Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
------------ ------------

NGUYỄN THỊ HUẾ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CẤU TRÚC TINH THỂ
CỦA VẬT RẮN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trƣơng đến nay luận
văn của em đã hoàn thành. Trong thời gian nghiên cứu, em đã đƣợc sự giúp
đỡ tận tình của giảng viên – tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh – ngƣời trực tiếp
hƣớng dẫn em làm khóa luận này cùng các thầy cô trong khoa Vật Lý đặc
biệt là tổ Vật Lý lý thuyết trƣờng Đại học sƣ phạm Hà nội 2 và các bạn sinh
viên khoa Vật Lý.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý
trƣờng Đại học sƣ phạm Hà nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật Lý lý
thuyết, đặc biệt là cô giáo – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ, động
viên, tạo mọi điều kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa luận này.

Sinh viên
Nguyễn Thị Huế

2


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Huế

3


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 2
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................ 4
MỤC LỤC ........................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 6
CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN ....................8
1.1. Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp .................................................... 8
1.1.1. Khái niệm mạng tinh thể ..................................................................... 8
1.1.2. Ô cơ sở ................................................................................................ 9
1.2. Chỉ số Miller............................................................................................. 11
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian .......................................... 13
1.3.1. Đối xứng tịnh tiến ............................................................................. 13
1.3.2. Phép đối xứng quanh một trục .......................................................... 14

1.3.3. Phép phản xạ gƣơng .......................................................................... 14
1.3.4. Phép đối xứng nghịch đảo ................................................................. 15
1.4. Các hệ tinh thể .......................................................................................... 16
1.4.1. Hệ tam tà ........................................................................................... 16
1.4.2. Hệ đơn tà ........................................................................................... 17
1.4.3. Hệ thoi ............................................................................................... 17
1.4.4. Hệ tứ giác .......................................................................................... 18
1.4.5. Hệ tam giác (hệ lăng trụ thoi) ........................................................... 18
1.4.6. Hệ lục giác......................................................................................... 19
1.4.7. Hệ lập phƣơng ................................................................................... 19
1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản............................................................. 20
1.5.1. Mô hình đơn giản và cũng tƣơng đối phù hợp với cấu trúc thực của
tinh thể là cấu trúc xếp chặt các quả cầu. ......................................... 20

4


1.5.2. Cấu trúc Natri Clorua ........................................................................ 22
1.5.3. Cấu trúc Xêsi Clorua (CsCl) ............................................................. 24
1.5.4. Cấu trúc kim cƣơng ........................................................................... 25
1.5.5. Cấu trúc kẽm Sunfua lập phƣơng (sphalerite) và vuazit (wurtzite) .. 25
1.6. Mạng đảo - Vùng Brillouin ...................................................................... 27
1.6.1. Mạng đảo ........................................................................................... 27
1.6.2. Vùng Brillouin .................................................................................. 28
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT
RẮN .......................................................................................... 29
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 42

5

MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài.
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lý chất
rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật
liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn nhƣ điện tử, du hành vũ trụ, năng lƣợng
nguyên tử, …Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt những công trình
về siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lý chất rắn càng thêm nổi
bật. Những phát minh này đƣợc ứng dụng từ việc nghiên cứu các tính chất
nhiệt, điện từ, siêu dẫn của vật rắn.
Tuy hiện nay ở nƣớc ta có khá nhiều tài liệu về vật lý chất rắn nhƣng tài
liệu về bài tập vật lý chất rắn chƣa nhiều và việc làm bài tập của môn này
chƣa đƣợc coi trọng. Muốn hiểu đƣợc lý thuyết một cách chặt chẽ thì một
việc làm rất cần thiết đối với sinh viên các trƣờng đại học nói chung và sinh
viên sƣ phạm nói riêng là giải bài tập. Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số bài
toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn” nhằm bƣớc đầu làm quen với việc làm
bài tập vật lý chất rắn để cụ thể hơn những vấn đề trong lý thuyết, rèn kĩ năng
tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau.
 Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu lý thuyết về cấu trúc tinh thể của vật rắn để giải đƣợc bài tập
về cấu trúc tinh thể của vật rắn.
 Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Trình bày lý thuyết cấu trúc tinh thể của vật rắn.
 Xét các bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn.
 Phƣơng pháp nghiên cứu.
 Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
 Thống kê, lập luận, diễn giải.

