Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

LờI CảM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự quan tâm, tạo điều
kiện của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên, khóa luận tốt nghiệp của
em đến nay đã đ-ợc hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô
giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình chỉ bảo, h-ớng dẫn em trong
suốt thời gian làm khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo
trong tổ Đại số nói riêng và khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 nói
chung, sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè đã dành cho em trong quá
trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và trình độ bản thân còn
hạn chế nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong
nhận đ-ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận đ-ợc
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đào Thị Hoài Linh

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

1


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

LờI CAM ĐOAN
Khóa luận Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên
đ-ợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình
của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga.
Em xin cam đoan khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả
khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đào Thị Hoài Linh

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

2


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Mục lục

Mở đầu
Nội dung
CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị
1.1. Đa thức một ẩn ....................................................................................

8

1.2. Nghiệm của đa thức một ẩn .................................................................

9

1.3. Phép chia với d- .................................................................................. 10
1.4. Công thức Viét .................................................................................... 10
1.5. Đạo hàm của đa thức ........................................................................... 12
1.6. Đa thức đồng d- .................................................................................. 12
1.7. Đa thức nhiều ẩn .................................................................................. 14
1.8. Một số tính chất cơ bản của Số học ..................................................... 14
CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức
2.1. Tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức ......................................... 19
2.2. Sự tồn tại nghiệm bội của đa thức ....................................................... 20
CHƯƠNG III: nghiệm nguyên của đa thức nguyên
3.1. Định nghĩa đa thức nguyên, nghiệm nguyên của đa thức nguyên ...... 22
3.2. Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức nguyên ........... 23
3.2.1. Ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d- ............................................ 23
3.2.2. Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của Số học ................................ 25
3.2.3. Ph-ơng pháp đánh giá ...................................................................... 37
3.2.4. Ph-ơng pháp sử dụng bất đẳng thức ................................................ 41
3.2.5. Ph-ơng pháp xuống thang ................................................................ 44
3.2.6. Ph-ơng pháp xây dựng nghiệm ........................................................ 49
3.2.7. Ph-ơng pháp quy về hệ ph-ơng trình bậc nhất, bậc hai.................... 51

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

3


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

3.3. Nghiệm nguyên của một số ph-ơng trình đặc biệt ............................. 59
3.3.1. Ph-ơng trình Điôphăng .................................................................... 59
3.3.2. Ph-ơng trình Pitago .......................................................................... 67
3.3.3. Ph-ơng trình Fermat ......................................................................... 72
Kết luận ............................................................................................... 77
Tài liệu tham khảo ....................................................................... 78

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

4


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Đa thức và các bài toán có liên quan chiếm vị trí quan trọng trong Toán
học, không những là một đối t-ợng nghiên cứu trọng tâm và có nhiều ứng
dụng trong Đại số mà còn là công cụ sắc bén của Giải tích trong lý thuyết nội
suy, lý thuyết tối -u Đặc biệt, các bài toán về nghiệm nguyên là một đề tài
lý thú, đ-ợc đề cập nhiều trong ch-ơng trình toán học phổ thông, trong các kì
thi học sinh giỏi, thi Olympic Quốc tế Có những bài toán chúng ta có thể dễ
dàng tìm ra cách giải, cũng có nhũng bài toán lôi cuốn các nhà toán học
chuyên nghiệp và nghiệp d- hàng thế kỉ. Hơn nữa, trên con đ-ờng tìm cách

giải của các bài toán đó, nhiều lý thuyết toán học mới đã đ-ợc sáng tạo ra với
những kết quả rất quan trọng. Quá trình tìm lời giải cho bài toán Fermat là
một ví dụ điển hình.
Đối với bậc THCS , THPT, các dạng toán về đa thức và nghiệm nguyên
của đa thức cũng đ-ợc đề cập đến, tuy nhiên vẫn ở mức độ sơ l-ợc, ch-a phân
loại đ-ợc các dạng toán cũng nh- ph-ơng pháp giải.
Hiện nay, ng-ời ta đã xây dựng đ-ợc nhiều ph-ơng pháp khác nhau để
giải các bài toán về nghiệm nguyên, bồi đắp cho nó trở thành một trong những
phần toán sơ cấp đẹp và lý thú.
Với lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và đ-ợc sự giúp đỡ tận
tình của cô giáo, Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga, em đã chọn đề tài Đa thức và
bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên làm khóa luận tốt nghiệp với
mong muốn góp phần nhỏ bé làm tăng vẻ đẹp của môn toán thông qua các bài
toán về nghiệm nguyên. Hy vọng khóa luận này sẽ có ích đối với những ai
quan tâm đến đa thức và nghiệm nguyên của đa thức nguyên.

