Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian rn, lp, lp (p=1)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.26 MB, 56 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích hàm là một ngành toán học đƣợc xây dựng vào khoảng nửa
đầu thế kỉ XX, hiện nay đã đƣợc xem nhƣ ngành toán trọng điểm. Nội dung
của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng
một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phƣơng trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ đƣợc
nội dung hết sức phong phú, gồm
- Lý thuyết không gian trừu tƣợng ( Không gian mêtric, không gian
định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô..).
- Lý thuyết toán tử tuyến tính.
- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng
phƣơng trình toán tử.
- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên.
Những phƣơng pháp, kết quả mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm
đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến
công cụ giải tích và không gian vectơ. Ngoài ra nó còn ứng dụng trong vật lý
lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này
bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài
“Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian R n ,
l p , Lp p 1 ,”. Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về các
không gian hữu hạn và các không gian vô hạn chiều mà cụ thể là các không
gian R n , l p , Lp p 1 . Từ đó thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích, sự
khác nhau của chúng trên không gian khác nhau, xét khía cạnh khác nhau
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
1
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Nội dung khoá luận gồm 4 chƣơng
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian R n .
Chương 3: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian l p p 1 .
Chương 4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian Lp p 1 .
Do thời gian và năng lực có hạn, mặc dù em đã rất cố gắng trong quá trình
nghiên cứu nhƣng đề tài không tránh khỏi những sai sót, em rất mong sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên giúp cho khoá luận của em
thêm hoàn thiện.
Ngày 09 tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Nhuệ
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
2
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Độ đo và tích phân
_đại số
1.
Môt họ f những tập con của X gọi là một
a) X,
-đại số nếu:
f
b) F kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm đƣợc về tập hợp.
Hay một lớp f là một
-đại số khi và chỉ khi f ≠
và thoả mãn:
i
U A f.
a) Ai f (i=1,2,...)
i
i 1
Ac
b) A f
X \ A f.
2. Độ đo
Giả sử f là một
-đại số những tập con của tập X
Hàm số
:f
[0,+ ) đƣợc gọi là độ đo trên f nếu thoả mãn
A
0
A f.
a)
0
b)
c)
là
-cộng tính.
Tức là: nếu A1 , A2 ,... là họ đếm dƣợc các tập hợp thuộc f, đôi một không giao
nhau thì
U An
n 1
An
n 1
3. Không gian độ đo
Bộ ba (X, f,
) trong đó f, là một
- đại số,
là 1 độ đo trên f, X là
1 tập hợp gọi là không gian độ đo.
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
3
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
4. Hàm số đo được
Giả sử ( X, f ) là không gian đo với f là 1
:
f nếu
R :{x
a
gọi là đo đƣợc trên A đối với
R R ¡
A f, hàm:
- đại số các tập con của X,
f.
A:f(x)< a}
+ Nếu trên f có độ đo
- đại số
thì f đo đựơc trên A đối với
- đại số f hay
- đo đƣợc.
+ Nếu X
a k , thì ta nói f(x) là đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue
Rk , f
hay: đo đƣợc (L).
+Nếu X = R k , f = a k , (
- đại số Borel trong R k ) thì ta nói f(x) đo
đƣợc theo nghĩa Borel hay f(x) là 1 hàm số Borel.
1.1.2. Không gian tuyến tính trên trường P
Giả sử P là trƣờng số thực hoặc phức, tập
cùng với 2 phép toán
cộng và nhân vô hƣớng:
+ Phép cộng:
x, y a x
y
+ Phép nhân:
,x a
.x
gọi là không gian tuyến tính nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1.
x, y
2.
x, y, z
3.
x
, 0
4.
x
,
5.
6.
,
:x
y
: x
y
y
x.
z
x
y z .
: x 0 x.
x
:x
, x, y
:
, x
:
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
x
x
0.
y
x
x
y.
x
x.
4
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
7.
,
8.
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
, x
1
, x
:
.x
.
x.
: x.1 x.
