BÀI THI ANH VĂN CHUYÊN NGÀNH cơ khí

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

BÀI THI ANH VĂN CHUYÊN NGÀNH
NỘI DUNG: Mechanical Engineers Handbook Academic Press 2001
SỐ TRANG: 74-94 (20 Trang)

3.

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

3.1.

Định luật 2 Newton
Cơ học cổ điển đã được sáng lập bởi Ông Isaac Newton vào năm 1968 với việc

xuất bản quyển sách về những nguyên lý toán học của triets học tự nhiên hay những
nguyên lý cơ bản về toán học. Ba định luật của Newton về chuyển động được phát biểu (lần
đầu tiên) như sau:

1. Khi tổng hợp của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm (hạt) bằng 0 thì vận
tốc của hạt không thay đổi. Trong truongw hợp đặc biệt, nêu chất điểm đứng
yên thì sẽ mãi đứng yên.
2. Khi tổng của tấc cả các lực tác dụng lên chất điểm khác 0 thì giá trị của tổng
các hợp lực đó tỉ lệ với giá tri thay thổi của chuyển động tuyến tính (động
lượng) của chất điêm đó.
3. Các lực được sinh ra do hai chất điểm tác dụng lẫn nhau thì các lự có cùng
giá trị về độ lớn nhưng ngược chiều nhau
Động lượng của chất điểm bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm m và vận

tốc v của chất điểm đó. Định luật 2 Newton được viết như sau:
d
F =
(mv )
dt

(3.1)

Ở đây, F là tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm. Nếu khối lượng của chất điểm
không thay đổi, m = hằng số, thì giá trị của hợp lực bằng tích số của khối lượng của chất
điểm và giâ tốc, a.

F =m

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

dv
= ma
dt

(3.2)

1


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Định luật 2 Newton nêu rõ ý nghĩa của khối lượng và lực tác. Trong hệ đơn vị SI,
đơn vị của khối lượng là Kilogram (kg), đơn vị của lực là Newton (N), như vậy, một đơn vị
lực được dịnh nghĩa bằng 1 đơn vị khối lượng 1kg và 1 đơn vị gia tốc, là sự thay đổi vận
tốc của 1 đơn vị chiều dài 1m mỗi giây bình phương

1N =(1kg )(1m / s 2 ) =1kgm / s 2 .
Theo hệ dơn vị U.S (Mỹ), lực có đơn vị là pound (lb). Khối lượng có đơn vị là slug,
gia tốc có đơn vị là (ft/s2 )vậy đơn vị của lực được định nghĩa là.
1 lb = (1 slug)(1 ft/s2) hoặc 1slug = 1lb/ft/s2

3.2.

Lực hấp dẫn của Newton
Theo tiền đề của Newton về giá trị tuyệt đối của lực hấp dẫn F giữa hai chất điểm ở

một thời điểm nhất định có khối lượng lần lượt m1 và m2, và khaongr cách của của chúng
là r được mô tả như hình ( 3.1).

Hình 3.1: mô hình lực hấp dẫn giữa hai chất điểm
Với G được gọi là hằng số lực hút trái đất, biểu thức (3.3) có thể được sử dụng để
xác định gần đúng trọng lượng của một vật về khối lượng m cũng như lực hút của trái đất.
(3.4)

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

2

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Với mE là khối lượng của trái đất và r là khoảng cách từ tâm trái đất đến chất diểm.
Khi chất điểm chiu tác động của một lực sinh ra bởi khối lượng của chính nó. Thì lực hút
lúc này được gọi là gia tốc trọng trường. Trong trường hợp này, định luật 2 Newton được
phát biểu rằng W=ma, từ biểu thức (3.4) gia tốc cũng trọng trường được tính theo công
thức:

a=

Gm E
r2

(3.5)

Gia tốc trọng trường tại mực nước biển được biểu thị ( ký hiệu) là g. Biểu thức (3.5)
còn có thể viết GmE = gR2E. Với RE là bán kính của trái đất. Biểu thức quan hệ gia tốc trọng
trường tại một khoảng cách r tư tâm trái đất và gia tốc trộng trường tại mực nước biển là:

R E2
a =g
r2

(3.6)

Tại mực nước biển, trọng lượng của chất điểm được xác định bởi:
W

=mg

(3.7)

Giá trị của g sẽ thay đổi theo từng vị trí trên bền mặt trái đất. Nhưng giá trị g được
sử dụng trong tính toán và thí dụ là g = 9.81 m/s2 trong hệ đơn vị SI và g=32.2 ft/s2 trong
hệ đơn vị U.S.

