một số vấn đề về thác triển chỉnh hình của hàm nhiều biến phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Triệu Phú Quý

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THÁC TRIỂN
CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Triệu Phú Quý

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THÁC TRIỂN
CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN PHỨC
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy Nguyễn
Văn Đông. Người thầy tận tâm và nghiêm khắc trong công việc. Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngưởi thầy kính yêu đã hướng dẫn tác giả rất nhiều
kiến thức về giải tích phức để dần nắm bắt bài toán nghiên cứu, từng bước hướng
dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm thực hiện đề
tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá
trình thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng Sau đại học đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường Cao
Đẳng Nông Nghiệp Nam Bộ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học Cao học.
Sau cùng xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp đã trao đổi, góp ý và
động viên tác giả rất nhiều trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Triệu Phú Quý


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...........................................................3
1.1. Không gian  n và chuỗi lũy thừa ...................................................................3

1.1.1. Không gian  n ..........................................................................................3
1.1.2. Chuỗi lũy thừa ...........................................................................................4
1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến ..............................................................................5
1.3. Hàm đa điều hòa dưới ......................................................................................8
1.4. Một vài định lý khác .......................................................................................10
Chương 2 : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH ....................12
2.1. Lý thuyết tổng quát về thác triển giải tích ......................................................12
2.2. Thác triển giải tích qua miền Reinhardt .........................................................14
2.3. Định lý Hartogs về sự thác triển ....................................................................18
Chương 3 : MIỀN CHỈNH HÌNH .........................................................................23
3.1. Khái niệm miền chỉnh hình ............................................................................23
3.2. Tính lồi chỉnh hình .........................................................................................28
3.3. Tính giả lồi .....................................................................................................42
KẾT LUẬN ..............................................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................56


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong mặt phẳng phức, miền bất kỳ (tập mở liên thông khác rỗng) là miền tồn
tại tự nhiên của hàm chỉnh hình: đối với miền D ⊂  , tồn tại hàm chỉnh hình trong
D và không thể thác triển giải tích ra ngoài giới hạn của miền.

Trong không gian  n (n > 1) thì điều này không còn đúng, tồn tại các miền
trong  n mà hàm chỉnh hình bất kỳ trong nó luôn luôn thác triển được ra miền rộng
hơn.
Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài Luận văn là “ Một số vấn đề về thác triển
chỉnh hình của hàm nhiều biến phức”.

2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một số kết quả về thác triển chỉnh hình và mô tả các miền trong  n ,
( n > 1 ) như là miền tồn tại của hàm chỉnh hình.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các miền trong không gian phức n chiều (n >1), các hàm chỉnh hình nhiều
biến, hàm đa điều hòa dưới.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Tìm hiểu một số kết quả về thác triển chỉnh hình, trên cơ sở đó, nghiên cứu
các miền trong  n , n > 1 như là miền tồn tại của hàm chỉnh hình.
5. Cấu trúc của luận văn
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận.
Cụ thể như sau:
•Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Trình bày các định nghĩa và các kết quả đã được viết thành giáo khoa liên
quan đến đề tài.
•Chương 2: Một số kết quả về thác triển giải tích.
Trình bày một số kết quả về thác triển giải tích: thác triển giải tích qua miền
Reinhardt, định lý thác triển Hartogs.


2

•Chương 3: Miền chỉnh hình.
Chương này của luận văn chủ yếu được dành cho việc mô tả các miền chỉnh
hình trong  n (n > 1) , tức là các miền mà mọi hàm chỉnh hình trong nó không thể
thác triển được ra miền rộng hơn.


3

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian  n và chuỗi lũy thừa
1.1.1. Không gian  n
* Ta kí hiệu ( x1 , x2 ,..., xn ) là một phần tử của  n .
*

( z1 , z2 ,..., zn ) ≈ ( x1 + iy1 ,..., xn + iyn , ) ≈ ( x1 , y1 ,..., xn , yn ) được kí hiệu là

một phần tử của  n .
Giả sử  ký hiệu trường số phức,  n là không gian Euclide phức thành lập
=
từ bộ n số phức z

( z1 , z2 ,..., zn ) , z1 , z2 ,..., zn ∈  . Trong

 n ta xét khoảng cách

Euclide
z −=
z'

n

∑z
j =1

j

− z 'j

2

•Hình cầu tâm a ∈  n bán kính r được định nghĩa là tập
B ( a , r ) = { z ∈  n : z − a < r}

•Biên ∂B =∂B(a, r ) của hình cầu là mặt cầu { z ∈  n : z − a =
r}
•Đa đĩa mở tâm a ∈  n bán kính vector r = ( r1 ,..., rn ) (với rj > 0, ∀j ∈ {1,.., n} )
được định nghĩa là tập
P ( a, r ) =

