một nghiên cứu didactic về dạy và học phân số ở bậc tiểu học lào
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (846.47 KB, 65 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Saysopha Vatthana
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Saysopha Vatthana
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở
BẬC TIỂU HỌC LÀO
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người Hướng Dẫn Khoa Học
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành cảm ơn, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại
học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôi những tri
thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức Didactic Toán và hợp đồng
Didactic Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành Luận văn
đúng thời hạn.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh,
Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ - sau đại học trường Đại học sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian
học tập, nghiên cứu và làm Luận văn.
Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy, hướng
dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành “ Lý luận và phương pháp dạy học
môn bộ Toán ”.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp học Didactic Toán
trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thì giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiều khiếm
khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để
Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn.
TÁC GIẢ
SAYSOPHA VATTHANA
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
I.
Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1
II. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 2
III. Khung lý thuyết tham chiếu ........................................................................................ 2
IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2
CHƯƠNG I ................................................................................................................ 3
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT
NAM 3
I.
Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam ..................................... 3
II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học......................................... 5
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học ................................ 5
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng ............. 20
III. Kết luận chương I ...................................................................................................... 25
CHƯƠNG 2. ............................................................................................................ 26
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ ........................................................................................ 26
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO .................................................... 26
I.
Nội dung sách giáo khoa Lào .................................................................................... 26
II. Kết luận chương II ..................................................................................................... 44
CHƯƠNG III ........................................................................................................... 45
THỰC NGHIỆM ..................................................................................................... 45
I. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................................... 45
II. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................................... 45
III. Phân tích tiên nghiệm................................................................................................. 46
IV. Phân tích hậu nghiệm................................................................................................. 56
1.
Mô tả thực nghiệm ..................................................................................... 56
2.
Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm ................................................ 56
V. Kết luận chương III .................................................................................................... 59
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 61
0
MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ
HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Phân số chiếm một vi trí quan trọng trong chương trình toán ở trường tiểu
học và là kiến thức không thể thiếu được trong đời sống. Tuy nhiên thực tế dạy
học chỉ ra rằng, trong các đối tượng tri thức gắn liền với phân số như các phép
tính phân số, so sánh phân số luôn đặt ra những khó khăn cho học sinh.
Chẳng hạn :
-
2 2
5 3
2 1 3
khi cộng hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện
5 3 8
khi so sánh hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện
Như vậy, việc nghiên cứu về dạy học phân số ở trường tiểu học trở nên thực
sự cần thiết, vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá
trình truyện thụ tri thức gắn liền với phân số, phép tính các loại phân số, và như
vậy những khó khăn của học sinh trong việc học tập khái niệm này.
Ở nước Lào dã có những chiến lược đổi mới chương trình, nội dung giáo
dục và phương pháp giảng dạy cho giáo viên. Nhưng trong chương trình hiện
tại thì chương trình SGK vẫn đang trong giai đoạn triển khai biên soạn và thử
nghiệm.
Chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu về đối tượng phân số đặc biệt là
phép tính và so sánh phân số sẽ cho hiểu rõ hơn điều kiện và ràng buộc trên đối
tượng này trong thể chế dạy học tiểu học Lào.
Vì vậy, việc nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi học về phân số
là điều cần thiết. không những giải thích được thực tế dạy học các phân số và
cải thiện việc dạy này mà cung cấp những hiểu biết sư phạm về đối tượng này
cho nhà soạn chương trình và viết sách, nhất là trong bối cảnh đổi mới sách
giáo khoa Lào hiện nay.
1
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài này là nghiên cứu sách giáo khoa bậc tiểu học của
nước Lào, về việc giảng dạy và học về phân số, tài liệu hướng dẫn của giáo
viên, một số tài liệu khác và quan trọng nhất là thực tế giảng dạy phân số ở bậc
tiểu học để trả lời những câu hỏi sau đây:
1. Phân số đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán
tiểu học ở những lớp nào? Phân số được giới thiệu trong chương trình
sách giáo khoa bậc tiểu học như thể nào ?
2. Những sai lầm thường gặp của học sinh Lào khi học về phân số ?
Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào ?
3. Làm thể nào để khắp phục những khó khăn đó ?
III. Khung lý thuyết tham chiếu
Cơ sở lý luận của luận văn này chủ yếu đựa vào:
Lý thuyết nhân chủng học.
Hợp động Đidactic
Lý thuyết tình huống
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:
Tổng kết về mối quan hệ thế chế với đối tượng phân số đã được nghiên cứu
ở Việt Nam.
Phân tích chương trình sách giáo khoa toán và các tài liệu của giáo viên về
việc giảng dạy phân số bậc tiểu học của nước Lào. Nhằm xác định mối quan
hệ của thế chế với đối tượng phân số. Phân tích này sẽ cho phép thấy rõ các
ràng buộc thế chế và hợp đồng thế chế liên quan đến việc giảng dạy phân
số.
Xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm nghiên cứu ứng xử và khó
khăn của học sinh trong việc học phân số.
2
CHƯƠNG I
ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU
HỌC VIỆT NAM
Trong chương này chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của
Dương Hữu Tòng (2012)
I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam
Giáo trình Đỗ Đình Hoan đề cập các nội dung sau :
* Hình thành khái niệm phân số
Ở Tiểu học, khái niệm phân số được xây dựng theo hướng sau: số biểu
thị một cặp số tự nhiên(a, b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị
và a chỉ số phần bằng nhau lấy ra, được rồi là phân số. Số đó được biểu diễn
dưới dạng
Ở SGK Toán 4 còn giới thiệu còn nêu lên mối quan hệ giữa khái niệm
phân số với phép chia hai số tự nhiên. Như vậy, bao giờ cũng có thể dùng phân
số để ghi lại kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0.
Điều này cho phép coi một số tự nhiên là phân số có mẫu số là 1.
a
b
Việc xây dựng số mới có dạng = (b ≠ 0 ) như trên làm cho các phương
trình có dạng b × x= a ( b≠ 0) luôn luôn có nghiệm.
* Tính chất cơ bản của phân số
Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số:
- “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một
số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho”
- “Nếu ta nhân hay chia số bị chia và số chia của một phép chia với cùng
một số tự nhiên khác 0 thì giá trị của thương vẫn không thay đổi”.
* Rút gọn phân số
Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm ước số, ước số chung,
ước số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Rút gọn phân số” được mô
hình như sau:
3
c a
=
a
c
Phân số đã cho là . Phân số phải tìm
sao cho: d b
b
d
c < a và d < b
* Qui đồng mẫu số các phân số
Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm bội số, bội số chung, bội
số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Qui đồng mẫu số các phân số”
được mô hình như sau:
Các phân số đã cho là
cho:
a c
m n
sao
= . Các phân số được qui đồng là và
b d
p
p
a m
c n
= mà a < m và b < p;
= mà c < n và d < p.
d p
b p
Chú ý: Việc qui đồng mẫu số các phân số chỉ tiến hành trên các phân số
có mẫu số bé hơn hoặc bằng 10.
• So sánh các phân số
• So sánh hai phân số cùng mẫu số
Nhờ phương tiện trực quan, việc so sánh hai phân số được quy về việc
so sánh hai tử số như cách so sánh hai số tự nhiên.
* So sánh phân số với 1
Viết số 1 thành phân số có tử số và mẫu số đều bằng mẫu số của phân
số, rồi so sánh hai phân số có cùng mẫu số. Nhưng ì tử số của phân số biểu thị
số 1 bằng mẫu số của phân số đã cho, nên việc so sánh phân số với 1 được quy
về so sánh tử số với mẫu số của phân số đã cho.
* So sánh hai phân số khác mẫu số
- Hướng giải quyết:
+ Qui đồng mẫu số hai phân số đã cho.
+ So sánh hai phân số cùng mẫu số đã qui đồng (so sánh hai tử số).
Từ đó rút ra kết luận về so sánh hai phân số đã cho.
Cộng trừ hai phân số
Giáo trình đề cập như sau:
- Cộng hai phân số cùng mẫu số. Tổng nhiều phân số cùng mẫu số. Tổng
của số tự nhiên và phân số, hoặc tổng của phân số và số tự nhiên.
4
- Cộng hai phân số khác mẫu số.
- Trừ hai phân số cùng mẫu số, trừ hai phân số khác mẫu số, số tự nhiên
trừ đi phân số, phân số trừ đi số tự nhiên.
Nhân hai phân số
Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép nhân phân số với số tự nhiên,
trên cơ sở đó chuyển thành phép nhân phân số với phân số. Chẳng hạn,
1
1 3 3
×3= × = .
4
4 1 4
- So sánh, đối chiếu: tử số của phân số chỉ kết quả của phép nhân với tử
số của hai phân số; mẫu số của phân số chỉ kết quả phép nhân các mẫu số của
hai phân số trong các phép nhân.
- Nêu kĩ thuật nhân hai phân số: tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số.
- Qui tắc này có thể mở rộng cho việc nhân nhiều phân số.
Chia hai phân số
Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép chia phân số cho số tự nhiên,
trên cơ sở đó chuyển thành phép chia phân số cho phân số. Chẳng hạn:
rồi viết thành
1 3
÷
2 1
Bằng phương tiện trực quan, HS nhận thấy rằng:
hóa:
1
÷3
2
1
1
÷ 3 = . Hình thức
2
6
1
1 1 1
÷ 3 = × = Sau đó, nêu quy tắc tổng quát.
