Hàm theta và áp dụng của nó đối với bài toán phân tích số nguyền thành tổng các bình phương

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giải
tích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận
tốt nghiệp.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài không
tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành cảm ơn những
ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp "Hàm Theta và áp dụng của nó đối với bài toán
phân tích số nguyên thành tổng các bình phương" được hoàn thành
theo quan điểm riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình làm đề tài, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc


Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. HÀM THETA

16

2.1. Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi

. . . . . . . . .

16

2.2. Luật biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG

BÌNH PHƯƠNG

32

3.1. Định lý tổng hai bình phương . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2. Định lý bốn bình phương

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán biểu diễn một số nguyên n thành tổng bình phương của các
số nguyên cho trước là một trong những vấn đề nổi tiếng nhất trong bộ
môn lý thuyết số. Lịch sử của nó được ẩn chứa trong các công trình của
Diophantus. Thế nhưng, nó thực sự xuất hiện từ các định lý của Girard
và của Fecmat, nói rằng một số nguyên dạng 4m + 1 là tổng của hai bình

phương. Hầu hết các nhà số học đã chú ý tới vấn đề trên đây kể từ khi
Fecmat đưa ra lời giải của bài toán và cho đến nay nó vẫn còn chứa đựng
nhiều điều thú vị xung quanh vấn đề này.
Trở lại đôi chút về lịnh sử của bài toán ai là người đầu tiên phát
hiện ra điều này và khi nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày
25.12.1640), nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) đã gửi thông báo
cho Mersenne, bạn thân của Descartes và là “liên lạc viên” chính của các
nhà bác học đương thời rằng “Mọi số nguyên tố có số dư trong phép chia
cho 4 bằng 1 đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của
hai bình phương”.
Thời đó chưa có các tạp chí toán học, tin tức được trao đổi qua các
lá thư và các kết quả thông thường chỉ được thông báo mà không kèm
theo chứng minh. Gần 20 năm sau, trong bức thư gửi cho Carcavi vào
khoảng tháng 8 năm 1659, Fermat đã tiết lộ ý tưởng của phép chứng minh
định lý trên. Ông viết rằng ý tưởng chính của phép chứng minh là dùng
phương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết rằng định lý không đúng
với p = 4k + 1, suy ra nó không đúng với một số nhỏ hơn và cuối cùng ta
sẽ đi đến số 5, mà khi đó rõ ràng là mâu thuẫn vì 5 = 12 + 22.
Những cách chứng minh đầu tiên được Euler (1707-1783) tìm ra trong
khoảng trong những năm 1742 − 1747. Hơn nữa, để tỏ lòng kính trọng
1


đối với Fecmat, Euler đã tìm ra phép chứng minh dựa theo đúng ý tưởng
trên đây của Fecmat. Vì vậy, người ta gọi định lý này là định lý Fecmat −
Euler.
Vấn đề của tổng hai bình phương và bốn bình phương không giải quyết
được từ trước thế kỷ thứ 3 trước công nguyên cho đến khoảng những năm
1500. Nó chỉ được giải quyết đầy đủ nhờ có lý thuyết của hàm Theta Jacobi. Trong toán học, hàm Theta là một hàm biến phức đặc biệt đóng vai
trò hết sức quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao gồm như: lý thuyết số; lý

thuyết của đa tạp Abel; không gian modul và các dạng toàn phương;. . .
Bởi tầm quan trọng của hàm Theta và được sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Hàm Theta và áp dụng của nó
đối với bài toán phân tích số nguyên thành tổng các bình phương”
để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp ngành Toán.
Khóa luận được bố cục thành ba chương
Chương 1. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức
căn bản về số phức và mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, hàm liên tục,
chuỗi lũy thừa, không điểm và cực điểm.
Chương 2. Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức
quan trọng về hàm Theta. Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra công thức
tích của hàm Theta Jacobi cùng một số luật biến đổi của nó. Tiếp theo,
chúng tôi xây dựng nên dãy hàm sinh nhằm mục đích phục vụ cho việc
trình bày các ứng dụng của hàm Theta trong chương 3.
Chương 3. Chúng tôi trình bày ứng dụng của hàm Theta đối với các
định lý về tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Theta Jacobi: định nghĩa,
tính chất của nó.
- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Theta trong các định lý về tổng hai
bình phương, tổng bốn bình phương.
2


3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu về hàm Theta.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Theta.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, phân tích, so sánh, tổng hợp.