1.1.3. Không gian định chuẩn
1. Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Ta gọi không gian định chuẩn, mọi không gian tuyến tính X trên trƣờng
P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu
.:
R
xa
x
thoả mãn các tiên đề:
1)
x
2)
x
3)
x, y
: x
0
x
0
,
x 0.
:
: x
y
x
.x.
x
y.
Số x gọi là chuẩn của x. Kí hiệu không gian định chuẩn là X.
2. Hội tụ theo chuẩn
gọi là hội tụ tới phần tử x
Dãy xn
Kí hiệu: lim xn
n
xn
X nếu lim
n
x
0.
x.
3. Dãy cơ bản
Cho không gian định chuẩn X, dãy xn
nếu lim xm
n ,m
xn
đƣợc gọi là dãy cơ bản
0.
4. Không gian Banach
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản đều hội tụ.
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
5
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
5. Toán tử tuyến tính
Cho 2 không gian tuyến tính X và Y trên P, ánh xạ
Y gọi là
:
toán tử tuyến tính nếu A thoả mãn các điều kiện:
1)
x, y
2)
x
:
,
x
y
x
:
y.
x
x.
6. Toán tử tuyến tính bị chặn
Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính
là bị chặn nếu
c > 0, x
X: Ax
c x
Y
X
.
:
Y gọi
1.1
7. Chuẩn của toán tử
Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A là toán tử
tuyến tính bị chặn x , hằng số c nhỏ nhất thoả mãn 1.1 gọi là chuẩn
của toán tử A.
Kí hiệu:
.
8. Không gian liên hợp
Cho không gian định chuẩn X trên trƣờng P, ta gọi không gian các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp của
không gian X.
Kí hiệu
.
Không gian liên hợp
của không gian định chuẩn X là không gian
Banach.
1.1.4. Không gian Hilbert
1. Tích vô hướng
Cho không gian tuyến tính X trên trƣờng P, ta gọi tích vô hƣớng trên
không gian X ánh xạ từ
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
và P, kí hiệu .,. thoả mãn các tiên đề sau:
6
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
1) x, y
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
:
2)
x, y, z
3)
x, y
4)
x
y, x
x, y ; .
X: x
X;
P:
X: x, x
x, x
y, z
x, z
x, y =
y, z ;
x, y ;
0
0
x 0.
2. Không gian Hilbert
Ta gọi
gồm các phần tử x,y,z,…là không gian Hilbert nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trƣờng P.
2) H đƣợc trang bị một tích vô hƣớng.
3)
H là không gian Banach với chuẩn x
x, x
x
.
3. Toán tử liên hợp
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn, ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X đƣợc
gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu
Kí hiệu
x, y
x, y
x
,y Y
.
1.2. CÁC BỔ ĐỀ, ĐỊNH LÝ
1.2.1. Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn
Nếu f n
là một dãy hàm đo đƣợc, hội tụ h.k.n đến một hàm f đo đƣợc
fnd
trên A thì: f khả tích trên A và lim
n
fd .
E
1.2.2. Bổ đề Fatour
Nếu f n x
0 trên A thì lim f n d
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
A n
7
lim f n d .
n
A
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
1.2.3. Định lý 4 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục
Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính
:
Y,
bốn mệnh đề sau tƣơng đƣơng:
1) A liên tục.
2) A liên tục tại 0.
3) A liên tục tại x0
.
4) A bị chặn.
1.2.4. Nguyên lý thác triển Hahn - Banach
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến
tính con
0
của không gian định chuẩn X
0
đều có thể thác triển lên
toàn bộ không gian X với chuẩn bất kì tăng.
Nghĩa là tồn tại một phiếm hàm liên tục F xác định trên toàn bộ không gian
X sao cho:
1)
F x
2)
F
f ( x)
f
x
0
.
.
0
1.2.5. Định lý Riesz
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có
thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng f ( x)
Trong đó, phần tử a
f
x, a , x
H.
H đƣợc xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
a.
1.2.5. Bất đẳng thức Holder.
Nếu a, b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp (tức là
1
p
1
1, 1
q
thì ab
p
ap
p
)
bq
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a p
q
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
8
bq .
