một số áp dụng của biến đổi fourier vào biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Văn Hạnh

MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER
VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Văn Hạnh

MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER
VÀO BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Chuyên ngành
Mã số

: Toán Giải Tích
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CAM

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 4
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 5
Chương 1: GIỚI THIỆU .................................................................................................. 6
1.1. Biến đổi Fourier .................................................................................................... 6
1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier ........................................................... 12
Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA
CHUỖI FOURIER ......................................................................................................... 14
2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh ................................................................ 14
2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p) ........................ 15
Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN FOURIER .................... 18
3.1. Một số chú ý sơ bộ .............................................................................................. 18
3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x) ........................................................................ 19
3.2.1. Các công thức bổ trợ. ................................................................................... 19
3.2.2 Xây dựng công thức tính toán ...................................................................... 20
3.3. Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ ........................................................................ 51
3.3.1. Chọn phép nội suy và sai số của nó ............................................................. 51
3.3.2. Công thức cầu phương nội suy tổng quát. ................................................... 63
3.3.3. Phép nội suy với các điểm cách đều ............................................................ 66
3.3.4. Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao. .............................. 66
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 77

3


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Cam, người Thầy đã
hướng dẫn, động viên, khuyến khích tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy - Cô trong hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quý báu của mình cho việc nhận xét và phản biện luận văn;
cảm ơn các Thầy đã truyền đạt kiến thức trong các học phần.
Cảm ơn quý Thầy – Cô thuộc các phòng, khoa, thư viện của trường
ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập, thực hiện và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè gần xa, người thân đã
hổ trợ, giúp đỡ nhiều mặt.

4


LỜI MỞ ĐẦU
Biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật.
Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được
nhiều nhà toán học quan tâm khảo cứu và cho đến nay có rất nhiều phương
pháp được đưa ra.
Trong luận văn này, chúng tôi tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông
qua việc áp dụng biến đổi Fourier vào biến đổi Laplace ngược. Cụ thể là tính
tích phân Mellin bằng biến đổi Fourier, từ đó xét các công thức nội suy để
tính tích phân Fourier.

5


Chương 1: GIỚI THIỆU
Bài toán tính tích phân Mellin có thể được quy về biến đổi Fourier, và đó
là một phương pháp cổ điển để nghiên cứu khá nhiều bài toán áp dụng.
Việc tính tích phân Mêllin bằng cách quy về tích phân Fourier là hữu ích,
do hai lý do sau đây. Thứ nhất, nó là một trong nhiều phương pháp có thể tính
toán khi các điểm của công thức cầu phương được lấy trên đường tích phân
p= c + iτ (−∞ < τ < ∞) . Thứ hai, phương pháp này có thể hữu ích trong thực

hành ít nhất như là để kiểm tra về mặt tính toán khi giải bằng các phương
pháp khác.
1.1. Biến đổi Fourier
Chúng ta xem xét tích phân Fourier kép

1

π

∞

∞

∫0 du −∞∫ f (t ) cos u( x − t )dt

(1.1.1)

Và giả sử rằng hàm f là khả tích tuyệt đối trên trục số −∞ < t < ∞ . Tích
phân bên trong sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị thực của x và u , và sự hội

tụ là hội tụ đều.
1.1.1Định nghĩa giả sử hàm f ( x) với giá trị hữu hạn trên khoảng [a, b] . Chia
[a, b] thành hữu hạn phần bởi các điểm x0 = a < x1 < ... < xn = b .

Xét tổng
V ( x0 =
, x1 ,..., xn )

n −1

∑
k =0

f ( xk +1 ) − f ( xk )

Cận trên của tổng V ( x0 , x1 ,..., xn ) ,
Var ( f ) = sup V ( x0 , x1 ,..., xn )

a ≤ x ≤b

x1 ,..., xn−1

6


được gọi là biến phân toàn phần của hàm f trên đoạn [a, b] . Nếu Var ( f ) có
a ≤ x ≤b

giá trị hữu hạn, thì ta nói f là một hàm có biến phân hữu hạn trên [a, b] .
1.1.2.Định lý 1. Lấy f là một hàm khả tích tuyệt đối trên trục số

−∞ < t < ∞ . Cho f có biến phân hữu hạn trên đoạn [a, b] thì với x ∈ [a, b] , ta

có công thức sau:
∞

∞

1
1
[f ( x=
du ∫ f (t ) cos u ( x − t )dt
+ 0) + f ( x − 0)]
2
π ∫0 −∞

(1.1.2)

Nếu f có biến phân hữu hạn và liên tục trên đoạn [a, b] , thì với x ∈ [a, b] , ta
có:

f ( x)
=

1

π

∞

∞

0

−∞

∫ du ∫

f (t ) cos u ( x − t )dt

(1.1.3)

