dạy học các phương trình và bất phương trình vô tỉ lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Dương Thị Ngọc Hân

DẠY HỌC CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Dương Thị Ngọc Hân

DẠY HỌC CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ LỚP 10
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Lê Thị Hoài Châu

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

Lời cảm ơn
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Lê Thò Hoài
Châu, cô đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn dù rất
bận rộn với công tác chuyên môn.
Tôi cũng xin cảm ơn :
-

Các thầy cô đã truyền thụ cho chúng tôi những lí thuyết bổ ích
về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu
quả để thực hiện luận văn.

-

Ban giám hiệu trường THPT Trương Đònh đã tạo điều kiện
cho tôi tiến hành thực nghiệm.

-

Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Sau đại học đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.

-

Các bạn, anh, chò cùng lớp, vì chúng tôi đã luôn động viên
nhau cùng vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập
cũng như nghiên cứu luận văn.
Cuối cùng, tôi xin dành lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình vì đã

tạo điều kiện cho tôi được học cao học và luôn ưu tiên cho việc học

của tôi.
Dương Thò Ngọc Hân


Danh mục các bảng
Bảng 1: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK toán 9......................................... 21
Bảng 2: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm cơ bản ...................................... 40
Bảng 3: Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong nhóm nâng cao.................................... 49
Bảng 4: Các phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới căn thức................... 53
Bảng 5: Kết quả thực nghiệm 1................................................................................ 61
Bảng 6: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 1.................................................................... 74
Bảng 7: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2a ................................................................. 75
Bảng 8: Kết quả thực nghiệm 2 – câu 2b ................................................................. 77


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ...............................................................................7
1.1. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .......7
1.2. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ ............................................................................................................................12
CHƯƠNG 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.......................................................................................15
2.1. LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9 .............................15
2.1.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9 ..............16
2.1.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK toán lớp 9 ....................16
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Ở LỚP 10. ............22
2.2.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình Đại số 10 ........22
2.2.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK Đại số 10 .....................24

CHƯƠNG 3. MỘT NGHIÊN CỨU VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG
GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ .........................................................57
3.1. THỰC NGHIỆM 1 .........................................................................................57
3.1.1. Phân tích tiên nghiệm bài tập 4 ...............................................................58
3.1.2. Phân tích hậu nghiệm bài tập 4 ................................................................61
3.2. THỰC NGHIỆM 2 .........................................................................................63
3.2.1. Phân tích tiên nghiệm ...............................................................................64
3.2.2. Phân tích hậu nghiệm ...............................................................................74
KẾT LUẬN ..............................................................................................................81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................83
PHỤ LỤC
PHIẾU THỰC NGHIỆM
BIÊN BẢN QUAN SÁT TIẾT DẠY LỚP 10 NÂNG CAO


1

MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình và bất phương trình luôn là một nội dung trọng tâm của toán
phổ thông dù đã qua nhiều lần cải cách giáo dục, thay sách giáo khoa. Liên quan
đến phương trình, bất phương trình, thực tế cho thấy đây luôn là một nội dung khó
đối với học sinh. Đứng trước bài toán : giải bất phương trình

x+5
< 1 , học sinh
1− x

có thể đưa ra cách giải như sau:
Điều kiện: 1 − x ≠ 0 .

x+5
< 1 ⇔ x + 5 < 1− x
1− x
1 − x > 0

⇔ x + 5 ≥ 0
⇔ −5 ≤ x < 1
 x + 5 < (1 − x) 2

Lập luận ở trên là sai vì khi x lấy giá trị trong R thì nhị thức bậc nhất (1 – x)
có thể âm, dương hoặc bằng 0. Ở vị trí của người giảng dạy chúng tôi đặt ra câu hỏi
là vì sao học sinh lại thực hiện phép biến đổi như trên? Hướng quan sát của mình
đến lời giải của bài toán : giải phương trình

x+5
= 1 , chúng tôi nhận thấy:
1− x

Điều kiện: 1 − x ≠ 0
x+5
=1 ⇔ x + 5 =1 − x
1− x
1 − x ≥ 0
⇔
⇔x=
4
2
 x + 5 = (1 − x)

Trong phương trình, để nhân biểu thức ở mẫu lên thì điều kiện là 1 − x ≠ 0 .
Khi đó, trong bất phương trình học sinh cũng nhân mẫu lên mà không quan tâm giá
trị âm, dương của biểu thức ở mẫu. Sai lầm trên sinh ra từ chỗ học sinh đã áp dụng


2

phép biến đổi tương đương các phương trình cho bất phương trình. Nhìn lại chương
trình và sách giáo khoa, điều khiến chúng tôi quan tâm là sự gắn kết của hai đối
tượng phương trình, bất phương trình, thể hiện qua những ghi nhận sau đây:
-

Về cách cấu tạo của chương trình toán phổ thông, phương trình luôn luôn
được đặt trước bất phương trình. Điều đó khiến chúng tôi tự hỏi : dạy học bất
phương trình thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học phương
trình

