Không gian pha và định lý liuvin

Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, vật lí học đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng kể như: Thế kỉ
XVIII cơ học cổ điển của Niutơn ra đời và trở thành môn khoa học cơ bản.
Thế kỉ XIX lí thuyết điện từ trường của Mắcxoen - Faraday ra đời. Đến thế kỉ
XX là thế kỉ của vật lí học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu
trúc vi mô của vật chất và người ta nhận thấy các quy luật tìm thấy không còn
giống các quy luật tìm thấy trong thống kê cổ điển mà ở đây có sự xuất hiện
các quy luật mới gọi là quy luật thống kê.
Ngày nay thế hệ trẻ chúng ta được thừa hưởng những thành tựu khoa
học tiên tiến là kết quả của lý thuyết vật lý hiện đại. Nói về Vật lý học là một
đề tài rất rộng, ở đây tôi chỉ xin đề cập một khía cạnh đó là “không gian”.
Chúng ta đã được biết về không gian hai chiều, không gian ba chiều trong Cơ
học, không gian bốn chiều Mincôpski trong Điện động lực học, hay không
gian Hilbert trong Cơ học lượng tử và khi học bộ môn Nhiệt động lực học và
vật lý thống kê chúng ta gặp một khái niệm mới “không gian pha”. Vậy
không gian pha là gì? Để giúp các bạn trẻ nhất là các bạn sinh viên khoa vật
lý có cái nhìn rõ hơn về nó cũng như các vấn đề liên quan tới không gian pha,
hệ thống kiến thức, giải được các bài tập về không gian pha và định lý Liuvin
làm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu các lí thuyết vật lí hiện đại, tôi đã tìm
hiểu và hôm nay tôi chọn đề tài “Không gian pha và định lý Liuvin” làm đề
tài khóa luận của mình.
Với nội dung đề tài “Không gian pha và định lý Liuvin” tôi muốn đi
sâu tìm hiểu về không gian pha và định lý Liuvin - định lí về sự bảo toàn thể
tích pha để từ đó rút ra phương trình chuyển động của tập hợp pha và tìm

SVTH: Trần Thị Hà

1

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

được dạng tổng quát của hàm phân bố thống kê dừng đối với hệ nằm trong
trạng thái cân bằng nhiệt động.
2. Đối tượng nghiên cứu.
- Không gian pha.
- Định lí Liuvin trong thống kê cổ điển và thống kê lượng tử.
3. Mục đích nghiên cứu.
- Biết cách biểu diễn hệ trong không gian pha.
- Tìm được định lí Liuvin.
- Áp dụng được không gian pha và định lí Liuvin vào giải bài tập.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Đưa ra được phương pháp cơ bản của vật lí thống kê.
- Tìm được mật độ xác suất.
- Phát biểu được định lí Liuvin, đưa ra phương trình Liuvin.
- Đưa ra các dạng bài tập trong không gian pha.
5. Phương pháp nghiên cứu.
- Tham khảo ý kiến đóng góp.
- Tra cứu tài liệu.
- Phương trình xác suất thống kê.
- Phương trình vật lý – toán.

SVTH: Trần Thị Hà

2

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN PHA

1.1. Phương pháp cơ bản của vật lý thống kê.
Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông
số vi mô, và vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời
gian. Tuy nhiên, trong bất kì một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không
phải giá trị tức thời của các đại lượng vật lí, mà đo các giá trị trung bình theo
thời gian. Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất
chẳng hạn, ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là giá trị
trung bình của F theo thời gian t.
t

1
F   F (q1 , q2 ,...q3 N , p1 , p2 ,..., p3 N , t ) dt
t0
t

(1.1)

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu
của hệ. Nhưng việc tìm trung bình theo thời gian như kiểu (1.1) trong trường
hợp tổng quát không thể tiến hành được, bởi vì, ta không thể biết được sự phụ
thuộc 6N thông số vi mô vào thời gian tức là không thể theo dõi tất cả các
biến đổi của trạng thái vi mô theo thời gian.
Để giải quyết khó khăn trên Gipxơ đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng
gọi là phương pháp Gipxơ. Cơ sở của phương pháp Gipxơ là thay việc khảo
sát biến đổi (vi mô) của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập
hợp nhiều hệ tương tự hệ đã cho. Các hệ này có số lượng và loại hạt như nhau
và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở các trạng thái khả hữu khác
nhau. Đồng thời phải đảm bảo rằng một tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi
qua mọi biến đổi giành cho những hệ tương tự khác tức là sẽ lần lượt ở trong