Ở đây, tích phân kép hội tụ đều về f ( x) với x ở trong bất kì đoạn đóng con
của [a, b] .
Phương trình (1.1.2) và (1.1.3) gọi là các công thức Fourier.
Trong phần sau ta giả sử rằng f ( x) có biến phân hữu hạn trên bất kì các
đoạn hữu hạn của trục thực. Vậy thì (1.1.2) sẽ đúng với tất cả các giá trị hữu
hạn của x . Ta giả sử hệ thức f (=
x)

1
[f ( x + 0) + f ( x − 0)] đúng tại tất cả các
2

điểm x . Khi đó (1.1.2) và (1.1.3) là giống nhau và từ bây giờ trở đi ta sẽ sử
dụng (1.1.3) .
Dùng cos u (=
x − t)
1

π

∞

∞

∫0 du −∞∫

1 iu ( x −t ) −iu ( x −t )
+e
[e
] , ta có:
2
∞

∞

1
f (=
t ) cos u ( x − t )dt
du ∫ f (t )[eiu ( x −t ) + e−iu ( x −t ) ]dt
∫
2π 0 −∞

7


Bằng cách thay biến u bằng −u ta có thể đưa công thức Fourier (1.1.3) về
dạng
1
f ( x) =

2π

∞

∫e

− ixu

−∞

∞

du ∫ f (t )eiut dt

(1.1.4)

−∞

Thật vậy:
=
f ( x)

∞

1

∞

du
π∫ ∫

) cos u ( x − t )dt
f (t=

−∞

0

1

∞

du
π∫ ∫
0

∞

∞

∞

∞

−∞

1
f (t ) [eiu ( x −t ) + e − iu ( x −t ) ]dt
2

∞

1
1
du ∫ f (t )eiu ( x −t ) dt +
du ∫ f (t )e − iu ( x −t ) =
I1 + I 2
=
∫
∫
2π 0 −∞
2π 0 −∞
Đổi biến u = −u ta có:
−∞

∞

∞

0

1
1
I1 =
d (−u ) ∫ f (t ).ei ( − u )( x −t ) dt =
du ∫ f (t )e − iu ( x −t ) dt
∫
∫
2π 0
2π −∞ −∞

−∞

1
f ( x) = I1 + I 2 =
2π

∞

∞

∫ du ∫

−∞

f (t )e

− iu ( x −t )

−∞

1
dt =
2π

∞

∫e

−∞

− iux

∞

du ∫ f (t )eiut dt
−∞

(1.1.4) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm sau:

ϕ (u ) =

∞

∫

f (t )eiut dt

(1.1.5)

−∞

f ( x) =

1
2π

∞

∫ ϕ (u )e

− ixu

du

(1.1.6)

−∞

Công thức (1.1.5) là phép biến đổi Fourier phức và đưa hàm gốc f vào trong
hàm ảnh ϕ .Công thức (1.1.6) cho ta quy tắc chuyển từ hàm ảnh ϕ sang hàm
gốc f .
Cho hai công thức Fourier đặc biệt tương dương với công thức (1.1.3) :
∞

=
f ( x)

∫ [a(u ) cos ux + b(u )sin ux]du,
0

8

(1.1.7)


∞

∞

0

1
1
1
a (u ) =
J1 + J 2
∫ f (t ) cos ut dt =
∫ f (t ) cos utdt + ∫ f (t ) cos utdt =

π

π

−∞

∞

π

−∞

0

∞

0

1
1
1

b(u ) =
H1 + H 2
∫ f (t )sin ut dt =
∫ f (t )sin utdt + ∫ f (t )sin utdt =

π

π

−∞

π

−∞

0

Khi f là hàm chẵn, đặt x = −t , ta có:
0

1

J1
=

π

∫

f (t ) cos utdt

=

−∞

1

π

0

∫

f (− x) cos u (− x)d (−=
x)

∞

a (u ) = J 1 + J 2 = 2 J 2 =
1
H1 =

π

0

∫

2

π

∞

1

=
∫ f ( x) cos ux dx

π

0

∞

∫ f (t ) cos ut dt .
0

∞

0

−∞

J2

1
1
f (t )sin ut dt = ∫ f (− x)sin u ( − x)d ( − x) =
− ∫ f ( x)sin uxdx =
−H 2

π

π

∞

0

b(u ) =
H1 + H 2 =
−H 2 + H 2 =
0

và (1.1.7) trở thành công thức Fourier cosine:
∞

a(u ) cos uxdu
∫0 =

=
f ( x)

2

π

∞

∞

∫0 cos ux du ∫0 f (t ) cos ut dt

(0 ≤ x < ∞)

(1.1.8)

