cơ sở trực chuẩn của không

uur
gian E n được gọi là muc tiêu trực chuẩn của không gian Euclide E n và
thường được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc.

8


Điểm p E n có tọa độ x1, x 2 ,..., x n đối với mục tiêu đó nghĩa là

uuur
Op

n

ur
x ei
i

i 1

p

x1, x 2 ,..., x n

¡

n

được gọi là tọa độ của p .

Khi ta đã chọn trong E n một hệ tọa độ Đề các vuông góc thì có thể
đồng nhất E n và ¡

n

bằng cách đồng nhất p với tọa độ của chúng.

2. Hàm vectơ
2.1.Định nghĩa (xem [2] tr.6 )

Trong E n cho U là một tập hợp tùy ý khác rỗng, khi đó mỗi ánh xạ
uur
uur
X :U
En
uur
ua X u
được gọi là hàm vectơ xác định trên U .

2.2.Định lý (xem [2] tr.6)
uur
X :U

n

uur
En ,

Với U là một tập hợp tùy ý của E , cho hàm vectơ
ur uur uur
uur
u a X u . Gọi e1, e2 ,..., en là một cơ sở trực chuẩn của E n . Khi đó tồn tại
duy nhất các hàm số xi : U

¡ , u a xi u

uur
sao cho X u

n

ur
xi u ei ,

i 1

u U
* Nhận xét: Trong E n cho một hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ
tương ứng và ta gọi các hàm này là các hàm tọa độ.

9


2.3.Một số phép toán đại số về hàm vectơ
n

Trong E , trên U

:U

uur ur
E cho các hàm vectơ X , Y : U
n

uur
E n và hàm số

¡ . Khi đó có các hàm vectơ và hàm số sau đây:
uur
uur ur

uur
ur
uur ur
En , u a X Y u X u Y u
a, X Y : U
uur
X :U

uur
En , u a

uur
X u

uur
u .X u

uur ur
c, X .Y : U

uur
En , u a

uur ur
X .Y u

uur
ur
X u .Y u

uur
d, X : U

uur
En , u a

uur
X u

b,

uur
X u .

uur
uur
3
* Với n 3 , ta lấy một hướng của E và có phép tích có hướng trong E 3 .
Khi đó xác định thêm một hàm vectơ
uur
uur ur
uur ur
X Y :U
E3 , u a X Y u

uur
trong đó X u

uur
X u

ur
Y u

ur
uur
ur
Y u là tích có hướng của hai vectơ X u và Y u .

2.4.Đạo hàm của hàm vectơ
uur
uur
uur
En , t a X t .
Cho J là một khoảng trong ¡ . Xét hàm vectơ X : J
uur
uur
uur
X t
t X t
Khi đó giới hạn của hàm vectơ X t là lim
nếu tồn tại thì
t 0
t
uur
được gọi là đạo hàm của hàm vectơ X t tại t .
uur
Ta ký hiệu là X ' t .

10

3. Không gian tiếp xúc, trường vectơ trên không gian Euclide
Định nghĩa 3.1

uur
Giả sử E n là không gian Euclide và E n là không gian vectơ Euclide liên
ur
ur uurn
kết với nó. Với mỗi p E n và
được gọi là một vectơ tiếp
E , cặp p,
uur
ur
xúc với E n tại p , hay cũng nói là vectơ
đặt tại p , còn được viết là
ur
p,
p.
n

Với mỗi p E , cố định p ta được Tp E

n

p,

p

ur

/

ur

uur
E n được

gọi là không gian tiếp xúc của E n tại p . Tập Tp E n có cấu trúc không gian
uur
vectơ Euclide một cách tự nhiên chuyển từ E n .

* Nhận xét: Với tập mở U

n

E ta định nghĩa TU

uur
U E n và gọi là không

gian các vectơ tiếp xúc của U . Với p U , ký hiệu TpU

Tp E n và gọi nó là

không gian vectơ tiếp xúc của U tại p .

