Toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian hilbert

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1, Lí do chọn đề tài
Lí thuyết hàm và giải tích hàm là bộ môn lí thuyết được ra đời và phát
triển từ những năm đầu thế kỉ XX. Nó có tầm quan trọng, có những ứng dụng
trong các ngành toán học, có thể nói giải tích hàm là một môn học có tầm
quan trọng đối với sinh viên khoa toán. Vì vậy việc học và nắm vững môn
học này là điều rất cần thiết đối với sinh viên khoa toán.
Nội dung của giải tích hàm rất phong phú, đa dạng cùng với sự mới mẻ
và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những kiến thức của giải
tích hàm trở thành không dễ dàng đối với sinh viên khoa toán.
Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của giải tích hàm đồng thời
với quyết tâm bước đầu nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài “Toán tử
tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert” để làm khóa luận
khóa luận tốt nghiệp.
2, Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn
về giải tích hàm đặc biệt là lí thuyết toán tử.
3, Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert.
4, Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.
Đọc tài liệu và tra cứu.
5, Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: toán tử tuyến tính không bị chặn trong không gian Hilbert.

Phạm Thị Thu Hương

1

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian Hilbert
1.1.1. Không gian véctơ
Cho X là tập tùy ý khác rỗng trên trường P ( P là trường số thực ¡
hoặc trường số phức £ ) cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng “+” và phép
nhân với vô hướng “.” ).
Giả sử có hai phép toán trong X :
(i)

+: X

x, y a x
(ii)

x, y

X,

X

.: P X

y

X,

,x a

X

P, x X

.x

Ta gọi X cùng với hai phép toán (i) và (ii) là không gian véctơ (không
gian tuyến tính) trên trường P nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn:
T1,

x, y

T2,

x, y, z

T3,

T4,

X :x

y

y

X: x

trong X có

y

x;

z

để x

y z ;

x, x X ;

x X , x ' X để thỏa mãn: x x '
P , x, y

T5,

X ta có:

T6,

,

P, x X ta có:

T7,

,

P, x X ta có:

T8,

x

x

y
x
x

;

x

y;

x

x;
x;

x X :1x x .

Phạm Thị Thu Hương

2

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Các phần tử của X được gọi là các véctơ, các phần tử của P được gọi
là các vô hướng. Không gian véctơ X trên trường P còn gọi là P _không
gian véctơ X .
Khi P = ¡ thì X là không gian véctơ thực;
Khi P = £ thì X là không gian véctơ phức.
Ví dụ:
Không gian ¡

k

là không gian véctơ thực k chiều, với các phần tử kí

hiệu là:

x = xj

n

k
j 1

¡ k , n 0,1,2,...

1.1.2. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

¡ hoặc P £ ) cùng với một ánh

là không gian véctơ X trên trường P ( P
xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu là

và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên

đề sau đây:
x

T1,

X,

x

0,

x =0

x = ( kí hiệu phần tử không);

T2,

x X,

T3,

x , y X , ta có x y

Với mỗi x

P , ta có

x

.x ;
x

y .

X , số x gọi là chuẩn của véctơ x . Ta cũng kí hiệu

không gian định chuẩn là X . Các tiên đề T1, T2, T3, gọi là hệ tiên đề chuẩn.

X,

là không gian định chuẩn thực hoặc phức nếu P là trường

thực hoặc phức.

Phạm Thị Thu Hương

3

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ:
Không gian ¡

3

3

với chuẩn x

xi2 ,

x

x1 , x2 , x3

¡

3

là không

i 1

gian định chuẩn.
Định nghĩa 2
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
1.1.3. Tích vô hướng

¡ hoặc P £ ).

Cho X là không gian véctơ trên trường P ( P
Ánh xạ

g:X

X

P

x, y a g x, y
Ta kí hiệu: g x, y

x, y hoặc g x, y

x, y

Được gọi là một tích vô hướng trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
X ta có x, y

T1,

x, y

T2,

x, y , z

T3,

x X ta có x, x

T4,

x, x = 0

X,

,

x

y, x ;
P ta có

x

y, z

x, y

y, z ;

0;
(

là phần tử không).