Khi f là hàm lẽ, đặt x = −t ta có:
1
J1 =

π

Do đó

0

∫

0

−∞

1
1
f (t ) cos ut dt = ∫ f (− x)cos u (− x)d (− x) =
−

π

π

∞

∞

∫ f ( x) cos ux dx =−J
0

a (u ) =
J1 + J 2 =
−J2 + J2 =
0

H1=

0

1

π

∫

f (t ) sin utdt=

−∞

=

1

π

1

π

0

∫ f (− x) sin u (− x)d (− x)

∞

0

∫ (− f ( x))(− sin ux)(−dx) =

∞

Do đó b(u ) = H1 + H 2 = 2 H 2 =

2

π

1

π

∞

∫0 f (t )sin utdt

khi đó (1.1.7) trở thành công thức Fourier sine:

9

∞

∫ f ( x) sin uxdx =
0

H2

2


=
f ( x)

∞

b(u )sin uxdu
∫0 =

2

π

∞

∞

∫0 sin ux du ∫0 f (t )sin ut dt

(0 ≤ x < ∞)

(1.1.9)

Công thức Fourier tổng quát (1.1.3) có thể xem như sự tổ hợp của các công
thức riêng (1.1.8) và (1.1.9) . Thật vậy, mọi hàm f có thể miêu tả thành tổng
của phần chẵn và phần lẽ của nó:
1
1
[f ( x) + f (− x)], h(=
x)
[f ( x) − f (− x)]
2
2

f (=
x) g ( x) + h( x), g (=
x)

g ( x) là phần chẵn, h( x) là phần lẽ.

Tích phân bên trong của (1.1.3) sẽ có biểu diễn sau theo g và h :
∞

∞

∫

f (t ) cos u ( x − t )dt
=

−∞

∫ ( g (t ) + h(t ))(cos ux cos ut + sin ux sin ut )dt

−∞
∞

∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

−∞

= cos ux ∫ g (t ) cos utdt + sin ux ∫ g (t ) sin utdt + cos ux ∫ h(t ) cos utdt + sin ux ∫ h(t ) sin utdt

Mà:
∞

0

∞

−∞

−∞

0

0

∞

∞

0

∫ g (t ) cos utdt= ∫ g (t ) cos utdt + ∫ g (t ) cos utdt= ∫ g (−t ) cos u (−t )d (−t ) + ∫ g (t ) cos utdt
∞

0

∫ g (t ) cos ut (−dt ) + ∫ g (t ) cos utdt

=

∞

0

∞

= 2 ∫ g (t ) cos utdt
0

∞

0

∞

−∞

−∞

0

0

∞

∞

0

∫ g (t ) sin utdt= ∫ g (t ) sin utdt + ∫ g (t ) sin utdt= ∫ g (−t ) sin u (−t )d (−t ) + ∫ g (t ) sin utdt

∞

0

∫ g (t )(− sin ut )(−dt ) + ∫ g (t ) sin utdt

=

∞

0

∞

∞

0

0

=
− ∫ g (t ) sin utdt + ∫ g (t ) sin utdt
=0

Tương tự ta có:

10


∞

∞

∞

−∞

−∞

0

=
∫ h(t ) cos utdt 0,=
∫ h(t ) sin utdt 2∫ h(t ) sin utdt

Thay các kết quả vào phương trình trên ta có:
∞

∫

−∞

∞

∞

0

0

f=
(t ) cos u ( x − t )dt 2 cos xu ∫ g (t ) cos ut dt + 2sin xu ∫ h(t ) sin ut dt

và từ (1.1.3) ta có
f ( x ) = g ( x ) + h( x ) =

2

π

∞

∞

0

0

2

∞

∞

0

0

∫ cos xu du ∫ g (t ) cos ut dt + π ∫ sin xu du ∫ h(t ) sin ut dt

và công thức Fourier tổng quát là tổng của công thức cosine cho g ( x) và công
thức sine cho h( x) .
Công thức Fourier (1.1.8) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc :

ϕc (u )
=

∞

∫ f (t )cos ut dt

(0 ≤ x < ∞)

(1.1.10)

0

f ( x) =

2

π

∞

∫ ϕ (u )cos xu du
c

(1.1.11)

0

Công thức (1.1.10) là biến đổi cosine của hàm gốc f thành hàm ảnh ϕc , công
thức (1.1.11) là biến đổi ngược.
Công thức Fourier sine (1.1.9) cho ta mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕ s :
=
ϕs (u )
f ( x) =

∞

∫0 f (t )sin ut dt
2

π

(0 ≤ x < ∞)

(1.1.12)

∞

∫0 ϕs (u)sin xu du

(1.1.13)

Phương trình (1.1.12) là biến đổi Fourier sine, và (1.1.13) là biến đổi ngược của
nó.

