Toán tử tuyến tính đóng trong không gian hilbert

Khóa luận tôt nghiệp

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học đ-ợc xây dựng vào khoảng đầu thế
kỷ XX. Trong quá trình phát triển giải tích hàm đã tích luỹ đ-ợc một nội dung
hết sức phong phú. Những ph-ơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của
giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử
dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đã mở ra phạm
vị nghiên cứu lớn cho ngành toán học. Với mong muốn đ-ợc nghiên cứu và
tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và b-ớc đầu tiếp cận với việc nghiên cứu
khoa học em đã chọn đề tài: Toán tử tuyến tính đóng trong không gian
Hilbert.
2. Mục đích nghiên cứu
B-ớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm
hiểu sâu hơn về giải hàm đặc biệt về toán tử tuyến tính đóng trong không gian
Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về toán tử tuyến tính đóng trong không gian Hilbert.
4. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Ch-ơng 2: Toán tử tuyến tính đóng.

Nguyễn Thị Thu

-1-

Lớp K33 CNToán

Khóa luận tôt nghiệp

Nội dung
Ch-ơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian định chuẩn. Không gian Hilbert
1.1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là tập tuỳ ý khác rỗng trên tr-ờng P với hai phép toán + và .
Giả sử có hai phép toán trong X :
(i) +

X X

x, y X ;

X ;

( x, y) a x y

P X

(ii) .

X ;

,x a

P; x X ;

x

Ta gọi X cùng với hai phép toán (i) và (ii) là không gian vectơ trên
tr-ờng P nếu 8 tiền đề sau đ-ợc thoả mãn:
T1:

x, y X : x y

T2:

x, y, z

X : ( x y) z

T3: Trong X có
T4:

y x;

x X ;

x ( y z) ;

để: x

x: x X ;

x ' X để thoả mãn: x x '

P; x, y X ta có:

T5:

( x y)

;

( x y)

T6:

,

P; x X ta có:

x

x

T7:

,

P; x X ta có:

( x) (

) x;

T8:

x

y;

x;

x X :1x x ;

Các phần tử của X đ-ợc gọi là các vectơ, các phần tử của P đ-ợc gọi
là tích vô h-ớng. Không gian vectơ X trên tr-ờng P còn gọi là P - không
gian vectơ X .
Khi P Ă , ta gọi không gian vectơ X là không gian vectơ thực.
Khi P Ê , ta gọi không gian vectơ X là không gian vectơ phức.

Nguyễn Thị Thu

-2-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.2
Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) cho
trên X . Hai chuẩn g và g
1

,

2

gọi là t-ơng đ-ơng nếu tồn tại hai số d-ơng

sao cho:
x1

x2

x 1, x X

Ví dụ:
Trên không gian vectơ Ă
k

x

j 1

xo

k

, hai chuẩn:

2

x j ; x ( x1, x2 ,..., xk ) Ă

k

(1)

max x j ; x ( x1, x2 ,...., xk ) Ă

k

1 j k

(2)

Các chuẩn g ( xác định bởi công thức (1)) và g o (xác định bởi công
thức (2)) là t-ơng đ-ơng.
Vì:

xo

x

k x o, x Ă

k

.

1.1.3. Tích vô h-ớng
Định nghĩa 1.1.3
Cho không gian tuyến tính X trên tr-ờng P ( P là tr-ờng số thực Ă

hoặc tr-ờng số phức Ê ). Ta gọi là tích vô h-ớng trên không gian X mọi ánh
, , thoả mãn tiên đề:
xạ từ tích Descartes X X vào tr-ờng P , kí hiệu gg

(1)

x, y X ( y, x) ( x, y) ;

(2) ( x, y, z X )( x y, z ) ( x, z) ( y, z) ;
(3) ( x, y X ) (

P) ( x, y)

(4) ( x X ) ( x, x) 0 , nếu x

( x, y) ;

( là ký hiệu phần tử không)

( x, x) 0 nếu x

Nguyễn Thị Thu

-3-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Các phần tử x, y, z,... gọi là nhân tử của tích vô h-ớng, số ( x, y ) gọi là
tích vô h-ớng của hai nhân tử x và y .
Các tiên đề (1), (2), (3), (4) gọi là hệ tiên đề tích vô h-ớng.
Ví dụ:
Không gian Ă

k

là không gian vectơ thực k chiều:

x ( x1, x2 ,...., xk ) Ă k , y ( y1, y2 ,..., yk ) Ă

k

Đặt:

x, y

n

x1 y1 x2 y2 ... xn yn

Thì Ă

k

j 1

x j y j (3)

cùng với hệ thức (3) thỏa mãn hệ tiên đề về tích vô h-ớng.