-

Ta biết rằng giữa phương trình và bất phương trình luôn có một sự tương
ứng. Chẳng hạn, nếu ta có bài toán giải phương trình dạng ax+b = c, thì
tương ứng ta cũng có bài toán giải bất phương trình dạng ax+b > c. Cũng
vậy, phương trình dạng log a x = b tương ứng với bất phương trình dạng

log a x > b . Hay phương trình
f ( x) > g ( x) ,

f ( x) = g ( x) , và các bất phương trình

f ( x) < g ( x) tương ứng với nhau. Giữa lời giải phương trình

và bất phương trình tương ứng có những nét tương tự, chúng tôi tự hỏi : phải
chăng đây là một trong những nguồn gốc sai lầm của học sinh ?
Hai câu hỏi xuất phát trên là lý do để chúng tôi chọn đề tài : “Dạy học các
phương trình và bất phương trình vô tỉ ở lớp 10”.
II. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Liên quan đến sai lầm của học sinh, didactic toán thừa nhận quan điểm :
không phải mọi sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện, mà có những sai lầm có thể dự
đoán trước. Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích,
nhưng không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng
quát hơn. Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi : ở đây, kiến thức
được xây dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương. Việc xây
dựng một kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ. Kiến thức cũ ấy
có thể dẫn đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp
tình huống nào đó. Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để


3

giải thích những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể, sai lầm có tính hệ thống
và có thể dự đoán trước : quan niệm, quy tắc hành động, hợp đồng dạy học.
Vấn đề là các quy tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học liên quan đến
đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế dạy học đối với
O. Tuy nhiên, không chỉ đơn giản như vậy. Chẳng hạn, để làm rõ quan niệm (liên
quan đến một đối tượng tri thức O) của học sinh ta có thể phải nghiên cứu trường
quan niệm của O. Đây là một khái niệm khó mà chúng tôi nghĩ là mình không đủ
khả năng để nghiên cứu. Giới hạn trong khuôn khổ quy tắc hành động, chúng tôi sẽ
nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình vô tỉ để
cố gắng dự kiến và giải thích những sai lầm mà ta có thể gặp ở học sinh.
 Thuyết nhân học

Quan hệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong didactic
toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) – mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri
thức O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O. Nó cho biết O xuất hiện ở
đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, ... trong I.
Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), là tập hợp
các tác động qua lại mà X có với O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao
tác O ra sao.
Trong thể chế I mà cá nhân X tồn tại và hoạt động, R(X,O) hình thành hay
thay đổi dưới các ràng buộc của R(I,O). Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ
phô bày công khai những gì làm với O mà cá nhân đánh giá là phù hợp với thể chế.
Câu hỏi mấu chốt là làm thế nào để nghiên cứu R(I,O) và R(X,O) ? Khái
niệm praxéologie là chìa khóa giúp trả lời câu hỏi này. Mỗi praxéologie là một bộ
tứ [T / τ / θ / Θ] , trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kĩ thuật τ , θ là
yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ thuật, Θ là yếu tố lí thuyết giải thích cho công
nghệ θ . Khi T là một kiểu nhiệm vụ của toán học thì praxéologie đó được gọi là
praxéologie toán học hay tổ chức toán học – OM. Các tổ chức toán học liên quan


4

đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định. Đồng
thời, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép hình dung
được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong
trong lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế.
 Qui tắc hành động
Qui tắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của học sinh. Một cách
cụ thể hơn, qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ
rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một
nhiệm vụ xác định.

Nếu như hợp đồng dạy học có nguồn gốc là quan hệ thể chế với đối tượng tri
thức mà ta đang bàn đến thì các quy tắc hành động lại được hình thành từ những
kiến thức địa phương đã từng có ích. Như vậy, các quy tắc đó có phạm vi hợp thức
của nó. Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài
phạm vi hợp thức (Những yếu tố cơ bản của Didactic toán (2009), tr 81)
Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố
nêu trên vào trong luận văn này. Trước hết cần xác định luận văn xem xét cùng lúc
2 đối tượng tri thức là O 1 - phương trình vô tỉ và O 2 - bất phương trình vô tỉ, I là thể
chế dạy học toán lớp 10, cá nhân X thâm nhập vào trong I ở vị trí học sinh.
Câu hỏi về sai lầm của học sinh đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O 1 ) và
R(X,O 2 ). Nhưng quan hệ của cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh
hưởng nhiều của quan hệ mà thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu
quan hệ R(I,O 1 ) và R(I,O 2 ) là điều cần thiết. Điều đó được thực hiện thông qua việc
nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến O 1 và O 2 . Việc xác định mối liên hệ
giữa các kĩ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt của các kĩ thuật giúp xác định được
đặc trưng của thể chế đối với việc dạy học O 1 và O 2 : thể chế quy định dạy những
gì liên quan đến hai đối tượng, và dạy như thế nào, ... Từ đó ta có thể tìm thấy
nguồn gốc của một số sai lầm của học sinh