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

5


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

2. Mục đích nghiên cứu
B-ớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về nghiệm nguyên của đa thức nguyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tập trung phân loại, hệ thống các dạng toán về nghiệm nguyên của đa

thức nguyên.
- Các ph-ơng pháp cơ bản để tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình.
- Cách tìm nghiệm nguyên của một số ph-ơng trình đặc biệt.
4. Đối t-ợng nghiên cứu
Nghiệm nguyên của đa thức nguyên.
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- So sánh, phân tích, tổng hợp
- Ph-ơng pháp đánh giá
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
của em gồm ba ch-ơng:
Ch-ơng I : Kiến thức chuẩn bị
Ch-ơng II: Sự tồn tại nghiệm của đa thức
Ch-ơng III: Nghiệm nguyên của đa thức nguyên.

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

6


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

CHƯƠNG I: kiến thức chuẩn bị
1.1. đa thức một ẩn
1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn:
Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị là 1.
Gọi A là tập hợp gồm tất cả các dãy vô hạn

f
trong đó ai

a0 , a1 , ..., an ,...

R , i = 1,2, và các ai = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số i.

Ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân trong A nh- sau:
Giả sử

f

a0 , a1 ,..., an ,...

A

g

b0 , b1 ,..., bn ,...

A

f

g

Khi đó

f .g

a0

b0 , a1

b1 , ..., an

bn ,...

c0 , c1 , ..., cn ,...

trong đó

ai b j với k

ck

0,1,2,...

i j k

Khi đó, A cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán,
có đơn vị là : 1 = (1, 0, , 0,)
Phần tử không của vành này là 0 = (0, 0, , 0,)
Xét ánh xạ f : R
r

A
(r, 0,, 0,)

Ta có f là đơn cấu. Do đó, đồng nhất mỗi r

R với f (r )

A và coi R

nh- vành con của A.
Kí hiệu x = (0, 1, 0, 0,, 0, )

A

Dễ thấy x2 = (0, 0, 1, 0,, 0, )
..

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

7


Khóa luận tốt nghiệp

xn

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

(0,0,...,0,1,0,...)
n

Thế thì với mọi a

R ta có a.x n

(0, 0, ..., 0, a, 0, ...)
n

Khi đó: với mọi f

f

A , tồn tại n sao cho an 1

a0 , a1 , ..., an , ..., 0, 0, ...

an

2

... 0

a1 x ... an x n

a0

1.1.2. Định nghĩa:
Vành A nói trên đ-ợc gọi là vành đa thức của ẩn x ( hoặc biến x ) với
các hệ tử trong R và đ-ợc kí hiệu là R[x]. Mỗi phần tử của R[x] đ-ợc gọi là
một đa thức của ẩn x, th-ờng kí hiệu là f ( x), g ( x)... Đa thức dạng ax n đ-ợc
gọi là một đơn thức.
Giả sử f ( x)

a0

có bậc n và viết deg f ( x)

a1 x ... an x n với an

0. Khi đó, ta nói

f (x)

n.

Phần tử ai đ-ợc gọi là hệ tử thứ i của f (x) , an đ-ợc gọi là hệ tử cao
nhất.

ai x i đ-ợc gọi là hạng tử , a 0 gọi là hạng tử tự do.
Bậc của đa thức 0 đ-ợc quy -ớc bằng

.