Các phần tử x, y, z ,… gọi là các nhân tử của tích vô hướng, x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x, y .
Các tiên đề T1, T2, T3, T4, gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Ví dụ:
Cho X

¡ n, x

x1 , x2 ,..., xn , y

y1 , y2 ,..., yn

¡

n

n

x, y

x1 y1

x2 y2 ... xn yn

xi yi
i 1

Là một tích vô hướng trên ¡ n .

Phạm Thị Thu Hương

4

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

gMột số tính chất cơ bản
1,

x

X : ,x

2,

x, y

3,

x, y, z

0;

P : x, y

X,

X : x, y z

x, y ;

x, z .

x, y

1.1.4. Bất đẳng thức Schwarz
Giả sử

,

là một tích vô hướng trên X . Khi đó:

x, y

y, y ,

x, x .

x, y

X.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
1.1.5. Định nghĩa không gian Hilbert
Giả sử

x

x, x , x

là một tích vô hướng trên

,

X.

Khẳng định

X xác định một chuẩn trên X được gọi là cảm sinh bởi

tích vô hướng.
Chứng minh:
+Theo tiên đề T4, của tích vô hướng x là hoàn toàn xác định và

+

x

0, x X

x

0

x

là phần tử không).

,(

P, x X , ta có:
x

+ x, y, z

2

x, x

x, x

x, x

x .

X
x

y

2

x
= x

x

Phạm Thị Thu Hương

y, x
2

2

y

x, y
Re x, y

5

y, x
y

y

2

2

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

2

x

2 x, y

x
Vậy x

y

x

y

2

2

y

y .

W

Định lí được chứng minh.
Định nghĩa
Ta gọi một tập H

gồm những phần tử x, y, z,... nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau:
1, H là không gian véctơ trên trường P ;
2, H được trang bị một tích vô hướng
3,

,

;

H là không gian Banach với chuẩn x

Nếu P

x, x , x H .

¡ (hoặc P £ ) thì không gian Hilbert tương ứng là không

gian Hilbert thực (hoặc phức ).
Ví dụ 1:
Cho X

n

¡

n

với tích vô hướng x, y

xi yi ,
i 1

x

x1, x2 ,..., xn , y
Và chuẩn x

y1, y2 ,..., yn
n

xi2 thì ¡

¡
n

n

cùng với tích vô hướng là không gian

i 1

Hilbert.
Ví dụ 2:
Tập l2

x

xn , xn

p, n 1 \

xn

2

n 1

xn yn là tích vô hướng trên l2

x, y
n 1

Phạm Thị Thu Hương

6

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Và cảm sinh bởi tích vô hướng này x

x

2

là chuẩn đầy đủ.

n 1

Vậy l2 cùng tích vô hướng là không gian Hilbert.
Định nghĩa. (không gian con của không gian Hilbert)
Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian H .
1.1.6. Tính trực giao
Định nghĩa 1.1.6.1
Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y
kí hiệu x

y , nếu x, y

H gọi là trực giao,

0.

Định nghĩa 1.1.6.2
Cho không gian Hilbert H và A là tập con của H , A

. Phần tử

x H gọi là trực giao với tập A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A .
Kí hiệu: x
Vậy x

A

A

x

y, y

A.

g Một số tính chất cơ bản
x, x H , ( là phần tử không ) ;

1,

2, x H mà x
3,

x thì x

;

Nếu các phần tử x, y j

H ( j 1,2,3,..., n) thỏa mãn điều kiện
n

x

y j ( j 1,2,3,..., n) , thì

j

P( j 1,2,3,..., n) ta có x

jyj

;

j 1

4, Cho phần tử x H và dãy các phần tử
y

H khi n

. Nếu x

yn ,

n ¥ * thì x

yn

H hội tụ tới

y;

5, Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H . Khi đó,
nếu x H và x

A thì x

Phạm Thị Thu Hương

.