3.3.

Hệ quy chiếu quán tính
Khi áp dụng định luật Newton để giả quyết các bài toán liên quan đến vận tốc thì

kết quả có độ sai số là không nhỏ điển hình là khi so sánh bài toàn về tính vận tốc của ánh
sáng (3x108 m/s). Học thuyết tương đối của Einstein có thể áp dụng cho các vấn đề này.
Thuyết cơ học của Newton cũng có một sai xót trong các vấn đề về kích thướt của nguyên
tử. Cơ học lượng tử có thể được sử dụng để giải thích các hiện tượng trong phạm vi
nguyên tử.
Mỗi Vị trí, vận tốc hay gia tốc của là một vấn đề được xác đinh rõ ràng, nhìn chung,
các vấn đề trên liên quan đến hệ quy chiếu tùy ý. Định luật thứ 2 của Newton không thể
giải thích chính xác về bất cứ hệ quy chiếu nào . Newton nói rằng định luật thứ 2 đã được
miêu tả rõ ràng trong hệ quy chiếu trong chuyên đê về “các ngôi sao cố định”. Định luật

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

3

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

thứ hai của Newton có thể được áp dụng và thu được kết quả tốt khi áp ụng hệ quy chiếu
vào các đại lượng thay đổi vận tốc, chuyển động quay để tính toán chính xác các đại
lượng gia tốc và chuyển độnh quay. Định luật thứ hai của Newton, biểu thức (3.2), có thể
được miêu tả trong hệ quy chiếu tuyệt đối liên quan đến trái đất. Biểu thức (3.2) có thể
được sử dụng xác định sự thay đổi của một vật tham chiếu với vận tốc không đổi so với
trái đất.
Nếu một hệ quy chiếu được sử dụng để áp dụng cho biểu thức (3.2), thì nó được
định nghĩa là hệ quy chiếu Newton hay hệ quy chiếu quán tính.
3.4.
Hệ tọa độ Dề-Các
Áp dụng định luật thứ 2 của Newton trong trường hợp đặc biệt, theo từng trường hợp có
thể chọn một hệ tịa độ. định luật thứ 2 của Newton của một vật tham chiếu trong hệ tọa độ
Đề -Các được biểu diễn như sau:

∑ F = ma

(3.8)

Hình: 3.2

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

4

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG
Với

∑F = ∑F

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

X

1 + ∑ FY J + ∑ FZ K là tổng các lực tác dụng lên chất điểm P

có khối lượng m và gia tốc của hạt a

Khi mà các thành phần x, y, z cân bằng nhau, và vô hướng thì chúng ta có được
các phương trình của chuyển động :

Hoặc tổng các lực trong mỗi mặt phẳng bằng tích của khối lượng của chất điểm và
thành phần gia tốc trong mặt phẳng đó.
Bài toán về lực ném
Một vât P có khối lượng m, được ném trong không khí ( hình 3.3) . Lực tác dụng
lên vật chỉ có trọng lượng của chính vật đó ( bỏ qua lực cản không khí). Tổng hợp lực lúc
này là

∑ F = − mgj . Từ công thức (3.9) có thể biểu diễn theo cách khác:

Dynamics
of a3.3
Particle

Hình
Động học chất điểm

5


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Hình: 3.3

Lực phóng sẽ giảm xuống gia tốc trọng trường.
Chuyển động theo đường thẳng:
Đối với chuyển đọng thẳng dọc theo trục x, biểu thức 1.9 sẽ là:

3.5.

Các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến.
Một vật P có khối lượng m chuyển động trên một đường cong như (hình 3.4). Có

thể chia hợp lực ΣF tác động lên vật ra thành phần tiếp tuyến F n và thành phần pháp
tuyến Ft.

