bức xạ tự phát của nguyên tử kích thích gần khối trụ hữu hạn trong gần đúng born
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (699.94 KB, 53 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Dũng Chinh
BỨC XẠ TỰ PHÁT CỦA NGUYÊN TỬ KÍCH
THÍCH GẦN KHỐI TRỤ HỮU HẠN TRONG
GẦN ĐÚNG BORN
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Dũng Chinh
BỨC XẠ TỰ PHÁT CỦA NGUYÊN TỬ KÍCH
THÍCH GẦN KHỐI TRỤ HỮU HẠN TRONG
GẦN ĐÚNG BORN
Chuyên ngành : Vật lí nguyên tử
Mã số : 60 44 01 06
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Hồ Trung Dũng
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin cảm ơn gia đình, những người thân của tôi đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi trong quá trình tôi học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ Trung Dũng, người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Trong quá trình làm luận văn, thầy đã rất tận tình, cởi mở giúp tôi nhanh chóng
tiếp cận và giải quyết vấn đề.
Tôi xin cảm ơn các anh chị trong phòng vật lý lý thuyết, viện vật lý TP. Hồ Chí Minh đã
giúp đỡ và tạo nhiều thuận lợi trong quá trình tôi làm luận văn.
Tôi xin cảm ơn trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, phòng sau đại học đã tạo điều
kiện cho tôi được học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô đã giảng dạy, giúp tôi hoàn thành các học phần
trong chương trình học.
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 1
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 2
MỞ ĐẦU........................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ RÃ TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN .................... 5
1.1. Chuỗi Born ....................................................................................................................... 5
1.2. Tốc độ rã tự phát trong khai triển Born........................................................................ 6
1.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ ......................................... 9
1.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ ....................................... 11
1.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ ....................................... 12
CHƯƠNG 2. HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN ............................................. 13
2.1. Hàm Green chân không ................................................................................................ 13
2.2. Hàm Green tán xạ .......................................................................................................... 15
2.3. Ứng dụng cho khối trụ hai lớp ..................................................................................... 18
2.3.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ ....................................... 20
2.3.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ ....................................... 23
2.3.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ ....................................... 24
CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN......................................................... 26
3.1. Các vạch cộng hưởng của hàm Green cho khối trụ vô hạn và tích phân theo đường
vòng ........................................................................................................................................ 26
3.2. Tốc độ rã tự phát ........................................................................................................... 31
3.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ ....................................... 31
3.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ ....................................... 36
3.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ ....................................... 41
3.2.4. Moment lưỡng cực nguyên tử có hướng ngẫu nhiên ................................................. 46
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 49
2
MỞ ĐẦU
Như đã biết, quá trình rã tự phát đóng vai trò rất quan trọng trong các thiết bị quang tử.
Người ta có thể điều khiển quá trình này bằng cách điều chỉnh môi trường xung quanh nguồn
phát xạ. Các thuộc tính của quá trình rã có thể tìm hiểu thông qua khảo sát hàm Green [3, 14],
tuy nhiên hàm Green chỉ được biết cho các dạng hình học có tính đối xứng cao như tấm phẳng
rộng vô hạn, trụ dài vô hạn hoặc cấu trúc cầu [6]. Khi kích thước của các thiết bị ngày càng
giảm trong xu hướng vi hóa hiện nay hoặc khi nguồn phát xạ được đặt gần biên, việc xem xét
ảnh hưởng của tất cả các biên trở nên cấp thiết. Các phương pháp nặng về tính số như thuật
toán finite-difference time domain algorithm [23] có thể áp dụng cho hình học bất kì, nhưng
thường đòi hỏi rất nhiều tài nguyên máy tính. Như vậy một cách tiếp cận đơn giản và trực tiếp
là điều được mong đợi. Ngay cả khi cách tiếp cận này không giải quyết tuyệt đối bài toán thì
trong nhiều trường hợp nó vẫn có thể cho phép ước lượng gần đúng ảnh hưởng của các biên.
Theo [4, 13, 18], chuỗi Born (chỉ lấy số hạng đầu) của hàm Green được sử dụng để xem xét lực
van der Waals tác động lên nguyên tử, hiệu chỉnh trường định xứ và tốc độ rã tự phát của một
nguyên tử đặt gần tấm chữ nhật. Bài toán tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ hữu
hạn đã được xem xét trong [1, 22] với moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương zˆ .