7

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 1.1.6.3. Định lí Pythagore
Nếu x, y H và x

y thì x

2

y

x

2

2

y .

Mở rộng cho n véctơ đôi một trực giao: x1 , x2 ,..., xn thì
2

n

n

2

xi , n ¥ * .

xi
i 1

i 1

gQuy tắc hình bình hành
Cho H là không gian Hilbert,

x

y

2

x

x, y H ta có:

y

2

2 x

2

y

2

.

Định lí 1.1.6.4
Cho dãy xn

H sao cho xn , xm

0 , n m . Khi đó chuỗi

xn
n 1

hội tụ trong không gian H khi và chi khi chuỗi

xn

2

hội tụ.

n 1

Chứng minh:
k

Đặt sk

p ¥ * ta có

xn ,(k 1,2,...) , thì
n 1

sk

p

sk

2

2

p

xk
j 1

Nếu chuỗi

p

xk

j

2
j

.

(*)

j 1

xn hội tụ thì dãy tổng riêng sk của chuỗi này là dãy cơ
n 1

bản. Do đó nhờ hệ thức (*) và và tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số,
chuỗi

xn

2

hội tụ.

n 1

Phạm Thị Thu Hương

8

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ngược lại, nếu chuỗi

xn

2

hội tụ, thì từ hệ thức (*) suy ra dãy tổng

n 1

riêng sk của chuỗi

xn là một dãy cơ bản. Từ đó và từ tính đầy của của
n 1

không gian H suy ra chuỗi

xn hội tụ trong không gian H .
n 1

W

Định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.6.5
Cho hai không gian Hilbert H và không gian con E
F

H . Tập con

H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là phần

bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu:

F

H E.

1.1.7. Đinh lí về hình chiếu lên không gian con
Cho không gian Hilbert H và H 0 là không gian con của H . Khi đó
phần tử bất kì x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x

y z, y H 0 , z

H0

(*)

Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tử x lên
không gian con H 0 .

Phạm Thị Thu Hương

9

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.8. Hệ trực chuẩn – Quá trình trực giao hóa Hilbert–Schmidt
Định nghĩa:

Cho không gian Hilbert H . Một tập hữu hạn hay đếm được các phần tử
en

H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu:

n 1

1 ,i j

ei , e j
ij

,

ij

(i, j 1, 2,3,...)

0 ,i j

là kí hiệu Kroneckes.

Nhận xét:
- Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính.
- Ngược lại giả sử xn

H là một hệ độc lập tuyến tính, ta có thể

n 1

xây dựng một hệ trực chuẩn từ hệ xn

n 1

này bằng quá trình trực giao hóa

Hilbert-Schmidt.

e1

x1
x1

e1 1 ;
n 1

yn

xn

xn , ei ei ,

n 2

i 1

yn
yn

en

Ta được hệ en

n 1

en

1, n 2

là hệ trực chuẩn.

Định lí . (Bất đẳng thức Bessel)
Nếu en
thì

n 1

là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H ,

x H ta đều có bất đẳng thức:
x, en

2

2

x .

(*)

n 1

Bất đẳng thức (*) gọi là bất đẳng thức Bessel.

Phạm Thị Thu Hương

10

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh:
Với k nguyên dương bất kì ta đặt
k

yk

x

x, en en .
n 1

( k không vượt lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho).
Khi đó:
k

yk ,

k

x, e j e j

k

x

x, en en ,

j 1

x, e j e j

n 1

j 1

k

x,

k

x, en en ,

j 1

n 1

k

2

x, e j
j 1

k

x, e j e j
j 1

k

x, en x, e j en , e j
n 1 j 1

k

2

x, e j
j 1
k

k

x, e j e j

k

2

x, e j

0.

j 1

x, en en áp dụng định lí Pythagore ta được:

Suy ra, yk
n 1

x

2

yk

2

k

2

x, en en
n 1

yk

2

k

x, en
n 1

2

k

x, en

2

n 1

Do tính chất tùy ý của k , ta có bất đẳng thức (*).