•Đa đĩa đóng tâm

{z ∈ 

n

}

: z j − a j < rj , ∀j = 1, n

bán kính vector r = ( r1 ,..., rn ) (với

a ∈ n

rj > 0, ∀j ∈ {1,.., n} ) được định nghĩa là tập
P ( a, r ) =

{z ∈ 

n

}

: z j − a j ≤ rj , ∀j = 1, n

*Đặc biệt khi r = (r ,..., r ) ta gọi P(a, r ) là đa tròn tâm a đa bán kính r
•Biên ∂P được định nghĩa là

n

 Γν

với

v =1

Γν =

{z ∈ 

n

: zν − aν = rν , zµ − aµ ≤ rµ , µ ≠ ν

}


4

•Khung của P được định nghĩa là Γ=

{z ∈ 

n

: zν − aν = rν ,ν= 1,...n}

Các đa đĩa mở tạo thành một cở sở các tập mở của tôpô tích trên  n . Chỉ xem
xét  n như là một không gian tôpô ( hoặc như là không gian vectơ thực)  n giống
với không gian  2n (không gian Euclide thông thường 2n chiều). Khi đó ta có thể áp
đặt một cách tự nhiên các cấu trúc của  2n , chẳng hạn độ đo Lebesgue lên trên  2n
trở thành độ đo trên  n mà ta kí hiệu là dV.
1.1.2. Chuỗi lũy thừa
Một họ ( ci )i∈I là tập các phần tử ci ∈  n cho tương ứng duy nhất với các phần
tử i của tập đánh chỉ số I. Ký hiệu ℑ( I ) là họ các tập con hữu hạn của I .
Với mỗi họ ( ci )i∈I , các tổng riêng hữu hạn σ J = ∑ ci với J ∈ ℑ( I ) tạo thành
i∈J

hệ định hướng với quan hệ bao hàm ⊃ của lý thuyết tập hợp được sử dụng cho quan
hệ ≥
Một họ ( ci )i∈I được gọi là khả tổng khi có σ ∈  n với tính chất sau :
∀ε > 0, ∃I ε ∈ ℑ( I ) sao cho σ J − σ ≤ ε với mọi J ∈ ℑ( I ) : J ⊃ I ε

♦Nhận xét:
a) Nếu I hữu hạn thì σ trùng với tổng thông thường; Nếu I =  thì σ được
xem là tổng của một họ đếm được ( cn )n∈ .
b) Nếu ( ci )i∈I là họ khả tổng với tổng là σ thì với mọi phép hoán vị s của I
ta có

∑c

s (i )

=σ

Một chuỗi

∞

∑c

n

được gọi là hội tụ giao hoán khi với mọi phép hoán vị s của

0

 , chuỗi

∞

∑c

s(n)

hội tụ.

0

Đặt  n+ =  + × ... ×  + ở đây  + =  là tập các số nguyên không âm. Mỗi phần tử

n

=
α (α1 ,..., α n ) ∈  n+ được gọi là một đa chỉ số.


5

Với α (α1 ,..., α n ) ∈  n+ , đặt
=

α = α1 + ... + α n ; α ! = α1 !...α n ! ; zα = z1α ...znα
1

n

với

z ∈ n .

Cho biểu thức

cα zα
∑
α

trong đó cα ∈ =
, z ( z1 ,..., zn ) ∈  n . Ta nói:

cα zα
∑
α

hội tụ tại điểm ξ ∈  n khi (cα ξ α )α ∈ là khả tổng.

cα zα
∑
α

là hội tụ tuyệt đối tại điểm ξ ∈  n khi ( cα ξ α )α ∈ là khả tổng.

n

n

Sự hội tụ tuyệt đối dẫn đến sự hội tụ. Khi có sự hội tụ tại ξ thì tổng của
(cα ξ α )α ∈n được ký hiệu là

∑ cα ξ α .

α ∈ n

Cho K là tập compact trong  và nếu E = C ( K , ) thì sự khả tổng trong E
được gọi là khả tổng đều trên K và sự khả tổng tuyệt đối trong E thường được gọi là
khả tổng chuẩn tắc trên K.
Bổ đề Abel: Giả sử có sự hội tụ tại a = (a1 ,...., an ) với a j ≠ 0 ∀j thì
(cα zα )α ∈ khả tổng chuẩn tắc trên mọi tập compact K ⊂ P(0, a ) .

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến
Định nghĩa 1.2.1
Cho Ω là một tập mở trong  n . Một hàm u ∈ C1 (Ω) được gọi là hàm chỉnh
n

hình trong Ω nếu ∂u =0 , ở đây ∂u =∑
1

∂u
dz j . Ký hiệu tập các hàm chỉnh hình
∂zj

trong Ω là H (Ω) .
Định nghĩa 1.2.2
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm zo ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận mở
U của zo nằm trong Ω sao cho hàm f

U

chỉnh hình trên U .

Định nghĩa 1.2.3
Ánh xạ f : Ω →  m , Ω là mở trong  n , được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu
f j : Ω →  chỉnh hình trên Ω với mọi j = 1,..., m , ở đây f = ( f1 ,..., f m )


6

Định nghĩa 1.2.4
Cho Ω là một tập mở trong  n với n ≥ 2 . Một hàm f : Ω →  được gọi là

chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến còn lại cố
định. Điều này có nghĩa là với mọi z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , zοj +1..., znο hàm g : V → 
zj

chỉnh

hình,

ở

đây

V
=

{z

j

 g( z j )

là hàm

∈  : ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο ) ∈ Ω} ;

g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο )

Định lí 1.2.5
Hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P(a, r ) và chỉnh hình từng biến trên P(a, r )
thì nó được biểu diễn bởi tích phân bội Cauchy:

 1 
f ( z) = 

 2π i 

n

∫ (ζ
Γ

f (ζ )d ζ 1d ζ 2 ...d ζ n
, ∀z ∈ P(a, r )
1 − z1 )( ζ 2 − z 2 ) ... ( ζ n − z n )

Suy ra f ∈ C ∞ ( P(a, r )) và f chỉnh hình trong P(a, r )