11

Ta có thể thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.1.5) có thể quy về biến đổi
(1.1.10) và (1.1.12) . Trong (1.1.5) , thay f (t ) bởi tổng phần chẵn và phần lẽ

của nó f=
(t ) g (t ) + h(t ) , g (t ) và h(t ) được chỉ ra ở trên
∞

∞

ϕ (u ) =
∫ f (t )e dt =
∫ [g (t ) + h(t )][cos ut + isin ut ]dt
iut

−∞

−∞

∞

∞

0

0

=
2 ∫ g (t )cos ut dt + 2i ∫ h(t )sin ut dt =

2 gc (u ) + 2ihs (u )

Do đó biến đổi phức (1.1.5) là một sự tổ hợp tuyến tính đơn giản của các biến
đổi Fourier cosine và Fourier sine.
1.2. Đưa tích phân Mellin về biến đổi Fourier
Bây giờ chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa biến đổi Laplace ngược và
biến đổi Fourier. Xét tích phân Mellin
c + i∞

1
=
f ( x)
F ( p)e xp dp (−∞ < x < ∞)
∫
2π i c −i∞

(1.2.1)

Với hàm F ( p) xác định và khả tích tuyệt đối trên đường thẳng p= c + iτ
(−∞ < τ < ∞) . Tích phân hội tụ đều với x nằm trên trục −∞ < x < ∞ và là một

hàm liên tục theo x trên trục đó.
Nếu trong (1.2.1) ta đặt p= c + iτ , vậy thì ta có thể biến đổi (1.2.1) về dạng
c + i∞

∞

1
1
f ( x) =

F ( p)e xp dp = ∫ F (c + iτ )e x ( c +iτ ) d (c + iτ )
∫
2π i c −i∞
2π i −∞
=

∞

∞

1 cx
1 cx
e ∫ F (c + iτ )eixτ idτ=
e ∫ F (c + iτ )eixτ dτ
2π i −∞
2π −∞

Hay
1
=
e f ( x)
2π
− cx

∞

∫ F (c + iτ )e
−∞

ixτ

dτ

(1.2.2)

12


Công thức trên cho thấy rằng việc tính tích phân Mellin f ( x) dẫn đến biến đổi
Fourier phức của hàm F (c + iτ ) .
Trong mục 1.1 ta chú ý rằng biến đổi Fourier của hàm F (c + iτ ) có thể quy
về biến đổi Fourier cosine và sine của phần chẵn và phần lẽ của hàm
F (c + iτ ) :
F (c + iτ ) = g (τ ) + h(τ )
1
g (τ=
)
[F (c + iτ ) + F (c − iτ )]
2
1
h(τ=
)
[F (c + iτ ) − F (c − iτ )]
2

e− cx f ( x) =

1
2π

∞

ixτ
∫ [g (τ ) + h(τ )]e dτ =

−∞

∞

1
2π

∞

∫−∞ [g (τ ) + h(τ )]( cos xτ + isin xτ )dτ

∞

i
1
1
=
[g c ( x) + ihs ( x)]
∫ g (τ )cos xτ dτ + ∫ h(τ )sin xτ dτ =

π

0

π

π

0

13

(1.2.3)


Chương 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BẰNG GIÁ TRỊ
TRUNG BÌNH CỦA CHUỖI FOURIER
2.1. Trường hợp hàm gốc f(x) giảm nhanh
Đặt :
f=
( x)e− cx g ( x),

F=
(c + iτ ) G (τ )

Vậy thì biến đổi Laplace
∞

− ( c + iτ ) t
F (c + iτ ) =
dt
∫ f (t )e
0

1

e f ( x)
và biến đổi ngược =
2π
− cx

∞

∫ F (c + iτ )e
−∞

ixτ

dτ có thể viết như sau

∞

G (τ ) = ∫ g (t )e−iτ t dt
0

g ( x) =

1
2π

∞

∫−∞ G(τ )e

ixτ

dτ

(2.1.1)

Bây giờ giả sử hàm gốc f (t ) triệt tiêu ở mọi nơi bên ngoài khoảng hữu
hạn [0, T ] . Khai triển g (t ) dạng chuỗi Fourier trên [0, T ] và viết khai triển ở
dạng phức:

g (t ) =

ở

∞

ck eikωt
∑
k =−∞

(2.1.2)

đây

ω = 2π T

T

1
ck = ∫ g (t )e−ikωt dt
T0

(2.1.3)

Vì g (t ) có giá trị nhỏ không đáng kể bên ngoài khoảng [0, T ] , ta có xấp xỉ :

14

và


∞

1
1
ck ≈ ∫ g (t )e−ikωt dt =
G ( kω )
T0
T

(2.1.4)

Sai số của phương trình có giá trị là
∞

1
1
G (kω ) − ck =∫ g (t )e−ikωt dt
T
TT

Và có ước lượng bởi bất đẳng thức sau:

∞

1
1
G (kω ) − ck ≤ ∫ g (t ) dt
T
TT

(2.1.5)