W

Định lí được chứng minh.
1.2. Toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert
1.2.1. Toán tử tuyến tính
Cho hai không gian véctơ X và Y trên trường P ( P

¡

hoặc

P £ ).

Phạm Thị Thu Hương

11

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ánh xạ A : X

Khóa luận tốt nghiệp

Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu

thỏa mãn:

1, x, x ' X : A x x '
2, x X ,

Ax

P: A

Ax ';

x

Ax.

Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1, thì toán tử A gọi là toán tử
cộng tính.
Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2, thì toán tử A gọi là toán tử
thuần nhất.
Khi Y

P thì toán tử A thường đươc gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Ví dụ:
Cho toán tử Ax

0, x1,0, x2 ,... , x

xn

l2 .

Toán tử A là toán tử tuyến tính.
Thật vậy:
+ Chứng minh A tồn tại

x

xn

l2, x

2

xn

2

n 1

Suy ra:

Ax

2

Ax

2

n 1

Suy ra tồn tại A : l2

2

xn

n

x

2

n 1

l2 .

+ Chứng minh A tuyến tính

gTính cộng tính
x

xn

l2 , y

A x y

0, x1

yn

l2 .

Ta có

y1 ,0, x2

0, x1,0, x2 ,...

Phạm Thị Thu Hương

12

y2 ,0,...
0, y1,0, y2 ,...

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Suy ra A x

Khóa luận tốt nghiệp

y

Ay .

Ax

gTính thuần nhất
x

xn

A
Suy ra A

x

Suy ra A

x

x

P ta có:

l2 ,

0, x1,0, x2 ,...
0, x1,0, x2 ,...
Ax

Vậy A là toán tử tuyến tính.
1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
Cho không gian Hilbert X và Y , toán tử tuyến tính bị chặn A từ
không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C

0 sao

cho:

Ax

C x, x X.

Nhờ định lí 3 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục ta suy ra A là

toán tử bị chặn thì A là toán tử liên tục.
Ví dụ:
Cho

A: ¡

¡

k

x1, x2 ,..., xk a

k

x1, x2 ,0,...,0

Thì A là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy:
+ A tồn tại

x12

Ax

x12

xn2

x <

n 1

Suy ra: Tồn tại A : ¡

k

¡ k.

+ A tuyến tính

gTính cộng tính

Phạm Thị Thu Hương

13

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

x

Khóa luận tốt nghiệp

x1, x2 ,..., xk , y

y1, y2 ,..., yk

¡

k

Ta có:

A x

y

x1

y1, x2

y2 ,0,...,0

= x1, x2 ,0,...,0
Suy ra A x

y

y1, y2 ,0,...,0

Ax Ay .

gTính thuần nhất
x

¡ k,

x1, x2 ,..., xk

A

x

P , ta có :

x1, x2 ,0,...,0
x1, x2 ,0,...,0

Suy ra:

A

x

Ax .

+ A liên tục
Từ Ax

x suy ra A bị chặn

Suy ra A liên tục.
Vậy A là toán tử tuyến tính liên tục.
1.2.3. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
Định lí 1.2.3.1. (F.Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f x

x, a , x H

(1.2.1)

Trong đó phần tử a H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f

a

(1.2.2)

Chứng minh:
Giả sử a là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian H .

Phạm Thị Thu Hương

14

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Nhờ các tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công
thức

x, a , x H .

f x

Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H .
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên H .
Kí hiệu H 0

0 . Ta thấy ấy H 0 là không gian tuyến

x H, f x

tính con của không gian H , vì

f ax by

x, y H 0 , a, b P ta có:
af x

bf y

0

ax by H 0 .
Đồng thời H 0 là một tập con đóng trong H . Thật vậy, nếu dãy điểm

xn

H 0 hội tụ đến điểm x H , thì nhờ tính chất liên tục của phiếm hàm

f ta có

f x

lim f xn

x H0 .