Trong cách tiếp cận này, các điều kiện biên được đưa vào thông qua các giới hạn của tích phân.
Sử dụng khai triển Born cho hàm Green, luận văn xem xét tốc độ rã tự phát của nguyên tử
kích thích đặt trong vùng lân cận của một khối trụ có chiều dài hữu hạn. Các cấu trúc đối xứng
trụ xuất hiện trong các nghiên cứu gần đây về atom chips [20], tốc độ rã tự phát và dịch chuyển
mức [5, 7, 10, 11, 12, 15, 19, 24], năng lượng điểm không [21], tương tác Casimir-Polder [2, 8,
9] và sự truyền năng lượng cộng hưởng giữa các phân tử [17]. Trong các công trình này, hệ trụ
được giả sử dài vô hạn.
Nội dung của luận văn này là mở rộng của công trình [22] cho trường hợp moment lưỡng
cực nguyên tử có hướng bất kỳ. Kết quả của [22] cho thấy nguyên tử có moment lưỡng cực
hướng theo phương zˆ chỉ tương tác với thành phần phân cực TM của trường điện từ. Chúng tôi
sẽ chỉ ra rằng cho các moment lưỡng cực hướng theo phương rˆ và fˆ , tất cả các thành phần
3
phân cực của trường đều tham gia tương tác. Vì vậy công thức toán học cũng trở nên phức tạp
hơn. Nếu không có các bước chuẩn bị để hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo một phương
nhất định, thì moment lưỡng cực nguyên tử được xem như có hướng ngẫu nhiên. Vì vậy việc
xem xét tất cả các hướng của moment lưỡng cực nguyên tử là cần thiết để tạo điều kiện so sánh
kết quả với thực nghiệm. Chúng tôi đã thực hiện song song các tính toán cho hệ trụ hữu hạn và
hệ trụ vô hạn. Trong trường hợp thứ nhất mô hình là chính xác nhưng hàm Green là gần đúng
trong khai triển Born. Trong trường hợp thứ hai mô hình là gần đúng nhưng hàm Green là
chính xác. Chỉ mô hình thứ nhất mới cho phép xem xét ảnh hưởng của điều kiện biên xuất hiện
do độ dài hữu hạn của hệ trụ.
Các mục tiêu chính của luận văn là như sau:
- Khảo sát ảnh hưởng của hướng moment lưỡng cực nguyên tử lên tốc độ rã tự phát.
- Xác định vùng giá trị của mô hình gần đúng hệ trụ vô hạn.
- Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên khi nguyên tử dịch chuyển theo trục Oz.
- Tính toán số hàm Green cho hệ trụ vô hạn là rất khó khăn do sự hiện diện của các vạch
cộng hưởng. Một trong các mục tiêu của chúng tôi là hoàn thiện phương pháp tính số
đã sử dụng trong công trình [22].
Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương 1 là tốc độ rã tự phát trong khai triển
Born, chương 2 là hàm Green cho hệ trụ vô hạn, kết quả số và thảo luận sẽ được trình bày ở
chương 3. Để thuận tiện trong việc ghi các công thức, chúng tôi qui ước các chữ đậm và
nghiêng là vector, chữ chỉ in đậm là ma trận.
4
CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ RÃ TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN
1.1. Chuỗi Born
Hàm Green tensor cổ điển của một vật thể vĩ mô có hấp thụ và tán sắc bất kì thỏa phương
trình [18]
HˆG r , r , w d r r I ,
Hˆ Hˆ r = Ñ
(1.1)
w2
1
Ñ 2 e r , w ,
m r , w
c
(1.2)
( I - là tensor đơn vị) cùng với điều kiện biên ở vô cùng. e r , w , m r , w là hằng số điện môi
và độ từ thẩm phức phụ thuộc vào tần số và tọa độ không gian thỏa mãn mối liên hệ Kramers Kronig.
Hằng số điện môi và độ từ thẩm có thể được viết
e r , w e r , w ce r , w ,
m r , w m r , w cm r , w .
(1.3)
Giả sử ta có hàm G r , r , w thỏa mãn phương trình HˆG r , r , w d r r I , với Hˆ
được định nghĩa như phương trình (1.2) bằng cách thay e cho e và m cho m , khi đó hàm
Green G r , r , w có thể được viết
G r , r , w G r , r , w G r , r , w .