Lưu ý: Ta có thể viết gọn f ( z ) =
với

1
(2π i ) n

∫
Γ

f (ζ )d ζ
ζ −z

1
1

=
; d ζ = d ζ 1d ζ 2 ...d ζ n
(ζ 1 − z1 )(ζ 2 − z2 ) ... (ζ n − zn ) ζ − z

Hệ quả 1.2.6
Nếu Ω là tập mở trong  n và u ∈ H (Ω) thì u ∈ C ∞ (Ω) và mọi đạo hàm của

u là hàm chỉnh hình trong Ω .
Định lý 1.2.7
Cho Ω là tập mở trong  n . Với mọi tập con compact K của Ω và mọi lân
cận mở ω của K có các hằng số Cα ứng với mọi đa chỉ số α sao cho:
sup ∂α u ≤ Cα u
K

L1 (ω )

u ∈ H (Ω )


7

Hệ quả 1.2.8
k
Nếu uk ∈ H (Ω) và uk 
→ u khi k → ∞ trên mọi tập compact K ⊂ Ω thì

u ∈ H (Ω )
Định lí 1.2.9
Giả sử hàm f chỉnh hình trên đa đĩa P(a, r ) thì tại mỗi z ∈ P(a, r ) tồn tại một
khai triển lũy thừa dạng:

=
f ( z)

∞

∑ cα ( z − a )
α

α

=0

 1 
=
với cα 

 2π i 

n

∂α1 +α 2 +...+α n f (a )
f (ζ )d ζ
1 ∂α f ( a )
1
=
và sự hội tụ của
α +1
∫Γ (=
α ! ∂zα
α1 !α 2 !...α n ! ∂z1α1 ∂z2α 2 ...∂znα n

ζ − a)

chuỗi là sự hội tụ chuẩn tắc.
Định lí 1.2.10 (Bất đẳng thức Cauchy)
Nếu f chỉnh hình trong P(a, r ) và f ≤ M trên khung Γ của P(a, r ) của nó
thì hệ số của khai triển Taylor của f tại a thỏa:
cα ≤

trong đó r α = r1α r2α ...rnα
1

2

M
rα

n

Một hàm chỉnh hình trên Ω thì chỉnh hình theo từng biến. Khẳng định ngược
lại cũng đúng: một hàm chỉnh hình theo từng biến cũng chỉnh hình trên Ω . Đó là
nội dung của định lý Hartogs.
Định lí 1.2.11 (Định lý Hartogs)
Giả sử f : Ω →  với Ω mở trong  n , chỉnh hình theo từng biến phân biệt
trên Ω . Khi đó f chỉnh hình trên Ω .


8

1.3. Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.3.1

Hàm thực u , −∞ ≤ u < +∞ , xác định trong lân cận của điểm z0 , được gọi là
nửa liên tục trên tại điểm z0 nếu lim u ( z ) ≤ u ( z0 ) .
z → z0

Hàm u được gọi là nửa liên tục trên trong miền D ⊂  n , nếu nó nửa liên tục
trên tại mỗi điểm z 0 ∈ D.
Hàm thực u : D → [−∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trong miền D ⊂  n nếu và
chỉ nếu ∀λ ∈ R , ta có tập hợp {x ∈ D : u ( x) < λ} là tập mở.
Hàm thực u : D → (−∞, +∞] gọi là nửa liên tục dưới trong miền D ⊂  n nếu

−u là hàm nửa liên tục trên.
Định nghĩa 1.3.2
Một hàm u xác định trên một tập mở Ω ⊂  nhận giá trị trong [−∞, +∞)
được gọi là điều hòa dưới nếu:
a) u nửa liên tục trên trong Ω .
b) Với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm h liên tục trên K, điều hòa trên
phần trong của K và u ≤ h trên ∂K thì u ≤ h trên K.
Định lý 1.3.3
Cho hàm u xác định trên một tập mở Ω ⊂  nhận giá trị trong [−∞, +∞) và
nửa liên tục trên trong Ω . Khi đó điều kiện cần và đủ để u điều hòa dưới là: Nếu D
là đĩa đóng trong Ω và f là đa thức giải tích sao cho u ≤ Re f trên ∂D thì u ≤ Re f
trên D .
Định nghĩa 1.3.4
Cho Ω ⊂  n mở. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) được gọi là đa điều hòa dưới trong
Ω nếu:


9

a) u nửa liên tục trên trong Ω .

b) Với bất kì z , w ∈  n , hàm τ → u ( z + τ w) là hàm điều hòa dưới trong

{τ ∈  : z + τ w ∈ Ω} .
Ký hiệu tập các hàm đa điều hòa dưới trong Ω là P(Ω) .
Mệnh đề 1.3.5
Một hàm u ∈ C 2 (Ω) là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu biểu diễn dạng
Levi của nó không âm, nghĩa là:
∂ 2u ( z )
w j wk ≥ 0 với mọi z ∈ Ω và w ∈  n
∑
j , k =1 ∂z j ∂ z k
n

Một hàm đa điều hòa dưới

u ∈ C 2 (Ω)

được gọi là ngặt nếu

∂ 2u ( z )
w j wk > 0 với mọi z ∈ Ω và 0 ≠ w ∈  n .
∑
j , k =1 ∂z j ∂ z k
n

Mệnh đề 1.3.6
Nếu f ∈ H (Ω) thì log f ∈ P(Ω)
Mệnh đề 1.3.7 ( Nguyên lý cực đại)
Cho D ⊂  n là một miền và u ∈ ( D) , u ≡ const . Khi đó u không đạt cực
đại trong D. Hơn nữa, nếu D bị chặn, thì:

u ( z ) < sup{lim sup u ( z )}, z ∈ D .
ζ ∈∂D

D z →ζ

Mệnh đề 1.3.8
Nếu một họ (ui )i∈I ⊂ (Ω) bị chặn trên và hàm u = (sup ui ) nửa liên tục
i∈I

trên thì nó đa điều hoà dưới trong Ω .


