Tìm hiểu về vật lý thống kê các quá trình không cân bằng

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của cô giáo
hướng dẫn: PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này.
Với khả năng và trình độ còn hạn chế của một sinh viên nên trong quá
trình thực hiện đề tài này chắc chắn tôi không thể tránh khỏi sự thiếu sót. Tôi
rất mong các thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đoàn Thị Thùy Linh

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành với sự nỗ lực hết mình của
bản thân và sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS – TS Lưu Thị
Kim Thanh. Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi và
không trùng kết quả của bất kỳ một tác giả nào khác. Nếu sai, tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đoàn Thị Thùy Linh

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu về các quy
luật vận động của tự nhiên từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho
đến thang vĩ mô ( các hành tinh, thiên hà, vũ trụ). Các đối tượng nghiên cứu
của vật lý học như vật chất, năng lượng, không gian và thời gian…
Nhiệt động lực học và Vật lý thống kê là hai ngành của vật lý học đều
áp dụng các phương pháp thống kê để nghiên cứu những hệ chứa một số rất
lớn các phần tử gọi là hệ vi mô hay hệ nhiều hạt.
Trong đó, Nhiệt động lực học nghiên cứu các quy luật tính của chuyển
động nhiệt trong các hệ cân bằng và khi hệ chuyển về trạng thái cân bằng,
đồng thời nó cũng khái quát các quy luật tính đó cho các hệ không cân bằng.
Còn Vật lý thống kê có nhiệm vụ cơ bản là nghiên cứu mối liên hệ giữa các
đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển
động của các hạt vi mô cấu thành hệ. Và Vật lý thống kê có quan hệ chặt chẽ
với Nhiệt động lực học. Người ta thấy rằng, trong trường hợp hệ vĩ mô nằm
trong trạng thái cân bằng thì các định luật mà ta thu được trong Vật lý thống
kê đối với các đại lượng trung bình là trùng với các định luật của Nhiệt động
lực học.
Như vậy là trong trường hợp các hệ cân bằng, Vật lý thống kê đã đặt cơ
sở lý thuyết cho các quy luật nhiệt động lực học. Vì vậy, người ta thường gọi
Vật lý thống kê về các hệ cân bằng là Nhiệt động lực học thống kê – nó thiết
lập mối liên hệ giữa các trạng thái phân tử với đặc tính vĩ mô của hệ và cho
phép ta tính được các hàm nhiệt động của các hệ khác nhau.
Tuy nhiên, trong thời gian gần đây việc nghiên cứu các quá trình và
trạng thái không cân bằng đã phát triển mạnh hơn và hình thành một ngành
3


mới là Nhiệt động lực học về các quá trình không cân bằng, nhưng còn ít tài
liệu về vấn đề này và nó chỉ mới có thể giải thích các quy luật tính đơn giản
nhất.

Vì vậy, tôi chọn “Tìm hiểu về Vật lý thống kê các quá trình không
cân bằng” làm đề tài luận văn của mình, để đi sâu vào nghiên cứu các quá
trình không cân bằng, khảo sát các biến đổi cấu trúc vi mô của vật chất bằng
cách vận dụng lý thuyết thống kê. Thông qua đề tài này, tôi muốn tìm hiểu kĩ
hơn về lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử các quá trình không cân bằng
và mang lại kiến thức tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Tôi cũng hi vọng
đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên sau này.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các quá trình không cân bằng thông qua lý thuyết cổ điển
và lý thuyết lượng tử.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu khái niệm về quá trình không cân bằng và hàm phân bố
của nó.
Nghiên cứu lý thuyết cổ điển về các quá trình không cân bằng.
Nghiên cứu lý thuyết lượng tử về các quá trình không cân bằng.

4. Đối tƣợng nghiên cứu
Xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố.
Mối liên hệ giữa hàm phân bố với không thời gian và các đại
lượng vĩ mô.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý thuyết

