Nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, những người tận tình dạy
dỗ, giúp đỡ em trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho em
trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Khắc
Quynh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2010
Người cam đoan
Sinh viên

Cao Sỹ Khiêm

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

1

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và

nghiên cứu. Bên cạnh đó, được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy cô
giáo trong khoa VËt lý, đặc biệt là sự hướng dẫn của thầy giáo Lê Khắc
Quynh.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả đề tài “nghiên cứu chuyển động trong
trường xuyên tâm” không có sự trùng lặp cũng như sao chép của các đề tài
khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Người cam đoan
Sinh viên
Cao Sỹ Khiêm

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

2

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

Môc lôc
Phần 1: Mở đầu
trang
1.
2.

3.
4.
5.

Lý do chọn đề tài…………………………………………….4
Đối tượng nghiên cứu…………………………………..........4
Mục đích nghiên cứu………………………………………...4
Phạm vi nghiên cứu………………………………………….4
Phương pháp nghiên cứu…………………………………….4
Phần 2: Nội dung

A. Chuyển động trong trường xuyên tâm theo quan điểm cổ điển
1. Bài toán hai vật và chuyển động trong trường xuyên tâm……5
2. Bài toán Kepler………………………………………………12
3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo…………………………...18
4. Va chạm đàn hồi……………………………………………...22
5. Sù t¸n x¹ ®µn håi cña c¸c
h¹t…………………………………25
B. Chuyển động trong trường xuyên tâm theo quan điểm lượng tử
1. Trường xuyên tâm……………………………………………30
2. Các hạt không tương tác và phương pháp tách biến…………34
3. Các hạt tương tác lẫn nhau…………………………………...35
4. Chuyển động của hạt mang điện trong trường Caulomb……..38
5. Nguyên tử Hiđrô……………………………………………...41
6. Rotator………………………………………………………...42
Phần 3: Kết luận
Tài liệu tham khảo

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

3

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm được nghiên cứu xuyên
suốt trong toàn bộ quá trình học từ cơ học  cơ lí thuyết  cơ học
lượng tử. Trong vật lý có rất nhiều mô hình áp dụng chuyển động trong
trường xuyên tâm, và các bài tập chuyển động trong trường xuyên tâm là
dạng bài toán khó. Vì vậy, hệ thống hóa một cách có khoa học tôi đã lựa
chọn đề tài: “Nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm”.
2. Đối tượng nghiên cứu
Chuyển động của các hạt trong trường xuyên tâm theo quan điểm cổ
điển và lượng tử.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển động trong trường xuyên tâm.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chuyển động trong trường xuyên tâm theo quan điểm cổ điển và
lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, áp dụng phương pháp giải tích, vật lý lý thuyết, cơ học
lượng tử …

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

4

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

NI DUNG
Một số khái niệm
Tr-ờng lực: là khoảng không gian vật lý mà
chất điểm đặt tại mỗi điểm của nó chịu tác dụng của
lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm ấy.

F F r
Tr-ờng lực xuyên tâm: là tr-ờng lực mà lực
tác dụng luôn đi qua khối tâm C của tr-ờng lực đó
đ-ợc gọi là lực xuyên tâm.
A. Chuyển động trong tr-ờng xuyên tâm theo quan
điểm cổ điển
1. Bi toỏn hai vt v chuyn ng trong trng xuyờn tõm
Bài toán hai vt là bài toán v chuyn ng ca
mt h kín gm hai cht im vi th nng ch ph
thuc vào khong cách tng i gia hai cht im
ó. Mt bài toán nh vy gi là bài toán xuyên tâm.
Bây giờ ta nghiên cứu chuyn ng ca mt h kín
gm hai cht im M1 và M2 i vi h quy chiu quán
tính K. Khi lng ca hai cht im M1 và M2 ký hiu

là m1 và m2. Gi r1 , r2 là bán kính vectơ xác nh v
trí tng i gia hai cht im. i lng

r r r2 r1 là khong cách tng i gia hai cht
im.
Th nng tng tác gia hai cht im ca h ch
ph thuc vào r:

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

5

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý


U r2 r1 U r

1.1
Bit v trí và vn tc ban u ca các cht im
M1 và M2 tng ng và bit dng U(r)


r01 , r02

v01 , v02
Cn xác nh phng trình chuyn ng và vn tc
ca hai cht im thi điểm bất kỳ đối với hệ quy
chiếu quán tính K.
Vì hệ hai vật là hệ kín cho nên khối tâm C
chuyển động thẳng đều với hệ quy chiếu quán tính K.


