Không gian liên thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
---------------------

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2011
1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy của các thầy cô trong
trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và
đóng góp ý kiến quý báu cho em trong suốt thời gian học tập và viết khoá
luận tại trường. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy giáo Nguyễn
Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em một cách tận tình để em
hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Hường

2


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng khoá luận tốt nghiệp này là do bản thân em tự
nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo
cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, không trùng
với kết quả báo cáo của tác giả khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Hường

3


MỤC LỤC
Lời mở đầu ...................................................................................................... 4
Chƣơng 1. Đại cương về không gian tôpô ....................................................... 6
1.1. Không gian tôpô ......................................................................................... 6
1.2. Phần trong, bao đóng của một tập hợp. Tập hợp trù mật ......................... 10
1.3. Ánh xạ liên tục ......................................................................................... 13
1.4. Tích Descartes họ các không gian tôpô. Không gian thương .................. 13
Chƣơng 2. Không gian liên thông .................................................................. 17
2.1. Không gian liên thông .............................................................................. 17
2.2. Tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông ........... 23
2.3. Thành phần liên thông.............................................................................. 25
2.4. Tập hợp liên thông trong không gian Rk ................................................. 27
2.5. Bài tập ...................................................................................................... 30
2.6. Hướng dẫn giải bài tập ............................................................................. 32
Kết luận .......................................................................................................... 37
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 38

4

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết Giải tích được ra đời và phát triển đã khá lâu, nó có tầm quan
trọng và là nền tảng của nhiều môn Toán. Một trong những môn toán đó là
Hình học vi phân.
Nội dung của Hình học vi phân rất phong phú, đa dạng, kiến thức trên
lớp với lượng thời gian eo hẹp cùng với sự mới mẻ và cái khó của môn học
này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức cơ bản của Hình học vi phân trở
nên không dễ dàng với sinh viên. Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản
của Hình học vi phân đồng thời với quyết tâm bước đầu đi vào nghiên cứu
khoa học, để tự tin hơn trong việc dạy và học sau khi ra trường, em đã chọn
đề tài “Không gian liên thông” để làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn
về Hình học vi phân đặc biệt là không gian liên thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian liên thông và một số vấn đề liên quan đến
không gian liên thông.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.

5


5. Cấu trúc của khoá luận
Nội dung khoá luận gồm hai chương:
Chương 1: Đại cương về không gian tôpô
Chương 2: Không gian liên thông

6


Chương 1

ĐẠI CƢƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này em xin trình bày một số vấn đề sau: Không gian
tôpô; phần trong, bao đóng của một tập hợp, tập hợp trù mật; ánh xạ liên tục
tích Descartes họ các không gian tôpô và không gian thương.

1.1 Không gian tôpô
1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 (xem [4], tr.20): Cho X là một tập hợp tuỳ ý
Ta gọi là tôpô trên X một lớp các tập con  của X thoả mãn các tiên đề:
(O1) , X 
(O2) Nếu G  ,    thì
(O3) Nếu G j  ( j  1, n) thì

U G 


n

I

j 1

G j 

Ta gọi là không gian tôpô một cặp ( X , ) , trong đó X là một tập hợp

Mỗi phần tử x  X là một điểm, mỗi tập hợp G  được gọi là một tập
hợp mở.
Ví dụ 1. Cho X   là một tập hợp tuỳ ý. Khi đó   , X  là một
tôpô trên X, gọi là tôpô thô.
Ví dụ 2. Họ   ( X ) tất cả các tập con của X cũng là tôpô trên X, gọi
là tôpô rời rạc.
Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X.