SVTH: Trần Thị Hà

3

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp; đó là nội dung
của giả thuyết ecgodic .
Tuy nhiên lí thuyết đã chứng minh rằng không thể có những hệ tuân

theo đúng giả thuyết đó. Song ta có thể thừa nhận một cách gần đúng mọi hệ
trong tập hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong trạng thái vi mô rất gần với trạng
thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thuyết chuẩn ecgodic và các hệ đó được
gọi là các hệ chuẩn ecgodic.
Giả thuyết chuẩn ecgodic được phát biểu như sau: “ Trị trung bình theo
thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê”. Vấn
đề đặt ra ở đây là làm thế nào để tìm được trị trung bình theo tập hợp; muốn
vậy, ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm thống kê của hệ. Để giải quyết
vấn đề này Gipxơ đã đưa vào cách biểu diễn hệ trong không gian pha để đưa
vào mật độ xác suất.
1.2. Biểu diễn hệ trong không gian pha.
1.2.1. Không gian pha.
Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian
người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời
các tọa độ của không gian pha đó chính là các thông số độc lập xác định trạng
thái vi mô của hệ (tức là tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu
thành hệ). Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc, vì
rằng, việc mô tả tính cách của hệ nhiều hạt trong không gian ba chiều gặp
phải khó khăn rất nhiều. Mặt khác, đối với tất cả hệ vật lí thực, không gian
pha là không gian nhiều chiều. Chẳng hạn như, không gian pha là không gian
của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian sáu chiều; đối với
phân tử hai nguyên tử có năm bậc tự do, không gian pha là mười chiều; còn
đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều, với f là số bậc tự do của một
hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ. Có thể nói việc đưa không gian pha nhiều

SVTH: Trần Thị Hà

4

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

chiều vào vật lí thống kê đã làm cho lí thuyết mất hết nét cụ thể của nó, bởi vì,
ta không thể hình dung nổi một không gian nhiều chiều. Thế nhưng, trái lại,
chính việc áp dụng không gian đó vào vật lí thống kê lại rất phong phú và bổ
ích để nghiên cứu các hệ nhiều hạt.
Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:
không gian  và không gian K.
+ Không gian  là không gian của một hạt, thí dụ như một phân tử
chẳng hạn.
+ Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt, thí dụ như một chất khí
xét toàn bộ, và không gian pha đó có 2fN chiều.
1.2.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha
1.2.2.1. Cách biểu diễn không gian pha trong thống kê cổ điển.
Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và
xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành hệ và được biểu diễn trong không
gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của
không gian pha. Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ
“chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời
mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định
nào đó của hệ. Chú ý rằng trong không gian pha, chắc chắn quỹ đạo pha
không có nét gì giống với quỹ đạo thực của hệ chuyển động mà chỉ là một
quỹ đạo quy ước giống như không gian pha vậy.
Bởi vì, phương trình Hamintơn luôn xác định một cách đơn trị tính
cách của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không cắt nhau
trong không gian pha, bởi vì, nếu như vậy thì ứng với mỗi giao điểm sẽ có hai

nghiệm của phương trình Hamintơn, thành thử đối với mỗi điểm của không
gian pha chỉ có một quỹ đạo pha đi qua.

SVTH: Trần Thị Hà

5

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Nếu ta xét trong một hệ cô lập thì đối với hệ đó năng lượng toàn phần
là không đổi nghĩa là:
E = E(q1, q2,…, p1, p2…) = const.
Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông
số vi mô của trạng thái và trong không gian pha nó là phương trình một mặt
nào đó. Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay vắn tắt hơn là mặt năng
lượng trong không gian pha. Dễ dàng thấy rằng, mặt đó là mặt 2fN -1 chiều,
giống như trong không gian thực 3 chiều, một mặt bất kì là 2 chiều.
Sau này, ta sẽ xét không phải một hệ mà là một tập hợp hệ (tập hợp
thống kê) và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha.
Vì vậy ta có lí do để đưa vào quan niệm về thể tích pha. Để thuận tiện cho
việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ, ta chia không gian pha ra thành các
thể tích nguyên tố, độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau:
dX=dq1, dq2,…, dqfN, dp1, dp2,… , dpfN
trong đó tất cả các dqk, dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng
thái.

