Con lắc lò xo và con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
Mở ĐầU

1. Lý do chọn đề tài
Vật Lý Học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên nghiên cứu
những quy luật tổng quát nhất của tự nhiên, nghiên cứu tính chất, cấu trúc của
vật chất và những định luật vận động của vật chất.
Cơ Học nghiên cứu những vấn đề đơn giản nhất nhưng lại là những vấn
đề cơ bản nhất trong hệ thống kiến thức vật lý. Dao động là một phần của giáo
trình cơ học, trong đó dao động của con lắc là một vấn đề trọng tâm.
Trong các bài toán về con lắc, ta thường xét dao động của con lắc trong
hệ quy chiếu quán tính. Trong hệ quy chiếu này, dao động của con lắc được
coi là dao động điều hoà (với con lắc đơn thì biên độ dao động phải nhỏ) và
năng lượng dao động của con lắc được bảo toàn. Tuy nhiên trong thực tế hệ
quy chiếu gắn với các vật cụ thể thường là hệ quy chiếu không quán tính. Ví
dụ: con lắc được gắn vào một thang máy chuyển động biến đổi đều Khi đó
việc giải bài toán sẽ phức tạp hơn. Vì trong hệ quy chiếu không quán tính các
định luật của Niutơn không được nghiệm đúng nữa. Vậy phải làm thế nào để
có thể áp dụng được các định luật Niutơn? Và trong hệ quy chiếu không quán
tính, dao động của con lắc có còn là dao động điều hoà hay không? Năng
lượng của con lắc biến thiên hay được bảo toàn? Để trả lời những câu hỏi này
tôi bước vào nghiên cứu đề tài: Con lắc lò xo và con lắc đơn trong hệ quy
chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về dao động của con lắc trong hệ quy chiếu không quán
tính chuyển động tịnh tiến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

-1-

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

- Nghiên cứu về chu kỳ, năng lượng của con lắc đơn và con lắc lò xo
trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến.
- Đưa ra phương pháp giải bài toán dao động của con lắc đơn trong hệ
quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến.
- Đưa ra phương pháp giải bài toán dao động của con lắc lò xo trong
hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến.
- Minh họa bằng việc giải một số bài toán.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo.
- Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc sách và tài liệu.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp đối chiếu so sánh.

-2-


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
NộI DUNG
CHƯƠNG 1

Lý THUYếT Về CON LắC Lò XO
Và CON LắC ĐƠN
1.1.

Con lắc lò xo

1.1.1. Phương trình dao động
Con lắc lò xo là một hệ thống gồm một vật nặng có khối lượng m được
treo dưới một lò xo đàn hồi có độ cứng k và khối lượng không đáng kể.
Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 . Vật nặng chịu tác dụng của
các lực:
r

+ Lực đàn hồi: F đh



r
F

r
F đh

+ Trọng lực: P
Chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng

m

xuống, gốc O là vị trí cân bằng của con lắc.

x
r
P

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:



P + F đh 0

đh

O
x
+

r
P

Chiếu phương trình lên ox: P F đh 0
Hay:

mg k x0 0

(*)

Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng dọc theo trục của lò xo, khi buông
tay con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng.
Xét dao động của con lắc: Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một
đoạn x x0 .

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:
Chiếu phương trình lên ox:
Hay:



P + F đh

P Fđh m a

&
mg k ( x x0 ) mx&

-3-

r
ma


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

x

Kết hợp với (*) ta có:



Đặt:

k
m

k
x0
m

x 2x 0

x A cos(t )

Nghiệm của phương trình là:
A, , là những hằng số.

Như vậy, vật nặng dao động điều hoà với tần số

k
m

1.1.2. Năng lượng dao động
Tại vị trí con lắc có li độ x bất kỳ:
- Thế năng của con lắc: Wt

1
1
k x 2 kA2cos2( t + )
2
2

- Động năng của con lắc: Wđ

1
1
mv2 2 A2msin2( t + )
2
2

Với



k
m

Do đó :

Wđ

1 2 2
kA sin ( t + )
2

m 2 k

- Năng lượng dao động của con lắc:
E Wđ + Wt
E

1 2

kA cos 2 (t ) sin 2 (t )
2

E

1 2
kA const
2

Kết luận: Trong quá trình dao động của con lắc luôn luôn có sự chuyển
hoá động năng thành thế năng và ngược lại nhưng tổng của chúng không đổi.
1.2.