7


Ví dụ 3. Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với tôpô  là
lớp tất cả các tập hợp mở trong không gian metric đó, gọi là tôpô cảm sinh
bởi metric hay tôpô metric.
Tôpô sinh bởi metric trong không gian Euclid R k còn gọi là tôpô tự
nhiên trong Rk
1.1.2 Tập mở, tập đóng
a. Tập mở
Định nghĩa (xem [4], tr.21): Cho ( X , ) là không gian tôpô. Mỗi tập
hợp G  được gọi là một tập hợp mở.
Định lý (xem [4], tr.21): Trong không gian tôpô X thì
1.  và X là các tập hợp mở
2. Hợp một họ tuỳ ý các tập hợp mở là tập hợp mở
3. Giao hữu hạn các tập hợp mở là một tập hợp mở.
b. Tập đóng
Định nghĩa (xem [4], tr.21): Cho ( X , ) là không gian tôpô. Tập hợp F
trong không gian tôpô X được gọi là tập hợp đóng nếu X \ F là tập hợp mở.
Định lý (xem [4], tr.21): Trong không gian tôpô X thì
1.  và X là các tập hợp đóng
2. Giao một họ tuỳ ý các tập hợp đóng là một tập hợp đóng

3. Hợp hai tập hợp đóng là tập hợp đóng, và do đó hợp của hữu hạn các
tập hợp đóng là tập hợp đóng.

8


1.1.3 Lân cận
Định nghĩa 1 (xem [4], tr.22): Giả sử ( X , ) là không gian tôpô và
A X

Ta gọi là lân cận mở của A một tập hợp mở chứa A.
Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận của A.
Nếu A là một tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái
niệm lân cận mở, lân cận của một điểm.
Điểm x  X được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một lân
cận V của x sao cho V  A
Nhận xét 1.1.3 (xem [4], tr.22): Như vậy, nếu V là lân cận của điểm x
thì x là điểm trong của V. Từ các tiên đề (O2), (O3) ta có
1. Hợp một họ tuỳ ý các lân cận của A là lân cận của A
2. Giao một họ hữu hạn các lân cận của A là lân cận của A
Định lý 1.1.3 (xem [4], tr.22): Để tập hợp G mở trong không gian tôpô
X thì cần và đủ là mọi điểm x  G đều là điểm trong của G.
Chứng minh: Nếu G là tập hợp mở thì mọi x  G đều nhận G là lân
cận (chứa trong G).
Do đó x là điểm trong của G
Đảo lại, thì mọi điểm x  G đều tồn tại một lân cận mở U x của x sao
cho U x  G
Vì vậy G 

U Ux

xG

là tập hợp mở.

9


Định nghĩa 2 (xem [4], tr.22): Giả sử  X ,  là không gian tôpô.
Một họ  những lân cận của điểm x  X được gọi là một cơ sở lân cận
của x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V  sao cho V  U
Nếu tồn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm
x gọi là có cơ sở lân cận đếm được.
Không gian tôpô mà tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một cơ sở lân cận
đếm được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Ví dụ 1. Trong không gian metric X, với mọi x  X đều có một cơ sở

 1
lân cận đếm được. Chẳng hạn họ các hình cầu Bn  B  x,  , n  1,2,...
 n
Như vậy, mọi không gian metric đều là không gian thỏa mãn tiên đề
đếm được thứ nhất.

1.1.4 Không gian tôpô con
Định nghĩa 1.1.4 (xem [4], tr.25): Nếu ( X , ) là không gian tôpô
Cho Y  X thì họ  Y  G  Y : G    là một tôpô trên X. Do đó ta định
nghĩa: Tôpô  Y xác định như trên được gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô  trên
Y, không gian (Y ,Y ) được gọi là không gian con của không gian tôpô ( X , )
Như vậy, trong không gian con Y thì tập hợp A  Y mở trong Y khi và
chỉ khi A  G Y với G là tập hợp mở trong X.