0

n

Do đó H 0 là một không gian con của không gian H .
Nếu H 0

H , chọn phần tử a

f x
Giả sử

x0

x,

, ta được biểu thức (1.2.1):

,x H .

H theo định lí lên không gian con, tồn tại phần tử

H0

H H0 , do đó x0

và f x0

0.

Với mỗi phần tử x H ta đặt y

f y

f x0 f x

xf x0

x0 f x , thì

f x f x0

0

y H0 .
Từ đó suy ra

0

Phạm Thị Thu Hương

y, x0

f x0 x, x0

15

f x x0 , x0

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

f x

Khóa luận tốt nghiệp

f x0
x0
x0 , x0

x,

f x0
x0
x0 , x0

x, a , trong đó a

H

Do đó phiếm hàm f có dạng (1.2.1).
Giả sử phiếm hàm f có hai cách biểu diễn

f x

x, a

x, a a '

x, a ' , x H
0

x H

a a'

Vậy phần tử a trong biểu diễn (1.2.1) được xác định một cách duy nhất
bởi phiếm hàm f .
Tiếp theo ta chứng minh hệ thức (1.2.2).
Theo bất đẳng thức Schwarz ta có:

f x

x, a

x a ,

f a

a, a

a a

f

x H

a .

Mặt khác,

Vậy

f

f

a .

a .

W

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.2.3.2

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp a, b p 1 đều
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
b

f x

x t y t dt , x t

L p a, b .

a

Trong đó hàm số y t
bởi phiếm hàm f và f

Phạm Thị Thu Hương

L p a, b ,

1
p

1
1 được xác định duy nhất
q

y q.

16

Lớp K33- CN Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.2.4. Toán tử liên hợp
Định nghĩa
Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Hilbert Y vào không
gian Hilbert X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu:

x, By , x X , y Y ;

Ax, y

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A* .
Định lí
Cho toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tử A ánh
xạ không gian Y vào không gian X .
Chứng minh:
Với mỗi phần tử cố định tùy ý y Y ta đặt:
fy x

Ax, y , x

X

x, x ' X , a, b P ta có
f y ax bx '

A ax bx ' , y

aAx bAx ', y
a Ax, y
af y x

b Ax ', y
bf y x '

Theo bất đẳng thức Schwarz

fy x

Ax, y

A. y.x, x

X

Nghĩa là phiếm hàm f y tuyến tính bị chặn và f y
lí Riesz, tồn tại duy nhất phần tử y*

fy x

Phạm Thị Thu Hương

A . y . Theo định

X sao cho:

x, y* , x X , f y

17

y*

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đặt y*

Khóa luận tốt nghiệp

A* y ta nhận được một ánh xạ A* từ không gian Y vào không

gian X thỏa mãn hệ thức:

x, A* y , x

Ax, y

X , y Y.

Theo định nghĩa, A* là toán tử liên hợp với toán tử A .

W

Định lí được chứng minh.

g Một số tính chất cơ bản
1, Cho hai không gian Hilbert X và Y . Nếu A, B I X ,Y thì:

A B

P:

A

*

A*

*

B* ,

A* ;

2, Cho hai không gian Hilbert X và Y . Nếu A I X ,Y và toán tử A
có toán tử ngược bị chặn A

1

thì:
A

3, Cho

B I X ,Y

1 *

A*

1

;

X , Y , Z là ba không gian Hilbert. Nếu A I X ,Y ,

thì:

BoA

*

A* o B* .

Ví dụ:
Cho toán tử Ax

0,0, a1x1, a2 x2 ,... , x

xn

l2 , an là dãy số phức

đã cho.