3


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.
1.1.1.

Số phức và mặt phẳng phức
Các tính chất cơ bản

Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà
i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng
nhất với mặt phẳng R2 bởi phép tương ứng
C→R
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.
Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2 )
và
z1 .z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1x2 + ix1y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1x2 − y1 y2 ) + i (x1y2 + y1x2 ) .
Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là
|z| =

x2 + y 2 .

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu là z = x − iy. Không
khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Rez =

z + z¯
z − z¯
; Imz =
2
2i
4


và
|z|2 = z.¯
z;

z¯
1
= 2 với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác định
một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.
Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox
và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta
lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2.

Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn } được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là
w = lim zn ⇔ lim |zn − w| = 0.
n→∞

n→∞

Dễ dàng kiểm tra rằng
w = lim zn ⇔
n→∞

lim Rezn = Rew

n→∞

lim Imzn = Imw

n→∞

Dãy số phức {zn } được gọi là dãy Cauchy nếu
|zn − zm | → 0 khi m, n → ∞.
Điều đó tương đương với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên dương N sao cho
|zn − zm | < ε với mọi n, m ≥ N.

1.2.
1.2.1.

Hàm biến phức
Hàm liên tục

Cho hàm f (z) xác định trên tập Ω ⊂ C. Ta nói rằng f (z) liên tục tại
điểm z0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện tương đương sau
i) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω và |z = z0 < δ|
thì
|f (z) − f (z0 )| < ε.
5


ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ) .
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của Ω.
Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục. Nếu hàm f (z) là
liên tục thì hàm được xác định bởi z → |f (z)| cũng liên tục. Điều đó được
suy ra từ bất đẳng thức tam giác
||f (z)| − |f (z0 )|| ≤ |f (z) − f (z0 )| .
Ta nói rằng hàm f (z) đạt giá trị cực đại tại z0 ∈ Ω nếu |f (z)| ≤ |f (z0 )|,
với mọi z ∈ Ω. Hàm f (z) đạt cực tiểu tại z0 ∈ Ω nếu |f (z)| ≥ |f (z0 )|, với
mọi z ∈ Ω.
1.2.2.

Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f (z) được gọi là chỉnh
hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
, khi h → 0,

h
ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω.

(1.1)

Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại
điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh
hình trên một tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi
là hàm nguyên.
Ví dụ 1.1. Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C
và f (z) = 1. Thật vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
(z + h) − z
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên mặt
phẳng C và
P (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 .
6


1
là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C không
z
1
chứa điểm gốc và f (z) = − 2 . Thật vậy, ta có
z
Ví dụ 1.2. Hàm f (z) =

1
1
−
f (z0 + h) − f (z0 )
= lim z + h z
f (z0 ) = lim
h→∞
h→∞
h
h
1
1
= lim −
= − 2.
h→∞

z (z + h)
z
Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
= .
h
h
h
h
không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ (h) ,

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ (h) = 0. Dĩ nhiên, ta
h→0

có a = f (z).

Từ công thức (1.2) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục.
Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.
Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa khái niệm khả
vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến số. Thực vậy, dưới
dạng biến thực hàm f (z) = z¯ tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả

vi theo nghĩa thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng
của các hàm tọa độ.
Nhớ lại rằng hàm F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) được gọi là khả vi tại một
điểm P (x0, y0 ) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 sao cho
|F (P0 + H) − F (P0 ) − J (H)|
→ 0 khi |H| → 0, H ∈ R2 .
|H|
7

(1.3)


Một cách tương đương, ta có thể viết
F (P0 + H) − F (P0 ) = J (H) + |H| .ψ (H) ,
với |ψ (H)| → 0 khi |H| → 0.
Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất và gọi là đạo hàm của F tại P0 .
Nếu F khả vi thì đạo hàm riêng u và v tồn tại và