6

 Cấu trúc của luận văn.
Luận văn gồm 2 chƣơng
Chƣơng 1: Cấu trúc tinh thể của vật rắn
Chƣơng này trình bày một số vấn đề về lý thuyết mạng tinh thể, bao gồm:
1.1. Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp
1.2. Chỉ số Miller
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian
1.4. Các hệ tinh thể
1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản
1.6. Mạng đảo – Vùng Brillouin
Chƣơng 2: Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn
Chƣơng này trình bày một số bài tập về cấu trúc tinh thể của vật rắn.

7


CHƢƠNG 1
CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN
1.1. Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp
1.1.1. Khái niệm mạng tinh thể
Đa số vật rắn kết tinh đều có cấu trúc tinh thể nghĩa là chúng là một tập
hợp của một số nguyên tử đƣợc xếp theo trật tự nhất định trong không gian.
Tinh thể lý tƣởng là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là
hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tƣởng phải hoàn toàn đồng nhất. Nghĩa là ở
mọi nơi nó đều chứa những những nguyên tử nhƣ nhau và phân bố nhƣ nhau.
Tinh thể lý tƣởng phải có kích thƣớc trải rộng vô hạn. Khi đó vị trí của một
hạt bất kỳ của mạng đƣợc xác định nhờ vectơ





(1.1)
an  n1a1  n2a2  n3a3
  
Trong đó: a1 , a2 , a3 là những vectơ tịnh tiến cơ sở( vectơ tịnh tiến bé
nhất theo phƣơng đã chọn) không nằm trong cùng một mặt phẳng; n1 , n2 ,
n3 là những số nguyên tùy ý có thể dƣơng, âm hoặc bằng không.

Chọn một điểm của không gian làm gốc tọa độ thì tập hợp các giá trị khác

nhau của các điểm có bán kính an đƣợc xác định theo (1.1) với các giá trị
khác nhau của n1 , n2 , n3 sẽ tạo thành mạng không gian gọi là mạng Bravais,
và các điểm đó đƣợc gọi là nút của mạng không gian hay gọi là nút mạng.
Có hai loại mạng tinh thể:
Mạng tinh thể đơn giản đƣợc tạo thành bằng cách đặt các nguyên tử
cùng loại trên các nút mạng của mạng Bravais (Hình 1.1a)
Mạng tinh thể phức tạp đƣợc cấu tạo từ một số loại mạng Bravais đơn
giản bằng cách đặt lệch mạng Bravais này tƣơng đối với mạng Bravais kia
một khoảng nào đó trong không gian (Hình 1.1b)

8


Hình 1.1a

Hình 1.1b

1.1.2. Ô cơ sở

  
Ba vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ
không vuông góc. Hình hộp đƣợc tạo thành từ ba vectơ cơ sở gọi là ô cơ sở
 