4


NỘI DUNG

CHƢƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1

CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG
Nhiệt động lực học thống kê không cân bằng là sự phát triển tiếp theo

của giả thuyết cân bằng. Giả thuyết này là một giả thuyết rất nổi tiếng, được
phát triển từ khoảng đầu thế kỷ XX do Gibbs đề xuất, trong khi đó Nhiệt động
lực học thống kê không cân bằng vẫn đang trong quá trình phát triển và cần
nhiều thời gian nữa mới có thể hoàn thiện được. Nó nghiên cứu các quá trình
vận chuyển năng lượng, động lượng, và phần từ trong các hệ thống vật lý
khác nhau (chất khí, chất lỏng, chất rắn) dựa trên những khái niệm cơ bản của
các nhân tố thống kê, như phương trình nguyên tử, để tìm ra các hệ số động
học trên quan điểm về các thuộc tính vi vật chất.
Nội dung cơ bản của vật lý thống kê các quá trình không cân bằng là
xác định phương trình chuyển động của hàm phân bố để tìm mối liên hệ giữa
hàm phân bố với không thời gian và xác định được mối liên hệ giữa hàm phân
bố với các đại lượng vĩ mô.
Trước khi tìm hiểu về các quá trình không cân bằng chúng ta hãy nhắc
lại về các quá trình cân bằng (quá trình cân bằng nhiệt động). Một hệ được
gọi là cân bằng nếu bên trong hệ không những tất cả các thông số như thể tích
V, năng lượng E, số hạt N,… không đổi với thời gian, mà còn không có bất
kỳ dòng dừng nào do tác dụng của các nguồn ngoài. Hay nói cách khác, khi
hàm phân bố xác suất không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì trạng
thái của hệ được gọi là trạng thái cân bằng, nên các giá trị trung bình của các
đại lượng đặc trưng cho hệ vĩ mô cũng không phụ thuộc thời gian. Trong
trạng thái cân bằng hàm phân bố không phụ thuộc toạ độ khi trường ngoài
5

bằng không hoặc đồng nhất. Còn các quá trình không cân bằng, hàm phân bố
không cân bằng phụ thuộc thời gian và có thể phụ thuộc toạ độ ngay cả khi
không có trường ngoài, tức là trong hệ có thể tồn tại các gradient, chẳng hạn
như gradient nhiệt độ, gradient mật độ hạt, …
Đặc trưng chủ yếu của các quá trình không cân bằng là sự tồn tại các
dòng chảy trong hệ (dòng nhiệt lượng, dòng vật chất, dòng điện, …). Nguồn
gốc của các dòng này là sự tồn tại gradient, chẳng hạn sự truyền nhiệt bắt
nguồn từ sự tồn tại gradient nhiệt độ VT (tức là sự chênh lệch nhiệt độ giữa
các điểm trong không gian), dòng điện bắt nguồn từ sự tồn tại gradient điện
thế V  , … Các quá trình không cân bằng loại này gọi là các quá trình truyền.
Trước hết ta đi thiết lập mối liên hệ giữa hàm phân bố với các quá trình này.
1.2

HÀM PHÂN BỐ KHÔNG CÂN BẰNG

Trong lý thuyết các quá trình truyền người ta không dùng hàm phân bố
 
xác suất một hạt 1 ( p, r , t ) mà chúng ta đã khảo sát ở phần phân bố Maxwell
 
Boltzmann. Người ta thường dùng hàm phân bố f ( p, r , t ) , hàm này chỉ khác
 
hàm 1 ( p, r , t ) bởi một thừa số hạt của hệ:
 
 
(1.1)
f ( p, r , t )  N1 ( p, r , t )
 
Vì hàm 1 ( p, r , t ) thỏa mãn điều kiện:
 

 
 1 ( p, r , t )dpdr  1
 
N nên hàm f ( p, r , t ) thỏa mãn điều kiện:
 
 
(1.2)
 f ( p, r , t )dpdr  N
 
Qua hệ thức (1.2) ta thấy rõ ý nghĩa của hàm phân bố f ( p, r , t ) là mật
 
 
 
độ hạt trong không gian ( p, r ) . Nói cụ thể hơn f ( p, r , t )dpdr là số hạt có


xung lượng trong khoảng dp và tọa độ trong khoảng dr .
Từ định nghĩa (1.1) ta suy ra:
6


1.2.1 Đại lƣợng


 

p(r , t )   f ( p, r , t )dp

(1.3)

là mật độ hạt địa phương, tức là số hạt trong một đơn vị thể tích tại

điểm r .
1.2.2 Đại lƣợng


p  

j   f ( p , r , t ) dp
m

là mật độ dòng hạt tại điểm r .

(1.4)

1.2.3 Đại lƣợng


p2 p  


q
f ( p, r , t )dp
2m m

(1.5)


là mật độ dòng nhiệt lượng (dòng năng lượng) tại điểm r .