Ph-ơng
trình
chuyển
động:
rC VCt rOC

1.2

Với rOC là bán kính vectơ xác định vị trí ban
đầu của khối tâm

VC l vận tốc của khối tâm với hệ quy chiếu K.
Hệ K có gốc gắn với khối tâm C ca hệ kín cũng
là hệ quy chiếu quán tính.


Gọi ri ' và vi' là bán kính vectơ xác định vị trí
của chất điểm Mi (i = 1, 2) đối với hệ quy chiếu
quán tính K.

Và ri , vi là bán kính xác định vị trí và vận tốc
của chất điểm Mi đối với hệ quy chiếu quán tính K.

Vị trí và vận tốc của chất điểm Mi đối với hệ
quy chiếu K và K liên hệ với nhau bằng biểu thức:

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

6

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý


ri rC ri '
'
vi VC vi

1.3

Nếu khảo sát chuyển động của hệ kín hai chất
điểm đối với hệ khối tâm K, thì chuyển động toàn
bộ của hệ sẽ đ-ợc loại trừ và chỉ còn lại chuyển
động t-ơng đối của hai chất điểm đối với nhau. Vì
vậy để đơn giản ta khảo sát chuyển động của hệ hai
chất điểm với hệ quy chiếu khối tâm K, sau đó dùng
phép biến đổi toạ độ và vận tốc (1.3) ta sẽ thu
đ-ợc kết quả nghiên cứu trong hệ quán tính K.
Từ (1.3) ta có:

r r2 r1 r2' r1'

(1.4)

Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức (1.4) theo thời
gian, ta thu đ-ợc:

v v2 v1 v2' v1'

1.5

Các ph-ơng trình chuyển động của các chất điểm
M1 và M2 đối với hệ khối tâm K










U r2' r1'

' '
m1r F12 r2 r1

r1'

U r2' r1'

' '
m1r2 F21 r2 r1

r2'



Ta biểu diễn r1' và r2' qua r .





1.6
1.7

Ta biết:

1

rC mk rk
m K

1.8
Suy ra:
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

7

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý



' m1r1' m2r2'
rC
m1 m2

(1.9)

Là vị trí khối tâm C của hệ đối với hệ quy
chiếu K. Vì ta chọn gốc ca hệ quy chiếu K trùng

với khối tâm của hệ nên rC 0 và do đó ta có:



m1r1' m2r2' 0

1.10
Lấy

đạo

1.10 ta

hàm

theo

thời

gian

của

đẳng

thức

có


'
m1 v1 m2 v2' 0

1.11

Từ đẳng thức 1.4 , 1.10 ta thu đ-ợc


r1'

m2 '
m1
r , r2
r
m1 m2
m1 m2

(1.12)

Lấy đạo hàm theo thời gian của (1.12) ta có:
'
'
m2
m1
v1'
v ; v2'
v
1.13
m1 m2
m1 m2


'
Đặt r1 và r2 ' từ 1.12 vào 1.6 và 1.7 chú ý tới

U r U
U

'
r
r2
r1'

Ta có:


..
U r
dU r
r
.
dr r
r
Trong đó:

(1.14)

m1 m2
là khối l-ợng rút gọn của hệ
m1m2

hai chất điểm.
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

8

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Ph-ơng trình

1.4 đ-ợc

khảo sát nh- một ph-ơng

trình chuyển động của một chất điểm có khối l-ợng



d-ới tác dụng của tr-ờng lực ngoài có tâm của

lực cố định đặt ở gốc tọa độ và có thế năng U r .