Định nghĩa 3.2
Cho tập mở U

E n , ta gọi mỗi ánh xạ X :U

TU , p a X p

TpU

là trường vectơ trên tập mở U . Trường vectơ trên U hoàn toàn được xác định
uur
uur
uur
E n , p a X p mà X p
bởi hàm vectơ X : U
p, X p .

uur
Do đó X p là trường vectơ lớp C k nếu X p là hàm vectơ lớp C k .
uur
Khi X p là hàm hằng thì trường vectơ X được gọi là trường vectơ
song song.

11


4.Cung tham số
Định nghĩa 4.1 (xem [2] tr.16)
Mỗi ánh xạ

E n từ một khoảng J

:J

¡ vào E n gọi là một cung

tham số (hay một quỹ đạo) trong E n .

uur
*Nhận xét : Trong E 3 ta lấy và cố định điểm O thì cung tham số
hoàn
ur
uuur
ur
toàn được xác định bởi hàm vectơ : J
t O t . Khi đó ta
E3 , t a
ur
uuur
gọi t O t là bán kính vectơ của
t với gốc tọa độ O.

Định nghĩa 4.2
Hàm số f : I

1

J là một song ánh, khả vi và f

cũng khả vi thì f

được gọi là một vi phôi.
Hai cung tham số

ur

:J

gọi là tương đương nếu có vi phôi

E3 , t a

:I

E3 , u a r u được

t và r : I

J, ta u

t sao cho

ro .

Ta gọi mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương nói trên là một
cung của E 3 ; mỗi cung tham số đại diện cho cung gọi là một tham số hóa của
cung đó.
Định nghĩa 4.3
xác định bởi

Cho cung
'

t0

:J

0 gọi là một điểm chính quy của

điểm kỳ dị của

En , t a
; còn nếu

t . Điểm t0 của
'

t0

0 thì nó gọi là

.

Cung mà mọi điểm đều là điểm chính quy gọi là cung chính quy.

12

mà


Định nghĩa 4.4
Tham số hóa r : I

E n , u a r u của một cung chính quy được gọi là

một tham số hóa tự nhiên nếu r ' u

u J.

1

5. Đa tạp 2- chiều
Định nghĩa 5.1
Cho tập mở U trong ¡ 2 . Khi đó ánh xạ

r :U

En

u, v a r u , v
khả vi được gọi là mảnh tham số.
Định nghĩa 5.2
Tập con S của E n được gọi là một mảnh hình học nếu nó là ảnh của
một dìm, đồng phôi lên ảnh r : U

E n từ một tập mở U trong ¡

2

vào E n .

Khi đó r gọi là tham số hóa của mảnh hình học S .
Định nghĩa 5.4

.

Giả sử trong E 3 với hệ tọa độ afin x1, x 2 , x3 cho tập mở U của ¡ 2 ,

ánh xạ f : U

¡ , u, v a f u, v khả vi.

Khi đó tập

S

E 3 \ u, v

u, v, f u, v

là mảnh hình học ứng với tham số hóa r : U

U

E 3 , u, v a

u, v, f u, v .

Và r được gọi là tham số hóa kiểu đồ thị của mảnh hình học S .

13


Định nghĩa 5.5 (xem [2] tr.152)

S là một tập con của E n . Tập con của S gọi là mở trong S nếu nó là
giao của S với một tập mở trong E n . Với p S , mọi tập con của S chứa một
tập mở trong S chứa p gọi là một lân cận của p trong S .
Tập con không rỗng S của E n được gọi là đa tạp 2- chiều trong E n nếu
với mỗi p S có lân cận mở (của p trong S ) là một mảnh hình học.
Khi đó tham số hóa của mảnh hình học này được gọi là tham số hóa địa
phương của đa tạp 2- chiều S .

Chương này chúng ta đã đưa ra những khái niệm, định lý mang tính
chất chuẩn bị và làm cơ sở cho viêc tìm hiểu về ánh xạ Weingarten và một số
vấn đề liên quan ở chương sau.

14


Chương 2 ÁNH XẠ WEINGARTEN
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Trong chương này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu một cách kỹ lưỡng hơn
về ánh xạ Weingarten và những vấn đề liên quan đến nó. Đầu tiên là về ánh
xạ Weingarten.