2
2 3 6
* Các tính chất của phép toán trên phân số
Vì tập hợp phân số là sự mở rộng tập hợp số tự nhiên nên mọi tính chất
phép toán trên số tự nhiên đều áp dụng được trên phân số. Trong SGK, các tính
chất này được đưa vào phần luyện tập thực hành. Chẳng hạn:
- Tính chất giao hoán của phép cộng, của phép nhân.
- Tính chất kết hợp của phép cộng, của phép nhân.
- Một tổng nhân một số, một số nhân một tổng
II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học
1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học
5
a. Cách hình thành khái niệm phân số trong SGK
SGK hình thành khái niệm phân số như sau:
Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã
tô màu vào năm phần sáu hình tròn.
Ta viết:
5
5
, đọc là năm phần sáu. Ta gọi là phân số.
6
6
Phân số
5
có tử số là 5, mẫu số là 6.
6
Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình
tròn được chia thành 6 phần bằng nhau.
Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng
nhau đã được tô màu.
SGK giới thiệu khái niệm phân số qua việc chia cái toàn thể thành b
phần bằng nhau.
Sau đó, lấy a phần trong tổng số b phần đó. Như vậy có được phân số
a
. Cách trình bày này phù hợp với cách được đề cập trong các giáo trình
b
phương pháp dạy học Toán.
Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu
số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số tự
nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch
ngang”. Chúng ta thấy xuất hiện ở đây một quy tắc (R1) của hợp đồng didactic:
Khi tính toán với các phân số, HS không có trách nhiệm kiểm tra mẫu số khác
0, nhưng HS có nhiệm vụ phải đưa ra một kết quả theo yêu cầu của bài toán.
Có lẽ cũng vì ảnh hưởng của hợp đồng này mà SG 2006 đưa ra chú ý như sau:
“GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên,
mẫu số phải khác không. Chưa nên giải thích gì thêm”.
Ngoài ra, SGK còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai
số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ
TỰ NHIÊN”:
“Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần
của cái bánh”.
6
3
4
SGK trình bày: 3 ÷ 4 = .
Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách
mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ
toán học.
Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn
cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tở, trong thực
tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số.
Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực
hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK: “Thương của phép chia
số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số
bị chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý
nghĩa khác. Nó cho phép mọi phương trình đại số dạng a × x =
b luôn có
nghiệm. Thêm ào đó, nhận xét này cho chúng ta thấy một quy tắc (R2) của hợp
đồng didactic: Có thể coi dấu gạch ngang của phân số như dấu chỉ phép chia
(:).
Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên mối quan hệ của một phần tử của tập
N với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số
tự nhiên đó à có mẫu số bằng 1”. Mối quan hệ sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi thực
hiện các phép tính sau này.
- Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ bản của phân số, SGK trình bày chủ
đề: phân số bằng nhau. Kiến thức này rất cần thiết cho việc học quy đồng mẫu
số các phân số, so sánh hai phân số, làm tính ới các phân số. Phân số bằng nhau
được tác giả giới thiệu qua mô hình trực quan:
- Chia hai băng giấy bằng nhau. Băng giấy thứ nhất được chia thành 4
phần, lấy 3 phần. Băng giấy thứ 2 được chia thành 8 phần, lấy 6 phần.
7
Ta được
3 6
3 6
3× 2 6 6 ÷ 2 3
= , với nhận xét rằng:
= ;
= . Rút ra kết luận: = .
4 8
4 8
4× 2 8 8 ÷ 2 4
Và SGK cũng giới thiệu nhận xét: “Nếu nhân hay chia tử số à mẫu số
của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được phân số bằng phân
số đó”. Kết luận này cho HS một quy tắc (R3) ngầm ẩn của hợp đồng didactic:
Để tìm một phân số bằng một phân số đã cho, có thể nhân hay chia tử số à mẫu
số của một phân số đó với cùng một số tự nhiên khác 0. Điều này được thấy rõ
qua việc phân bố bài tập trong SGK. Có tới 3 bài tập gồm nhiều câu có liên
quan đến kết luận trên. Có thể nói rằng, nhờ quy tắc này mà HS có được điều
kiện thuận lợi để giải quyết các bài tập có liên quan đến dạng toán này.
Khác với SGK 2003, SGK hiện hành đưa thêm hai nội dung có liên
quan đến phân số là rút gọn và quy đồng mẫu số các phân số.
Bên cạnh được học so sánh hai phân số cùng mẫu số, HS cũng được học
so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số. Vì ở
tiểu học, HS chưa được học ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất nên để
tìm mẫu số chung ta chỉ việc nhân hai mẫu số với nhau.