1.2. nghiệm của đa thức một ẩn
1.2.1. Định nghĩa nghiệm của đa thức:
Cho K là một vành, A là vành con của K. Phần tử c K gọi là nghiệm
của đa thức f (x) A[x] nếu và chỉ nếu f (c) 0 .
* Định lý: Mọi đa thức f (x) có bậc n 1 trên tr-ờng K đều có không
quá n nghiệm.
1.2.2. Nghiệm bội:
Phần tử c K , K A đ-ợc gọi là nghiệm bội bậc k , k
k
k 1

x c .
thức f (x) A[x] nếu f ( x) x c và f ( x)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

*

của đa

8


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Đặc biệt: Nếu k = 1 thì c đ-ợc gọi là nghiệm đơn.
Nếu k = 2 thì c đ-ợc gọi là nghiệm kép.

1.3. phép chia với d1.3.1. Định lý về phép chia với dCho f ( x), g ( x)

A[x] với A là tr-ờng và g (x)

duy nhất các đa thức q( x), r ( x)

f ( x)

0 . Khi đó tồn tại

A[x] sao cho:

g ( x). q( x) r ( x)

0 thì deg(r ( x)) deg( g ( x)).

Nếu r (x)

1.3.2. Định lý Bezout :
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x c là f (c) .
* Hệ quả:
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó:

f (x) chia hết cho (x - c) khi và chỉ khi c là nghiệm của f (x) .

1.4. công thức viét
1.4.1. Dạng tổng quát:
Cho đa thức f ( x)

a0 x n

Khi đó tồn tại tr-ờng E
là

1

,

2

, ...,

n

. Suy ra : f ( x)

a1 x n 1 ... an 1 x an

K[x] , a0

0.

K sao cho f (x) có n nghiệm trong E , giả sử

a0 x

1

x

2

... x

n

Đồng nhất các hệ tử của f (x) , ta có công thức Viét:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

9


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

1

1

2

2

a1
a0

...

n

3

...

1

1

...

n

n 1

n

a2
a0

...
i1

i2

...

( 1) k

ik

i1 i2 ... ik
i1 ,...,ik 1,...,n

ak
a0

...
1

2

...

( 1) n

n

an
a0

1.4.2. Các dạng th-ờng gặp của công thức Viét:
* Công thức Viét đối với đa thức bậc hai:
Nếu đa thức f ( x)

ax2

bx c (a

x2

b
a

0) có các nghiệm là x1 , x2 thì ta

có:

x1

x1 . x2

c
a

* Công thức Viét đối với đa thức bậc ba:
Nếu đa thức

f ( x)

ax3

bx2

x3

b
a

cx d (a

0) có 3 nghiệm là

x1 , x2 , x3 thì ta có:

x1
x1 x2

x2

x1 x3

x2 x3

x1 x2 x3

d
a

c
a

1.5. đạo hàm của đa thức

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

10


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

1.5.1. Định nghĩa đạo hàm của đa thức

Cho P(x) là đa thức khác không: P( x)

an x n

an 1 x n 1 ... a1 x a0

nan x n 1 (n 1)an 1 x n 2 ... a1 gọi là đạo hàm bậc

Đa thức Q( x)

nhất (hoặc đơn giản là đạo hàm) của đa thức P(x) kí hiệu là P' ( x). Đạo hàm
của đạo hàm bậc nhất P' ( x) gọi là đạo hàm bậc hai, kí hiệu: P" ( x).
* Tổng quát: Đạo hàm bậc k của đa thức P(x) là đạo hàm của đạo hàm
bậc k 1 của đa thức P(x) , kí hiệu: P ( k ) ( x) .
* Chú ý: Đạo hàm của đa thức hằng là đa thức không.
( 0)
* Quy -ớc: ( P( x))

1.

1.5.2. Tính chất:
* Định lý 1: Cho P( x), Q( x) là những đa thức bất kì thuộc A[x] và
K, K

A thì ta có:

P( x) Q( x) ' P' ( x) Q' ( x)
. P ( x) '
. P' ( x)
P( x). Q( x) ' P' ( x).Q( x) P( x).Q' ( x)

* Định lý 2: Với P( x), Q( x) là những đa thức bất kì thì ta có :
n

n 1

P( x) ' n. P( x) . P' ( x)
P Q( x) ' P' Q( x) . Q' ( x)

1.6. đa thức đồng d1.6.1. Định nghĩa:
Cho P( x), Q( x), ( x)

A[x] ,

(x)

0 . Ta nói trong A[x] , đa thức

P(x) và Q(x) đồng d- theo môđun (x) nếu P( x) Q( x)
Kí hiệu : P( x)

( x) .