Định lý 1.1.4 (xem [4], tr.25): Cho không gian tôpô ( X , ) , Y  X và
y  Y . Khi đó

1. Tập hợp A  Y là tập hợp đóng trong Y khi và chỉ khi A  F  Y
với F là tập hợp đóng trong X.

10


2. Tập hợp W  Y là lân cận của y trong Y khi và chỉ khi W  V  Y
với V là một lân cận của y trong Y.
Chứng minh
1. Giả sử A đóng trong Y thế thì Y\A mở trong Y
Do đó theo 1 thì Y \ A  G Y , G mở trong X
Vì vậy F  X \ G là đóng trong X
Và A  Y \ (Y \ A)  Y \ (Y  G)  Y \ ( X \ G)  Y  F
Ngược lại, giả sử A  F  Y với F đóng trong X. Thế thì G  X \ F mở
trong X
Do đó Y \ A  Y \ ( F  Y )  Y  ( X \ F )  Y  G
Vậy Y\A là mở trong Y (theo1) nên A đóng trong Y.
2. Với W là một lân cận của y trong Y thì có một tập hợp U mở trong Y
và y U
Khi đó, U  V Y với V là tập mở trong X và hiển nhiên y V
Vậy V chính là lân cận của y trong X.
Ngược lại, giả sử W  V  Y với V là một lân cận trong X của y  Y
Thế thì có một tập U mở trong X sao cho y U , do đó U Y là tập
hợp mở trong Y và W  U Y
Suy ra W là lân cận của y trong Y.
1.2 Phần trong, bao đóng của một tập hợp. Tập hợp trù mật
1.2.1 Phần trong của tập hợp

Định nghĩa 1.2.1 (xem [4], tr.26): Giả sử ( X , ) là không gian tôpô,
A X

Tập hợp tất cả các điểm trong của tập hợp A được gọi là phần trong của
tập hợp A, ký hiệu là intA

11


Hiển nhiên là với tập hợp A bất kỳ thì int A  A
Định lý 1.2.1 (xem [4], tr.26): Phần trong intA của tập hợp mở là một
tập hợp mở và là tập hợp mở lớn nhất chứa A, do đó là hợp của tất cả các tập
hợp mở.
Chứng minh: Giả sử x int A , suy ra tồn tại một lân cận mở U của x
sao cho U  A
Thế thì với mọi y U đều nhận U là lân cận của y
Do đó, y là điểm trong của A nên U  int A
Vậy intA là tập hợp mở.
Giả sử G là tập hợp mở chứa trong A.
Thế thì G là lân cận của mọi điểm x G , do đó x int A
Vậy G  int A . Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.1 (xem [4], tr.26): G là tập mở khi và chỉ khi G  int G
1.2.2 Bao đóng của tập hợp
Định nghĩa 1.2.2 (xem [4], tr.27): Giả sử ( X , ) là không gian tôpô,
A X

Điểm x  X được gọi là điểm dính của tập hợp A nếu với mọi lân cận
U của x, U  A  
Tập hợp tất cả các điểm dính của tập hợp A được gọi là bao đóng của
tập hợp A, ký hiệu là clA

Hiển nhiên là với tập hợp A bất kỳ thì A  clA

12


Định lý 1.2.2 (xem [4], tr.27): Bao đóng clA của tập hợp A là tập hợp
đóng và là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A, do đó là giao của tất cả các tập
đóng chứa A
Chứng minh: Hiển nhiên nếu A   thì A đóng.
Trái lại, với mọi x  X \ clA , tồn tại lân cận mở U của x sao cho

U A
Khi đó mọi y U đều nhận U là lân cận, do đó y  clA
Vì vậy U  X \ clA
Suy ra x  int( X \ clA)
Vậy X\clA là tập hợp mở, nên clA là tập hợp đóng.
Giả sử F là tập hợp đóng, F  A
Khi đó nếu x  F thì x U  X \ F  X \ A
Vì F đóng nên U mở, do đó là lân cận mở của x và U  A   , điều này
chứng tỏ x  clA
Vậy clA  F . Suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.2 (xem [4], tr.27): F là tập hợp đóng khi và chỉ khi F  clF
1.2.3 Tập hợp trù mật
Định nghĩa 1.2.3(xem [4], tr.31): Cho không gian tôpô X; A, B  X
Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B  clA
Nếu clA  X thì ta nói A trù mật (khắp nơi) trong X
Nhận xét 1.2.3 (xem [4], tr.31): Từ định nghĩa ta suy ra
1. Tập hợp A trù mật trong tập hợp B khi và chỉ khi với mọi x  B và
mọi lân cận V của x thì V  A  
2. Tập hợp A trù mật trong clA