10

Mệnh đề 1.3.9
Nếu (uυ )υ∞=1 ⊂ (Ω) và uυ  u thì u ∈ (Ω) .
Định lý 1.3.10
Cho 0 ≤ ϕ ∈ Co∞ ( n ) bằng không khi z > 1 , hàm ϕ chỉ phụ thuộc vào z1 ,

z2 ,…, zn và giả sử rằng ∫ ϕ ( z )d λ ( z ) = 1 mà d λ là độ đo Lebesgue. Nếu u là hàm
( z)
đa điều hòa dưới trên Ω thì uε=

∫ u ( z − εζ )ϕ (ζ )d λ (ζ ) là hàm đa điều hòa dưới,

đồng thời uε ∈ C ∞ khi d ( z , ∂Ω) > ε và uε là dãy giảm hội tụ về u khi ε → 0 ( ta giả
sử u ≡ − ∞ ).
Định lý 1.3.11
Cho Ω ⊆  n và Ω ' ⊆  m , cho f là ánh xạ chỉnh hình từ Ω vào trong Ω ' và

u ∈ PSH (Ω ') . Khi đó u  f ∈ PSH (Ω) .
Chứng minh: Trước tiên ta giả sử rằng u ∈ C 2 (Ω ') . Khi đó ta có:
n
n
∂f j
∂ 2u
∂ 2u
. Do đó u  f ∈ PSH (Ω) .
=
w j wk ∑
g j g k ≥ 0 , mà g j = ∑ wi
∑
∂zi
∂z j ∂ zk
1
=
j ,k 1 =
j , k 1 ∂f j ∂ f k
n

Trong trường hợp tổng quát u ∈ PSH (Ω ') , Ta chỉ cần dùng định lý 1.3.10 để chọn
một dãy các hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp C ∞ giảm đến u, khi đó ta có điều phải
chứng minh.
1.4. Một vài định lý khác
Định lý 1.4.1 (Stone – Weierstrass)
Giả sử X là một không gian tôpô tách và compact, C ( X ) là không gian tất
cả các hàm liên tục φ : X →  và A là một đại số con của C ( X ) . Khi đó nếu A
tách các điểm của X và A chứa tất cả các hàm hằng thì bao đóng A của A trùng
với C ( X ) .

11

Định lý 1.4.2 (Sard)
• Định nghĩa tập độ đo không
Với I = 1,2…,n cho I 1 =[a i ,b i ]. Đặt l(I i )=b i - a i là chiều dài của đoạn I i . Tập
hợp B=I 1 xI 2 x…I n được gọi là hình hộp đóng trong  n và V ( B) = l ( I1 ).l ( I 2 )...l ( I n ) là
thể tích của hình hộp B.
Tập K →  n được gọi là tập độ đo không trong  n nếu với mọi ε > 0 tồn tại
một dãy các hình hộp đóng ( Bi )i∈ sao cho:
∞

K ⊂  Bi và
i =1

∞

∑V ( B ) < ε
i =1

i

• Định lý Sard
Cho K là tập mở trong  n , f : D →  n có đạo hàm liên tục.
Đặt

K=
{x ∈ D, det f '( x) =
0} . Khi đó f ( K ) là tập độ đo không trong  n

12

Chương 2 : MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ THÁC TRIỂN GIẢI TÍCH
Chương này trình bày các phương pháp cổ điển của sự thác triển giải tích,
các kỹ thuật thác triển giải tích dựa trên chuỗi lũy thừa, tích phân Cauchy đối với đa
đĩa.
2.1. Lý thuyết tổng quát về thác triển giải tích
Xét bộ ba (a,U,f) trong đó a ∈  n ,U là một lân cận mở của a, f là một hàm
trên U lấy giá trị trong một tập cố định X. Hai bộ ba (a,U,f) và (a’,U’,f’) được gọi là
tương đương nếu a = a’ và f = f’ trên lân cận U’’ chứa trong U ∩ U ' . Một lớp tương
đương của (a,U,f) được gọi là một mầm của f tại a. Chúng ta sẽ gặp mầm các hàm
liên tục, hàm trơn với giá trị trong  ,  và nổi bật nhất là mầm các hàm chỉnh hình
tại a. Bộ ba (a,U,f) được gọi là phần tử hàm (a,U,f) tại a ∈  n . Do định lý duy nhất
ta có các phần tử (a,U,f) và (a’,U’,f’) tại điểm a là tương đương nếu f và f’ có cùng
chuỗi lũy thừa tại a: f a = f a ' . Do vậy các mầm các hàm chỉnh hình có thể được
đồng nhất với các chuỗi lũy thừa hội tụ.
Định nghĩa 2.1.1
Một phần tử hàm (b,V,g) được gọi là thác triển giải tích trực tiếp của phần tử
(a,U,f) nếu U ∩ V khác rỗng và g = f trên một thành phần liên thông của U ∩ V .
Tổng quát hơn, một phần tử hàm (b,V,g) được gọi là thác triển giải tích của phần tử
(a,U,f) nếu có một xích hữu hạn các phần tử (ak ,U k , f k ) , k =1,…,p nối (a,U,f) với
(b,V,g) bởi thác triển trực tiếp liên tiếp: (ao ,U o , f o ) = (a,U , f ) , (a p ,U p , f p ) = (b,V , g )
và (ak ,U k , f k ) là thác triển trực tiếp của (ak −1 ,U k −1 , f k −1 ) với k = 1,..,p. Với xích như
trên, ta có thể bổ sung để bảo đảm rằng ak ∈ U k ∩ U k −1 với k =1,…,p. Một xích như
vậy có thể được tăng thêm các phần tử để nhận được một thác triển giải tích dọc
theo cung γ :[0,1] →  n từ a đến b, nghĩa là γ được chọn như sau: =
γ (0) a=
; γ (1) b
và có một phân hoạch 0 = to < t1 < ... < t p = 1 sao cho γ (tk ) = ak và cung con tương ứng