∑F = F τ + F v
t

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

n

.

6


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Hình: 3.4
Gia tốc của vật trong cùng một thời điểm được chai thành hai thành phần tiếp tuyến
và pháp tuyến.

a =
a t τ+
an v

.

Định luật thứ hai của Newton sẽ là:

F =
ma
∑

Ft τ + Fn v = m( a t τ +a n v)

(3.10)

Với:

Khi cả hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến bằng nhau, vô hướng thì hai thành
phần vô hướng của chuyển động được biểu diễn:

Tổng hợp lực tiếp tuyến bằng tích số giữa khối lượng và vận tốc của vật, tỉ lệ
thuận với vận tốc. Tổng hợp lực pháp tuyến bằng tích số giữa khối lượng của vật và thành

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

7


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

phần pháp tuyến của gia tốc. Nếu đường đi của hạt nằm trong một mặt phẳng và gia tốc
của hạt vuông góc với mặt phẳng chứa đường đi của hạt thì hình chiếu của gia tốc lên
mặt phẵng bằng 0, do đó, tổng các hợp lực vuông góc với mặt phẳng chưa đường đị của
hạt đều bằng 0.
3.6.

Tọa độ cưc và trụ (không gian .

Hình: 3.5
Một chất điểm P với trọng lượng m chuyển động theo quỷ đạo là đường cong như
(hình 3.5). lúc này , chuyển động của chất điểm có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ
cực. trong hệ tọa độ cực, tổng hợp lực song song với mặt phẳng chứa chất điểm thành
các thành phần hướng tâm và thành phần tiếp tuyến. Khi đó ta có:

∑F

=Fr u r +Fθuθ

Và nếu giá tốc của chất điểm được biểu diễn tai cùng một thời điểm theo hai của hai
thành phần hướng tâm và tiếp tuyến, Định luật thứ hai của Newton được viết dưới dạng

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

8


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Với

Hai giá trị vô hướng được tính theo :

Tổng hợp của các lực hướng tâm bằng tích của khối lượng và thành phần gia tốc
hướng tâm. Tổng hợp của các lực theo phương tiếp tuyến bằng tích của khối lượng và

thành phần gia tốc theo phương tiếp tuyến.
Chuyển động ba chiều của chất điểm P có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ
không gian (hình 3.6 ). Chiếu chất điểm P theo phương vuông góc vuông góc lên mặt
phăng yox, ta được tọa đọ z với vector đơn vị k. tổng của các lực được chia thành các
thành phần hướng kính, tiếp tuyến, và z :

∑F = F u
r

r

+ Fθ uθ +Fz k

Hình: 3.6
Hình: 3.6

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

9


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Ba phương trình vô hướng của chuyển động bao gồm thành phần hướng tâm,
thành phần , tiếp tuyến trong biểu thưc (3.15) và phương trình chuyển động theo phương
z,

Fr = m( r"−rω2 )

Fr = m(rα − 2r ' ω )

(3.14)

Fr =mz"
3.7.

Nguyên lý công năng
Theo định luật thứ hai của Newton với chất điểm có khối lượng m dược viết dưới

dạng:
( 3.15 )
Dấu chấm ở hai phía trong biểu thức 1.16 có nghĩa là đạo hàm của vận tốc v=dr/dt được
cho:
(3.16)
Hoặc:

(3.17)

Nhưng:

Và
(3.18)

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

10


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Với V2 = V.V à bình phương độ lớn của vận tốc V. như vậy khi thay biểu thức (3.17) vào
biểu thức (3.18) ta được:
(3.19)
Ta có:
Là Công năng với F là tổng của các lực tác dụng lleenchaats điểm có khối lượng m và dr
là vi phân của chuyển động của hạt . Lấy tích phân biểu thức (3.19) được biểu diễn:
(3.20)
Với V1 và V2 là độ lớn của vận tốc của chất điểm tại vị trí r1 và r2 . Lúc này, đọng năng của
chất điểm có khối lượng m chuyển động với vận tốc V là:
(3.21)
Với V =v . Công để chất điểm di chuyển từ vị trí r1 đến vị trí r2 là:

(3.22)
Nguyên lý động năng được biểu diễn như sau:
(3.23)
Công để chất điểm di chuyển từ giữa hai vị trí chính bằng sự thay đổi của động
năng cua r chính chất điểm đó.
Đơn vị tính công, do động năng có đơn vị là “lực” nhân với “ chiều dài” . Trong hệ
đơn vị Hoa Kỳ là ft lb. trong hệ đơn vị đo lường SI được tính băng Nm hay J (joules).
Định luật công năng có thể được áp dụng cho một hệ vật độc lập nếu công sinh ra bởi nội
lực. Lực ma sát của hệ có thể tạo ra công trên hệ đó.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

11


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG
3.8.

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Công suất
Xét vị trị của chất điểm P với khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo cong đặc

biệt tính từ tọa đọ của chính nó đến góc tọa độ O. Xem hình ( 3.7a). thì vận tốc của chất
điểm là:

Ở đây, τ là vector tiếp tuyến đơn vị
Sửng dụng mối quan hệ :

, chia quỹ đạo chuyển động của chất điểm ra

thành nhiều phần ( vi phân) dr ta được dr = vdt =

ds
τdt = dsτ .
dt

Hình: 3.7

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

12


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Công sinh ra bởi ngoại lực tác dụng lên chất điểm , thay dr ta được:

F .dr = F .dsτ = Fτds = Ft ds
Ở đậy F .τ = Ft là thnahf phần tiếp tuyến của tổng lực tác dụng. Công để vật di
chuyển từ vị trí S1 đến vị trí S2 là . (xem hình 3.7 b)

Tóm lại Công được tính bằng tích phân của tông các thành phần lực theo phương
tiếp tuyến với khoảng dịch chuyển dọc theo đường đi của hạt. câc thành phần lực vuông
gốc với đường đi của chất điểm thì không phát sinh công.
Công được sinh ra các ngoại lực tác dụng lên chất điểm trong vi phân của khoảng dịch
chuyển dr là :

du =F.dr

Công suất, P, tỉ lệ với công sinh ra. Công suất P được tính bởi biểu thức quan hệ
giữa công và đạo hàm của khoảng dịch chuyển trong thời gian dt.
P =
F.

dr
=
F .v
dt

Trong hệ đơn vị SI, Năng lượng có thứ nguyên là lực nhân với khoảng cách trên
mỗi giây, và được ký hiệu là joules trên giây ( J/s) hoạc watts (W). Trong hệ đơn vị Hoa kỳ
công suất có đơn vị là (hp). 746W bằng với 550 ftlb/s.
Công suất cũng tỉ lệ với động năng của vật,
d 1
2 
P=
 mv 
dt 2


3.8.1.
Công năng của chất điểm trong chuyển động đàn hồi.
Gắn cố định chất điểm P có khối lượng m vào một lò xo đàn hồi tham khảo hình (3.8).
Lực tác động lên chất điểm được tính:

F =−k ( r −r0 )u r

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

13

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Hình : 3.8
Với: k là hệ số đàn hồi ( lò xo). R0 là biên độ của lò xo. Ur vector độc cực đơn vị.
Nếu chúng ta sử dụng hệ tọa độ cực để biểu diễn vận tốc thì vector dr = vdt là:

Một cách khác, lò xo đã thực hiện một công và được biểu diễn qua tình trạng thái kéo nén
chính nó, và độ kéo nén được xác định bởi δ = r − r0 . Lúc này độ biến thiên,
F .dr = −kδ .dδ và công năng lưc này là:

Với δ 1 , δ 2 là giá trị của độ kéo nén lò xo tại vị trí đầu và cuối.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

14


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG
3.8.2.

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Công năng trên chất điểm sinh ra do trọng lượng của chính nó.

Hình: 3.9

Một chất điểm P có khối lượng m (Hình .3.9) di chuyển từ vị trí 1 có tọa độ (x 1, y1,
z1) đến vị trí thứ hai có tọa độ là ((x2, y2, z2)trong hệ tọa độ đề- các có trục y hướng lên.
Lực sinh ra do trọng lượng của chất điểm được tính như sau:

F = −mgj
Vì vận tốc V= dr/dt, vector dr được xác định như sau:
dy
dz 
dx
dr =
1+
j+
k dt =dx1 +dyj +dzk
dt
dt
dt


Nhân F cho dr ta được:

F .dr = ( − mgj ).( dx1 + dyj + dzk ) = −mgdy

Công để chất điểm P di chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2 là:

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

15

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Công năng chính bằng tích của khối lượng chất điểm và giá trị thay đổi chiều chiều
cao của chất điểm. Công năng sẽ có giá trị âm khi mà chiều cao tăng lên và dương khi
chiều cao của chất điểm giảm. Công năng thay đổi liên tục tại mỗi vị trí trên quãng đường
của chất điểm từ vị trí 1 đến vị trí 2. Để xác định Công năng của chất điểm do chính trọng
lượng của chất điểm đó gây ra ta chỉ cần xác định mối quan hệ về chiều cao của vị trí đầu
và cuối của chất điểm.
3.9.
Bảo năng lượng.
Phương trình cân bằng động năng:

Hàm vô hướng của vân tốc được gội là thế năng được xác định như sau:

Thay hàm V vào hàm tích phân của cộng năng ta được:

Với V1, V2 là các giá trị thế năng V tại vị trí r1, r2. Nguyên lý về công năng được viết dưới
dạng như sau

Điều đó có nghĩa là tổng của động năng và thế năng V là hằng số:

Hoặc:

Nếu tồn tại một thế năng được cho bởi lực F, i. e., thì thế năng tại một vị trí được
tính :

dV = −F .dr , khi đó F được b xem như bảo toàn.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

16


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Và nếu tấc cả lực gây nên Công trên một hệ được bảo toàn thì tấc cả năng lượng:
tổng của động năng và thế năng do lực gây ra là hằng số hay bảo toàn. Hệ như vậy được
gọi là hệ bảo toàn.
3.10.

Lực bảo toàn
Một chất điểm di chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2. Biểu thức (3.28) nói rằng Công năng

chỉ phu thuộc vào thế năng tại vị trí 1 và vị trí 2. Công được sinh ra bởi lực bảo hòa thì
chất điểm sẽ di chuyển từ vị trí 1 và vị trí thứ 2 sẽ không phụ thuộc vào quảng đương di
chuyển của chất điểm đó.
Một chất điểm p với khối lượng m trượt có ma sát trên quãng đường có chiều dài L.
Độ lớn của lực ma sát sẽ là µmg và có chiều ngược với chiều chuyển động của chất
điểm. Hệ số ma sát là μ. Công sinh ra bởi lực ma sát là:

Công tỹ lệ với chiều dài của quãng đường di chuyển vì vậy Công cơ học phụ thuộc vào
quãng đường di chuyển của chất điểm. Lực ma sát không phải là hằng số.
3.10.1.

Thế năng của lực đàn hồi

Lực sinh ra bởi lò xo đàn hồi được tác động bởi một lực cố định được bảo toàn.
Tai mọi thời điểm của hệ tọa độ cực, lực tác dụng lên chất điểm (hình 3.8) là do một lực
đàn hồi thì F = −k ( r −r0 ).u r . Thế năng phải thõa mãn:

dV = −F .dr = −k ( r −r0 ).dr
Hoặc:

dv =kδ
kδ

Với δ = r −r0 là độ nén hoặc dãn của lò xo. Tích hợp các biểu thức trên ta có được
biểu thức của thế năng đàn hồi là:

V =

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

1
kδ2
2

(3.32)

17

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

3.10.2.

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Thế năng trọng trường.

Lực trọng trường của một chất điểm là một lực bảo toàn. Trọng lực của chất điểm p
có khối lượng m (hình. 3.9) là F = −mgj . Thế năng V phải thõa các diều kiện liên
quan.