Tìm toán tử liên hợp của A .
Bài làm:
+ Tìm điều kiện của dãy an

g Nếu an

Phạm Thị Thu Hương

n 1

n 1

£ để A tồn tại.

£ bị chặn thì tồn tại M

0 với M

sup an
1 n

18

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ta có:
2

Ax

an xn

2

M

xn

n 1

2

M x

n 1

Suy ra A bị chặn
Vậy tồn tại A : l2

gNếu an

n 1

l2 .
£ không bị chặn suy ra

¥ * tồn tại ank

k

k,

Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi n1 n2 ... nk , chọn dãy

xn

n 1

l2 cho bởi
1
, n nk
k

xn

0, n nk

Khi đó
1
ank . , n nk
k

an xn

Mà ank

k suy ra an .

1
k

k 1,2,3,...
0,

n nk

1.

Suy ra:

ank

an xn
n 1

Suy ra không tồn tại A : l2
Vậy với an

n 1

n 1

12

k

n 1

l2 .

£ bị chặn thì tồn tại A : l2

x

l2

xn a Ax

0,0, a1x1, a2 x2 ,... .

+ A tuyến tính

Phạm Thị Thu Hương

19

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

gTính cộng tính
x

xn

l2 , y

A x

yn

y

l2 ta có

0,0, a1x1 a1 y1,...
= 0,0, a1x1,...

Suy ra A x

y

0,0, a1 y1,...

Ay .

Ax

gTính thuần nhất
x

xn

l2 ,

A

x

P ta có
0,0, a1x1, a2 x2 ,...
0,0, a1x1, a2 x2 ,... .

Suy ra A

Ax .

x

+ A bị chặn vì Ax

*

M x nên tồn tại toán tử liên hợp A .

*

+ Tìm A

x, y l2 , ta có:
Ax, y

0 y1 0 y2
a1x1 y3

Suy ra Ax, y
Suy ra A* y

a1x1 y3 a2 x2 y4 ... an xn y2

a2 x2 y4 ... an xn y2

n

n

...

...

x, A* y
a1 y3 , a2 y4 ,..., an yn 2 ,... .

1.2.5. Toán tử tự liên hợp
Định nghĩa
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính
nó gọi là tự liên hợp, nếu:

Ax, y

x, Ay , x, y H ;

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.

Phạm Thị Thu Hương

20

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lí
Nếu A là toán tử tự liên hợp ánh xạ không gian Hilbert H vào chính
nó, thì

sup Ax, x .

A

x 1

Chứng minh:
Đặt K

sup Ax, x
x 1

Với mọi x H mà x

Do đó K

Ax, x

Ax x

A

, đặt y

z
, thì y
z

A.

Với z H mà z

K

Az, z

1 ta có

Ay, y

A

z z

,
z z

1 và
1
z

2

Az, z .

2

K z .

Hiển nhiên, bất đẳng thức trên đúng với cả z

Az, z
Giả sử z H , Az

2

K z , z H.

, do đó z

. Đặt:

Az
,u

z

p

. Vì vậy:

1
Az .
p

Ta có:

A pz u , pz u
= p 2 Az, z
p 2 Az, z

Phạm Thị Thu Hương

A pz u , pz u

p Az , u

p Au , z

p Az , u

21

p Au, z

Au , u
Au , u

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

2 p Az, u

2 p Au, z

2 Az, pu

2 pu, Az

4 Az, Az

4 Az .

2

Do đó

Az

1
A pz u , pz u

4

2

1
K pz u
4
1
K pz
2

2

1
= K p2 z
2

2

u
2

1
A pz u , pz u
4

pz u

2

2

1
Az
p2

2

= K Az z

Az

K z .

Hiển nhiên bất đẳng thức trên đúng với cả z H mà Az

.

Suy ra :

Az
Vì vậy A

K z, z H

A

K.

K.