(1.4)
Thay phương trình (1.4) vào phương trình (1.1) và sử dụng khai triển
m cm
1
m
1
c l
l 0 mm , ta có
Hˆ r G r , r , w G r , r , w Hˆ r G r , r , w ,
5
Hˆ r G r , r , w Hˆ r Hˆ r G r , r , w ,
từ đây
r , r , w ,
Hˆ r G r , r , w Hˆ c r G r , r , w G
(1.5)
trong đó
Hˆ c r Ñ
1
w2
cm r , w
Ñ 2 ce r , w .
m r , w l 1 m l r , w
c
l
(1.6)
Theo [18] phương trình (1.4) có thể viết dưới dạng
G r , r , w G r , r , w k 1Gk r , r , w ,
(1.7)
trong đó
k
s , s , w ...G
s , r , w ,
Gk r , r , w d 3s j G r , s1, w G
k
1 2
j 1
(1.8)
với s x , y, z .
Phương trình (1.7) là chuỗi Born. Khai triển dạng (1.7) của hàm Green có giá trị cho một
dạng hình học bất kì. Chuỗi Born đặc biệt hữu dụng khi ce , cm tương ứng là nhiễu loạn của e
và m , khi đó người ta có thể bỏ qua những số hạng bậc cao của chuỗi mà không gây ra sai số
lớn. Về mặt vật lý, đây là các hệ có tính chất điện và từ yếu.
1.2. Tốc độ rã tự phát trong khai triển Born
Xét môi trường có hằng số điện môi và độ từ thẩm gần với giá trị một,
e r , w m r , w 1 , với cl r , w clR r , w i clI r , w , (trong đó l e, m ), cl r , w 1 .
6
Hình 1.1. Nguyên tử đặt gần khối trụ hữu hạn.
Hàm Green G r , r , w ứng với e r , w m r , w 1 là hàm Green chân không [18]
G r , r , w
a a q
d u
3k
2
I+
1
i
1
2 3,
q q
q
k
aI buˆ uˆ e iq ,
4p
b b q
1 3i
3
2 3,
q q
q
(1.9)
(1.10)
với
k
u
w
; u r r ; uˆ ; q ku .
u
c
Hệ chúng tôi xét gồm một nguyên tử hai mức đặt gần một môi trường điện môi có dạng
hình trụ. Tốc độ rã tự phát của nguyên tử được cho bởi [14]
2kA2
d Im G rA, rA, wA dA ,
e0 A
(1.11)
trong đó dA và wA lần lượt là moment lưỡng cực và tần số dịch chuyển mức năng lượng
nguyên tử, kA
wA
và G rA, rA, wA là hàm Green phụ thuộc vào vị trí và tần số dịch chuyển
c
mức năng lượng nguyên tử. Thay (1.4) vào (1.11) ta nhận được
7
2kk2
A
e0
dA Im G rA, rA, wA Im G rA, rA, wA dA .
(1.12)
Phương trình (1.11) và (1.12) cho thấy để tính tốc độ rã tự phát ta cần biết hàm Green
điểm nguồn và điểm trường ở cùng một vị trí là vị trí nguyên tử. Đối với số hạng thứ nhất, hàm
G rA, rA, wA có công thức như phương trình (1.9), ta sẽ biến đổi công thức này khi
r r rA và chú ý rằng chỉ lấy phần ảo của hàm do yêu cầu của phương trình (1.12). Đầu
1
2
1
6
tiên, ta tính các số hạng ae iq và be iq bằng cách khai triển e iq 1 iq q 2 iq 3 ... và chỉ
cần giữ ba số hạng đầu, các số hạng thuộc phần ảo của ae iq và be iq được viết
q2 3 1
3 1
be 1 1 0 ,
6
2 2
2 2
1 1 2
q2 1 1
ae 1 1 ,
6 2 6
2 6 3
iq
iq
(bỏ qua số hạng q 2 do u 0 ), do đó
Im G rA, rA, wA
kA
I.
6p
(1.13)
Đối với số hạng thứ hai của phương trình (1.12), hàm G rA, rA, wA được lấy gần đúng là
số hạng đầu của chuỗi Born (1.8)
G rA, rA, wA G1 rA, rA, wA
Hˆ
1 r Ñ cm r , w Ñ
c
w2
c2
d sG rA, s, wA Hˆc s G s, rA, wA ,
3
1
(1.14)
ce r , w , tức là thành phần tuyến tính của Hˆ c r ở phương
trình (1.6). Thay G ở phương trình (1.9) vào (1.14) ta được
G1 rA, rA, wA
kA2
16p
d sHˆc s a I b
3
2
1
2
2
với
8
2ab uˆ uˆ e 2iq ,
(1.15)
u rA s ; q ku ; a a q ; b b q .