hay ô sơ cấp có thể tích bằng Ω= a1. a2  a3  . Ô cơ sở là đơn vị tuần hoàn nhỏ
nhất của mạng có cấu trúc và tính chất đại diện cho toàn bộ tinh thể. Tinh thể
gồm những ô cơ sở giống hệt nhau sắp xếp một cách tuần hoàn trong không
gian. Do đó không thể chọn ô cơ sở một cách bất kì mà phải đúng nguyên tắc
sau:
+ Tính đối xứng của tinh thể là đối xứng của ô cơ sở.
+ Số cạnh bằng nhau và số góc bằng nhau của ô cơ sở là lớn nhất.
+ Nếu có các góc vuông giữa các cạnh thì số góc đó phải nhiều nhất.
+ Có thể tích nhỏ nhất hoặc các cạnh bên lớn nhất.
Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở và do đó sự lựa chọn ô cơ sở không phải là
duy nhất (Hình 1.2).
Đối với mạng Bravais ta có thể xây dựng ô cơ sở có tất cả các tính chất
đối xứng sau: ta chọn một nút mạng Bravais làm gốc và nối nó với các nút
khác gần nhất bằng các đoạn thẳng rồi vẽ các mặt phẳng trung trực của cả
đoạn thẳng. Các mặt đó tạo thành một hình đa diện gọi là ô cơ sở WignerSeitz (Hình 1.3).
Đối với mạng tinh thể đơn giản (mạng Bravais) mỗi ô cơ sở WignerSeitz chỉ chứa một nguyên tử. Đối với mạng tinh thể phức tạp mỗi ô cơ sở
9


Wigner-Seitz chứa một nguyên tử ở tâm ô này và có thể có s nguyên tử khác

có vị trí đối với gốc của ô đƣợc xác định bằng s vectơ ri (i=1,2,….,s). Vị trí s
 

của nguyên tử thứ i ở ô cơ sở n đƣợc xác định bằng vectơ an  ri

a1

a2

a2


a1

a2


a1

Hình 1.2

Hình 1.3

Sau đây là các ví dụ về ô Wigner-Seitz đối với mạng lập phƣơng.
Đối với mạng lập phƣơng đơn giản ô Wigner-Seitz là một hình lập
phƣơng (Hình 1.4a)
Đối với mạng lập phƣơng thể tâm, mỗi nút có 14 nút lân cận và ô
Wigner-Seitz là hình đa diện 14 mặt: 8 mặt lục giác và 6 mặt hình vuông
(Hình 1.4b)
Đối với mạng lập phƣơng diện tâm, mỗi nút có 12 nút lân cận và ô lân
cận và ô Wigner-Seitz là một hình đa diện 12 mặt (Hình 1.4c)

Hình 1.4a

Hình 1.4b

10

Hình 1.4c


1.2. Chỉ số Miller
Vị trí của các nút, các hƣớng và các mặt phẳng trong tinh thể sẽ đƣợc
xác định bằng chỉ số Miller.
Trong mạng không gian, đƣờng thẳng đi qua vô số các nút mạng đƣợc
gọi là đƣờng thẳng mạng. Đƣờng thẳng đi qua hai nút mạng gọi là đƣờng
thẳng mạng.
Mặt phẳng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phẳng mạng. Mặt phẳng
chứa ba nút mạng gọi là mặt phẳng mạng.
Để xác định đƣờng thẳng mạng và mặt phẳng mạng, ta sử dụng hệ tọa
  
độ Oxyz có các trục dựa trên ba vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 . Gốc O của hệ tọa độ
đặt ở một nút mạng.
Một mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz ở các đoạn tƣơng ứng n1a1 ,
n2a2 , n3a3 . Lấy nghịch đảo các số n1 , n2 , n3 ta đƣợc, 1 / n1 , 1 n2 , 1 n3 . Quy

đồng mẫu số, giả sử mẫu số chung nhỏ nhất là M, ta tìm đƣợc ba số nguyên
nhỏ nhất h  M n1 , k  M n2 , l  M n3 sao cho h : k : l  1 n1 :1 n2 :1 n3 .
Ba số nguyên nhỏ nhất h , k , l đƣợc gọi là chỉ số Miller của mặt nói trên và
đƣợc ký hiệu là ( h k l ).

z

C
A

c a
b

B
y
Hình 1.5

11

x


Thí dụ: Mặt (ABC) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lƣợt tại các điểm 3a1 ,
4a2 , 2a3 (Hình 1.5). Ta có các số n1 =3, n2 =4, n3 =2 và các số nghịch đảo 1/3,