W

Định lí được chứng minh.
Ví dụ :
Cho toán tử Ax

0,0,..., xk , xk 1,... ,

x

xn

l2 , k là số nguyên

dương đã cho.
Tìm toán tử tự liên hợp của A ?
Dễ thấy A là toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn tại toán tử liên hợp A* .
Giả sử A* là toán tử liên hợp của toán tử A nghĩa là:

Phạm Thị Thu Hương

22

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

x, y l2 : Ax, y

x, A* y

Thật vậy:

x

xn

l2 , y

l2 .

yn

Ta có:

A x, y

0 y1 ... 0 yn

1

xn yn ...

x10 ... xn 10 xn yn ...
Suy ra: Ax, y

x, A* y

Từ đó suy ra A* y

0,0,..., yn , yn 1,...

Ay .

Vậy A là toán tử tự liên hợp.
1.2.6. Sự hội tụ yếu
Định nghĩa
Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm xn
điểm x

H , kí hiệu xn

yeá
u

H gọi là hội tụ yếu tới

x , nếu với mọi điểm y

lim xn , y

n

H

x, y .

Định lí
Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm xn

H hội tụ yếu khi và chỉ

khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:
1) Dãy điểm xn bị chặn theo chuẩn trong không gian Hilbert H .
2) Dãy số xn , y , n 1,2,... hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp
nơi trong không gian H .
1.2.7. Sự hội tụ mạnh
Định nghĩa
Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm xn
điểm x

H gọi là hội tụ mạnh tới

H nếu:

Phạm Thị Thu Hương

23

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

lim xn

x

n

xn

0

Nếu dãy điểm xn

H hội tụ mạnh tới điểm x

H , thì dãy điểm

hội tụ yếu tới điểm x

H , điều ngược lại không đúng.

Định lí
Cho không gian Hilbert H , nếu dãy điểm xn
điểm x

H và lim xn

x thì lim xn

n

x

n

H hội tụ yếu tới

0.

Chứng minh:
Nếu xn

yeá
u

x , thì với mọi y ta có:

xn , y

x, y khi n

xn , x

x, x

Do đó

x

2

Với

xn

x

2

xn

x, xn

= xn , xn
= xn
khi n

2

x

xn , x

x, xn

2Re xn , x

x

2

x, x
x

2

2 x

2

x

2

0,

.

Vậy dãy xn hội tụ mạnh tới x .
Hay lim xn
n

x

0.

W

Định lí được chứng minh.
1.2.8. Toán tử Compact
Định nghĩa 1.2.9.1

Phạm Thị Thu Hương

24

Lớp K33- CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Toán tử A trong không gian Hilbert H được gọi là toán tử Compact
(hoặc toán tử hoàn toàn liên tục) nếu cho mỗi dãy bị chặn xn trong H , thì
dãy Axn chứa một dãy con hội tụ.
Ví dụ:
Trong không gian Hilbert H cho hai phần tử y và z .

x, y z .

Tx

Cho xn là dãy bị chặn, nghĩa là xn

xn , y
Dãy

xn , y

dãy con bằng

xn y

chứa dãy con hội tụ

M , với M

0 và n ¥ . Vì

M y ;
x pn , y . Có nghĩa là giới hạn của

. Thì

Tx pn

x pn , y z

z, n

.

Do đó, T là toán tử compact.
Định lí 1.2.9.2
Toán tử Compact là bị chặn.
Chứng minh:
Nếu toán tử A không bị chặn, thì ở đó tồn tại dãy xn sao cho xn
với mọi n ¥ , và Axn

. Thì Axn

1,

không chứa dãy con hội tụ, có nghĩa

là A không là toán tử Compact.

W

Định lí được chứng minh.
Định lí 1.2.9.3

Cho A là toán tử Compact trên không gian Hilbert H , và B là toán tử
bị chặn trên H . Thì AB và BA là toán tử Compact.

Phạm Thị Thu Hương

25

Lớp K33- CN Toán