Q( x) mod ( x) .

1.6.2. Tính chất:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

11

Khóa luận tốt nghiệp
Cho

(x)

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

A[x] ,

(x)

0 . Khi đó:

a, Với mọi đa thức P(x) A[x] , ta có P( x)

P( x) mod( ( x)

b, Với ba đa thức P( x), Q( x), R( x) bất kì thuộc A[x]
Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) và Q( x)
P( x)

R( x) mod ( x) thì

R( x) mod ( x)

c, Với ba đa thức bất kì P( x), Q( x), R( x) bất kì thuộc A[x]
Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) thì P( x). R( x)

Q( x). R( x) mod ( x)

d, Trong A[x] , cho những đa thức bất kì P1 ( x), P2 ( x), ... , Pn ( x) và

Q1 ( x), Q2 ( x), ... , Qn ( x) và U 1 ( x), U 2 ( x), ... , U n ( x) .
Nếu Pi ( x)

Qi ( x) mod ( x) , i 1, 2, ..., n thì
n

n

U i ( x) Pi ( x)
i 1

U i ( x)Qi ( x) mod ( x)
i 1

e, Cho P1 ( x), P2 ( x), ... , Pn ( x) và Q1 ( x), Q2 ( x),...,Qn ( x) là những đa
thức bất kì thuộc A[x]. Nếu Pi ( x)
thì P1 ( x). P2 ( x) ... Pn ( x)

Qi ( x) mod ( x) , i 1, 2, ..., n

Q1 ( x).Q2 ( x) ...Qn ( x) mod ( x)

f, Với hai đa thức P( x), Q( x) bất kì thuộc A[x].

Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) thì P' ( x)

Q' ( x) mod ( x)

g, Với các đa thức P( x), Q( x), F ( x) bất kì thuộc A[x] .
Nếu P( x)

Q( x) mod ( x) thì F P( x)

F Q( x) mod ( x)

1.7. đa thức nhiều ẩn

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

12


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

* Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn:
Xây dựng bằng ph-ơng pháp quy nạp:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Ta xây dựng đ-ợc vành đa thức một
biến R1 = R[x] là vành đa thức một biến x. Khi đó, R1 là vành giao hoán có
đơn vị. Xây dựng đ-ợc vành đa thức R2 = R1[x] .
Lặp lại quá trình trên n lần, ta đ-ợc vành đa thức n biến R[x1, x2, , xn]

R[x1 , x2 , , xn] = R[x1 , x2 , ,xn-1 ][xn]
Kí hiệu (i) = (i1 , i2 , , in)
x(i) = xi1.xi2 xin
Mọi f ( x1 , x2 , ..., xn )

f ( x1 , x2 , ..., xn )

R[x1 , x2 , , xn] ta có:

a( i) x (i) với ai

R và có hữu hạn a(i)

0.

Khi đó biểu thức xi1.xi2 xin đ-ợc gọi là một đơn thức.
Số i1 + i2 + + in đ-ợc gọi là bậc của đơn thức.
R[x1 , x2 , , xn] \ {0} là số lớn

Bậc của đa thức f ( x1 , x2 , ..., xn )
nhất trong các bậc của các đơn thức có a(i)

0. Kí hiệu: deg f x1 , x2 ,..., xn .

1.8. một số tính chất cơ bản của số học
1.8.1. Tính chia hết trong tập hợp số nguyên:
* Định nghĩa 1:
Cho 2 số nguyên a và b, với b

a

0. Nếu có một số nguyên q sao cho

b.q thì ta nói rằng b chia hết a hay b là -ớc của a và kí hiệu là b | a.
Ta cũng nói a chia hết cho b hay a là bội của b và kí hiệu là a Mb.
* Tính chất:
+) Nếu a, b nguyên d-ơng và a Mb thì a
+) Nếu ai Mb (

b.

i = 1, n ) thì ( a1 + a2 + + an ) Mb.

