Phép biến hình với các bài toán về tam giác

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

CHƯƠNG 1
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1. Phép biến hình trong mặt phẳng
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình
Một song ánh f : P

P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một

phép biến hình của mặt phẳng.
Phép biến hình f : P

P là một quy tắc để với bất kì điểm M thuộc P ta

tìm được một điểm M

f M hoàn toàn xác định. Điểm f M được gọi là

ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh
của điểm f M qua phép biến hình f nói trên. Người ta còn nói phép biến
hình f biến điểm M thành điểm f M và ta có f M

M .

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

f H

f M , M H . Khi đó f H gọi là ảnh của hình H qua phép biến

hình f và hình H gọi là tạo ảnh của hình f H qua phép biến hình f đó.
1.1.2. Sự xác định phép biến hình
Muốn xác định một phép biến hình f : P

P ta cần nêu rõ quy tắc f đó

bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản
trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định
nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường
thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho vv...
1.1.3. Điểm bất động của phép biến hình
Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép
biến hình f nếu f M

M . Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phép

biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f .
-1-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.1.4. Tích của hai phép biến hình
Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp
nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình f : P

P để biến một điểm M bất kì

của P thành một điểm M rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai

g: P

P để biến M thành M . Ta có:
M

f M ,M

g M

Khi đó phép biến hình h biến M thành M gọi là tích của hai phép biến
hình f và g , kí hiệu h g o f . Ta có

h M

go f

M

M

g M

g f M

Chú ý

Tích g o f và tích f o g là hai phép biến hình khác nhau.
1.1.5. Phép biến hình đảo ngược
Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M . Khi
đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M gọi là phép biến hình đảo
ngược của phép biến hình f đã cho.
Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f

1

và ta có f

1

M

Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f
có f o f

1

f

1

of

M.
1

và ta

e (phép đồng nhất).

1.1.6. Phép biến hình có tính chất đối hợp
Cho một phép biến hình f biến điểm M thành M , sau đó nếu ta thực hiện
tiếp phép biến hình f đó đối với điểm M và giả sử f M

M . Nếu điểm

M trùng với điểm M thì ta nói rằng phép biến hình f đó có tính chất đối
hợp. Ta có f o f

M

M hay f 2

e.

-2-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.2. Phép biến hình đẳng cự trong mặt phẳng
1.2.1. Định nghĩa phép biến hình đẳng cự
Phép biến hình f : P

P được gọi là phép biến hình đẳng cự nếu trong

mặt phẳng P với hai điểm M , N bất kỳ và hai ảnh của chúng là

M

f M ,N

f N ta luôn có M N

MN .

Nhận xét
* Phép đồng nhất e là một phép biến hình đẳng cự.
* Đảo ngược của một phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng
cự, nghĩa là nếu f là một phép biến hình đẳng cự thì f

1

cũng là một phép

biến hình đẳng cự.
1.2.2. Các tính chất của phép biến hình đẳng cự
1.2.2.1. Định lí
Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Hệ quả 1
Phép biến hình đẳng cự biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
Hệ quả 2
Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến

một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn
bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia.
1.2.2.2. Định lí
Tích của hai phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự.

-3-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

1.3. Phép đối xứng trục

NGUYỄN THỊ HẰNG

M1

1.3.1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng P cho một đường

M

O

thẳng d cố định.M Phép biến hình biến mỗi

O

điểm M thành điểm M sao cho đoạn
thẳng MM

d

nhận đường thẳng d làm

đường trung trực. Phép biến hình đó gọi là
phép đối xứng trục d .

v

M'

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Kí hiệu phép đối xứng trục này là Đd
và ta có Ñd M
với M .

M . Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M trùng
M'

M

1.3.2. Định lí
Phép đối xứng trục là một phép biến hình đẳng cự.
1.3.3. Các tính chất của phép đối xứng trục
1.3.3.1. Phép đối xứng trục là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ
các tính chất của phép biến hình đẳng cự.
1.3.3.2. Nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh
của M qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với
chính nó là phép đồng nhất.
1.3.3.3. Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.

1.3.3.4. Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành
chính nó với chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d thì các điểm khác của
a đều không phải là điểm kép.