1.2.2.1.1.Thí dụ về việc mô tả hệ trong không gian pha.
Ở một mức độ gần đúng nào đó, trạng thái vi mô của hệ vĩ mô có thể
mô tả bởi cơ học cổ điển. Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp một
hạt chuyển động một chiều và sẽ mở rộng cho trường hợp tổng quát hơn.
Với khái niệm bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của một
hạt thì trường hợp đơn giản này hệ có một bậc tự do. Ta biết rằng trong cơ
học cổ điển, trạng thái cơ học của một hạt được mô tả bởi tọa độ suy rộng q,
động lượng suy rộng p, là nghiệm phương trình Hamintơn:

SVTH: Trần Thị Hà

6

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

 . H
q  p

.
 p   H

q

với H là Hamintơn của hệ.
Như vậy có thể nói rằng trạng thái cơ học cổ điển của hạt tại mỗi thời

điểm t được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (q, p) được gọi là điểm pha


0
trong không gian tạo bởi 2 trục p và 0q gọi là không gian  là không gian
2 chiều.
Vì đại lượng p, q biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q, p) vạch
thành một đường cong trong không gian pha đó là quỹ đao pha.
p2
Ví dụ 1: Xét một dao động tử điều hòa tuyến tính có động năng T 
và
2m

1
thế năng U  m 2 q ; với m,  lần lượt là khối lượng, tần số pha dao động
2
tử.
Do đó hàm Hamitơn
p2 1
H=T+U=
 m 2q
2m 2

Và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây:
 . H
2
q  p   m q

.
 p   H  p


q m
..

2
Từ đó ta tìm được phương trình xác định q: q   q
..

Ta có phương trình vi phân theo q:

SVTH: Trần Thị Hà

q  2q  0

7

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Từ đó tìm được q  q0 sin(t   ) với q0 và  là hai hằng số phụ thuộc điều
kiện ban đầu.
.

p  m q  p0cos(t   ) với p0  m q0

và

Ta có thể chứng minh rằng đối với dao động tử điều hòa động năng
trung bình bằng thế năng trung bình. Thực vậy:
T

p 2 m 2 q0 2

cos 2 (t   )
2m
2

m 2 q0 2 2
U
sin (t   )
2

1
m 2 q02
và từ đó T  U 
. Bởi vì sin 2 (t   )  cos 2 (t   ) 
4
2
Ta nhận xét rằng năng lượng của dao động tử cổ điển tỉ lệ với bình
phương của biên độ q02 và với bình phương của tần số  2 .
Ta hãy biểu diễn trạng thái của dao động tử điều hòa trong không gian
pha. Bởi vì dao động tử có một bậc tự do nên không gian pha có 2 chiều với
các tọa độ q, p. Các phương trình q(t), p(t) có dạng:

q  q0 sin(t   ) và p  p0cos(t   )
chính là các phương trình thông số quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa và

do đó phương trình quỹ đạo pha là:

q2
p2

1
q0 2 p0 2
Như vậy quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa là elip có các bán trục
q0 và p0.
Trạng thái của dao động tử được biểu diễn bằng một điểm trên elip với
thời gian điểm đó dịch chuyển trên elip.

SVTH: Trần Thị Hà

8

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

p

Quỹ đạo
p0

(p,q) điểm pha
q0

- q0

q

0
- p0

Hình 1.1
Ví dụ 2: Hệ gồm một hạt chuyển động trong không gian 3 chiều có vị trí xác
định bởi 3 tọa độ ( q1  x, q2  y , q3  z ). Vậy hệ này có 3 bậc tự do f = 3,
không gian tương ứng sẽ là không gian 6 chiều (q1, q2, q3,, p1, p2, p3).
Hệ có N hạt, vì mỗi hạt có 3 bậc tự do nên hệ có số bậc tự do f=3N. Hệ
này tương ứng với không gian 6 chiều.
Vậy tập hợp các đại lượng (q1, q2,…, qf, p1, p2,…, pf) tương ứng với một điểm
trong không gian 2f chiều gọi là không gian K để phân biệt với không gian 
2 chiều.
1.2.2.2. Cách biểu diễn không gian pha trong thống kê lượng tử.
Để khảo sát hệ nhiều hạt, đầu tiên Bônxơman đã đề xuất phương pháp
nổi tiếng gọi là phương pháp các “ô” của Bônxơman.
Nội dung của phương pháp đó là: chia không gian pha ra làm các “ô”
tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét sự phân bố khác
nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra số các trạng thái vi mô khả
hữu của hệ tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định.
Trong vật lý thống kê lượng tử, một trạng thái của hệ trong không gian
pha tương ứng không phải một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó

SVTH: Trần Thị Hà

9

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

của không gian pha. Đối với một hệ gồm N hạt, thể tích như vậy của không
gian là bằng  min  h3 N .
Do đó, đối với mỗi hệ lượng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ  của
không gian pha sẽ có chứa  h3 N trạng thái lượng tử. Mặt khác, ta biết rằng
trong vật lý thống kê lượng tử, do tính không thể phân biệt được của các hạt,
các phép toán hoán vị bất kì của chúng sẽ không đưa đến trạng thái vi mô nào
mới. Vì vậy số trạng thái lượng tử sẽ N! lần nhỏ đi trong thể tích  của không
gian pha chỉ có chứa  h3 N .N! trạng thái. Hơn nữa, bởi vì các trạng thái
lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt, thế mà
spin lại không tham gia gì vào không gian pha, cho nên số các trạng thái
lượng tử sẽ là (2s+1) lần lớn hơn. Như vậy, một thể tích  của không gian
pha sẽ chứa tất cả là

(2s  1)
trạng thái lượng tử. Tương tự như trong trường
h3 N .N !

của vật lý thống kê cổ điển, người ta phân hai loại không gian pha: không
gian K và không gian  .
Như ví dụ phần 1.2.2.1.1 để đếm số trạng thái vi mô khả dĩ của hạt khi
trạng thái cơ học của hạt được biểu diễn trong không gian pha ta chia đều các

 

trục 0q, 0 p thành các lượng nhỏ  q,  p . Như vậy không gian pha trong
trường hợp này là mặt phẳng được phân thành những ô chữ nhật nhỏ, mỗi ô
có diện tích    q p . Một trạng thái cơ học của hạt ứng với một điểm pha
nằm trong ô này. Cách mô tả càng chính xác khi  càng nhỏ. Trong cơ học
cổ điển  được chọn tùy ý, tức là một ô sẽ trở thành một điểm chính là điểm
pha.

SVTH: Trần Thị Hà

10

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

p

  2 
p

0

q

q

Hình 1.2
1.3. Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt. Xác suất trạng thái.
Ta biết rằng trong phương pháp Gipxơ thay cho việc khảo sát một hệ
thực nào đó ta khảo sát một tập hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương
tự như nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau. Trong không gian pha
K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một
điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biễu diễn pha của hệ đó, và trạng
thái của các tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu
diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha.
Bởi vì, các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, cho nên
các điểm biểu diễn pha của hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch
ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đối với
sự tồn tại của điểm khác.
Ta hãy xét một thể tích nguyên tố dX của không gian pha bao quanh
một điểm pha nào đó (hình 1.3) ở thời điểm t đang xét có một số hệ trong tập
hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố
dX đó, đó là điểm biểu diễn pha mà các quỹ đạo pha của chúng gặp dX ở thời
điểm t. Dĩ nhiên là, một cách tổng quát ta có thể coi rằng: số lượng dn của các
hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích

SVTH: Trần Thị Hà

11

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

nguyên tố dX của không gian pha, sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích đó, và ta
có thể viết:
dn =  dX
trong đó:

(1.3)

 = f(q1, q2,…, p1, p2…, t) = f(X, t)

(1.4)

 được gọi là mật độ phân bố của hệ, nó chỉ rõ số lượng các hệ có điểm biểu
diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha.

dX

0
Hình 1.3
Gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lí thuyết xác suất, xác
suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào
thể tích nguyên tố dX sẽ là:
W

dn 
 dX   ( X , t )dX
n n

(1.5)

trong đó  (X, t) được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê
và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

 dW    ( X , t )dX  1

(1.6)

(X )

Ta biết rằng trong tập hợp thống kê có một hệ là hệ thực mà ta muốn
khảo sát, nên xác suất để dW ở trên chính là xác suất để hệ thực mà ta khảo
sát có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX. Mặt khác, bởi vì

SVTH: Trần Thị Hà

12

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

mỗi điểm biểu diễn pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực
nên ta có thể kết luận rằng:
Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc
trưng bằng một tập hợp các giá trị của biến số X nằm trong khoảng dX sẽ
bằng
dW   ( X , t ) dX