5

III. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Với sự lựa chọn các yếu tố thích hợp của Didactic toán làm cơ sở lí luận,
luận văn này nghiên cứu tìm lời giải đáp cho vấn đề xuất phát đã đặt ra. Vấn đề đó
được cụ thể hóa bởi các câu hỏi sau đây:
CH1. Giữa hai đối tượng phương trình và bất phương trình vô tỉ có mối liên
hệ gì? Về định nghĩa và về kĩ thuật giải chúng có điểm gì giống và khác nhau?
CH2. Mối liên hệ trên có tác động gì vào dạy học các đối tượng này? Việc
dạy học chúng có ảnh hưởng lẫn nhau không? Nếu có thì đó là gì? Nó thể hiện như

thế nào trong thể chế dạy học toán lớp 10?
CH3. Về phía học sinh, ở bước chuyển từ phương trình vào bất phương trình
vô tỉ tồn tại những sai lầm nào? Đâu là nguồn gốc của những sai lầm đó ?
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi tiến hành phân tích các giáo trình Đại
số sơ cấp. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây cũng chính là cơ sở
tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo.
Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôi tiến hành nghiên
cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa. Và bằng cách phân
tích sâu vào sách giáo khoa, xem xét các kiểu nhiệm vụ, các kĩ thuật giải, chúng tôi
cố gắng chỉ ra sự gắn kết, tác động qua lại trong dạy học hai đối tượng phương trình
và bất phương trình vô tỉ để trả lời cho câu hỏi CH2. Nghiên cứu này sẽ được trình
bày trong chương 2. Chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách Toán 9 tập một và Đại số
10 nâng cao do nhóm tác giả Phan Đức Chính và nhóm tác giả Đoàn Quỳnh làm
tổng chủ biên. Trong đó, việc phân tích bộ sách Toán 9 tập một nhằm phục vụ cho
mục tiêu xem xét những kiến thức đã được học ở cấp THCS về đối tượng vì tri thức
được xây dựng có tính chất kế thừa.


6

Câu hỏi CH3 sẽ được làm sáng tỏ từ những kết quả phân tích ở chương 2.
Tính thỏa đáng của giả thuyết về sai lầm của học sinh được khẳng định qua một
thực nghiệm dưới hình thức kiểm tra viết được đặt trong chương 3.
Phần kết luận, chúng tôi trình bày những gì đã đạt được trong luận văn.


7

CHƯƠNG 1. MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ PHƯƠNG

TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Mở đầu
Mục đích của chương này là làm sáng tỏ các vấn đề mà câu hỏi CH1 đã nêu ra :
-

Giữa phương trình và bất phương trình có sự liên hệ, gắn kết với nhau như
thế nào?

-

Ngoài những liên hệ như trên, riêng hai đối tượng phương trình và bất
phương trình vô tỉ còn có những đặc trưng gì thể hiện sự gắn kết giữa chúng?
Cụ thể là về định nghĩa, về kĩ thuật giải có những điểm gì giống và khác
nhau?
Các kiến thức về phương trình và bất phương trình có thể tìm thấy trong các

giáo trình về Đại số sơ cấp. Ở đây, phân tích của chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu
sau:
-

Hoàng Kỳ (chủ biên), Hoàng Thanh Hà (2009), Đại số sơ cấp và thực hành
giải toán.
Lí do mà chúng tôi lựa chọn quyển trên đây để phân tích là vì nó trình bày

các vấn đề lý thuyết và thực hành giải toán liên quan đến hai đối tượng nghiên cứu
khá đầy đủ và đây là sách viết cho dự án đào tạo giáo viên THCS.
1.1. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 Về khái niệm phương trình, bất phương trình
Quyển (Hoàng Kỳ, 2009, tr 243) giới thiệu khái niệm phương trình :
“ Cho hai hàm số của n biến phức x 1 , x 2 ,... x n là f(x 1 , x 2 , ... x n ) và g(x 1 , x 2 , ... x n ). Ta gọi

tập hợp n số phức x = (x 1 , x 2 , ... x n ) ∈ C n là một điểm trong không gian phức n chiều. Khi
đó các hàm số của f(x 1 , x 2 , ... x n ) và g(x 1 , x 2 , ... x n ) được xem là các hàm một biến f(x) và


8

g(x) trong C n . Giả sử f(x) có miền xác định là D1 ⊂ C n , g(x) có miền xác định là
D2 ⊂ C n .

Ta định nghĩa phương trình
f(x) = g(x) (1)
là kí hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f(x) và g(x) là bằng nhau”.
... Thay cho trường C, ta có thể lấy một trường số K bất kì (có thể là Q, R) làm trường cơ
sở... ”

Đối với bất phương trình, (Hoàng Kỳ, 2009, tr 325) đưa vào định nghĩa
“Cho hai hàm số f(x) và g(x), với x ∈ R n , f ( x) ∈ R , g ( x) ∈ R trong đó f(x) có miền xác
định là P ⊆ R n và g(x) có miền xác định là Q ⊆ R n và cả hai hàm số được xét trong miền
xác định chung S= P ∩ Q .
Bất phương trình f(x) > g(x) là kí hiệu của hàm mệnh đề: “ giá trị của f(x) lớn hơn giá trị
của g(x)”
... Hoàn toàn tương tự như trên ta định nghĩa được các bất phương trình:

f(x) < g(x),

f ( x) ≤ g ( x), f ( x) ≥ g ( x) .”

Như vậy, các khái niệm phương trình và bất phương trình đều định nghĩa dựa vào
hàm mệnh đề. Ngoài sự khác biệt về miền xác định của các hàm số thì hai định
nghĩa chỉ khác nhau ở dấu bằng và dấu bất đẳng thức.