Ta thay thế giá trị xấp xỉ của ck ở (2.1.4) vào (2.1.2) , ta được biểu thức sau của
g (t ) :

− ct
f (t )e=
g (t ) ≈

≈

∞

1

G (kω )eikωt
∑
k =−∞ T

ω
2π

∞

F (c + ikω )eikωt
∑
k =−∞

(2.1.6)

2.2. Trường hợp giảm nhanh của giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F(p)
Xét hàm G (=
τ ) F (c + iτ ) là khả tích tuyệt đối trên trục −∞ < τ < ∞ và nhỏ
không đáng kể bên ngoài khoảng hữu hạn [ − T ≤ τ ≤ T ] . Khai triển G (τ ) ở dạng
chuỗi Fourier:

=
G (τ )

∞

c e τ, Ω
∑=
− ik Ω

k = −∞

ck =

k

1

2π

T

∫ G(t )e

ik Ωt

π

(2.2.1)

T

(2.2.2)

dt

−T

15


Vì bên ngoài khoảng [ − T , T ] hàm G (τ ) xem như nhỏ không đáng kể,
phương trình sau luôn đúng với độ chính xác chấp nhận được:

g ( x) ≈

T

1
2π

∫ G(τ )e

ixτ

dτ

(−T ≤ x ≤ T )

(2.2.3)

−T

Sai số có thể ước lượng với sự giúp đỡ của bất đẳng thức:
g ( x) −

1
2π

T

∫ G(τ )e

ixτ

dτ

−T

=

−T

1
2π

∞

ixτ
ixτ
∫ G(τ )e dτ + ∫ G (τ )e dτ

−∞

T

∞

≤

1
[ G (τ ) + G (−τ ) ] dτ
2π T∫

Trong tích phân (2.2.3) , ta đưa vào khai triển (2.2.1) thay cho G (τ ) và thực
hiện phép lấy tích phân của chuỗi. Trước tiên ta có phương trình sau:
T

T

1
1
=
dτ
=
ei ( x − k Ω )τ d (i ( x − k Ω)τ )
ei ( x − k Ω )τ
∫−T e
∫
i ( x − k Ω) −T
i ( x − k Ω)
i ( x − k Ω )τ

τ =T
τ = −T

1
[ei ( xT − kπ ) − e − i ( xT − kπ ) ]
i ( x − k Ω)
1
2i sin( xT − kπ )
=
i ( x − k Ω)
sin xT
π
, Ω = , x ≠ kΩ
= (−1) k 2T
xT − kπ

T
=

( 2.2.4 )

Khi đó ta được biểu thức xấp xỉ sau:

∞
1
1
ixτ
(
)
f ( x)e − cx =
g ( x) ≈
G
e
d
ck .e − ik Ωτ .eixτ dτ
τ
τ
=
∑
∫
∫
2π −T
2π −T k = −∞
T

=

=

T

∞

1
2π

∑ ck

T

∞

π

−∞

T

i ( x − k Ω )τ
dτ
∫ e=

−T

∑ c (−1)

k = −∞

π

π
T

∞

∑ c .(−1)
−∞

k

k

2T

sin xT
xT − kπ

sin xT
xT − kπ

k

k

x≠k

1

2π

,

(2.2.5)

−T < x < T

Khi x= m = mΩ , từ (2.2.2) và (2.2.3) , ta được giá trị sau của hàm f ( x) :
T

16


f (mΩ).e

1
= g (mΩ) ≈
2π

− cmΩ

T

∫ G(τ )e

imΩτ

dτ= cm

(2.2.6)

−T

Áp dụng (2.2.5) để tính hàm gốc đòi hỏi phải tính các hệ số Fourier (2.2.2) của
hàm F (c + iτ ) .

17


Chương 3: CÔNG THỨC NỘI SUY ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
FOURIER
3.1. Một số chú ý sơ bộ
Để tính các tích phân sau
∞

ϕc (u ) = ∫ f (t )cos ut dt

(3.1.1)

ϕs (u ) = ∫ f (t )sin ut dt

(3.1.2)

∫ f (t )e
−∞

(3.1.3)

0

∞

ϕ (u ) =

0
∞

iut

dt

ta có thể làm bằng nhiều quy tắc cổ điển của phép lấy tích phân. Thế nhưng
chúng sẽ cho ta sai số khá lớn khi f (t ) được biết gần đúng.
Hàm được lấy tích phân trong (3.1.1) là tích f (t )cos ut . Nếu tham số u là
một số lớn, hàm cos ut sẽ dao động nhanh. Điều này có thể làm cho việc tính
toán trở nên khó khăn thậm chí không có lời giải. Điều tương tự đối với
(3.1.2) và (3.1.3) .