∂u ∂u

∂y 
J = JF (x, y) =  ∂x
∂v ∂v 
∂x ∂y

Trường hợp khả vi phức đạo hàm f tại z0 là số phức f (z0). Trong khi đó,

trường hợp khả vi thực thì nó là một ma trận. Tuy nhiên, chúng có mối

quan hệ đặc biệt. Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong biểu thức
(1.1).
• Nếu h = h1 +ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R) thì ta viết z = x+iy, z0 = x0 +iy0
và f (z) = f (x, y). Khi đó, ta thấy rằng
f (x0 + h1 , y0 ) − f (x0, y0) ∂f
=
(z0 ) .
h1 →0
h1
∂x

f (z0 ) = lim
• Nếu h = ih2 thì

f (x0, y0 + h2 ) − f (x0, y0) 1 ∂f
=
(z0 ) .
h2 →0
ih2
i ∂y

f (z0 ) = lim

Do đó, để hàm f chỉnh hình tại z0 thì ta phải có
1 ∂f
∂f
=
.
∂x
i ∂y

Viết f = u + iv, tách phần thực và phần ảo đồng thời sử dụng đẳng thức
1
= −i ta nhận được
i
∂f
1 ∂f
∂u
∂v
1 ∂u
∂v
=
⇔
+i
=
+i
∂x
i ∂y
∂x
∂x
i ∂y
∂y
∂v
∂v
∂u
∂u
+i
=
−i .
⇔
∂x

∂x ∂y
∂y
8


Từ đó, ta ta suy ra

∂v
∂u
∂u ∂v
=
và
=− .
∂x ∂y
∂x
∂y

Chúng ta có thể làm rõ hơn mối quan hệ này, bằng việc xác định hai toán
tử vi phân
∂
1
=
∂z
2

∂
1 ∂
+
∂x i ∂y

và

1
∂
=
∂ z¯ 2

∂
1 ∂
−
∂x i ∂y

.

Mệnh đề 1.1. Nếu f chỉnh hình tại z0 thì
∂f
∂u
∂f
(z0 ) = 0 và f (z0 ) =
(z0 ) = 2 (z0 ) .
∂ z¯
∂z
∂z
Nếu viết F (x, y) = f (z), thì F khả vi theo nghĩa thực và
2

det JF (x0, y0) = |f (z0 )| .
Chứng minh. Ta có
1
∂f

=
∂ z¯ 2
1
=
2

∂f 1 ∂f
∂u
∂u 1 ∂v
∂v
1
−
+i
+
=
+i
∂x i ∂y
2
∂x
∂y
∂x i ∂y
∂u ∂v
∂u ∂u
−
+
+i
.
∂x ∂y
∂y ∂x

Từ đó, suy ra phương trình Cauchy − Riemann tương đương với
Hơn nữa, ta thấy rằng
f (z0 ) =

1
2

1 ∂f
∂f
(z0 ) +
(z0 )
∂x
i ∂y

=

∂f
(z0 ) .
∂z

Từ phương trình Cauchy – Riemann, ta nhận được
∂f
1
=
∂z
2

∂f 1 ∂f
+
∂z

i ∂y

=

1
2

∂v
∂u
+i
∂x
∂x

+

1
i

∂v
∂u
+i
∂y
∂y

=

1
2

∂u 1 ∂u

+
∂x i ∂y

+i

∂v 1 ∂v
+
∂x i ∂y

=

1
2

∂u 1 ∂u
+
∂x i ∂y

+

∂u 1 ∂u
+
∂x i ∂y

9

∂f
= 0.
∂ z¯

1
∂u 1 ∂u
+
2
2
∂x i ∂y

=

=

∂u
∂u 1 ∂u
+
=2 .
∂x i ∂y
∂z

Để chứng tỏ F là hàm khả vi theo nghĩa giải tích thực, ta viết
F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) .
Hàm F (x, y) khả vi theo nghĩa thực tại điểm P0 (x0, y0) nếu cả hai hàm
u(x, y) và v(x, y) là R2 − khả vi, hay ta có thể viết

∂u
∂u

 u (x0 + h1 , y0 + h2 ) − u (x0, y0 ) =
(x0, y0) h1 +
(x0, y0 ) h2 + θ1

∂x
∂y
∂u
∂v

 v (x0 + h1 , y0 + h2 ) − v (x0, y0 ) =
(x0, y0) h1 +
(x0, y0) h2 + θ2
∂x
∂y

h21 + h22
h21 + h22

trong đó

lim

h21 + h22

θ1

h21 + h22

hi →0

= 0; lim

θ2

hi →0

h21 + h22
h21 + h22

= 0.