13

khoảng [tk −1 , tk ] thuộc U k −1 với k =1,…,p. Khi đó ta có thể xác định một xích liên
tục các phần tử (a t ,U t , f t ), 0 ≤ t ≤ 1 nối (a,U,f) và (b,V,g).
Với một phần tử (a,U,f) tại a và điểm b cho trước, các xích khác nhau bắt đầu
từ (a,U,f) có thể dẫn đến các phần tử khác nhau tại b.
Định nghĩa 2.1.2
Toàn bộ các lớp tương đương của các phần tử hàm (b,V,g) (hoặc các chuỗi
lũy thừa hội tụ gb ) tại điểm b ∈  n , có thể nhận được từ một phần tử đã cho (a,U,f)
bởi một thác triển giải tích không bị giới hạn được gọi là hàm giải tích đầy đủ F
sinh bởi (a,U,f).
Miền Riemann đối với F:
Ta xây dựng miền đa diện Riemann R đối với hàm giải tích đầy đủ F trên  n
sao cho F được chuyển thành hàm đơn trị. Các điểm trên R đối với F trong định
nghĩa 2.1.2 có dạng [ (b,V , g ) ] hoặc p = (b, gb ) , ở đây [ (b,V , g ) ] ký hiệu là lớp
tương đương của các phần tử tại b. Ta nói rằng điểm p “bên trên” b và ánh xạ
π : p(b, gb )  b được gọi là phép chiếu từ R vào  n . Các điểm [ c,W , h ] hoặc
(c, hc ) tương ứng với thác triển giải tích trực tiếp (c,W,h) của (b,V,g) mà c ∈ V và
hc = g c xác định một lân cận cơ bản A =A ( p, V , g ) của p trong R. Các lân cận cơ bản

nhỏ sẽ tách các điểm của R. Hạn chế π A xác định một đồng phôi từ A trong R lên
V trong  n . Với mỗi điểm b của  n , miền Riemann R đối với F có nhiều lá mà
được xem như là các lớp tương đương khác nhau [ (b,V , g ) ] tại b. Nếu phần tử
(b,V,g) được nhận là thác triển giải tích của (a,U,f) dọc theo cung γ trong  n , miền
Riemann R sẽ chứa cung σ ”bên trên” nối các điểm trong tương ứng trong R.
Trên miền Riemann, hàm giải tích đầy đủ F trở thành hàm đơn trị qua định
nghĩa
=

F ( p ) F=
((b, gb )) g (b)


14

Cho q = ( z , hz ) thay đổi trong lân cận A( p,V , g ) trong R.
Ta có:
F (q=
) F (( z , hz ))
= h( z=
) g ( z ), ∀=
q ( z , hz ) ∈ A ( p, V , g )

Do vậy trên miền Riemann, hàm giải tích đầy đủ F được cho một cách địa
phương bởi một hàm chỉnh hình thông thường g trên miền V trong  n “bên dưới”
R. Đặt po = (a,U , f ) và đồng nhất A( po ,U , f ) với U chúng ta có F = f trên U. Bằng
cách này, miền Riemann R cung cấp một sự thác triển cực đại hay nói khác đi, miền
tồn tại của hàm f ∈ H (U ) : Mọi mầm của các thác triển giải tích được biểu diễn bởi
một điểm của R.
Với một phần tử hàm cho trước (a,U,f) và một điểm b thuộc U có thể có hoặc
không có một thác triển trực tiếp (b,V,g) tại b. Trong trường hợp n =1 luôn tồn tại
f ∈ H (U ) mà không thể có thác triển giải tích qua mọi điểm biên của U.

hàm

Trong  n , n ≥ 2 thì hoàn toàn khác, có các miền liên thông D ⊂  n , n ≥ 2 sao cho
mọi hàm f ∈ H ( D) có thác triển giải tích đến một miền liên thông lớn hơn D ' ⊂  n
(không phụ thuộc vào f). Trong nhiều trường hợp chúng ta có thể tìm một miền thác
triển cực đại D* trong  n .

