Phương pháp tính tiết diện tán xạ và bề rộng phân rã của một quá trình trong mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý, các thầy cô giáo
trong khoa, tổ vật l‎ý lý th‎‎uyết - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ: Hoàng Phúc Huấn đã quan
tâm, động viên và trực tiếp hướng dẫn tận tình tôi trong suốt quá trình thực
hiện đề tài nghiên cứu.
Mặc dù đã cố gắng hết sức trong quá trình thực hiện khóa luận và đây cũng
là lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi
một số thiếu sót. Bởi vậy, tôi kính mong nhận được sự đóng góp‎ ‎ý kiến qu‎‎ý
báu của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của tôi được đầy đủ và hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Lê Thị Tươi


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ trong việc làm khóa luận trên đều đã được cám ơn và
thông tin trong khoa luận đã được chỉ rõ nguôn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên
Lê Thị Tươi

2


MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu ................................................................... 2
4. Giả thiết khoa học ....................................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2
6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
7. Cấu trúc khóa luận ...................................................................................... 2
NỘI DUNG
Chƣơng I: Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM) ............................ 3
1.1. Mở đầu .................................................................................................. 3
1.2. Bảng các hạt có trong MSSM ............................................................. 4
1.3. Lagrangian của mô hình chuẩn (SM).................................................... 6
1.4. Lagrangian siêu đối xứng của MSSM................................................... 6
1.5. Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lượng các hạt ................... 9
1.5.1. Phá vỡ siêu đối xứng mềm .............................................................. 9
1.5.2. Gaugino và Higgin .......................................................................... 10
1.5.3. Lepton và quark............................................................................... 12
1.5.4. Sfermion .......................................................................................... 13
Chƣơng II : Một số quá trình phân rã không bảo toàn số lạ .................... 14
2.1. Số lạ ....................................................................................................... 14
2.2. Giải thích các quá trình rã không bảo toàn số lạ - góc cabbibo ............ 15
2.2.1. Lagrang áp dụng cho các quark ...................................................... 15
2.2.2. Góc cabbibo .................................................................................... 15
2.3. Dòng trung hòa, dòng mang điện với sự pha trộn
ở thế hệ 1 của Quark .................................................................................... 17
2.3.1. Sự pha trộn trong dòng mang điện ................................................. 17

2.3.2. Sự pha trộn trong dòng trung hòa .................................................. 17
2.3.3. Các kết quả thực nghiệm ................................................................. 18
2.4. Sự pha trộn giữa các thế hệ - cơ chế Gim ............................................. 18
2.5. Sự pha trộn giữa các thành phần dưới của 3 thế hệ - ma trận trộn ....... 19

3


2.5.1. Quá trình Z0  e+e ......................................................................... 21
2.5.2. Quá trình W   e  e .................................................................... 25
Chƣơng III: Phƣơng pháp tính tiết diện tán xạ và độ rộng phân rã
của một quá trình ......................................................................................... 29
3.1. Tiết diện tán xạ của một quá trình......................................................... 29
3.1.1 Tiết diện tán xạ ................................................................................ 29
3.1.2. Xác suất chuyển dời và tiết diện tán xạ......................................... 30
3.1.3. Ví dụ .............................................................................................. 32
3.2. Độ rộng phân rã của một quá trình ...................................................... 36
3.2.1. Độ rộng phân rã .............................................................................. 37
3.2.2. Phương pháp tính tích phân theo các xung lượng của hạt cuối ..... 39
3.2.3. Ví dụ .............................................................................................. 39
KẾT LUẬN ................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Mẫu chuẩn ra đời trên cơ sở các nhóm SU(3)  SU(2)  U(1) nhằm thống
nhất tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ. Mẫu chuẩn đã chứng

tỏ là một lý thuyết tốt khi hầu hết các dự đoán của nó đã được thực nghiệm
khẳng định ở vùng năng lượng ≤ 200 GeV. Mặc dù vậy mẫu chuẩn còn nhiều
hạn chế, trước hết là liên quan đến các quá trình xảy ra ở vùng năng lượng cao
hơn. Còn một vấn đề quan trọng hơn nữa mà mẫu chuẩn chưa giải quyết được
như: Hằng số tương tác, khối lượng … Từ những hạn chế này dẫn đến sự cần
thiết phải nghiên cứu mẫu chuẩn mở rộng.
Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu là một trong những hướng mở rộng có
nhiều hứa hẹn. Trong mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu fecmion luôn đi kèm
với boson nên số hạt đã tăng lên, cho tới nay thực nghiệm chưa phát hiện nào
trong các hạt đồng hành siêu đối xứng của các hạt đã biết. Do đó một trong
những vấn đề được đoán nhận trong các mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu để
hy vọng tìm được chúng từ thực nghiệm.
Từ năm 2003 hầu hết các nghiên cứu về phân rã đã được giải quyết tương
đối trọn vẹn, nhưng khi nghiên cứu độ rộng phân rã trong mẫu chuẩn siêu đối
xứng tối thiểu khi tính đến vi phạm đối xứng thì vẫn còn nhiều vấn đề chưa
tường minh. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Phƣơng pháp tính tiết diện tán
xạ và bề rộng phân rã của một quá trình trong mẫu chuấn siêu đối xứng
tối thiểu.” Làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu về mẫu chuẩn SM.
- Tìm hiểu về mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu MSSM.
- Tính tường minh được bề rộng phân rã của một quá trình.