Thay phương trình (1.13) và (1.15) vào (1.12) ta có công thức
2
3k 3
1 A Im d 3s ce s, wA a 2 b 2 2ab dˆAuˆ e 2iq ,
0
8p
(1.16)
kA3dA2
trong đó 0
là tốc độ rã trạng thái nguyên tử trong chân không. Phương trình (1.16) là
3pe0
phương trình làm việc chính trong luận văn. Tiếp đến chúng tôi sẽ xem xét các hướng khác
nhau của moment lưỡng cực nguyên tử dA và khảo sát tốc độ rã của nguyên tử theo từng
phương. Như sẽ thấy những kết quả trong chương 3, hướng của moment lưỡng cực nguyên tử
ảnh hưởng rất nhiều đến tốc độ rã.
1.2.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ
Trong hệ tọa độ trụ, ta có
x r cos f
y r sin f
z z
Hình 1.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ .
9
Ta giả sử moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương bán kính rˆ của khối trụ (hình
1.2), nằm trong mặt phẳng cắt vuông góc với trục của khối trụ. Gọi fA là góc tạo bởi rA và
trục Ox.
Từ hình 1.2 ta có các hình chiếu của moment lưỡng cực dA lên các trục Ox và Oy tương
ứng là
dAx dA cos fA ,
dAy dA sin fA ,
do đó
dA dAcosfAxˆ dA sin fAyˆ ,
từ đây ta có
d u
1
dˆAuˆ A cosfAxˆ sin fAyˆ x A x xˆ yA y yˆ z A z zˆ
dA u
u
1
cosfA x A x sin fA yA y .
u
(1.17)
Do tính đối xứng của không gian, nguyên tử đặt bất kì vị trí nào xung quanh mặt cắt như
hình 1.2 thì tốc độ rã trạng thái cũng như nhau. Do đó ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho nguyên tử
nằm trên trục Oy, tức là fA
p
, phương trình (1.17) viết lại
2
1
dˆAuˆ yA y .
u
(1.18)
Thay (1.18) vào (1.16), ta có phương trình tốc độ rã trạng thái nguyên tử khi moment
lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ
2
3k 3
1
1 A Im d 3s ce s, wA a 2 b 2 2ab 2 yA y e 2iq .
8p
0
u
10
(1.19)
1.2.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ
Tiếp theo ta xem xét trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương
ˆ trong hệ tọa độ trụ (hình 1.3).
f
Hình 1.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ .
Giả sử góc fA vẫn là góc như trong trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng
theo phương rˆ (hình 1.2), ta có
dA dA sin fAxˆ dAcosfAyˆ ,
1
dˆAuˆ sin fA x A x cosfA yA y ,
u
với fA
(1.20)
p
2
1
dˆAuˆ x A x .
u
(1.21)
Thay (1.21) vào phương trình (1.16), ta có công thức tốc độ rã trạng thái nguyên tử với
trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ
11
2
2 2iq
3kA3
1
3
2
1
Im
d s ce s, wA a b 2ab 2 x A x e
.
0
8p
u
(1.22)
1.2.3. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ
Với trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ , dễ thấy
dAz dA , do đó
d u
1
dˆAuˆ A zˆ x A x xˆ yA y yˆ z A z zˆ
dA u
u
1
z A z .
u
(1.23)
Thay (1.23) vào (1.16), ta có công thức tốc độ rã trạng thái nguyên tử cho trường hợp
moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ
2
2 2iq
3kA3
1
3
2
1
Im
d s ce s, wA a b 2ab 2 z A z e
.
0
8p
u
(1.24)
Nhờ sử dụng khai triển Born, các phương trình (1.19), (1.22) và (1.24) trở nên đơn giản
hơn rất nhiều so với việc sử dụng hàm Green chính xác (chương 2). Để cho kết quả số các
phương trình này, chúng tôi sử dụng lập trình số Fortran và đổi sang tọa độ trụ để việc tính toán
đơn giản hơn, khi đó ta có phép chuyển tích phân
d s rdr d f dz . Kết quả sẽ được
3
trình bày trong chương 3. Chương tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét hàm Green chính xác cho hệ
trụ có chiều dài vô hạn và từ đó dẫn tới công thức tốc độ rã phức tạp hơn nhiều so với các
phương trình (1.19), (1.22) và (1.24).
12
CHƯƠNG 2. HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN
2.1. Hàm Green chân không
Xét môi trường điện môi có dạng trụ N lớp (hình 2.1), mật độ dòng điện J s , vị trí điểm
nguồn đặt ở lớp thứ s ( s 1, 2,..., N ), trong khi đó vị trí điểm trường nằm ở lớp thứ f (
f 1, 2,..., N ).
Hình 2.1. Mặt cắt ngang của khối trụ vô hạn N lớp.
Nếu biết hàm Green G fs r , r , trường điện từ E f và H f ở lớp thứ f sinh bởi dòng J s
có thể biểu diễn
E f r i wm f G fs r , r J s r dV ,
(2.1)
Vs
H f r
fs
Ñ G r, r Js r dV ,
(2.2)
Vs
trong đó Vs là thể tích bị chiếm bởi nguồn J s ở lớp thứ s , m f là độ từ thẩm của môi trường.
13
Hàm Green thỏa mãn điều kiện biên ở những bề mặt ngăn cách giữa các lớp r a j (
j 1, 2,..., N 1 )
f 1s
,
rˆ G fs rˆ G
(2.3)
f 1s
1
1
.
rˆ Ñ G fs
rˆ Ñ G
mf
m f 1
(2.4)
Hàm Green G fs r , r có thể phân tích thành hai phần
G fs r , r G0 r , r d fs Gscfs r , r ,
(2.5)
ở đó, d fs là delta Kronecker. Hàm Green chân không G0 r , r thể hiện sự đóng góp của các
sóng phát ra từ nguồn rã trong một môi trường không biên, còn hàm Green tán xạ (scattering)
Gscfs r , r mô tả sự đóng góp của các sóng phản xạ và truyền qua từ bề mặt phân cách giữa các
lớp của môi trường N lớp trụ.
Hàm Green chân không G0 r , r cho hai trường hợp r r và r r được viết chung như
sau [15]
G0 r , r
ˆˆd r r
rr
ks2
0
2d
n
i
dh n
8p
hs2
0
(1)
M e nh h M e' nh h N e(1)nh h N e' nh h
o s
o s
o s
e,o o s
,
M h M '1 h N h N '1 h
e nh
e nh
e nh
e,o eo nhs
o s
o s
o s
(2.6)
trong đó dấu phẩy chỉ tọa độ r , f, z của nguồn J s .
Me
o n hf
h Ñ Zn hf r sin nfeihz zˆ ,
cos
(2.7)
14
Ne
o n hf
h
Ñ Ñ Zn hf r
h 2 hf2
1
sin nfeihz zˆ ,
cos
(2.8)
kí hiệu (1) ở phía trên bên phải M , N ở phương trình (2.6) chỉ định hàm Zn hf r trong
phương trình (2.7) và (2.8) là hàm Hankel trụ loại 1 H n(1) hf r , nếu không Zn hf r là hàm
Bessel trụ loại 1 J n hf r . Giá trị riêng hf và hằng số sóng k f ở lớp thứ f thỏa mãn mối liên hệ
h 2 k f2 hf2 ,
k f2
w2
c
2
(2.9)
m f e f k 2m f e f ,
(2.10)
trong đó, k là hằng số sóng trong chân không.
2.2. Hàm Green tán xạ
Theo [16] hàm Green tán xạ Gscfs r , r cho bởi
15
Gscfs
0
2d
n
r, r 8ip dh 2
hs
n 0
1 d N M (1) h 1 d 1 C fs M ' h 1 d N C fs ' M '(1) h
e
e
e
e
e
f
s
s
h
on s
o n hf
o 1H
o 1H
o n hs
e ,o
1 d fN N e(1) h 1 ds1 C efs N e' h 1 dsN C efs ' N e'(1) h
h
on s
o n hf
o 1V
o 1V
o n hs
1 d fN N o(1) h 1 ds1 C efs M e' h 1 dsN C efs ' N e'(1) h
h
2
2
on s
o H
o H
o n hs
e n hf
1 d fN M o(1) h 1 ds1 C efs N e' h 1 dsN C efs ' N e'(1) h
h
2
2
on s
e n hf
o V
o V
o n hs
1 d f1 M e h 1 ds1 C efs M e' h 1 dsN C efs ' M e'(1) h
h
h
3
3
on f
on s
o H
o H
o n hs
1 d f1 N e h 1 ds1 C efs N e' h 1 dsN C efs ' N e'(1) h
h
h
3
3
on f
on s
o V
o V
o n hs
1 d f1 N o h 1 ds1 C efs M e' h 1 dsN C efs ' M e'(1) h
e n hf
o n hs
o 4H
o 4H
o n hs
1 d f1 M o h 1 ds1 C efs N e' h 1 dsN C efs ' N e'(1) h ,(2.11)
h
n
4
4
h
V
V
n
e n hf
o
s
o
o
o
s
trong đó kí hiệu H ,V tương ứng là sự biểu thị sóng có phân cực TE (Transverse Electric) và
TM (Transverse Magnetic).
Để tìm các hệ số trong phương trình (2.11), người ta sử dụng các điều kiện biên được thỏa
bởi hàm Green trong môi trường trụ đa lớp. Từ phương trình (2.3) và (2.4), các ma trận hệ số
thỏa phương trình ma trận sau [16]
H ,V
F f 1 f
e H ,V
H ,V eo H ,V
d fs A2 ,
Cof 1 s d fs 1A1 Fff
Cfs
(2.12)
ở đó ma trận hệ số được viết
1 dN
f
1 dN
e
f
H
V
,
Cofs
1 d1
f
1 d1
f
1 d C
1 d C
1 d C
1 d C
1
s
1
s
1
s
1
s
fs
H ,V
e
1
o
fs
H ,V
e
2
o
fs
e
3 H ,V
o
fs
H ,V
e
4
o
1 d 1 d
1 d 1 d
1 d 1 d
1 d 1 d
N
f
N
s
N
f
N
s
1
f
N
s
1
f
N
s
16
C
C
C
C
H ,V
fs '
e
2 H ,V
o
,
fs '
e
3 H ,V
o
fs '
e
H
V
4
,
o
fs '
e
1
o
(2.13)
các ma trận hằng cho bởi
1
0
A1
0
0
0
0
A2
0
0
0
0
,
0
0
0
0
,
1
0
(2.14)
và các ma trận F cho bởi
H
Fjm
H (1) h a
n
j m
am
0
zj t j H n(1) hjam
am
t r H (1) h a
j m
j j n
zjJ n hjam
am
r jJ n hjam
t j J n hjam
am
0
hjam
am
hjam
t j r j H n(1)
zj t jJ n hjam
am
t j r jJ n hjam
H n(1) hjam
am
0
zj t j H n(1)
zjJ n hjam
am
r jJ n hjam
,(2.15)
t j J n hjam
am
0
J n hjam
am
0
(1)
zj H n hjam
am
(1)
rH
ha
j n (1) j m
t j H n hjam
am
0
am
r j H n(1) hjam
t j H n(1) hjam
am
0
FVjm
zj H n(1) hjam
J n hjam
am
0
,(2.16)
zj t jJ n hjam
am
t j r jJ n hjam
trong đó các dấu “ , ” ở phía trên, dưới tương ứng với các kí hiệu e và o trong phương trình
(2.11) và
j 1, 2,..., N ;
tj
ej
mj
,
m 1, 2,..., N 1 .
zj
ihn
,
kj
rj
h2j
kj
Đặt
17
.
(2.17)
1
T f (H,V ) F((fH,V1))f . Fff(H ,V ) ,
(2.18)
phương trình (2.12) được viết lại
e
e (H ,V )
(H ,V )
C(of 1)s T f (H ,V ). Cofs
d fs A2 d fs 1A1 .
(2.19)
Phương trình (2.19) được sử dụng để tính các ma trận hệ số (2.13) bằng phương pháp truy
hồi. Phương trình ma trận của các hệ số cho lớp thứ nhất được viết [16]
(1 d 1 )C 1s
T 1(H ,V ) T 1(H ,V )
(1 dsN )C e1s '
e
s
H
V
H
V
1(
,
)
1(
,
)
o
o
111(H ,V ) 121(H ,V )
s
N
s
1
1
1
'
(1 ds )C e
T22
(1 ds )C e
T21
o 2(H ,V )
o 2(H ,V )
T s (H ,V ) T s (H ,V ) (1 d 1 ) 0
s
11s (H ,V ) 12s (H ,V )
0
0
T
T
22
21
T s (H ,V ) T s (H ,V ) 0 (1 d N )
13
14
s
s (H ,V )
.
s (H ,V )
0
T24
T23
0
(2.20)
2.3. Ứng dụng cho khối trụ hai lớp
Xét môi trường điện môi là khối trụ vô hạn, hai lớp như trong hình 2.1. Trong giới hạn
của luận văn, chúng tôi xét điểm nguồn và điểm trường ở cùng vị trí ở lớp thứ nhất, tức bên
ngoài khối trụ.
Hàm Green tán xạ Gscfs r , r [phương trình (2.11)] ứng với trường hợp f 1 và s 1 có
dạng
18
11
Gsc
(2 d 0 )
i
n
dh
8p n 0 h12
C e11 ' M e(1) (h )M e(1) (h ) C e11 ' N e(1) (h )
1V
n h1
n h1
1H o n h1
o
o
o
e ,o o
(1)
(1)
(1)
N e (h ) C e11 ' N o (h )M e (h )
r, r
o2
o n h1
H
e n h1
C e11 ' M o(1) (h )N e(1) (h ) ,
V
2
h
h
n
n
o
1
1
e
o
o n h1
(2.21)
trong đó các hệ số được tính từ phương trình (2.20). Với trường hợp s 1
C 11 '
1(H ,V ) 1(H ,V ) 1 1(H ,V )
1(H ,V ) 11
13
12
11 '
1(H ,V )
1(H ,V ) ,
1(H ,V )
22
C 2(H ,V )
21
23
(2.22)
các ma trận ở vế phải được tính từ phương trình (2.18).
Sau khi triển khai các đạo hàm phương trình (2.6), (2.7) trở thành
Me
sin
h
on f
Ne
o
nH (1) h r
h n r f
nf rˆ
r
ˆ
nf f e ihz ,
sin
H (1) h r
cos
H n(1) hf r
h 2 2 ih nr f sin nf rˆ ihn
r
h hf
cos
hf2H n(1) hf r n f zˆ e ihz .
sin
1
n hf
cos
cos
H n(1) hf r
(2.23)
cos nf fˆ
sin
(2.24)
Từ (1.11) và (2.5) ta có phương trình tốc độ rã của trạng thái nguyên tử gần khối trụ vô
hạn, chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do
6p ˆ
11
(rA, rA, wA )dˆA .
1
dAImGsc
0
kA
(2.25)
19
2.3.1. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ
Định hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo phương rˆ , tức là chỉ lấy những thành
phần theo rˆ ở phương trình (2.23), (2.24) sau đó thay vào phương trình (2.21) với cách đặt các
'
o
ta được hàm Green Gsc11 rA, rA, wA định hướng theo rˆ kí hiệu là
hệ số C e11(1,2)(
C (1,2)(
H ,V )
H ,V )
e
o
G r , r , w là
sc A A A rr
2 d0
G r , r , w i
n
dh
sc A A A rr
8p n 0 h12
nH (1)(h r )
2
e
sin
n
1 A
C 1oH
(nfA )
cos
r
e ,o
A
H (1)(h r )
e
1
ih
n
1 A cos
o
2
f
C
n
(
)
A
sin
2 1V
r
h h1
e ,o
A
(1)
H n (h1rA ) cos
i h
(nfA )
sin
r
A
(1)
e
H n (h1rA ) sin
1
o
C 2H
ih
(nfA )
c
os
rA
h 2 h12 e,o
(1)
nH (h r )
n
1 A sin
n
(
)
f
cos
A
r
A
e
nH n(1)(h1rA ) cos
1
o
C 2V
(nfA )
r
sin
2
2
(h ) h1 e,o
A
H n(1)(h1rA ) cos
i h
n
(
)
.
f
sin
A
rA
(2.26)
Từ việc tính toán phương trình (2.22) (sử dụng Mathematica) ta có C 1H C 1eH C 1oH ,
e
e
C 1V C 1eV C 1oV , C 2H C 2eH C 2oH và C 2V C 2eV C 2oV . Mặc khác C 2oH C 2oV nên
phương trình (2.26) trở thành
20
2 d0
G r , r , w i
n
dh
sc A A A rr
8p n 0 h12
nH (1)(h r ) 2
H (1)(h r ) 2
1
n
n
1 A
1 A
C 1H
2
C 1V h
2
rA
rA
h h1
H (1)(h r ) nH (1)(h r )
1
n
n
1 A
1 A
2C 2V
ih
,
2
2
r
r
h h1
A
A
(2.27)
trong đó
C 1H
A1H
,
D
C 1V
A1V
,
D
C 2V
A2V
,
D
(2.28)
với
A1H
A1V
ihn h2 ihn h2 2
e
e
2
1
2
H n(1)(h1R)J n (h1R)J n2(h2R) 1
k1 k2
m1 m 2 k2 k1
J ( h R )
e h2 H n(1)(h1R)
e h2
J n (h2R) 1 2
R 2 n 2 H n(1)(h1R) 2 1
m 2 k1
m 1 k2
R
R
J ( h R )
2
2
e h
e h
J ( h R )
n 2 J n (h1R) 1 1 n 1 J n (h2R) 2 2 ,
m1 k1
m 2 k2
R
R
ihn h2 ihn h2 2
e
e
2
1
2
H n(1)(h1R)J n (h1R)J n2(h2R) 1
k1 k2
m 1 m 2 k2 k1
J (h R )
e h2 J (h R )
e h2
R 2 n 2 J n (h1R) 2 1 n 1 J n (h2R) 1 2
R
m 2 k1
m 1 k2
R
J (h R )
2
(1)
2
H n (h1R)
e h
e h
n 2 H n(1)(h1R) 1 1
J n (h2R) 2 2 ,
R
m 1 k1
m 2 k2
R
21
(2.29)
(2.30)
A2V
J (h R )
H n(1)(h1R)
n 1
(1)
H n (h1R)
J n (h1R)J n2(h2R)
R
R
R
e1 e2 h22 ihn h22 ihn h12
,
k2 k1
m 1 m 2 k2 k1 k2
2
2
e1 e2 ihn h12 ihn h22
(1)
2
D H n h1R J n h2R
m 1 m 2 k2 k1
k1 k2
2
J h R 2
2
e1 e2 h12
n 2 (1)
2
R
H n h1R
k
R
m
m
1
2 1
(1)
e
H n h1R J n h2R (1)
e2 h12 h22
1
H n h1R J n h2R
m 1 m 2 k1 k2
R
R
2
(1)
2
e1 e2 h22
H n h1R 2
,
J n h2R
R
k
m
m
1
2 2
(2.31)
(2.32)
trong đó R là bán kính của khối trụ, e1 m1 m 2 1 , k f kA e f m f (với f 1, 2 ).
Thay phương trình (2.27) vào (2.25) và chú ý rằng hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn
theo h , ta có phương trình tốc độ rã cho moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo
phương rˆ là
C 1H
0
i 2 dn
Im
dh n
2
0
0
h1
nH (1)(h r ) 2
1
n 1A
C 1V
2
rA
h h12
3
1
2kA
0
2C 2V
H (1)(h r ) 2
h
1 A
n
r
A
(1)
(1)
1
ih H n (h1rA ) nH n (h1rA ) .
rA
rA
h 2 h12
22
(2.33)
2.3.2. Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ
Tương tự, khi định hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo phương fˆ , hàm Green có
dạng
2 d0
G r , r , w i
n
sc A A A ff 8p dh
2
h1
n 0
H (1)(h r )
2
e
c
os
n
1 A
C 1oH
(nfA )
sin
r
e ,o
A
e
nH n(1)(h1rA ) sin
1
o
2
ih
C
(nfA )
cos
2 1V
r
h h1
e ,o
A
(1)
nH (h r )
i h n 1 A csin
(nfA )
os
rA
(1)
e
1
ih nH n (h1rA ) cos(nf )
C 2oH
sin
A
rA
h 2 h12 e,o
(1)
H (h r )
1 A cos
n
(
)
n
f
sin
A
r
A
e
H n(1)(h1rA ) sin
1
o
(nfA )
C 2V
r
cos
(h )2 h12 e,o
A
nH (1)(h r )
.
(
)
n
f
i h n 1 A csin
os
A
rA
(2.34)
Do các hệ số chỉ phụ thuộc vào các thông số của môi trường nên trong mọi trường hợp
định hướng của moment lưỡng cực nguyên tử các hệ số là như nhau, (2.34) trở thành
2 d0
G r , r , w i
n
dh
sc A A A ff 8p
2
h1
n 0
H (1)(h r ) 2
nH (1)(h r ) 2
1
n
1 A
n
1 A
C 1V h
C 1H
2
2
rA
rA
h h1
ihn
H (1)(h r )
1
(1)
H n (h1rA ) n 1 A ,
2C 2V
2
2 r
rA
h h1 A
23
(2.35)