Đặt H = (h1 , h2) và h = h1 + ih2 , ta viết lại hệ thức trên dưới dạng phức
∂v
∂v
∂u
∂u
+i
+i
h1 +
h2 + θ1 (|H|) + θ2 (|H|)
∂x
∂x
∂y
∂y
∂u
∂u
∂v
∂v
+i
+i
h1 +
h2 + θ (|H|)
=
∂x

∂x
∂y
∂y
∂v
∂u
+i
=
(h1 + ih2) + θ (|H|)
∂x
∂y
= f (z0 ) h + θ (H) .

F (P0 + H) − F (P0 ) =

với

θ1 (|H|) + θ2 (|H|)
θ (H)
= lim
= 0.
|H|→0
|H|
|H|→0 |H|
lim

Như vậy, tồn tại phép biến đổi tuyến tính
JF (x0 + y0) (H) =

∂u
∂u

−i
(h1 + ih2 ) = f (x1) h,
∂x
∂y

mà ta có thể viết
F (P0 + H) − F (P0 ) = JF (H) + θ (H) ,
10


với

θ (H)
= 0.
|H|→0 |H|
lim

Từ hệ phương trình xác định tính khả vi của các hàm biến thực u(x, y) và
v(x, y) ta thấy rằng
∂u

JF (x0 + y0 ) =  ∂x
∂v
∂x


Do đó

∂u ∂v ∂u ∂v
−

∂x ∂y ∂y ∂x
2
∂u
∂u
+
=
∂x
∂y


∂u
∂y  .
∂v 
∂y

det JF (x0, y0) =

1.2.3.

2

∂u
=2
∂z

2

2

2

= |f (z0 )| .

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ...,

(1.4)

n=0

trong đó an ∈ C.
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó thì nó
cũng hội tụ tại mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Bây giờ ta sẽ chứng minh luôn
tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.
Định lý 1.1. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

∞

an z n . Khi đó tồn tại

n=0

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R được

tính bởi công thức

1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là

đĩa hội tụ.
11


Chứng minh. i) Đặt L = R1 , với R được xác định như công thức phát biểu
trong định lý. Giả sử L = 0, +∞. Nếu |z| < R, thì chọn ε > 0 đủ nhỏ sao
cho (L + ε) |z| = r < 1. (|z| < R →

1
|z|

>

1
R

= L ⇒ |z| L < 1. Theo nguyên

lý trù mật của tập số thực chọn được ε sao cho |z| L < |z| L + ε |z| < 1).
1
1
1

Bởi vì
= lim sup |an | n nên |an | n ≤ L + ε. Do đó, ta có
R n→∞
|an | .|z|n ≤ (L + ε) |z|
Việc so sánh với chuỗi

∞

rn chứng tỏ chuỗi

n

= rn.

∞

an z n hội tụ.

n=0

n=0

ii) Nếu |z| > R thì bằng lập luận tương tự ta chứng minh được chuỗi phân
kỳ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức
là các hàm lượng giác
∞

z 2n
cosz =

(−1)
và sin z =
(2n)
!
n=0
n

∞

z 2n+1
.
(−1)
(2n
+
1)
!
n=0
n

Bằng tính toán đơn giản, ta nhận được các công thức Euler dưới dạng mũ
phức

1.2.4.

eiz − e−iz
eiz + e−iz
và sinz =
.
cosz =
2

2
Không điểm và cực điểm

Điểm kỳ dị của một hàm f là một số phức z0 sao cho f xác định trong
lân cận của điểm z0 nhưng không xác định tại chính điểm đó. Chúng ta
cũng gọi những điểm đó là điểm kỳ dị cô lập. Ví dụ, hàm f chỉ xác định trên
mặt phẳng thủng bởi f (z) = z thì gốc là điểm kỳ dị. Dĩ nhiên, trong trường
hợp này hàm f có thể xác định ngay cả tại 0 bằng cách đặt f (0) = 0, vì
vậy thác triển nhận được là hàm liên tục và thực tế là hàm nguyên (những
điểm như vậy gọi là các điểm kỳ dị bỏ được). Điều thú vị hơn là trường
hợp của hàm g(z) = 1/z được xác định trong mặt phẳng thủng. Rõ ràng g
không thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều so với hàm
chỉnh hình. Trong thực tế, hàm g(z) tiến đến vô cùng khi z dần đến 0 và
chúng ta nói 0 là một cực điểm. Cuối cùng là trường hợp hàm h(z) = e1/z
12


trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểm không nói
lên điều gì. Thực vậy, hàm h(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trên trục
thực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục thực âm.
Cuối cùng, hàm h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dần
đến 0 trên trục ảo.
Vì kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu, chúng ta bắt
đầu với một nghiên cứu địa phương của các không điểm của hàm chỉnh
hình.
Số phức z0 được gọi là không điểm của hàm chỉnh hình f nếu f (z0) = 0.
Đặc biệt, thác triển giải tích cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hình
không tầm thường là cô lập. Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình trong Ω
và f (z0) = 0 với z0 ∈ Ω nào đó, thì tồn tại một lân cận mở U của z0 sao
cho f (z0) = 0 với mọi z ∈ U \ {z0 }, trừ khi f đồng nhất 0. Chúng ta bắt