Nhận xét:
Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ
được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các tình huống. Trong khi
đó, ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là một “đối tượng” tường minh. HS
chính thức được tìm hiểu nó qua các hình thành, nghiên cứu các tính chất cơ
bản. Từ đó, phân số trở thành “công cụ tường minh” để giải quyết các kiểu
nhiệm vụ bên dưới đây.
b. Tổ chức toán học liên quan đến khai niệm phân số
Kiểu nhiệm ụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
SGK đề cập nhiều bài tập có liên quan T. Chẳn hạn, câu B bài tập 1 như
sau:
2
18 3 56
3
;
;
;
=
=
=
=
3 8 60
32 4 4 16
* Đặc trưng của nhiệm vụ: phân số mới cần tìm được cho mẫu số hay tử
số.
8
Kĩ thuật
1:
+ Nếu phân số mới cho biết mẫu số, tìm số để mẫu số của phân số thứ
nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với mẫu số của phân số thứ hai.
Sau đó, nhân (hoặc chia) tử số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được
để có được tử số của phần số thứ hai.
+ Ngược lại, nếu phân số mới cho biết tử số, tìm số để tử số của phân số
thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với tử số của phân số thứ hai.
Sau đó, nhân (hoặc chia) mẫu số của phân số thứ nhất với số vừa tìm
được để có được mẫu số của phân số thứ hai.
Công nghệ θ 1 : Yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ này được để cập
tường minh trong SGK ở trang 111:
* Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
* Nếu chia hết tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự
nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Rút gọn phân số”
Một ví dụ cho kiểu nhiệm vụ được tình bày trong SGK:
Ví dụ 2: Rút gọn phân số
18
54
Ta thấy: 18 à 54 đều chia hết cho 2, nên
18 18 ÷ 2 9
= =
54 54 ÷ 2 27
9 và 27 đều chia hết cho 9, nên:
9 9 ÷9 1
= =
27 27 ÷ 9 3
1 và 3 không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1, nên
1
là phân số tối
3
giản.
Vậy:
18 1
=
54 3
Kĩ thuật
2:
được nhắc đến một cách rõ ràng ở trang 113, SGK, như sau:
Khi rút gọn phấn số có thể làm như sau:
9
* Xét xem tử số à mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1.
* Chia tử số à mẫu số cho số đó.
Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản.
Công nghệ θ 2 : Hai phân số bằng nhau
Lý thuyết O 2 : Yếu tố công nghệ θ1 sẽ là yếu tố lý thuyết để giải thích
cho công nghệ θ 2
Kiểu nhiệm vụ T 3 : “Quy đồng mẫu số hai phân số”
Sau đây là đoạn trích trong SGK
1 2
và .
3 5
Nhận xét: Khi quy đồng mẫu số hai phân số
* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số
1
2
nhân với mẫu số của phân số
3
5
* Ta lấy tử số và mẫu số của phân số
1
2
nhân với mẫu số của phân số
3
5
* Đặc trưng của kiểu nhiệm ụ: hai mẫu số không chia hết cho nhau hoặc
một trong hai mẫu số có mẫu số này chia hết cho mẫu số kia.
Kĩ thuật τ 3a : đặc trưng cho hai phân số có mẫu số không chia hết cho
nhau, được trình bày tường minh trong SGK:
Khi quy đồng mẫu số hai phân số ta có thể làm như sau:
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số
thứ hai.
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ
nhất.
Khi một trong hai mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại, ta có một kĩ thuật
τ 3b như sau:
Giả sử phân số thứ hai có mẫu số chia hết cho mẫu số của phân số thứ
nhất.
* Tìm số sao cho mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số đó bằng mẫu
số của phân số thứ hai
* Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số vừa tìm được để
được phân bố mới có mẫu số phân số thứ hai. Giữ nguyên phân số thứ hai.
10
Để hiểu rõ hơn về kĩ thuật τ 3b , chúng tôi xin trích dẫn một ví dụ trong
SGK
Ví dụ: Quy đồng hai phân số
7
5
và
6 12
Ta thấy: mẫu số của phân số
5
7
chia hết cho mẫu số của phân số (12 :
6
12
Ta có quy đồng hai phân số
7
5
7 7 × 2 14
như sau:= =
và giữ nguyên
và
6 12
6 6 × 2 12
6).
phân số
5
12
Công nghệ θ3 : Mẫu số chung của hai phân số, hai phân số bằng nhau.
Lý thuyết O 3 : Phép nhân hai số tự nhiên, tính chất cơ bản của phân số.
Kiểu nhiệm vụ T 4 : “So sánh hai phân số”
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số có cùng mẫu số, hai phân số
có cùng tử, hai phân số khác mẫu số.
Dựa trên đặc trưng trên, chúng tôi chia thành 3 kiểu nhiệm vụ nhỏ như
sau: So sánh hai phân số cũng mẫu số, so sánh hai phân số khác mẫu số, so
sánh hai phân số cùng tử số.