+) Định lý về phép chia với d-:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

13


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Cho các số nguyên a và b, với b

0 . Khi đó luôn có các số nguyên q, r

duy nhất sao cho:
a = b.q + r , với 0

r

b

1.8.2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và Bội chung nhỏ nhất (BCNN):
Cho a1, a2 , , an là các số nguyên
* Định nghĩa 2:
+) Một số nguyên đ-ợc gọi là -ớc chung của các số a1, a2 , , an nếu
nó là -ớc của mỗi số đó.
+) Nếu d là một -ớc chung của a1, a2 , , an và mọi -ớc chung của
a1, a2 , , an đều là -ớc của d thì d đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất (ƯCLN)
của a1, a2 , , an .
Kí hiệu: d = ( a1, a2 , , an ).
* Định nghĩa 3:
+) Một số nguyên đ-ợc gọi là bội chung của các số a1, a2 , , an nếu
nó là bội của mỗi số đó.
+) Nếu m là một bội chung của a1, a2 , , an và mọi bội chung của
a1, a2 , , an đều là bội của m thì m đ-ợc gọi là bội chung nhỏ nhất (BCNN)
của a1, a2 , , an .
Kí hiệu: m = [ a1, a2 , , an ].
* Tính chất:
Cho a và b là các số nguyên.
+) (a, b) . [a, b] = a.b
+) Cho m

, m 0 . Khi đó:
(ma, mb) = m(a, b)
[ma, mb] = m[a, b]

+) Với mọi số nguyên a, b luôn tồn tại các số nguyên x, y sao cho :
ax + by = (a, b)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

14


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

+) Hai số a, b đ-ợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a, b) = 1.
Cho a, b, c là ba số nguyên d-ơng sao cho ab Mc , nếu (a, c) =1 thì
b Mc.
+) Hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau.
+) Giả sử (a, b) Md , d

a b
,
d d

thì:

1
a, b
d

1.8.3. Thuật toán Ơclit ( Tìm Ước chung lớn nhất của hai số nguyên)
* Chú ý:

Cho các số nguyên a, b, q, r
Nếu a = b.q + r thì (a, b) = (b, r)
+) Nếu b | a thì (a, b) = b.
+) Nếu tr-ờng hợp trên không xảy ra thì ta có các hệ thức sau đây biểu
thị một dãy các phép chia có d-:
a = b. q0 + r1

0 < r1 < b

b = r1 . q1 + r2

0 < r2 < r1


rn-2 = rn-1 . qn-1 + rn

0 < rn < rn-1

rn-1 = rn . qn
Dãy phép chia có d- liên tiếp này gọi là Thuật toán Ơclit thực hiện trên
hai số nguyên a và b. Dãy này là hữu hạn và thuật toán Ơclit phải kết thúc với
một số d- rn+1 = 0.
Theo chú ý trên ta có:
(a, b) = (b, r1) = = (rn-1 , rn ) = rn
1.8.4. Đồng d-:
* Định nghĩa 4:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

15

Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

Cho hai số nguyên a và b. Ta nói rằng a đồng d- b theo môđun m ( ở
đây m là số nguyên d-ơng) khi và chỉ khi (a b) Mm .
Kí hiệu: a

b (mod m).

* Tính chất:
+) Quan hệ đồng d- là một quan hệ t-ơng đ-ơng trong .
+) Nếu ai

bi ( mod m), i = 1, 2, , n thì ta có:

n

n

k .ai
i 1

+) Nếu ai

k .bi mod m

, với k =

1.

i 1

bi ( mod m), i = 1, 2, , n thì ta có:
n

n

ai
i 1

bi mod m
i 1

+) Giả sử a, b, c, m (m > 0) là các số nguyên.
Nếu (c, m) = 1 và ac

bc ( mod m) thì a

b ( mod m).

+) Giả sử a, b, m1 , m2 , , mk là các số nguyên ( mi > 0 ,

i = 1, k )

Đặt: m = [m1 , m2 , , mk ]
Nếu a

b ( mod mi ),

i = 1, k thì a

b ( mod m).

1.8.5. Số nguyên tố:
* Định nghĩa 5:
Số tự nhiên p đ-ợc gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai -ớc tự nhiên là
1 và p.
* Định lý Ơclit: Tồn tại vô hạn số nguyên tố.
* Định lý cơ bản về mối liên hệ giữa tính chia hết và số nguyên tố:
Giả sử a và b là hai số nguyên d-ơng còn p là số nguyên tố sao cho

ab p . Khi đó a p hoặc b p .
1.8.6. Một số định lý của Số học:
* Định lý cơ bản của Số học

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

16


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

0, 1). Khi đó n luôn biểu diễn đ-ợc một cách

Cho n là số nguyên ( n

duy nhất (không tính đến việc sắp xếp thứ tự các nhân tử) d-ới dạng sau:

n
Trong đó: k,

p1 . p2 ... pk
1

i

2

k

(i = 1, k ) là các số tự nhiên và pi (i = 1, k ) là các số

nguyên tố thỏa mãn : p1 < p2 < < pk .
Khi đó, dạng phân tích trên đ-ợc gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của
số nguyên n.
* Định lý Ơle : Nếu a

a
Trong đó:
cùng nhau với m (

( m)

, m là số nguyên d-ơng và (a, m) = 1 thì :

1 (mod m)

(m) là số các số nguyên d-ơng nhỏ hơn m và nguyên tố
(m) gọi là hàm Ơle của m ).

* Định lý Fermat:
Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên tùy ý thì a p
Nếu (a, p) = 1 thì a p 1

a p

1 mod p

* Định lý Wilson:
Số p là số nguyên tố thì ( p - 1)! + 1 chia hết cho p.
* Định lý Fermat - Ơle:
Nếu p = 4k + 1 thì tồn tại các số nguyên d-ơng a, b sao cho
p = a2 + b2

CHƯƠNG II: sự tồn tại nghiệm của đa thức

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

17


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

2.1. tính chất về sự tồn tại nghiệm của đa thức
* Định lý 1:
Một đa thức bậc lẻ với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.
* Định lý 2:
Cho f (x)

R[x] . Nếu số phức

là nghiệm của f (x) thì số phức liên

cũng là nghiệm của f (x) .

hợp với nó là

* Định lý 3:
Mọi đa thức f ( x)

a0 x n

a1 x n 1 ... an 1 x an

đều có thể biểu diễn d-ới dạng: f ( x)
đó

1

,

2

, ...,

n

a0 x

1

x

A[x] với a0

... x

2

n

0

. Trong

là các nghiệm của đa thức trong tr-ờng mở rộng K của A.

* Định lý Bezout :
Cho f (x)

A[x], với A là một tr-ờng và c là phần tử thuộc A. Khi đó

d- trong phép chia f (x) cho x

c là f (c) .

* Định lý DAlembert:
Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức.
Chứng minh
[x], deg( f ( x))

Giả sử f (x)

f ( x) a0 a1 x ... an xn ,
f ( x)

i 1, n , an

0.

a1 x ... an x n , a i liên hợp với ai

a0

Xét đa thức g ( x)
Ta có: g ( x)

0

b0

i 1, n

f ( x). f ( x) .

b1 x ... b2 n x 2 n , với bk

ai a j ,

k

0,2n

i j k

Vì

bk

ai a j

bk

i j k

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

18


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

nên các hệ số bk là các số thực.
Mà mọi đa thức bậc lớn hơn không với hệ số thực có ít nhất một
nghiệm phức nên có ít nhất z

p qi thỏa mãn g ( z )

Suy ra f (z )

0 hoặc f ( z ) 0 .

+ Nếu f ( z )

0

a0

a1 z ... an z n

f ( z ). f ( z ) 0 .

0

Lấy liên hợp hai vế, ta đ-ợc:

a0 a1 z ... an z n

0

Tức là f (z )

0 hay z là nghiệm của f ( x ) .

+ Nếu f (z )

0 thì z là nghiệm của f ( x ) .

Nh- vậy, hoặc z hoặc z là nghiệm của f ( x ) .
* Định lý Roll:
Nếu đa thức f (x)
tồn tại c

A[x] liên tục trên đoạn [a, b] và f (a). f (b) < 0 thì

( a, b ) để f (c)

0.

2.2. sự tồn tại nghiệm bội của đa thức
* Định lý 1 (Định lý cơ bản):
Mọi đa thức f ( x ) bậc n 1 trên tr-ờng số phức ( hay thực ) đều có
đúng n nghiệm phức ( kể cả bội ).
* Định lý 2:
Cho f ( x), g ( x)

K[x], K là tr-ờng, deg( g ( x))

m và g ( x) có đúng

m nghiệm trong K. Khi đó f ( x) Mg ( x) khi và chỉ khi f ( x)

0 hoặc mọi

nghiệm của g (x) đều là nghiệm của f ( x ) và mọi nghiệm bội bậc k của

g ( x) đều là nghiệm bội bậc k của f ( x ) với k

k.

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

19


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán
Chứng minh:

Giả sử f ( x) Mg ( x)
Khi đó: f ( x)

g ( x).h( x)

là một nghiệm bội k của g ( x) thì g ( x)

Nếu

f ( x)

k

x

x

k

.q( x)

.q( x).h( x)

là một nghiệm bội k của f ( x) (k '

k) .

Ng-ợc lại,
+ Nếu f ( x)

0 thì hiển nhiên f ( x) Mg ( x)

+ Nếu mọi nghiệm của g ( x) đều là nghiệm của f ( x ) và mọi nghiệm
bội bậc k của g ( x) đều là nghiệm bội bậc k ' của f ( x ) với k' k
Giả sử g ( x) có các nghiệm là

1

,

2

, ... ,

m

(*).

với số bội t-ơng ứng là

k1 , k2 ,..., km .
Khi đó:

g ( x)

k1

a x

1

k2

x

2

km

... x

n

(a là hệ tử lớn nhất của g ( x) )
Từ (*) ta có:

f ( x)
Do ki'

ki

a x

k '1
1

i 1, m nên

x

k '2
2

... x

k 'm
n

.h( x)

f ( x) Mg ( x) .

CHƯƠNG III: nghiệm nguyên của đa thức nguyên

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

20


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

3.1. định nghĩa đa thức nguyên và nghiệm nguyên của
đa thức nguyên
* Định nghĩa 1:
Đa thức f ( x)

a0 x n

a1 x n 1 ... an 1 x an

[x] với a0

0 đ-ợc

gọi là đa thức nguyên.
* Định nghĩa 2:
Cho đa thức f ( x)
Số

a0 x n

a1 x n 1 ... an 1 x an

thỏa mãn f ( )

[x] với a0

0.

0 đ-ợc gọi là nghiệm nguyên của đa thức

nguyên f ( x).
* Một số kết quả:
1. Mọi nghiệm nguyên của đa thức với hệ số nguyên là -ớc của số hạng
tự do.
2. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên có hệ số cao
nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
3. Nếu

1 là nghiệm nguyên của đa thức nguyên f ( x ) thì

f (1)
và
1

f ( 1)
đều nguyên.
1
4. Cho

f ( x)

là đa thức với hệ số nguyên. Nếu các số

f (0), f (1),..., f (m 1) đều không chia hết cho m ( với m là số nguyên d-ơng
cho tr-ớc, m 2 ) thì ph-ơng trình f ( x)

0 không có nghiệm nguyên.

5. Cho f ( x ) là đa thức với hệ số nguyên. Nếu f (0) v f (1) là những
số lẻ thì ph-ơng trình f ( x)

0 không có nghiệm nguyên.

3.2. Một số ph-ơng pháp tìm nghiệm nguyên của đa
thức nguyên

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

21


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

3.2.1. Ph-ơng pháp sử dụng đa thức đồng d* Ph-ơng pháp chung: Sử dụng các tính chất của đồng d- thức để giải các
ph-ơng trình nghiệm nguyên.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:
x3

y3

z3

2003 4

Giải:
Với a

, ta có

a 0 mod 3 hoặc a 1 mod 3 hoặc a
1 mod 3 .
1 mod 9 ,
Suy ra a 3 0 mod 9 hoặc a 3 1 mod 9 hoặc a 3
với a
.
Nh- vậy với mọi x, y, z

x
hay

3

x3

y

3

y3

z

3

z3

0, 1, 2, 3, 1, 2, 3 (mod9)

(1)

0, 1, 2, 3, 6, 7, 8(mod9)

5 (mod9) nên 2003 4

Mặt khác 2003
hay 20034

ta có

625 (mod 9)

4 (mod9)

(2)

Từ (1) và (2) , ta suy ra ph-ơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ph-ơng trình

x15

y15

z15 192003 72003 92003

(1)

không có nghiệm nguyên.