Mômen xung l-ợng L của hệ kín hai chất điểm đối
với khối tâm C của hệ và cơ năng E của nó đối với
hệ quy chiếu khối tâm K ' có dạng:
'
'
'
'
L r1 m1 v1 r 2 m2 v 2 const

(1.15)

m1v1'2 m2v2'2


U r2 r1 const
1.16
2
2




Bởi vì m2v2' m1v1' v và r2' r1' r cho nên ta có

biểu thức của L và E nh- sau:


L r v const
1.17
E

1
E v 2 U r const
2
Từ

1.4 , 1.7 và 1.8 ta

1.18

thấy rằng bài toán hai vật

đ-ợc đ-a về bài toán của một chất điểm có khối
l-ợng chuyển động trong tr-ờng xuyên tâm với tâm
của tr-ờng lực đặt ở khối tâm C của hệ.
Ta tiếp tục tìm ph-ơng trình chuyển động và
ph-ơng trình

quỹ đạo của

chất điểm chuyển động

trong tr-ờng xuyên tâm với thế năng chỉ phụ thuộc
vào khoảng cách r từ chất điểm đến khối tâm C là
tâm của tr-ờng lực.



U r
dU r r

.
F
r
dr r

1.19
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

9

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Tác dụng lên chất điểm

có độ lớn chỉ phụ

thuộc vào r và đ-ờng tác
dụng luôn đi qua khối tâm C của tr-ờng lực. Mômen
của lực đối với khối tâm C luôn luôn bằng 0 và do
đó mômen xung l-ợng của chất điểm đối với khối
tâm C là đại l-ợng đ-ơc bảo toàn, hay là:




dr d


M r F r r v 0

dt dt

Hay:



L r v const

1.20



Bán kính r luôn vuông góc với L không đổi cho

nên qũy đạo của chất điểm là đ-ờng cong nằm trong

mặt phẳng cố định luôn vuông góc với L và đi qua
khối tâm C.
Khái niệm mômen xung l-ơng của chất điểm
liên

1
hệ với khái niệm vận tốc diện tích r v
2

bằng biểu thức:



L r v 2

1.21

Từ (1.20) và (1.21) ta thấy rằng với chất điểm
chuyển động trong tr-ờng xuyên tâm thì vectơ vận
tốc diện tích của nó là đại l-ợng đ-ợc bảo toàn (ĐL
II Keple).


Độ lớn của các vectơ L có giá trị luôn không
đổi bằng:


L 2 rv.sin r , v rv
= r const
2

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

10

(1.22)

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Chất điểm chuyển động trong tr-ờng lực thế
cho nên cơ năng của nó là đại l-ợng đ-ợc bảo toàn.

E

v2
2

U r



r
2

2

r 2 2 U r co nst

Từ biểu thức (22) ta có:

1.23

L
thế vào (2.3)
r 2

Ta đ-ợc:

L2
2

r

U r E

2
2 r 2

1.24
L2
Đặt: V r U r
2 r 2
Biểu thức (24) có dạng: r 2

2

E V r



1.25
2

dr
Hay r
E V r
dt

1

2

1.26
Với

V(r) gọi là thế năng hiệu dụng.

Lấy dấu: + ứng với quá trình r(t) tăng
- ứng với quá trình r(t) giảm
Phân li biến số r, t và tích phân hai vế (1.26)
ta đ-ợc:

t

dr
2

E V r



1

2

t0

1.27

Với t0= const.