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
1.2.6. ( Bất đẳng thức tích phân Holder )
Với hai hàm số bất kì
đo đƣợc trên E là x t , y t ;hai số thực
p,q R
1
p
1
1, 1
q
p
ta có bất đẳng thức sau
x t .y t d
x t
E
p
1
p
d
.
E
y t
q
1
q
.
d
e
1.2.7. ( Bất đẳng thức tích phân Mincovxki)
Cho hai hàm số x t , y t là
đo đựơc trên E và p
p
x t
d
y t
,
E
p
1 sao cho:
d
.
E
Khi đó ta có bất đẳng thức tích phân sau:
x t
y t
p
1
p
d
E
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
x t
p
1
p
p
d
E
y t d
1
p
.
E
9
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
CHƢƠNG 2
DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN
TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R (n
n
1)
2.1. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH R n
Cho tập hợp ¡
{x
¡ ,i
( x1 , x2 ,..., xn ) : xi
1,2,..., n} ta đƣa vào
cộng hai phần tử và g nhân 1 phần tử với 1 số
hai phép toán
1. x
y
xi
x
2.
n
n
yi
x
i 1
n
xi
xi
n
i 1
¡ , x
i 1
,y
xi
yi
n
i 1
¡ n.
n
i 1
¡ n.
* Định lí 2.1.1.
R n đóng đối với hai phép toán trên.
* Định lí 2.1.2.
R n cùng 2 phép toán trên là một không gian tuyến tính.
Chứng minh
Ta chỉ ra rằng hai phép toán định nghĩa trên thoả mãn 8 tiên đề của
không gian tuyến tính.
1.
x
n
xi
, y
1
i
xi
ta có
x
y
yi
y
yi
yi
n
i
¡
1
xi
n
i
1, n
x
( Tiên đề 1 thoả mãn ).
x
2.
xi
ta có xi
x
y
yi
n
i
,
y
zi
xi
1
z
x
yi
yi
n
i
zi
1
,
z
zi
i
n
i
1
¡
n
1, n
y z
(Tiên đề 2 thoả mãn ).
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
10
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
3. Xét phần tử
0, 0,
ta có 0 x i xi
0
x x
,0
¡ n,
i
1, n
xi
x
n
xi
i
1
¡
n
x
( Tiên đề 3 thoả mãn ).
4.
x
n
xi
i
¡ n , tồn tại phần tử
1
Ta có xi
xi = 0
x
x
i
xi
n
i
1
¡
n
1, n
x
( Tiên đề 4 thoả mãn ).
5. x
n
xi
i
¡ n,
1
ta có
,
xi
R
xi
x
i
1, n
i
1, n
x
( Tiên đề 5 thoả mãn).
x
6.
n
xi
i
¡ n,
1
xi
ta có
xi
x
¡
,
xi
x
x
( Tiên đề 6 thoả mãn).
7. x
n
xi
ta có:
i
xi
x
¡ n, y
1
yi
y
yi
xi
x
n
i
1
¡ n,
R
yi
i
1, n
y
( Tiên đề 7 thoả mãn ).
8.
x
xi
1.xi
n
i
¡
1
n
ta luôn có
xi ( 1 là đơn vị của R )
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
11
i
1, n
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
1.x x
( Tiên đề 8 thoả mãn ).
Vậy R n là một không gian tuyên tính thực với hai phép toán cộng và
nhân xác định trên.
2.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN R n
Trên không gian R n ta xét ánh xạ
. : Rn
x
R
n
n
xi
a
i 1
x
xi
2
i 1
khi đó . là một chuẩn ( gọi là chuẩn Euclide).
Chứng minh
Ta chỉ ra rằng . thoả mãn 3 tiên đề xác định chuẩn.
x
1.
n
xi
i
n
xi
2
i
¡
1
0
x
n
ta có
0
1
n
x
0
xi
i
x
2
0
xi
0
i 1, n
1
0
( Tiên đề 1 thoả mãn ).
2.
x
xi
n
i
¡ n,
1
n
x
xi
i
R ta có
n
2
2
1
xi
i
n
2
xi
1
i
2
x
1
( Tiên đề 2 thoả mãn ).