Thật vậy:
Kiểm tra 4 tiên đề tích vô h-ớng:
(1)

x ( x1, x2 ,...., xk ) Ă k , y ( y1, y2 ,..., yk ) Ă
Ta có: ( y, x)

k
j 1

yjxj

k

( x, y )

Suy ra ( y, x) ( x, y )
Tiên đề (1) đ-ợc thoả mãn.
(2) x ( x1, x2 ,...., xk ) Ă k ; y

z ( z1, z2 ,..., zk ) Ă
Ta có: ( x

y, z )

y1, y2 ,..., yk
k

( x1, x2 ,....xk ) ( y1, y2 ,... yk ),( z1, z2 ,....., zk )

( x1, x2 ,..., xk ),( z1, z2 ,..., zk )
Suy ra: ( x

y, z )

k
j 1

Suy ra: x

Nguyễn Thị Thu

y, z

Ă k;

xjz j

( y1, y2 ,..., yk ),( z1, z2 ,...., zk )
k
j 1

y jz j

( x, z ) ( y, z )

-4-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Tiên đề (2) đ-ợc thoả mãn.
(3)

x ( x1, x2 ,..., xk ) Ă k ; y ( y1, y2 ,... yk ) Ă k ,

Ă

Ta có:
( x, y ) ( ( x1, x2 ,...., xk ),( y1, y2 ,..., yk ))

( x1, x2 ,...., xk ),( y1, y2 ,... yk )
k

Suy ra: ( x, y )

j 1

x, y

Suy ra

xjyj

( x, y)

Tiên đề (3) đ-ợc thoả mãn.
(4)

x ( x1, x2 ,..., xk ) Ă k , ta có:
( x, x)

( x1, x2 ,..., xk ),( x1, x2 ,..., xk )
k

Suy ra: ( x, x)

x 2j

0

( x, x) 0 nếu x

0

x 2j

0

j 1
k

Và ( x, x)

j 1

x 2j

xj

0

x
Tiên đề (4) đ-ợc thoả mãn.
Vậy Ă k cùng với hệ thức (3) là một tích vô h-ớng.
* Một số tính chất cơ bản:
(1)

x

X ( , x) 0;

(2) ( x, y

X )(

(3) ( x, y, z

X ) ( x, y

P)( x, y )

( x, y ) ;

z ) ( x, y) ( x, z ) ;

1.1.4. Bất đẳng thức Schwarz
Với mỗi x X , ta đặt:

x

Nguyễn Thị Thu

( x, x)

-5-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Khi đó,

x, y

X , ta có bất đẳng thức Schwarz:

( x, y)

x y

1.1.5. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.4
Ta gọi H

gồm những phần từ x, y, z,... nào đấy là không gian

Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
(1) H là không gian tuyến tính trên tr-ờng P ;
(2) H đ-ợc trang bị một tích vô h-ớng gg
, ;
(3) H là không gian Banach với chuẩn x

( x, x), x H

Ví dụ:
Không gian Ă
Ta có Ă

k

k

là không gian vectơ thực k chiều.

cùng với hệ thức (3) thoả mãn hệ tiên đề về tích vô h-ớng.

Chuẩn sinh ra bởi tích vô h-ớng:

x

( x, x)

k
j 1

x 2j , x ( x1, x2 ,..., xk ) Ă

Vậy không gian vectơ thực Ă

k

k

cùng với tích vô h-ớng (3) là một không

gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.5 ( Không gian con của không gian Hilbert)
Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
* Tính trực giao:
Định nghĩa 1.1.6
Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y H gọi là trực giao, kí
hiệu x

y nếu x, y

Nguyễn Thị Thu

0.