1/4, 1/2. Mẫu số chung nhỏ nhất là 12, ta đƣợc ba số nguyên nhỏ nhất là

h =12/3=4, k =12/4=3, l =12/2=6 sao cho 4:3:6 = 1/3:1/4:1/2, do đó chỉ số
Miller của mặt này là ( 4 3 6).
Chú ý:
+ Nếu mặt phẳng song song với trục tọa độ nào thì coi nhƣ nó cắt trục
đó tại ∞, chỉ số Miller ứng với trục đó bằng không.
+ Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số
Miller tƣơng ứng có dấu âm và ký hiệu bằng dấu “-” ở trên chỉ số đó.
+ Các mặt phẳng mạng tƣơng đƣơng với nhau về tính chất đối xứng tạo
thành một họ mặt phẳng mạng và đƣợc ký hiệu { h k l }.
+ Trong mạng lục giác ngoài các trục x, y, z ngƣời ta dùng thêm một

trục tọa độ u, nằm trong mặt phẳng chứa trục x, y (Hình 1.6). Ba trục x, y, u
từng đôi một hợp với nhau một góc 1200, trục z vuông góc với mặt chứa x, y,
u. Gốc của các trục tọa độ đặt ở tâm O của đáy lục giác. Chỉ số Miller của mặt
phẳng mạng đƣợc xác định theo phƣơng pháp chung và đƣợc ký hiệu là ( h k

i l ). Các chỉ số h , k và i không độc lập với nhau mà liên hệ với nhau bằng
biểu thức

i  h  k 
Phƣơng tinh thể là đƣờng thẳng đi qua các nút trong mạng tinh thể cách
nhau những khoảng cách theo quy luật xác định.

12


u

y

O

x
Hình 1.6
Phƣơng song song với môt vectơ nào đó đƣợc xác định bằng bộ ba số
nguyên nhỏ nhất tỷ lệ với ba thành phần của vectơ đó trên các trục tọa độ, tính
theo đơn vị a1 , a2 , a3 . Các số này đƣợc đặt trong ngoặc vuông [ h k l ].
Họ các phƣơng tƣơng đƣơng nhau về tính chất đối xứng đƣợc ký hiệu
bằng chỉ số đặt trong dấu ngoặc nhọn < h k l >.
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian
Đặc điểm cơ bản của mạng không gian chính là tính chất đối xứng của

nó. Điều này đƣợc thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi
hay nói cách khác: mạng lại trùng với chính nó khi ta thực hiện một số phép
biến đổi.
1.3.1. Đối xứng tịnh tiến
Tinh thể trùng với chính nó khi ta tịnh tiến tất cả các nguyên tử giống


nhau của nó một vectơ tịnh tiến an ký hiệu là T an . Phép biến đổi này biến


vectơ r thành vectơ r 
  
r  = r + an

13


an

r
a

b
r'

Hình 1.7
1.3.2. Phép đối xứng quanh một trục
Phép quay bậc n là phép quay một góc 2 / n quanh một trục nào đó.
Trục đó gọi là trục quay bậc n và ký hiệu là n (theo ký hiệu quốc tế).

quay góc π

Quay góc 2π
Hình 1.8

Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc 1, 2, 3, 4 và 6 ứng với các
phép quay các góc 2 ,  , 2 3 ,  2 và  3 . Không tồn tại các mạng có trục
quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn.
1.3.3. Phép phản xạ gương
Phép phản xạ gƣơng qua một mặt phẳng nào đó, thí dụ qua mặt phẳng
xOy là phép biến đổi điểm M(x, y, z) thành điểm M’(x, y, -z). Mặt phản xạ
gƣơng đƣợc ký hiệu là m hoặc C3. (Hình 1.9)
14


M
O

x

y

M'
Hình 1.9
1.3.4. Phép đối xứng nghịch đảo
Phép nghịch đảo đối với một điểm nào đó, chẳng hạn đối với gốc tọa
độ O, là phép biến đổi điểm M(x, y, z) thành điểm M’(-x,- y, -z). Điểm O
đƣợc gọi là tâm nghịch đảo. Phép nghịch đảo đƣợc ký hiệu là l hoặc Ci (Hình
1.10)
M

o

M'