3.
x
xi
n
i
, y
1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
yi
n
i
1
¡
n
12
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có
n
n
n
xi2
xi yi
i
1
i
yi2
1
n
i
1
n
xi2
n
2
i 1
n
n
yi2
xi yi
i 1
xi2
i 1
i 1
n
xi2
2
i 1
n
yi2
i 1
yi2
i 1
2
n
xi
n
2
yi
n
2
i
2
i
x
i 1
y
i 1
n
xi
n
2
yi
n
xi2
i 1
x
i 1
yi2
i 1
y
x
i 1
y
( Tiên đề 3 thoả mãn ).
Vậy R n là một không gian định chuẩn với chuẩn Euclide xác định trên.
* Định lí 2.2.1.
Hai chuẩn bất kì trên không gian véctơ n chiều ¡ n tƣơng đƣơng nhau.
Chứng minh
Ta chỉ cần chỉ ra rằng một chuẩn bất kì p đều tƣơng đƣơng với chuẩn
Euclide là đƣợc. Xét chuẩn
p : ¡
¡
n
x a p x
Giả sử e1 , e2 ,..., en là cơ sở chính tắc của không gian tuyến tính R n .
Khi đó
x
xi
n
i
¡
1
n
có biểu diễn dạng x
xi ei .
i 1
n
Ta có p x
n
p
ei xi
i
xi p ei
1
i
n
n
p ei
i
n
1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
xi
i
1
2
C1 x
2.1
1
13
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
n
Với C1
p ei
i
Gọi S
n
2
1
p ei
i
2
1
1 . Đặt
x ¡ n/ x
Ta chứng minh đƣơc rằng
inf
p x
x S
>0
Thật vậy. Theo định nghĩa về cận dƣới đúng. Tồn tại dãy xk
lim
p xk
k
Vì xk
k
k
S sao cho
.
S
xk
x
1
k
bị chặn trong .
k
Theo định lý Bolzano- Weierstrass tồn tại dãy con xk
l
l
của dãy xk
k
hội tụ theo chuẩn . tới a Rn .
Do tính liên tục của ánh xạ chuẩn nên ta có xk
a
l
Vì xk
1 ( l)
l
a
1
a
l
S, a
Mặt khác
p xk
p a
l
Vì thế
lim
p xk
k
Giả sử x
Với C2
a
l
lim
p xk
l
l
C1 xk
l
p a
a
l
0
0
bất kì trong R n .Ta có
x
x
p
p xk
1
x
x
1
x
x
S
x
1
p x
C2 p x
.
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
14
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Vậy chuẩn p tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide. Do p là chuẩn bất kì nên
mọi chuẩn trong R n đều tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide. Do đó hai chuẩn bất
kì trong R n luôn tƣơng đƣơng.
2.3. KHÔNG GIAN BANACH R n
* Định lí 2.3.1.
Không gian định chuẩn R n là không gian Banach.
Chứng minh
Do hai chuẩn bất kì trong R n đều tƣơng đƣơng nên ta chỉ cần chứng
minh R n là không gian Banach với chuẩn Euclide. Từ đó ta kết luận R n là
không gian Banach với các chuẩn còn lại.
Giả sử
k
k
k 1
là dãy cơ bản bất kì trong không gian R n với
x1 k , x2k ,..., xnk .
Nghĩa là
xj
k
0, k0
x
n
l
j
¥ :
xi k
k
2
xi l
k, l
l
= ξk
ξl < ε
k0
j 1,2,..., n
i=1
x jk
k 1
x j0
là dãy cơ bản trong R
lim
x kj
k
j 1,2,..., n
j 1,2,..., n .
Theo định nghĩa giới hạn với mỗi j = 1, 2, …, n; với mọi
tồn tại k0 j
¥ sao cho với mọi k
Đặt k0
Khi đó
k0 j : x kj
max k01 , k02 ,..., k0 n ,
k0 ta có
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
k
-
0
n
.
x10 , x20 ,..., xn0
0
n
k
x kj
cho trƣớc
k
xi - xi
k0
i 1
15
k0
2
2
n
i 1
n
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
lim
k
Vậy
k
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
0
k
hội tụ trong R n . Do đó R n là không gian Banach.
k 1
2.4. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN
TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R n
¡
n
¡ ,i
{x ( x1 , x2 ,..., xn ) : xi
n ¥
1,2,..., n}
Giả sử trên không gian R n đã xác định một chuẩn . nào đó.