-6-

Lớp K33 CNToán

Khóa luận tôt nghiệp

Định nghĩa 1.1.7
Cho không gian Hilbert H và tập con A
là trực giao với tập A , nếu x

y( y

phần tử x H gọi

H, A

A) , và ký hiệu x

A.

* Một số tính chất cơ bản:
(1)

x( x H ) (

(2) x H mà x

là ký hiệu phần tử không của không gian H ).

x thì x

.

(3) Nếu các phần tử x, y j

x

y j ( j 1,2,...., n ) thì

j

H ( j 1,2,..., n) thoả mãn điều kiện

P( j 1,2,...., n ), ta có:
n

x

j

j 1

yj

(4) Cho phần tử x H và dãy các phần tử ( yn )
theo chuẩn x

yn ( n N *) thì x

( x, x) . Nếu x

H hội tụ tới y

H

y.

(5) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H . Khi đó, nếu

x H và x

A thì x

.

Định lý 1.1.1( Định lý Pythagore)
Nếu x, y H và x

y thì x

Mở rộng cho n phần tử

y

2

x

2

y

2

n N , n 2 : giả sử các phần tử x j

j 1,2,..., n sao cho ( xk , x j ) 0; k
n
j 1

2

xj

H

j . Khi đó:
n
j 1

xj

2

.

1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
1.2.1. Các định nghĩa:

Nguyễn Thị Thu

-7-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Định nghĩa 1.2.1
Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên cùng tr-ờng P (
P là tr-ờng số thực Ă hay phức Ê ) . ánh xạ A từ không gian X vào không

gian Y . ánh xạ A gọi là toán tử tuyến tính nếu:
(1)

x, x ' X A( x x ')

(2)

x X (

Ax ' ;

Ax

P) : A( x)

Ax ;

Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện (1) thì A gọi là toán tử cộng tính.
Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện (2) thì A là toán tử thuần nhất.
Khi Y

P thì toán tử A th-ờng đ-ợc gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.2
Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính
A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số

C 0 sao cho:
Ax Y

C x

, x

X

X.

Định nghĩa 1.2.3
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y , hằng số C 0 nhỏ nhất thoả mãn hệ thức
Ax

C x X; x

Y

X gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .

* Tính chất của chuẩn của toán tử:
(1)

(2) (

x x Ax

A x

0) ( x

X )( A

) x

Ax

Định nghĩa 1.2.4 ( Hạt nhân)
Cho A : X

Y là toán tử tuyến tính

Gọi tập x X \ Ax
Vậy Ker A

Nguyễn Thị Thu

x X \ Ax

là hạt nhân của A và kí hiệu là KerA .
.
-8-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

1.2.2. Định lý ba mệnh đề t-ơng đ-ơng về toán tử tuyến tính liên tục
Định lý 1.2.1
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau t-ơng đ-ơng:
(1) A liên tục;
(2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;
(3) A bị chặn.
Chứng minh:
(1)

(2)

Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi
điểm x X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0
(2)

X.

(3)

Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0

X , nh-ng toán tử A không bị

chặn. Khi đó:

n N*
xn
n

xn

, đặt yn

yn

x0

X Axn
xn
n. xn

n. xn

thì yn

1
n

0(n

) nghĩa là yn

khi

).

x0 (n

Theo giả thiết, ta có:

A( yn

x0 ) Ax0

Nh-ng Ayn

A

0(n
xn
n xn

)

Ayn

1
. Axn
n. xn

0(n

)

1

Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên
Vậy toán tử A liên tục tại điểm x0
(3)

X thì bị chặn.

(1)

Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa: C 0 ,

Nguyễn Thị Thu

-9-

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Ax

C x; x X

(*)

Lấy một điểm bất kỳ x X và dãy điểm tuỳ ý ( xn )

X hội tụ tới x

nhờ hệ thức (*)

Axn

Ax

A( xn

x)

C xn

x

0(n

)

Do đó, A liên tục tại điểm x . Suy ra A liên tục
Định lý đ-ợc chứng minh.
1.2.3. Định lý tính chuẩn của toán tử
Định lý 1.2.2
Cho toán tử tuyến tính A , từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn thì:
A

sup Ax
PxP 1

Hay

sup Ax .