1.3.3.5. Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối
xứng d của nó.

-4-


M'

v

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

M'
M

1.4. Phép đối xứng tâm
1.4.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng P cho một điểm O cố định.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng

M'
O

M

MM gọi là phép đối xứng tâm O .
Điểm O gọi là tâm đối xứng. Kí hiệu phép đối xứng tâm này là ÑO . Nếu
M trùng với tâm O ta lấy M trùng với M . Ta viết ÑO M

M .

1.4.2. Định lí
Phép đối xứng tâm O là một phép biến hình đẳng cự.
1.4.3. Các tính chất của phép đối xứng tâm
1.4.3.1. Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ
các tính chất của phép biến hình đẳng cự.
1.4.3.2. Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất.
1.4.3.3. Nếu M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh
của M qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với
chính nó là phép đồng nhất.
1.4.3.4. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến
một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường
thẳng đó, biến một véc tơ thành véc tơ đối của nó.
1.4.3.5. Phép đối xứng qua tâm được hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm
đối xứng O của nó.

-5-


M'

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG
O

M

1.5. Phép tịnh tiến
1.5.1. Định nghĩa

r
Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến
uuuuur r
mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM v gọi là
r
phép tịnh tiến theo véc tơ v và được kí hiệu là Tvr .
r
Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến. Ta có Tvr M M .

v

M'
M

1.5.2. Định lí
Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự.
Chú ý

r r
Nếu véc tơ tịnh tiến là v 0 thì khi đó phép tịnh tiến trở thành phép đồng
nhất. Ta có T0r

e.

Hệ quả
Nếu một phép biến hình biến hai điểm A, B bất kì lần lượt thành hai điểm
uuur uuuur
r uuur uuuur
A , B sao cho AB A B thì nó là phép tịnh tiến theo véc tơ v AB A B .
1.5.3. Các tính chất của phép tịnh tiến
1.5.3.1. Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ các
tính chất của phép biến hình đẳng cự.

r r
1.5.3.2. Nếu phép tịnh tiến theo véc tơ v 0 biến điểm M thành điểm M
thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M thành điểm M với véc tơ tịnh tiến
r
là v . Như vậy ta có: Tvr 1 T vr . Ta suy ra T vr oTvr e(là phép đồng nhất).

r r
r
1.5.3.3. Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v 0 thì các đường thẳng nhận v
làm véc tơ chỉ phương đều biến thành chính nó, chú ý rằng các điểm của
đường thẳng này không phải là điểm kép.

-6-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.5.3.4. Tích của hai phép tịnh tiến Tvr và Tvur' là một phép tịnh tiến với véc
r ur
tơ tịnh tiến bằng v v' .
1.5.3.5. Phép tịnh tiến hồn tồn được xác định nếu ta biết được véc tơ tịnh
r
tiến v của nó.
1.6. Phép quay
1.6.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho
một điểm O cố định và một góc định hướng

M'

sai

M1 quay tâm O với góc quay
khác k2 . Một phép

là một phép biến hình biến điểm O thành
chính nó,
M
O
và biến mỗi
điểm M thành điểm M sao cho
uuuur uuuur
d
OM OM và OM ,OM
.

M

M

O

uuuur uuuur
M' ,OM
Trongv định nghĩa trên ta kí hiệu OM
là góc định hướng mà tia đầu
là OM và tia cuối là OM . Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay

QO hoặ
c Q O,

. Ta thường chọn

sao cho

là

.

M'

M

Nếu
Nếu

0 thì phép quay là phép đồng nhất.

hoặ
c

O

thì đólàphé
p đố
i xứ
ng tâ
m O.

1.6.2. Định lí
Phép quay là một phép biến hình đẳng cự.
1.6.3. Các tính chất của phép quay

M'
O

1.6.3.1. Phép quay là một phépM biến hình đẳng cự nên có đầy đủ các tính
chất của một phép biến hình đẳng cự.
1.6.3.2. Trong phép quay tâm O với góc quay

0 , chỉ có tâm O là điểm

kép duy nhất và nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a
cũng đi qua tâm O.