1.2.4 Đại lƣợng


p  

j e   e f ( p , r , t ) dp
m

là mật độ dòng điện tại điểm r .

(1.6)

Trong tất cả các công thức trên ta cần lưu ý tới ký hiệu:

dr  dv  dxdydz
dp  dpx dp y dpz ;
Qua các công thức (1.4) – (1.6) ta thấy rằng để tính các dòng truyền
 
trong hệ cần biết hàm phân bố một hạt f ( p, r , t ) . Để xác định hàm phân bố
cần biết phương trình chuyển động của nó. Vì lẽ đó, việc xác lập và giải
phương trình chuyển động của hàm phân bố không cân bằng là vấn đề trung
tâm của lý thuyết các quá trình không cân bằng.
Trong trường hợp thống kê cân bằng bài toán xác định hàm phân bố đã
có lời giải rõ ràng: đó là biểu thức phân bố Gibbs:
  ( .a)  H ( X , a) 





 ( X )  exp 

7


Trong trường hợp thống kê không cân bằng các đặc điểm riêng của
từng hệ tức là sự tương tác giữa các hạt và sự tác động của bên ngoài rất đa
dạng, vì vậy không có lời giải tổng quát cho bài toán xác định hàm phân bố
không cân bằng. Hơn nữa, ngay cả việc xác lập phương trình chuyển động
cũng rất phức tạp. Ngay cả khi phương trình chuyển động đã được xác lập thì
trong nhiều trường hợp chúng ta chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng trên cơ sở
một số giả thiết có tính chất đơn giản hóa bài toán. Vì lẽ đó phương pháp gần
đúng đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết các quá trình
không cân bằng.

8


CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ CÁC QUÁ
TRÌNH KHÔNG CÂN BẰNG
2.1. CÁC PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH XÁC ĐỐI VỚI HÀM PHÂN BỐ
 
Hàm phân bố mật độ hạt f ( p, r , t ) liên quan với hàm phân bố xác suất
 
1 ( p, r , t ) theo hệ thức (1.1), vì vậy để xác định phương trình chuyển động
 
 
của hàm f ( p, r , t ) ta xét hàm 1 ( p, r , t ) .
 
Vì 1 ( p, r , t ) là hàm phân bố xác suất đối với một hạt nên nó liên quan

với hàm phân bố xác suất của hệ N hạt như sau:
 
    
 

1 ( p, r , t )    ( p1 ,... pN , r1 ,...rN )dp1 ,...dpN , dr1 ,...drN

(2.1)

Lấy đạo hàm hai vế theo biến thời gian t, ta được:
1
 
 

  dp2 ,...dp N dr2 ,...drN
t
t

(2.2)

Hàm phân bố  của cả hệ tuân theo phương trình chuyển động:

  , H   H ,  
t

vậy ta có thể viết lại (2.2) như sau:
1

 


  H ,  dp2 ,...dp N dr2 ,...drN
t

(2.3)

Hamiltonian của hệ có dạng:

N
N
pi2
 

H 
 U ( ri  rk )  U 0 (ri )
i 1 2m
(i k )
i 1
Số hạng thứ hai trong biểu thức Hamiltonian là năng lượng tương tác
giữa các hạt trong hệ, còn số hạng cuối cùng là thế năng của các hạt trong
trường ngoài ví dụ như điện trường, trường hấp dẫn.
Để cho tiện sử dụng các ký hiệu sau đây:
9



rk  ( xk , yk , zk )  (rk1 , rk2 , rk3 ) : tọa độ suy rộng

pk  ( p1k , pk2 , pk3 ) : xung lượng suy rộng

k  1,2,... N
U (ri  rk )  i  k
U ik  
0  i  k
Với các ký hiệu như vậy móc Poisson có dạng:



, H      

H  H
  


pk rk
 1 k 1  rk pk
3

N





  Pk  U 0 N  U ik 

    


m pk rk i 1 pk rk 

 1 k 1  rk
3

N

(2.4)

Thay (2.4) vào vế phải của (2.3) và lưu ý rằng:

Pk   Pk 
drk 
   0


m
 m rk


U 0   U 0 
   dpk  r     0
 rk p k
k


ta được:
3
N
 p  U 0 1
U 1i 
1

    1  





t
r1 p1
p1
 1
i  2 r1
 m r1

 
 

dp2 ,...dp N dr2 ,...drN (2.5)


Vì các hạt đồng nhất nên tổng (N-1) số hạng dưới dấu tích phân có thể
thay bằng:

10


( N  1) 

U12  
 


d
p
,...
d
p
d
r
,...
d
r
2
N
2
N
r1 p1

 ( N  1)

 U12 
 


d
p
,...
d
p
d
r
,...

d
r
2
N
2
N

p1 r1

 ( N  1)

 U12
 

d
r
12
2 dp2

p1 r1

Ở đây chúng ta ký hiệu 12 là hàm phân bố hai hạt:

   









12 ( p1 , r1 , p2 , r2 , t )   dp3 ,...dpN dr3 ,...drN
Ta có thể viết lại (2.5) như sau:
1 3  p1  U 0 1
 U 12
  
  


(
N

1
)

d
r
12
2 dp 2 

t  1  m r1 r1 p1
p1 r1


(2.6)

Phương trình (2.6) không phải là phương trình đóng kín đối với 1 , bởi
vì nó chứa hàm 12 chưa biết. Tương tự ta có thể chứng minh rằng phương

trình chuyển động của 12 , sẽ chứa hàm 123 v.v… Kết quả là chúng ta có cả
một chuỗi N phương trình, bắt đầu từ phương trình (2.6) và kết thúc là
phương trình:
12...N
 12...N , H 
t

Chuỗi phương trình như vậy gọi là chuỗi phương trình Bogoliubov.
Việc giải bật cứ một phương tŕ nh nào đó cũng tương đương v ới việc giải cả
chuỗi N phương trình. Vì lẽ đó, giải chính xác chuỗi phương trình
Bogoliubov đối với hệ nhiều hạt là bài toán không thể giải quyết được. Chính
vì vậy, việc giải gần đúng có ý nghĩa rất quan trọng. Ta sẽ đi xét một trường
hợp riêng, khi hàm 12 , có thể được biểu diễn qua hàm 1 , do đó bài toán sẽ
quy về việc giải một phương trình đối với 1 là hàm phân bố một hạt.

11


2.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VLASOV
Ta xét trường hợp tương tác giữa các hạt là tương tác xa, ví dụ như
tương tác hấp dẫn, tương tác Coulomb, khi mà thế năng tương tác giảm theo
khoảng cách theo quy luật 1/r.
Vì thế năng tương tác tỉ lệ với 1/r nên lực tương tác giảm khá chậm
theo khoảng cách nên sự chuyển động của một cặp hai hạt không chỉ phụ
thuộc vào tương tác giữa hai hạt, mà còn phụ thuộc vào sự tương tác giữa
từng hạt với các hạt còn lại của hệ. Do đó, chúng ta có thể thay hệ N hạt
tương tác bằng hệ N hạt độc lập trong trường thế năng (gồm trường ngoài U 0
và trường do N-1 hạt tạo ra đối với mỗi hạt).
Vì các hạt được coi là độc lập nên ta có thể viết:

   

 

 

12 ( p1 , r1 , p2 , r2 , t )  1 ( p1 , r , t ).2 ( p2 , r2 , t )
 
Ở đây 2 ( p2 , r2 , t ) là hàm phân bố xác suất đối với hạt thứ hai. Phương
trình chuyển động (2.6) bây giờ có dạng như sau:

1 3  p1 1 U (r1 ) 1 


0
t  1  m r1
r1 p1 

(2.7)

trong đó ta ký hiệu:



 
 
 
U (r1 )  U 0 (r1 )  ( N  1)U12 ( r1  r2 )1 ( p2 , r2 , t )dr2 dp2 (2.8)
Để cho gọn ta sử dụng ký hiệu:
     

 ,
,

t  r11 r12 r13 

Khi đó, ta có thể viết (2.7) dưới dạng ngắn gọn:
1 p1 1 U 1

    0
t
m r1
r1 p1

12

(2.9)



Để xác định 1 ta cần biết thế năng U (r1 ) nhưng (2.8) lại cho thấy

muốn biết U (r1 ) cần biết 1 . Do đó phương trình động học (2.9) gọi là
phương trình trường tự hợp.