§1

ÁNH XẠ WEINGARTEN

1.Cơ sở lý thuyết về ánh xạ Weingarten
1.1.Phép tính vi phân trên đa tạp 2- chiều
a, Ánh xạ khả vi
Định nghĩa 1.1.1

Cho S là đa tạp 2- chiều trong E 3 . Khi đó ánh xạ
j:S

E3

pa p

được gọi là phép nhúng chính tắc.
Định nghĩa 1.1.2
Cho tập mở V trong E 3 . Khi đó ánh xạ f : V
j o f :V

S được gọi là khả vi nếu

E 3 là ánh xạ khả vi.

Định nghĩa 1.1.3
Cho tập mở W trong E 3 , ánh xạ g : S
mọi tham số hóa địa r : U

W được gọi là ánh xạ khả vi nếu

S ta đều có g o r : U

15

W là ánh xạ khả vi.


Định nghĩa 1.1.4

Cho S1, S2 là hai đa tạp trong E 3 , ánh xạ h : S1

S2 được gọi là ánh xạ

khả vi nếu thỏa mãn
i, h là ánh xạ liên tục
ii, Với mọi tham số hóa đia phương r1 : U1

r2 U 2 thì r2 1 o h o r1 : U1

h r1 U1

S1 , r2 : U 2

S2 mà

U 2 là ánh xạ khả vi.

Định nghĩa 1.1.5
Ánh xạ khả vi f : S1

g : S2

S1 sao cho g o f

S2 được gọi là một vi phôi nếu có ánh xạ khả vi
id S1 và f o g

id S2 .

* Ví dụ
i. idS : S

S

là một vi phôi

pa p

ii. Nếu f : S1

S2 , g : S2

S3 là hai ánh xạ khả vi thì g o f : S1

S3

cũng khả vi.
b, Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp
Định nghĩa 1.1.6
Cho S là đa tạp 2- chiều trong E 3 . Với

ur

là một vectơ của không gian

vectơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp xúc của S tại p , ta định nghĩa
ur
là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p .
Tp S

p
,
p
Việc đặt tương ứng mỗi p S với một vectơ X p
một trường vectơ X trên S .

16

Tp E 3 được gọi là


Trường vectơ X hoàn toàn được xác định bởi hàm vectơ trên S
uur
uur
uur
p, X p .
X : S E3 , p a X p mà X p
Hàm vectơ này được gọi là hàm vectơ khả vi nếu với mọi tham số hóa địa
uur
phương r : U S ta đều có X o r : U E 3 là hàm vectơ khả vi.
uur
Trường vectơ X được gọi là khả vi nếu X khả vi.
Định nghĩa 1.1.7
Cho J là một khoảng mở trong ¡ , S là một đa tạp 2- chiều trong S . Khi
đó ta gọi mỗi ánh xạ khả vi

:J

ta
Ta ký hiệu

jo

j

S

t a

E3

là một cung tham số trên S .

t

' t0 một cách đơn giản là

những cung tham số nói trên thỏa mãn

t0

' t0 thì Tp S gồm tất cả
uur
ur
uur
p và ' t0
( ' t0

nằm trong mặt phẳng tiếp xúc).
Nói cách khác nếu

:J
t0

p

p,

ur

Tp S thì luôn tồn tại cung tham số

S với J là một khoảng mở trong ¡ , t J và
uur
ur
p và ' t0
.

Định nghĩa 1.1.8
Trường vectơ X được gọi là trường vectơ tiếp xúc trên S nếu với mỗi
p S thì X p

Tp S .

17


c. Đa tạp 2- chiều định hướng được trong E 3
Định nghĩa 1.1.9
Một hướng trên đa tạp 2- chiều trong E 3 là việc đặt tương ứng mỗi điểm

p S một hướng của không gian vectơ thực hai chiều sao cho mọi p0

tồn tại một tham số hóa địa phương r : U

u, v

S , p0 r U

và với mọi

U ánh xạ tiếp xúc của r tại u, v biến hướng chính tắc của ¡

hướng của không gian vectơ Tp S với p

S

2

thành

u, v . Tức là hướng của Tp S được

xác định bởi cơ sở R u , R v .