13


3. Tập hợp A trù mật trong tập hợp B, tập hợp B trù mật trong tập hợp
C thì A trù mật trong C.
1.3 Ánh xạ liên tục
Định nghĩa 1.3 (xem [4], tr.32): Giả sử f : X  Y là ánh xạ từ không
gian tôpô ( X , ) vào không gian tôpô (Y , ) . Ta nói, ánh xạ f là liên tục tại
điểm x  X nếu với mỗi lân cận V của f ( x) , tồn tại một lân cận U của x sao
cho f (U )  V
Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập hợp A  X nếu f liên tục tại mọi
điểm x  A . Đặc biệt, nếu A  X thì ta nói f là ánh xạ liên tục.
Ví dụ 1. Cho X, Y là các không gian tôpô, b Y là phần tử cố định. Khi
đó ánh xạ f : X  Y : x a b là ánh xạ liên tục.

Ví dụ 2. Nếu X là không gian tôpô rời rạc và Y là không gian tôpô bất
kỳ thì mọi ánh xạ f : X  Y đều liên tục.
Ví dụ 3. Một ánh xạ liên tục f : X  Y từ không gian metric X vào
không gian metric Y thì cũng là ánh xạ liên tục theo các tôpô sinh bởi các
metric tương ứng.
1.4 Tích Descartes họ các không gian tôpô. Không gian thƣơng
1.4.1 Tích Descartes họ các không gian tôpô
Định nghĩa 1 (xem [4], tr.39): Giả sử  X  là một họ các tập hợp

14


Ta gọi là tích Descartes của họ tập hợp  X  tập hợp X gồm tất cả
ánh xạ

x: 

U X



 a x( )
Ta ký hiệu X 

 X .



Phần tử x  X được ký hiệu là x  ( x )

trong đó x  X  được gọi là toạ độ thứ  của phần tử x,  
Ánh xạ
P : X 
0

 X  X



x  ( x ) a x

0

0

gọi là phép chiếu X lên X 

0

n

Nếu   1, 2,..., n thì ta ký hiệu X   X k
k 1

Nếu X  X 0 ,   thì ta viết X  X 0 và  là lực lượng của tập hợp


Định nghĩa 2 (xem [4], tr.39): Giả sử ( X , ) là một họ các
không gian tôpô. Khi đó, tập hợp X 

 X



với tôpô đầu  xác định bởi họ

phép chiếu
P : X  X ,  

được gọi là không gian tôpô tích Descartes của họ các không gian

( X , ) , tôpô  còn được gọi là tôpô Tichonov.

15

Định lý 1.4.1 (xem [4], tr.39): Giả sử ( X , ) là một họ các
không gian tôpô
Khi đó các tập hợp dạng

 W , trong đó W  và W  X



chỉ với

một số hữu hạn các   làm thành một cơ sở tôpô của tôpô Tichonov.
Chứng minh: Ta có cơ sở tôpô trong không gian tích là họ tất cả các
tập hợp dạng:

n

I

i 1

P1(Wi ) , Wi  , i (i  1, n)

Vì P1(Wi ) 
i

Do đó:

n

I

i 1

i

i

 W , với W  X ,   i



P1 (Wi ) 
i

 W



Trong đó
Wi

W  


X

khi   i , i  1, n
khi   i , i  1, n

1.4.2 Không gian thƣơng
Định nghĩa 1.4.2 (xem [4], tr.43): Cho  X ,  là một không gian tôpô



R là một quan hệ tương đương trên X. Gọi X / R = x%
: x X

 là tập hợp các

lớp tương của X theo R và i : X  X / R : x a x%
là ánh xạ thương.
Khi đó: tôpô của  trên tập hợp X / R xác định bởi ánh xạ i được gọi
là tôpô thương và không gian  X / R,  được gọi là không gian thương của
không gian X theo quan hệ R .
Trong chương 1 này chúng ta đã xem xét được một số vấn đề như:
Không gian tôpô; phần trong, bao đóng của một tập hợp, tập hợp trù mật; ánh
xạ liên tục; tích Descartes họ các không gian tôpô và không gian thương. Ở

16


chương kế tiếp chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề trọng tâm của khóa luận về
không gian liên thông.

17


Chương 2

KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG
Trong chương 2 em xin trình bày một số vấn đề về không gian liên
thông, tích Descartes và không gian thương của không gian liên thông, thành
phần liên thông, tập hợp liên thông trong không gian R k
2.1 Không gian liên thông. Tập hợp liên thông
Định nghĩa 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X gọi là liên thông
nếu chỉ có các tập  và X vừa mở vừa đóng.
Như vậy, không gian tôpô X là không liên thông khi và chỉ khi tồn tại
một tập hợp con thực sự M  X không rỗng vừa mở vừa đóng.
Ví dụ 1. Không gian tôpô thô  X ,  , với   , X  là không gian liên
thông.
Thật vậy, với   , X  ta có  , X là tập vừa mở vừa đóng duy nhất
nên  X ,  là không gian liên thông.
Ví dụ 2. Không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông.
Thật vậy, với  trong không gian tôpô rời rạc gồm tất cả các tôpô con
trên X với X  2 ( X là số phần tử của tập X) thì ta luôn lấy ra được tập con
thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng.
Nên không gian tôpô rời rạc là không gian không liên thông.

18


Định lý 2.1.1 (xem [4], tr.74): Không gian tôpô X là liên thông khi và
chỉ khi không tồn tại các tập hợp mở G j  X ( j  1,2) sao cho

G j   ( j  1,2), G1  G2  , G1  G2  X
Chứng minh: Suy từ định nghĩa không gian liên thông và đặc trưng
của tập hợp mở trong không gian tôpô.
Định nghĩa 2.1.2 (xem [4], tr.74): Tập hợp A trong không gian tôpô X
gọi là tập hợp liên thông nếu không gian tôpô con A liên thông.

Như vậy, tập hợp A liên thông nếu không tồn tại một tập hợp con thực
sự vừa mở vừa đóng trong không gian con A.
Ví dụ 1. Tập liên thông trong R có một trong các dạng sau:  , R, a ,

 a, b ,  a, b  ,  a, b  ,  a, b
Hiển nhiên các tập  , R, a là tập liên thông.
Các đoạn  a, b ,  a, b  ,  a, b  ,  a, b đều là tập liên thông và được
chứng minh tương tự nhau. Sau đây ta chứng minh đoạn thẳng  a, b  R là
tập hợp liên thông.
Thật vậy, giả sử  a, b  R không liên thông. Khi đó, tồn tại một tập
con thực sự A   vừa mở vừa đóng trong  a, b
Vì A là tập con thực sự của  a, b nên r  a, b, r  A
Rõ ràng A  [a,r)  (r,b]
Đặt B  A  [a, r ), C  A  (r , b] , ta có A  B  C
Vì A   nên ít nhất một trong hai tập B, C không rỗng.
Giả sử B   . Tập B bị chặn trên bởi r nên  sup B  b'  r

19


Vì b '  sup B nên  xn   B : lim xn  b '
n

Vì  xn   A và A là đóng trong  a, b (nên A đóng trong R)
Nên b '  A , do đó b '  r . Suy ra b '  B
Do A mở   a, b và [a, r ) là mở trong  a, b nên B là mở trong  a, b
Vì b '  B nên tồn tại một số   0 sao cho:
[a,b]  ( b'- ,b'+ )  B (tất nhiên b '   r )