Con lắc đơn

1.2.1. Phương trình dao động

-4-


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Con lắc đơn là một hệ thống gồm một vật nặng có kích thước không
đáng kể treo ở đầu một sợi dây không giãn có khối lượng không đáng kể.
Tại vị trí cân bằng:
Con lắc chịu tác dụng của 2 lực:
r
T

+ Lực căng
r
+ Trọng lực P
r
r
r
P
+
T
= 0
Ta có :



0


T

Xét chuyển động dao động của con lắc:
Kéo lệch con lắc khỏi vị trí cân bằng một góc
O


Pt

M

0 nhỏ rồi buông tay, con lắc sẽ dao động xung
quanh vị trí cân bằng.

+


P

- Chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa độ.

- Đường tọa độ trùng quỹ đạo chuyển động, chiều dương hướng xa O.
Tại vị trí con lắc hợp phương thẳng đứng một góc a nhỏ:
r
r
r
P
+
T
= ma
Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:

(1)

Chiếu phương trình (1) lên phương tiếp tuyến quỹ đạo: P.sin ma
Hay:

P.sin ms

Với a nhỏ ( 100 ) thì:

sin

s
l

s
mg ms
l

&+
s&

Hay:
Đặt:



g
l

Nghiệm của phương trình:

g
s = 0
l


s 2s 0
s s0 cos(t )

s0 , , là những hằng số.

-5-


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Như vậy, vật nặng dao động điều hoà với tần số
T 2

g
, chu kỳ
l

l
.
g

Khi góc lệch của con lắc nhỏ hơn 100, các công thức của chu kỳ, tần số
chính xác tới 0,2%. Ta có thể nói rằng chu kỳ của con lắc đơn không phụ
thuộc khối lượng và biên độ dao động của nó.
1.2.2. Năng lượng dao động
Chọn mốc thế năng là mặt phẳng vuông góc dây treo tại vị trí cân bằng.
Tại vị trí con lắc hợp phương thẳng đứng một góc nhỏ bất kỳ:
- Thế năng của con lắc: Wt mgh mgl (1 cos )
Wt 2mgl sin 2


2

a
2
s2
a
Với nhỏ sin 2 2 Wt mgl
mgl 2
2
2l

1
Wt m 2 s02 cos 2 (t )
2
1
1
- Động năng của con lắc: Wđ mv 2 ms 2
2
2
1
Wđ m 2 s02 sin 2 (t )
2

- Năng lượng dao động của con lắc:
1
E Wt + Wđ m 2 s02 cos 2 (t ) sin 2 (t )
2
1
E m 2 s02 const
2

Kết luận: Trong quá trình dao động của con lắc luôn có sự chuyển hoá

động năng thành thế năng và ngược lại nhưng tổng của chúng không đổi.

-6-


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
CHƯƠNG 2

Hệ QUY CHIếU KHÔNG QUáN TíNH

2.1.

Hệ quy chiếu không quán tính
Các định luật Niutơn được xây dựng trong các hệ quy chiếu quán tính.

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó các định luật Niutơn được
nghiệm đúng. Hệ quy chiếu này sẽ bao gồm một hệ tọa độ để xác định vị trí
của vật trong không gian và một đồng hồ để đo thời gian. Hệ tọa độ này phải
đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
Còn hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó các định
luật Niutơn không được nghiệm đúng. Trong thực tế hệ quy chiếu gắn với các
vật cụ thể hầu hết là hệ quy chiếu không quán tính. Để áp dụng được định luật
Niutơn và giải quyết các bài toán trong hệ này người ta đưa vào hệ quy chiếu
không quán tính một loại lực gọi là lực quán tính.
2.2.

Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc

2.2.1. Biểu thức của lực quán tính
Giả sử (k) là hệ quy chiếu quán tính có gốc tại O, (k) là hệ quy chiếu

chuyển động tịnh tiến với gia tốc a0 so với (k).
Xét chuyển động của chất điểm m trong hệ quy chiếu (k) và (k).
ur

Gọi R là vectơ bán kính xác định vị trí của m trong hệ quy chiếu (k).

r
r là vectơ bán kính xác định vị trí của m trong hệ quy chiếu (k).
uuuur
r
OO ' = r ' là vectơ bán kính xác định gốc tọa độ của hệ (k) trong
(k).
Ta có:

ur
r
r
R = r' + r

Lấy đạo hàm 2 vế của phương trình trên theo thời gian:
r& r
r
R = r&' + r&

-7-

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Tiếp tục lấy đạo hàm lần thứ hai:
r& r '
r&
&

&+ r&
R = r&
hay R a0 a

(1)

z

z

m
(k)

ur
R

r
r ' O

O

r (k)
r

y

y
x

x

Trong đó:

a0 r'

là gia tốc của hệ (k) đối với hệ (k).

r
r&
a = r&
là gia tốc của chất điểm m trong hệ (k).
r&
&
R

là gia tốc của chất điểm m trong hệ (k).

Nhân 2 vế của phương trình (1) với khối lượng m của chất điểm:

mR ma0 ma

r

Gọi F là tổng hợp các lực thật tác dụng lên m. Vì (k) là hệ quy chiếu quán
r& r
&
mR
= F
tính nên ta có:





F ma0 ma ma F ma0
Vậy
r
r
Đặt: Fq = - m a 0 gọi là lực quán tính kéo theo.

Từ đó ta có:

r
r
r
m a = F + Fq

-8-

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Như vậy, trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc ngoài các
lực thật tác dụng lên vật còn có một lực nữa cũng làm cho vật chuyển động đó


là lực quán tính kéo theo Fq ma0 . Lực này có chiều ngược với chiều gia tốc
của hệ (k).
2.2.2. Một số đặc điểm của lực quán tính
- Các lực quán tính chỉ xuất hiện và tồn tại trong các hệ quy chiếu
không quán tính.
- Các lực quán tính có tác dụng thực sự vào vật chuyển động truyền
cho vật gia tốc. Chúng cũng có thể sinh công, đo được bằng lực kế như mọi
lực khác. Điều khác nhau cơ bản giữa lực quán tính và các lực thông thường
khác là các lực quán tính không có phản lực, ta không thể chỉ ra được cụ thể
vật nào đã gây ra lực quán tính.
- Độ lớn của lực quán tính tỉ lệ với khối lượng của vật bị tác dụng.
Trong cùng một điều kiện như nhau các lực quán tính tác dụng vào các vật
khác nhau sẽ truyền cho chúng cùng một gia tốc. Tính chất này giống tính
chất của lực hấp dẫn: ở cùng một nơi trong trường hấp dẫn, các lực hấp dẫn
cũng truyền cho các vật có khối lượng khác nhau cùng một gia tốc. Ta có thể
coi lực quán tính tương đương với lực hấp dẫn. Chuyển động trong trường hấp
dẫn và chuyển động trong trường quán tính là tương đương nhau.

-9-

Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
CHƯƠNG 3

CON LắC Lò XO TRONG Hệ QUY CHIếU KHÔNG QUáN
TíNH CHUYểN ĐộNG TịNH TIếN

3.1.

Chu kỳ dao động


3.1.1. Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng lên trên

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng.
Vật nặng chịu tác dụng của các lực:
r
+ Trọng lực: P


ao

r
F h

r
+ Lực đàn hồi: F đh

r

F h

O

m
r

r
+ Lực quán tính: Fq

x

Fq

- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn D xo .

r
P

r
Fq

x

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:
r
r
r

F đh + P + Fq 0 (1)

r
P

Chiếu (1) lên 0x: - Fđh + P + Fq 0 hay k x0 mg ma0

(*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . Phương trình định
r

r
r
F đh + P + Fq ma
luật 2 Niutơn của con lắc:
(2)
Chiếu (2) lên 0x:

- Fđh + P + Fq ma

Hay:

k (x0 x) mg ma0 mx

Kết hợp với (*) ta có:


x

k

x0
m

Đặt:



k
m


x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

- 10 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý


Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng lên trên
m

thì con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p
.
k

3.1.2. Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng xuống dưới
Chọn trục toạ độ như hình vẽ.
Vật nặng chịu tác dụng của các lực:
r
+ Lực đàn hồi: F đh

r
F

r
ao
đh

r
Fq



O

+ Trọng lực: P

r r
Fq F đh

x

r

x

r
r
P
P
- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 . Phương trình định luật 2 Niutơn