Chuyển sang hàm phân bố một hạt f  N1 , và dùng ký hiệu r thay


cho r1 , ta được:

f P f U f


    0
t m r r p
U
Đại lượng    U chính là lực tác dụng lên mỗi hạt:
r


U 
 F
r

Vì vậy, ta có phương trình sau đây:

 f
f P f


F

 0
t m r
p

(2.10)

Phương trình động học có dạng như sau nếu ta không dùng biến xung


 p

lượng p mà dùng biến vận tốc  v   :
m


f  f F f
v  
(2.11)
 0
t
r m v

Ttrong đó lực F được xác định theo công thức sau:



 
 

F  U (r )  U 0 (r )  ( N  1)U ( r  r ' ) ( p' , r ' , t )dp' dr'
Vì N rất lớn ta có thể thay (N-1) bằng N:


 
 

F   U 0 (r )  U ( r  r ' ) f ( p' , r ' , t )dp' dr'





(2.12)

Như vậy, theo phương pháp trường tự hợp chúng ta phải giải phương

trình động học (2.10) hoặc (2.11), trong đó lực F tác dụng lên mỗi hạt tại

điểm r được xác định theo công thức (2.12).
13


Công thức (2.12) cho thấy rõ lực tác dụng vào mỗi hạt bao gồm ngoại

lực  U 0 (r ) và lực tác dụng từ phía các hạt khác trong hệ.
Đó chính là phương trình động học cho hệ nhiều hạt, còn đối với hệ
gồm nhiều loại hạt ta có thể viết các phương trình động học (2.10) cho từng
loại hạt.
Riêng đối với plasma ion hóa hoàn toàn, bao gồm hai loại hạt là điện tử
và ion dương, ta có các phương trình sau:

f e  f e e  f e
 ve  
  0
t
r me r ve

(2.13)

f i  f i e  f i
 vi  

  0
t
r me r vi

(2.14)


trong đó  là điện thế tại điểm r .

 

 

 

 (r , t )  e    f i ( p' , r ' , t )  f e ( p' , r ' , t )dr ' dp'
1
r  r'

(2.15)

Các phương trình (2.13) - (2.15) lập thành hệ phương trình Vlasov. Và
người ta thường dùng hệ phương trình này để khảo sát các quá trình không
cân bằng trong Plasma loãng và ion hóa hoàn toàn.

2.3. PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMANN
Trong mục này, ta sẽ xác lập phương trình động học tổng quát, tức là
phương trình miêu tả sự biến đổi theo thời gian của hàm phân bố một hạt
 
f ( p, r , t ) trong mọi trường hợp tương tác giữa các hạt trong hệ.

Ta sẽ xuất phát từ các định luật cơ học cổ điển nhưng ta sẽ không sử
dụng hàm phân bố xác suất như ở phần trên nữa.
 
Xét hàm phân bố f ( p, r , t ) . Theo thời gian hàm phân bố này sẽ biến
đổi vì hai nguyên nhân sau: sự chuyển động của hạt và sự va chạm với
các hạt khác.
14


 f 
Ta ký hiệu   là đạo hàm biểu diễn sự biến đổi của hàm phân bố
 t  der
do nguyên nhân thứ nhất, tức là do chuyển động trôi (không va chạm);

 f 
  là đạo hàm biểu diễn sự biến đổi do sự va chạm, ta có thể viết:
 t col
f  f 
 f 
   
t  t  der  t  col

(*)

Thành phần thứ hai phụ thuộc vào cơ chế tương tác giữa các hạt, vì vậy
chúng ta không thể dễ dàng xác định biểu thức của nó. Việc lập biểu thức
thành phần thứ nhất không có gì khó khăn nếu như ta chỉ xét trường hợp cổ
điển, tức là khi chuyển động của hạt tuân theo các định luật Newton.
Xét khoảng thời gian dt. Tại thời điểm t+dt hàm phân bố là


 



f ( p  dp, r  dr , t  dt ) , trong đó dp và dr là biến thiên xung lượng và tọa
độ của hạt do chuyển động trôi (không va chạm), trong khoảng thời gian dt.
Vì số hạt là bảo toàn nên hàm f phải thỏa mãn phương trình liên tục.