Ta giả sử rằng hàm f (t ) tiến về 0 nhanh, khi t → ∞ , vì thế sự hội tụ của
∞

tích phân

∫0

f ( x) dx hoặc

∞

∫

f ( x) dx là chắc chắn. Ta giả sử rằng với giá trị

−∞

lớn của t bất đẳng thức sau đúng:

f (t ) ≤ A t

−1−ε

, ε >0

(3.1.4)

18


3.2. Phép nội suy đại số của hàm f(x)
Phép nội suy đại số là sử dụng hàm xấp xỉ liên tục và đủ trơn trên các
khoảng hữu hạn.

3.2.1. Các công thức bổ trợ.
Chúng ta bắt đầu bởi việc đưa ra các công thức bổ trợ đơn giản để phục vụ
cho việc tính các tích phân của các hàm chứa các thừa số lượng giác.
Lấy [a, b] là một khoảng hữu hạn bất kì và l ( x) là một đa thức đại số có
bậc n . Sử dụng phép lấy tích phân từng phần n lần ta đạt được phương trình
sau:

b

∫a l ( x)e

ipx

dx

=eipb [ −

il (b) l / (b) il // (b) l /// (b)
+ 2 +
− 4 − ...]
p
p
p3
p

−e ipa [ −
= e

ip

b+a
2

{[ −

il (a) l / (a) il // (a) l /// (a)
+ 2 +
−

− ...]
p
p
p3
p4

b−a
ip
il (b) l / (b) il // (b) l /// (b)
2
+ 2 +
−
−
...]e
3
4
p
p
p
p

b−a
− ip
il (a) l / (a) il // (a) l /// (a)
−[ −
+ 2 +
−
− ...]e 2 }
p
p

p3
p4

(3.2.1)

Nếu ta xem l ( x) là một đa thức thực, và nếu thay thế hàm số mũ bởi biểu
thức Euler với các số hạng là hàm lượng giác, và so sánh phần thực và phần
ảo, ta sẽ được các công thức hữu dụng để tính các tích phân có chứa các thừa
số lượng giác:

19


b

os px dx cos p
∫ l ( x) c=
a

a + b l (b) + l (a) l // (b) + l // (a)
b−a
{[
−
+ ...]sin p
3
2
2
p
p

+[

l / (b) − l / (a) l /// (b) − l /// (a)
b−a
−
+ ...]cos p
}
2
4
2
p
p

a + b l (b) − l (a) l // (b) − l // (a)
b−a
{[
+ sin p
−
+ ...]cos p
3
2
2
p
p
b−a
l / (b) + l / (a) l /// (b) + l /// (a)
}
−[
−
+ ...]sin p

2
4
2
p
p

b

=
px dx sin p
∫ l ( x)sin
a

+[

(3.2.2)

b + a l (b) + l (a) l // (b) + l // (a)
b−a
−
+ ...]sinp
{[
3
2
2
p
p

l / (b) − l / (a) l /// (b) − l /// (a)
b−a

−
+ ...]cos p
}
2
4
2
p
p

b + a l (b) − l (a) l // (b) − l // (a)
b−a
{[
− cos p
−
+ ...]cos p
3
2
2
p
p
−[

b−a
l / (b) + l / (a) l /// (b) + l /// (a)
}
−
+ ...]sinp
2
4
2

p
p

(3.2.3)

3.2.2 Xây dựng công thức tính toán
Xét biến đổi ( 3.1.1) , ta chia nửa trục của phép lấy tích phân [0, ∞] thành
hữu hạn các khoảng bởi các điểm 0 = a0 < a1 < ... < ak < ... Lấy một trong các
khoảng [ak , ak +1 ] và trên nó nội suy hàm f . Chúng ta cho ví dụ chọn phép
nội suy với mối liên hệ các giá trị của hàm. Trên

[ak , ak +1 ]

chọn nk + 1 điểm tùy

k
ý x j ( j = 0,1,..., nk ; ak ≤ x0k < ... < xnk ≤ ak +1 ) và thực hiện phép nội suy với lưu
k

k
(k )
ý các giá trị f ( x j ) = f j bằng giá trị trung bình của đa thức Pk ( x) có bậc n

20


nk
ωk ( x )
(k )
f

l (j k ) ( x) f j( k ) ,
=
∑
∑
j
k
k
/
( x − x j )ωk ( x j )
j 0
=j 0=

Pk ( x)
=

nk

ωk ( x ) =
( x − x0k )...( x − xnk ),
k

f ( x) Pk ( x) + rk ( x)
=

(3.2.4)

Xét tích phân (3.1.1) trên khoảng [ak , ak +1 ] thay vì trên nửa trục [0, ∞) , và
thay thế hàm f ( x) bởi đa thức nội suy Pk ( x) thì ta được phương trình xấp xỉ
sau
ak +1