5


3. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu:
- Các hạt cơ bản.
- Một số quá trình phân rã.
4. Giả thiết khoa học:

Từ một số hạn chế còn tồn tại trong mẫu chuẩn SM như: Khối lượng, hằng
số tương tác … nên cần phải xây dựng một mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
để đáp ứng những tồn tại trên.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tính được tiết diện tán xạ của một quá trình.
- Tính được bề rộng phân rã của một quá trình.
- Hiểu được tái chuẩn hóa một vòng (khối lượng và hàm sóng).
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Sử dụng quy tắc Feynmar để nghiên cứu.
- Sử dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử.
7. Cấu trúc khóa luận:
Trên cơ sở những kết quả thu được, cấu trúc luận văn ngoài phần mở đầu,
phần kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính gồm 03 chương:
- Chƣơng 1: Mẫu chuẩn SM và mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu
MSSM.
- Chƣơng 2: Quá trình rã không bảo toàn số lạ.
- Chƣơng 3: Tiết diện tán xạ và bề rộng phân rã của một quá trình.

6


NỘI DUNG
CHƢƠNG I
MẪU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG TỐI THIỂU (MSSM )
Siêu đối xứng là một đối xứng giữa fermion và boson, hay chính xác hơn
giữa các trạng thái có spin khác nhau. Các phép biến đổi siêu đối xứng được
sinh bởi các vi tử (generator) Q, biến fermion thành boson và ngược lại. Các
vi tử này cùng với các vi tử của Poincare (

p

µ

) tạo thành đại số siêu đối xứng

 6  , 12 :
Q ,


,
  P   Q  P  

Q ,Q   2




Q , M   1
v 
 
2

Với










Q ,Q   Q ,Q   0,




(1.1)





(1.2)

P ,

  Q , Q , M


 





1
 
2

  Q .


 



(1.3)

là các ma trận Pauli. Các trạng thái hạt trong một thuyết trường siêu

đối xứng thành lập các biểu diễn của đại số (1.1-1.3). Các biểu diễn siêu đa
tuyến có một tính chất quan trọng như sau:
* Số bậc tự do của boson và fermion là bằng nhau,

n n
B

F

.

* Khối lượng của mọi trạng thái trong một siêu đa tuyến là suy biến,

m m
B

F

.

* Năng lượng

P

o

≥0.

1.1. Mở đầu
Mẫu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (MSSM – Minimal Supersymmetric
Standard Model) được xây dựng trên cơ sở ý tưởng mở rộng mẫu chuẩn một

7


cách tiết kiệm và đơn giản nhất, vẫn sử dụng nhóm đối xứng chuẩn
SU(3)  SU(2)  U(1) nhưng thay trường bình thường bởi siêu trường
(trường+superpaner ). Trước hết phải bổ xung các hạt siêu đối xứng tương
ứng với các hạt đã biết trong mô hình chuẩn để lập nên các siêu đa tuyến 12 :


* Các boson chuẩn : w ; B ;G  được mở rộng thành các siêu đa tuyến
i

vector bằng cách bổ sung các spinor


w

i

(Winos) , B (Binos),


G (Gluinos) -

được gọi chung là các gaugion.
* Các quark và lepton: Được mở rộng thành các siêu đa tuyến chiral bằng
cách bổ sung các hạt vô hướng tương ứng được gọi là các scalar quark
(squark) và các scarlar lepton (slepton) hay gọi chung là các scalar fermion
(sfermion).
* Các hạt Higgs: Các hạt vô hướng Higgs có thể được mở rộng thành siêu
đa tuyến chiral Higgs như vậy thì không đủ để tính khối lượng cho tất cả các
quark và lepton, vì các số hạng tương tác Yukawatrong các lý thuyết gauge
siêu đối xứng xuất phát từ các siêu thế, chỉ chứa các siêu trường này. Do đó,
để tính khối lượng cho các quark với điện tích 2/3, cần có thêm một siêu đa
tuyến chiral Higgs độc lập, H :(1,2,+1/2)
1.2. Bảng các hạt có trong MSSM
Cấu trúc hạt của MSSM được tóm tắt trong bảng 1. Cách ký hiệu các siêu
đa tuyến chiral ứng với các quark và lepton trong bảng 1 được hiểu như sau:

Q

a

: Các quark phân cực trái,

a

a

C

C

U ,D

L
E

a

: Phản quark phân cực trái,

: Lepton phân cực trái,

a
C

: Phản lepton phân cực trái,

Với a là chỉ số các thế hệ quark và lepton.

8


Siêu đa tuyến

Quarrk

Higg

 Ua
D

a

U

C

D

Lepton

 
a

a

Q

a

 
a

 Na
E

L
E

a



H 2   HH 022 


SU(3)

SU(2)

U

Y

(1)

U (1)

em

 

2

1 /6

3

1

-2/3

3

1

1/3

1/3

1

2

-1/2

 

1

1

1

 h1  (s=0)

 
 h1 

1

2

-1/2

(s=0,5)

 h 2  (s=0)
 0
 h2 

1

2

1/2

B (s=0,5)

B (s=1)

1

1

0

0

w (s=0,5)

W(s=1)

1

3

0

(0,±1)

G (s=0,5)

G(s=1)

8

1

0

0

a

u

a

l

a
L

e

C

Boson

3

q

d

C

a

Fermion

L

a

(s=0,5)

q

(s=0,5)

u a (s=0)

R

a
R

(s=0)

L

*

R

(s=0,5)

(s=0,5)

R

(s=0,5)

 h 1 

  
 h1 
0

-2/3

*

a
d (s=0)
R

a

2/3
1/3

l

a

(s=0 )

l

0
1

*

e a (s=0)
R

1

0

 
0
1

(s=0,5)

  H 1 
 H1 
0

H

Bosongauge

1

V

1

V

2

V

 h 2 
  
 h2 



3

9


0
1


Bảng 1: Cấu trúc hạt của MSSM.
Trong đó:

Q   uL 
 dL

uL 
*
 (u
 2 .u R ) ,
2 .d  ,


U
C
R
L 

2 .

 H 10

H 1  H 1

0
H 1  ,
2  
H1 

2

 H 2 

H 2  H 02

D



C

 d

*
R

 2 .d

R

,


H 02 
2  
H2 

2

(1.4)
(1.5)

1.3. Lagrangian của mô hình chuẩn (SM).
Lagrangian của mô hình chuẩn (SM) có thể được viết như sau  6 , 12 :

L

SM



1 3 


4  a 1 

 F F     D h D h
 b

b







a


i
i
i
i

i

i
i

i 
 i 
  i q  D  q  iu R D u R  i d R D i d R i i  D l R  ie R D  e R 
l

L
L
L

i 1 
3

3



i , j 1

Y  h q u  Y  hq d
u ij

i

i

L

R

d ij

i

j

L

R



 Y l ij hl Le R  h.c  V  h, h  .
i

i

(1.6)

Thế vô hướng cho lưỡng tuyến Higgs được chọn như sau:
V  h, h    hh    hh  .
2

2

(1.7)

Với  >0 (vì ngược lại thì hệ vật lý không bề n1 ). Với



2

<0, đối xứng

SU  2  L  U 1Y bị phá vỡ thành đối xứng U (1) EM . Khi đó, cực tiểu của thế vô

hướng không nằm tại <h>=0, mà tại hh




2

2

.

1.4. Lagrangian siêu đối xứng của MSSM.
Để có được biểu thức cụ thể của Lagrangian, ta phải viết các phép biến đổi
gauge tương ứng dưới các nhóm đối xứng SU (3)c , SU  2  L , U 1Y cho các siêu
trường chiral khác nhau  7  , 12 .
- Các phép biến đổi gauge dưới SU (3)c :

U

a
C

 e 3U Ca ,
i

10


D

Q

a
C

a

 e 3 D C ,
i

a

 e 3Qa ,
i

La , ECa , H1, H 2  La , ECa , H1, H 2.

(1.8)
8

j

j 1

2

Ở đây, mỗi phép biến đổi SU (3)c được tham số hóa bởi 3   3j

, với  j

là các ma trận Gell- Mann, còn  3j là siều trường chiral phân cực trái được sử
dụng như những tham số.
- Các phép biển đổi gauge dưới SU  2  L :
Q a  ei  2 Q a ,

La  ei2 La ,
H1,2  ei2 H1,2 ,
UCa , DCa , ECa  UCa , DCa , ECa .
3

j

j 1

2

Ở đây  2    2j

(1.9)

, với  j là các ma trận Pauli.

- Các phép biến đổi gauge dưới U 1Y :
1

i 1

Qa  e 6 Qa ,
U Ca  e

2
 i 1
3

U Ca ,

1

i 1

DCa  e 3 DCa ,
L e
a

1
 i 1
2

La ,

ECa  ei 1 ECa ,
H1  e

1
 1
2

H2  e

H1 ,

1
 i 1
2

(1.10)

H 2.

11


Người ta định nghĩa các siêu đa tuyến vector tương ứng với các nhóm đối
xứng SU (3)c , SU  2  L , U 1Y như sau:
8

a

a 1

2

V3  V3a

3

a

a 1

2

,V2  V2a

và V1

(1.11)

Các siêu đa tuyến vector này, tương ứng theo thứ tự, chứa các hạt gauge và
gaugion của các nhóm đối xứng SU (3)c , SU  2  L , U 1Y như là những bậc tự
do. Siêu thế W được chọn dựa vào dạng tương tác Yukawa như sau:
W  Eab La ECb H1  DabQa DCb H1  UabQa DCb H 2  H1H 2

(1.12)

Trong đó :
-  được gọi là tham số khối lượng của higgion.
- Các ma trận E , D , U chứa các hằng số tương tác Yukawa liên hệ với các
ma trận khối lượng của fecmion M E , M D , MU .
E 

g.M e
g.M d
g.M u
, D 
, U 
.
2mw .cos
2mw .cos

2mw .cos

(1.13)

Với tg  là giá trị trung bình chân không của trường higgs,
g là hệ số gauge (gauge coupling).
Như vậy, Lagrangian siêu đối xứng đầy đủ của mẫu chuẩn có dạng:
LSUSY

2
1
 V1
 V1
 a  V3 V2 16V1 a
V3
a 
a
a  V3
3
  Q  e e e Q  U c  .e .e U c   Dc  e .e 3 Dca


V1

  La  eV2 .e 2 La   Eca  eV1 Eca  H1 eV2 .e








V1
2

V1

H1  H 2 eV2 .e 2 H 2 




1
 W   W    2 Tr  WnW3   Tr  W3W3  



8 g3
1
 2 Tr  W2W2   Tr  W2W2  


8g2









1
Tr  W1W1   Tr  W1W1 
2


16 g1



(1.14)

Trong đó :

12


W   W   : Tương ứng largrangian tương tác giữa Higgs với quark.
Wn : Là động năng cho siêu đa tuyến gauge được xây dựng với đa tuyến chiral

cho nhóm SU(n) (với n=1,2,3).
1.5. Cơ chế phá vỡ siêu đối xứng mềm và khối lƣợng các hạt.
Trên phương diện thực nghiệm, do chưa phát hiện được các hạt đồng hành
siêu đối xứng slepton, squark và gaugion, ta có thể xác định giới hạn dưới cho
khối lượng các hạt này qua các bất đẳng thức :

msquark  mquark , mslepton  mlepton , mgaugion  mgauge .

(1.15)

Các bất đẳng thức (1.15) mâu thuẫn với yêu cầu về sự cân bằng về khối lượng
các trạng thái hạt trong một siêu đa tuyến. Sự mâu thuẫn này cho thấy tự bản
thân siêu đối xứng chỉ có thể xuất hiện trong phase đã bị phá vỡ (broken
phase).
1.5.1. Phá vỡ siêu đối xứng mềm.
Để phá vỡ siêu đối xứng một cách tường minh mà vẫn đảm bảo tính tái
chuẩn hóa của lý thuyết và không làm xuất hiện các phân kỳ bậc 2, người ta
đưa vào các số hạng đặc biệt, không siêu đối xứng nhưng bất biến gauge,
được gọi là các số hạng “phá vỡ siêu đối xứng mềm”. Người ta đã tìm thấy
những số hạng có thể thỏa mãn những yêu cầu như vậy 12 :
1/ Số hạng khối lượng Gaugion:

1
M a a a (a là chỉ số của nhóm).
2

2/ Số hạng khối lượng vô hướng: M 2 i ,
2

i

3/ Tương tác tam tuyến vô hướng : Aijki jk ,
4/ Số hạng nhị tuyến : Biji j  h.c.
Chúng dẫn đến Lagrangian phá với siêu đối xứng mềm có dạng như sau 12 :

13

1
2
2
   1 M WW+
  1 M gg
   mH2 1 H1  mH2 2 H 2  M Q2 ql
Lsoft  M1BB
2
3
2
2
2
2
2
2
2
 M 2 u c  M 2 d c  M 2 l c  M 2 e c   h A H l e c
U

R

d

R

L

R

E

R

E

E

2

1 L R

 hD AD H1q L dRc  hU AU H 2q LuRc )  B H1H 2  h.c.

(1.16)

Tóm lại : Lagrangian toàn phần của MSSM có dạng.
L  LSUSY  Lsoft

(1.17)

Trước đây, ta đã thấy rằng dù siêu đối xứng có được bảo toàn hay bị phá vỡ,
thì đối xứng điện yếu vẫn không thể bị phá vỡ siêu đối xứng mềm, vấn đề này
sẽ được giải quyết.
1.5.2. Gaugino và Higgino.
1.5.2.1. Chargion và neutralion.
Phá vỡ đối xứng SU(2)  U(1) dẫn đến sự trộn lẫn giữa gaugino điện tử yếu
và higgino. Sự trộn này tạo thành các hạt mang tên chargion, neutralion.
Trạng thái riêng khối lượng của charged gaugino và higgino được gọi là
chargion
  , H   ,  W

  , H  
    W
2
1

Ký hiệu :

Lm   


Với

1   0
 j , j   X
2


 M
X 
 2c m
 w


Ký hiệu : sw,cw , s , c

(1.18)

XT 

0 

 
 j
 j

(1.19)

2s mw 

 

lần lượt tương ứng với sin  w , cos w , sin  ,

cos .

Trong đó :  w là góc Weinberg, tg  là giá trị trung bình chân không của
trường higgs.
Ma trận X được chéo hóa bởi hai ma trận Unita thực U và V.

14


0 
1m1

M D  U * XV 1  
 0
2m  

2 

u

Trong đó :

M 2   2  2mw2 cos2 
U 22  U11 
1
W
2

(1.21)

1
M 2   2  2mw2 cos2 
1
W
2

(1.22)

U12  U 21 

1
M 2   2  2mw2 cos2 
1
W
2

V11  V22 

V21  V12 

Với: W 

(1.20)



M    2mw2
2

2

v

1

2

(1.23)

M 2   2  2mw2 cos2 
W

  4 M  m
2

2
w

sin 2 

(1.24)

2

(1.25)

 u =dấu (M.cos  +  .sin  ),  v =dấu (M. sin  +  cos  )

Khi tg  <1, U ij được thay thế bởi UU ij và Vij được thay thế bởi VVij .
Trạng thái riêng khối lượng được xác định bởi
X i  Vij j và X i  Vij j ,

1
2
2
mX2    M    2mw2 
1,2
2

M

2

   2mw2
2

  4 M  m

2

2
w

2 
sin 2  


(1.26)

Tương tự như vậy, sự trộn giữa gauginos trung hòa và higgsinos trung hòa tạo
 H 0 , H 0 
ra trạng thái riêng khối lượng gọi là neutralino, ta có :  0   B , W,
1
2

Lm 0  


Với.

1 0 T
  Y . 0  hc

2

 M cw2  Msw2

 M  M   cw s w

Y 

0

0


 M  M   cw s w
M sw2  Mcw2
mz
0

15

(1.27)

0
mz
 .s2 
 .c2 

0 

0 
 .c2  

 .s2  

(1.28)

Ma trận Y được chéo hóa bởi ma trận Unita 4  4 N, trong đó  0j  Nij 0j , và :
M Ncheo
 N *YN 1  cheo(1m 0 ,  2m 0 ,  3m 0 ,  4m 0 )

1

2

3

4

(1.29)

1.5.2.2. Gluino
Sồ hạng khối lượng của gluion trong Lagrangian có dạng:
1
 .
Lmg  mg gg
2

(1.30)

Khối lượng gluion mg và khối lượng gaugion M liên hệ bởi :
M

mg

(1.31)

 s .S w2

Trong đó  và  s lần lượt là hệ số tương tác điện yếu và tương tác mạnh.
1.5.3. Lepton và quark.
Lepton và quark có số hạng khối lượng tương tự như trong mẫu chuẩn:
L f  v1ELa habe ERb  v1DLa habd DRb  v2U La habu U Rb  h.c

(1.32)

Sử dụng ma trận unita 3  3 V sẽ giúp ta xác định được các trạng thái riêng
khối lượng.
ELaph,ysRa  Vel,,abR ELa , Ra ,
R
DLaph,ysRa  Vdl,,ab
DLa , Ra ,

U Laph,ysRa  Vul,,abR U La , Ra .

Trong đó : E phys  (e, m, t ), D phys  (d , s, b),U phys  (u, c, t ) với khối lượng được tính
từ:
Dạng chéo (me , m , m )   1VeL heVeR ,
Dạng chéo (md , ms , mb )  1VdLhdVdR ,
Dạng chéo (mu , mc , mt )   2VuLhuVuR .

16


1.5.5. Sfermion.
Mỗi fermion trong mẫu chuẩn có hai bạn đồng hành spin không và được gọi

là các fR và fL , hay các trạng thái riêng chẵn lẻ (còn gọi là các trạng thái
xoắn ). Sự trộn giữa fR và fL tạo nên khối lượng cho fermion tương ứng (trừ
thế hệ thứ 3). Số hạng khối lượng của sfermion có dạng:



L f   fL*

Với

M2
fR*  LL
2
 M RL



2

M LR

2 
M RR


fL 

fR 

(1.33)

2
M LL
 M F2  vi2 (h f ) h f  ( I 3qL  e f .S w2 ).cos2 .mz2 ,
2
2
M LR
 M RL
 vi ( Af g f   h f ),
2
M RR
 M F2   vi2 (h f ) h f  e f S w2 .cos2  .mz2 .

Trong đó: Ký hiệu F thay thế bởi Q trong trường hợp squark và L trong
trường hợp slepton, F   ( E, D,U ), f  (e, d , u).eq và I 3qL là điện tích thành phần
thứ 3 của spin đồng vị yếu của fermion tương ứng. Trong trường hợp up-type
squark ta có vi  v2 còn trường hợp down-type squark và lepton mang điện
vi  v1.

Af là hằng số vô hướng, M F2 ,F  và g f là các ma trận 3  3.
Khối lượng của sneutrino được xác định bởi công thức:
1
mv2  M L2  cos2 .mz2
2

(1.34)

Các giá trị riêng khối lượng của sfermion được xác định bởi
1
1

m2f  ( M 2f  M 2f ) 
( M 2f  M 2f )  4M 2f
12
LL
RR
LL
RR
LR
2
2
Với trạng thái riêng :






f1 
f
  R 
f2 


fL 

fR 

17

(1.35)

(1.36)


CHƢƠNGII
QUÁ TRÌNH RÃ KHÔNG BẢO TOÀN SỐ LẠ
2.1. Số lạ
Các hạt quen: p, n,   ,  0 ,  
~ ~
K0,K ,K0,K 

Các hạt lạ:   ,  0 ,   ,  0 ,  

Các hạt quen: N(p,n),   0 ,   ,     s = 0 ,   s  0
Các hạt lạ:   s  1
  s  1
  s  2

K  s 1
~
K  s  1

Xét các ví dụ sau:
a. n  pe  e  s  0
b.    0 e  e  s  0
c.       , e  e  s  0
d. K         s  1
e.    p   0  s  1
f.    n     s  1
g. 0  p     s  1
h.    ne  e  s  1

Nhận xét về rã không bảo toàn số lạ:
a. Q  0
b. Sự khác nhau giữa hai phân rã có meson tham gia và có barion tham gia.
Phân rã có meson tham gia , kết quả của phân rã là mes on hoàn toàn biến mất
(d)

18


Phân rã có barion tham gia , kết quả của phân rã là vẫn có hạt barion (e,f,g.h)
 Số barion được bảo toàn.

c. Ngoài ra, các hadron ngoài tương tác yếu còn tham gia tương tác mạnh.
Vì vậy, cách tốt nhất hãy diễn tả dòng hadron trong ngôn ngữ quark.
2.2. Giải thích các quá trình rã không bảo toàn số lạ – góc cabbibo.
2.2.1. Lagrang áp dụng cho các quark
 e 
 
e L

u 
 
d L

l=

g2
cos  w
g2
2

c
 
 s L



L

t 
 
bL

e R , R ,  R

(2.1)

u R , c R , t R , d R , s R ,b R

(2.2)

eQ  f  f A +



f  , e ,u , d e

+

    

  
  
 L 

f

f


f

L

  f L T f3  Q f sin 2  W   f R   f R  Q f sin 2  W Z 0

e , e ,u , d

u 



L





d L   e   e L W  hc +



g3
2

 q    G q
a



a



(2.3)

f

 J 0  f L   f L T f3  Q f sin 2 W  f R   f R  Q f sin 2 W



(2.4)

dòng trung hòa.
 J   u L   d L   eL   e L

dòng mang tích.

(2.5)

 Các quá trình phân rã của các hạt là tương tác giữa các dòng với các boson

trung gian. Các dòng chứa lepton và các quark.
Nhận xét:
Các dòng trung hòa và các dòng mang điện đều chỉ chứa cùng một thế hệ
fecmion  Không có sự “trộn” giữa các

thế hệ với nhau  quark s không

tương tác với u , d ở thế hệ 1. Trong khi các phân rã ( s  0 ) ( d, e, f, g, h)
quark s lại tương tác với quark u, d ở thế hệ 1.
Quá trình (e): Z   p   0

19


uus   uud  

1
2

u u  dd 

(2.6)

Quá trình (d):   p   

uus   uud   u d 

(2.7)

Vậy phải thay đổi các số hạng của Lagrangian.
2.2.2. Góc cabbibo
Cabbibo đã khẳng đị nh rằng các lưỡng tuyến của quark ở trong các dòng J