+ Lực quán tính: Fq

của con lắc:
r
F

r
r

F
P

+
+
0
q
đh

(1)

Chiếu (1) lên ox: - Fđh + P Fq 0
Hay:

k x0 mg ma0

(*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . Phương trình định
r
r
r

luật 2 Niutơn của con lắc: F đh + P + Fq ma (2)
Chiếu (2) lên 0x: - Fđh + P Fq ma
Hay:

k (x0 x) mg ma0 0


x

Kết hợp với (*) ta có:
Đặt:



k
m

k
x0
m

x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng thẳng đứng xuống
dưới thì con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

- 11 -

m .
k


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý


3.1.3. Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng ngang sang phải

3.1.3.1. Trường hợp con lắc được treo thẳng đứng
Chọn hệ trục tọa độ oxy như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng.
r
ao

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:
r
+ Lực đàn hồi: F đh
r
+ Trọng lực: P

r
F
+ Lực quán tính: q

r
Fq

- Tại vị trí cân bằng con lắc lệch khỏi
phương thẳng đứng một góc 0 , lò xo

x

giãn một đoạn x0 . Phương trình định

r
F
đh
r
F
đh
r
Fq
O

0
l

r
P
r

P

y

luật 2 Niutơn của con lắc:
r

r
r
+
+
(1)
0

F
F đh P
q
Chiếu (1) lên Ox: - F
Hay:

đh

P cos 0 Fq sin 0 0

k x0 m( g cos 0 a0 sin 0 )

(*)

Chiếu (1) lên Oy:
P sin 0 Fq cos 0 0

tan 0

Fq
P

0 arctan



a0
g

a0
g

Vậy ở vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 , trục của lò xo lệch một
góc 0 arctan

a0
so với phương thẳng đứng.
g

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . Phương trình định

r
r
r

P
luật 2 Niutơn của con lắc: F đh +

+ Fq ma
- 12 -

(2)


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Chiếu (2) lên 0x: F đh P cos 0 Fq sin 0

ma

k (x0 x) m( g cos 0 a0 sin 0 ) mx

Hay:


x

Kết hợp với (*) ta có:



Đặt:

k
x0
m

k
m


x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng ngang sang phải thì
con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

m
.
k

3.1.3.2. Trường hợp con lắc được đặt trên một mặt phẳng ngang nhẵn

r
ao

Chọn trục Ox như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng.
r
N

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:
r
+ Lực đàn hồi: F đh
r

+ Trọng lực: P

r
N

r
+ Lực quán tính: Fq
r
+ Phản lực: N

r
Fq

O r

x

r
P

r
Fq

x

F đh

r
F đh

r
P

- Tại vị trí cân bằng lò xo bị nén một đoạn x0 . Phương trình định luật 2
Niutơn của con lắc:
r
F

r
r
r
F
P
N
+
+
+
0
q
đh

Chiếu (1) lên Ox: F

đh

(1)

Fq 0 hay k x0 ma0

(*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo bị nén một đoạn x x0 . phương trình
r
r
r

r
định luật 2 Niutơn của con lắc: F đh + P + Fq + N ma (2)
Chiếu (2) lên Ox:

F

đh

Fq ma

- 13 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Hay:

k ( x x0 ) ma0 mx

Kết hợp với (*) ta có:

x

Đặt:



k
m

k
x0
m

x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng ngang sang phải thì
m

con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p
.
k

3.1.4. Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên lên

Giả sử a0 hợp phương ngang một góc b .
3.1.4.1. Trường hợp con lắc lò xo được treo thẳng đứng
Chọn hệ trục Oxy như hình

r
ao

vẽ.

r
F đh

Vật nặng chịu tác dụng của
các lực:

r
+ Lực đàn hồi: F đh

r
Fq

r
+ Trọng lực: P

r
F
r
Fq

r
+ Lực quán tính: Fq

Phương dao động của con

b

0
l

đh

O

r
P

r
P

y

x

lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0 .
- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 . Phương trình định luật 2 Niutơn
của con lắc:

r
F

đh

r

+ P + Fq 0

(1)

Chiếu (1) lên Ox: Fq cos(900 0 ) P cos 0 F đh = 0

- 14 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
Fq sin( 0 ) P cos 0 F đh =