Kiểu nhiệm ụ T 4a : “So sánh hai phân số cùng mẫu số”
Chúng tôi đưa ra một ví dụ trong SGK đại diện cho kiểu nhiệm vụ:
Ví dụ: So sánh hai phân số
2 3
và
5 5
Kĩ thuật τ 4a được trình bày tường minh trong SGK như sau:
Muốn so sánh hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh hai tử số: phân số
nào có tử số bé hơn thì bé hơn; phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn; nếu tử
số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Công nghệ θ 4a : được trình bày trong SGK:
Trong hai phân số cùng mẫu số:
* Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
* Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
* Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
11
Lý thuyết O 4a : Cách hình thành khái niệm phân số, so sánh hai số tự
nhiên.
Kiểu nhiệm ụ T 4b : “So sánh hai phân số khác mẫu số”
Một ví dụ đại diện cho kiểu nhiệm vụ này được làm rõ trong SGK:
Ta có thể so sánh hai phân số
2 3
và
3 4
* Quy đồng mẫu số hai phân số
2 3
và
3 4
2 2× 4 8
3 3× 3 9
;
= =
=
=
3 3 × 4 12
4 4 × 3 12
* So sánh hai phân số cùng mẫu số:
* Kết luận:
8 9
< ( vì 8 < 9 )
12 12
2 3
<
3 4
Kĩ thuật τ cd 1 : chia đối tượng. Chẳng hạn, so sánh hai phân số
Nhìn trên hình vẽ ta thấy: phần tô màu chỉ phân số
màu chỉ phân số
3
nhiều hơn phần tô
4
2
2 3
, nên < .
3
3 4
Công nghệ - lý thuyết θ cd 1 : phần tô màu chỉ phân số
màu chỉ phân số
2 3
và
3 4
3
nhiều hơn phần tô
4
2
2 3
, nên < .
3
3 4
Công nghệ - lý thuyết θ cd 1 : phần tô màu chỉ phân số nào nhiều hơn lớn
hơn thì lớn hơn. So sánh diện tích của hai hình.
* Nhận xét:
Rõ ràng, kĩ thuật này mang đến cho HS tính trực quan cao. Tuy nhiên,
kỹ thuật này không cho phép HS giải quyết bài toán có phân số không thực sự à
12
mẫu số của phân số lớn. Thật vậy, khi mẫu số của phân số càng lớn thì học sinh
sẽ gặp khó khăn trong việc chi nhỏ đối tượng. Tóm lại, cách giải này có tính
trực quan, cho phép dự đoán kết quả,nhưng chưa góp phần giải quyết chung
cho mọi cặp phân số khác mẫu số.
Kĩ thuật τ qdm được phát biểu trong SGK như sau:
Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai
phân số đó, rồi so sánh tử số của hai phân số mới.
Công nghệ
4b :
Quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng
mẫu số
Lý thuyết O 4b : Hai phân số bằng nhau, cách hình thành khái niệm phân
số, so sánh số tự nhiên.
* Nhận xét:
- Kĩ thuật
qđm
cho phép HS giải quyết chung bài toán đối với mọi cặp
phân số khác mẫu số. Đây cũng là cách giải mà SGK mong muốn HS cần nắm
vững. Kĩ thuật này đòi hỏi phải liên hệ kiến thức đã học trước đó: quy đồng
mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số.
- Quá trình HS huy động các kiến thức đã học và có liên quan đến vấn
đề cần giải quyết không chỉ giúp HS làm quen với cách giải quyết một vấn đề
của bài học mà còn giúp HS nhận ra sự cần thiết phải chuẩn bị các kiến thức
trước đó. Đó chính là logic của chương trình SGK Toán 4. Chẳng hạn, để dạy
bài: “So sánh hai phân số khác mẫu số” thì phải chuẩn bị trước “Quy đồng mẫu
số hai phân số” và “So sánh hai phân số cùng mẫu số”. Đây cũng là
Từ
8
7
8 7
> 1 và 1 > ta có : >
7
8
7 8
Qua đoạn trích trên chúng tôi đề xuất một kỹ thuật τ ssl khi so sánh hai
phân số mà có một phân số lớn hơn 1 và phân số còn lại nhỏ hơn 1.
Kỹ thuật τ ssl :
Đem so sánh hai phân số đó với 1. Phân số nào lớn hơn 1 thì phân số đó
lớn hơn phân số còn lại.
Công nghệ θ ssl : phân số lớn hơn 1, phân số nhỏ hơn 1.
13
Lý thuyết θ ssl : Tính chất bắc cầu của tập số Q*
* Nhận xét:
Kỹ thuật này chỉ cho phép giải quyết một phần của bài toán trong trường
hợp
a
c
< 1 < . Cụ thể nó không được sử dụng trong trường hợp
d
b
a c
a c
, > 1 và , < 1 . Ngoài ra chúng tôi nhận thấy kỹ thuật này được đưa ra
b d
b d
thông qua một bài tập trong SGK mà không được dạy qua phần hình thành kiến
thức mới của bài học.