Số x  b '  B và x  b ' nên mâu thuẫn với b’ là cận trên của B.
2

Nếu giả sử C   thì ta cũng đi đến mâu thuẫn tương tự.
Vậy  a, b là liên thông.
Định lý 2.1.3 (xem [4], tr.74): Nếu tồn tại tập hợp A liên thông trù mật
trong không gian tôpô X thì X là không gian liên thông.
Chứng minh: Giả sử X không liên thông
Theo định lý 2.1.2 khi đó tồn tại các tập hợp mở G j  X ( j  1,2) sao
cho: G j   ( j  1,2), G1  G2  , G1  G2  X
Vì A trù mật trong X, nên giao của A với một tập hợp mở trong X khác
rỗng.
Do đó: G j  A   ( j  1,2), G1  G2  A  , G1  G2  A
Điều này chứng tỏ A không là tập hợp liên thông (mâu thuẫn với giả
thiết).
Hệ quả 2.1.3 (xem [4], tr.75): Nếu A là một tập hợp liên thông và
A  B  clA thì B cũng là tập hợp liên thông.

20


Định lý 2.1.4 (xem [4], tr.75): Nếu A, B là các tập hợp liên thông trong
không gian tôpô X và A  B   thì A  B là tập hợp liên thông trong X.
Chứng minh: Giả sử A  B không là tập hợp liên thông trong X.
Thế thì tồn tại các tập hợp mở G j  X ( j  1,2) sao cho

G j  ( A  B)   ( j  1,2), G1  G2  ( A  B)  
G1  G2  ( A  B)

(2.1.4)

Vì A  B   nên tồn tại x  A  B do đó x  G1  G2
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x  G1
Thế thì G1  A  , G2  B  
Mặt khác, vì G2  ( A  B)   nên hoặc G2  A   , hoặc
G2  B  

Kết hợp với các điều kiện (2.1.4) suy ra hoặc A không liên thông, hoặc
B không gian liên thông - mâu thuẫn giả thiết.
Vậy A  B là tập hợp liên thông.





Hệ quả 2.1.4 (xem [4], tr.75): Giả sử Aj j  1, n là các tập hợp liên
thông và
n

Aj  Aj 1   ( j  1, n  1) thì tập hợp A  U A j là liên thông.
j 1

Chứng minh: Dùng quy nạp theo n và áp dụng định lý 2.1.4 ta được
điều phải chứng minh.
Tổng quát hơn ta có

21


Định lý 2.1.5 (xem [4], tr.75): Giả sử  A :   là một họ những tập

hợp liên thông trong không gian tôpô X và  ,    , tồn tại

 j   ( j  0, n ) sao cho

0   ,  n   , A  A
j

thế thì tập hợp A 

A
U


j 1

  ( j  0, n  1)

liên thông.

Chứng minh: Giả sử A không liên thông, thế thì tồn tại các tập hợp mở

G j ( j  1,2) sao cho:
G j  A   ( j  1,2), G1  G2  A  , G1  G2  A
Vì G1  A   nên tồn tại   sao cho G1  A  
Tương tự, tồn tại   sao cho G2  A  

 0   ,  n   , A  A
ni

  (i  0, n  1)

ni 1

n

Theo hệ quả 2.1.4 thì tập hợp C  U A
i 0

liên thông
ni

Nhưng rõ ràng là:

G j  C   ( j  1,2), G1  G2  C  , C  G1  G2
Mâu thuẫn chứng tỏ A liên thông.
Hệ quả 1 (xem [4], tr.76): Hợp của một họ các tập hợp liên thông trong
không gian tôpô X mà có giao không rỗng là tập hợp liên thông.
Hệ quả 2 (xem [4], tr.76): Nếu với hai điểm bất kỳ x, y trong không
gian tôpô X đều tồn tại một tập hợp liên thông chứa x và y thì X là không gian
liên thông.

22


Chứng minh: Giả sử cố định điểm x  X . Theo giả thiết thì với mỗi
y  X đều tồn tại một tập hợp liên thông C y chứa x và y





Khi đó C y : y  X là một họ các tập hợp liên thông của X và có giao
không rỗng, vì x  C y với mọi y  X
Vậy theo hệ quả 1 thì X 

U Cy

là liên thông.

yX

Định lý 2.1.6 (xem [4], tr.76): Giả sử f : X  Y là ánh xạ liên tục từ
không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi đó nếu A là tập hợp liên thông
trong X thì f ( A) là tập hợp liên thông trong Y.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, để tiện trình bày ta có thể giả
thiết f là toàn ánh liên tục từ không gian liên thông X lên không gian tôpô Y
ta phải chứng minh Y là liên thông.
Thật vậy, giả sử Y không liên thông. Khi đó tồn tại các tập hợp mở

G j  Y ( j  1,2) sao cho
G j   ( j  1,2), G1  G2  , G1  G2  Y
Vì f là ánh xạ liên tục suy ra f 1 (G j ) ( j  1,2) là các tập mở trong X
và hiển nhiên: f 1 (G j )   ( j  1,2), f 1 (G1 )  f 1 (G2 )  

f 1 (G1 )  f 1 (G2 )  X
Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là không gian liên thông.

23


2.2 Tích Descartes và không gian thƣơng của không gian liên thông

Định lý 2.2.1: Tích Descartes

 X



của một họ các không gian tôpô

không rỗng  X :   là không gian liên thông khi và chỉ khi mọi không
gian X đều liên thông.
Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử X   X  là không gian liên thông. Vì các


phép chiếu P : X  X là liên tục nên theo định lý 2.1.6 các không gian

X  P ( X ) là liên thông với mọi  
Điều kiện đủ: Giả sử X là không gian liên thông với mọi  
nhưng X   X  không liên thông.


Khi đó tồn tại một toàn ánh liên tục f : X  Y từ X vào không gian rời
rạc Y có ít nhất hai phần tử.
Lấy cố định một phần tử a  (a )  X và một phần tử bất kỳ  0 
Xét phép nhúng:

j : X  X : x a j  x  ( x )
1

1

0

1

Trong đó

a 
x  
x
 1

khi   1
khi

  1

Rõ ràng j liên tục và do f cũng là ánh xạ liên tục nên ánh xạ
0

f  f o j : X  Y
1

1

1

là liên tục.

24

Vì X  là không gian liên thông, suy ra f phải là ánh xạ hằng.
1

1

Do đó: f ( x)  f (a), x  j ( X  )
1

1

n

Bằng quy nạp suy ra f ( x)  f (a) với mọi x  j ... ( X  )
1

n

i 1

i

n

Trong đó: j ... :  X   X : ( x ,..., x ) a x  ( x )
1

n

i 1

i

1

n

Với
a
x  
 xi

  i

khi

(i  1,..., n)

khi    i
n

Đặt M 

U

 '

j ... ( X  ) , trong đó  '  1 ,..., n  là tập hợp con
1

n

i 1

i

hữu hạn của  thì M trù mật trong X.
Thật vậy, giả sử U là tập hợp mở không rỗng trong X.
Nên tồn tại một tập hợp

W  U , trong đó W



là tập hợp mở trong

X và W  X với mọi   '  1 ,..., n 
Khi đó điểm x  ( x ) thỏa mãn
khi    i
 x = a
 x  W khi   

i
 i
i

(i  1,..., n)

là điểm chung của U và M.

Vì không gian rời rạc Y là không gian Hausdoff, M trù mật trong X
f liên tục và f ( x)  f (a) với mọi x  M

nên ta suy ra f ( x)  f (a) với mọi x  X
Điều này mâu thuẫn với giả thiết f là toàn ánh lên không gian Y có ít
nhất hai phần tử.

25