Hoặc

Sau khi lấy tích phân các biểu thức bên trên với nhau ta được công thức của thế
năng như sau:

Với C là hằng số tích phân. Hằng số C là một số tùy ý ( bất định) bởi vì mọi giá trị
của C biểu thức (3.33) thõa mãn. Với C bằng 0 thế năng lúc này được tính:

Thế năng V là một hàm của các vị trí và có thể được biểu diễn trong cùng một hệ
tọa độ Dề-các với tọa độ V=V(x, y,z). Vi sai của dV ta có :

Thế năng V thõa mãn các điều kiện:

Với F = Fx 1 + Fy j + Fz k . Biểu thưc (3.35 và 3.36) được biểu diễn :

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

18


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Ở đây chúng ta có

Trong hệ tọa đọ Đề-Cac cho thế năng được biểu thị V=V(x, y, z), lực F được tính:

Với ∇V là gradient ( độ thay đổi) của thế năng V. Gradien được biểu thị trong hệ tọa đọ
Dề- Các như sau:

Độ biến thiên curl của vector lực tác dụng trong hệ tọa độ Descartes được viết:

Nếu lực tác dụng F không đổi thì độ thay đổi ∇ × F = 0 . Định luật bảo toàn cũng đúng khi :
Lực F sẽ không đổi nếu curl của vector lực tác dụng bằng không.
Trong điều kiện lực F được đặt trong hệ tọa độ cực thì.

Giá trị thay đổi của vector lực tác dụng trong hệ tọa độ cực là:

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

19

SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

3.11.

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Nguyên lý xung lực và mômen

Theo định luật 2 của Newton :

F =m

dv
dt

Tích phân hàm trên theo thời gian:
t2

∫ Fdt = mv

1

− mv 2

t1

Với v1 và v2 là vận tốc của chất điểm P tại thời điểm t1 , t2 . Lúc này hàm tích phân F theo
thời gian dt được định nghĩa là lực tuyến tính và mv được gọi là mômen quán tính
Nguyên lý xung lực và mômen: lực đẩy tác dụng lên một chất điểm là lực làm cho

chất điểm thay đổi động lực của chất điểm trong một khoảng thời gian nhất định. xem hình
(3.10).
Giá trị của lực đẩy tuyến tính và động lực tuyến tính là khối lượng nhân quãng
đường trên đơn vị thời gian.

Giá trị trung bình theo thời gian của tổng lực tác dụng lên chất điểm từ t 1 đến thời điểm t2
là :

Biểu thức (3.43) được viết:

Fav (t 2 − t1 ) = mv2 − mv1

(3.44)

Hình : 3.10

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

20


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Xung lực là lực được định nghĩa là giá trị của lực tác động lên chất điểm trong một
khoảng thời gian ngắn(t). ( hình: 3.11)

Hinh: 3.11

Biểu thức (3.43) và (3.44) có thể được viết dưới dạng hữu hướng của tổng các lực theo
phương tiếp tuyến τ trên quỹ đạo của chất điểm được tính bằng tích của khối lượng m
của chất điểm và tỷ lệ với sự thay đổi của vận tốc dọc theo quỷ đạo .

Tích phân của biểu thức trên theo thời gian được miêu tả:

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

21


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Với v1 và v2 là vận tốc dọc theo quỹ đạo của chất điểm tại thời điểm t 1 và t2. Xung lực tác
động lên chất điểm được tạo bởi tổng các lực trên phương tiếp tuyến của quỹ đạo trong
suốt quãng thời gian nhỏ bằng vơi giá trị thay đổi của moment tuyến tính dọc theo quỹ đạo
3.12.

Sự bảo toàn của moomen quán tính.

Xét hai chất điểm P1 có khối lượng m1 và P2 có khối lượng m2, xem hình (3.12). Vector F12
là lực được sinh ra do p1 tác động lên P2 và F21 lực được sinh ra do p2 tác động lên P1. các
lực này có thể là lực tương tác có thể được sinh ra do sự va chạm của hai chất điểm.
Theo định luật thứ 3 của Newton, các lực này có giá trị bằng nhau nhưng ngược chiều.