-7-

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.6.3.3. Nếu phép quay tâm O góc quay
thì phép quay tâm O góc quay
Nghĩa là nếu f

QO thì f

1

biến điểm M thành điểm M .

QO .

1.6.3.4. Qua phép quay tâm O góc quay
uuur uuuur
biến điểm B thành điểm B thì AB, A B
tương ứng bằng
góc bằng

biến điểm M thành điểm M

biến điểm A thành điểm A ,
nghĩa là góc giữa hai véc tơ

. Do đó hai đường thẳng AB và AB cắt nhau tạo nên một

.

1.6.3.5. Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc
quay

.

1.7. Phép vị tự
1.7.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k 0 . Phép biến hình
uuuur
uuuur
biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho OM kOM được
gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k . Kí hiệu là VOk .
Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.
Nếu k 0 phép vị tự là phép vị tự thuận.
Nếu k 0 phép vị tự là phép vị tự nghịch.
Nếu k 1 phép vị tự là phép đồng nhất.
Nếu k

1 phép vị tự là phép đối xứng qua tâm O và O là điểm kép.

1.7.2. Các tính chất của phép vị tự
1.7.2.1. Định lí 1
Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm A , B thì
uuuur
uuur
A B kAB .

-8-

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

Hệ quả 1
Nếu phép vị tự biến hai điểm A, B tương ứng thành hai điểm A , B thì
đường thẳng AB và AB song song hoặc trùng nhau và A B

k AB .

Hệ quả 2
Phép vị tự biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó và biến
một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương.
1.7.2.2. Định lí 2
Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
Hệ quả
Phép vị tự biến đường thẳng a thành đường thẳng a cùng phương với a ,
biến một tia thành một tia cùng phương với tia đó.
1.8. Phép đồng dạng
1.8.1. Định nghĩa
Phép biến hình f : P

P gọi là phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B

bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A
AB

f A và B

f B sao cho

kAB trong đó k là một số thực dương xác định.

Số k gọi là tỉ số đồng dạng.
1.8.2. Các trường hợp đặc biệt
1.8.2.1. Phép biến hình đẳng cự là phép đồng dạng với tỉ số k 1.
1.8.2.2. Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số k .
1.8.2.3. Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng với
tỉ số

1
.
k

1.8.2.4. Tích của phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là
phép đồng dạng tỉ số k1.k2 .

-9-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.8.3. Định lí
Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép
biến hình đẳng cự hoặc tích của một phép biến hình đẳng cự và một phép vị
tự.
Hệ quả

Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k
lần đoạn thẳng ban đầu, biến một góc thành góc bằng nó, biến một tam giác
thành tam giác đồng dạng với nó.
1.8.4. Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng cho
nghĩa là AB

kAB, B C

ABC và

A B C đồng dạng với nhau theo tỉ số k

kBC, C A

kCA , khi đó tồn tại duy nhất một

phép đồng dạng f biến A thành A , B thành B , C thành C .
1.8.5. Khái niệm hai hình đồng dạng
Hai hình H và H gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng

f biến hình này thành hình kia.

- 10 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

2.1. Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác
2.1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh trong tam giác thường gặp là bài toán chứng minh
hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là
tam giác cân, tam giác đều... Ngoài ra yêu cầu chứng minh các điểm thẳng
hàng, các đường thẳng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đó cũng là một
dạng bài toán chứng minh.
Sử dụng các phép biến hình để giải bài toán chứng minh trong tam giác
như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho
trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thông qua phép biến
hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất không bị
làm thay đổi qua những phép biến hình ấy ta nhận được kết quả về tính đồng
quy hay tính thẳng hàng, quan hệ lệ thuộc, song song hay vuông góc... từ đó
suy ra sự bằng nhau, đồng dạng của những tam giác để đi đến kết luận.
2.1.2. Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác
Bài toán 1 (Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng)
Bài toán 1.1.
Cho hai tam giác ABC và A B C có AB
Chứng minh rằng hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải

- 11 -

AB , BC

B C , CA C A .