Đối với các khái niệm có liên quan đến phương trình, tác giả trình bày các khái
niệm về ẩn, miền xác định, nghiệm, giải phương trình, các trường hợp có thể xảy ra
khi giải phương trình. Chẳng hạn
“Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến x 1 , x 2 ,... x n trong
không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x 1 , x 2 ,... x n . Tập các giá trị thừa nhận được
của các đối số được gọi là miền xác định (tập xác định) của phương trình (1), đó là tập
=
S D1 ∩ D2

Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f(a) và g(a) là một đẳng thức đúng thì a được gọi là một nghiệm
của phương trình (1),...
Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:
1)

Phương trình vô nghiệm: không có giá trị a nào của S sao cho f(a) và g(a) bằng
nhau


9

2)

Phương trình hằng đẳng trên S: bất kì giá trị a nào của S cũng thỏa mãn phương
trình

3)

Có ít nhất 1 giá trị a ∈ S thỏa mãn phương trình
Trong 2 trường hợp 2) và 3) ta nói phương trình có nghiệm... ”

Các khái niệm có liên quan đến phương trình được trình bày chi tiết, đầy đủ.
Trong khi đó, tác giả chỉ đưa ra khái niệm nghiệm sau khi định nghĩa bất phương
trình. Thuật ngữ miền xác định của bất phương trình có xuất hiện trong định nghĩa
bất phương trình, nhưng sau đó không được xem xét lại. Khái niệm này được hiểu
thông qua miền xác định của hàm số với một sự khác biệt cơ bản : trong trường hợp
phương trình, miền xác định của hàm số f(x), g(x) có thể là một tập con của C,
nhưng chỉ là tập con của R đối với các bất phương trình. Chúng ta biết rằng nguyên
nhân là trong C không có quan hệ sắp thứ tự. Sự khác biệt này không được cuốn
sách nói rõ. Sự khác biệt này cũng không được nói đến một cách tường minh khi
cuốn sách đưa vào khái niệm nghiệm của bất phương trình. Có thể hiểu rằng quyển
này thừa nhận các khái niệm có liên quan đến phương trình có thể chuyển qua cho
bất phương trình, không trình bày lại.
 Về các phép biến đổi phương trình, bất phương trình:
• Các định nghĩa
Về khái niệm phương trình tương đương, phương trình hệ quả, ta tìm thấy
định nghĩa sau trong cuốn sách (Hoàng Kỳ, 2009, tr 248-249)
“ Để cho gọn, ta viết P 1 (x), P 2 (x) để chỉ hai phương trình
Định nghĩa 1. P 2 (x) được gọi là hệ quả của P 1 (x) trên S nếu tập nghiệm M 1 của P 1 (x) là
tập con của tập nghiệm M 2 của P 2 (x),
M1 ⊆ M 2 .

Ta kí hiệu P1 ( x) ⇒ P2 ( x) (trên S). ...
Định nghĩa 2. P 1 (x) và P 2 (x) được gọi là tương đương nếu M 1 = M 2 . Nói khác đi, P 1 (x) và
P 2 (x) là tương đương trên S khi và chỉ khi P 1 (x) và P 2 (x) là hệ quả của nhau.
Ta kí hiệu bởi: P1 ( x) ⇔ P2 ( x) ... ”


10

Ta thấy ngay sự tương đương của các phương trình vừa định nghĩa có các

tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Quan hệ tương đương được định nghĩa ở trên
thỏa mãn các tính chất của một quan hệ tương đương trên tập tất cả các phương
trình.
Về sự tương đương giữa các bất phương trình, quyển này đã trình bày :
“ Khái niệm tương đương đã phát biểu cho các phương trình cũng được mở rộng ra cho các
bất phương trình: “Các bất phương trình được gọi là tương đương nếu các tập nghiệm của
chúng bằng nhau”
Khái niệm hệ quả cũng mở rộng cho các bất phương trình. Hai bất phương trình là tương
đương khi và chỉ khi bất phương trình này là hệ quả của bất phương trình kia và ngược lại.”

Do khái niệm tương đương, hệ quả đã phát biểu cho phương trình được mở
rộng ra cho bất phương trình nên phần này được trình bày khá ngắn gọn. Đặc biệt,
khái niệm bất phương trình hệ quả là không được trình bày mà được hiểu là tương
tự như trong phương trình, thừa hưởng của phương trình.
• Các định lí về phép biến đổi phương trình, bất phương trình :
Để xác định sự tương đương của các phương trình thì (Hoàng Kỳ, 2009, tr
250-252) đưa ra các định lí về phép biến đổi tương đương. Trước đó tác giả có giải
thích thế nào là biến đổi tương đương như sau:
“ Quá trình giải một phương trình là quá trình biến đổi phương trình đó để đi đến một
phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải. Nếu các phép biến đổi không làm thay
đổi tập nghiệm của phương trình thì phương trình đã cho đã được biến đổi tương đương,
còn nếu thay đổi miền xác định của phương trình thì có thể tập hợp nghiệm cũng đã bị thay
đổi. Muốn biết rõ hơn, ta dựa vào các định lí sau:
Định lí 1. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu h(x) có nghĩa trong miền xác định của phương
trình đã cho thì: f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) .
Định lí 2. Cho phương trình f(x) = g(x). Nếu biểu thức h(x) có nghĩa và khác không trong
miền xác định của phương trình đã cho thì: f ( x) =
g ( x) ⇔ f ( x).h( x) =
g ( x).h( x)
Định lí 3: Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì ta được một

phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường số thực).