(1.7)

trong đó  ( X , t ) là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa (1.6).
Như vậy mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng
bằng một xác suất dW. Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên. Thực vậy, khi hệ nằm
trong một trạng thái vi mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số
thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong phòng thí nghiệm (như nhiệt độ,
áp suất chẳng hạn) chúng là hàm các thông số vi mô X:
Fk= Fk(X)
với k = 1, 2, 3,… , m với m << N.
Do đó cho dù tất cả các thông số vi mô ta cũng không thể xác định
được tất cả các biến số, có nghĩa là từ phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán
được một cách thống kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức
là về các trạng thái vi mô mà thôi.
Biết hàm phân bố  ( X , t ) ta có thể tìm được trung bình thống kê
(trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo công thức:
F

 F ( X )dW   F ( X ) ( X , t )dX

X 

(1.8)

X 

Trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số
X (còn gọi là biến số pha). Ở đây và sau này ta luôn nhớ rằng các tích phân
thuộc loại (1.6) và (1.8) là tích phân nhiều lớp:

dX = dq1dq2...dp1dp2...
đó là tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ.

SVTH: Trần Thị Hà

13

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Khi viết công thức (1.8) cần lưu ý hai điểm sau: Một là,  (X, t)dX là
xác suất để điểm pha rơi vào yếu tố thể tích dX chứa điểm X trong không gian
pha. Hai là, công thức (1.8) chỉ đúng trong trạng thái cân bằng nhiệt động.
Trong trường hợp tổng quát hàm phụ thuộc tường minh vào thời gian và khi
đó giá trị trung bình của F sẽ phụ thuộc thời gian.
Qua những điều đã trình bày ở trên ta thấy việc xác định xác suất của
trạng thái vi mô (tức là xác định hàm phân bố  ( X , t ) ) là vấn đề then chốt
của vật lí thống kê.

SVTH: Trần Thị Hà

14

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÝ LIUVIN TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

2.1. Định lý Liuvin.
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác. Giả sử, ở một điểm nào đó, ta
tách ra một thể tích dX 1 trong đó chứa dn  1dX 1 điểm biểu diễn pha của các
hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó, số các điểm biểu
diễn pha đó chuyển sang thể tích dX 2 ở đó có mật độ phân bố là  2 . Khi đó,
hiển nhiên là
dn  1dX 1   2 dX 2

(2.1)

Đẳng thức (2.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy ta tạm quên không gian pha và xét phương
trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường.
Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố
thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz (hình 2.1). Giả sử
chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy ra
qua bề mặt khác. Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích
theo hướng của trục y trong thời gian dt là bằng  v y dtdxdz trong đó  là
khối lượng riêng của chất lỏng và nói chung nó là hàm của tọa độ và thời
gian; v y là hình chiếu của vận tốc trên trục 0y. Cũng trong thời gian này khối
lượng chất lỏng chảy qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng

trục y là:
(vy 

SVTH: Trần Thị Hà

(  vy )
y

15

dy )dtdxdz

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

z

dz

dx

y

dy

x

Hình 2.1
ở đây ta coi rằng các giá trị  và v y đều thay đổi trên đoạn dy. Kết quả là còn
dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên


 (  y )
y

dydtdxdz

Lý luận tương tự đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất
lỏng dư ra tổng cộng khi nó chảy vào và chảy ra khỏi nguyên tố thể tích theo
cả ba trục
  (  vx )  (  v y )  (  v z ) 



 dxdydzdt
y
z 
 x

Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đó đúng bằng độ biến thiên của khối
lượng chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là
bằng

dxdydzdt
t

So sánh hai biểu thức trên có thể rút ra được phương trình liên tục đối
với chất lỏng
   (  vx )  (  v y )  (  vz ) 



0
t  x
y
z 

SVTH: Trần Thị Hà

16

(2.2)

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự
vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của điểm biểu diễn pha với
chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là đối với không gian pha K, ta có
thể lặp lại các lập luận giống như trên kia. Muốn vậy, trong không gian pha ta
đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành là
.

.

.

.

q1 , q 2 ,..., p1 , p 2 ,... chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha (bởi vì “tọa độ”

của điểm biểu diễn pha là q1 , q2 ,..., p1 , p2 ,... )
Đối với hệ thực có fN bậc tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát
sau đây
.
.


 fN   (  qk )  (  pk ) 
 

0
t k 1  qk
pk 



(2.3)

trong đó  là mật độ phân bố các điểm biểu diễn pha. Thực hiện phép tính vi
phân của tích trong dấu ngoặc ta được
.

.

.

 . 
 q  pk
  (q k
 pk
)  ( k 
)0
t
qk
pk
qk pk
k
k

Tổng của hai số hạng đầu là đạo hàm toàn phần của hàm  theo thời
gian nghĩa là
.  
 . 
d  

   qk
 pk

dt
t
qk

pk 
k 

(2.4)

và, vì vậy, ta có phương trình
.