A

PxP 1

Chứng minh:
+ Chứng minh công thức: A

sup Ax
PxP 1

Đặt

sup Ax
PxP 1

Với mọi x X mà x
Do đó:

1 ta có Ax

A x

A

A

sup Ax
PxP 1

Lấy điểm x X mà x

y

x
x

y

1

, đặt:

Ay

Ax

Bất đẳng thức thoả mãn với cả x

Ax

x

Nguyễn Thị Thu

x x

x
. Suy ra:

A
- 10 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

A . Công thức đ-ợc chứng minh .

Vì vậy,

+ Chứng minh công thức: A

sup Ax
PxP 1

Đặt

sup Ax
PxP 1

Với mọi x X mà x

1, ta có Ax

A . Do đó:

A x
A

sup Ax
PxP 1

Lấy điểm bất kỳ x X mà x

y

x
x

y

1

, đặt:

Ay

Ax

Bất đẳng thức thoả mãn với cả x

Ax
Vậy

x

x
. Suy ra:

x X

A

A . Công thức đ-ợc chứng minh.

Định lý đ-ợc chứng minh.
1.2.4. Định lý về tính liên tục của toán tử ng-ợc
Định lý 1.2.3
Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gian
định chuẩn Y có toán tử ng-ợc A

0 sao cho: Ax

x,

1

liên tục khi và chỉ khi tn ti hng s

x X .Khi ú, A

1

1

.

Chng minh:
Trc ht ta chng minh toán t ngc A

1

ca toán t tuyn tính l

toán t tuyn tính.
Tht vy, ly hai phn t y1, y2 Y v hai s tùy ý a, b . Khi đó tồn tại
hai phần tử x1, x2

Nguyễn Thị Thu

X sao cho y1 Ax1, y2 Ax2
- 11 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Do ú: A ax1 bx2
Suy ra:

A

1

ay1 by2

aAx1 bAx2

ax1 bx2 aA 1 y1 bA 1 y2 .

ay1 by2

+ iu kin cn:
Gi s toán t tuyn tính A có toán t ngc A
minh trên A

1

liên tc. Theo chng

l toán tử tuyến tính. Do đó, theo nh lý ba mnh đề tng

ng v toán tử tuyến tính liên tục A

1

b chn.

1
Suy ra, tn ti hng s C 0 sao cho: A y

A 1 Ax

T đó: C Ax

1
x; x
C

Ax

C y ; y Y

x

X

1
ta c: Ax
C

t

1

x

+ iu kin :
Giả sử toán t tuyn tính A tha mãn iu kin Ax
Khi đó, vi x1, x2

x

X , x1 x2 ta có:

x1 x2

A x1 x2

Ax1 Ax2

Ax1

Ax2

Do đó, A có toán tử ng-ợc A 1 . Theo chng minh trên, toán tử A
tuyến tính. Theo chứng minh trên, toán tử A

1

1

tuyến tính. Từ đó, với mọi phần

tử y Y , ta có:
y

A 1y

Nguyễn Thị Thu

1

A A

1

y

A

1

y

y

- 12 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Suy ra, A
và A

1

1

là toán tử tuyến tính bị chặn hay toán tử tuyến tính liên tục

1

Định lý đ-ợc chứng minh.
1.2.5. Toán tử Compact
Định nghĩa 1.2.5
Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y gọi là toán tử Compact, nếu toán tử A ánh xạ tập bị chặn bất
kỳ trong không gian X thành tập Compact t-ơng đối trong không gian Y .
Toán tử Compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Ví dụ:
Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử hữu hạn chiều, nếu toán tử A ánh
xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn hữu han chiều Y .
Mọi toán tử tuyến tính bị chặn hữu hạn chiều đều là toán tử Compact.
Thật vậy, giả sử E là tâp bị chặn bất kỳ trong không gian X thì A E
là tập bị chặn trong gian hữu hạn chiều Y . Nh-ng mọi tập bị chặn trong không
gian hữu hạn chiều đều là tập Compact t-ơng đối , nên A là toán tử Compact.