2.2. Thác triển giải tích qua miền Reinhardt
Định nghĩa 2.2.1

Xét chuỗi lũy thừa trong  n
∞

cα zα
∑
α

(2.2.1)

=0

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (2.2.1) là tập các điểm z ∈  n sao cho chuỗi
(2.2.1) hội tụ chuẩn tắc trong một lân cận của z. Trong toàn bộ mục này ta ký hiệu
D là miền hội tụ của chuỗi (2.2.1)
Đặt

{

B = z ∈  n : ∃M > 0 : cα zα ≤ M ∀α

}


15

Định lý 2.2.2
o

Miền hội tụ D của chuỗi (2.2.1) là B và chuỗi (2.2.1) hội tụ chuẩn tắc tới
hàm chỉnh hình trong D.
o

o

Chứng minh: Hiển nhiên ta có D ⊂ B . Giả sử z thuộc B . Khi đó tồn tại một lân
cận V của

z sao cho V ⊂ B . Chọn b ∈ V sao cho z j < b j , j =
1,..., n . Lấy

β j ∈ ( z j , b j ) , j = 1,..., n . Từ bổ đề Abel, ta có chuỗi (2.2.1) hội tụ chuẩn tắc trong
B( z1 , β1 ) × ... × B( zn , β n ) =
P( z , β ) . Lấy K là tập compact trong D và { P( z , β ) : z ∈ K } là
k

một phủ mở của K. Khi đó có z1 ,..., z k sao cho K ⊂  P( z m , β ) , suy ra chuỗi (2.2.1)
m =1

hội tụ chuẩn tắc trên mọi tập compact trong D. Vậy z ∈ D . Do định lý 2.2.1 ta có
tổng của chuỗi lũy thừa chỉnh hình trên miền hội tụ của nó.
Định lý 2.2.3
Đặt D* =
(eξ ,..., eξ ) ∈ D} . Khi đó D* là tập lồi mở trong  n và
{ξ ∈  n : eξ :=
n

1

nếu ξ ∈ D* thì

1,.., n . Ngoài ra z ∈ D nếu và chỉ nếu
η ∈ D* khi η j ≤ ξ j , j =

ξ

zj ≤ e j , j =
1, n đối với ξ nào đó thuộc D* .

Chứng minh: Đặt B* =
(eξ ,..., eξ ) ∈ B} . Từ định lý 2.2.2 có D* = B* .
{ξ ∈  n : eξ :=
o

1

n

Bây giờ giả sử ξ ,η ∈ B* . Chọn C > 0 để
 n

 n

cα exp  ∑ α jξ j  ≤ C và cα exp  ∑ α jη j  ≤ C với mọi α .
 j =1

 j =1




n





j =1



Nếu λ , µ ≥ 0 và λ + µ =
1 thì cα exp  ∑ α j (λξ j + µη j )  ≤ C . Vậy λξ + µη ∈ B* và B* là
o

lồi. Do D* = B* nên D* lồi. Điều này suy ra các tính chất được khẳng định của D* .


16

Định nghĩa 2.2.4
Một tập con mở Ω ⊂  n được gọi là miền Reinhardt ( R- miền) nếu
( z1 ,..., zn ) ∈ Ω dẫn đến ( eiθ1 z1 ,..., eiθn zn ) ∈ Ω với mọi số thực θ1 ,..., θ n

Định lý sau cho mối liên hệ giữa miền hội tụ của (2.2.1) và miền Reinhardt.
Định lý 2.2.5
Giả sử Ω là miền Reinhardt liên thông chứa 0 và giả sử f chỉnh hình trên Ω .
∞

Khi đó tồn tại duy nhất chuỗi lũy thừa sao cho f ( z ) = ∑ cα zα mà sự hội tụ là hội tụ
α =0

chuẩn tắc trong Ω .
Chứng minh: Tính duy nhất là hiển nhiên, vì bằng cách đạo hàm từng số hạng ta
có
c=
α

1

α!

∂α f (0)

Để chứng minh sự tồn tại của chuỗi lũy thừa, ta lấy ε > 0 tùy ý và định nghĩa
Ω=
ε

{ z ∈ Ω : d ( z, ∂Ω) > ε z }

Ta có 0 ∈ Ωε và Ωε là mở. Giả sử Ω 'ε là thành phần liên thông của Ωε chứa 0. Ta có
Ω 'e ↑ khi ε ↓ 0 và do tính liên thông của Ω ta có Ω=

 1 
g ( z) = 

 2π i 

ở đây=

Tε

{t : t

j

}

n

∫

∂ 0Tε

{

 Ω 'ε . Với

ε >0

z ∈ Ω 'ε , ta đặt

f (t1 z1 ,..., tn zn )
dt1...dtn
(t1 − 1)...(tn − 1)

}

≤ 1 + ε=
, j 1, n , ∂ oTε =t : t j =+

1 ε, j =
1, n .

Chú ý rằng tích phân này xác định, bởi vì khoảng cách từ z tới (1 + ε ) z là
ε z , do đó nếu z ∈ Ω 'ε ta có (1 + ε ) z ∈ Ω . Vì Ω là miền Reinhardt ta suy ra

( t1 z1 ,..., tn zn ) ∈ Ω với mọi t ∈ ∂ 0Tε . Như vậy tích phân xác định một hàm trơn theo z.
Bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân suy ra g chỉnh hình trong Ω 'e . Nếu bây giờ


17

với z đủ bé, ( t1 z1 ,..., tn zn ) ∈ Ω với mọi t ∈ Tε , công thức tích phân Cauchy suy ra
f(z)=g(z). Do Ω 'e liên thông nên f = g trong Ω 'e .
1
1
...
= ∑ t1−α1 −1..tn−α n −1 hội tụ chuẩn tắc khi
( t1 − 1) ( tn − 1)

Bây giờ chúng ta có

( t1 z1 ,..., tn zn ) thuộc tập compact trong

t ∈ ∂ 0Tε . Bởi vì
Ω 'e

trong

 1 

fα ( z ) = 

 2π i 

n

và

∫

∂ 0Tε

t ∈ ∂ oTε ,

ta

có

Ω nếu z thuộc tập compact

f ( z ) = ∑ fα ( z )

với

α

f (t1 z1 ,..., tn zn )
dt1...dtn hội tụ chuẩn tắc tới f trong Ω 'e .
t1α1 +1...tnα n +1

Bằng cách đạo hàm từng số hạng có fα ( z=
)

zα α
∂ f (0) . Từ đó ta có biểu diễn
α!

cần tìm.
Định nghĩa 2.2.6
Một R-miền được gọi là lồi loga nếu có các tính chất của một miền hội tụ
được mô tả trong định lý 2.2.3 ( nghĩa là R-miền D được gọi là lồi loga nếu

{

}

D* =
ξ ∈ n : ξ j =
log z j , j =
1,.., n, z ∈ D là tập lồi).