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

A
B1
B'

A1

A'
O'

O

B

C'

C
C1

Gọi O và O

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và

A B C . Khi đó luôn tồn tại một phép vị tự V1 biến đường tròn O

thành

đường tròn O .
Giả sử V1 : A a A1, B a B1, C a C1 . Ta có A1B1 // AB , B1C1 // B C ,
C1 A1 // C A .

Từ

o

QO90 : A1BC
a
1 1

đó

suy

ra

A1B1

AB, BC
1 1

BC, C1A1

CA hay

A2B2C2 .

A2B2C2 có ba cạnh song song với ba cạnh

một đường tròn O , do đó các đỉnh

ABC và cùng nội tiếp trong

A2B2C2 trùng với các đỉnh

ABC .

Chứng tỏ tồn tại một phép đồng dạng là tích một phép vị tự với một phép
quay biến A B C thành ABC . Hay hai tam giác đó đồng dạng (đpcm).
Bài toán 1.2.
Cho

ABC . Dựng các hình chữ nhật ACMN, CBPQ về phía ngoài tam

giác sao cho CC1 , BN, AP đồng quy, với CC1 là đường cao
Chứng minh rằng

ACM đồng dạng với CBP .

- 12 -

ABC .


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

Lời giải
Hạ BI 1
thì

I 1B
I 1P

Z1

CP tại I 1 , đặt k1

R

I 1C
I 1B

k1 . Xét phép đồng dạng:

Q
M

Z I 1, k1, 90o : B a C, P a B

nên

C

uuur

uuur
Z1 : BP a CB

1

I2

Trên tia đối của tia CC1 lấy điểm
R sao cho CR k1AB

Ta có CR
biến

tia

I1
P

N

H
A

2

C

B

1

AB , phép đồng dạng Z1 biến điểm B thành điểm C nên Z1
BA

thành

tia

CR.

Kết

hợp

với

2

ta

có:

uuur uuur uuur
uuur
uuur
Z1 : A a R hay Z1 : AB a RC . Mặt khác AP AB BP nên suy ra:
uuur
uuur
uuur uuur uuur uuur
Z1 AP Z1 AB Z1 BP RC CB RB suy ra AP RB .

Xét

RAB có RC

tâm RAB . Vậy BN

AB, AP

RB . Gọi H

RC

AP suy ra H là trực

AR.

Gọi I 2 là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh CN . Đặt k2
suy ra

I 2A
I 2N

k2 . Xét phép đồng dạng: Z2

Z I 2 , k2 ,90o : A a C, N a A

nên Z2 biến tia AB thành tia CR
Mà BN

I 2C
I 2A

3

AR nên Z2 biến tia NB thành tia AR

- 13 -

4


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

Từ

3

suy ra Z2 biến điểm B AB

4

và

NGUYỄN THỊ HẰNG

AR. Vậy Z2 : N a A, A a C, B a R

R CR

Từ 2 và 5 ta có k1

I 1C
I 1B

Vậy

I 2C
I 2A

NB thành điểm

CR k2 AB

5

k2 .

BC
BP

AC
AN

AC
CM

nghĩa là hai tam giác vng

ACM vàCBP đồng dạng.

Bài tốn 1.3.
Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì khơng trùng với các đỉnh tam
giác. Ta kí hiệu M 1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục BC , M 2 là ảnh
của M qua phép đối xứng trục CA , M 3 là ảnh của M qua phép đối xứng
trục AB . Chứng minh rằng

BM 1M 3 đồng dạng với

CM 1 M 2 .

Lời giải
Ta có :

A
M

BM1

BM Phé
p đố
i xứ
ng qua trục BC

BM3

BM Phé
p đố
i xứ
ng qua trục AB

O2

BM1

·
2 CBM

M

BM1M3 câ
n tại B.

· BM
Mặt khác ta lại có M
1
3
A

M3

C

BM3 hay

·ABM

2

· BM
M

1

·
MBM
3

C

B

2.60o 120o . Tương tự

· CM 120o .
CM1M2 cân tại C và M
1
2

M

1

Do đó hai tam giác cân BM1M3 và CM1M2 đồng dạng vì có các góc ở đỉnh
bằng nhau.