.

d
 q  pk
 ( k 
)0
dt
qk pk
k

từ hệ phương trình Hamintơn:

SVTH: Trần Thị Hà

(2.5)

 . H
q  p

.
 p   H


q

17

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

.

ta có:


k

.

q  p
( k  k)0
qk pk

(2.6)

và, do đó ta tìm được phương trình sau đây:

d
0

dt

(2.7)

Có một cách khác để dẫn tới được biểu thức của định lý Liuvin đó là ta
dựa vào sự bảo toàn số hệ trong tập hợp thống kê như sau:
Trong cơ học cổ điển một hệ cô lập có f bậc tự do được mô tả bởi f
tọa độ suy rộng và f động lượng ( q1, q2 ,..., q f , p1, p2 ,..., p f ). Tại mỗi thời điểm
trạng thái của hệ được biểu diễn bởi một điểm pha trong không gian pha.
Xét tập hợp thống kê của hệ cô lập này, số hệ cô lập có vị trí và động
lượng nằm trong thể tích pha nguyên tố ( dq1dq2 ...dq f dp1dp2 ...dp f ) được tính
bởi:

 (q1, q2 ,...q f , p1, p2 ,... p f )dq1dq2...dq f dp1dp2dp f
với

 ( q1, q2 ,..., qf , p1, p2,..., pf ) là mật độ số hệ trong không gian pha.
Mỗi hệ của tập hợp thống kê chuyển động theo thời gian

 (q1, q2 ,..., q f , p1, p2 ,..., p f )dq1dq2...dq f dp1dp2dp f , quy định bởi các phương
trình:
 . H
 q   p
 .
 p   H

q

với H = H( q1, q2 ,..., q f , p1, p2 ,..., p f ) là Hamintơn của hệ.
Vì số hệ trong tập hợp thống kê được bảo toàn nên số đếm pha ra khỏi

một thể tích V tùy ý nào đó trong một đơn vị thời gian bằng tốc độ của số đếm
. .
.
.
.
.

pha trong thể tích đó. Với v  (q1 , q 2 ,..., q f , p1 , p 2 ,..., p f ) là tốc độ chuyển

SVTH: Trần Thị Hà

18

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin



động của một điểm pha và n là véctơ pháp tuyến của diện tích S bao quanh

thể tích V tại điểm đang xét. Số điểm pha rời khỏi diện tích dS là :  vndS


 

d

 dV
dt v
s
s


Nhưng theo định lý Gauss - Ostrongradski:  AdS   ( A) dV

Vậy ta phải có

  vndS   f vd S  

s

(2.8)

v


n


v
dS
V

Hình 2.2
  
  


 là toán tử gradien :   
,
,...,
,
,
,...,
 q q
q f p1 p2
p f
2
 1


Nên ta có bằng cách sử dụng định lý này cho vectơ A  f v


f
vds

(

f
v

 )dV
s

Từ (2.5) suy ra






v

 
 


(

v
)  dV  0
v  t


(2.9)

Vì hệ thức trên phải được nghiệm đúng với mọi thể tích V nên ta phải
có:


 (  v)  0
t

SVTH: Trần Thị Hà

(2.10)

19

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin



Tích vô hướng của vectơ  và  v cho ta:
f
.
. 
 


 
(  qi ) 
(  pi )   0
t i 1  qi
pi


.
.

f 
.





q

p
 . 
i
i


qi  


pi  0
t i 1  qi
qi
pi pi 


.
 .

f 
.
. 








q

p
i
i 


 
qi 
pi   

0
 qi pi  
t i 1  qi
pi 




Từ hệ phương trình Hamintơn
 . H
 q   p
 .
 p   H

q

Ta có:
f
  .  . 

 
qi 
pi   0
t i 1  qi
pi 

Cuối cùng ta có hệ thức của định lý Liuvin:

(2.11)

d
0
dt

(2.12)

Xét  = const, tổng quát hơn, trường hợp  là hàm đủ của năng lượng
E. Vì E là hằng số chuyển động nên:
  E

.
0
qi E qi

  E


.
0
pi E pi

Vậy

SVTH: Trần Thị Hà


 0
t

20

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Hệ thức trên có ý nghĩa vật lý : “ Sự phân bố các hệ trên những trạng
thái là không đổi theo thời gian”.
Tóm lại, định lý Liuvin cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với
trạng thái cân bằng là tập hợp  = const, trong không gian pha, tức là các
trạng thái khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơ
bản của cơ học thống kê.
2.2. Hệ quả.
Một là, phương trình (2.6) hoàn toàn tương tự với điều kiện không nén
được của chất lỏng trong thủy động lực học

vy
vx
vz


 0
x
y
z

điều kiện này tìm được phương trình ơle (2.2) nếu cho rằng khối lượng
riêng  của chất lỏng giữ không đổi với thời gian và không phụ thuộc vào tọa
độ. Do đó dựa trên phương trình (2.6), một cách tương tự ta có thể nói rằng:
Tập hợp các điểm biểu diễn pha, hay tập hợp các hệ trong tập hợp thống kê,
thỏa mãn các phương trình Hamintơn, xử sự trong không gian pha như một
chất lỏng không nén được.
Hai là, đẳng thức (2.7) chứng tỏ rằng, nếu ta dịch chuyển cùng với một
điểm biểu diễn pha của một hệ nào đó trong không gian pha thì mật độ phân
bố  sẽ luôn luôn giữ không đổi. Và khi đó, đẳng thức (2.4) chỉ rõ rằng, tại
một chỗ nào đó trong không gian pha, nói chung  biến đổi với thời gian
.  
 . 


   qk
 pk
 0 và

t
qk

pk 
t
k 

(2.13)

Như vậy, nói chung là có sự biến thiên định xứ của mật độ phân bố. Tại
cùng một thời điểm, tại các chỗ khác nhau trong không gian pha, mật độ có
thể là khác nhau. Tuy nhiên từ (2.7) ta suy ra rằng không thể có sự biến thiên
toàn phần của  với thời gian. Vì vậy, từ phương trình (2.7) ta suy ra :

SVTH: Trần Thị Hà

21

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó, theo (2.1)

Không gian pha và định lý Liuvin

1   2

(2.14)

 dX 1  dX 2

(2.15)

Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như nguyên lý về sự bảo toàn
thể tích nguyên tố pha, cụ thể là : Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha
của các hệ) chuyển động trong không gian pha có thể tích nguyên tố giữ
nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó chính là định
lý Liuvin.
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển
động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị
biến dạng. Gía trị căn bản của định lý Liuvin là: Nhờ nó ta chứng minh được
giả thiết đã nêu nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm
trong thể tích nguyên tố dX và tỷ lệ với dX
2.3. Phương trình Liuvin.
Phương trình (2.7) có thể viết được một dạng khác. Ta có  


n

; do

đó, từ các phương trình (2.2) và (2.7) và các phương trình Hamintơn ta tìm
được:
.  
 . 
d  

   qk
 pk

dt

t
qk
pk 
k 

.



H



H


 

t
qk pk
k  pk qk




hay








  H ,   0
t


  H , 
t

(2.16)

với  H ,   là dấu móc Poatxông. Phương trình (2.16) thường được gọi là
phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo

SVTH: Trần Thị Hà

22

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê về các quá trình cân
bằng (hay vật lý thống kê cân bằng). Người ta gọi phương trình (2.16) là
phương trình Liuvin.
2.4. Chứng minh định lý Liuvin.

Ta nhắc lại một số khái niệm: Nguyên lý biến phân Hamintơn đúng cho
mọi hệ tọa độ suy rộng. Các phương trình Lagranggiơ nhận được từ nguyên lý
biến phân này theo tọa độ suy rộng q1 , q2 ,..., qs hay theo hệ tọa độ suy rộng
Q1 , Q2 ,..., Qs đều có dạng như nhau. Tập hợp các tọa độ suy rộng Qk hay qk

(k=1, 2…) đều xác định vị trí của một cơ hệ. Vì vậy phép đổi từ các tọa độ
suy rộng qk  Qk sẽ là phép biến đổi một - một:
Qk  Qk ( k , q1 , q2 ,..., qs )  Qk (t , qi )

(k=1, 2,... ,s)

(2.17)

Phép biến đổi (2.17) là phép biến đổi trong không gian các tọa độ suy
rộng. Đối với phép biến đổi này dạng của phương trình Lagranggiơ là không
đổi.
Trong các phương trình Hamintơn các tọa độ suy rộng qk và xung
lượng suy rộng pk . Trong không gian pha tức là không gian 2s chiều

q1, q2 ,..., qs , p1, p2 ,..., ps thì trạng thái của cơ hệ ở thời điểm t được biểu diễn
bằng một điểm. Điểm này được gọi là điểm pha. Theo thời gian trạng thái của
cơ hệ thay đổi và do đó điểm pha vạch trong không gian một đường cong gọi
là quỹ đạo pha.
Một tập hợp các đại lượng q k , p k (k=1, 2,…, s) gọi là những số
Hamintơn. Nếu dùng s tọa độ suy rộng Qk khác thì trạng thái có thể được xác
định bởi s tọa độ suy rộng Qk và s tọa độ suy rộng Pk ( k  1.s ). Ta hãy mở
rộng phép biến đổi tọa độ suy rộng (2.17) sang phép biến đổi các tọa độ suy
rộng và xung lượng suy rộng như sau:

SVTH: Trần Thị Hà

23

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

Qk  Qk (t , q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,... ps )  Qk (t , qi , pi )

 Pk  Pk (t , q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps )  Pk (t , qi , pi )

( k  1.s )

(2.18)

Phép biến đổi (2.18) gọi là phép biến đổi chính tắc nếu khi chuyển từ
2s đại lượng qk , pk ( k  1.s ) sang 2s tọa độ Qk , Pk ( k  1.s ) mà dạng các
phương trình Hamintơn không thay đổi, nghĩa là:
Qk 

H '
,
Pk

Pk 

H '

Qk

(2.19)

Trong đó H ' (Qi , Pi , t ) gọi là hàm Hamintơn trong biến số Qi , Pi . Thông
qua phép biến đổi chính tắc ta chuyển được từ trạng thái đầu ( qk0 , pk0 ) đến
trạng thái ( qi , pi ). Bây giờ ta sẽ khảo sát tính chất của không gian pha khi
thực hiện phép biến đổi chính tắc
qi  qi (t , qk0 , pk0 ),

pi  pi (t , qk0 , pk0 )

(2.20)

Mỗi một điểm trong không gian pha (q, p) xác định một trạng thái của
cơ hệ. Khi cơ hệ chuyển động thì điểm pha vạch một đường cong nào đó
trong không gian pha gọi là quỹ đạo pha. Chúng ta xét một tập điểm t0  0 .
Thể tích pha của miền G 0 này bằng
 0   d  0   dq10 dq20 ...dqs0 dp10 dp20 ...dps0
G0

(2.21)

G0

Ở thời điểm t  0 , tất cả những điểm pha ở trong miền G 0 sẽ dịch
chuyển theo quỹ đạo pha và chiếm một miền G nào đó. Khi đó thể tích pha
của G sẽ là :
   d   dq1dq2 ...dqs dp1dp2 ...dps
G

(2.22)

G

Ta hãy chứng minh rằng thể tích  là đại lượng bất biến đối với phép
biến đổi chính tắc (2.20) nghĩa là khi thực hiện phép biến đối chính tắc
chuyển từ biến số ( qi0 , pi0 ) về biến số ( qi , pi ) theo (2.20) thì:

SVTH: Trần Thị Hà

24

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh


Khóa luận tốt nghiệp

Không gian pha và định lý Liuvin

d 
 0 hay    0  const
dt

Để chứng minh định lý này của thể tích pha ta chú ý rằng, trong toán
học khi chuyển từ các biến số x10 , x20 ,..., xm0 đến các biến số x1 , x2 ,..., xm thì
yếu tố dx10 dx20 ...dxm0 thể hiện với yếu tố dx1dx2 ...dxm bằng hệ thức

dx1dx2 ...dxm  Ddx10 dx20 ...dxm0
trong đó:

D

x1
x10

x1
x20



x1
xm0

xi
x
 20
0
xk
x1

x2
x20



x2
xm0








xm
x10


xm
x20


x
 m0
xm

là định thức Jacôbien.
Đặt qk  xk0 , pk  xs0k , qk  xk , pk  xs k và m = 2s thì ta có thể viết:
   dx1dx2 ...dxm 
G

0
1

0
2

0

m

 Ddx dx ...dx

(2.23)

G0

Đạo hàm theo thời gian hai vế của đẳng thức này ta được:
d
dD 0 0
()  
dx1 dx2 ...dxm0
dt
dt
G0

ta cần chứng minh:

(2.24)

dD
x
 0 . Đặt aik  0i ta có
xk
dt
m m
dD m m D daik
D d xi
 

 
( 0)
dt i 1 k 1 aik dt
i 1 k 1 aik dt xk

SVTH: Trần Thị Hà

25

GVHD: Phạm Thị Minh Hạnh