Giải:
2003
Ta có: 19 1 mod 9 nên 19

1 (mod 9)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

(2)

22


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

2003
2 (mod 9) nên 7

Lại thấy: 7

Mặt khác: ( 2) 2003
Do 23

( 2).22002

Khi đó: ( 4) 23

667

667

( 2). 23

667

23

1(mod9)

( 2)2003 (mod 9) .

.2 ( 4). 23

667

1(mod 9)

4 (mod9) , nên ta có:

7 2003

4 (mod 9)

(3)

Từ (2) và (3) suy ra:

192003 72003 92003

5 (mod 9)

(4)

Vì lập ph-ơng một số tự nhiên khi chia cho 9 chỉ có thể cho các số d- là
0, 1 hoặc -1 nên với mọi x, y, z nguyên ta có:

x15
15
Do đó, x

y15

y15

z15

x5

3

y5

3

z5

3

z15 khi chia cho 9 có thể d- 0, 3, 1, -3 hoặc -1.

Kết hợp với (4) suy ra ph-ơng trình (1) không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên:

x14

x24 ... x144 1599

(1)

Giải:
Với mọi a
+ Nếu a chẵn thì a
+ Nếu a lẻ thì a

a4

2k 1

4
Suy ra a

2k

a4

2k

4

16k 4

a4

0 (mod 16)

2k 1 .
4

16k 4

32k 3

8k (3k 1) 1

1 (mod 16)

Nh- thế, với mọi a
thì
a 4 0 (mod 16)

a4

1 (mod 16)

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

23


Khóa luận tốt nghiệp

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán
, i = 1, 2, , 14 thì:

Từ đó suy ra với mọi xi

x14
trong đó, m

x24 ... x144

m (mod 16)

0, 1, 2, ...,14 .

Mặt khác: 1599 15 (mod16) .
Do đó, ph-ơng trình (1) không có nghiệm nguyên.
* Bài tập áp dụng:
1. Giải ph-ơng trình sau trên tập số nguyên:

x14

x24 ... x74 1992

2. Chứng minh rằng ph-ơng trình sau không có nghiệm nguyên:

x2

y2

8z 6

Gợi ý: Xét d- 2 vế khi chia cho 8

3.2.2.Ph-ơng pháp sử dụng các tính chất của số học
* Ph-ơng pháp chung:
Sử dụng một số tính chất của số học để giải các bài toán nghiệm
nguyên:
3.2.2.1. Dùng tính chất chia hết

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình:

7( x

y) 3 x 2

xy

y2

(1)

Giải:

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

24


Khóa luận tốt nghiệp

u
v

Đặt

x
x

Đào Thị Hoài Linh K33B SP Toán

u v
2
u v

2

x

y
y

thế thì ta có

y

(2)

Thay (3) vào (2) ta đ-ợc

u v
7
2

u v
2

3 u2

28u
Suy ra 28u

u v
3
2

2

u v
2

u v
2

u v
2

2

3v 2

(3)

u 3 (do (28,3) = 1 )

3

u = 3k , k
Thay u = 3k vào (3) ta đ-ợc: 28k
Suy ra k 3

3 3k 2

v2

(4)

k = 3m , m

Thay vào (4) , ta đ-ợc:
27m 2

28m

0

v2

m 27m 28

v2

0

28
27

m
m 0
m 1

Nếu m

0

u

v

Nếu m 1

u

9, v

0

x
1

0, y
x

0
4, y

5

hoặc

x

5, y

4

Kết luận: Vậy ph-ơng trình đã cho có các nghiệm nguyên là

0,0 ; 4.5 ; 5,4

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của ph-ơng trình sau:

x

y

xy

Đa thức và bài toán nghiệm nguyên của đa thức nguyên

(1)

25