Nguyễn Thị Thu

- 13 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Ch-ơng 2: Toán tử tuyến tính đóng
Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trên tr-ờng P ( P Ă hoặc P C )
và hai chuẩn g 1 , g 2 cho t-ơng ứng trên không gian X , không gian Y . Ta
lập tích Descartes Z

X Y

z

x, y : x X , y Y và đ-a vào Z hai

phép toán:

z1 z2

x1 x2 , y1

y2 ; z1

z

x, y ; z

x1, x2
x, y

Z ; z2
Z;

x2 , y2

Z

P

Ta nhận đ-ợc không gian tuyến tính Z trên tr-ờng P và gọi là tích
Descartes của hai không gian tuyến tính X ,Y kí hiệu là Z
vào không gian tuyến tính
thức z

x1

chuẩn của phần tử z

X Y . Ta đ-a

x, y xác định bằng công

y 2.

2.1. Toán tử tuyến tính đóng, định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 2.1.1
Cho hai không gian định chuẩn X ,Y và ánh xạ A từ không gian X
vào không gian Y . Ta gọi đồ thị của toán tử A , kí hiệu G A là tập:
G A

x, Ax : x X

X Y

Nếu đồ thị G A của toán tử A là tập đóng trong không gian tích
X Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng.

Ví dụ:
Cho X ,Y là hai không gian định chuẩn, toán tử tuyến tính A từ không

gian X vào không gian Y thỏa mãn điều kiện: Với mọi dãy điểm xn

X

hội tụ tới không và với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục g trên không gian
Y đều có dãy g Axn

Nguyễn Thị Thu

hội tụ tới không. Khi đó, A liên tục.

- 14 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Thật vậy:
Ta chỉ ra A là toán tử đóng.
Với mọi

xn , Axn

G A hội tụ tới x, y

xn

x và Axn

X Y , ta có:

y n

Theo giả thiết với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục g trên Y
, xn

Khi n

g A xn

g Axn

x

(phần tử không)

x

0

g ( Ax)

Lại có:

g Axn

g ( y ) (vì Axn

Nên g ( Ax) g ( y)

y)

g ( Ax y) 0

*
Nếu Ax y 0 thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g liên tục trên Y
g *( Ax y)

Ax y

Do đó, phải có Ax y

0 (mâu thuẫn)
hay Ax

y tức là ( x, y) G( A)

Vậy A là toán tử tuyến tính đóng từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y nên A liên tục.
2.2. Toán tử tuyến tính đóng và bị chặn
Định lý 2.2.1( Định lý đồ thị đóng)
Cho toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định Banach X vào không
gian Banach Y . Toán tử A liên tục khi và chỉ khi A là toán tử đóng.
Chứng minh.

Nguyễn Thị Thu

- 15 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

+ Điều kiện cần:
Giả sử toán tử tuyến tính A liên tục. Lấy một dãy bất kì ( xn , Axn )
(n 1,2,3...) thuộc G ( A) hội tụ tới phần tử ( x, y ) trong không gian X Y ,

nghĩa là nlim xn , Axn

( x, y)

Nh-ng xn , Axn

0

x, y

xn x, Axn

y

xn x 1

Axn

y2

nên lim xn x 1 0; lim Axn y 2 0

n

n

Từ tính liên tục của toán tử A và tính duy nhất của giới hạn, suy ra

y

lim Axn

Ax nghĩa là x, y

n

( x, Ax) G( A)

Vậy đồ thị G ( A) là tập đóng trong tích X Y .
+ Điều kiện đủ:
Giả sử đồ thị G ( A) của toán tử tuyến tính A là tập đóng trong không
gian tích X Y
Xét hai toán tử P1( x, Ax) x; P2 ( x, Ax) Ax( ( x, Ax) G( A))
Ta có P1 , P2 là các toán tử tuyến tính và P1 ánh xạ một đối một đồ thị
G ( A) lên không gian X , còn P2 ánh xạ một đối một đồ thị G ( A) vào không

gian Y . Tính bị chặn của các toán tử đó suy ra từ các hệ thức sau:
P1 x, Ax

x1

x1

P2 x, Ax

Ax 2

Ax 2

x1

Ta có, toán tử ng-ợc P1

x, Ax ,

Ax 2
1

x, Ax ,

x, Ax

G( A)

x, Ax

G ( A)

tồn tại và ánh xạ X lên G A . Khi đó, ánh

xạ tích P2 o P1 1 là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian X vào không gian Y .
Toán tử tích cũng liên tục, vì

P2 o P1

1

x

P2 o P1 1x

Nghĩa là P2 o P1

Nguyễn Thị Thu

x X ta có:

1

P2 P1

P2 o P1 1x

P2 P1

1

x

1

- 16 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

1

Nh-ng P2 o P1

Ax, x X nên P2 o P1 1

x P2 x, Ax

A

Suy ra, toán tử A liên tục.
Định lý đ-ợc chứng minh.
Định nghĩa 2.2.1
Cho A là một tập con của không gian định chuẩn X . Tính đóng của A
ký hiệu bởi clA có nghĩa là các giao điểm của tất cả các tập đóng chứa trong
A.

Định lý 2.2.2
Cho A là tập con của không gian định chuẩn X . Tính đóng của A là tập
hợp các giới hạn của tất cả các dãy hội tụ tới các phần tử của A , tức là:
clA = x X : x1, x2 ,... A sao cho xn

x

Định lý 2.2.3

Nếu A - đóng thì KerA - đóng
Thật vậy:
Nếu G A

x, Ax : x X - đóng.

Khi đó KerA

x X / Ax

- đóng.

Định lý 2.2.4
Nếu A - đóng và có nghịch đảo thì A

1

- đóng.

Thật vậy:
Nếu G A = x, Ax : x X - đóng.
Khi đó: G A

1

= Ax, x : x X - đóng.

2.3. Toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Hilbert
2.3.1. Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert.

Nguyễn Thị Thu

- 17 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Định nghĩa 2.3.1
Toán tử A đ-ợc xác định trong không gian Hilbert H . Toán tử A
không bị chặn nếu dãy các phần tử xn

n Ơ và Axn

H sao cho xn

M với số bất kỳ và

.

Từ đó các toán tử tuyến tính không bị chặn t-ơng đ-ơng với tính không
liên tục. Do đó, chúng ta có thể biểu diễn toán tử A là không bị chặn bởi việc
tìm dãy xn hội tụ về 0 sao cho dãy Axn không hội tụ tới 0.
Ví dụ:
Giả sử A là toán tử compact trong không gian Hilbert - n chiều. Nếu
A có nghịch đảo thì A

1

không bị chặn.

Thật vậy:
Giả sử vn H là một dãy trực giao và zn

Avn . Khi đó zn

0 nh-ng

A 1zn không hội tụ tới không.
nh ngha 2.3.2( Mở rộng của toán tử)
Cho A v B l toỏn t trong khụng gian vect X .
Ta có B l m rng ca A v vit l A
Nu D A
Và Ax

Bx ,

B:

D B , ( D A là min xỏc nh ca toỏn t A )
x D A .

nh ngha 2.3.3( Toán tử xác định trù mật)
Toỏn t A trong khụng gian nh chun X c gi l xác định trù
mật nu min ca nú l tp con trự mt ca X , ú l clD A

X.

Vớ d:

Toỏn t vi phõn D

d
l xác định trù mật trong L2 Ă .
dx

Tht vy:

Nguyễn Thị Thu

- 18 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Vỡ khụng gian con ca hm c ly vi phõn C01 Ă

l trự mt trong

L2 Ă .

nh lớ 2.3.1
Cho A l toỏn t xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H v X l
b tt c y

H vi Ax, y l hm liờn tc trờn D A . ú tn ti duy nht

toỏn t B xác định trờn X sao cho:

x, By ,

Ax, y

x D A v y

X.

Chng minh:
Vi

y

X , hm f y x

Ax, y liờn tc trờn khụng gian con trự

mt ca H , cú m rng duy nht n hm liờn tc f y trờn H . Theo nh lớ
Riesz, tn ti duy nht z y

H , sao cho:


fy x
t B y

x, z y , x H

zy ,

Ta cú:

Ax, y

fy x


fy x

x, z y

x, By ,

x D A v y

X.

nh lớ c chng minh.
nh ngha 2.3.4 ( Liên hợp của toán tử xác định trù mật)
Cho A l toỏn t xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H . Liờn
hp A* ca A l toỏn t nh ngha trờn tt c y

H vi Ax, y l hm liờn

tc trờn D A sao cho:

Ax, y

Nguyễn Thị Thu

x, A* y ,

x D A , y D A* .

- 19 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Vớ d:
Cho C01 Ă

l khụng gian ca hm ly vi phõn c mt cỏch liờn tc

trờn ton b Ă , vi giỏ Compact. Nú l khụng gian con trự mt ca L2 Ă
xột toỏn t vi phõn xác định trờn C01 Ă .
Từ Dx, y l hm liờn tc trờn C01 Ă

y ' L2 Ă

vi

y L2 Ă

sao cho

ta cú :

Dx, y
Vi D*

x t

d
y t
dt

x t

d
y t dt
dt

D l khụng ỳng. Vy min ca D* khụng l C01 Ă .

nh lớ 2.3.2
Cho A v B l toỏn t xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H :
(a) Nu A

B , thỡ B*

A* .

(b) Nu D B* l trự mt trong H , thỡ B

B** .

Chng minh:
(a)Xét y D B* thì khi hàm của x là hàm liên tục trên D B
Ta có: D A
Có Bx

D B (vì A

Ay (vì A

B ) nên Bx, y là hàm liên tục trên D A

B )với x D A thì Ax, y là hàm liên tục trên D A .

Chng minh y D A* :
Mt khỏc theo tớnh duy nht ca toỏn t liờn hp thỡ A* x

B* y vi

y D B* .
(b)Thấy rằng điều kiện:

Bx, y

Nguyễn Thị Thu

x, B* y ,

x D B , y D B* ,
- 20 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

Cú th vit li nh sau:

B* y, x

y D B* , x D B

y, Bx ,

T iu kin D B* l trự mt trong H nờn B** , ta cú:

B** y, x

y, B** x ,

y D B* , x D B**

Bng lp lun ging phn (a) ta cú th chng t D B
B x

D B** v

B** x , x D B .

nh lớ c chng minh.
nh lớ 2.3.3

Nu A l toỏn t mt-i-mt trong khụng gian Hilbert, c toỏn t A
v toỏn t ngc A

1

l toỏn t xác định trù mật thỡ A* l toỏn t mt-i-

mt v :
1

A*

A

1 *

.

Chng minh:
Cho y D A* thỡ cho mi x D A

1

, chỳng ta cú A 1x D A

Do ú:

A 1x, A* y

AA 1x, y

iu ny chng t A* y D A
A

1 *

A* y

AA

Sau ú, ly tựy ý y D A

Ax D A

1

1 *

1 *

y

1 *

x, y
v

y

(1)

thỡ cho mi x D A , chỳng ta cú:

. Do ú:

Ax, A

Nguyễn Thị Thu

1 *

y

A 1 Ax, y
- 21 -

x, y

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

iu ny cho thy A
A* A

1 *

y

1 *

D A* v

y
*

A 1A y

y

(2)

T (1) v (2) ta cú:
A

1 *

A* y

A* A

1 *

y

y.

nh lớ c chng minh.
nh lớ 2.3.4

Nu A, B v AB l toỏn t xác định trù mật trong H thỡ
B* A*

*

AB .

Chng minh:
Gi s x D AB v y D B* A* . Vỡ x D B v A* y D B* nờn

Bx, A* y

x, B* A* y

Mt khỏc, vỡ Bx D A v y D A* , chỳng ta cú :

Bx, A* y

ABx, y
Hơn nữa:

ABx, y
Chỳng ta cú, y D AB

*

x, B* A* y ,

x D AB

v B* A* y

AB y .

*

nh lớ c chng minh.
Đinh nghĩa 2.3.5 ( Toán tử tự liên hợp)
Cho A l toỏn t xác định trù mật trong khụng gian Hilbert H . Toỏn t
A c gi l t liờn hp nu A

A* .

nh ngha 2.3.6 ( Toán tử đối xứng)
Toỏn t xác định trù mật A trong khụng gian Hilbert H c gi l
i xng nu :

Nguyễn Thị Thu

- 22 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

x, Ay ,

Ax, y

x, y D A .

Vớ d:
Xột toỏn t b chn trờn H

l 2 nh ngha bi:

xn
.
n

A xn

Lu ý, A l toỏn t t liờn hp v mt-i-mt. Khụng gian con

R A

D A

1

l 2 sao cho :

gm ton b dóy yn

n2 yn

2

n 1

V nú l trự mt trong H . Toỏn t ngc A

A
Rừ ràng, A

1

1

yn

1

xỏc nh bi :

nyn

l toỏn t khụng b chn.

Theo nh lớ 2.3.3 thỡ A*
Do ú, A

1

1

A

1 *

A

1

l toỏn t t liờn hp.

nh lớ 2.3.5
Toỏn t xác định trù mật A trong khụng gian Hilbert H l i xng
nu v ch nu A

A* .

Chng minh:
: Gi s A

A*

Vỡ :

Ax, y

x, A* y ,

x D A , y D A* ,

(1)

Ax, y

x, Ay ,

x, y D A

(2)

Vy:

Do ú, A l toỏn t i xng.

Nguyễn Thị Thu

- 23 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

: Nu A l toỏn t i xng, thỡ t (1) v (2), ta cú A

A* .

nh lớ c chng minh.
2.3.2. Các tính chất của toán tử tuyến tính đóng không bị chặn
Định nghĩa 2.3.7
Một toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn
Y đ-ợc gọi là đóng nếu đồ thị G( A)

con đóng của X Y tức là xn

x D A và Ax

x, Ax : x D( A)

D A , xn

x và Axn

X là không gian
y có nghĩa là

y.

Định lý 2.3.6
Nếu A đóng và có nghịch đảo thì A

1

đóng.

Định lý 2.3.7
Nếu A là toán tử xác định trù mật thì A * là đóng.
Chứng minh:
Cho A là toán tử xác định trù mật với miền của A là D( A)
Nếu yn D( A*) , yn
Ta có:

Ax, y

y và A * yn

lim Ax, y

x

Hơn nữa y D A* và A* y

z , khi đó bất kì x D( A)

lim x, A* yn

x

x, z

z.

Điều phải chứng minh.
Định lý 2.3.8
Cho A là toán tử trong không gian Hilbert H . Khi đó, tồn tại toán tử B
sao cho G ( B) = clG ( A) . Nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
xn

D A , xn

0 , Axn

y tức là y 0 (*)

Chứng minh:

Giả sử G ( B)

Nguyễn Thị Thu

clG( A) với mọi toán tử B

- 24 -

Lớp K33 CNToán


Khóa luận tôt nghiệp

D A , xn

Nếu xn

tập đóng. ở đây, 0,0

0 , Axn

y , khi đó (0, y) G( B) . Vì G ( B) là

G ( B) , ta có y 0

Giả sử (*) thỏa mãn và lấy ( x, y1),( x, y2 ) clG( B)
Khi đó, tồn tại ( xn , Axn ),( zn , Azn ) G( A) sao cho:
xn

x, zn

x , Axn

Từ đó: xn - z n

yn , Azn

G A , xn

y2 .

zn

0 và A( xn zn )

y1 y2 (*) có

nghĩa là y1 y2 0
Suy ra B đ-ợc định nghĩa: B( x)

y nếu ( x, y )

clG ( A) .

Điều phải chứng minh.
Toán tử B là phần tử mở rộng đóng nhỏ nhất của A .
Định lý 2.3.9
Mọi toán tử đối xứng, xác định trù mật có phần mở rộng đối xứng đóng.
Chứng minh:
Cho A là toán tử đối xứng, xác định trù mật trong không gian Hilbert H .

Điều kiện (*) thỏa mãn tức là xn D A , xn

0 , Axn

y

Vì A là đối xứng nên:

y, z

lim

x

0

zn , z

lim
x

xn , Az

0

0 với bất kì z D( A) sao

cho:

xn

yn

x, Axn
y, Ayn

Bx
By

Vì A đối xứng, ta có:

Axn , yn

xn , Ayn

Cho n

, ta đ-ợc

Bx, y

x, By

Do đó, B đối xứng.
Điều phải chứng minh.

Nguyễn Thị Thu

- 25 -

Lớp K33 CNToán