Kiểu nhiệm vụ T 4c : “So sánh hai phân số cùng tử số”
Nói chung, kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong phần hình
thành kiến thức mới như hai kiểu nhiệm vụ trên. Nó chỉ được nhắc đến thông
qua bài tập 3
Bài tập 3: So sánh hai phân số có cùng tử số:
b) So sánh hai phân số
Kỹ thuật
8
9 8
9
và ; và
11 14 9 11
-
So sánh hai mẫu số của hai phân số
-
Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
SGK:
τ qdr :
Công nghệ θ qdr được trình bày dưới dạng in nghiêng trong sách giáo
khoa như một ghi nhớ mà học sinh cần thuộc:
Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có tử số bé hơn thì
phân số đó lớn hơn.
Nhận xét trên cho thấy một quy tắc (R4) của hợp đồng didactic: Khi so
sánh hai phân số khác mẫu số thì có thể quy đồng tử số của chúng rồi so sánh
các mẫu số.
Lý thuyết Θ qdt ta biết tính chất sau: Với a,b,c là các số tự nhiên khác 0 và
b>c thì
a a
1 1
< , cũng suy ra được < . Yếu tố lý thuyết khá trừu tượng so với
b c
b c
học sinh tiều học. Do đó nó khong được nhắc đến trong SGK cũng như SGV.
Kiểu nhiệm vụ T 5 : “Sắp xếp các dãy phân số theo thứ tự từ bé đến
lớn”
14
Sau đây là một ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này. Nó được trình
bày tróng SGK:
Bài tập 4: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn:
2 5 3
b) ; ;
3 6 4
6 4 5
a) ; ;
7 7 7
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: các phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số.
* Kỹ thuật τ 5 :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì sắp xếp các phân số được quy về
như là sắp xếp các tử số.
-Nếu các phân số không cùng mẫu số thì phải quy đồng mẫu số. Sau đó
tiếp tục thực hiện như bước 2.
* Công nghệ θ 5 : So sánh hai phân số cùng mẫu số, so sánh hai phân số
không cùng mẫu số.
* Lý thuyết Θ 5 : Quan hệ thứ tự của cấp số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 6 : “Cộng hai phân số”
Bài tập 1: SGK: Tính
2 3
a) +
3 5
3 5
b) +
4 4
3 7
c) +
8 8
d)
35 7
+
25 25
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ hai phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số.
* Kỹ thuật τ 6 :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số cùng mẫu số thì ta cộng hai tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số.
- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân
số đó rồi cộng hai phân số đó.
15
Kỹ thuật τ 6 được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 126, 127.
* Công nghệ θ 6 : Cộng hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số.
* Lý thuyết Θ 6 : Định nghĩa phép cộng trên tập số Q*
Kiếu nhiệm vụ T 7 “Cộng một số tự nhiên với một phân số” hoặc
“Cộng một phân số với một số tự nhiên”
Bài tập 1: SGK: Tính
a )3 +
2
3
3
b) + 5
4
c)
12
+2
21
*Kỹ thuật τ 7 :
- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1
- Sau đó, quy về cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Công nghệ θ 7 : Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số
là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, cộng hai phân số không cùng mẫu số.
* Lý thuyết Θ 7 : Mối quan hệ giữa 1 phân tử thuộc tập N và tập Q*, định
nghĩa phép cộng trên tập số Q*.
Kiểu nhiệm vụ T 8 : “Trừ hai phân số”
Bài tập 1: SGK: Tính
a)
15 7
−
16 16
9 3
c) −
5 5
7 3
b) −
4 4
d)
17 12
−
49 49
Bài tập 1: SGK {Tr.130}: Tính
4 1
a) −
5 3
5 3
b) −
6 8
8 2
c) −
7 3
5 3
d) −
3 5
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số được cho có cùng mẫu số
hoặc không cùng mẫu số, số bị trừ bao giờ cũng lớn hơn số trừ.
*Kỹ thuật τ 8 :
- Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không
- Nếu các phân số có cùng mẫu số thì ta trừ các tử số với nhau và giữ
nguyên mấu số.
16
- Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân
số, rồi trừ hai phân số đó.
Kỹ thuật τ 8 được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 129,
130.
*Công nghệ θ 6 : trừ hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số.
* Lý thuyết Θ 6 : Định nghĩa phép trừ trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 9 : “ Trừ một số tự nhiên cho một phân số” hoặc “ trừ
một phân số cho số tự nhiên”
Bài tập 3: SGK. Tính
a)2 −
3
2
b)5 −
14
3
c
37
−3
12
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ số bị trừ lớn hơn số trừ.