Hay:

0

k x0 m g cos 0 a0 sin( 0 )

(*)

Chiếu (1) lên Oy: Fq sin(900 0 ) P sin 0 0
Fq cos( 0 ) P sin 0 0

Hay:

Fq cos cos 0 Fq sin sin 0 P sin 0 0
( Fq sin P)sin 0 Fq cos cos 0

tan 0

Fq cos
Fq sin P

0 arctan



a0 cos
g a0 sin

a0 cos
g a0 sin

vậy phương dao động của con lắc hợp với phương thẳng đứng một góc

0 arctan

a0 cos
.
g a0 sin

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn rồi buông tay con lắc sẽ dao
động xung quanh vị trí cân bằng.
- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . phương trình định
r
r
r

F
luật 2 Niutơn của con lắc: đh + P + Fq ma
(2)
Chiếu (2) lên Ox: Fq cos(900 0 ) P cos 0 F đh = ma
Hay:

Fq sin( 0 ) P cos 0 k ( x x0 ) mx

x

Kết hợp với (*) ta có:
Đặt:



k
m

k
x0
m

x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

- 15 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý


Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên lên thì con lắc

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

m
.
k

3.1.4.2. Trường hợp con lắc được đặt trên một mặt phẳng nghiêng
Giả sử mặt phẳng nghiêng hợp phương ngang một góc b (bỏ qua ma sát)
Chọn hệ trục Ox như hình vẽ.
Con lắc chịu tác dụng của các lực:
r
+ Lực đàn hồi: F đh

r
a0

r
r
F đhO N
r
F
r
q
F đh

r b
P

r
+ Trọng lực: P

r
F
+ Lực quán tính: q
r
+ Phản lực: N

r
N
r
Fq

x

b

r
x
P
- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 . Phương trình định luật 2 Niutơn
b

của con lắc:
r
F

r

r
F
+
+
P
q +N 0
đh

Chiếu (1) lên Ox: - F
Hay:

đh

(1)

+ Fq + P sin b = 0

k x0 m( g sin a0 ) 0

(*)

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương Ox một đoạn rồi buông
tay con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng.
- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . Phương trình định
r
r
r

r

F
F
luật 2 Niutơn của con lắc: đh + P + q + N ma
(2)
Chiếu (2) lên Ox: - F
Hay:

đh

+ Fq + P sin b = ma

k ( x x0 ) m( g sin a0 ) mx

Kết hợp với (*) ta có:


x

k
x0
m

- 16 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đặt:

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý



k
m


x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên lên thì con lắc
m

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p
.
k

3.1.5. Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên xuống

Giả sử a0 hợp phương ngang một góc b .
3.1.5.1. Trường hợp con lắc được treo thẳng đứng

r
ao

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Vật nặng chịu tác dụng của các lực:

r
+ Lực đàn hồi: F đh


F đh

o

O

r


F đh

+ Trọng lực: P
r

+ Lực quán tính: Fq

b

y

r
Fq



Fq

P

- Phương dao động của con lắc lệch khỏi

x

r
P

phương thẳng đứng một góc ao .

- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn x0 . Phương trình định luật 2 Niutơn
của con lắc:

r
F

đh

r
r

+ P + Fq 0

(1)

Chiếu (1) lên Ox: Fq sin(900 900 0 ) P cos 0 F đh = 0
Hay:

Fq sin( 0 ) P cos 0 F đh =

0

k x0 m g cos 0 a0 sin( 0 )

(*)

Chiếu (1) lên Oy: Fq cos( 0 ) P sin 0 0
Hay:

Fq cos 0 cos Fq sin 0 sin P sin 0 0
( Fq sin P)sin 0 Fq cos 0 cos

- 17 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

tan 0

Fq cos
Fq sin P

arctan

a0 cos
g a0 sin

a0 cos
g a0 sin

vậy phương dao động của con lắc hợp với phương thẳng đứng một góc

0 arctan

a0 cos
.
g a0 sin

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương Ox một đoạn rồi buông
tay con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng.
- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x x0 . Phương trình định
r
r
r
r
luật 2 Niutơn của con lắc: F đh + P + Fq ma
(2)
Chiếu (2) lên Ox: Fq sin( 0 ) P cos 0 F đh = ma
Hay:

Fq sin( 0 ) P cos 0 k ( x x0 ) mx

x

Kết hợp với (*) ta có:
Đặt:



k
m

k
x0
m

x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên lên thì con lắc
vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

m
.
k

3.1.5.2. Trường hợp con lắc được đặt trên một mặt phẳng nghiêng
Giả sử mặt phẳng nghiêng hợp phương ngang một góc b (bỏ qua ma sát)
Chọn hệ trục Ox như hình vẽ.
Con lắc chịu tác dụng của các lực:
r

+ Lực đàn hồi: F đh

- 18 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
r

+ Trọng lực: P

+ Lực quán tính: Fq
r
+ Phản lực: N


a0


N


Fq
O

- Tại vị trí cân bằng:

Fq

Phương trình định luật 2 Niutơn


P

của con lắc:
đh


N

F h


P

giả sử lò xo bị nén một đoạn x0 .

r
F


F h

x

r
r
r
+ P + Fq + N 0 (1)

- Fq + P sin b = 0

Chiếu (1) lên Ox:

F

Hay:

k x0 m( g sin a0 ) 0

đh

(*)

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn rồi buông tay con lắc sẽ dao
động xung quanh vị trí cân bằng.
- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo bị nén một đoạn x x0 . phương trình
r
r
r
r
r
F
F
P
định luật 2 Niutơn của con lắc: đh +
+ q + N ma
(2)
Chiếu (2) lên Ox: F đh - Fq + P sin b = ma

Hay:

k ( x0 x) m( g sin a0 ) mx

Kết hợp với (*) ta có:
Đặt:




x

k
m

k
x0
m


x 2x 0

Nghiệm của phương trình là: x A cos(t )

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0 hướng xiên lên thì con lắc
vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

- 19 -

m

.
k


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Kết luận: Như vậy, trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động
tịnh tiến, con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kỳ như trong hệ quy
chiếu quán tính T = 2p
3.2.

m
.
k

Năng lượng dao động

- Phương trình dao động của con lắc: x A cos(t ) , con lắc dao động điều
hoà nên năng lượng của con lắc được bảo toàn.
- Tại vị trí con lắc có li độ x bất kỳ:
- Thế năng của con lắc:
1
1
k x 2 kA2cos2( t + )
2
2

Wt

- Động năng của con lắc:
Wđ

1
mv2
2

Wđ

1 2 2
A msin2( t + )
2

vi
Do đó :

k
m

Wđ

m 2 k

1 2 2
kA sin ( t + )
2

- Năng lượng dao động của con lắc:
E Wđ + Wt

E

1 2
kA cos 2 (t ) sin 2 (t )
2

E

1 2
kA const.
2

Kết luận: Năng lượng dao động của con lắc lò xo trong hệ quy chiếu
không quán tính chuyển động tịnh tiến được bảo toàn.

- 20 -


Khóa luận tốt nghiệp
3.3.

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý

Một số bài tập ví dụ

Bài 1
Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 1,00 kg gắn vào một lò xo có
độ cứng 100 Nm-1. Một đầu của lò xo treo trong thang máy. Chiều dài tự nhiên
của lò xo là 30,0 cm.
a. Tính chiều dài của lò xo khi vật cân bằng không dao động trong mỗi trường

hợp sau:
- Thang máy chuyển động đều.
- Thang máy chuyển động với gia tốc có độ lớn

g
.
5

- Thang máy đứt dây rơi tự do.
b. Thang máy đang đứng yên, cho con lắc dao động. Sau đó thang máy chuyển
động như sau:
- Đi lên theo ba giai đoạn: nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn
đều, rồi chậm dần đều với gia tốc cũng có độ lớn

g
,
5

g
.
5

- Rơi tự do vì dứt dây cáp.
Hãy tính chu kỳ dao động trong mỗi giai đoạn chuyển động (cho g = 10
ms-2; 2 = 10).
Bài làm
Xét chuyển động của con lắc lò xo trong hệ quy chiếu gắn với thang
máy.
a) Chiều dài lò xo
- Khi vật không dao động, nó ở trạng thái cân bằng (trong hệ quy chiếu gắn

với thang máy).
- Vật chịu tác dụng của các lực:
r
+ Lực đàn hồi: F đh
- 21 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
r

r

+ Trọng lực: P = m g hướng xuống
r

+ Lực quán tính: Fq ngược chiều với gia tốc a0

- Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:
r
r

r
F đh + P + Fq 0
(1)
- Khi thang máy chuyển động đều: a0 0 Fq 0
Ta có:

P F đh 0 k x1 P

P mg

k
k

x1
x1

1,00.10,0
0,100(m)
100

Chiều dài của lò xo:

l1 x1 l0 .
l1 10,0 30,0 40,0(cm)


- Khi thang máy có gia tốc a0 hướng lên (thang máy đi lên nhanh dần đều

hoặc đi xuống chậm dần đều).
Chiếu (1) lên Ox: P Fq F
Hay:

đh

0

F đh m( g a0 )
g

6
k x2 m( g ) mg
5
5

x2

x2

Chiều dài của lò xo là:

6mg
5k

6.1,00.10,0
0,120(m)
5.10
l2 x2 l0
l2 12,0 30,0 42,0(cm)

- 22 -


a0

r
F đh
m

r

Fq r
P

O

x


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý


- Khi thang máy có gia tốc a0 hướng xuống (thang máy đi lên chậm dần đều

hoặc đi xuống nhanh dần dều).
Chiếu (1) lên Ox: P Fq F đh 0

F đh m( g a0 )

Hay:

k

g
k x3 m( g )
5
4mg
5k
4.1,00.10,0

x3
0,080( m)
5.100

x3


F đh


Fq

O

m

a0


P

x

l3 x2 l0

Chiều dài của lò xo:

l3 8,0 30,0 38,0(cm)

b) Chu kỳ dao động

Trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến, con lắc lò
xo dao động điều hoà với chu kỳ T = 2p

m
. Như vậy trong tất cả các trường
k

hợp con lắc lò xo dao động với cùng chu kỳ là:
T 2

1,00
0,628( s)
100

Bài 2
Cho một lò xo khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l0 0,37 m .
Độ giãn của lò xo tỉ lệ với khối lượng vật treo vào nó: Cứ 6 mm cho 23 g. Bỏ
qua lực ma sát và lực cản môi trường. Treo con lắc vào trong một chiếc xe
đang chuyển động nằm ngang người ta thấy lò xo lệch khỏi phương thẳng
đứng một góc 300. Tìm gia tốc của xe và độ dài của lò xo. Biết khối lượng của
vật là 120 g (cho g = 10 m/s2).

- 23 -


Khóa luận tốt nghiệp

Đỗ Thị Vân K31A _ Vật Lý
Bài làm

Cho biết:

l0 0,37m
m 120 g 0,12kg

0 30

r
F đh

0

r
Fq

m' 23g 0,023kg
'

0

m

r
ao

O

3

l 6mm 6.10 m

g 10m / s 2

x

r
P

y

a, l ?
m' .g 0,023.10
Độ cứng của lò xo: k

38,3( N / m)
l '
6.103

- Xét con lắc trong hệ quy chiếu gắn với xe.
Chọn hệ trục tọa độ oxy như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng.
Vật nặng chịu tác dụng của các lực:
r
F
+ Lực đàn hồi: đh
r

+ Trọng lực: P
r

+ Lực quán tính: Fq
- Tại vị trí cân bằng con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 0 300 , lò

xo giãn một đoạn x0 . Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:
r
r
r

F đh + P + Fq 0
(1)
Chiếu (1) lên Ox: - F
Hay:

đh

P cos 0 Fq sin 0 0

k x0 m( g cos 0 a0 sin 0 )

Chiếu (1) lên Oy:

- 24 -

(2)


Khãa luËn tèt nghiÖp

§ç ThÞ V©n K31A _ VËt Lý

P sin  0  Fq cos  0  0
mg sin  0  ma cos  0  0
 a  g tan  0

a  10.tan 300  5,77( m / s 2 )
Tõ (2) cã:

k .x0  Pcos 0  Fq sin  0
 x0 

m( g cos  0  a sin  0 )
k

 x0 

0,12(10cos300  5,77.sin 300 )
 0,036(m)
38,3

ChiÒu dµi cña lß xo:

l  l0  x0
l  0,036  0,37  0,406( m)

VËy gia tèc cña xe lµ 5,77 m/s2, chiÒu dµi cña lß xo lµ 40,6 cm.

- 25 -