∫

f (t ) cos ut dt ≈

ak

ak +1

∫

ak

ak +1

nk

Pk (t ) cos ut dt =
∑ f ∫ l (j k ) (t )cos ut dt
j =0

(k )
j

ak

Lấy tổng các phương trình trên tất cả các khoảng con thì ta xây dựng được
biểu thức xấp xỉ cho biến đổi Fourier Cosine
∞

∞ ak +1

ϕc (u ) =
∫ f (t )cos ut dt ≈ ∑

∫

k 0 ak
=

0

∞

nk

Pk (t ) cos utdt ≈ ∑∑ f
k 0=j 0
=

ak +1
(k )
j

∫l

(k )
j

(t ) cos ut dt

ak

(3.2.5)

Mỗi tích phân dưới dấu của tổng kép có thể tính được. Nếu ta kí hiệu
rk=
( x) f ( x) − Pk ( x) là sai số của phép nội suy trên khoảng [ak , ak +1 ] . Khi đó

sai số của (3.2.5) sẽ là

∞

Rc (u )
=

∞ ak +1

∫ f (t ) cos ut dt − ∑ ∫ P (t ) cos utdt
k

k =0 a
k

0
∞ ak +1

=
∑

∞ ak +1

∑ ∫ r (t )cos ut dt
∫ ( f (t ) − P (t )) cos ut dt =

k
=
k 0=
k 0 a
ak
k

21

k

(3.2.6)


Sự miêu tả này của Rc (u ) có thể sử dụng để thu được một ước lượng sai
số của biểu diễn xấp xỉ (3.2.5) cho ϕc (u ) . Ví dụ, từ (3.2.6) ta có ước lượng
của Rc (u ) với mọi u

∞ ak +1

Rc (u ) ≤ ∑

∫

k =0 ak

rk (t ) dt

(3.2.7)

Ta giả sử rằng vế phải của bất đẳng thức (3.2.7) có giá trị hữu hạn. Giá trị
của vế phải phụ thuộc vào việc chọn các điểm ak , các số nk , các điểm nội suy
x (jk ) và các tính chất của hàm f . Trong trường hợp đặc biệt thì nó có các đạo

hàm bậc đủ cao và tốc độ của phép xấp xỉ của chúng tiến về 0 khi t tăng vô
hạn.
Sự nghiên cứu biểu diễn xấp xỉ (3.2.5) của ϕc (u ) trong trường hợp tổng
quát là phức tạp và chỉ có giá trị về mặt lý thuyết. Do đó ta hạn chế chỉ xem
xét biểu diễn này trong một số trường hợp đặc biệt và đơn giản.
Giả sử nữa trục [0, ∞] được chia bởi các điểm xk = kh (h > 0, k = 0,1, 2,...)
thành các khoảng bằng nhau có độ dài h . Ta cũng giả sử đã biết các giá trị
( xk ) f=
(kh) f k .
của hàm f tại các điểm chia f=

3.2.2.1 Các quy tắc tính dựa trên phép nội suy tuyến tính
Trước tiên ta xét một quy tắc tương tự quy tắc hình thang. Lấy một khoảng
[kh, (k + 1)h] và biểu diễn phép nội suy tuyến tính của hàm f với chú ý hai

giá trị tại các điểm cuối của khoảng
x − xk +1
x − xk
f ( x) =
f ( xk ) +
f ( xk +1 ) + rk ( x, f )

xk − xk +1
xk +1 − xk
=

x − (k + 1)h
x − kh
fk +
f k +1 + rk ( x, f )
−h
h

22

(3.2.8)


Nếu f có đạo hàm cấp hai liên tục, sai số của phép nội suy rk ( x, f ) , được
miêu tả như sau
1

rk=
( x, f ) h 2 ∫ f // (kh + hτ )[(ξ − τ ) E (ξ − τ ) − ξ (1 − τ )]dτ
0

(3.2.9)

x = xk + hξ = h(k + ξ )

Thật vậy: Biểu diễn (3.2.9) có thể đạt được nếu ta lợi dụng công thức
Taylor với phần dư ở dạng tích phân

x

f ( x) = f k + ( x − xk ) f k/ + ∫ f // (t )( x − t ) dt = f k + ( x − xk ) f k/ + ϕ ( x)
xk

với
=
ϕ ( x)

x

∫f

//

(t )( x − t ) dt

xk

Vì hàm tuyến tính f k + ( x − xk ) f k/ được nội suy chính xác, nên sai số của
phép nội suy của f và