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

11

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Từ (1.22) ta có: d

Ldt
r 2 t

1.28
Tích phân hai vế (1.28) ta đ-ợc:

t

L

dt

r 2 t 0

1.29

ở đây 0= const. Các ph-ơng trình (1.27) và
(1.29) là những ph-ơng trình chuyển động của chất
điểm .
Rút dt từ (1.26):

dt

dr
2


E V r



1

2

Thế vào (1.29) ta có:



Ldr
r 2

2

E V r



1

2

0

1.30
Vì: r 2 0 từ (25) ta thấy chuyển động của chất
điểm trong tr-ờng xuyên tâm chỉ có thể xảy ra khi:

E V r 0

1.31

Các giá trị của r thỏa mãn ph-ơng trình

E V r 0

1.32

Xác định các điểm giới hạn của miền chuyển động
theo khoảng cách từ tâm của tr-ờng lực. Các điểm
này gọi là các điểm lùi của qũy đạo, hàm r(t) biến

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

12

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

thiên tăng đến giảm hay ng-ợc lại chứ không phải
chất điểm đứng yên bởi vì khi đó 0
Nếu biến thiên của t chỉ bị giới hạn bởi một
điều kiện r rmin thì chuyển động của chất điểm là
vô hạn. Qũy đạo của nó từ vô cùng đến điểm r rmin rồi
lại đi xa vô cùng.
Nếu rmin r rmax thì chuyển động của chất điểm là
hữu hạn.Qũy đạo của nó là đ-ờng cong nằm trên hình
vành khăn giới hạn bởi 2 đ-ờng tròn đồng tâm có bán
kính r rmax , r rmin . Điều đó cũng có nghĩa là qũy đạo
của chất điểm là đ-ờng cong kín.
Ta đi tìm điều kiện để qũy đạo của chất điểm
là đ-ờng cong kín.
Giả sử là khoảng thời gian để hàm r(t) thay
đổi từ giá trị rmax rmin rồi lại đạt giá trị rmax
tiếp theo. Trong khoảng thời gian này, bán kính

vectơ r xác định vị trí của chất điểm quét đ-ợc
một góc

. Nếu n1 và n2 là những số nguyên mà

n11 n2 2 thì sau một khoảng thời gian bằng n1 chất
điểm sẽ trở về vị trí ban đầu và nh- vậy qũy đạo
của nó là đ-ờng cong kín.
Giá trị của tuỳ thuộc vào dạng của thế năng
U(r). Ta hãy chỉ ra điều đó. Trong quá trình hàm
r(t) giảm từ giá trị rmax rmin thì r < 0. Do đó
ta có:

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

13

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

dt

dr
2

E V r

1

(1.33)
2


Trong quá trình này bán kính vectơ r quét đ-ợc

một góc 1 bằng:
r

L dt
L min
1

r 2 t
rmax

dr
2

r 2 E V r



1

(1.34)
2

Ng-ợc lại với qua trình r(t) tăng từ rmax

rmin thì r > 0 ta có:
dt

dr
2

E V r



1

(1.35)
2


Khi đó bán kính vectơ r quét đ-ợc một góc 2

bằng:
r

L dt
L max
2

r 2 t rmin

dr
2

r 2 E V r



1

1.36

2

Cộng hai vế (1.34) và (1.36) ta đ-ợc:

1 2 2

L

rmax

r



min

dr
2

r 2 E V r



Vậy điều kiện để qũy đạo

1

2

1.37

chất điểm là đ-ờng

cong kín là thế năng U(r) phải có dạng thích hợp
sao cho

2

n2
n1

. Chuyển động hữu hạn của chất

điểm trong tr-ờng xuyên tâm với thế năng U(r) tỉ lệ

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

14

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

1/r hay tỉ lệ với r2 thì qũy đạo của nó là đ-ờng
cong kín.
2. Bài toán Képler
a. Định nghĩa
Là bài toán chuyển động của chất điểm trong
tr-ờng xuyên tâm với thế năng có dạng:

U r



2.1

2

là hằng số
0

ta có bài toán hai vật hút nhau

0

ta có bài toán hai vật đẩy nhau

Đối với tr-ờng hấp dẫn thì: Gm1m2 0
Đối với tr-ờng tĩnh điện thì: = - k.q1.q2
+ khi q1, q2

trái dấu 0

+ khi q1, q2

cùng dấu 0

b. Nội dung
Ta xét tr-ờng hợp hai vật hút nhau:
chuyển đông của các hành

tinh. Chuyển

Bài toán
động của

êlectrôn trong tr-ờng Coulomb của hạt nhân nguyên
tử theo quan điểm cơ học cổ điển.
Đồ thị thế năng hiệu dụng



L2
,0
V r
r 2 r 2

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

15

(2.2)

SVTH: Cao S Khiờm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

Ta t×m ph-¬ng tr×nh qòy ®¹o cña chÊt ®iÓm .
§Æt

(2.2)

   0   

vµo

(1.30)

Ldr
r 2
2 

L2  

 E  

2 2 r 2  
 

§Æt u 

1

ta

®-îc:

 2.3

2

1
2 E

, A2  2  B 2 , B  2
r
L
L

Khi ®ã (2.3) viÕt d-íi d¹ng:

   0    



d u  B 
A2   u  B 

2



1

2

 2.4
uB
0=arccos 

 A 
Hay:

r

P
1  e.cos   0 

 2.5
Trong ®ã:

1 L
A  2 EL2 
P 

, e   1 

B 
B   2 
2

1

2

 2.6

(2.6) lµ ph-¬ng tr×nh ®-êng c«nic t©m sai e, tham
sè p
+ Khi E0 th× e1. Qòy ®¹o cña chÊt ®iÓm 
lµ Hyperbol vµ chuyÓn ®éng cña nã lµ v« h¹n.
+ Khi E = 0 th× e = 1. Qòy ®¹o cña chÊt
®iÓm  lµ Parabol vµ chuyÓn ®éng cña nã lµ v« h¹n.
GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

16

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

+ Khi (V)min E 0 thì e 1. Qũy đạo của

chất điểm là ellip và chuyển động của nó là giới
nội.
+ Khi E V min

2
2 L2

thì e = 0 và chất điểm

chuyển động theo đ-ờng tròn.
Bây giờ ta xét chuyển động của chất điểm theo
qũy đạo ellip.
Từ (2.5) rmin

p
1 e

, rmax

p
1 e

(2.7)
Bán trục của ellip đ-ợc xác định

a
Đặt

a

2E

, b

p,

e

p
1 e2

, b

từ

(2.6)

p

2.8

1 e2
vào

(2.8)

L

ta

có:

2.9

2 E

Từ định luật bảo toàn xung l-ợng (1.22)
2 ds Ldt ,

dS

dt

2.10

Lấy tích phân hai vế (2.10) chu kì T và diện
tích S, ta đ-ợc :
2ab=LT
(2.11)
T là chu kì chuyển động của chất điểm theo
qũy đạo ellip.
Từ (2.9) và (2.11) suy ra:

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

17

SVTH: Cao S Khiờm

Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

a3
T
4
2 E3

2

2 a2

2

2.12
Từ (1.27) ta có:
t t0

dr
2

L2
E

2 2 r 2


1

2

2.13
Thay a,b từ (2.9) ta có:

t t0


2E



rdr

r 2 2ar b2

1

2

2.14
Vì:

b2 a 2 1 e2 t t0

a


rdr

a 2e 2 r a

2



1

2

2.15
Đặt r a a.e.cos ta có:

a3
t t0
1 e.cos d



Nếu chọn

a3
T
e sin e sin

2

2.16

thế nào để khi tăng t tăng với

điều kiện ban đầu: r0 a 1 e rmin , t = 0 khi = 0
Suy ra ph-ơng trình chuyển động của chất điểm
theo qũy đạo ellip
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

18

SVTH: Cao S Khiờm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

r  a 1  e cos  
t

 2.17 

T
  e sin  
2

 2.18 

XÐt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm thùc m1 vµ m2

víi hÖ khèi t©m C
+ m1  m2 th×


m 
r1'   2 r ,
m1

  m  
r2'  1  2  r
 m1 

 2.19 
Tr-êng hîp nµy øng víi chuyÓn ®éng cña hÖ hµnh
tinh_ mÆt trêi.
+ m1  m2 th×


'
r ' r
r1   , r 2 
2
2

 2.20 
øng víi chuyÓn ®éng cña hÖ hai sao kÐp.
Liªn hÖ gi÷a chu k× chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm
M1 vµ M2 theo qòy ®¹o ellip víi a1 vµ a2 cña chóng
Chu k× chuyÓn

®éng cña chÊt ®iÓm  theo qòy

®¹o ellip.

  a3 
T  2 

  
Tõ

1

2



a3
 2 

G
m

m


1
2


r1' 

(1.12)

m2
r
m1  m2

1

2

, r2' 

 2.21
m1
r
m1  m2

 2.22
Chó ý:

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

19

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý
'
'
2a1  r1min
 r1max


m2
m
 rmin  rmax   2 2a
m1  m2
m1  m2

2a2  r2' min  r2' max 

m1
m
 rmin  rmax   1 2a
m1  m2
m1  m2

Ta cã:

a

m1  m2
m  m2
a1  1
a2
m2

m1

 2.23
Tõ (2.21) vµ (2.23) ta cã:

T 2 4 2 m1  m2
T 2 4 2  m1  m2 

, 3 
a13
G
m23
a2
G
m13
Khi

E  0 th×

2

 2.24 

e  1 qòy ®¹o cña chÊt ®iÓm  lµ

®-êng hypebol bao quanh t©m cña tr-êng lùc. Kho¶ng
c¸ch tõ t©m cña tr-êng lùc ®Õn ®iÓm gÇn nhÊt b»ng:
rmin 

p

 a  e  1
e 1
2

Trong ®ã:
a

p


e  1 2E
2

y

y

p
O rmin  a  e  1

p
x

rmax

p/2

x

E = 0, e = 1

E > 0, e > 1

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

O

20

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Vật lý

Khi E = 0 th× e = 1 qòy ®¹o cña chÊt ®iÓm  lµ
®-êng parabol víi

rmin 

p
2

y
p

B

rmax

A

b

pr

min

O2 O O1

C

x
(V)min< E < 0, e < 1

B©y giê ta xÐt hai chÊt ®iÓm ®Èy nhau nghÜa lµ

 0
T-¬ng tù trong tr-êng hîp hót nhau ta cã:

 

B B

Ta

V r  

®-îc:


r



L2
0
2 r 2

(2.25)

E

Tõ

 r 2

 V r   0

(2.26)

u B
   0   arccos 

 A 

 2.27 

2



(2.27)

r

p
1  e cos   0 

 2.28
1
L
A 
2 EL2 
p

, e
 1 

B 
B   2 a 2 
2

GVHD: Th.S Lê Khắc Quynh

21

1

2

(2.29)

SVTH: Cao Sỹ Khiêm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Từ (2.26) và (2.28) ta thấy rằng năng l-ợng của
chất điểm luôn d-ơng và qũy đạo của nó là đ-ờng
cong hyperbol với: rmin

p
a e 1
e 1

y

a(e + 1)

x

Nếu chọn trục cực d-ơng từ tâm của tr-ờng lực
đến điểm gần nhất của qũy đạo thì 0 0 . Khi đó
ph-ơng trình (2.28) có dạng:
r

p
1 e cos

c. Hệ quả
Hệ quả lớn nhất của bài toán képler chính
là ba định luật képler với nội dung:
Định luật 1: Mỗi hành tinh đều chuyển
động theo quỹ đạo ellip và mặt trời là một trong
các tiêu điểm của chúng.
Định luật 2: Vận tốc diện tích của mỗi
hành tinh với mặt trời là một đại l-ợng không đổi.
Định luật 3: Tỉ số giữa bình ph-ơng chu
kì quay của các hành tinh và lập ph-ơng bán trục
lớn của các quỹ đạo ellip là một đại l-ợng không
đổi với mọi hành tinh đều có giá trị giống nhau.
3. Chuyển động của vệ tinh nhân tạo

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

22

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

Hai

chất

điểm

m

và

M

t-ơng

ứng

với

chuyển động của vệ tinh và trái đất và ta có:
Thế năng hấp dẫn giữa hai chất điểm m và M có
dạng:

U


2


Với: GmM và r r2 r1
Ta thấy qũy đạo chuyển động của chất điểm phụ
thuộc vào cơ năng E hay phụ thuộc vào vận tốc , vị
trí ban đầu v0, r0

m gần đúng M đứng yên m chuyển

m M thì

động t-ơng đối với nó. E và L đ-ợc biểu diễn:

mv 2 GmM mv02 GmM
E



const
2
r
2
r0

3.1

L mr 2 mr0v0 sin 0 const


0 là góc tạo bởi v0 và r0

3.2

Tr-ờng hợp 1: E Vmin
Khi đó

2

E V min

m 2
vật chuyển động tròn
2 L2

ta có:

m GmM
m GM
mv02 GmM




2m2r02v02
2r02v02
2
r0
2

2

Hay
2

2

GM 2 GM
v 2
v0
0
r
r
0
0
4
0

(3.3)
Suy ra:

GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

23

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

v0 vT

GM
r0

(3.4)

Vì:

GmM
mg
R2



v0 vT

GM gR 2

gR 2
r0

Nếu phóng vât m tại mặt đất nghĩa là ro R thì

v0 v1 gM 7,9km / s , v1 gọi là vận tốc vũ trụ
cấp 1.
Tr-ờng hợp 2: E=0 thì m chuyển động theo qũy đạo
parabol.

2GM
2 gR 2
v0 v p

vT 2

r0
r0
Nếu phóng vật tại mặt đất

3.7

r0 = R ta có:

v0 v2 2 gR v1 2 11.2km / s
v2 11.2km / s

Gọi là vận tốc vũ trụ cấp

2
Tr-ờng hợp 3: E 0 thì v0

2gR 2
r0

vật sẽ chuyển động

theo quỹ đạo hypebol.
Tr-ờng hợp 4: V min E 0
quỹ

đạo

ellip

thì m sẽ chuyển động theo

với

gR 2
2 gR 2
v0
r0
r0

V min E 0

ta

đ-ợc

3.8

Từ (3.6) và (3.8) điều kiện để vật m trở thành
vệ tinh nhân tạo của trái đất là:
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

24

SVTH: Cao S Khiờm


Khúa lun tt nghip

Khoa Vt lý

gR 2
2 gR 2
v0
r0
r0

3.9

r0 R h : h là độ cao tính từ mặt đất của điểm
phóng
Ta thấy tr-ờng hợp vật m chuyển động với quỹ
đạo tròn (tr-ờng hợp 1) và chuyển động với quỹ đạo
parapol (tr-ờng hợp 2) vận tốc v0 t-ơng ứng trong
hai tr-ờng hợp đó gọi là vận tốc vũ trụ cấp 1 và
vận tốc vũ trụ cấp 2.
Vận tốc vũ trụ cấp 3 với trái đất.
Từ (3.1) ta có:

1 1
v 2 v02 2 gR 2
r r0
Giả sử r thì lực hút của trái đất lên vật m
rất yếu. Khi vận tốc của vật = 0 thì nó sẽ bị hút
về phía mặt trời. Để vật m chuyển động theo quỹ đạo
parabol đối với mặt trời thì tại r = vận tốc của
m với trái đất là: v 0 .

1 1
v 2 v02 2 gR 2
r0

Bởi

vì:

r0 ta

có

(3.10)

gần

đúng

2gR 2
v v
r0
2

2
0

(3.11)
Tại r = vật m chuyển động t-ơng đối với trái

đất với vận tốc v và cùng với trái đất chuyển động

đối với mặt trời với vận tốc VD . Vận tốc của vật m
là:
GVHD: Th.S Lờ Khc Quynh

25

SVTH: Cao S Khiờm