Gọi ei
ei
n
i 1
x
, i 1,2,..., n . Với
ij
1 khi j i
0 khi i j
ij
là cở sở của R n
xi
n
i 1
¡
( ¡
n
n
f
n
là không gian liên hợp của R n )
n
n
xi ei
xi f e
i 1
n
xi f i
i
i 1
fi
f ei ,
i 1,2,...n
i 1
¡ n.
i 1
Ngƣợc lại với mỗi vectơ cố định tuỳ ý f
n
f x
1
R n . Ta có
Với mọi x
fi
xi ei .
i
Lấy phiếm hàm bất kì f
f x
n
khi đó x có biểu diễn dạng x
fi .xi ,
x
xi
i 1
n
i
1
¡
fi
n
i 1
Rn
ta có
n
Dễ dàng thấy f là một phiếm hàm tuyến tính trên R n , hơn nữa f liên
tục.
Thật vậy
1. Giả sử
n
xi2 ,
x
i 1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
x
xi
n
i
16
1
¡
n
.
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
n
n
Ta có f x
n
n
fi 2
xi fi
i 1
xi2
i 1
fi 2 A
x
i 1
i 1
n
fi 2 .
f
(2.2)
i 1
Chọn x0
xi 0
n
i 1
fi
, xi 0
, i 1, n
n
(Do fi
0, i 1,2,..., n )
fi 2
i 1
¡
x0
n
và x0
1
fi 2
n
f x0
i 1
n
fi 2 .
n
i 1
fi 2
i 1
Suy ra
n
sup
f
f x
fi 2 .
f x0
2.3
i 1
x 1
Từ (2.2) và 2.3 ta nhận đƣợc f
n
fi 2 .
2.4
i 1
Bất đẳng thức (2.2) chứng tỏ phiếm hàm f bị chặn, do đó f là phiếm
hàm tuyến tính liên tục. Vậy f
¡
n
và chuẩn trên ¡
n
xác định bởi hệ
thức 2.4 .
Do mọi chuẩn trong R n đều tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide nên tính
chất tuyến tính liên tục của f đƣợc bảo toàn với chuẩn p bất kì trên R n .
Kết luận
Vậy dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian R n
n
là:
f x
fi .xi ,
x
i 1
trong đó fi
xi
n
i
1
¡
n
f ei .
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
17
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
CHƢƠNG 3
DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN
TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN
lp
(p
1)
3.1. TRƯỜNG HỢP 1 p < +
3.1.1. Định nghĩa
Tập hợp l p
x
xn
¡ :
/ xn
n 1
p
xn
.
,1 p
n 1
3.1.2. Không gian tuyến tính l p p 1
Với hai phần tử tuỳ ý x
xn
n 1
,y
yn
¡ tuỳ ý ta định
lp ,
n 1
nghĩa 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 phần tử với một số nhƣ sau
1. x
y
xn
x
2.
xn
yn
n 1
n 1
.
.
* Định lí 3.1.1.
l p cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính.
Chứng minh
x
+)
xn
xn
yn
n 1
, y
yn
yn
xn
l p ta có
n 1
xn
yn
p
yn
xn
p
n 1,2,...
3.1
Mặt khác
xn
yn
xn
2max xn , yn
yn
Do đó
n 1
yn
p
p
2 p max xn , yn
2 p . xn
p
yn
p
n 1,2,...
N* ta có
k
k
xn
p
n 1,2,...
k
2
p
xn
p
yn
p
k
2
n 1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
p
xn
n 1
18
p
k
yn
p
n N*
n 1
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
ta đƣợc
Cho k
xn
yn
p
2p
p
xn
n 1
n 1
x
y
xn
+)
x
xn
k
xn
yn
k
p
n 1
n 1
lp.
n 1
¡ ta có
lp ,
n 1
p
p
yn
xn
p
k
p
xn
n 1
p
p
n 1
p
xn
k N*
n 1
ta đƣợc
Cho k
xn
p
p
n=1
xn
p
x
xn
n=1
n=1
lp
Vậy l p đóng đối với hai phép toán cộng và nhân xác định trên.
Ta kiểm tra 8 tiên đề của không gian tuyến tính.
x
1.
xn
xn yn
x
n 1
, y
yn
l p , ta có
n 1
yn xn
y
n 1,2,...
y
x
(tiên đề thứ nhất thoả mãn).
2. x
xn
xn
yn
n 1
,y
yn
zn
xn
x
y
n 1
yn
z
,z
zn
l p ta có
n 1
zn
x
n
y
1,2,...
z
(Tiên đề 2 thoả mãn ).
3. Xét phần tử
0 xn
x
xn
0, 0,
0
x
xn
lp ,
n
x
xn
n 1
l p ta có
1,2,...
x
( Tiên đề 3 thoả mãn ).
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
19
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
4.
x
xn
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
¡ n , tồn tại phần tử
n 1
x
xn
n 1
lp
Ta có
xn
xn = 0
x
n 1,2,...
x
( Tiên đề 4 thoả mãn ).
5. x
xn
n
1
lp ,
,
R
ta có
xn
xn
x
n
1,2,...
x
( Tiên đề 5 thoả mãn).
6. x
xn
n
1
lp ,
xn
R ta có
,
xn
x
x
xn
n 1,2...
x
( Tiên đề 6 thoả mãn).
7. x
xn
xn
n
1
yn
x
lp , y
yn
xn
yn
x
y
y
n
1
lp ,
R ta có
n 1,2,...
( Tiên đề 7 thoả mãn ).
x
8.
1.xn
xn
n
1
l p ta luôn có
xn ( 1 là đơn vị của R )
n 1,2,...
1.x x
( Tiên đề 8 thoả mãn ).
Vậy l p là không gian tuyến tính thực.
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
20
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
3.1.3. Không gian định chuẩn l p
* Bổ đề 3.1.1. ( Bất đẳng thức Holder )
Nếu p, q là cặp số thoả mãn
1
p
x
1
1, 1
q
xn
n
p
lp , y
1
xn yn
yn
l p ta có
1
1
p
p
xn
n 1
n
yn
n 1
1
q
q
.
n 1
Chứng minh
Áp dụng bổ đề 1.2.5
Đặt A
xn
n
p
1
p
,B
yn
1
n
1
q
q
1
Nếu A.B = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.
p
xy
Nếu A > 0, B > 0 thì ta có n n
AB
q
xn
pA p
yn
qB q
Do đó k N* tuỳ ý ta luôn có
k
xn yn
n
k
p
1
n
BA
Cho k
n
p
xn
1
p
n
qB
p
1
q
yn
n
pA
p
p
1
qB q
ta có
n
p
1
n
xn yn
n
1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
xn
n
1
1
p
p
xn
p
1
p
qB q
A.B
n
p
1
pA p
p
xn yn
yn
1
1
Vậy
p
xn
BA
n
yn
1
pA
xn yn
n
k
p
xn
.
yn
1
p
n
1
p
.
yn
n
q
1
1
q
1
q
1
q
1
q
.
1
21
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
* Bổ đề 3.1.2. ( Bất đẳng thức Mincovxki)
x
xn
n
1
lp , y
xn
yn
n
1
p
yn
l p ta có
1
xn
n 1
1
p
p
yn
n 1
1
p
p
,1 p
.
1
1, 1
q
p
n 1
Chứng minh
Ta có x
y lp
xn
yn
x, y l p
p -1 q
n 1
xn
p
yn
1
p
với
n 1
hay xn
yn
p -1
n 1
lp .
Ta có
xn
yn
p
xn
n 1
yn
p -1
xn
3.2
yn
n 1
Mặt khác áp dụng bổ đề 3.1.1 ta có
xn
yn
p -1
xn
xn
n 1
p -1 q
yn
1
q
xn
n 1
xn
xn
yn
yn
1
q
p
xn
1
p
p
3.3
n 1
yn
xn
n 1
1
p
n 1
n 1
p -1
p
p -1 q
yn
1
q
yn
n 1
xn
p
1
p
n 1
yn
1
q
p
n 1
yn
1
p
p
3.4
n 1
Từ 3.2 , 3.3 , 3.4 suy ra
xn
yn
n 1
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
1
p
xn
p
1
p
n 1
yn
p
1
p
.
n 1
22
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
* Định lí 3.1.2.
Không gian l p cùng với ánh xạ xác định bởi công thức sau xác định
một không gian định chuẩn.
x
xn
1
p
p
x
xn
n 1
n
lp .
1
Chứng minh
Ta kiểm tra 3 tiên đề xác định chuẩn
1. x
xn
n
lp , x
1
xn
p
1
p
0
n 1
x =0
p
xn
1
p
0
xn
n 1,2,...
0
n 1
x
( Tiên đề thứ 1 thoả mãn).
2. x
xn
n
x
lp ,
1
xn
p
R ta có
1
p
p
n 1
xn
p
1
p
xn
n 1
p
1
p
x
n 1
(Tiên đề thứ 2 thoả mãn).
3.
x
x
xn
n
y
1
,y
xn
yn
yn
n
1
l p .Áp dụng bổ đề 3.1.2 ta có
1
p
n 1
xn
p
n 1
1
p
yn
p
1
p
x
y
n 1
(Tiên đề thứ 3 thoả mãn ).
Vậy ánh xạ xác định bởi công thức trên là một chuẩn trên l p .
3.1.4. Không gian Banach l p (1 p < + )
* Định lí 3.1.3.
Không gian định chuẩn l p là không gian Banach.
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
23
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
Chứng minh
Giả sử
n
n 1
là dãy cơ bản bất kì trong l p trong đó:
n
xkn
k 1
lp
Theo định nghĩa dãy cơ bản
hay
0
n0
n
m
xk - xk
¥ : m, n n0
p
n
-
m
1
p
3.5
n 1
n
xk - xk
m
n
xk - xk
1
p
p
m
n
xk - xk
m
1
p
p
k 1,2,...
n 1
xkn
n 1
là dãy cơ bản trong ¡
k 1,2,...
Tồn tại xk sao cho lim xkn
n
từ đó ta thu đƣợc dãy xk
k 1
xk
k 1,2,...
.
Từ 3.5 suy ra với N N* tuỳ ý
N
xkn - xkm
p
1
p
m, n n0 3.6
n 1
Cho m
N
n
xk - xk
m
p
1
p
n n0 .
3.7
n 1
Do 3.7 đúng
N N* . Cho N
Ta có
n
xk - xk
m
p
1
p
n n0 .
3.8
n 1
Từ 3.8 suy ra
x
x
n
n
xk
x
n
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
xkn
k 1
lp
n n0
3.9
lp
24
Lớp K33C-Toán
Khóa luận tốt nghiệp
và x -
Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
n n0
n
hay lim
x
n
n
3.10
Từ 3.9 và 3.10 chứng tỏ l p là không gian Banach.
3.2. TRƯỜNG HỢP p = +
3.2.1. Định nghĩa
l là tập hợp gồm tất cả các dãy số thực bị chặn
l
x
xn
n 1
¡ , sup xn
/ xn
.
1 n
3.2.2. Không gian tuyến tính thực l
* Định lí 3.2.1.
l cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính.
3.2.3. Không gian định chuẩn l
* Định lí 3.2.2.
Không gian tuyến tính l cùng với ánh xạ lập thành một không gian
định chuẩn:
x
¡
. :l
xn
n 1
a
x
sup xn .
n
Chứng minh
Ta kiểm tra 3 tiên đề xác định chuẩn
1.
x
xn
xn
x
n
1
l
0
sup xn
ta có
n 1,2,...
0
n
x
0
sup xn
0
xn
0
n 1,2,...
n
xn
0
SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ
n 1,2,...
25
Lớp K33C-Toán