*Kỹ thuật τ 9 được trình bày minh bạch trong sách giáo viên trang 222.
*Công nghệ θ 9 : mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử sồ
là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, trừ hai phân số không cùng mẫu số.
* Lý thuyết Θ9 : Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q* định
nghĩa phép trừ trên tấp số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 10 : “Nhân hai phân số”
Bài tập 1: SGK. Tính
4 6
a) x
5 7
1 8
c) x
2 3
2 1
b) x
9 2
1 1
d) x
8 7
*Kỹ thuật τ 10 được trình bày tường minh trong SGK ở trang 132. Muốn
nhân hai phân số ta lấy tử số nhân với tử số, mấu số nhân với mẫu số.
*Công nghệ θ10 : được trình bày thông qua gợi ý cách giảng dạy cho GV
thông qua đoạn trích sau trong SGK:
- GV gợi ý để HS: Từ phần trên, ta có diện tích hình chữ nhật là:
4 2 8
× = (m 2 ) (GV ghi lên bảng).
5 3 15
17
Giúp HS quan sát hình vẽ và phép tính trên, nhận xét:
8 (số ô vuông của hình chữ nhật) bằng 4 x2
15 ( số ô vuông của hình vuông) bằng 5 x3.
Từ đó, dẫn dắt đến cách nhân:
4 2 4× 2 8
× =
=
5 3 5 × 3 15
* Lý thuyết Θ10 : Định nghĩa phép nhân trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 11 : “Nhân một số tự nhiên với một phân số”
Bài toán:
Một rổ cam có 12 quả. Hỏi 2/3 số cam trong rổ là bao nhiêu quả cam?
* Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: số cho ban đầu là một số tự nhiên,
không là một phân số.
*Kĩ thuật τ 12 được phát biểu tường minh trong SGK: muốn tìm 2/3 của
số 12 ta lấy số 12 nhân với 2/3.
Qua nghiên cứu kỹ thuật τ 12 ta thấy kiểu nhiệm vụ T 12 liên hệ mật thiết
với T 11 .
* Công nghệ θ12 : bài toán tìm một trong các phần bằng nhau của một số.
* Lý thuyết Θ12 : cách hình thành khái niệm phân số, phép nhân trên tập sô Q*
Kiểu nhiệm vụ T 13 : “Chia hai phân số”
Bài tập 2: SGK.Tính
3 5
a) :
7 8
8 3
b) :
7 4
1 1
c) :
3 2
*Kỹ thuật τ 13 được trình bày tường minh trong SGK ở trang 135. Để
thực hiện phép chia hai phân số lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai
đảo ngược.
Qua xem xét kỹ thuật τ 13 ta thấy kiểu nhiệm vụ T 13 được quy về kiểu
nhiệm vụ T 10 .
Công nghệ θ13 : Chúng tôi không tìm thấy yếu tố công nghệ để biện
minh cho kỹ thuật trên trong SGK lẫn SGV. Do đó chúng tôi mô hình hóa một
yếu tố công nghệ θ13 bên dưới đây. Ví dụ:
18
3 5 3 8 24
: = × =
7 8 7 5 35
3 3 8 3 8
×
3 5 7 7 5 7 5 3 8
Có thể giải thích rõ hơn như sau: : = = × =
= ×
7 8 5 5 8 5x8 7 5
8 8 5 8 5
Rõ ràng công nghệ trên khá phức tạp và trừu tượng. Do đó nó sẽ rất khó
hiểu đối với đa số HS.
* Lý thuyết Θ13 : Định nghĩa phép chia trên tập số Q*
Kiểu nhiệm vụ T 14 “Chia một số tự nhiên cho một phân số” hoặc
“chia một phân sô cho một số tự nhiên”
Bài tập 2: (Luyện tập) SGK. Tính
a )3 :
5
7
b)4 :
1
3
c)5 :
1
6
Bài tập 2 (Luyện tập chung) SGK. TÍnh
5
a) : 3
7
1
b) : 5
2
2
c) : 4
3
*Kỹ thuật τ 14 :
- Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1.
- Sau đó quy về chia hai phân số.
*Công nghệ θ14 : Mối quan hệ giữa 1 phần tử thuộc tập N và tập Q*,
định nghĩa phép chia trên tập số Q*.
Kiểu nhiệm vụ T 15 “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số
đó”
*Kỹ thuật τ 5 :
Các bước giải:
-
Vẽ sơ đồ.
-
Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
-
Tìm hai số.
Qua phân tích SGK và SGV, chúng tôi nhận thấy các lời giải liên quan
đến dạng toán này đều được bắt đầu và đây cũng là một quy tắc (R5) ngầm ẩn
của hợp đồng didactic: Khi giải các bài toán: “Tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
19
và tỉ số của hai số đó” thì sơ đồ vẽ “số phần bằng nhau của hai số cần tìm” là
một phần của lời giải.