đầu việc mô tả tính chất địa phương của hàm chỉnh hình gần một không
điểm.
Định lý 1.2. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mở liên
thông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và không đồng nhất bằng không
trong Ω. Thế thì, tồn tại một lân cận U ⊂ Ω của z0 , một hàm chỉnh hình
g không đồng nhất triệt tiêu trên U và một số nguyên dương duy nhất n
sao cho
f (z) = (z − z0 )n g(z) với mọi z ∈ U.
Chứng minh. Vì Ω liên thông và f không đồng nhất 0, chúng ta khẳng
định rằng f không đồng nhất 0 trong một lân cận của z0 . Trong đĩa đủ
nhỏ tâm tại z0 hàm f có khai triển chuỗi luỹ thừa
∞

ak (z − z0 )k .

f (z) =
k=0

Vì f không đồng nhất 0 gần z0 , nên tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất
sao cho an = 0. Thế thì, chúng ta có thể viết
f (z) = (z − z0 )n [an + an+1 (z − z0 ) + ...] = (z − z0 )n g(z),
13


ở đó g được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hình
không đâu triệt tiêu với tất cả z gần z0 (vì an = 0). Để chứng tỏ tính duy
nhất của số nguyên n, giả sử rằng chúng ta còn có thể viết
f (z) = (z − z0 )n g(z) = (z − z0 )m h(z),
ở đó h(z) = 0. Nếu m > n, thì có thể chia cho (z − z0 )n để thấy rằng
g(z) = (z − z0 )m−n h(z),

và cho z → z0 ta nhận được mâu thuẫn g(z0 ) = 0. Nếu m < n, thì lập luận
tương tự nhận được h(z0 ) = 0, cũng dẫn đến mâu thuẫn. Do đó m = n và
g(z) = h(z). Định lý được chứng minh.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc n (hoặc
bội n) tại z0 . Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng nó là không
điểm đơn. Chúng ta nhận xét rằng về mặt định lượng bậc không điểm mô
tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu.
Điều quan trọng của định lý trước đến từ sự kiện rằng bây giờ chúng ta có
1
thể mô tả chính xác loại kỳ dị qua hàm
tại điểm z0 .
f (z)
Với mục đích đó, để tiện lợi chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm
z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra chính điểm đó, đó là tập hợp
{z : 0 < |z − z0 | < r} ,
với r > 0 nào đó. Thế thì, ta có thể nói rằng một hàm f xác định trong
1
lân cận thủng của điểm z0 có một cực điểm tại đó nếu hàm , xác định
f
không điểm tại z0 , là chỉnh hình trong một lân cận đầy của z0 .
Định lý 1.3. Nếu f có một cực điểm tại z ∈ Ω, thì trong một lân cận của
điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h không triệt tiêu và số nguyên dương n
duy nhất sao cho
f (z) = (z − z0 )−nh(z).
Chứng minh. Theo định lý trước chúng ta có
1
= (z − z0 )n g(z),
f (z)
14

ở đó g chỉnh hình và không đồng nhất triệt tiêu trong một lân cận của z0 ,
do vậy kết quả nhận được với h(z) = 1/g(z).
Số nguyên dương n trong định lý được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm
và nó mô tả tốc độ tăng của hàm gần z0 . Nếu cực điểm là bậc 1 thì nó
được gọi là cực điểm đơn.

15


Chương 2
HÀM THETA
Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết của hàm Theta và
một số ứng dụng của nó trong lĩnh vực Giải tích số. Trước hết, hàm Theta
được cho bởi chuỗi
∞
2

eπin τ e2πinz ,

Θ (z|τ ) =
n = −∞

hội tụ với mọi z ∈ C và τ thuộc nửa mặt phẳng trên.
Một điểm đáng chú ý của hàm Theta là vấn đề đối ngẫu tự nhiên của nó.
Khi xét như một hàm của biến z, nó có dạng như một hàm Elliptic, vì Θ
là hàm tuần hoàn với chu kỳ là 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ . Khi xét Θ
như một hàm của biến τ nó cho thấy tính chất modul tự nhiên liên quan
mật thiết với hàm phân hoạch và vấn đề biểu diễn các số nguyên dưới dạng
tổng các bình phương.