* Nhận xét : Một đa tạp 2- chiều S trong E 3 là định hướng được khi và chỉ
khi tồn tại một pháp tuyến đơn vị khả vi trên S .
Cụ thể trong tham số hóa địa phương r : U
hướng thì vectơ pháp tuyến đơn vị đó chính là

Ru

Ru

S tương thích với định
Rv
.
Rv

2. Ánh xạ Weingarten
2.1.Định nghĩa (xem [2] tr.181)
Cho S là một đa tạp 2- chiều trong E 3 , S định hướng được bởi trường
vectơ pháp tuyến đơn vị n trên S . Khi đó với mỗi
Tp S , p S ,
ur
, ta xét cung tham số : J
p
,
t thỏa mãn
S, t a
p

t
' t0

p
, t0

Ta gọi D n

J

n o ' là đạo hàm của n theo phương . Đặt p tương ứng
uuuuuuur
với vectơ p, n o ' t0
Tp S ta được ánh xạ Weingarten ký hiệu là hp .

18


h p : Tp S
p

Tp S
a

D n

uuuuuuur
p, n o ' t0

*Nhận xét : hp là một tự đồng cấu của Tp S .
*Chú ý : Khi p thay đổi, ký hiệu chung các hp đó là h . Ánh xạ này đóng
vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình dạng của S trong E 3 nên đôi khi
còn gọi là ánh xạ dạng.
2.2.Tính chất
Tính chất cơ bản : Ánh xạ hp : Tp S
Nghĩa là : Với mọi

,

Tp S là tự đồng cấu đối xứng của Tp S .

Tp S thì hp

hp

.

Chứng minh : (chứng minh này được lấy từ [2] trang 181)
Thật vậy, lấy một tham số hóa địa phương u, v a r u, v

r u, v ta có
uuuuuuur
hp Ru

uuuuuur
n or
u, v
u

nên

uuuuuur
r
n or
r
u, v
u, v
u
v
uuur

2
uuuuuur
r
n or
u, v
u v
r
uuuuuur r
(do lấy đạo hàm theo u hai vế của đẳng thức n o r
0)
v
uuuuuuur uur
hp Ru .Rv

19

S thì tại


Tương tự

uuuuuuur
hp Rv
Nên

uuuuuuur uur
hp Rv .Ru

uuuuuur
n or

u, v
v
uuuuuur
r
n or
r
u, v
u, v
v
u
uuur
2
uuuuuur
r
n or
u, v
u v

Vậy (với giả thiết r khả vi lớp C l , l
hp Ru Rv

Do Ru , Rv

2 ) ta có

Ru .h p Rv

tại mỗi p r u, v là cơ sở của Tp S nên đẳng thức đó

chứng tỏ hp là một tự đồng cấu đối xứng.

2.3.Một số định nghĩa
Mỗi giá trị riêng của hp được gọi là một độ cong chính của S tại p .
Mỗi vectơ riêng của hp thì xác định một phương gọi là phương chính.
Định thức của tự đồng cấu hp gọi là độ cong Gaus tại p của S và được
ký hiệu là K p .
Nửa vết của hp được gọi là độ cong trung bình tại p của S . Ký hiệu là

H p .

*Nhận xét: Vì hp là tự đồng cấu đối xứng của không gian vectơ hai chiều
nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau

-Khả năng 1

hp có hai giá trị riêng thực phân biệt k°1, k°2 k°1 k°2 .

20


ur uur
ur uur
Gọi e1, e2 là các vectơ riêng đơn vị lần lượt ứng với k°1, k°2 thì e1, e2 là

một cơ sở trực chuẩn của Tp S .

ur
h p e1
uur
h p e2

Khi đó

k°1

Định thức của hp là
Suy ra

ur
k°1 e1
uur
k°2 e2

0

K p

k°1.k°2

H p

1 ° °
k1 k2 .
2

0
k°

k°1.k°2

2

-Khả năng 2 hp có một giá trị riêng thực k°1 k°2 k%
ur uur
Gọi e1, e2 là một cơ sở trực chuẩn của Tp S gồm các vectơ riêng ứng với
giá trị riêng k%
.

Tp S :
hp

Ta có

ae1 be2

a, b ¡ .

hp ae1 be2

ahp e1

% bke
% k%
ake
ae1 be2
1
2
là độ cong chính của S tại p .
k%
Mọi phương đều là phương chính.

ur uur
k%0
Ma trận của hp đối với cơ sở e1, e2 là
0 k%
Suy ra

Hay

K p

2
k%

H p

k%

K p

H p

2

21

bhp e2

k%

Định nghĩa
Điểm p S mà tại đó K p

0 được gọi là điểm eliptic.

Điểm p S mà tại đó K p

0 được gọi là điểm hypebolic.

Điểm p S mà tại đó K p

0 được gọi là điểm parabolic.

Điểm p S mà tại đó k°1 k°2 0 thì p được gọi là điểm cầu.
Điểm p S mà tại đó k°1 k°2 0 thì p được gọi là điểm dẹt.
Điểm p S mà tại đó k°1 k°2 thì p được gọi là điểm rốn.

22


§2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ WEINGARTEN
Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một số vấn đề liên quan đến ánh xạ
Weingarten.
1 . Công thức tính toán
1.1.Dạng cơ bản I và II của mặt S
Cho S là một mặt có hướng trong E 3 . Với mỗi p S ta có những ánh
xạ

¡

I p : Tp S Tp S
,

a
¡

II p : Tp S Tp S
,

.

a hp

là những dạng song tuyến tính đối xứng trên Tp S .
Khi đó I p , II p lần lượt được gọi là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S
tại p .
Người ta ký hiệu

Ip

,

Ip

II p

,

II p

và khi p thay đổi ta dùng ký hiệu I và II .
Nếu

r :U

S

u, v a r u , v
là một tham số hóa địa phương của S mà p r u, v
Xét sáu hàm số xác định trên U
uur uur
L
E ru '.ru '

r
uur '
n o r ruu

23

r U .

r
' ur'
n o r .ru
u


F

uur uur
ru '.rv '

G

uur uur
rv '.rv '

M

r
uur ''
n o r ruv

r
' ur'
n o r .rv

N

r
uur ''
n o r rvv

r
' ur'
n o r .rv

r
' ur'

n o r .ru

u

v

v

( với n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định hướng của S )
Thì với X ,Y Tp S :

X

1

Y

1

2

Ru p

2

Ru p

Ta

Rv p

Rv p

luôn

I X ,Y

E or

II X ,Y

L or

1

1 1

1

F or

1 1

1

M or

1

1

có

2

1

2 1

2

G or

2 1

1

N or

2

1

2

2

2

Chúng lần lượt được gọi là biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I và II
trong tham số hóa địa phương đang xét.

E, F , G gọi là các hệ số của biểu thức tọa độ của dang I .
L, M , N gọi là các hệ số của biểu thức tọa độ của dạng II .
*Chú ý : Khi tham số hóa r tương thích với hướng của S thì

uuuur
n or

uur
ru '
uur
ru '

uur
rv '
uur
rv '

1.2.Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình
Lấy một cơ sở

thì
hp

,

K p

ad bc,

hp

K p

của Tp S ; giả sử

H p

hp

a

b

hp

a

b

1
a d , do đó dễ thấy :
2

, hp

hp

24

2H p

.


Lấy tích vô hướng của các vế của đẳng thức đó với
ta có công thức

.
.

.

(chú ý rằng

uur
cho 4 vectơ tùy ý trong E 3

.
.

có hướng), ta được

K p

hp

.

hp

.

hp

.

hp

.

.
.

.
.

.

hp

hp
.

2H p

II
II

,

,

II
II

I
I

,
,

I
I

.

.
hp

.
.
.

,
,
.

.

hp

.

.
.

Trong tham số hóa địa phương

Ru p ,

,
,

u, v a r u , v

của mặt S , lấy

Rv p , tại p r u, v ta có các công thức sau

Độ cong Gauss

K p

Độ cong trung bình

H p

LN M 2
u, v
EG F 2

EN

GL 2 FM

2 EG F 2

u, v

2. Độ cong pháp dạng, công thức Meusnier (Mơ-nhi-ê) và công thức Eule
(Ơle)
2.1.Độ cong pháp dạng
Cho S là một mặt có hướng trong E 3 ,

S có tham số hóa tự nhiên
Vì

' no

0 tức T n o

:J

S, s a

là một cung chính quy nằm trong

s .

0 ( T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc

25

)