0

,

J  không thuộc cùng một thế hệ xác đị nh nào. Tất cả các quá trì nh s  0 với
những mâu thuẫn ở trên s ẽ được giải thích thỏa đáng nếu hạt ở cùng lưỡng
tuyến với u là kết quả của sự quay.
d c  d cos  c  s sin  c

(2.8)
u 

u




 c  130 : góc cabbibo     
d
d
cos


s
sin


c
c 
 c L 

(2.9)

u R , d R  u R và d cR  d R cos  c  s R sin  c

(2.10)

Tức là có sự trộn quark s của thế hệ thứ 2 trong ở thế hệ 1.

d
cos  c

sin  c

W+

S

W+

u
u

(a)

(b)

Đỉ nh (u-d-w) cùng thế hệ

(u-s-w) trộn giữa các thế hệ

20


2.3. Dòng trung hòa , dòng mang điện với sự pha trộn ở thế hệ

1 của

quark
2.3.1. Sƣ̣ pha trộn trong dòng mang điện
u 
u

   

 d c  L  d cos  c  sin  c s  L

u R , d cR  d R cos  c  s R sin  c
J   u L   d L   cL   e L  u L   d L cos  c  s L sin  c    eL   e L
 u L   d L cos  c  u L   s L sin  c   eL   e L

(2.11)
 c  quá trình rã s  0 được thể hiện ở

 Dòng mang điện chứa góc trộn

dòng mang điện.
2.3.2. Sƣ̣ pha trộn trong dòng trung hòa
J 0  f L  f L T f3  Q f sin 2 W   f R   f R  Q f sin 2 W 
uL
 3
 T f  Q f sin 2  w +
 d L cos  c  s L sin  c 



= (u L , d L cos c  s L sin  c )  









u R   u R  Q f sin 2  w + d R cos  c  s R sin  c   d R cos  c  s R sin  c   Q f sin 2  w



= u L  u L  d L  d L cos 2  c  d L  s L cos c sin  c  s L  d L cos c sin  c  s L  s L sin 2  c 

T  Q sin   +
u  u  d  d cos   d  s cos sin   s  d
 Q sin  
 J  u  u  d  d cos   s  s sin   d 

T  Q sin   + L  R
3
f

2

w



R



R

R



2

R

c

R



R

c

c

R

R

cos c sin  c  s R   s R sin 2  c



2

w



0



L

f

3

L

L



2

L

c

L

2

L

c

2

w

L





s L  s L  d L cos c sin  c



(2.12)

Nhận xét: Trong dòng trung hò a có chứa góc trộn  c , có sự pha trộn giữa các
quark ở thế hệ 1 và 2, tức là quá trì nh rã s  0 được thể hiện ở cả dòng trung
hòa.

21


2.3.3. Các kết quả thực nghiệm
Thực nghiệm cho thấy quá trình b rất nhỏ so với quá trình a. Có nghĩa là các
quá trình vi phạm bảo toàn số lạ ( s  0 ) đối với dòng mang điện ( tương tác
với W  ). Dòng trung hòa không liên quan đến rã
thức của J + phải có sự trộn giữa các thế hệ

s  0 . Vì vậy trong biểu

( phù hợp với điều trên ) nhưng

trong J0 thì không ( mâu thuẫn với điều ta tì m được ở phần 1).
2.4. Sƣ̣ pha trộn giƣ̃a các thế hệ – cơ chế Gim
Vì những lý do trên – 1970 người ta giả thiết có một quark mới – quark c.
c

(Thực nghiệm đã phát hiện ra quark này

– 1975)   lưỡng tuyến này tham
s

gia tương tác yếu với cùng một cách như (3.1). Tức là
c 
  =
 sc  L

c




d
sin


s
cos

c
c L


(2.13)

Tổ hợp trực giao với dc
cR , scR  s R cos c  d R sin  c

(2.14)

Khi đó: quark I, quark II
u 
f   
d 

J 0  f L   f L (T f3  Q sin 2  w )  f R   f R (Q f sin 2  ) ;





c
f   
s



 u L   u L  d L  d L cos 2  c  s L  s L sin 2  c  d L   s L  s L  d L cos c sin  c



T  Q sin  
c  c  d  d cos   s  s sin   d  s  s  d cos sin  
 Q sin  
+ c  c  d  d sin   s  s cos   d  s  s  d cos sin  
T  Q sin  
c  c  d  d sin   s  s cos   d  s  s  d cos sin    Q sin
= u  u  c  c  d  d  s  s  T  Q sin   + L  R
f

2

3

+

w



R



R



2

R

R

c

R



2

R

c



R

R

R

R

c

c

2

w





L

L

f



2

L

L

c



2

L

L

c



L

L

L

L

c

c

2

3

+

w



R



R

R



L



2

R

c



L

L

R

L

L



L

L



2

R

c

R



f

L

3

22



R

R

2

w

R

c

c

2

w 


 J 0   f L   f L (T3L  Q sin 2  w )  ( L  R)

u 

(2.15)

c

Với f L    ;  
d L  s L
Nhận xét : Ở biểu thức không có dòng trung hòa

, không chứa góc trộn

cabbibo, các số hạng đều ở dạng chéo – không có số hạng hỗn hợp chứa số lạ
s ( dòng trung hòa trở về dạng ban đầu). Điều đó chứng tỏ dòng trung hòa bảo
toàn số lạ.
Như vậy các trạng thái trộn
d c  d cos  c  s sin  c

(2.16)

sc  d sin  c  s cos  c

(2.17)

Ta có thể giải thí ch được quá trì nh rã s  0 cũng như việc dòng trung hòa bảo
toàn số lạ.
Thực tế , sự thiếu của số hạng hỗn hợp chứa số lạ

(hoặc bất kỳ số hạng nào

khác) được hiểu là những thành phần dưới liên hệ với nhau bởi phép quay:
d c d c  sc sc  d d  s s

(2.18)

Việc đưa vào các trạng thái trộn như ở trên đã nói để giải thí ch cho dòng
trung hòa bảo toàn số lạ ( tổng quát hơn , đó là cả các trạng thái trộn để bảo
toàn dòng trung hòa bảo toàn mùi) gọi là cơ chế Jim.
2.5. Sƣ̣ pha trộn giƣ̃a các thành phần dƣới của ba thế hệ – ma trận trộn.
Từ d c d c  sc sc  d d  s s ta thấy rằ ng có thể coi góc cabbibo là sự quay giữa các
d 

d 

 



thành phần dưới:     c 
s

s
c

(2.19)



 d c   cos  c sin  c  d   d 
   
  = u  
 s c    sin  c cos  c  s   s 

Nếu dùng ma trận unita (2x2) dạng tổng quát nhất

23

(2.20)


 e i cos e i sin  c 

u1  
  e i sin  e i cos 
c
c


Với       

(2.21)

( u1u1  I , det u1  1)

,
d  d 

Thì     s 
s  s 

 d ,   e i cos c e i sin  c  d 
 
 
 s ,    e i sin  e i cos  s 
  
c
c  

(2.22)

sin  c
 d ,   cos  c
 dR 
 
 

Đặt
 s ,    e i sin  e i cos    s R 
s R  e i s
c
c

  
d R  e i d

(2.23)

Với      lúc này ta nhận được cùng một pha 
Nếu đị nh nghĩ a lại

s , ,  e  i s ,
d ,,  d ,

 d ,,   cos c sin  c   d R 

  sin  cos   s 
,, 
s
c
c  R 
  

thì 

(2.24)

Tức là các pha ngoài lại bị loại bỏ, ta có ma trận trộn là ma trận U ban đầu.
Đó là cơ chế lượng tử cho phép ta bỏ những pha ngoài (những pha không vật
lý) ở trong ma trận trộn.
Ở trên chúng ta đã xét sự pha trộn giữa các thành phần dưới của hạt thế hệ

1

và 2  Các thành phần dưới của các lưỡng tuyến bây giờ sẽ là tổ hợp tuyến
tính của các quark dưới d , s, b (tất cả các pha không vật lý bị loại bỏ ) chỉ còn
lại một pha vật lý liên quan đến sự vi phạm số lạ s  0
d , 
 
 s,  =
 ,
b 
 

 sin 1 cos  3
 sin 1 sin  3
 cos 1

i
i
 sin 1 cos  2 cos 1 cos  2 cos  3  sin  2 sin  3 e cos 1 cos  2 cos  3  sin  2 cos  3 e
 sin  sin 
i
cos 1 sin  2 sin  3  cos  2 cos  3 e i
1
2 cos 1 sin  2 sin  3  cos  2 sin  3 e


 d 
 
 s 
 
 b 

(2.25)
Như vậy chỉ còn lại một pha vật lý  đó là nguyên nhân vi phạm p.c

24


Các thực nghiệm với quá trình rã yếu của quark hoặc tán xạ không đàn tính
sâu của  cho ta cụ thể biên độ các yếu tố ma trận (3x3) này với độ chính xác
90%
 0,9745  0,9757

 0,218  0,224
 0,004  0,014


0.002  0.005 

0,036  0,046 
0,9989  0,9993 

0,210  0,224
0,9736  0,9750
0,034  0,046

Một vài giản đồ của quá trì nh rã s  0

2.5.1. Quá trình Z0  e+eYếu tố ma trận của quá trì nh là:
M ee =

g 2   _    1


e L  e L    sin 2  w   e R_   e R sin 2  w 

cos  w 
 2





25