ϕ là trùng nhau. Thay hàm

f bởi hàm

ϕ trong

(3.2.8) ta có:
x − xk +1

x − xk
ϕ ( x) +
ϕ ( xk ) −
ϕ ( xk +1 )
rk ( x, ϕ ) =
h
h

Và vì ϕ ( xk ) = 0 , suy ra

ϕ ( x) +
rk ( x, f ) =
rk ( x, ϕ ) =

x − xk +1
x − xk
.0 −
ϕ ( xk +1 )
h
h

x

=

∫f

//

(t )( x − t ) dt −

xk

=

xk +1

∫

xk

Bây

giờ

thay

xk +1

∫

f / / (t )

xk

x − xk
( xk +1 − t )dt
h

1

f / / (t )[( x − t ) E ( x − t ) − ( x − xk )( xk +1 − t )]dt
h

thế

biến

x

và

t

bằng

cách

đặt

x =xk + hξ , t =xk + hτ (0 ≤ ξ ,τ ≤ 1) ta thu được phương trình (3.2.9) . Thật vậy:

23


rk ( x=
,f)

xk +1

∫

f // ( xk + hτ )[(( xk + hξ ) − ( xk + hτ )) E (( xk + hξ ) − ( xk + hτ ))

xk

1
− ( xk + hξ − xk )( xk +1 − ( xk + hτ ))]d ( xk + hτ )
h
1

rk ( x, =
f)

∫f
0

//

1
(kh + hτ )[(hξ − hτ ) E (hξ − hτ ) − (hξ )(h − hτ )] hdτ
h
1

= h

2

∫f

//

(kh + hτ )[(ξ − τ ) E (ξ − τ ) − ξ (1 − τ )]dτ

0

Ở đây E ( x) là “hàm tắt”. Hàm này được định nghĩa như sau
x>0
1,

=
1 2, x 0
E ( x) =
0,
x<0


Nhân hai vế của (3.2.8) với cos ux và lấy tích phân trên khoảng
[kh, (k + 1)h] . Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được tích phân

với đa thức nội suy:
( k +1) h

x − (k + 1)h
x − kh
fk +
f k +1 ]cos ux dx
h
h
1
1

1
=
f k +1 sin u (k + 1)h − f k sin ukh + 2 ( f k +1 − f k )[ cos u ( k + 1) h − cos ukh]
u
u
u h

∫
kh

[−

Có thể thấy rằng khi lấy tổng trên tất cả các khoảng [kh, (k + 1)h] ( ta coi
f k → 0 khi k → ∞ ) các số hạng chứa sin triệt tiêu.

x kh + hξ ta đưa biến số ξ vào trong tích phân với
Cuối cùng, nếu đặt =
sai số rk ( x, f ) thay cho phép lấy tích phân biến số x , ta được một biểu diễn
cho sai số ở dạng tích phân hai lớp, và sau khi lấy tổng trên các khoảng
[kh, (k + 1)h] (k= 0,1,...) ta được biểu diễn chính xác cho ϕc (u ) :

24


∞

1 − cos uh
u h

ϕc (u ) =

f0 + 2
2
∫ f (t ) cos ut dt =
0

1 − cos uh ∞
f k cos ukh + Rc (u )
u 2h ∑
k =1

1

1

∞

0

0

k =0

(3.2.10)

Rc (u ) h ∫ d ξ ∫ dτ [(ξ − τ ) E (ξ − τ ) − ξ (1 − τ )] × ∑ f / / (kh + hτ ) cos u (kh + hξ )
Với=
3

Nếu ta loại bỏ phần dư Rc (u ) , ta được một công thức xấp xỉ cho biến đổi
cosine liên hệ với các giá trị của hàm gốc f tại các điểm cách đều.

Biểu thức của phần dư Rc của công thức cho phép thu được ước lượng của
nó. Ta sẽ thu được ước lượng đơn giản nhất. Nhân của tích phân hai lớp trong
ngoặc vuông có giá trị:

−τ (1 − ξ ) khi τ < ξ
(ξ − τ ) E (ξ − τ ) − ξ (1 − τ ) =

−ξ (1 − τ ) khi τ > ξ
Nhân âm trong miền lấy tích phân 0 < ξ , τ < 1 . Tích phân kép của nhân được
tính là
1

1

ξ

1

1

dτ ∫ dξ [ ∫ −τ (1 − ξ )dτ + ∫ −ξ (1 − τ )dτ ]
∫0 dξ ∫0 [(ξ −τ ) E (ξ −τ ) − ξ (1 −τ )]=
0
0
ξ
1

1
3
2

=
−
∫0 (ξ − ξ )dξ =
12

Điều này cho phép ta ước lượng Rc như sau:
1

1

∞

0

0

k =1

Rc ≤ h3 ∫ dξ ∫ [ξ (1 − τ ) − (ξ − τ ) E (ξ − τ )]∑ f // (kh + hτ ) dτ

h3 ∞ //
f (kh + hθ , 0 < θ < 1
=
12 k∑
=0

(3.2.11)

//
Ước lượng của tổng phụ thuộc vào tính chất của đạo hàm cấp hai f . Giả

sử f / / thỏa bất đẳng thức:

25