11

Nếu ta nâng 2 vế của phương trình trên R lên một lũy thừa bậc chẵn thì nói chung ta chỉ
được phương trình hệ quả của phương trình đã cho mà không được phương trình tương
đương. ”

Để thuận tiện chúng tôi gọi phép biến đổi nêu trong định lí 1 là phép biến đổi
cộng, nêu trong định lí 2 là phép biến đổi nhân. Khi thực hiện phép biến đổi cộng
cần chú ý biểu thức h(x) phải có nghĩa trong miền xác định của phương trình. Khi
thực hiện phép biến đổi nhân thì còn phải lưu ý thêm điều kiện h( x) ≠ 0 .
Điều đáng chú ý là ở định lý 3 người ta chỉ nói đến phép biến đổi tương
đương trên trường số thực R (trong khi tập xác định của các phương trình có thể
rộng hơn R). Lý do nằm ở chỗ : trong R, mỗi số thực chỉ có một căn bậc lẻ duy
nhất, nên nếu nâng hai vế của phương trình lên lũy thừa bậc lẻ ta được một phương
trình tương đương. Nhưng điều đó không đúng nữa trong tập số phức C (lúc này ta
cũng chỉ được phương trình hệ quả như trường hợp nâng lên lũy thừa bậc chẵn).
Với các số thực dương thì ngay cả trong R cũng đã có hai căn bậc chẵn đối dấu, nên
nếu nâng hai vế của phương trình lên lũy thừa bậc chẵn ta thường chỉ được một
phương trình hệ quả.
Ta thấy ở đây vai trò quan trọng của tập xác định. Nếu ý thức rõ điều này, có
thể người ta sẽ tránh được một số sai lầm khi chuyển kĩ thuật giải phương trình vào
áp dụng cho bất phương trình.
Khi trình bày các định lí về biến đổi tương đương trong bất phương trình,
quyển (Hoàng Kỳ, 2009, tr 326) có nêu : “Đối với các bất phương trình tương
đương, ta có các định lí sau, tương tự như các định lí về phương trình tương
đương, với sự thay đổi ít nhiều khi cần thiết”. Từ đó quyển này trình bày các định
lí,

“ Ta kí hiệu các bất phương trình là f < g, f > g, ... mà không ghi tên các ẩn để cho gọn, và
có thể hiểu là một ẩn hoặc nhiều ẩn. ...
Định lí 2. f > g ⇔ f + h > g + h
( h có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình đã cho)


12

 f .h > g .h
 f .h < g .h
Định lí 3. f > g ⇔ 
hoặc 
h > 0
h < 0

Trong bất phương trình ta cũng có các phép biến đổi cộng và nhân tương tự
như trong phương trình. Để thực hiện phép biến đổi cộng điều cần lưu ý là h(x) phải
có nghĩa trong miền xác định của bất phương trình, chiều của bất phương trình
không đổi. Do vậy phép biến đổi cộng trong phương trình và trong bất phương trình
là hoàn toàn giống nhau. Điểm phải lưu ý là phép biến đổi nhân trong bất phương
trình cần phải xác định giá trị của h(x) là dương hay âm chứ không phải chỉ là điều
kiện h( x) ≠ 0 như phép biến đổi nhân trong phương trình. Nếu h(x) > 0 thì khi nhân
vào dấu của bất phương trình không đổi chiều. Trong trường hợp này phép biến đổi
nhân trong bất phương trình và trong phương trình là giống nhau. Nếu h(x) < 0 thì
khi nhân vào dấu của bất phương trình bị đổi chiều. Đây chính là điểm khác biệt
giữa hai phép biến đổi.
Kết luận:
Các khái niệm và định lí về bất phương trình có nhiều điểm tương tự với
phương trình. Trong nhiều trường hợp chỉ cần thay từ “phương trình” bởi từ “bất
phương trình”, dấu “=” bởi dấu “<” hoặc “>” là thu được kết quả. Sự khác biệt

sinh ra từ chỗ tập xác định của phương trình có thể rộng hơn R, trong khi điều đó
không thể được đối với bất phương trình. Việc không tính đến sự khác nhau giữa C
và R về quan hệ thứ tự và phép khai căn có thể là nguồn gốc của một số sai lầm gặp
ở học sinh khi chuyển các kĩ thuật giải phương trình vào bất phương trình.
1.2. SỰ GẮN KẾT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ
TỈ
 Về định nghĩa
Từ định lí về phép biến đổi cộng trong phương trình (bất phương trình) ta có
hệ quả là mọi phương trình (bất phương trình) đều có thể đưa về dạng f(x) = 0


13

(f(x) < 0). Sử dụng hệ quả này trong định nghĩa phương trình và bất phương trình
vô tỉ, tác giả Hoàng Kỳ đã viết:
Định nghĩa. Ta gọi là phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
Hay nói khác đi, đó là một phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ
(có chứa căn thức của biến số);... (Hoàng Kỳ, 2009, tr 276)
Định nghĩa. Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có dạng f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0)
trong đó f(x) là một hàm số vô tỉ của x. (Hoàng Kỳ, 2009, tr 340)

Hai định nghĩa trên về hình thức là đồng nhất, giống nhau:
+ Dạng phương trình là f(x) = 0, dạng bất phương trình là f(x) > 0 (hoặc
f(x) < 0).
+ Vế trái của phương trình, bất phương trình: f(x) là một hàm số vô tỉ.
 Về các định lí biến đổi phương trình và bất phương trình vô tỉ
Cung cấp lí thuyết để thực hiện các phép biến đổi khi giải phương trình vô tỉ,
tác giả Hoàng Kỳ phát biểu các định lí sau, trên trường số thực
Định lí 1.