F12 +F21 = 0

(3.46)

Hình: 3.12

Xét không có ngoại lực tác dụng lên P1 và P2 , or tác dụng của ngoại lực là triệt tiêu. Áp
dụng Nguyên lý xung lực và momen cho mỗi chất điểm vời thời gian t 1 và t2 tùy ý.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

22


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Với V p1 (t1 ), V p1 (t 2 ) là vận tốc của chất điểm P1 tại thời điểm t1 , t2 . và
V p 2 (t1 ), V p 2 (t 2 ) là vận tốc của chất điểm P1 tại thời điểm t1 , t2. Tổng hợp các biểu

thức trên sẽ là

Hoặc momen tuyến tính tổng hợp của hai chất điểm được bảo toàn:

Tại vị trí C là trung điểm của hai chất điểm xem hình (3.12). Ta có:

Với rp1, rp2 là vector vi trí của hai chất điểm . sau khai triển biểu thức trên và kết
hợp với biểu thức (3.47) ta có biểu thức sau:

Với VC = drC / dt là vận tốc của hai chất điểm trại trung điểm gặp nhau. Momen quán
tính tổng hợp của các chất điểm được bảo toàn và vận tốc của hai chất điểm trại trung
điểm của hệ hai hạt là không đổi.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

23


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG
3.13.

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Sự va chạm
Hai hạt A, B chuyển động với vận tốc VA, VB va chạm. Vận tốc của A và B sau khi

va chạm là V’A, V’B . Do ảnh hưởng của ngoại lực được triệt tiêu và momen tuyến tính
tổng hợp là hằng số ( hình 3.13)

Hơn nữa, vận tốc v tai trung điểm gặp nhau của hệ chất điểm trước và sau khi va
chạm là tương tự nhau.

Nếu A và B dính vào nhau sau khi va chạm chúng được gọi là va chạm mềm. Vận
tốc của của tâm hệ hai chất điểm. khi va chạm. ( hình 3.13).

Nếu A và B văng ngược lại, thì sự bảo toàn momen tuyến tính của mỗi chất điểm
không đưa ra được phương trình đầy đủ để xác định vận tốc sau khi va chạm.

Hình: 3.13

3.13.1

Va chạm hướng tâm

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

24


SV: LÊ THANH HẬU
Lớp: 11C1LT.CTSG

GV: TRẦN ĐÌNH SƠN

Các hạt A và B chuyển động dọc theo đường thẳng với vận tốc v 1, v2 trước khi va
chạmn (Hình 3.14a). Độ lớn của lực tác dụng lẫn nhau trong suốt quá trình va chạm (Hình
3.14b). Lực va chạm thì song song với đường phương chuyển động của chất điểm( va
chạm hướng tâm). Các hạt tiếp tục chuyển động thẳng dọc theo phương chuyển động sau
khi va chúng va chạm. (Hình 3.14c). sự tác động của ngoại lực trong quá trình va chạm đã
bị triệt tiêu và momen tuyens tính tổng hợp được bảo tồn.

Trong trường hợp khác biểu thưc còn để xác định vận tốc v’A, và v’B.
Xét thời điểm t1 là thời điểm hạt A tiếp xúc với hạt B lần đầu tiên xem hình (3.14a). Và kết
quả của sự va chạm này làn cho các hạt biến dạng. Tại thời điểm tm các hạt sẽ dẫn đến

độ nén lớn nhất (chu kỳ nén t1 < t < tm hình 3.14 b). thời điểm này, vận tốc của tương ứng
của hai hạt sẽ bằng không vì vậy chúng sẽ chuyển động với cùng một vận tốc, v m. sau đó
tại thời điểm t2 các chất điểm bắt đầu chuyển động về cùng một phía và tách ra, ( hình
3.14 c). tại chu kỳ thứ hai, từ thời điểm hai hạt bị nén lớn nhất cho ngay tại đến thời điểm
hai hạt tách ra được định nghĩa là giai đoạn đàn hồi, tm < t < t2.
Áp dụng nguyên lý xung lực và moment cho chất điểm A trong khoản thời liên tục
gian từ t1 cho đến sát thời điểm tm và cũng từ tm đến t2

Với Fc là độ lớn của lực va chạm trong pha nén và Fr là đọ lớn của lực va chạm trong pha
đàn hồi.
Sau đó nguyên lý xung lực và moment được áp dụng vào cho chất điểm B trong
khoảng thời gian tương tự.

Dynamics of a Particle
Động học chất điểm

25