Hình 1.10
Các phép biến đổi đối xứng vừa nói ở trên, gồm các phép quay, phản xạ
và nghịch đảo có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian. Tuy nhiên trên
thực tế, mỗi mạng không gian chỉ đối xứng với một trong số các phép biến
đổi đó.
15


1.4. Các hệ tinh thể
Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, ngƣời ta
chia chúng ra thành 7 hệ tƣơng ứng với 7 ô sơ cấp khác nhau. Đó là các hệ:
tam tà, đơn tà, thoi, tam giác, tứ giác, lục giác và lập phƣơng. Mỗi hệ đƣợc
  
đặc trƣng bởi quan hệ giữa ba vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 và các góc  ,  , 
giữa các vectơ đó nhƣ hình vẽ

a3




O

a2



a1
Hình 1.11

1.4.1. Hệ tam tà
  
Các vectơ cơ sở a1 , a2 , a3 có độ dài khác nhau, các góc  ,  ,  khác

nhau. Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo.

   
a1  a2  a3

16


a3



a2




a1

Hình 1.12: Hệ tam tà.
1.4.2. Hệ đơn tà

Có hai loại mạng: mạng đơn tà (đơn giản) và mạng đơn tà tâm đáy. Hệ
có một trục quay bậc 2(song song với a2 ) và mặt phản xạ vuông góc với trục
này. a1  a2  a3 ,     900 ,   900
a3





a3

a2







a2



a1

a1

đơn tà

đơn tà tâm đáy

Hình 1.13: Hệ đơn tà.

1.4.3. Hệ thoi
Ô sơ cấp là hình hộp chữ nhật và có bốn loại mạng: thoi, thoi tâm đáy,
thoi tâm khối, thoi tâm mặt. Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau, ba
mặt phẳng phản xạ vuông góc với các trục quay.
a1  a2  a3

      900

17


a3

a3

a2

a3

a2

a2

a1

a1

a2

a1

thoi tâm đáy

Thoi

a3

a1

thoi tâm khối

thoi tâm mặt

Hình 1.14 : Hệ thoi.
1.4.4. Hệ tứ giác


Ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy vuông. Hai phƣơng a1 và a2 tƣơng
đƣơng nhau. Hệ tứ giác có hai loại: tứ giác (đơn giản) và tứ giác tâm khối. Hệ
có một trục quay bậc 4, bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4, năm
mặt phản xạ vuông góc với các trục quay.
a1  a2  a3 ,       900

a3

a3

a1

a1

a1

a1
Tứ giác

Tứ giác tâm khối
Hình 1.15: Hệ tứ giác.

1.4.5. Hệ tam giác (hệ lăng trụ thoi)
Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục quay bậc 2 cắt nhau dƣới góc 600 và
ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục quay bậc 2.
a1  a2  a3

900        1200
18


a1

a1
a1

Hình 1.16: Hệ tam giác.
1.4.6. Hệ lục giác
Ô sơ cấp có dạng có dạng lăng trụ đứng, đáy hình thoi có góc 600. Tuy
nhiên để nhấn mạnh tính đối xứng thuộc hệ lục giác, ngƣời ta ghép thêm vào
hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 1200, để có ô dƣới dạng lăng trụ đứng đáy lục

giác, có nút mạng ở hai tâm đáy.
Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau dƣới góc 300,
sáu mặt phản xạ chứa trục quay bậc 6 và một trục bậc 2, một mặt phản xạ
vuông góc với trục quay bậc 6.
a1  a2  a3 ,  =1200,    =900

a3

a1

a1



Hình 1.17: Hệ lục giác.
1.4.7. Hệ lập phương
Ô sơ cấp là hình lập phƣơng và có ba loại mạng: mạng lập phƣơng (đơn
giản), lập phƣơng tâm khối và lập phƣơng tâm mặt. Hệ có ba trục quay bậc 4
đi qua tâm các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với đƣờng chéo chính,

19


sáu trục quay bậc 2 đi qua điểm giữa các cạnh đối diện, sáu mặt phản xạ qua
các cạnh đối diện, ba mặt phản xạ chứa trục quay bậc 4 và song song với các
mặt bên.
a1  a2  a3

      900

a1

a1

a1

a1
a1

a1

a1
a1

Lập phƣơng

a1

Lập phƣơng tâm khối

Lập phƣơng tâm mặt

Hình 1.18: Hệ lập phương.
1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản
1.5.1. Mô hình đơn giản và cũng tương đối phù hợp với cấu trúc thực của
tinh thể là cấu trúc xếp chặt các quả cầu.
Các loại nguyên tử có tính đối xứng cầu nhƣ nguyên tử khí trơ hay các
nguyên tử mà sự liên kết giữa chúng không có phƣơng hƣớng rõ rệt nhƣ liên
kết kim loại, thƣờng có cấu trúc nhƣ các quả cầu xếp chặt sao cho phần thể
tích còn lại giữa chúng là bé nhất.

Thƣờng có hai cách xếp các quả cầu: cách 1 dẫn đến cấu trúc lập
phƣơng xếp chặt, cách 2 dẫn đến cấu trúc lục giác xếp chặt.
Ta lần lƣợt xếp các quả cầu thành từng lớp. Lớp thứ nhất (gọi là lớp A)
nằm trên một mặt phẳng, mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác tạo thành 6
hốc rỗng (ký hiệu là B và C) ở xung quanh (Hình 1.19). Ở lớp thứ hai các quả
cầu đƣợc đặt vào những hốc B (gọi là lớp B).

20


A

A
B
C
A
B

A

A

A
B
C
A
B

C
A

A
B
C
A
B

C
A

A
B
C
A
B

C
A

C
A
B
C
A

Hình 1.19: Sự sắp xếp các quả cầu lớp A và các hốc rỗng B và C
Lớp thứ ba có hai cách xếp: nếu các quả cầu của lớp này đƣợc xếp vào
những chỗ ngay phía trên các hốc rỗng C của lớp thứ nhất, rồi tiếp đó lớp thứ
tƣ lại trùng với lớp thứ nhất sao cho trình tự các lớp là

ABC ABC

ABC….(Hình 1.20a) thì ta nhận đƣợc cấu trúc lập phƣơng tâm mặt. Tinh thể
các loại khí trơ nhƣ Ne, Ar…các kim loại nhƣ Ag, Au, Pt,… có cấu trúc loại
này. Nếu các quả cầu của lớp thứ ba đƣợc xếp ngay phía trên tâm của các quả
cầu của lớp thứ nhất sao cho trình tự các lớp là AB AB AB…thì ta nhận đƣợc
cấu trúc lục giác (Hình 1.20b).
Cấu trúc lục giác có mạng không gian là mạng lục giác, gốc mạng gồm
hai nguyên tử nằm tại vị trí 0 0 0, 2/3 1/3 1/2 (Hình 1.20c).

(a)

21


c

a

(b)

a

(c)

Hình 1.20: (a). Cấu trúc lập phương xếp chặt;
(b) Cấu trúc lục giác xếp chặt
(c) Ô cơ sở của cấu trúc lục giác xếp chặt.
Mỗi ô cơ sở có hai nguyên tử nằm ở các vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2. Mỗi
nguyên tử đƣợc bao quanh bởi 12 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất, do đó số

phối vị bằng 12. Ô cơ sở của mạng lục giác xếp chặt có trị số c/a có giá trị
bằng (8/3)1/2=1,633. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt đƣợc dẫn ra
trong bảng 1.1
Bảng 1.1. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt
Tinh thể

c/a

Tinh thể

c/a

Cd

1.886

Zr

1.594

Zn

1.861

Gd

1.592

He

1.633

Lu

1.586

Mg

1.623

Ti

1.586

Co

1.622

Be

1.581

1.5.2. Cấu trúc Natri Clorua
Cấu trúc Natri Clorua, NaCl đƣợc trình bày trên hình 1.21

22


Na
Cl

Hình 1.21: Cấu trúc Natri Clorua.
Mạng không gian Bravais là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm
hai nguyên tử: nguyên tử Cl nằm tại vị trí (0 0 0), nguyên tử Na nằm tại vị trí
(1/2 1/2 1/2). Trong một ô cơ sở có bốn nguyên tử Cl và bốn nguyên tử Na
nằm ở các vị trí sau:
Cl: 0 0 0; 1/2 1/2 0; 1/2 0 1/2; 0 1/2 1/2
Na: 1/2 1/2 1/2; 0 0 1/2; 0 1/2 0; 1/2 0 0
Mỗi nguyên tử có sáu nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do
đó số phối vị là 6. Một số tinh thể có cấu trúc NaCl đƣợc dẫn ra trong bảng
1.2 trong đó a là hằng số mạng.
Bảng 1.2. Các tinh thể có cấu trúc NaCl
Tinh thể

a(Å)

Tinh thể

a(Å)

LiH

4,08

AgBr

5,77

MgO

4,20

PbS

5,92

MnO

4,43

KCl

6,29

NaCl

5,63

KBr

6,59

23


1.5.3. Cấu trúc Xêsi Clorua (CsCl)
Cấu trúc Xêsi Clorua đƣợc chỉ ra trên hình 1.22.

Cs
Cl

Hình 1.22: Cấu trúc Xêsi Clorua.
Mạng không gian là mạng lập phƣơng, gốc mạng gồm hai nguyên tử:
nguyên tử Cs nằm tại vị trí (0 0 0), nguyên tử Cl nằm tại vị trí (1/2 1/2 1/2).
Trong một ô cơ sở có một nguyên tử Cs và một nguyên tử Cl nằm ở vị
trí nhƣ trên. Mỗi nguyên tử có 8 nguyên tử khác loại ở vị trí lân cận gần nhất,
vì thế số phối vị bằng 8. Các tinh thể có cấu trúc tƣơng tự cấu trúc CsCl đƣợc
dẫn ra trong bảng 1.3.
Bảng 1.3. Tinh thể có cấu trúc CsCl
Tinh thể

a( )

Tinh thể

a(Å)

BeCu

2,70

LiHg

3,29

AlNi

2,88

NH4Cl

3,87

CuZn

2,94

TlBr

3,79

CuPd

2,99

CsCl

4,11

24


1.5.4. Cấu trúc kim cương
Mạng không gian của cấu trúc kim cƣơng là mạng lập phƣơng tâm mặt,
gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí 0 0 0; 1/4 1/4 1/4 (Hình 1.23a).
Mỗi ô cơ sở có 8 nguyên tử nằm tại các vị trí sau:
0 0 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0
1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 1/4 3/4
Mỗi nguyên tử có bốn nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất và 12 nguyên
tử ở vị trí lân cận thứ hai. Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm bốn

trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học nhƣ Cacbon( C), Silic (Si),
Giecman (Ge) và Thiếc (Sn) có cấu trúc kim cƣơng với các hằng số mạng
tƣơng ứng là: 3,56; 5,43; 5,65 và 6,46Å.
0

0

1/2
3/4

1/4
0

1/2

3/4

1/4
0

1/2

1/2

0

Hình 1.23: (a). Cấu trúc kim cương
(b). Tọa độ của các nguyên tử trong ô cơ sở.
1.5.5. Cấu trúc kẽm Sunfua lập phương (sphalerite) và vuazit (wurtzite)
Cấu trúc kẽm sunfua lập phƣơng, ZnS, gần giống cấu trúc kim cƣơng

mạng không gian là mạng lập phƣơng tâm mặt. Gốc mạng gồm hai nguyên tử
khác loại: nguyên tử Zn nằm tại vị trí 0 0 0; nguyên tử S nằm tại vị trí 1/4 1/4
1/4. (hình 1.24a)
Zn: 0 0 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0
S: 1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 3/4

25