 

 
f ( p  dp, r  dr , t  dt )  f ( p, r , t )

(2.16)

Giả thiết rằng khoảng dt rất nhỏ, ta có thể khai triển gần đúng:

f  f   f 

 

 
f ( p  dp, r  dr , t  dt )  f ( p, r , t )   dp   dr    dt
p
r
 t  der
Thay biểu thức này vào vế trái phương trình (2.16) ta được:

f  f   f 

 dp   dr    dt  0
p
r
 t  der
Từ đó suy ra:



f p f r
 f 
 
   
p t r t
 t  der

15


 


r P
p 

 F trong đó F là ngoại lực tác dụng vào
Để ý rằng
và
t m
t
hạt, ta có thể viết:


 f P f
 f 
   F  

p m r
 t  der

(2.17)

Thay biểu thức này vào (*) ta được phương trình:



f
f P f  f 
 F  
  
t
p m r  t col


 f P f  f 
f
F  
  
t
p m r  t  col

(2.18)

Phương trình (2.18) gọi là phương trình động học Boltzmann. Nội dung
cơ bản của lý thuyết các quá trình không cân bằng như đã nói ở trên là giải
 
phương trình động học (2.18) để tìm hàm phân bố không cân bằng f ( p, r , t ) .
Vế phải của phương trình này biểu diễn sự va chạm giữa các hạt cùng loại (ví
dụ như điện tử - điện tử), hoặc giữa các hạt khác loại (ví dụ như điện tử với

 f 
các ion dương trong kim loại). Nói chung   là một biểu thức tích phân
 t  col
phức tạp, vì vậy phương trình động học Boltzmann là một phương trình vi
tích phân. Việc khảo sát đầy đủ phương trình động học (2.18) vượt ra ngoài
phạm vi nghiên cứu của khóa luận này, vì vậy ta chỉ xét một phương pháp gần
đúng khá thông dụng cho phép tuyến tính hóa phương trình (2.18).

2.4. PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG HỒI PHỤC. ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ
DẪN NHIỆT CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG KIM LOẠI
Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục, hay gọi tắt là phương pháp
gần đúng hồi phục được dùng trong một số trường hợp mà sự va chạm giữa
các hạt cùng loại không đáng kể so với các hạt khác loại. Chẳng hạn khi ta xét
khí điện tử tự do trong kim loại thì ở chừng mực nào đó có thể bỏ qua sự va
16


chạm giữa các điện tử với điện tử. Khi đó diễn biến trạng thái của hệ điện tử
chủ yếu phụ thuộc vào sự va chạm giữa điện tử với các hạt nặng hơn nhiều,
chẳng hạn như các nguyên tử tạp chất hoặc các ion dương của mạng tinh thể
kim loại.

Cơ sở của phương pháp này là giả thiết cho rằng do có sự va chạm giữa
các hạt nên hàm phân bố không cân bằng sai khác với hàm phân bố cân bằng,
nhưng sự sai khác đó tắt dần theo thời gian theo quy luật hàm mũ. Hay nói
cách khác, hiệu giữa hàm phân bố không cân bằng và hàm phân bố cân bằng

f 0 phụ thuộc thời gian theo quy luật sau:

f  f0 ~ e
Đại lượng



t





gọi là thời gian hồi phục. Người ta thường coi

số, hoặc là hàm của xung lượng p .

(2.19)



là hằng

Trên cơ sở điều giả định (2.19) chứng ta dễ dàng chứng minh rằng số
hạng biểu diễn sự va chạm trong phương trình động học Boltzmann có dạng:

f  f0
 f 
  

 t  col
Nói cách khác, trong phép gần đúng hồi phục, phương trình động học
Boltzmann có dạng:


 f P f
f  f0
f
F  
 
t
p m r


(2.20)

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nghiệm riêng của phương trình (2.20)
thỏa mãn điều kiện (2.19). Ta tìm nghiệm của (2.20) dưới dạng:
 
 
 
f ( p, r , t )  f 0 ( p, r )  (t )( p, r )

(2.21)

Thay (2.21) vào (2.20) ta thu được phương trình đối với hàm  (trên

cơ sở giả thiết rằng p không phụ thuộc thời gian, còn  = const).

17




t

Nghiệm riêng của phương trình này là   const.e  . Từ đó thấy rằng f
thỏa mãn điều kiện (2.19).

f  f 0  const.e
Như vậy, giả thiết f  f 0 ~ e





t



t



tương đương với giả thiết:

f  f0
 f 
  

 t  col

Sau đây, chúng ta sẽ khảo sát độ dẫn điện và dẫn nhiệt của khí điện tử
tự do trong kim loại để minh họa cho việc áp dụng phương trình gần đúng hồi
phục (2.20) trên.
Đầu tiên ta nhận xét rằng nếu là giá trị tuyệt đối của vận tốc,  là bước
chuyển dời tự do của điện tử thì thời gian hồi phục  chính là thời gian
chuyển dời tự do, vì vậy ta có hệ thức sau:



 m


p

(2.22)

ở đây m là khối lượng điện tử, p là giá trị tuyệt đối của xung lượng.
Trong trường hợp cân bằng f 0 chính là hàm phân bố Fermi – Dirac:

1

f0 

 

e

kT

(2.23)

1

Giả sử quá trình dẫn nhiệt và dẫn điện là quá trình dừng, khi đó ta đó:
f
0
t

(2.24)

Chúng ta xét trường hợp có gradient nhiệt độ dọc theo phương z, đồng
thời có điện trường dọc theo phương z với các thành phần như sau:

E  0,0, E

18


Lực tác dụng lên điện tử là:

F  0,0,eE

(2.25)

Vì không gian không đồng nhất theo phương z nên nhiệt độ T và thế
hóa  sẽ là hàm của z:

T  T ( z)
   ( z)

(2.26)

Để ý tới các hệ thức (2.22), (2.24), (2.25) và (2.26) ta có thể viết
phương trình động học (2.20) như sau:

f  f0  

m  pz f
f 


 eE
p  m z
pz 

Để giải gần đúng phương trình này chúng ta thay f bằng f 0 vào
vế phải:

f  f0  

m  pz f 0
f 


 eE 0 
p  m z
pz 

(2.27)

Dựa vào hàm phân bố Fermi – Dirac (2.23) và lưu ý rằng  và T là
hàm của z, ta tính được:

f 0 f 0  pz f 0


pz  pz m 
f 0   1 
1


( f 02  f 0 )
 


  e kT  1 kT ( z )



f 0 f 0  f 0 T  f 0  f 0  T






z  z T z   T T  z

f 0 f 0       T




z   T
T  z

19


Thay các kết quả này vào (2.27) ta được:

f
m  p z f 0

 eE 0
p  m z
p z




m       T
 p f



 eE  z 0



p  T
T  z
 m 

f  f0  



p z  



p  T

(2.28)

    T
T

 f
 eE  0

 z
 

2

2
2
p 2 px  p y  pz

Ttrong đó:  
2m
2m

Để tính độ dẫn điện và hệ số dẫn nhiệt chúng ta cần tính dòng điện và
dòng nhiệt.
Mật độ dòng điện được tính theo công thức:

pz
dp
je  2e  f
m (2 )3
Con số 2 xuất hiện là vì khi tính số trạng thái cần lưu ý rằng spin của
điện tử bằng


, do đó có hai định hướng. Để chuyển từ tích phân theo biến
2

xung lượng sang tích phân theo năng lượng ta sử dụng hệ tọa độ cầu:

dp  dpx dpy dpz  2 sin dp 2 dp

p2
Vì  
, ta có:

2m
3
3

2
dp   (2m)  2 sin dd
1

Mặt khác, ta có p z  p cos  (2m ) 2 cos . Từ các hệ thức này ta có
thể viết lại công thức tính mật độ dòng điện như sau:

me  
je   2 3  d  f cos sin d
  0 0

20

(2.29)


Lấy biểu thức f từ (2.28) thay vào vế phải (2.29) và lưu ý ràng trong
trạng thái cân bằng ( f  f 0 ) dòng bằng 0, ta được:

me 
      T
 f
2
je   2 3  cos  sin d   

 eE  0 d


  0
T  z
0
 T
 

Thực hiện phép tích phân theo biến  , ta được:

2me        T
 f
je   2 3   

 eE  0 d

3  0  T
T  z
 
2me
 2 3
3 

    T
f 0
f 0 2 
1 T 

 
 eE    ( )
d 


(

)
 d 



T z 0

0
 T T  z


Chúng ta viết  ( ) vì bước chuyển dời tự do nói chung phụ thuộc năng
lượng. T đưa vào ký hiệu:


M n    ( )
0

f 0 n
 d


(2.30)

Biểu thức mật độ dòng điện bây giờ có thể được viết dưới dạng
ngắn gọn:

je  

2me
3 2  3

    T

1 T

 
 eE  M 1 
M2

T z

 T T  z


(2.31)

Mật độ dòng nhiệt lượng (năng lượng) được xác định theo công thức:

2
p 2 pz 
q
fdp

(2) 3 2m m
Thực hiện phép chuyển từ tích phân theo xung lượng sang tích phân
theo năng lượng, đồng thời thay f từ biểu thức (2.28), ta được:

q

2me
3 2  3

    T

1 T

 
 eE  M 2 
M3

T z

 T T  z


21

(2.32)