- 14 -


PHẫP BIN HèNH VI CC BI TON V TAM GIC

NGUYN TH HNG

Bi toỏn 2
Chng minh rng trong mt tam giỏc: trng tõm, trc tõm v tõm ng
trũn ngoi tip tam giỏc thng hng. ng thng i qua cỏc im ú gi
l ng thng le.
Li gii
Gi s

ABC ni tip ng trũn

A

O cho trc.
Gi A , B , C ln lt l trung
im BC, CA, AB ;

C'

B'

O l tõm ng trũn ngoi tip

O
H

ABC ;

H , G, O ln lt l trc tõm,

trng tõm, tõm ng trũn ngoi tip

B

G

A'

C

ABC .
Ta s chng minh O, O , H , G thng hng.
Tht vy: GA

1
1
GA . Tng t ta cú VG 2 : A a A , B a B , C a C .
2

1

Vy VG 2 : ABC a

A B C s bin im O thnh im O .

Do ú G, O, O thng hng

(1)

Mt khỏc ta li cú:
OA

B C Vỡ C B song song vụự
i CB theo tớnh chaỏ
t ủửụứ
n g trung bỡnh

OB
OC

CA
AB

- 15 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1
2

Vậ
y O làtrực tâ
m A B C . Nghóa làVG : H a O.
Hay H , G, O thẳ
ng hà
ng.

(2)

Từ(1) và(2) ta suy ra H , G, O, O thẳ
ng hà
ng.
Đường thẳng đi qua các điểm đó gọi là đường thẳng Ơle.
Khai thác bài tốn trên:
“Chứng minh rằng trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân
đường cao và ba trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng
nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn Ơle.”
Lời giải
Gọi

A , B , C lần lượt là

H

A

2

trung điểm BC, CA, AB .
H1, H 2 , H3 lần lượt là giao

điểm

của

các

đường

H'3

cao

B1

H

O

A1

A1, B1, C1 lần lượt là chân các
C

B'

C'

AH , BH , CH với đường tròn H C1
3
ngoại tiếp ABC .

B'

H'2

A'

B

C

đường cao hạ từ các đỉnh
H1

A, B, C của ABC .

Trong

H'1

BHH1 có BA1 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên A1 là trung

điểm của H1H . Chứng minh tương tự ta có B1 là trung điểm H 2 H và C1 là
trung điểm của H 3H .
Mặt khác gọi AH1 , BH2 , CH3 là đường kính của đường tròn O .

BH1 // CH cù
ng vuô
ng gó
c vớ
i AB
ng vuô
ng gó
c vớ
i AC
CH1 // BH cù
- 16 -

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

Do đó tứ giác

NGUYỄN THỊ HẰNG

BHCH1 làhình bình hà
nh. Vậ
y A làtrung điể
m H1 H .

Tương tự ta có B , C lầ
n lượt làtrung điể
m H 2 H , H3 H .
1
2
H

Xé
t V : H1 a A1, H 2 a B1, H3 a C1
C

H1 a A , H 2 a B , H3 a C
A, B, C lầ
n lượt biế
n thà
nh trung điể
m HA, HB, HC

MàH1, H2 , H3, H1 , H2 , H3 , A, B, C nằm trên đường tròn O . Do đó
A1, B1, C1, A , B , C và trung điểm của HA, HB, HC nằm trên một đường
A

1
2
H

tròn. Đó là đường tròn V

O, R = O , R với

1
2
H

O

V

R

1
R
2

O

Kết luận

Trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung
điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
Bài tốn 3
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng các tam giác đều

ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía so với BC . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AE, DC . Chứng minh rằng
A

Lời giải

BMN là tam giác đều.

H2
o

Ta có: QB60 : A a D, E a C

do

D

đó

B'

o

QB60 : AE a DC . Vì M , N lần lượt là

N

O

E

trung Gđiểm của AE vàDC ta suy ra
H

M

o

B

QB60 : M a N . Chứng tỏ BMN là tam
A'

C

giác đều đpcm .

H1

- 17 -

A

B

C


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

Bài tốn 4

ABC . Về phía ngồi tam giác dựng ba tam giác đều

Cho

BCA1 , CAB1 , ABC1 có tâm lần lượt là O1 , O2 , O3 . Chứng minh rằng
O1O2O3 là tam giác đều.

Lời giải

· BA
Ta có O
3
Ta

· BA
O
1
1

xét

phép

o

QB30 : O3 a K K
A

Vì

30o .
quay:

AB

O1 a H H
ABC1 M'và

B1

A

C1

BA1

O3

O2
F

K

BCA1 là hai tam
B

giác đều có tâm lần lượt là O3 , O1

C

M

B

nên:

BO3 BO1
C
BA BA1

BK
BA

BH
BA1

1

1

O1

hay ta có

3

H

E

. Từ đó ta suy ra

3
A1

KH // AA1 và
30o
B

Vì Q

KH
AA1

1

.

(1)

3

: O3O1 a KH nê
n ta cóO3O1

uuuur uuur
KH , O3O1, KH

30o .

(2)

o

Xé
t phé
p quay QC30 : O1 a E, O2 a F . Tương tự như trên ta sẽ có:
EF // AA1 ,

Và OO
1 2

EF
AA1

1

;
3
uuuur uuur
EF , OO

, EF
1 2

Từ (1) và (3) ta suy ra KH

(3)

30o

(4)

EF , KH // EF

(5)

Từ (2), (4) và (5) suy ra O1O3 O1O2
- 18 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

F

Mặt khác ta lại có
uuuur uuuur
uuuur uuur
C
OO

,OO
OO
, EF
1 2
1 3
1 2
uuuur uuur
OO
, EF
1 2

uuur uuuur
EF ,OO
1 3
uuur uuuur
KH ,OO
1 3

E

K
D

C

· OO
30o 30o 60o hay O
2 1 3

Q

60o

G
A

P

O là tam giác đều (đpcm).
Vậy OO
1 2 3

Bài toán 5

A

d

B

M

B
Cho hai tam
giác vuông cân OAB và OA B cùng vuông tại O sao cho

O nằm trên đoạn AB và nằm ngoài đoạn AB . Gọi G và G lần lượt là
trọng tâm

OAA và

OBB . Chứng minh rằng

OGG vuông cân.

Lời giải
Ta xét phép quay:

B

o

QO90 : A a B, A a B

suy

ra
A'

90o
O

Q

90o
O

Q

: OAA a

OBB . Nghĩa là
G'

:G a G .

G

Vậy OGG vuông cân (đpcm).

A

B'

O

Bài toán 6
Trên các cạnh của

ABC , dựng về phía ngoài của tam giác đã cho các

·
·
·
tam giác ABM, BCN, CAP sao cho CAP
= CBN
= 45o , ·ACP = BCN
= 30o ,

·

·
ABM = BAM
= 15o . Chứng minh rằng

MNP vuông cân tại M .

Lời giải
Xét phép đồng dạng sau:

P

C
N

F

1
Z N , ,105o o Z P, k,105o oQ M ,150o
k

với k

sin45o
sin30o

2.

P

B

A
M

- 19 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

sin45o
sin30o

PC
Vì
PA
Q M ,150o

B

A

sin30o
sin45o

NB
k,
NC
Z P,k ,105o

NGUYỄN THỊ HẰNG

1
nên ta có:
k

1
Z N , ,105o
k

C

F là một phép đồng dạng có tỉ số k.

B . Vậy F B

1
1, góc 150o 105o 105o 360o và
k

giữ nguyên B . Vậy F là phép đồng nhất, nghĩa là F M
Vậy M

Q M ,150o

Z P,k ,105o

M

1
Z N , ,105o

k

M

PAC :
PMM :

M.

M.

Từ đó suy ra:

PMM

B.

M'

PAC, NMM

NBC . Mà đã có

NMM g.g . Vì thế nên ta có
NMM . Hai tam giác có MM
C

N

P

chung, ngược hướng nên bằng nhau (đối
xứng
N
qua

·
PMM

trục
P

MM ).
·
NMM

Vậy:

·PAC 45o

MP MN
·PMN

và

90o

M

Chứng tỏ PMN vuông cân tại M .(đpcm)

B

A

2.2. Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác
M

2.2.1. Bài toán tính toán
Bài toán tính toán trong tam giác là dạng bài toán tính số đo các góc, các
cạnh, diện tích, chu vi... hay thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng hình
học. Việc tính toán này dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập
mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các giá trị cần
tính toán.
Trong một số bài toán việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải
nhanh gọn. Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực

- 20 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

hiện nhờ một số phép chuyển dịch, bảo tồn độ dài đoạn thẳng và bảo tồn
góc để đưa những yếu tố đã biết và những yếu tố cần tính xích lại gần nhau.
Các bước giải: 3 bước
Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính tốn.
Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đó lựa chọn phép biến hình
phù hợp.

C

E

Bước 3: Tiến hành tính tốn theo các dữ kiện đã xác lập.
2.2.2. Ứng dụng giải bài tốn tính tốn trong tam giác
Bài tốn 1 (Bài tốn tính các cạnh, các góc trong tam giác)
Bài tốn 1.1.

µ = 90o và điểm M nằm trong tam giác
Cho tam giác vng cân ABC B
B

sao cho MA: MB: MC = 1: 2 : 3 . Tính số đo góc ·
AMB .
Lời giải
Xét phép quay:

A

o

QB90 : C a A, M a N . Theo bài ra
vì MA : MB : MC 1: 2: 3 nên nếu ta
đặt

MA x x 0

MB 2x vàMC 3x .
CM

thì

sẽ

Mặt

M

có
khác

N

AN 3x . Áp dụng định lí
B

C

Pitago trong tam giác vng MBN
ta có : MN 2

hay AN 2

BM 2

AM 2

BN 2

8x2

MN 2 . Từđóta suy ra ·
AMN

Vậ
y ·AMB 90o 45o 135o.
Nhận xét

- 21 -

90o Đònh lýPitago đả
o


PHẫP BIN HèNH VI CC BI TON V TAM GIC

NGUYN TH HNG

o

Theo cỏch gii bi toỏn trờn ta cú QB90 : M a N, C a A . Ta chng minh
c

AMN cú NA MN, MN

ú MC2
Vy

MC2

MA2

MB, NA MC v AN 2

AM 2

MN 2 do

MB2 .

nu

thay

gi

thit

MA2

MB2 thỡ bi toỏn vn hon ton gii tng t v ta cú bi toỏn:

MA : MB : MC 1: 2: 3

bng

gi

thit

à = 90o v im M nm trong tam giỏc
Cho tam giỏc vuụng cõn ABC B
sao cho MC2 = MA2 + MB2 . Tớnh s o gúc ã
AMB .
Mt khỏc bi toỏn trờn cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti B , nu ta thay
gi thit ny bng

ABC u thỡ cỏch gii hon ton tng t. Khi ú xột

o

QB60 : M a N, C a A sau ú cỏc bc gii tng t v ta cú bi toỏn:
Cho tam giỏc u ABC v im M nm trong tam giỏc sao cho

MC2 = MA2 + MB2 (hoc

MA: MB: MC = 1: 2 : 3 ). Tớnh s o gúc

ã
AMB .
ỏp s: ãAMB 150o

90o 60o

Bi toỏn 1.2.
Cho

à = 60o , BA= 2cm, BC = 4cm. Dng ra phớa ngoi tam
ABC cú B

giỏc mt tam giỏc u ACD . Tớnh di on thng BD .
Li gii
Ta dng ra phớa ngoi

ABC thờm

mt tam giỏc u na l

BCE . Xột

C

E

phộp quay:

D

o

QC60 : A a D, E a B do ủoựBD AE.
ã
ã
ã
Ta coự ABE
ABC
CBE
120o

- 22 -

B

A


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

Á
p dụng đònh lý hà
m số Cô
sin trong
AE2

BA2

Vậ
y BD

·
BE2 2.BA.BE.cos ABE

ABE ta có:

4 16 2.2.4.

1

2

28

AE 2 7 cm .

Bài tốn 1.3.
Cho

·
= 80o . Bên trong tam giác lấy điểm
ABC cân AB = AC có BAC

·
·
·
.
MBC
= 30o , MCB
= 10o . Tính số đo góc MAC
M sao cho
C

E

Lời giải
A

Xét phép quay:
o

·
QA60 : C a E do đóCAE
60Do . Vì tia

·
m trong gó
c BAC
AE nằ
và

ACE

đều nên ·ACE 60o . Mặt khác trong
B

A

·
·
50o nên BCE
10o .
ABC có ACB

M
C

B
E

·

Vì B, E, C cùng nằm trên đường tròn tâm A suy ra EBC
30o . Mà ta có
BMC

BEC g.c.g do đó CE CM CA. Ba điểm E, M , A cùng nằm

·
·
·
trên đường tròn tâm C nên 2MAE
MCE
20o suy ra MAE
10o
·
·
hay MAB
10o . Vậy MAC
70o .

Bài tốn1. 4.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng
C

7 . Lấy M là một điểm trong tam

giác sao cho ·
AMB = 120o , AM = 1 . Tính độ dài đoạn thẳng CM .
Lời giải

- 23 -

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

Xé
t ABM cóAB
7, AM C'1, ·AMB 120o
Á
p dụng đònh lý hà
m số Cô
sin ta có
:

A

AB2

M

AM 2

A

7

2AM .MB.cos120o

BM 2M' BM

1

BM 2

BM 2

BM 6 0

BM

2 BM

o

Xét QA60 M: M a M , B a C nên AM
·B
MAM

0

AM và

C

B

60o, MB M C 2.
C

· C
M AC c.c.c nê
n AM

Do MAB
· C
Ta có
: MM

·
AMB
120o

·
· A 120o 60o 60o
AM C MM

Á
p dụng đònh lý hà
m số Cô
sin trong
MC2

M'

MM 2

Vậ
y MC

· C
M C2 2.MM .M C.cosMM

MM C ta có:
1
1 4 2.1.2.
3
2

3.

Nhận xét
Nếu cho M nằm ngồi tam giác và các giả thiết khác giữ ngun thì ta sẽ
o

sử dụng phép quay QA60 và khi đó C, M, M thẳng hàng, từ đó suy ra
MC MM

M C 1 2 3.

Bài tốn 1.5.
Gọi P là một điểm nằm trong
A
M2

·
20o ,
ABC sao cho ·PAC = 10o , PCA=

·

·
.
PAB
= 30o và ·ABC = 40o . Tính số đo góc BPC
Lời giải

$1$

Vì P nằm trong tam giác nên ta có

M

C

·
·
·
CAB
PAC
PAB
10o 30o 40o . Vậy
C

trong

µ 40o
A B
ABC có µ

P

Q

ABC

µ 100o .
cân tại C và C

A

M1

- 24 -

B


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Gọi

là trục đối xứng của

Gọi Q Ñ P

NGUYỄN THỊ HẰNG

ABC C

thì

là trung trực của AB.

·
·
ta có CP CQ và QCB
PCA
20o

·
PCQ
60o. Vậy

CPQ là tam giác đều.
·
Mặt khác theo tính chất đối xứng ta có: BQC

·
APC
150o . Nên

·
·
·
BQP
360o PQC
BQC
360o 60o 150o 150o .
26

· , vừa là phân
PQB c.g.c suy ra PQ vừa là phân giác của CBP

CQB
giác

·
BPQ

·
. Xét phép đối xứng trục:
CQP
ÑBQ

·
BCQ

Ñ

ÑBQ : BQC a

BQP

nên

·
PCA
20o

·

·
·
Vậy suy ra BPC
BPQ
QPC
20o 60o 80o .

·
Kết luận: BPC
80o .
Nhận xét
Đây là một bài toán thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là
tính độ lớn của một góc. Vì thế có rất nhiều cách giải khác nhau, đặc biệt là
hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lí Sin và Côsin. Tuy nhiên trong
trường hợp bài toán trên thì dựa vào đặc điểm

ABC mà ta nghĩ đến sử dụng

phép biến hình: Phép đối xứng trục.
Bài toán 2 (Bài toán tính diện tích tam giác)
Bài toán 2.1.
Cho

ABC µ
A= 90o , AB = 3, AC = 4 , đường cao AH . Gọi I, K tương

ứng là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH
với cạnh AB, AC . Tính diện tích của

HI K .

- 25 -