ảnh hưởng dao động hạt nhân lên quá trình ion hóa của

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Phong

ẢNH HƯỞNG DAO ĐỘNG HẠT NHÂN
LÊN QUÁ TRÌNH ION HÓA CỦA 𝐇𝟐+
TRONG TRƯỜNG LASER

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Phong

ẢNH HƯỞNG DAO ĐỘNG HẠT NHÂN
LÊN QUÁ TRÌNH ION HÓA CỦA 𝐇𝟐+
TRONG TRƯỜNG LASER

Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử
Mã số : 60 44 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN NGỌC TY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc người thầy hướng dẫn đáng kính TS.
Nguyễn Ngọc Ty. Người đã hướng dẫn tận tình cũng như tạo mọi điều kiện
thuận lợi trong quá trình tôi thực hiện luận văn này.
Xin cảm ơn quý thầy cô trong Khoa Vật lý cũng như các khoa khác của
trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và quý thầy cô từ các đơn vị khác đã
giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức vô cùng quý giá, uyên thâm trong
chương trình cao học vật lý nguyên tử tại trường.
Xin cảm ơn quý thầy cô và các thành viên trong nhóm nghiên cứu của
Khoa Vật lý của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã có nhiều giúp đỡ
cũng như tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi nghiên cứu để thực hiện luận
văn này.
Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học thuộc trường Đại học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh tạo điều kiện cho tôi được học tập tại trường, đồng thời hướng dẫn và
hỗ trợ các thủ tục trong thời gian tôi học tập tại trường.
Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và bè bạn đã có những giúp
đỡ âm thầm và cao cả trong quá trình tôi theo học cao học tại trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh cũng như thực hiện luận văn này.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 9 năm 2014
Trần Văn Phong


MỤC LỤC
Trang
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, đồ thị
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................ .. 1
Chương 1. QUÁ TRÌNH ION HÓA CỦA PHÂN TỬ TRONG TRƯỜNG
LASER CƯỜNG ĐỘ CAO ...................................................... .. 6
1.1. Tương tác giữa laser với phân tử.........................................................

6

1.2. Quá trình ion hóa .................................................................................

8

1.3. Phương pháp TDSE tính xác suất và tốc độ ion hóa........................... 10
1.3.1. Phương pháp thời gian ảo ........................................................... 13
1.3.2. Phương pháp tách toán tử giải TDSE.......................................... 14
1.4. Phương pháp TDSE cho ion phân tử H +2 ........................................... 17
1.4.1. Trường hợp hạt nhân đứng yên ................................................... 18
1.4.2. Trường hợp hạt nhân dao động ................................................... 20
Chương 2. KẾT QUẢ TÍNH XÁC SUẤT VÀ TỐC ĐỘ ION HÓA CỦA

H +2 ................................................................................................ 22
2.1. Xác suất và tốc độ ion hóa của phân tử H +2 khi hạt nhân đứng yên
và dao động........................................................................................... 22
2.2. Sự phụ thuộc của xác suất và tốc độ ion hóa H +2 vào bậc dao động
hạt nhân................................................................................................ 27
2.3. Sự ion hóa của đồng vị D +2 , T2+ so với H +2 ......................................... 31
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 35
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ............................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 37

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ATD:

Above-Threshold Dissociation (Sự phân ly trên ngưỡng)

BS:

Bond Softening (Sự làm yếu liên kết)

BH:

Bond Hardening (Sự tạo mới liên kết)

HHG:

High order Harmonic Generation (Sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao)

LASER: Light Amplification Stimulated Emission of Radiation
TDSE:

Time-Dependent Schrödinger Equation (Phương trình Schrödinger
phụ thuộc thời gian)


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1.

Sơ đồ cơ chế ion hóa của nguyên tử, phân tử: a) Ion hóa đa
photon. b) Ion hóa xuyên ngầm. c) Ion hóa vượt rào . ................

Hình 1.2.

8

Mô hình ion phân tử H2+ trong hệ tọa độ khối tâm, có gốc tọa

độ tại O nằm trên trục phân tử và cách đều hai hạt nhân; R, x
là khoảng cách liên hạt nhân và tọa độ của electron . ................

Hình 1.3.

Đường thế năng phân tử của H2+ , theo phương pháp thời gian
ảo và theo thực tế tính bằng Gaussian ........................................

Hình 2.1.

17

19

Xác suất và tốc độ ion hóa của H2+ khi tương tác với trường

laser cường độ 3x1014W/cm2, độ dài xung 40 fs, bước sóng 800
nm; Đường mảnh: khi hạt nhân đứng yên với giá trị x100;

Đường dày: khi hạt nhân dao động ở bậc ν = 0. a)Xác suất ion
hóa; b) Tốc độ ion hóa ................................................................
Hình 2.2.

23

Khoảng cách liên hạt nhân của H2+ khi hạt nhân dao động ở

trạng thái cơ bản ν = 0, tương tác với trường laser cường độ
I=3x1014 W/cm 2 độ dài xung 40 fs bước sóng 800nm. ...............

Hình 2.3.

24

Xác suất và tốc độ ion hóa của H2+ theo các cường độ laser. a)
và b) Xác suất ion hóa của H2+ khi hạt nhân đứng yên và dao

động ở bậc ν=0; c) và d) Tốc độ ion hóa của H2+ khi hạt nhân

đứng yên và dao động ở bậc ν=0.................................................
Hình 2.4.

25

Sự phụ thuộc của xác suất và tốc độ ion hóa vào thời gian
xung, với laser cường độ I = 3x1014W/cm2, bước sóng 800nm .

26

Hình 2.5. Xác suất ion hóa của H2+ trong trường laser cường độ

3x1014W/cm2, thời gian xung 40fs và bước sóng 800nm với các

mức dao động ν=0-21. a) ν=0-5; b) ν=6-10; c) ν=11-15; d)
ν=16-21........................................................................................

27


Hình 2.6.

Tốc độ ion hóa của H2+ trong trường laser cường độ

3x1014W/cm2, thời gian xung 40fs và bước sóng 800nm với các

mức dao động ν=0-21. a) ν=0-5; b) ν=6-10; c) ν=11-15; d)
ν=16-21 .......................................................................................

28

Hình 2.7. Khoảng cách liên hạt nhân của phân tử H2+ theo các bậc dao

động, tương tác với xung laser cường độ 3x1014W/cm2, độ dài

xung 40fs và bước sóng 800nm. ................................................

Hình 2.8.

Sự phụ thuộc của trung bình xác suất ion hóa trên miền phẳng
vào bậc dao động hạt nhân ν. ......................................................

Hình 2.9.

30

31

+
Xác suất ion hóa của H2+ , D+
2 , T2 , tương tác với xung laser

cường độ 3x1014W/cm2, độ dài xung 40fs và bước

sóng

800nm, ở các bậc dao động hạt nhân ν = 0,3,11. a) ν = 0, b)

ν = 3 , c) ν = 11 ..........................................................................

32

+
Hình 2.10. Tốc độ ion hóa của H2+ , D+
2 , T2 , tương tác với xung laser cường

độ 3x1014W/cm2, độ dài xung 40fs và bước sóng 800nm, ở các

bậc dao động hạt nhân ν = 0,3,11. a) ν = 0, b) ν = 3 , c) ν = 11

32

+
Hình 2.11. Khoảng cách liên hạt nhân của H2+ , D+

2 , T2 với xung laser

cường độ 3x1014W/cm2, độ dài xung 40fs và bước

sóng

800nm, ở các bậc dao động hạt nhân ν = 0,3,11. a) ν = 0, b)

ν = 3 , c) ν = 11 ...........................................................................

33


1
LỜI MỞ ĐẦU
Trong vài thập kỷ qua, việc nghiên cứu các hiệu ứng của nguyên tử và phân
tử trong điện từ trường cường độ mạnh đã được phát triển rất nhanh chóng.
Những tiến bộ trong công nghệ đã giúp tạo ra các xung laser cực ngắn với cường
độ mạnh theo bậc của đơn vị nguyên tử (1a.u. = 3,5.1016W/cm2). Với những tiến
bộ này đã giúp các nhà khoa học có thể nghiên cứu chi tiết các quá trình động
lực học của nguyên tử và phân tử [16], [17], [21].
Từ những thành công đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu rộng rãi và mạnh
mẽ hơn về tương tác giữa nguyên tử, phân tử với laser. Thời gian gần đây các
hiệu ứng của phân tử, nguyên tử khi đặt trong trường laser mạnh được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [13], [16], [17], [21]. Một trong những
phân tử đơn giản nhất là ion phân tử H2+ , nó có tầm quan trọng cơ bản trong vật

lý. Sự ion hóa của ion phân tử H2+ cũng được các nhà khoa học quan tâm nghiên

cứu rộng rãi [5], [6], [8], [14], [18], [19].

Năm 1992, tốc độ ion hóa của H2+ được khảo sát bằng cách giải số phương

trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (Time Dependent Schrödinger Equation TDSE) được nghiên cứu bởi nhóm của Sczcpan Chelkowski [8]. Công trình này

chỉ khảo sát tốc độ ion hóa theo các cường độ laser, mà hạt nhân được chọn ở
những khoảng cố định như R = 2 a.u hoặc R = 3 a.u. Qua đó nhận thấy tốc độ
ion hóa tăng theo cường độ laser và tăng mạnh khi R = 3 a.u. Bốn năm sau,
nhóm này tiếp tục nghiên cứu sự ion hóa phân ly của H2+ trong trường laser,
bằng cách giải TDSE chính xác cho mô hình ba vật, với chuyển động một chiều
của hạt nhân theo hướng của trường laser [9]. Kết quả cho thấy sự ion hóa phân

ly xảy ra mạnh mẽ khi tăng cường độ laser, và sau 40 fs thì khoảng 65% là
H+H+ và 35% là H++H+ trong kênh bùng nổ Coulomb.
Gần đây, sự phụ thuộc vào tần số của sự ion hóa H 2+ trong trường laser
phân cực thẳng được Lihua Bai và cộng sự nghiên cứu năm 2013 [5]. Kết quả
cho thấy sự ion hóa toàn phần ở tần số tương đối thấp hoặc tương đối cao thì giá


2
trị tương đối lớn, kể cả trong trường hợp thay đổi cường độ laser, điều này khá
phù hợp với các tác giả khác.
Khi nghiên cứu sự ion hóa, sự phát xạ sóng điều hòa bậc cao và sự định
phương của H2+ khi đặt trong trường laser [17], Christian Bruun Madsen cho

thấy thế Coulomb biến dạng ở mỗi thời điểm bởi điện trường tức thời của laser.
Cho rằng sự thay đổi của điện trường là chậm so với sự chuyển động của
electron ở trạng thái biên, hàm sóng của electron có thời gian xuyên ngầm qua
rào. Sau khi ion hóa xuyên hầm, electron lan truyền và được gia tốc mạnh trong
trường laser với ảnh hưởng rất ít từ trường Coulomb. Do sự dao động của trường

laser, electron trước tiên chuyển động đi từ hạt nhân này, nhưng sau đó được gia
tốc trở lại hạt nhân kia. Cuối cùng, khoảng hai phần ba chu kỳ quang học sau khi
ion hóa, electron tái kết hợp với hạt nhân và năng lượng tích lũy từ electron
được giải phóng như một photon điều hòa bậc cao. Ở công trình [1] của Nguyễn
Thị Thu Hà, cũng đã nghiên cứu ảnh hưởng của dao động hạt nhân lên quá trình
phát xạ sóng điều hòa bậc cao (High order Harmonic Generation -HHG) của ion
phân tử H2+ trong trường laser, với các bậc dao động hạt nhân là ν. Kết quả cho

thấy khi các bậc dao động hạt nhân càng tăng thì cường độ của HHG cũng tăng,
và đạt bão hòa khi ν lớn.
Cách giải quyết vấn đề ion hóa của H2+ dựa vào ion hóa xuyên ngầm cũng

được các tác giả khác nghiên cứu [18], [24]. Nghiên cứu của nhóm Liang-You
Peng vào năm 2003 về động học ion hóa xuyên ngầm của H +2 bởi ánh sáng phân
cực thẳng trong trường laser mạnh [18], nghiên cứu đã xác định và tính toán
động học ion hóa xuyên ngầm phụ thuộc vào bước sóng, cường độ laser và độ
dài liên kết phân tử. Sự ảnh hưởng của khoảng cách liên hạt nhân lên sự ion tức
thời của H2+ trong trường laser mạnh cũng được khảo sát [22], nhóm nghiên cứu
của Mohsen Vafaee đã giới thiệu các thành phần tốc độ ion hóa tức thời

(Instantaneous Ionization Rate) và thành phần tốc độ ion hóa tổng thể, chúng

được tính toán cho H2+ tại các giá trị khác nhau của khoảng cách liên hạt nhân


3
trong trường laser phân cực thẳng. Kết quả cho thấy tốc độ ion hóa phụ thuộc
khoảng cách liên hạt nhân, tốc độ này giảm nhanh khi tăng thêm khoảng cách
liên hạt nhân.
Năm 2001, trong công trình [19] Weixing Qu và cộng sự nghiên cứu tương

quan hạt nhân trong sự ion hóa và phát sóng điều hòa của H2+ trong trường laser

xung ngắn cường độ cao. Nghiên cứu đã khảo sát sự ảnh hưởng lẫn nhau của
electron và hạt nhân, trong đó hạt nhân được xem xét trong cả hai trường hợp cố

định và chuyển động, theo và không theo gần đúng Born-Oppenheimer. Khi
cường độ trường laser là 2,5.1014 W/m2 thì xác suất ion hóa rất nhỏ, còn sự phân
ly bắt đầu sau sự ion hóa từ 6,5÷7,0 fs. Khi tăng cường độ laser thì xác suất ion
hóa tăng nhanh hơn trong cả hai trường hợp hạt nhân cố định và chuyển động.
Xác suất ion hóa khi xét đến chuyển động hạt nhân luôn cao hơn rất nhiều so với
khi hạt nhân cố định, nhưng sự chênh lệch này giảm khi cường độ laser tăng.
Nhưng công trình này cũng chỉ xét sự phụ thuộc của xác xuất vào một vài cường
độ laser.
Như vậy, sự phát xạ sóng điều hòa luôn bắt đầu bằng quá trình ion hóa, sau
đó electron quay trở lại ion mẹ và phát ra sóng điều hòa, có thể một số electron
sẽ không trở lại ion mẹ sẽ gây ra quá trình ion hóa cho ion mẹ. Hầu hết các tác
giả đã nghiên cứu quá trình ion hóa của H +2 khi không xét đến [8] hoặc có xét
đến chuyển động hạt nhân dưới dạng chuyển động một chiều [9], [19]. Vì
chuyển động của hạt nhân có ảnh hưởng đến HHG nên cũng ảnh hưởng đến quá
trình ion hóa của H2+ . Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc xem xét

chuyển động của hạt nhân, cụ thể là mức dao động của hạt nhân lên quá trình
ion hóa của ion phân tử H2+ . Qu đã nghiên cứu sự tương quan hạt nhân đến sự
ion hóa H2+ nhưng chỉ khảo sát ở một vài cường độ nhất định. Hơn nữa, chưa

nghiên cứu về ảnh hưởng của dao động hạt nhân lên sự ion hóa của H2+ . Từ đó

đã mở ra một hướng nghiên cứu mà chúng tôi quyết định thực hiện khi nghiên

cứu sự ion hóa của H2+ có xem xét đến sự ảnh hưởng của bậc dao động hạt nhân,

4
do đó chúng tôi quyết định chọn đề tài ‘‘Ảnh hưởng dao động hạt nhân lên
quá trình ion hóa của 𝐇𝟐+ . trong trường laser’’.

Mục tiêu của luận văn là khảo sát sự ảnh hưởng của dao động hạt nhân lên

lên quá trình ion hóa của phân tử H2+ khi tương tác với trường laser mạnh xung

ngắn, bao gồm ảnh hưởng đến xác suất ion hóa và tốc độ ion hóa. Nghiên cứu

này sẽ cho ta thông tin về sự ion hóa của H2+ , sự ion hóa luôn xảy ra kèm theo

quá trình phát HHG, nên điều này gián tiếp ảnh hưởng đến sự phát HHG để trích
suất thông tin về phân tử.

Phương pháp sử dụng trong luận văn gồm phương pháp giải số phương
trình Shrödinger phụ thuộc thời gian, sử dụng code giải TDSE thu số liệu và tính
toán xác suất ion hóa, tốc độ ion hóa, phân tích kết quả và so sánh với các
nghiên cứu khác.
Về nhiệm vụ của luận văn, trước hết chúng tôi tìm hiểu tương tác giữa phân
tử với trường laser mạnh, các hiện tượng xảy ra trong tương tác này. Tiếp theo là
nghiên cứu cơ chế ion hóa của phân tử trong trường laser cường độ cao. Để tính
toán xác suất ion hóa và tốc độ ion hóa, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lập trình
Fortran trên máy tính, sử dụng code đã được viết bởi nhóm nghiên cứu của khoa
Vật lý trường đại học sư phạm Tp. HCM, đồng thời chỉnh sửa cho phù hợp với
yêu cầu luận văn. Code này dùng để giải số TDSE tìm ra hàm sóng electron theo
thời gian, sau đó tính xác suất và tốc độ ion hóa của H2+ . Ngoài ra chúng tôi còn

sử dụng phần mềm vẽ đồ thị Oringin để biểu diễn xác suất và tốc độ ion hóa
theo thời gian cũng như theo bậc dao động hạt nhân. Từ đó, chúng tôi so sánh
xác suất và tốc độ ion hóa của H2+ trong trường hợp hạt nhân cố định ở vị trí cân

bằng và dao động ở trạng thái cơ bản ν=0. Quan trọng hơn, chúng tôi cũng so

sánh xác suất ion hóa giữa các bậc dao động hạt nhân từ 0 đến 21, từ đó tìm ra
quy luật thay đổi của chúng. Mặc khác, để khảo sát sự ảnh hưởng của đồng vị
lên sự ion hóa khi xét đến dao động hạt nhân, chúng tôi tính toán xác suất và tốc


5
+
+
độ ion hóa của D+
2 , T2 sau đó so sánh với trường hợp của H2 , từ đó phân tích sự

ảnh hưởng của các đồng vị này lên quá trình ion hóa.

Nội dung của luận văn gồm hai chương chính, ngoài ra còn có phần mở đầu

và kết luận. Trong chương đầu, chúng tôi trình bày tổng quan về sự ion hóa của
ion phân tử H2+ . khi tương tác với laser cường độ cao. Cũng trong chương này,

chúng tôi trình bày về phương pháp giải TDSE để tính xác suất ion hóa và tốc
độ ion hóa. Chúng tôi sử dụng phương pháp thời gian ảo giải phương trình

Shrödinger dừng, và phương pháp tách toán tử giải TDSE cho H2+ . khi hạt nhân

đứng yên và dao động. Trong chương hai, chúng tôi trình bày kết quả về sự ảnh

hưởng của bậc dao động hạt nhân lên xác suất ion hóa và tốc độ ion hóa của H2+ ,

sau đó so sánh với trường hợp hạt nhân cố định. Trong chương này chúng tôi

+
còn khảo sát sự ion hóa các đồng vị D+
2 , T2 , sau đó so sánh với trường hợp của

H2+ .


6
Chương 1. QUÁ TRÌNH ION HÓA CỦA PHÂN TỬ
TRONG TRƯỜNG LASER CƯỜNG ĐỘ CAO
1.1. Tương tác giữa laser với phân tử
Tương tác giữa trường laser và phân tử phức tạp hơn so với nguyên tử. Sự
phức tạp của tương tác thể hiện khi một phân tử được đặt vào một trường laser
cường độ cao, có nhiều quá trình liên quan đến trường mạnh có thể xảy ra, bao
gồm các quá trình như sự phân ly trên ngưỡng (Above-Threshold Dissociation ATD), sự làm yếu liên kết (Bond Softening -BS), sự tạo liên kết mới (Bond
Hardening - BH) và sự ion hóa tăng cường do cộng hưởng điện tích (Charge
Resonance Enhanced Ionization), sự ion hóa hoặc sự phát xạ HHG [7], [11],
[12], [13], [17] [23].
Tương tác của xung laser cường độ mạnh với phân tử đơn giản gồm hai
nguyên tử dẫn đến sự ion hóa đa photon bởi cơ chế rất giống trường hợp đơn
nguyên tử. Nếu electron rời bỏ cả hai nguyên tử cấu thành, kết quả của lực đẩy
tĩnh điện dẫn đến sự bùng nổ Coulomb (Coulomb explosion) [11], trong đó phân
tử phân ly thành các mảnh ion với năng lượng được quyết định một phần bởi
khoảng cách liên hạt nhân. Mặt khác, nếu trường laser đủ mạnh để làm biến
dạng thế năng phân tử, quá trình phân ly của phân tử có thể bị thay đổi, làm phát

sinh các quá trình BS, ATD và tạo ra trạng thái dao động gây ra bởi laser. Động
lực học về sự bùng nổ Coulomb của phân tử ba nguyên tử cũng đã được nghiên
cứu thành công, nhưng việc nghiên cứu chi tiết những quá trình trên trở nên khó
khăn hơn do kích thước của phân tử lớn hơn.
Theo các công trình [17], [20], sự phân ly trên ngưỡng là quá trình phân ly
của phân tử khi hấp thụ số photon nhiều hơn số lượng tôi thiểu cần cho sự phân
ly. Sự phân ly đòi hỏi electron thực hiện xuyên hầm qua rào cấm cổ điển rộng
do vậy rất khó xảy ra ở những cường độ thấp. Sự phân ly từ trạng thái dao động
yếu tương ứng với kết quả ion hóa trên ngưỡng ở nguyên tử. Quá trình ATD dễ
dẫn đến sự phân mảnh ở trạng thái dao động yếu. Tỷ lệ xảy ra ATD và hấp thụ


7
đơn photon phụ thuộc mạnh vào trạng thái dao động ban đầu, tần số và cường độ
tia laser.
Cũng theo trong công trình [17], sự làm yếu liên kết là hiệu ứng làm giảm
cường độ lực liên kết phân tử trong trường laser. Do trạng thái dao động ban đầu
mạnh hơn sẽ có một giá trị năng lượng trung gian lớn hơn rào thế đoạn nhiệt, vì
thế các phân tử có thể phân ly trên rào cản. Quá trình này được gọi là “Bond
Softening” bởi Bucksbaum (1990). Bản chất vật lý chính của BS là do liên kết
của phân tử bị làm yếu đi trong trường laser mạnh và dẫn đến phân tử bị phân ly.
Trong kênh của sự bùng nổ Coulomb, sự phân ly được gây ra bởi sự di chuyển
đột ngột của electron, trái lại trong kênh BS cường độ lực đẩy khá yếu ớt và
không liên quan đến việc rời bỏ của bất kỳ electron nào. Các mảnh vỡ phân tử
thường có năng lượng tương đương hay nhỏ hơn của trường hợp đơn photon.
Một hiệu ứng gần như ngược lại với sự làm yếu liên kết là sự tạo liên kết
mới [12], [23], đây là một quá trình tạo mới liên kết hóa học bởi tác dụng của
trường laser mạnh, vào khoảng 100÷200 TW/cm2. Quá trình BH phụ thuộc vào
cường độ của trường, nếu cường độ điện trường quá thấp, giếng đoạn nhiệt
không đủ sâu để bẫy các hạt. Nếu cường độ trường quá cao, giếng đoạn nhiệt sẽ

bị phá vỡ và các hạt bị bẫy trong giếng sẽ thoát ra và thu được các mảnh vỡ với
động năng thấp bất thường. Cả ba quá trình được mô tả ở trên (ATD, BS, BH)
thường được mô tả với thế năng Floquet đoạn nhiệt và mô tả sự phân ly của H +2
thành H++H.
Một quá trình cũng xảy ra khi phân tử tương tác với trường laser là sự ion
hóa tăng cường cộng hưởng điện tích [17], [24]. Đây là một quá trình làm cho sự
phân ly của phân tử H +2 xảy ra nhanh và xác suất lớn. Các phân tích cho thấy do
có sự tồn tại của một cặp trạng thái cộng hưởng điện tích mà nó kết hợp mạnh
với điện từ trường ở khoảng cách liên hạt nhân lớn, dẫn đến một sự kích thích
phi đoạn nhiệt mạnh mẽ. Các thí nghiệm từ khoảng hai thập kỷ qua cho thấy đây
là một trường hợp đặt biệt của ion hóa kép. Trong cơ chế này bước ion hóa thứ


8
cấp luôn xảy ra tại một khoảng cố định của khoảng cách hạt nhân. Thực tế là xác
suất ion hóa tăng khi phân tử phân li vượt qua một khoảng cách liên hạt nhân tới
hạn. Tại một khoảng cách liên hạt nhân tới hạn, trường ngoài và độ dốc của thế
năng đều hạ thấp xuống, rào thế liên hạt nhân đủ thấp để một electron định xứ
có thể thoát ra.
1.2. Quá trình ion hóa
Ion hóa là quá trình một nguyên tử hay phân tử tăng thêm hay mất đi
electron và tạo thành điện tích âm hay dương tương ứng. Ion hóa thường do kết
quả tương tác của nguyên tử hay phân tử với một hạt ion, bao gồm các hạt tích
điện có đủ năng lượng và các photon mạnh. Một trường hợp ion hóa hiếm khi
xảy ra khi không có hạt bên ngoài là quá trình chuyển đổi nội tại bên trong hạt,
thông qua đó một nucleon kích thích truyền năng lượng của nó cho một e ở lớp
vỏ bên trong và đẩy nó ra ngoài với động năng cao.
Quá trình ion hóa là mối quan tâm đặc biệt trong khoa học cơ bản. Trong
luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự ion hóa của một phân tử đơn giản trong
trường laser mạnh. Quá trình ion hóa có thể xảy ra là ion hóa đơn và ion hóa kép

đối với nguyên tử và phân tử.
Quá trình ion hóa của nguyên tử, phân tử trong trường laser bao gồm ba cơ
chế: Ion hóa đa photon, ion hóa xuyên ngầm và ion hóa vượt rào (Hình 1.1.)

Hình 1.1. Sơ đồ cơ chế ion hóa của nguyên tử, phân tử: a) Ion hóa đa
photon. b) Ion hóa xuyên ngầm. c) Ion hóa vượt rào [17].


9
Ion hóa đa photon xảy ra khi trường laser không đủ mạnh để làm nhiễu
loạn thế năng nguyên tử, phân tử. Sự ion hóa xảy ra do sự hấp thụ nhiều photon
vượt mức thế ion hóa. Trường hợp cường độ mạnh hơn, hình dạng thế năng thay
đổi đủ để các bó sóng electron có thể xuyên ngầm ra ngoài. Trường hợp cường
độ trường laser mạnh hơn nữa, hình dạng thế như hình 1.1 nên các electron
không còn bị ràng buộc và các bó sóng electron có thể vượt qua rào.
Tất cả các quá trình ở trên được mô tả sử dụng hệ số Keldysh là tỉ số giữa
tần số laser và tần số xuyên ngầm còn được gọi là hệ số đoạn nhiệt và dùng để
xác định cơ chế ion hóa nào chiếm ưu thế:
=
γ

ωlaser
=
ωtunnel

Ip
2U p

.

(1.1)

Đối với ánh sáng phân cực thẳng, Up có thể biểu diễn thành:
Up =

e2 E 2
4mω 2

= 9,33.1014 Iλ2 [eV].

(1.2)

Vào 1965 công trình sớm nhất của Keldysh [15] cho thấy tất cả ba chơ chế
chỉ là các mặt khác của một quá trình phổ biến: sự ion hóa phi tuyến. Để phân
biệt giữa hai chế độ ion hóa đa photon và ion hóa xuyên hầm, Keldish kiểm tra
thời gian cần thiết cho một electron chui ngầm qua rào thế khi năng lượng trạng
thái đầu không nhiễu loạn (thừa nhận rằng tốc độ electron là v =
rào thế l =

Ip
Ee

Ip
me

và độ rộng

).
=
t

2 I p me
1
=
,
Ee
ωtunnel

(1.3)

với Ip là thế ion hóa và E là cường độ điện trường đỉnh tức thời, me va e là khối
lượng và điện tích electron.
Nếu chu kỳ dao động nhỏ hơn so với thời gian xuyên hầm, khi đó sự ion
hóa sẽ giải quyết bằng nhiễu loạn trong bức tranh đa photon và tương ứng với

g  1 là ion hóa đa photon.


10
Nếu chu kỳ dao động của điện trường lớn hơn rất nhiều so với thời gian
chui hầm khi đó sự chui hầm có thể xảy ra và γ  1 tương ứng với sự chui hầm.
Trong sự ion hóa kép, 2 electron rời khỏi nguyên tử hoặc phân tử bởi xung
laser ngắn. Sự ion hóa kép của nguyên tử và phân tử được phân loại thành liên
tiếp hay không liên tiếp phụ thuộc vào cường độ laser.
Trong sự ion hóa liên tiếp, cả hai electron được giải phóng bởi trường, một
cái sau cái kia, khác nhau ở pha của trường laser. Các electron được giải phóng
tuần tự bởi sự ion hóa xuyên ngầm hoặc ion hóa vượt rào.
Trong nội dung luận văn này chúng tôi xem xét quá trình ion hóa của H +2
trong trường laser, theo đó, ion H +2 chỉ còn một electron chuyển động quanh hai
hạt nhân. Khi ion phân tử này đặt trong trường laser mạnh, thế Coulomb bị biến

dạng, electron có thể rời bỏ hai hạt nhân bởi hiệu ứng xuyên ngầm gây ra sự ion
hóa.
1.3. Phương pháp TDSE tính xác suất và tốc độ ion hóa
Quá trình ion hóa của nguyên tử hoặc phân tử trong trường laser mạnh là
một hiện tượng phi tuyến, để tính được xác suất và tốc độ ion hóa chúng ta cần
giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian cho nguyên tử hoặc phân tử
đó. Kết quả thu được từ việc giải TDSE cho ta hàm sóng phụ thuộc thời gian của
electron, từ hàm sóng này ta có thể tính được xác suất và tốc độ ion hóa của H 2+ .
Đến nay, đã có nhiều nhóm trên thế giới nghiên cứu theo hướng này và cho
những kết quả đáng quan tâm [6], [19], [22], [23].
Vì nguyên tử, phân tử là những hệ nhiều hạt phức tạp nên phương trình
Schrödinger của chúng khi tương tác với trường laser cũng không đơn giản, việc
giải chính xác các phương trình này là điều vô cùng khó khăn, phải nhờ đến
những máy tính hoặc siêu máy tính hiện đại. Do vậy, các nhóm nghiên cứu tập
trung cho các hệ đơn giản chỉ có một hoặc hai nhân và một hoặc hai electron
như ion nguyên tử H 2+ [7-13], [19-21], [23].


11
Ở phần này, chúng tôi trình bày phương pháp thời gian ảo dùng giải số
phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian của phân tử ở trạng thái chưa
tương tác với trường laser, phương pháp này được áp dụng tương đối phổ biến
hiện nay và nó đã được chứng minh cho kết quả khá chính xác [2]. Việc làm này
cho ta thu được hàm sóng của hạt ở thời điểm đầu. Tiếp theo đó, ta áp dụng
phương pháp tách toán tử (trình bày ở phần 1.3.2) để tìm ra hàm sóng phụ thuộc
thời gian. Và cuối cùng dựa vào hàm sóng này chúng tôi tính ra xác suất và tốc
độ ion hóa của phân tử.
Trong hệ đơn vị nguyên tử ( = e= me= 1 ), phương trình Schrödinger cho
phân tử đặt trong trường laser có dạng:
∂

i Ψ (r , t ) =
∂t

 pˆ 2

+ V (r , t )  Ψ (r , t ) ,

 2m


(1.4)

trong đó, pˆ là toán tử xung lượng của phân tử, V (r , t ) là thành phần thế năng
bao gồm: thế Coulomb VC (r , t ) trong phân tử, kể cả thế tương tác electron với
hạt nhân và giữa hai hạt nhân với nhau; thành phần kia là thế năng tương tác
giữa electron với trường laser VL (r , t ) . Trong xấp xỉ lưỡng cực, thế tương tác
giữa điện trường laser và electron cho bởi:

(t) reEo f (t) sin(ω t) ,
VL (=
r , t ) rE
=

(1.5)

trong đó Eo là cường độ điện trường cực đại, f(t) là hàm bao và ω là tần số
xung laser.
Nghiệm Ψ(r,t) của phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng
 t  pˆ 2
 

Ψ (r , t ) = exp  −i ∫ 
+ V (r , t )  dt  Ψ (r , to ) .
 
 to  2m

(1.6)

Từ phương trình trên ta nhận thấy toán tử
 t  pˆ 2
 
+ V (r , t )  dt  ,
Uˆ (r , t , to ) =
exp  −i ∫ 
 to  2m
 

là toán tử tiến hóa theo thời gian và là toán tử Unita vì ta thấy

(1.7)


12
+
Uˆ=
(r , t , to )Uˆ + ( r , t , to ) Uˆ=
( r , t , to )Uˆ ( r , t , to ) 1 ,

(1.8)

nên xác suất tìm thấy electron bảo toàn theo thời gian trong không gian này hàm

sóng.
Tác dụng nhiều lần toán tử Uˆ (r , t , to ) lên hàm sóng ban đầu Ψ (r , to ) của
electron khi tương tác với trường laser ta sẽ thu được hàm sóng phụ thuộc thời
gian của electron. Hàm sóng Ψ (r , to ) thu được khi ta giải phương trình
Schrödinger dừng
i

 pˆ 2

∂
Ψ ( r , to ) = 
+ V ( r )  Ψ ( r , to ) .
∂t
 2m


(1.9)

Để giải tương đối chính xác phương trình (1.9) chúng tôi sử dụng phương
pháp thời gian ảo. Đây là phương pháp đã được nhiều nhóm nghiên cứu sử dụng
và cũng được trình bày trên tạp chí Đại học sư phạm bởi nhóm của Đỗ Thị Thu
Hà [2]. Sau khi thu được kết quả hàm sóng ở thời điểm ban đầu Ψ (r , to ) , chúng
tôi tiếp tục áp dụng phương pháp tách toán tử giải TDSE, cuối cùng sẽ thu được
hàm sóng phụ thuộc thời gian của electron Ψ(r,t). Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết
hai phương pháp này ở phần sau.
Với hàm sóng thu được là Ψ(r,t), ta tiến hành tính xác suất ion hóa
2

1 ∫∫ | Ψ (r , t) | drdR ,
P(t ) =−

(1.10)

Si

R
2

trong đó, S=i {r || r |≤ ai + } là vùng mà electron chưa bị ion hóa, ai là tọa độ
cực đại của electron mà nó chưa bị ion hóa.
Tốc độ ion hóa của phân tử được tính theo Mohsen Vafaee ở công trình
[22], bởi công thức
d  1 − P (0) 
Γ(t ) =  ln
,
dt  1 − P (t) 

(1.11)

trong đó, Γ(t) là tốc độ ion hóa theo thời gian, có đơn vị fs-1. Như vậy,
chúng ta sẽ thu được xác suất và tốc độ ion hóa theo thời gian.


13
1.3.1. Phương pháp thời gian ảo
Như đã trình bày ở trên, để giải phương trình Schrödinger tìm ra hàm sóng
ở thời điểm ban đầu Ψ (r , to ) , chúng tôi sẽ dùng phương pháp thời gian ảo [2].
Từ phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian:
i

∂
Ψ (r , t ) =
Hˆ Ψ (r , t ) ,
∂t

(1.12)

2

pˆ
−
+ Vˆ là toán tử Halmilton.
trong đó, Hˆ =
2m

Thực hiện phép đổi biến số τ = −it , thay vào phương trình (1.12) ta được
một phương trình vi phân cấp một theo thời gian và nghiệm nó có thể viết dưới
dạng :
Ψ ( r ,τ ) =e −τ H Ψ ( r , 0) ,
ˆ

(1.13)

với Ψ (r , 0) là hàm sóng ở thời điểm ban đầu t = 0. Nếu gọi ϕn (r ) và En là hàm

ˆ , ta có thể khai triển hàm sóng
riêng và năng lượng riêng của toán tử Hamilton H
ˆ như sau
Ψ (r , 0) theo hệ hàm riêng ϕ n (r ) tương ứng của H
∞

Ψ (r , 0) =
∑ cnϕn (r ) .

(1.14)

n =0

Phương trình (1.13) viết lại :
=
Ψ ( r ,τ )

∞

∞

ϕ (r ) ∑ c e τ
∑c e =
−τ Hˆ

n
n
n 0=
n 0
=

− En

n

ϕn (r ) .

(1.15)

Chúng ta thấy rằng, dù hàm sóng Ψ (r ,0) lúc đầu đã được chuẩn hóa, sau
khoảng thời gian τ tính chuẩn hóa cũng giảm đi bởi sự tác dụng của thành phần
e −τ H
ˆ

lên hàm sóng nhiều lần, làm suất hiện các thừa số e−τ E , do đó ta phải chuẩn
n

hóa lại. Sau khi chuẩn hóa lại, hàm sóng có dạng:
 cn  −τ En
ϕ
+
(r)
c
e
r
ϕ
(
)
  e ϕn (r )
∑
o
∑
n
n
n ≠ 0  co 

n =0
=
,
∞
2
∞
2 −2τ En
c
| cn | e
∑
1 + ∑ n e −2τ ( En − Eo )
n =0
n ≠ 0 co
∞

=
Ψ ( r ,τ )

−τ En

∞

(1.16)


14
trong đó, ϕo và Eo là hàm sóng riêng và năng lượng riêng ở trạng thái cơ bản
của toán tử Hamilton. Ta nhận thấy En > En −1 nên En − Eo > 0 , do vậy e−2τ ( E − E ) → 0
n

o

khi τ → ∞ , nghĩa là trạng thái sau sẽ hội tụ nhanh hơn trạng thái trước nó. Điều
đó cho thấy hàm sóng Ψ (r ,τ ) sẽ hội tụ về hàm sóng ở trạng thái cơ bản ϕo (r )
Ψ (r ,τ → ∞) =ϕo (r ) .

(1.17)

Như vậy, việc giải phương trình (1.12) phải suất phát từ một trạng thái ban
đầu Ψ (r ,0) bất kỳ, sau nhiều lần tác dụng e −τ H lên hàm sóng Ψ (r ,0) đồng thời
ˆ

cho thời gian tiến hóa đến vô cùng τ → ∞ , chúng ta sẽ thu được hàm sóng và
mức năng lượng ở trạng thái cơ bản.
Để xác định hàm sóng ở các trạng thái kích thích ta cũng thực hiện tương tự
như với trạng thái cơ bản, tuy nhiên ta phải loại trừ trạng thái trước đó trong
biểu thức (1.14).
1.3.2. Phương pháp tách toán tử giải TDSE
Xét phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian tổng quát cho một hạt
trong như sau:
i

∂
Ψ (r , t ) = Tˆ + Vˆ Ψ (r , t ) ,
∂t

(

)

(1.18)

ˆ2
trong đó Tˆ = − p là toán tử động năng và Vˆ ≡ Vˆ (r , t ) là toán tử thế năng của hạt.
2m

Nghiệm chính thức của phương trình (1.22) ở thời điểm (t + ∆t ) viết dưới dạng
Ψ (r , t + ∆t ) = e

(

− i∆t Tˆ +Vˆ

)

Ψ (r , t ) .

Ta sẽ thực hiện phép chia toán tử lên hàm mũ

(1.19)
e

(

).

Để làm việc này ta

... ,

(1.20)

− i∆t Tˆ +Vˆ

áp dụng công thức Zassenhaus
e

λ ( A+ B )

λ A λB

=e e e

−

λ2
2

[ A, B ] −

e

λ3
6

([ A,[ A, B ]]− 2[[ A, B ], B ])

Mặc khác chúng ta cũng sử dụng các công thức tích đối xứng với độ chính
xác có thể đạt được đến λ 2 n +1 .
=

eλ ( A+ B ) S 2 n +1 (λ ) + O (λ 2 n +1 ) ,

(1.21)


15
trong đó:
S n (λ ) S 2 n −1 (λξ 2 n +1 ) S 2 n −1[λ (1 − 2ξ 2 n +1 )]S 2 n −1 (λξ 2 n +1 ) ,
=

(1.22)

với ξ là nghiệm của phương trình
2(ξ 2 n +1 ) 2 n −1 + (1 − 2ξ 2 n +1 ) 2 n −1 =
0,

n = 2, 3, …

(1.23)

Ta nhận thấy các công thức tích đối xứng luôn unitary, điều này cho ta ý
nghĩa rằng hàm sóng định chuẩn luôn bảo toàn theo thời gian. Ngoài ra, với bậc
chính xác càng cao thì công thức tích đối xứng trên hội tụ càng nhanh. Do sự
hạn chế về thời gian và công cụ hỗ trợ nên ta không thể chọn độ chính xác bậc
cao vì phép tính với số mũ lớn khá phức tạp.
Ở đây chúng ta xét đến độ chính xác bậc hai thì từ (1.20) và (1.21) ta có thể
viết
λ2
λ A λ B − 2 [ A, B ]

λ ( A+ B )

=
e
e e e

Ta đặt λ = −i∆t , A =

+ O (λ 3 ) ,

(1.24)

V
V
, B= T + thì biểu thức (1.24) viết lại
2
2

− i∆t (T +V )

=
e
e

− i∆t

V
2

e

V
− i∆t ( T + )
2

e

( ∆t )2 V
V
[ ,T + ]
2
2
2

−

+ O (λ 3 ) .

(1.25)

Tương tự ta cũng có
− i∆t ( T +

e

Mà
Do vậy:

V
)

2

=e

− i∆tT

− i∆t

e

V
2

e

−

V
( ∆t )2
[T , ]
2
2

+ O (λ 3 ) ,

V V
V 
V  V V 
V
 2 , T + 2 = 2  T + 2  −  T + 2  2=  2 , T  ,

− i∆t (T +V )

=
e
e

− i∆t

V
2

e

− i∆tT

− i∆t

e

V
2

+ O (λ 3 ) .

(1.26)
(1.27)
(1.28)

Dựa vào phép chia toán tử mũ này, biểu thức (1.19) được viết như sau
− i∆t

V
2

Ψ (r , t + ∆t ) =
e
e

− i∆tT

− i∆t

e

V
2

Ψ (r , t ) .

(1.29)

Để thu được hàm sóng phụ thuộc thời gian, từ phương trình (1.29) ta thực
hiện các bước:


16
Đầu tiên, ta tác dụng toán tử e

− i∆t

V
2

lên hàm sóng ban đầu Ψ (r ,0) thu được từ

phương pháp thời gian ảo. Đây đơn thuần là phép nhân hai hàm số
Ψ1 ( r ) = e

− i∆t

V
2

Ψ (r , 0) .

Tiếp theo, ta tác dụng toán tử e

(1.30)
− i∆tT

lên hàm sóng Ψ1 (r ) vừa thu được ở

bước một. Để thuận tiện, ta thực hiện chuyển hàm sóng Ψ1 (r ) vào không gian
xung lượng bằng phép biến đổi Fourier thuận
π)
Ψ1 π (=

+∞

1

(2π )

3

∫ Ψ (r ) e

− iπr

1

dr ,

(1.31)

−∞

sau đó, chúng ta tác dụng toán tử e

− i∆tT

lên hàm sóng

Ψ1 p ( p ) ,

đây cũng là một

phép nhân hai hàm số
Ψ 2 ( p) = e

− i∆tT

Ψ1 p ( p ) = e

− i∆t

pˆ 2
2

Ψ1 p ( p ) .

Cuối cùng, để thực hiện tác dụng toán tử e

− i∆t

V
2

(1.32)
lên hàm sóng Ψ 2 ( p) một

cách đơn giản như bước hai, ta thực hiện chuyển hàm sóng Ψ 2 ( p) trở lại không
gian tọa độ bằng phép biến đổi Fourier ngược
Ψ 2 r=
(r )

+∞

1
(2π )

3

∫Ψ

2

( ππ
) eiπr d ,

(1.33)

−∞

và việc còn lại là thực hiện phép nhân toán tử e

− i∆t

V
2

với hàm sóng Ψ 2 r (r ) , ta thu

được hàm sóng phụ thuộc thời gian ở một thời điểm ∆t
− i∆t

Ψ (r, ∆t ) =
e

V
2

Ψ 2 r (r ) .

(1.34)

Quá trình trên lặp đi lặp lại nhiều lần đến hết thời gian tương tác, chúng ta
sẽ thu được hàm sóng phụ thuộc thời gian là nghiệm của phương trình TDSE
(1.18). Việc làm này mất nhiều thời gian, cần đến sự hổ trợ của máy tính, code
giải TDSE để chạy trên máy tính được xây dựng trên nền tảng của phương pháp
này.


17
1.4. Phương pháp TDSE cho ion phân tử H +2
Trong phần này, chúng tôi trình bày phương pháp TDSE cho ion phân tử
H2+ trong hai trường hợp hạt nhân dao động và đứng yên. Bằng cách áp dụng

phương pháp TDSE cho phân tử vào trường hợp cụ thể là ion phân tử H2+ , ta
cũng sẽ tìm được hàm sóng của electron theo thời gian.
Xét phương trình Shrödinger phụ thuộc thời gian cho ion phân tử H2+ :
i

∂Ψ ˆ
= HΨ ,
∂t

(1.35)

ˆ có dạng:
trong đó, toán tử Hamilton H

Hˆ =Tˆe + TˆN + VˆC + VˆL ,

(1.36)

pˆ 2
pˆ 2
trong đó, Tˆe = − e và TˆN = − N lần lược là toán tử động năng của electron và
2me

2 mN

hạt nhân, VˆC = VˆC ( x, R) và VˆL = VˆL ( x, t ) là thế tương tác Coulomb và thế tương
tác của trường laser với electron, R là khoảng cách liên hạt nhân.
Phương trình (1.35) một chiều, viết dưới dạng tường minh trong hệ đơn vị
nguyên tử như sau
i

 1 ∂2

1 ∂2
∂
Ψ ( x, R , t ) =
−
−
+ VˆC ( x, R ) + VˆL ( x, t )  Ψ ( x, R, t ) ,

2
2
∂t

2 µ ∂R
 2 ∂x


(1.37)

với µ là khối lượng rút gọn của hai hạt nhân. Để đơn giản, ta chọn hệ tọa độ như
hình 1.2.

Hình 1.2. Mô hình ion phân tử H +2 trong hệ tọa độ khối tâm, có gốc tọa độ
tại O nằm trên trục phân tử và cách đều hai hạt nhân; R, x là khoảng cách liên
hạt nhân và tọa độ của electron.


18
Với hệ tọa độ đã chọn, thế Coulomb có dạng
1
1
1
VˆC ( x, R) =
−
−
,
R 2
R 2
R 2 + qn
2
2
( x − ) + qe
( x + ) + qe

2
2

(1.38)

trong đó, qn và qe là các thông số mềm để tránh điểm kỳ dị trong thế Coulomb.
Các thông số này được chọn sao cho năng lượng của hệ xấp xỉ năng lượng thực
của hệ. Trong các tính toán chúng tôi chọn qe = 1,0 và qn = 0. Với sự lựa chọn
này sẽ cho năng lượng ở trạng thái cơ bản bằng −0,776 a.u.
Theo công thức (1.5), trong xấp xỉ lưỡng cực và chuyển động một chiều
của electron, thế năng tương tác giữa electron và trường laser có dạng

VˆL ( x, t ) = xEo f (t )sin(ωt ) ,

(1.39)

trong đó, Eo , f (t ) và ω là cường độ điện trường cực đại, hàm bao và tần số
xung laser.
1.4.1. Trường hợp hạt nhân đứng yên
Khi xét hạt nhân cố định thì động năng hạt nhân bằng không do đó ta bỏ
qua phần này trong phương trình (1.37) và hàm sóng không còn phụ thuộc vào
khoảng cách liên hạt nhân. Phương trình (1.37) viết lại cho trường hợp hạt nhân
đứng yên
i

 1 ∂2

∂
Ψ ( x, t ) =
+ VˆC ( x) + VˆL ( x, t )  Ψ ( x, t ) .

−
2
∂t
 2 ∂x


(1.40)

Ở thời điểm ban đầu t = 0 phương trình Shrödinger dừng có dạng
 1 ∂2

+ VˆC ( x)  Ψ ( x, 0) =
E Ψ ( x, 0) ,
−
2
∂
x
2



(1.41)

Áp dụng phương pháp thời gian ảo giải phương trình này ta thu được hàm
sóng của electron Ψ ( x, 0) ở thời điểm ban đầu, khi chưa có trường laser. Trường
hợp này hạt hai hạt nhân cố định nên khoảng cách giữa chúng là R = RC không
đổi, do vậy thế Coulomb không phụ thuộc khoảng cách liên hạt nhân R và có
dạng