2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng
HS khi có bước chuyển dạy học số tự nhiên sang dạy học khái niệm
phân số.
Các khó khăn, sai lầm liên quan đến các kiểu nhiệm vụ của phân số và
những nguyên nhân có thể.
a) Kiểu nhiệm vụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho”
Ví dụ:
2 Ο
= . HS có thể đưa ra lời giải là 4. HS thường tìm số soa cho
3 6
số đó cộng với 3 sẽ bằng 6. (3+□=6) và sau đó cộng tử số với phân số vằ tìm
được để có số cần tìm. (3+2=5). Hay nói khác đi, để tìm một phân số mà bằng
với phân số đã cho các em thường suy luận “cộng” hơn là suy luận “nhân”.
b) Kiểu nhiệm vụ T 4 “So sánh hai phân số” và Kiểu nhiệm vụ T 5 :
“Sắp xếp dãy các phân số theo thứ tụ từ bé đến lớn”
Nói chung, hai kiểu nhiệm vụ này có thể được gọi tắt là sắp thứ tự độ
lớn của các phần số. Một quan niệm sai lầm của nhiều HS là các phân số có tử
số và mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
Đôi khi việc so sánh các phân số mà chỉ xem xét đến việc so sánh các
mẫu số của các phân số. Điều này có thể giải thích được là do HS xem tử số và
mẫu số của một phân số như hai số tự nhiên không liên hệ gì nhau.
Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:
Câu trả lời có thể của HS là:
2 2 2
; ;
5 3 9
2 2 2
; ; . Chúng tôi dự đoán sẽ có nhiều
3 5 9
học sinh mắc sai lầm như thế. Lý do có thể khiến HS làm như vậy là do các em
có khuynh hướng chọn phân số lơn hơn phân số kia làm mẫu số lớn hơn.Hay
nói khác đi, tồn tại ở HS một định lý hành động chưa chính xác: Nếu b
khi tiếp cận bài tập so sánh các phân số. Chẳng hạn, hãy cho 5 số x sao
20
2
5
cho: < x <
4
lý do các em đã quen với việc so sánh các số tự nhiên liền sau
5
nên các em áp dụng “quan niệm” này vào bài tập trên. Do đó câu trả lời của các
3
5
em tìm được một giá trị x = thỏa yêu cầu đề bài. Bên cạnh đó các em không
được tiếp cận với trục số mà các giá trị trên trục số là các phân số. Điều này sẽ
hạn chế khả năng của HS trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ trên.
c)Kiểu nhiệm vụ T 6 : “Cộng hai phân số”
Qua nghiên cứu kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi dự đoán sẽ có nhiều học
sinh sẽ tiến hành cộng các phân số bằng cách “ trên cộng trên, dưới cộng dưới”
hay theo ngôn ngữ toán học là “tử số cộng tử số, mẫu số cộng mẫu số”. ví dụ:
2 3 5
+ =
3 4 7
Chúng tôi cũng đề xuất những nguyên nhân có thể có của sai lầm này:
-
Học sinh không xem các phân số để biểu diễn số lượng nhưng quan
niệm hai phân số bao gồm 4 số tự nhiên có thể được kết hợp lại theo cách này
hoặc cách khác. Mỗi phân số được xem là hai số tự nhiên ngăn cách bởi một
đường gạch ngang (-). Do đó, có lẽ chấp nhận được nếu cộng các tử số với
nhau để có tử số của tổng và cộng các mẫu số một cách tương tự.
-
Học sinh nhầm lẫn quy tắc cộng hai phân số với quy tắc nhân hai
phân số Trẻ xem việc ứng dụng mô hình nhân các số tự nhiên dẫn đến thành
công trong trường hợp nhân hai phân số. Do đó mô hình này có thể áp dụng
được khi cộng hai phân số với nhau. Hay nói khác đi, các em đã đồng hóa một
thuật toán mới thành một thuật toán đã biết hay tương tự đã có trước đó. Một số
học sinh đã tự thiết kế quy tắc chỉ thích hợp trong một số trường hợp, do đó
quy tắc này không được tổng quát hóa. Các quy tắc này có nguồn gốc đúng
đắn, nhưng học sinh không hiểu sao chúng không đúng cho mọi trường hợp.
-
Học sinh xem 4 số tự nhiên trong phép công hai phân số như hai
cặp: tử số với tử số, mẫu só với mẫu số. Do đó các em tin rằng cách thích hợp
để thực hiện phép cộng là cộng các cặp lại với nhau, tức là: tử số cộng tử
số,mẫu số cộng mẫu số. Học sinh xem cách làm này tương tự cách cộng với số
tự nhiên.
21