2 k +1

f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g 2 k +1 ( x)

 f ( x) = g 2k ( x)
Định lí 2. 2k f=
( x) g ( x) ⇔ 
 g ( x) ≥ 0

Định lí 3.

2 k +1

)
f ( x=

Định lí 4. 2 k=
f ( x)

2 k +1

2k

) g ( x)
g ( x) ⇔ f ( x=

 f ( x) = g ( x)
 f ( x) = g ( x)
hoặc 
g ( x) ⇔ 

 f ( x) ≥ 0
 g ( x) ≥ 0

Các định lí này chính là hệ quả của ba định lý tổng quát nêu trên, và được
chứng minh dựa vào tính chất của căn số. Chúng tôi chú ý đến định lí 1 và 2. Cùng
thực hiện thao tác nâng lũy thừa hai vế của phương trình, khi nâng lũy thừa bậc lẻ ta
có ngay phương trình tương đương; nhưng nâng lũy thừa bậc chẵn ta chỉ được
phương trình hệ quả, phải thêm vào điều kiện g ( x) ≥ 0 ta mới có phương trình
tương đương.


14

Để giải bất phương trình vô tỉ, trên trường số thực, quyển này cũng đưa ra
các định lí về biến đổi tương đương để làm mất dấu căn thức:
Định lí 1.

2 k +1

f ( x) ≥ g ( x) ⇔ f ( x) ≥ g 2 k +1 ( x)

Định lí 2.

2k

  f ( x) ≥ 0

 g ( x) < 0
f ( x) ≥ g ( x) ⇔ 
 f ( x) ≥ g 2 k ( x)


  g ( x) ≥ 0

Định lí 3.

2 k +1

f ( x) ≤ g ( x) ⇔ f ( x) ≤ g 2 k +1 ( x)

Định lí 4.

2k

 f ( x) ≥ 0

f ( x) ≤ g ( x) ⇔  g ( x) ≥ 0

2k
 f ( x) ≤ g ( x)

Tương ứng với dạng phương trình vô tỉ
trình vô tỉ là

n

f ( x) ≤ g ( x) và

n

n

f ( x) = g ( x) có 2 dạng bất phương

f ( x) ≥ g ( x) . Và cũng tương tự như phép biến đổi

trong phương trình, để giải hai bất phương trình trên cần thực hiện phép nâng lũy
thừa để bỏ dấu căn. Trong các định lí 1 và 3, nâng lũy thừa bậc lẻ hai vế của bất
phương trình ta có ngay bất phương trình tương đương. Phép nâng lũy thừa bậc
chẵn trong các định lí 2 và 4 đòi hỏi phải có thêm một số điều kiện để có bất
phương trình tương đương, cụ thể là các điều kiện f ( x) ≥ 0 và g ( x) ≥ 0 . Các hệ
hoặc tuyển các hệ là các trường hợp có thể xảy ra và theo định nghĩa, quy ước về
dấu của căn số.
Tóm lại, khi thực hiện các phép biến đổi trong phương trình và bất phương
trình vô tỉ trên trường số thực cần lưu ý:
+ Đặt các điều kiện để đảm bảo biểu thức trong căn bậc chẵn (nếu có) phải không
âm, và dấu

2k

để chỉ căn số số học nên cũng phải không âm.

+ Đối với căn bậc lẻ thì không cần điều kiện gì cho căn thức.


15

CHƯƠNG 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ VỀ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Mở đầu
Trên cơ sở tham chiếu những kết quả nghiên cứu ở chương 1, trong chương này

chúng tôi cố gắng tìm lời giải đáp cho các câu hỏi sau:
- Trong thể chế được xem xét, phương trình và bất phương trình vô tỉ tồn tại
ra sao ?
- Về phía học sinh, khi thao tác trên hai đối tượng này liệu họ có thể phạm sai
lầm gì hay không? Sai lầm đó có nguồn gốc từ đâu?
Muốn vậy, việc nghiên cứu thể chế gắn với 2 đối tượng quan sát là rất cần
thiết. Cụ thể trong quá trình tiến hành phân tích chương trình và SGK toán phổ
thông hiện hành chúng tôi cố gắng tìm hiểu sự gắn kết và sự tác động qua lại trong
việc dạy học 2 đối tượng. Dù đã xác định cấp lớp để nghiên cứu là lớp 10 nhưng do
tri thức được xây dựng có tính kế thừa qua các cấp học nên cũng cần thiết phải nhìn
lại những gì mà học sinh đã được trang bị ở trước thời điểm lựa chọn nghiên cứu,
quan sát. Cụ thể, do đối tượng phương trình, bất phương trình vô tỉ được xây dựng
trên cơ sở phép khai căn được trình bày ở lớp 9 nên trước hết chúng tôi sẽ nhìn lại
chương trình và sách giáo khoa ở lớp này.