Như vậy, để tính mật độ dòng điện và mật độ dòng nhiệt lượng ta cần
tính tích phân M n (n  1,2,3) .
Ký hiệu  ( ) n   n ( ) , ta có thể viết:


M n    ( )

0


f 0 n
f
 d    n ( ) 0 d


0

Trong đó f 0 là hàm phân bố Fermi – Dirac:

f0 

Đặt

 
kT

1
 

e kT  1

 x , ta có thể viết:
f 0 f 0 dx
1 f 0




x d kT x

Mn 







 n (   kTx)

f 0
dx
x

kT

Dựa theo biểu thức f 0 , ta tính được:

f 0   1 
 ex
  x


x x  e  1  (e x  1) 2
Rõ ràng là hàm

f 0
có hai tính chất nổi bật sau đây:

x

f 0
 ex
 ex

1.
là hàm chẵn, bởi vì: x
x
(e  1) 2 (e  x  1) 2

2.

f 0
 x
giảm nhanh theo luật e khi x tăng.
x

22

(2.33)


f
x



f 1


x 4

x
Trên hình vẽ là đồ thị

f 0
. Ở nhiệt độ bình thường, khí điện tử tự do là
x

khí suy biến, do đó:
kT



 1 hay


kT

 1

Từ các nhận xét trên chúng ta thấy có thể khai triển hàm  n trong tích
phân (2.33) thành chuỗi tại điểm x = 0 (tức là    ) và giới hạn ở một vài số
hạng đầu:

(kTx) 2
 n (   kTx)   n (  )  kTx ' n (  ) 
 ' ' n (  )  ...
2


Mn 


Vì


kT



(kT ) 2

 f 0
2

(

)

kT

'
(

)
x


'

'
(

)
x

...
n
n
 n
 x dx
2



kT

 1 nên ta có thể thay 


kT

bằng   :

(kT ) 2

 f
M n    n (  )  kT 'n (  ) x 
 ' 'n (  ) x 2  ... 0 dx
2

 
 x


23


Vì
x

f 0
f
là hàm chẵn nên x 0 là hàm lẻ, do đó khi lấy tích phân chứa
x
x

f
f 0
, x 3 0 , v.v…chúng ta sẽ được 0.
x
x

Mặt khác, ta cần lưu ý rằng:

f 0 ()  0 và f 0 ()  1.
Trên cơ sở các nhận xét đó ta có thể viết:

f
(kT ) 2
M n   n (  ) 

 ' 'n (  )  x 2 0 dx  ...
2
x



x

Có thể tính tích phân



2

f 0
dx một cách dễ dàng:
x


f0
2
2 f0
 x x dx  20 x x dx   3



2

(kT ) 2
M n   n (  ) 

 ' ' n (  )  ...
6
Dựa theo kết quả này và biểu thức  ( ) n   n ( ) , ta tính được:

2 32 (kT ) 2
2  12
M 1  
 


m
8
m
2 52 5(kT ) 2
2 12
M 2  
 


m
8
m
2 72 35(kT ) 2
2 32
M 3  
 


m
24

m
trong đó:  

1

v

1
2
m

24

(2.34)


Ta hãy tính mật độ dòng điện khi không có dòng nhiệt lượng, tức là khi
T
 0 , để xác định hệ số dẫn điện (hay độ dẫn điện) của khí điện tử. Cho
z
T
 0 trong biểu thức (2.31) ta được:
z

2me 2 E
2e 2 E 2m 32
je  
M1 

3 2  3

3 2  3
Ta có thể lấy gần đúng các giá trị  và  ở mức Fermi:
2

2  2 N 3
  0 
 3

2m 
v



0
v0



0
2 0
m

trong đó 0 là bước chuyển dời tự do khi    0 .
Như vậy biểu thức mật độ dòng điện có thể được viết dưới dạng:

je  E
trong đó:

e2
N e2

   (  0 )   (  0 )n
m
v m

(2.35)

Đại lượng  chính là độ dẫn điện của khí điện tử trong kim loại.
Để tính hệ số dẫn nhiệt ta cần tính dòng nhiệt lượng khi dòng
điện bằng không.
Dựa theo công thức (2.31) ta thấy dòng điện bằng 0 khi:

M 1 T
    T
 
 eE   2

M 1 T z
 T T  z

(2.36)

Với điều kiện (2.36) ta có thể viết lại công thức tính dòng nhiệt lượng
(2.32) như sau:
25