Phần trong của giao của một họ các R-miền lồi loga cũng là một R-miền lồi
loga. Do đó với mọi tập mở Ω trong  n ta có thể tìm được một R-miền lồi loga nhỏ
 chứa nó.
nhất Ω

*Ví dụ: Nếu Ω=

{z ∈  , max ( z
2

1

}

, z2 ) < 1, min ( z1 , z2 ) < ε thì

=  z ∈  2 , max  z , z , z1.z2  < 1
Ω
 1 2

ε  



Từ định lý 2.2.3 và 2.2.5 có kết quả sau:


18

Định lý 2.2.7
 là một R-miền lồi loga nhỏ nhất
Giả sử Ω là R-miền liên thông chứa 0 và Ω

chứa nó. Khi đó mọi hàm thuộc H ( Ω ) có thể được mở rộng thành hàm thuộc

( )

 .
H Ω

Chứng minh: Vì một hàm chỉnh hình trên một miền Reinhardt chứa 0 được biểu
diễn qua một chuỗi lũy thừa nên hàm có thể mở rộng chỉnh hình trên tập hợp các
điểm mà chuỗi lũy thừa hội tụ. Những điểm trước tiên được bổ sung vào miền Ω
ban đầu là những điểm z sao cho z j ≤ w j ∀j với w∈ Ω nào đó, sau đó là những
điểm z mà có w1 , w2 ∈ Ω sao cho log
=
z j λ log w1j + (1 − λ ) log w2j với mọi j ≤ n , với
mọi λ ∈ [0,1] .
2.3. Định lý Hartogs về sự thác triển
Bổ đề 2.3.1
Giả sử L = L1 × ... × Lm với Lµ : ζ µ = ζ µ (t ) là đường cong đo được trong ζ µ - mặt
phẳng µ = 1,..., m ; D là miền trong  m . Nếu hàm g (ζ , z ) liên tục trên L × D , chỉnh
=
hình theo z = ( z1 ,..., zm ) trong D
với ζ (ζ 1 ,..., ζ m ) ∈ L tùy ý và có các đạo hàm riêng

liên tục

∂g
trên L × D thì tích phân
∂zν

=
G( z)

d ζ ... ∫ g (ζ , z )d ζ
∫=
∫ g (ζ , z )dζ
1

L1

chỉnh hình theo z trong D và

m

Lm

L

∂G
∂g (ζ , z )
=∫
d ζ (ν =1,...,n)
∂zν L ∂zν

Chứng minh: Đối với z ∈ D tùy ý ta chọn r > 0 sao cho đa đĩa P( z , r ) ⊂ D ; giả sử
hν =
< r và h (0,.., hν ,..0) ∈  n là vector mà mọi tọa độ, trừ tọa độ thứ ν , đều bằng 0.

Ta có:
1
1
G ( z )]
[ g (ζ , z + h) −g (ζ =
, z )]d ζ
[G ( z + h) −=
hν
hν ∫L

∂g (ζ , z + θ h)
dθ
∂
z
ν
0

1

∫ dζ ∫
L


19

và do đó
1
∂g (ζ , z )
dζ
[G ( z + h) − G ( z )=
]− ∫
hν
z
∂
ν
0
1

Vì rằng

1
 ∂g (ζ , z + θ h) ∂g (ζ , z ) 
d
ζ
−
 dθ
∫L ∫0  ∂zν
∂zν 

(2.3.1)

∂g (ζ , z + θ h)
, với z cố định, liên tục đều trên tập compact L × [ 0;1] nên
∂zν

đối với ε > 0 tùy ý, có thể chọn δ > 0 đủ nhỏ, sao cho với mọi (ζ ,θ ) ∈ L × [ 0,1] với
h < δ ta có

∂g (ζ , z + θ h) ∂g (ζ , z )
−
<ε
∂zν
∂zν

Vì thế, bằng cách đánh giá liên tiếp các tích phân trong vế phải của (2.3.1) ta
có
1
∂g (ζ , z )
dζ ≤ ε L1 ... Lm với h < δ .

[ G ( z + h) − G ( z ) ] − ∫
hν
∂zν
0
1

Như vậy, tại mọi điểm z ∈ D , mọi đạo hàm riêng

∂G
tồn tại.
∂zν

Định lý 2.3.2
Cho các miền ' D ⊂  n −1 và Dn ⊂  . Khi đó mọi hàm f chỉnh hình trong lân
cận của tập M
= (' D × ∂Dn ) ∪ ({' z o } × Dn ) trong đó ' z o ∈ ' D , đều có thác triển chỉnh
hình vào miền D = ' D × Dn
Chứng minh: Không giảm tính tổng quát, có thể xem rằng Dn bị giới hạn bởi
hữu hạn đường cong trơn.
f (' z , ζ n )
1
Hàm f ( z ) =
d ζ n chỉnh hình trong miền D = ' D × Dn .
∫
2π i ∂D ζ n − zn
n

Thật vậy, khi ζ n ∈ ∂Dn và ' z ∈ ' D ; điểm (' z , ζ n ) ∈ M và do đó f (' z , zn ) chỉnh hình
theo z = ( z1 ,..., zm ) trong D.

Theo bổ đề 2.3.1 hàm f chỉnh hình theo

z = ( z1 ,..., zm ) trong D đối với ' z ∈ ' D , zn ∉ ∂Dn tùy ý. Mặt khác, với ' z ∈ ' D tùy ý,

hàm f (xem như tích phân loại Cauchy) chỉnh hình đối với zn ∈ Dn . Nhưng với z


20
thuộc lân cận nào đó của tập {' z o } × Dn , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và với những
z đó theo công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến zn là:
f ( z) =

f (' z , ζ n )
1
dζ n
∫
2π i ∂Dn ζ n − zn

Như vậy đối với những z thuộc lân cận này f ( z ) = f ( z ) và theo định lý duy nhất đối
với hàm nhiều biến f ≡ f khắp nơi mà f chỉnh hình. Nhưng f ∈ H ( D) và do đó nó
là thác triển chỉnh hình cần tìm của f.
*Nhận xét : Từ chứng minh ta thấy điều kiện định lý Hartogs có thể giảm đi, chỉ
đòi hỏi rằng
a) f chỉnh hình trong lân cận tập {' z o } × Dn
b) f liên tục theo zn và chỉnh hình theo ' z trên tập ' D × ∂Dn
Định nghĩa 2.3.3
Cho D là miền trong  n . Tập hợp M ⊂ D được gọi là tập mỏng nếu với mọi
z ∈ D tồn tại lân cận U z ⊂ D và một hàm chỉnh hình ϕ , ϕ ≡ 0 và bằng 0 tại mọi

điểm của M ∩ U z

Nhận xét rằng tập mỏng không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong
D.
Phần bù của một tập mỏng trong D là tập liên thông.
Định lý 2.3.4
Giả sử M là tập mỏng trong miền D ⊂  n và hàm f chỉnh hình trong D \ M.
Nếu f bị chặn địa phương thì nó được thác triển được một cách duy nhất thành hàm
f chỉnh hình trong D.


21

Chứng minh: Vì D \ M liên thông nên sự thác triển là duy nhất. Ta chỉ cần chứng
minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f qua điểm bất kỳ a ∈ M mà không mất tính
tổng quát, có thể xem a = 0. Do M là tập mỏng nên tồn tại lân cận U 0 ⊂ D và môt
hàm chỉnh hình ϕ , ϕ ≡ 0 và bằng 0 tại mọi điểm của M ∩ U 0 . Nếu cần, thực hiện
một phép biến đổi tuyến tính, ta có ϕ thỏa mãn điều kiện ϕ (' z , 0) ≠ 0 , trong đó
' z = ( z1 ,..., zn −1 ) . Với ρ n > 0 đủ nhỏ hàm ϕ ('0, zn ) ≠ 0 trên đường tròn

{z

n

= ρ n } , vì

(ν 1,..., n − 1 ) có thể lấy đủ nhỏ, sao cho ϕ (' z , zn ) ≠ 0 với mọi
thế các số ρν =
' z ∈ 'V =

{ zν

≤ ρν :ν = 1,..., n − 1} và mọi zn ∈ ∂Dn , ở đây Dn =
{w ∈  : w < ρn } . Từ đó

suy ra rằng, các điểm (' z, zn ) trong đó ' z ∈ 'V , còn zn ∈ ∂Dn , không thuộc tập M, tức
là f chỉnh hình trong lân cận 'V × ∂Dn .
Mặt khác, với ' z o ∈ 'V cố định tùy ý, hàm ϕ (' z o , zn ) có hữu hạn không điểm
trong hình tròn =
Dn

{z

n

≤ ρ n } tức là f (' z o , zn ) có trong Dn hữu hạn điểm kỳ dị. Vì

theo giả thiết f bị chặn trong Dn nên các điểm kỳ dị là các điểm kỳ dị bỏ được,
nghĩa là f (' z o , zn ) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong Dn . Hàm thác triển
f chỉnh hình trong lân cận tập (V × ∂D ) ∪ ('0 × D ) và theo định lý 2.3.2 chỉnh hình
n
n

trong đa đĩa V= 'V × Dn .
Định lý 2.3.5
Nếu hàm f liên tục trong miền D ⊂  n và chỉnh hình khắp nơi trong D, trừ
ra một tập M nằm trên mặt trơn 2n -1 chiều S thì nó chỉnh hình trong miền D.
Chứng minh: Giả sử trong lân cận U của điểm 0 ∈ M , mặt S biểu diễn bởi
phương trình yn = ϕ (' z, xn ) , trong đó ϕ là hàm thực trơn. Vì ϕ ('0, 0) = 0 nên theo
tính liên tục, với β > 0 nhỏ tùy ý, tìm được lân cận 'V của điểm ‘0 và số α > 0 sao
cho

ϕ (' z , xn ) < β

với mọi ' z ∈ 'V và

xn < α . Vì thế f chỉnh hình trong

'V × { xn < α , yn < γ } trong đó γ > β , γ đủ nhỏ. Mặt khác, với ' z o ∈ 'V cố định, hàm