2.1. LƯỚT QUA CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK TOÁN LỚP 9
Các kết quả được trình bày trong phần này dựa trên việc phân tích các quyển sau:
Sách giáo khoa Toán 9 tập một,

kí hiệu

GK9

Sách bài tập Toán 9 tập một

BT9

Sách giáo viên Toán 9 tập một

GV9

16

2.1.1. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán 9
Ở lớp 9 học sinh được tìm hiểu về căn thức (bậc 2 và bậc 3) ngay trong
chương 1 với thời lượng giảng dạy là 17 tiết. Các vấn đề liên quan đến căn bậc 3 chỉ
được giảng dạy trong 1 tiết. Nội dung trọng tâm là giảng dạy căn bậc hai. Điều cần
lưu ý khi dạy học chương này là:
“Các phép biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai luôn gắn với điều kiện có nghĩa (điều
kiện xác định) của biểu thức. Đây là một vấn đề khó và phức tạp đối với học sinh, bởi vì
việc tìm điều kiện xác định thường gắn với giải hệ bất phương trình và phương trình mà
đến cấp THPT mới được học. Do vậy yêu cầu xem xét điều kiện của biểu thức chỉ dừng ở
mức độ cho học sinh hiểu. Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chữ
đều cho trước điều kiện của chữ. Các điều kiện này đôi khi hẹp hơn điều kiện xác định của
biểu thức. ...” , theo [GV9, tr 14].

Hai trong những mục tiêu cần đạt được của chương 1 nêu trong GV9 là:
-

Biết được liên hệ của phép khai phương với phép bình phương. Biết dùng liên hệ này
để tính toán đơn giản và tìm một số nếu biết bình phương hoặc căn bậc hai của nó.

-

Nắm được liên hệ giữa quan hệ thứ tự với phép khai phương và biết dùng liên hệ này
để so sánh các số. [GV9, tr 13]

Theo đó, không có bài nào hay đề mục nào giới thiệu rõ ràng về phương trình và bất
phương trình vô tỉ. GK9 đã lồng ghép giảng dạy hai đối tượng này vào trong bài

toán: Tìm số x biết x thỏa một điều kiện cho trước liên quan đến căn bậc 2. Hay nói
khác đi, các phương trình và bất phương trình vô tỉ chưa phải là một đối tượng được
chính thức “gọi tên” trong chương trình toán lớp 9, căn thức mà học sinh làm việc
chính yếu là căn thức bậc 2.
2.1.2. Phương trình, bất phương trình vô tỉ trong SGK toán lớp 9
• Về phương trình vô tỉ:
Như vừa nói trên, vấn đề giải các phương trình, bất phương trình vô tỉ tồn tại
trong GK9 dưới dạng bài toán “ tìm số x biết x thỏa một điều kiện cho trước liên
quan đến căn bậc 2”. Trước tiên, GK9 nhắc lại định nghĩa căn bậc 2,


17

Ở lớp 7, ta đã biết:
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a. [GK9, tr 4]

Theo định nghĩa đó, mỗi số dương a có hai căn bậc 2. Tiếp theo, GK9 đưa vào định
nghĩa căn bậc hai số học
ĐỊNH NGHĨA
Với số dương a, số

a được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Ví dụ 1. Căn bậc hai số học của 16 là
Căn bậc hai số học của 5 là

16(= 4)

5

 Chú ý. Với a ≥ 0 , ta có:
Nếu x = a thì x ≥ 0 và x 2 = a
Nếu x ≥ 0 và x 2 = a thì x = a [GK9, tr 4]

Theo [GV9, tr 15] thì chú ý này là cơ sở để giải phương trình dạng

x = a và một

số phương trình quy về dạng đó, chẳng hạn như phương trình 2 x = 14 .
Ví dụ 1: [GK9, bài 4 /tr 7]
Tìm số x không âm, biết

x = 15

Giải
Từ chú ý về căn bậc 2 số học, ta có x = 152
Vậy x = 225
Ví dụ trên đã đưa vào một tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ


Tpt (pt : phương trình) : Tìm x, biết rằng f(x)≥ 0 và f(x) = a
τ ltpt : Nâng lũy thừa (lt)

Nếu a < 0 thì kết luận không có x thỏa yêu cầu bài toán
Nếu a ≥ 0 ,
+ Bình phương 2 vế được phương trình f(x) = a2
+ Giải phương trình trên tìm x

18

θltpt : Yếu tố công nghệ lý thuyết chính là chú ý mà chúng tôi vừa trích dẫn ở

trên.
Trong ví dụ 1 học sinh không cần đặt điều kiện để căn thức có nghĩa vì điều
kiện đã được cho trước, thêm vào đó hằng số a = 5 là không âm nên khi giải chỉ cần
bình phương lên là tìm được nghiệm. Khảo sát những câu hỏi được cho ứng kiểu
nhiệm vụ này trong GK9, BT9 thì điều kiện của biểu thức dưới dấu căn f(x) hoặc
được cho trước, hoặc không cần kiểm tra vì nghiệm x tìm được luôn làm cho f(x)
không âm, điều này thể hiện đúng theo những lưu ý khi dạy học chương 1 mà chúng
tôi đã nêu ở phần trên. Đối với hằng số a trong phương trình, hầu hết được cho
không âm; trường hợp a < 0 là rất ít, chỉ chiếm 3/23 câu. Do vậy, đối với kiểu
nhiệm vụ này học sinh có thể quên đi việc kiểm tra không âm khi bình phương 2 vế.
Một kiểu nhiệm vụ khác được xem xét qua ví dụ sau :
Ví dụ 2 : [BT9, bài 17/ tr 8]
Tìm x, biết