Hai công cụ chính cho phép chúng ta khai thác những mối liên kết này là
tích hỗn tạp của Θ với luật biến đổi.

2.1.

Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi

Định nghĩa 2.1. Hàm f được gọi là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ ω nếu
với các hằng số a, b tùy ý, f thỏa mãn phương trình hàm
f (z + ω) = e(az+b) f (z) .
Ví dụ 2.1. Hàm Theta Jacobi được cho bởi phương trình hàm
ϑ (z + τ ; τ ) = e−2πiz−πiτ ϑ (z; τ ) .
Với mỗi τ cố định thì hàm đó là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ là τ .
16


Ví dụ 2.2. Hàm ℘ Weierstrass là tựa tuần hoàn với hai tựa chu kỳ độc
lập, các tựa chu kỳ tương ứng của hàm ℘ Weierstrass được cho bởi phương
trình hàm
f (z + ω) = f (z) + az + b.
Định nghĩa 2.2. Hàm Theta Jacobi được xác định bởi công thức
∞
2

eπin τ e2πinz , z ∈ C và τ ∈ H.

Θ (z|τ ) =

(2.1)

n = −∞

Hai trường hợp đặc biệt là các hàm θ (τ ) và ϑ (τ ) được xác định bởi
∞

∞
πin2 τ

θ (τ ) =

e

2

e−πn t , t > 0.

, τ ∈ H; ϑ (t) =

n=−∞

n=−∞

Mối quan hệ giữa hai hàm này được cho bởi các biểu diễn dưới đây
θ (τ ) = Θ (0|τ ) và ϑ (t) = θ (it) , với t > 0.
Chúng ta thường gặp những hàm này trong các vấn đề của Vật lý. Chẳng
hạn, trong việc nghiên cứu phương trình khuyếch tán nhiệt của các đường
tròn, chúng ta thấy rằng công thức nhiệt hạch cho bởi phương trình
∞

e−4 π

Ht (x) =

2 2

n t 2π i nx

e

.

n=−∞

Do đó, chúng ta nhận được
Ht (x) = Θ (x|4πit) .
Thêm nữa, chúng ta có thể đề cập đến một ví dụ khác là sự xuất hiện của
hàm ϑ trong việc nghiên cứu hàm Zeta. Người ta chứng minh được phương
trình hàm của ϑ ẩn chứa hàm ζ, từ sự thác triển giải tích của hàm Zeta.
Trước hết, chúng ta bắt đầu xét Θ dưới dạng của hàm một biến z, với τ
cố định.
Mệnh đề 2.1. Hàm Θ thỏa mãn các tính chất sau
i) Θ nguyên trong z ∈ C và chỉnh hình trong τ ∈ H.
17


ii) Θ (z + 1/τ ) = Θ (z | τ ) .
iii) Θ (z + τ |τ ) = Θ (z|τ ) e−πiτ e−2πiz .
iv) Θ (z|τ ) = 0 khi z = 1/2 + τ /2 + n + mτ và n, m ∈ Z
Chứng minh. Giả sử Imz = t ≥ t0 > 0 và nếu z = x + iy thuộc một tập
hợp bị chặn trong C, tức là |z| ≤ M. Khi đó, chuỗi xác định hàm Θ là hội

tụ tuyệt đối và đều vì
∞
2

2

|eπin τ e2πinz | ≤ C

e−πn t0 e2πnM < ∞.

n= −∞

n≥0

Do đó, với mỗi τ ∈ H cố định, hàm Θ (·|τ ) là nguyên. Với mỗi z ∈ C cố
định, hàm Θ (·|τ ) là chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên.
Bởi vì hàm mũ e2πinz là tuần hoàn với chu kì 1, tính chất ii) được suy ra
trực tiếp từ định nghĩa của hàm Θ.
Để chứng minh tính chất thứ ba, ta có
∞
2

eπin τ e2πin(z+τ)

Θ (z + τ |τ ) =
n = −∞
∞

=

eπi(n

2

n= −∞
∞

+2n)τ 2πinz

e

2

eπi (n+1) τ e−πiτ e2πinz

=
n=−∞
∞

2

eπi(n+1) τ e−πiτ e2πi(n+1)z e−2πiz

=
n=−∞

= Θ (z|τ ) .e−πiτ e−2πiz
Như vậy, ta thấy rằng Θ (z|τ ) là một hàm của biến z, tuần hoàn với chu
kỳ 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ .
Để thiết lập được tính chất cuối cùng, nó là đủ khi ta chứng minh được

18


Θ

1
2

+ τ2 |τ = 0. Một lần nữa, lặp lại phương pháp trên, ta có
1 τ
Θ
+ |τ
2 2

∞

eπin τ .e2πin( 2 + 2 )
1

2

=

τ

n=−∞
∞
2

eπinτ .eπin.eπinτ

=
n=−∞
∞

=

eπi(n

n=−∞
∞

2

+n)τ

.eπin

2

eπi(n+1) τ .e−πi(n+1)τ .eπin

=
n=−∞
∞

2

(−1)n .eπi(n+1) τ .e−πi(n+1)τ .

=
n = −∞

Để thấy rằng tổng cuối cùng đồng nhất bằng 0, nó là đủ kiểm tra với
−n − 1 khi n ≥ 0, và nhận xét rằng chúng có bậc đối nhau. Thật vậy, từ
đẳng thức (−n − 1)2 + (−n − 1) = n2 + n thay n + 1 bởi −n − 1 ta được
1 τ
+ |τ
Θ
2 2

∞

2

(−1)n .eπi(−n−1) τ .eπi(−n−1)τ .

=
n=−∞

1 τ
+ |τ = −1.
2 2
1 τ
n=0⇒Θ
+ |τ = eπiτ .e−πiτ = 1.
2 2
1 τ
n=1⇒Θ

+ |τ = −1.e4πiτ .e−2πiτ = −e2πiτ .
2 2
1 τ
n = −2 ⇒ Θ
+ |τ = eπiτ .eπiτ = e2πiτ .
2 2
...

Khi n = −1 ⇒ Θ

Tiếp theo ta xét hàm tích

(z | τ ) có cấu trúc giống như hàm Θ (z | τ ) là

một hàm của z.
Định nghĩa 2.3. Hàm tích

được xác định bởi công thức

∞

1 − q 2n

(z|τ ) =

1 + q 2n−1e2πiz

n=1

với z ∈ C, τ ∈ H và q = eπiτ .

19

1 + q 2n−1e−2πiz ,


Định lý 2.1. Hàm
(i)

(z | τ ) thỏa mãn các tính chất sau đây

(z|τ ) là hàm nguyên trong với mọi z ∈ C và chỉnh hình với mọi

τ ∈ H.
(ii)

(z + 1|τ ) =

(iii)

(z + τ |τ ) =

(iv)

(z|τ ) = 0 khi z = 1/2 + τ /2 + n + mτ và n, m ∈ Z. . Thêm nữa,

(z|τ ).
(z|τ ) e−πiτ e−2πiz .

những điểm này là không điểm đơn của

(· | τ ) và hàm

(· | τ ) không

có không điểm nào khác.
Chứng minh. Giả sử Im (τ ) = t

t0 > 0 và z = x + iy, thì |q|

e−πt0 < 1.

Do đó
1 − q 2n

1 + q 2n−1e2πiz

1 + q 2n−1e−2πiz = 1 + O |q|2n−1e2π|z| .

|q|2n−1 hội tụ nên từ kết quả của hàm tích vô hạn, đảm

Bởi vì chuỗi
bảo rằng hàm

(z | τ ) là một hàm nguyên của z với τ ∈ H cố định và là

một hàm chỉnh hình theo τ ∈ H. Cũng vậy, từ định nghĩa

(z | τ ) là tuần

hoàn với chu kỳ 1 theo biến τ .

Để chứng minh được tính chất (iii), trước hết ta có nhận xét rằng với
q 2 = e2πiτ , ta có
∞

(z + τ |τ ) =

1 − q 2n

1 + q 2n−1e2πi(z+τ )

1 − q 2n

1 + q 2n+1e2πiz

1 + q 2n−1e−2πi(z+τ)

n=1
∞

=

1 + q 2n−3e−2πiz

n=1

So sánh tích cuối cùng với

(z | τ ), và phân tích các thừa số này bằng

cách thêm bớt các số hạng dẫn đến

(z + τ |τ ) =

1 + q −1 e−2πiz
(z|τ )
1 + qe2πiz

.

Từ đó, ta nhận được (iii) vì (1 + x)/(1 + x−1) = x, khi x = −1. Cuối cùng,
để tìm các không điểm của

(z | τ ) chúng ta nhớ lại rằng một tích chỉ

hội tụ tới 0 nếu ít nhất một trong các thừa số của nó bằng 0. Rõ ràng,
20


thừa số (1 − q n ) không bao giờ triệt tiêu khi |q| < 1. Thừa số thứ hai
1 + q 2n−1e2πiz chỉ triệt tiêu khi q 2n−1e2πiz = −1 = eπi . Từ q = eπiτ , chúng
ta có
(2n − 1) τ + 2z = 1 (mod2) .
Do đó

1 τ
+ − nτ (mod1) .
2 2
Điều đó cho thấy các không điểm thuộc loại 1/2 + τ /2 − nτ + m với n ≥ 1
z=

và m ∈ Z. Tương tự, thừa số thứ ba triệt tiêu nếu

(2n − 1) τ − 2z = 1 (mod2) ,
tức là
z = −1/2 − τ /2 + nτ (mod1)
= 1/2 + τ /2 + n τ (mod1) với n ≥ 0.
Những điểm đó vét hết số không điểm của hàm

(·|τ ). Cuối cùng, các

không điểm này là không điểm đơn, vì hàm eω triệt tiêu tại gốc với bậc 1.
Tầm quan trọng của tích

nhận được từ định lý sau đây và nó được gọi

là công thức tích của hàm Theta. Thực tế rằng Θ (z|τ ) và

(z | τ ) thỏa

mãn những tính chất đơn giản gợi ý đến một mối liên hệ mật thiết giữa
hai hàm trên.
Định lý 2.2. (Công thức tích) Cho z ∈ C và τ ∈ H, chúng ta có đồng
nhất thức sau
Θ (z|τ ) = c (τ )

(z|τ ).

Chứng minh. Cố định τ ∈ H. Trước hết, ta chứng tỏ rằng tồn tại một hằng
số c(τ ) sao cho
Θ (z|τ ) = c (τ )
Thật vậy, xét thương F (z) = Θ(z |τ )/

(z|τ ).

(2.2)

(z |τ ) và lưu ý từ các tính chất

trước đây, hàm F là nguyên và tuần hoàn kép với chu kỳ 1 và τ . Điều này
có nghĩa rằng F là không đổi.
21


Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng c(τ ) = 1 với mọi τ và điểm chính là thiết
1
lập c(τ ) = c(4τ ). Nếu đặt z = trong (2.2) sao cho e2πiz = e−2πiz = −1,
2
ta được
∞

∞
n n2

(−1) q

= c (τ )

n = −∞

1 − q 2n

1 − q 2n−1

1 − q 2n

1 − q 2n−1

1 − q 2n−1

n=1
∞

= c (τ )

1 − q 2n−1

n=1
∞

(1 − q n ) 1 − q 2n−1

= c (τ )
n=1

Do đó
c (τ ) =
Tiếp theo ta đặt z =

∞
n=1

n n2

∞
n=−∞ (−1) q
.
(1 − q n ) (1 − q 2n−1)

(2.3)

1
trong (2.2) sao cho e2πiz = i. Mặt khác, ta có
4
∞
2

q n in

Θ (1/4|τ ) =
n=−∞

Bởi vì
đó

1
= −i nên chỉ có các số hạng chẵn (n = 2m) không triệt tiêu. Do
i
∞
2

q 4m (−i)m .

Θ (1/4 |τ ) =

n = −∞

Mặt khác
∞

(1/4 | τ ) =

1 − q 2m

1 + iq 2m−1

1 − q 2m

1 + q 4m−2

1 − iq 2m−1

m=1
∞

=
m =1
∞

1 − q 8n−4 .

1 − q 4n

=
n=1

Ở đây, dòng cuối cùng thu được bằng cách xét tương ứng hai trường hợp
2m = 4n − 4 và 2m = 4n − 2 trong thừa số đầu tiên. Do đó, ta nhận được
c (τ ) =

∞
n=1

n 4n
∞
n=−∞ (−1) q
(1 − q 4n ) (1 − q 8n−2)

22

(2.4)