2
9 x=
2x + 1

Giải
Vì

9 x 2 = 3 x nên để tìm x thỏa mãn

2
9 x=
2 x + 1 ta đưa về tìm x thỏa mãn

3=
x 2 x + 1 tức là tìm nghiệm của phương trình
3=
x 2 x + 1 (1)
Ta xét hai trường hợp :
+ Khi 3 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 , ta giải phương trình 3=
x 2x + 1
Ta có 3 x = 2 x + 1 ⇔ x = 1 .
Giá trị x =1 thỏa mãn x ≥ 0 nên x =1 là một nghiệm của phương trình (1).
+ Khi 3 x < 0 ⇔ x < 0 , ta giải phương trình −3 x = 2 x + 1
Ta có −3 x =2 x + 1 ⇔ x =−

1
5


19

Giá trị x = −

1
1
thỏa mãn x < 0 nên x = − là một nghiệm của phương trình
5
5

(1).
Tổng hợp hai trường hợp trên, ta thấy hai giá trị x 1 =1 và x2 = −

1
là các
5

nghiệm của phương trình (1).
Vậy các giá trị cần tìm là x 1 =1 và x2 = −

1
.
5

Ta xác định được ở đây một kiểu nhiệm vụ, đó là :

( f ( x) )

pt
Th®t
(hđt: hằng đẳng thức) : Tìm x sao cho



2

= g ( x) .

Kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ này là
pt
τ h®t
: +Biến đổi

( f ( x) )

2

=g ( x) ⇔ f ( x) =g ( x)

+ Giải phương trình trên tìm nghiệm x
pt
θ h®t
: Hằng đẳng thức

A2 = A và tính chất của trị tuyệt đối

Kiểu nhiệm vụ này được đưa vào nhằm củng cố, vận dụng hằng đẳng thức
A2 = A nên đặc trưng biểu thức dưới dấu căn luôn có dạng ( f ( x) ) được GK9 đảm
2

bảo. Như chúng tôi đã trình bày trong phần 2.1.1 thì vấn đề tìm điều kiện xác định
của biểu thức dưới dấu căn là vấn đề khó mà đến cấp THPT mới được học nên GK9
đã lựa chọn kĩ thuật “hằng đẳng thức” là duy nhất để giải phương trình vô tỉ dạng
này.
• Về bất phương trình vô tỉ
Sau khi trình bày định nghĩa, tính chất về mối liên hệ của phép khai phương
với quan hệ thứ tự được nêu qua định lí
ĐỊNH LÍ
Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔

a < b [GK9, tr 5]

20

Theo [GV9, tr 15] thì tính chất này không những là cơ sở cho giải toán so
sánh các số thông qua so sánh căn bậc hai số học mà còn là cơ sở cho giải toán về
bất đẳng thức, bất phương trình chứa căn bậc hai. Cụ thể, bài toán tìm x sao cho
f(x) < a (hoặc

f ( x) ≤ a ,

f ( x) > a ;

f ( x) ≥ a ) đã được nhắc đến.

Ví dụ 3: [GK9, Hoạt động 5/tr 6]
Tìm số x không âm, biết

x >1

Giải
1 = 1 , nên

x > 1 có nghĩa là

Với x ≥ 0 , ta có

x > 1.

x > 1 ⇔ x > 1 . Vậy x >1

Điều đáng lưu ý là đối với các bất phương trình dạng

f ( x) < a (hoặc

f ( x) > a; f ( x) ≤ a; f ( x) ≥ a ) thì điều kiện của f(x) luôn được cho trước, hằng
số a trong bất phương trình luôn luôn không âm, và để tìm x học sinh chỉ cần bình
phương 2 vế lên, giải bất phương trình f(x) < a2 tìm x và kết hợp lại với điều kiện
của x ở đề bài để kết luận nghiệm.
Như vậy, ta xác định được ở đây kiểu nhiệm vụ tương ứng với kĩ thuật giải như sau:
 Tbpt (bpt : bất phương trình) : Tìm x sao cho

f(x) < a , biết rằng f(x) ≥ 0

và a ≥ 0.
Từ bài toán trên chúng tôi ghi nhận kiểu nhiệm vụ sau đây:
τ ltbpt : Nâng lũy thừa

+ Biến đổi

f ( x) < a ⇔

f ( x) < a 2 ⇔ f ( x) < a 2

+ Giải bất phương trình trên tìm nghiệm x
+ Kết hợp điều kiện kết luận nghiệm x
θltbpt : Định lí về so sánh các căn bậc 2 số học [GK9, tr 5]

Chúng tôi thống kê lại 3 kiểu nhiệm vụ đã xét ở trên cùng với số bài tập được
cho: