một số tính chất của môđun minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
MINIMAX

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Phương

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
MINIMAX
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh được sự giúp đỡ tận tình của nhà trường, quí Thầy cô, gia đình và bạn bè, tôi đã hoàn
thành chương trình học và luận văn này. Tôi vô cùng biết ơn.
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa toán tin và Phòng
sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi thực hiện tốt luận văn này.
Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn PGS. TS Trần
Tuấn Nam, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong thời gian
qua.
Dù đã cố gắng thực hiện luận văn bằng cả tâm huyết nhưng sự hạn chế về ngoại ngữ của
bản thân cũng sẽ làm luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự
đóng góp chân thành của quí Thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 09 năm 2013
Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Phương

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
KÍ HIỆU TOÁN HỌC ................................................................................................ 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 7
1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết.........................................7
1.2. Mở rộng cốt yếu. ..........................................................................................................9

1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế. .......................................................................10
1.4. Môđun coatomic. .......................................................................................................13
1.5. Số chiều.......................................................................................................................14

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX ....................... 16
2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0. ....................................16
2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn. ....................................................................21
2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E)..................................................................25
2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn. ...................................................................31

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 41

2


KÍ HIỆU TOÁN HỌC
R

Vành noether giao hoán

𝑅�

Vành đầy đủ của vành địa phương R

RS

Vành các thương của R theo tập con nhân S

MS

Môđun các thương của M theo tập con nhân S

Rp

Môđun địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố p

Ω

Tập tất cả các iđêan tối đại của R

HomR(M, N)

Tập tất cả các R-đồng cấu f: M → N

U⊊M

U chứa trong M và U ≠ M

K << M

K nhỏ trong M

Ass(M)

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M

Coass(M)

Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M

AnnR(x)

{x ∈ R/ rx = 0}

AnnR(M)
AnnM(m)
I(M)

{x ∈ R/ rM = 0}

{x ∈ M/ mx = 0}

{x ∈ R/ rM ≠ M}

∩ Ass(M)

Giao của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M

∩ Coass(M)

Giao của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M

∪ Coass(M)

Hợp của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M

Soc(M)

Đế của M

Rad(M)

Căn của M

L(M)

Tổng của tất cả các môđun con artin của M

P(M)

Môđun con căn lớn nhất của M

∪ Ass(M)

Hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M

3


Lm(M)

Thành phần m-nguyên sơ của M

⊕

Tổng trực tiếp trong

⨆

Tổng trực tiếp ngoài

dim M

Chiều Krull của M

Gd M

Chiều Goldie của M

4


LỜI NÓI ĐẦU
Những tính chất của môđun minimax được Zöschinger nghiên cứu vào năm 1986,
nghiên cứu này dựa trên kết quả của bài báo về “Môđun compắc tuyến tính trên vành
noether” của ông. Từ đây ông tìm ra được mối liên hệ chặt chẽ giữa các khái niệm: dãy điều
kiện với môđun minimax, hữu hạn sinh với coatomic và artin với nửa artin. Các mối liên hệ
này cho ta các tính chất của môđun minimax một cách tổng quát.
Một R-môđun M được gọi là môđun minimax nếu có một môđun con hữu hạn sinh U
sao cho M/U là artin hay nói cách khác M là mở rộng của một môđun hữu hạn sinh theo một
môđun artin. Ở đây R là vành noether giao hoán. Cụ thể áp dụng cho R-môđun M ta có hai
kết quả đáng ngạc nhiên sau đây:

(2.1.2) Nếu M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0 thì M là

mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin.
(2.2.3) Nếu M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn thì P(M) là mở rộng cốt yếu
một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa Artin.
Đảo ngược lại với (2.1.2) ta có điều kiện tương đương trong (2.1.5), trong trường hợp này

khái niệm “chiều Goldie hữu hạn” được đưa ra. Lấy đối ngẫu trong trường hợp điều kiện
max ta có năm điều kiện tương đương trong (2.3.6), từ đây ta có khái niệm “thặng dư cốt
yếu của môđun artin”. Nếu M là môđun bổ sung tiếp tục chúng ta có các điều kiện tương
đương trong (2.4.5).
Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết của đại số giao
hoán có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các vấn đề
đưa ra dựa trên bài báo [16] của Zöschinger.
Nội dung luận văn được chia thành hai chương cụ thể như sau:
Chương 1- Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số mệnh đề để chứng minh
các kết quả trong chương 2.
Chương 2- Một số tính chất của môđun minimax.
Chương này gồm có 4 phần:
5


Phần 1: Dãy điều kiện đối với lớp môđun con U sao cho Soc (M/U) = 0.
Phần 2: Điều kiện min đối với lớp môđun con căn.
Phần 3: Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E).
Phần 4: Điều kiện max đối với lớp môđun con căn.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức cũng như ngôn ngữ
nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng
của quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

6


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố đối liên kết.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun và x ∈ M, linh hóa tử của x là

AnnR(x) = { r ∈ R/ rx = 0}.

Linh hóa tử của M là: AnnR (M) = { r ∈ R/ rM = 0}.

Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan
nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại 0 ≠ x ∈ M sao cho p = AnnR(x).

Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M được kí hiệu là Ass(M).

Mệnh đề 1.1.3. Cho p là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun và U là môđun con
của M. Khi đó:
(i) p ∈ Ass (M) nếu và chỉ nếu có môđun con B của M sao cho B ≅ R/p.

(ii) Ass(U) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(U) ∪ Ass(M/U).

Mệnh đề 1.1.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó phần tử tối đại của tập

là một iđêan nguyên tố.

{AnnR(x)/ x ∈ M, x ≠ 0}.

Hệ quả 1.1.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó Ass(M) ≠ ∅ nếu và chỉ nếu M ≠ 0. Hơn nữa,

nếu M hữu hạn sinh thì Ass(M) là tập hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.6. Cho M là một R-môđun, phần tử x ∈ R được gọi là ước của 0 trên M

nếu AnnM (x) ≠ 0.

Mệnh đề 1.1.7. Cho M là R-môđun, tập tất cả các ước của 0 trên M là ⋃ 𝐴𝑠𝑠(𝑀).

Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

⋂ 𝐴𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅 (𝑀).

Định nghĩa 1.1.9. Một R-môđun N được gọi là không phân tích được nếu N ≠ 0 và từ
X + Y = N ta luôn có N = X hoặc N = Y.

7


Trong trường hợp này tập I(N) = { x ∈ R/ xN ≠ N} là một iđêan nguyên tố của R. Nếu

M là một R-môđun không phân tích được và N là môđun con thực sự của M thì M/N là
môđun thương không phân tích được và I(M) = I(M/N).
Định nghĩa 1.1.10. Cho M là R-môđun, một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan
nguyên tố đối liên kết với M nếu có một môđun thương không phân tích được N của M sao
cho p = I(N).
Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với M được kí hiệu là Coass(M). Hiển nhiên
Coass(M) ≠ ∅ nếu M ≠ 0.

Theo [15, mệnh đề 2] ta có tính chất sau:
⋃ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) = { x∈ R/ xM ≠ M}.

Định nghĩa 1.1.11. Cho M là một R-môđun và m ∈ Ω. Tập

Lm (M) = { x ∈ M/ me ⊂ AnnR(x) với e là số nguyên dương nào đó }.

được gọi là thành phần m-nguyên sơ của M.

Một R-môđun được gọi là nửa artin nếu mỗi môđun con thực sự chứa một môđun con

tối tiểu. Với bất kỳ R-môđun M ta ký hiệu L(M) là tổng của tất cả các môđun con artin của
M. Khi đó L(M) là môđun con nửa artin lớn nhất của M.
Theo [6, Định lí 1] thì ta có L (M) = ⊕𝑚∈𝛺 Lm (𝑀).

Định nghĩa 1.1.12. Cho R là vành noether và m là một iđêan của R. Một R-môđun M được
gọi là m-nguyên sơ nếu M = Lm(M).
Mệnh đề 1.1.13. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó:
(i) Nếu L (M) = M thì M là môđun nửa artin.
(ii) 𝐿𝑚 (𝑀) = ∑∝𝑖=1 𝐴𝑛𝑛𝑀 (𝑚𝑖 ) với m ∈ Ω.

Định nghĩa 1.1.14. Cho M là R-môđun và m ∈ Ω. Khi đó tập

Km (M) = {x ∈ M/ AnnR(x) ⊆ a ⇒ a ⊆ m với bất kỳ a ∈ Ω}.

được gọi là m- địa phương lớn nhất của M.

Theo [14, Mệnh đề 2.3] đối với mỗi R-môđun ta có M = ⊕m∈ Ω Km (M).

Mệnh đề 1.1.15. Cho M là R-môđun và B là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
8


Coass(M ⊗ R B) = Coass(M) ⋂ Supp(B).

Mệnh đề 1.1.16. Cho A là một R-môđun hữu hạn sinh và M là môđun nội xạ. Khi đó ta có:
Coass(HomR(A, M)) = { p ∈ Ass(A)/ AnnM(p) ≠ 0}.

Mệnh đề 1.1.17. Cho M là một R-môđun khác 0. Khi đó M là môđun nửa artin nếu và chỉ
nếu Ass(M) ⊆ Ω.

1.2. Mở rộng cốt yếu.
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun. Một R-môđun E ⊇ M được gọi là mở rộng cốt yếu
của M nếu với mỗi môđun con U khác 0 của E thỏa mãn U ∩ M ≠ 0.

Mở rộng cốt yếu E ⊇ M được gọi là tối đại nếu không tồn tại R-môđun K ⊋ E và đồng

thời K là mở rộng cốt yếu của M.

Nếu E ⊇ M là mở rộng cốt yếu của M thì M được gọi là môđun con cốt yếu (hay lớn)

trong E và ký hiệu là M ⊆e E.

Môđun con N của M được gọi là môđun đối cốt yếu (hay nhỏ) trong M nếu với mỗi

môđun con N’ của M ta luôn có N + N’ = M kéo theo N’ = M và kí hiệu là

N << M.

Đồng cấu f: M → E được gọi là mở rộng cốt yếu nếu f là đơn cấu và Imf ⊆e E.

Một toàn cấu f: M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Kerf << M nghĩa là X + Kerf = M

kéo theo X = M với X là môđun con của M. Khi đó M cũng được gọi là thặng dư cốt yếu
của N.

Định nghĩa 1.2.2. Một môđun con N của R-môđun M được gọi là đóng nếu N không có mở
rộng cốt yếu trong M, tức là nếu N ⊆e K thì K = N với K là môđun con của M.

Một R-môđun con U của M được gọi là đối đóng của M nếu U/X << M/X thì

U/X = 0

với X là môđun con của M.
Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun M được gọi là môđun bổ sung nếu mỗi môđun con U của
M thì tập {V ⊂ M / V + U = M} có phần tử tối tiểu V0.

Một môđun M được gọi là bổ sung yếu nếu với mỗi môđun con U của M có một môđun

con V sao cho V + U = M và V ∩ U << M (hay U gọi là bổ sung yếu của V trong M).
Mệnh đề 1.2.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó:

9


(i)

Nếu M là R-môđun bổ sung thì M/Rad(M) là môđun nửa artin, M/P(M) là
coatomic và P(M) là môđun bổ sung.

(ii)

Nếu mỗi môđun con của M là một môđun bổ sung trong M thì M là môđun nửa
đơn.

Mệnh đề 1.2.5. Cho N là môđun con của M. Các điều sau tương đương:
(i)

N là bổ sung trong M.

(ii)

N là đối đóng trong M.

Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một R-môđun, ta nói phần tử x ∈ R tác động song ánh lên M

nếu đồng cấu nhân với x: M → M, m ↦ xm là một đẳng cấu.

Mệnh đề 1.2.6. Cho m là iđêan tối đại của R và M là R-môđun sao cho tồn tại phần tử x ∈

M tác động song ánh lên M. Khi đó ta có:
(1) 𝑇𝑜𝑟1𝑅 (R/ m, M) = 0.
(2) 𝐸𝑥𝑡𝑅1 (R/m, M) = 0.

Mệnh đề 1.2.7. Cho U là môđun con của R-môđun M và S là tập con nhân của R sao cho S
không chứa ước của 0 trên M. Khi đó nếu f: U → M là một mở rộng cốt yếu các R-môđun
thì fS: US → MS cũng là mở rộng cốt yếu các RS-môđun.

Mệnh đề 1.2.8. Cho m là một iđêan tối đại của R và M là R-môđun. Khi đó
𝑅/𝑚 ⊗𝑅 𝑀 ≅ 𝑀/𝑚𝑀.

1.3. Môđun căn, đơn - căn và môđun đế.

Định nghĩa 1.3.1. Một R-môđun M được gọi là môđun đơn nếu M khác 0 và M không có
môđun con nào khác 0 và M.
Một R-môđun M được gọi là nửa đơn nếu mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp
trong M.
Định lí 1.3.2. Cho M là một R-môđun . Các điều sau tương đương:
(i)

M là nửa đơn.

(ii)

M là tổng của các môđun con đơn của nó.

(iii)

Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp.

10


Định nghĩa 1.3.3. Đế của R-môđun M là tổng của các môđun con đơn của M, tương đương
với giao của các môđun con cốt yếu của M và được kí hiệu là

Soc (M).

Môđun M được gọi là môđun đế nếu nó không có môđun con đơn hay Soc(M) = 0.
Soc(M) là môđun con nửa đơn lớn nhất của M và M là môđun nửa đơn nếu và chỉ nếu M
= Soc(M).
Bổ đề 1.3.4. Cho (R, m) là vành địa phương và M là một R-môđun. Khi đó
Soc(M) ≅ HomR( R/m, M).

Chứng minh: Vì AnnM(m) ≅ HomR( R/m, M) nên ta có thể chỉ cần chứng minh Soc(M)

= AnnM(m). Cho U là một môđun con đơn của M, ta có U ≅ R/m nên mU = 0 tức là U ⊆

AnnM(m). Điều này đúng với mọi môđun con đơn của M nên Soc(M) ⊆ AnnM(m). Để thấy

bao hàm thức còn lại lấy x ∈ M sao cho mx = 0, từ đây ta phải có m = Ann(x) và do đó Rx

≅ R/m là môđun đơn tức là Rx ⊂ Soc(M).

Định nghĩa 1.3.5. Một R-môđun M được gọi là có cấp tối đại nếu với mỗi x ∈ M, từ

AnnR(x) ⊆ p với p là một iđêan nguyên tố của R, ta luôn có p ∈ Ω.

Mệnh đề 1.3.6. Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương:
(i)

M là môđun artin.

(ii)

M có cấp tối đại và Soc(M) là hữu hạn sinh.

Mệnh đề 1.3.7. Cho M là một R-môđun. Khi đó Soc(M/L(M)) = 0.
Định nghĩa 1.3.8. Một môđun con U của R-môđun M được gọi là môđun con tối đại của
M nếu M/U là môđun đơn.
Định nghĩa 1.3.9. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M,
tương đương với tổng của các môđun con đối cốt yếu của M.
Kí hiệu là Rad(M).
Khi đó môđun M được gọi là môđun căn nếu M không có môđun con tối đại nào hay
Rad(M) = M.
Bổ đề 1.3.10. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U
là môđun nửa đơn.

11


Chứng minh: Kí hiệu r(M) là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U là

nửa đơn, rõ ràng ta có r(M) ⊆ Rad(M). Để chứng minh chiều ngược lại, cho U là một

môđun con của M sao cho M/U nửa đơn, tức là 𝑀 ∕ 𝑈 = ⨁𝑖∈𝐼 𝑆𝑖 trong đó mỗi Si là môđun

đơn. Gọi p: M → M/U là phép chiếu tự nhiên, 𝜋𝑖 : M/U → Si là phép chiếu lên thành phần Si.

Với mỗi i ∈ 𝐼, ta có Ui = Ker 𝜋𝑖 p là môđun tối đại của M do M/ Ker 𝜋𝑖 p ≅ Si là môđun

đơn.Vì mỗi i ∈ 𝐼, Rad(U) ⊆ Ui nên

Rad(M) ⊆ ⋃𝑖∈𝐼 𝑈𝑖 = U, điều này có nghĩa là Rad(M) ⊆ r(M).

Mệnh đề 1.3.11. Cho M là R-môđun. Khi đó:

Rad(M) = ⋂𝑚∈Ω 𝑚𝑀.

Định nghĩa 1.3.12. Cho M là một R-môđun, tổng của các môđun con căn được ký hiệu là
P(M). Khi đó P(M) là môđun con căn lớn nhất của M. Nếu P(M) = 0 thì M được gọi là
môđun rút gọn.
Một R-môđun M được gọi là môđun nhỏ - rút gọn nếu mọi môđun con căn nhỏ trong
M là môđun 0.
Mệnh đề 1.3.13. Nếu M là R-môđun căn và đồng thời M là môđun hữu hạn sinh thì M = 0.
Mệnh đề 1.3.14. Cho M là R-môđun và U là môđun con của M. Nếu Soc(M) = 0 thì U là
môđun căn. Khi đó với mỗi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) ≤1.

Định nghĩa 1.3.15. Một R-môđun M được gọi là đơn - căn nếu M là môđun căn khác 0 và
không chứa bất kỳ môđun con căn nào.

Mệnh đề 1.3.16. Cho M là môđun đế. Các điều sau tương đương:
(i)

M là tổng các môdun con đơn – căn.

(ii)

M là môđun căn và mỗi môđun con U của M thỏa mãn Soc(U) = 0 thì U là hạng
tử trực tiếp trong M.

Mệnh đề 1.3.17. Cho M là môđun đế và là tổng trực tiếp của các môđun đơn - căn. Các điều
sau tương đương:
(i)

Ass(M) = Coass(M).

(ii)

Mỗi iđêan tối đại m của R thì tập {p ∈ Ass(M)/ p ⊂ m} là hữu hạn.

Mệnh đề 1.3.18. Cho M là một môđun artin. Các điều sau tương đương:

12


(i)

M là tổng của các môđun đơn - căn.

(ii)

M = U1+ U2+…+Un trong đó Ui là môđun không chia được và là tổng các môđun

đơn - căn.

Mệnh đề 1.3.19. Cho một môđun artin M là tổng của các môđun con đơn - căn. Các điều
sau tương đương:
(i)

Mỗi môđun con căn của M là tổng của các môđun con đơn - căn.

(ii)

Với mọi p ∈ Coass(M) thì dim(R/p) = 1.

(iii)

M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

1.4. Môđun coatomic.
Định nghĩa 1.4.1. Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mỗi môđun con thật sự của
M chứa trong một môđun con tối đại, tương đương với Rad(M)/U ≠ M/U với mỗi môđun

con thực sự U của M.

Theo một cách khác, môđun M được gọi là coatomic nếu trong dãy 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ … ⊂

Mn-1 = M các môđun con của M thì Mi/Mi-1 là môđun hữu hạn sinh hoặc nửa đơn với mọi i.
Mỗi môđun con và môđun thương của môđun coatomic là môđun coatomic.
Mệnh đề 1.4.2. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh hoặc môđun nửa đơn là coatomic.

Định nghĩa 1.4.3. Cho U là một môđun con coatomic của R-môđun M. Khi đó M được gọi
là mở rộng một coatomic nếu M/U là môđun nửa artin.

Bổ đề 1.4.4. Cho 𝔥 là lớp của tất cả các R-môđun là mở rộng một môđun coatomic theo một

môđun nửa artin. Khi đó ta có

M ∈ 𝔥 nếu U ∈ 𝔥 và M/U ∈ 𝔥.

Chứng minh: Vì U ∈ 𝔥 và M/U ∈ 𝔥 nên ta có các môđun con B ⊂ U ⊂ C ⊂ M sao cho B

là coatomic, U/B là môđun nửa artin, C/U coatomic và M/C là môđun nửa artin. Đặt 𝔇 = {X

⊂ M/ X∩ U = B} khi đó ta chọn trong tập hợp này một phần tử cực đại X0 để có một đơn

cấu cốt yếu f: U/B → M/X0. Điều này kéo theo M/ X0 ∩ C là môđun nửa artin, mặt khác X0

∩ C /B là môđun con của coatomic C/U nên cũng là coatomic, do đó X0 ∩ C cũng là
coatomic. Vậy nên M ∈ 𝔥.

Mệnh đề 1.4.5. Nếu Coass(M) ∩ Ω = ∅ thì M là môđun căn.
Nếu Coass(M) ⊂ Ω thì M là coatomic.
13


Mệnh đề 1.4.6. (xem [13, mệnh đề 2.4] Cho M là R-môđun. Các điều sau tương đương:
(i)

M là coatomic.

(ii)

M/AnnM(me) là hữu hạn sinh với e≥ 1.

(iii)

MeM là hữu hạn sinh với e≥ 1.

1.5. Số chiều.
Định nghĩa 1.5.1. Một dây chuyền các iđêan nguyến tố của R là một dãy tăng thật sự các
iđêan nguyên tố p0 ⊊ p1 ⊊….⊊ pn của R, trong đó số nguyên dương n được gọi là chiều dài
của dây chuyền.

Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R được gọi
là chiều Krull của R và được ký hiệu là dim R.
Định nghĩa 1.5.2. Cho M là một môđun hữu hạn sinh, số chiều của M ký hiệu là dim M
được xác định bởi
dimM = dim (R/ AnnR(M)).
Mệnh đề 1.5.3. Cho (R, m) là vành địa phương noether, M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn

sinh và x ∈ m. Khi đó

dim M ≥ dim(M/xM) ≥ dim M - 1.

Mệnh đề 1.5.4. Cho R là vành noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó các điều kiện
sau tương đương:
(i)

M có chiều dài hữu hạn.

(ii)

dim M = 0.

Định nghĩa 1.5.5. Một R-môđun M được gọi là môđun đều nếu M ≠ 0 và mỗi môđun con

khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M.

Định nghĩa 1.5.6. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn là n (số nguyên lớn nhất) nếu
có môđun con thực sự V sao cho V ⊆e M và V là tổng trực tiếp của n môđun con đều.
Ký hiệu là Gd M = n.

Nếu M = 0 thì Gd M = 0.
Nếu M là một môđun đều thì Gd M = 1.

14


Mệnh đề 1.5.7. Một R-môđun M có chiều Goldie hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp
vô hạn các môđun con khác 0 của M.
Mệnh đề 1.5.8. Cho M là R-môđun, khi đó ta có nếu M là nửa đơn thì M có chiều Goldie
hữu hạn.

15


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX
2.1. Dãy điều kiện đối với môđun con U sao cho Soc(M/U)=0.
Cho 𝔉 là lớp các R-môđun mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin, 𝔄
và 𝔅 lần lượt là lớp các R-môđun thỏa tính chất:

M ∈ 𝔄 khi và chỉ khi trong mỗi dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ … các môđun con của M sao
cho hầu hết các Ui+1/Ui là môđun artin.

M ∈ 𝔅 khi và chỉ khi trong mỗi dãy giảm U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ … các môđun con của M
sao cho hầu hết các Ui/Ui+1 là môđun hữu hạn sinh.

Rõ ràng, ta có 𝔉 ⊂ 𝔄 và 𝔉 ⊂ 𝔅. Trong trường hợp đầu tiên, để chứng minh đẳng thức
tôi nghiên cứu điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0, trong trường
hợp thứ hai thì nghiên cứu điều kiện min đối với lớp môđun con căn của M. Trong bổ đề
sau đây, tôi liệt kê các tính chất một cách tổng quát liên quan tới môđun minimax mà tôi
liên tục sử dụng.
Bổ đề 2.1.1. M là mở rộng của coatomic theo một môđun nửa artin, khi đó:
(a) Nếu mỗi iđêan nguyên tố p ∉ Ω thì Mp là Rp- môđun hữu hạn sinh .

(b) Nếu f: M → M là toàn cấu thì Kerf là nửa artin.
(c) Nếu Soc(M/U) = 0 thì P(U) = U ∩ P(M).

(d) Nếu U là môđun con căn của M thì L(M/U) = (L(M) + U)/U.
(e) Nếu p ∈ Ass(P(M)) thì dim(R/p) ≤ 1.

Nếu thêm vào M là môđun đế, tiếp tục ta được:
(f) Nếu f: M → M là đơn cấu thì Cokerf là coatomic.

(g) Nếu với mỗi môđun con U của M và mỗi m ∈ Ω thì U/mU là hữu hạn sinh.

Chứng minh: (a). Cho B là coatomic và M/B nửa artin. Từ p ∉ Ω ta chọn được

Ω sao cho p ⊂ m và khi đó (B/L(B))m cũng là Rm-môđun đế và coatomic.

m∈

Theo (1.4.6) thì (B/L(B))p là hữu hạn sinh. Do đó (B/L(B))p cũng là Rp-môđun hữu hạn

sinh, vì vậy L(B)p=0=(M/B)p.
(b). Với mọi p ∉ Ω thì đồng cấu cảm sinh Mp → Mp là một đẳng cấu do đó (Kerf)p= 0.

Vì vậy ta có p ∉ Ass(Kerf) và Ass(Kerf) ⊂ Ω , có nghĩa là Kerf là nửa artin.

(c). Bước 1: Với R là vành địa phương và M ∈ 𝔥 là môđun đế, khi đó M ∈ 𝔉 .Từ giả

thiết chứng minh ta có B là coatomic và M/B là nửa artin, ta cần chứng minh M/B là môđun
artin.

16


Theo (1.4.6) thì B là hữu hạn sinh, mặt khác từ dãy khớp 0 →Soc(M/B)→ ExtR1(R/m,B)

mà Soc(M/B) là hữu hạn sinh, do đó M/B là môđun artin.

Bước 2: Với R là vành địa phương, M ∈ 𝔥 là môđun căn và Soc(M/U) = 0 như vậy U

cũng là môđun căn. Thật vậy :

Vì M/U ∈ 𝔉 nên Ass(M/U) và Coass(M/U) hữu hạn và vì

m ⊄ ⋃Ass(M/U) ∪ ⋃Coass(M/U) nên ta chọn x ∈ m sao cho có tác động song ánh lên M/U.

Trong dãy khớp Tor1R(M/U, R/m)→ U ⊗ R R/m → M ⊗ R R/m có thành phần đầu tiên và thứ
ba là 0 nên U là môđun căn.

Bước 3: Với R không là vành địa phương, M ∈ 𝔥 là môđun căn và Soc(M/U) = 0, áp

dụng cho mỗi m ∈ Ω thì Mm cũng là Rm-môđun thuộc 𝔥 và là môđun căn. Ta cũng có

Soc(Mm/Um) = 0 nên từ bước 2 thì Um là môđun căn, vì vậy U là m-chia được – áp dụng
điều này từ U ∩ P(M) ⊂ P(M), khi đó (c) đã được chứng minh.

(d). Ta xét (L(M) + U)/L(M) ⊂ M/ L(M), ta giả sử M (cũng tương tự với M/U) là môđun

đế. Trong trường hợp là vành địa phương, ta có U ∈ 𝔉, nên với x ∈ m thì phép nhân x: U →

U là tác động song ánh, vì vậy trong dãy khớp Soc(M) → Soc(M/U) → ExtR1(R/m, U) cả ba
thành phần của dãy đều là 0. Trong trường hợp chung, với mỗi m ∈ Ω thì Mm ∈ 𝔥 là môđun
đế và Um là môđun căn nên Soc(Mm/Um) = 0 và do đó Socm(M/U) = 0.

(e). Như [15, Bổ đề 1.1] thì mỗi U ⊂ P(M) theo (c) ta được Soc(P(M)/U) = 0, do đó U là

môđun căn.

(f). Trong trường hợp là vành địa phương thì M ∈ 𝔉, do đó M ∈ 𝔅. Khi đó ta có dãy

giảm Imf ⊃ Imf2 ⊃ Imf3 ⊃… với m ≥ 1 thỏa mãn Imfm/ Imfm+1 là hữu hạn sinh và môđun nội

xạ của đẳng cấu f → M/Imf, nghĩa là đến Cokerf. Trong trường hợp không là vành địa
phương thì (Coker f)m là hữu hạn sinh với mọi m ∈ Ω do đó Cokerf là coatomic.

(g). Vì Rm-môđun Um là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin nên Um

cũng có môđun thương căn hữu hạn sinh, do đó
dim(U/mU) = dim(Um/Ra(Um)).
Mệnh đề 2.1.2. Cho một R-môđun M. Các điều sau là tương đương:

(i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.
(ii) Trong mỗi dãy tăng U1⊂ U2⊂ U3⊂... của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là môđun
nửa artin với hầu hết các i.

17


(iii) M là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin.
Trong trường hợp này thì M =M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và
∩Ass ( M ) =
Ann R(M )

.

Chứng minh: Cho 𝔉’ là lớp các R- môđun là mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một

môđun nửa artin.

(i ⇒ iii) Giả sử M ∉ 𝔉’, nên ta có M/L (M) ∉ 𝔉’ và tập

{X ⊂ M/ Soc(M/X) = 0 và M/X ∉ 𝔉’} có một phần tử cực đại X0. Ta chọn

X0 ⊊ A ⊂ M với A/X0 là hữu hạn sinh, từ U/A = L(M/A) thì X0 ⊊ U và

Soc(M/U) = 0, vì

do tính cực đại nên M/U ∈ 𝔉’. Khi đó kéo theo M/A ∈ 𝔉’, nghĩa là M/X0 ∈ 𝔉’ trái với sự lựa
chọn của X0.

(iii ⇒ ii) Tính chất (ii) là mở rộng nhóm đóng và tức nhiên với mỗi môđun hữu hạn sinh

cho ta một môđun nửa artin, bao gồm cả M.
(ii ⇒ i) Hiển nhiên.

Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử M là môđun đế. Khi đó, mỗi môđun con đóng U của M
thì Ass(M/U) ⊂ Ass(M) nên M/U là môđun đế. Điều kiện tối đại cho lớp môđun con đóng

tương đương với số chiều Goldie hữu hạn. Với b = ⋂Ass(M) thì M là b-nguyên sơ, do đó
∞

∑ Ann
i =1

M

(bi ) = M . Bởi vì M/AnnM(bi) là môđun căn với mọi i nên ta có thể giả sử

AnnM(be) = AnnM(be+1) =… với e ≥1 và từ beM = 0 kéo theo b ⊂ AnnR ( M ) . Bao hàm

ngược lại là luôn luôn đúng.
Hệ quả 2.1.3. 𝔘 = 𝔉.

Chứng minh: M ∈ 𝔄 không thể là tổng trực tiếp vô hạn các môđun khác 0: Ta có M =

⊕∝𝑖=1 𝑀𝑖 trong đó Mi ≠ 0 với mọi i. Như trong [1, trang 4] thì

M=

⊕∝𝑖=1 𝑁𝑖 trong đó mỗi Ni là tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác 0, và với Un =

⊕in=1 N i thì trong dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂ … các môđun thương Un+1/Un ≅ Nn+1 là artin, điều

đó là không thể. Theo (2.1.2) ta chọn một môđun con hữu hạn sinh B của M sao cho M/B là
môđun nửa artin, khi đó Soc(M/B) ∈ 𝔄 nên cũng là hữu hạn sinh, M/B là artin và M ∈ 𝔉.
18


Mệnh đề 2.1.4. Giả sử dim(R)≤1 và M là một R-môđun có chiều Goldie hữu hạn. Khi đó
nếu M có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin thì mỗi thành phần
nguyên sơ của M/B là artin.
Chứng minh : Trong trường hợp dim(R) = 0 thì M là artin, vì vậy hiển nhiên đúng.
Trong trường hợp dim(R) = 1 thì với các iđêan nguyên tố không tối đại p1,…, pk của R ta có
tập con nhân đóng S = R∖⋃i=1kpi, và khi đó Rs là artin. Vì vậy Ms không chỉ là Rs-môđun có
chiều Goldie hữu hạn mà còn là môđun hữu hạn sinh. Giả sử B là một môđun con hữu hạn
sinh của M sao cho (M/B)S = 0. Khi đó M/B là nửa artin, vì vậy M ∈ 𝔉’.

Với mỗi môđun con U của M và mỗi m ∈ Ω thì U/mU là hữu hạn sinh, bởi vì L(U) ⨂𝑅

R/m là rõ ràng và theo (2.1.1)(g) áp dụng cho U/L(U) ⨂𝑅 R/m. Cụ thể Socm(M/B) là hữu
hạn sinh, do đó Lm(M/B) là artin.

Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R-môđun. Các điều sau tương đương:
(i)

M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.

(ii)

Trong mỗi dãy giảm U1⊃ U2 ⊃ U3 ⊃… của các môđun con của M thì Ui/Ui+1 là

nửa artin với hầu hết các i.
(iii)

M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn và với mọi p ∈ Ass(M) thì

1.

dim(R/p) ≤

Trong trường hợp này áp dụng cho mỗi đơn cấu f: M → M thì Coker f là nửa artin.

Chứng minh :(i ⇒ ii) Với mọi n ≥1, ta có Vn/Un = L(M/Un) nên Soc(M/Vn) = 0. Xét dãy

V1⊃ V2⊃ V3⊃… vì (Vn+1+Un)/Un là ảnh toàn cấu của Vn+1/Un+1 nửa artin nên chứa trong

Vn/Un nghĩa là Vn+1⊂ Vn. Theo giả thiết Vm = Vm+1 = … với m ≥ 1, vì vậy với mọi i ≥ m thì

Ui/Ui+1 ⊂ Vm+1/Ui+1 = L (M/Ui+1), do đó Ui/Ui+1 là nửa artin.

(ii ⇒ iii) Từ (ii) ta có môđun thương và với mọi p ∈ Ass (L(M)) thì dim(R/p) = 0, ta có

thể giả sử M là môđun đế. Với mỗi môđun con đóng U của M thì

Soc(M/U) = 0,

khi đó M thỏa điều kiện min đối với môđun con đóng, tức là có chiều Goldie hữu hạn. Từ
(ii) ta cũng có các môđun con, tương tự ta giả sử M ≅ R/p như khẳng định thứ hai: Chọn tập

{X ⊂ M/X ≠ 0 và Soc(M/X) = 0} một phần tử tối tiểu X0, khi đó Soc(X0/Y) ≠ 0 với mọi 0

≠ Y ⊊ X0, nên X0/U là nửa artin với mọi 0 ≠ U ⊂ X0. Vậy R/p có tính chất tương tự như
môđun con X0, và do đó

dim(R/p) = 1.

19


(iii ⇒ i) Từ Soc(M/U) = 0 kéo theo L(M) ⊂ U, ta giả sử M là môđun đế khác 0. Với S =

R ∖ ⋃Ass(M) từ Bước 1 ta có: nếu Soc(M/U) = 0 thì U là S-bão hòa trong M. Từ Soc(M/U)
= 0 suy ra với mọi p ∈ Ass(M/U) thì tồn tại p0 ∈ Ass(M) sao cho

p0 ⊂ p ∉ Ω. Mặt khác

dim(R/p0) = 1 nên p0 = p ∈ Ass(M), nhưng Ass(M/U) ⊂ Ass(M) nên x ∈ S không là ước của

0 trên M/U, do đó U là S-bão hòa trong M.

Trở lại với Soc(M/U) ≠ 0, tức là với m ∈ Ω thì m ∈ Ass(M/U) kéo theo m ⊄∪Ass(M) và

x0 ∈ m ∩ S là ước của 0 trên M/U. Vì vậy U không là S-bão hòa trong M. Trong bước 2 cần

chỉ ra rằng Ms là Rs-môđun artin: với mỗi p ∈ Ass(M) thì pRs là một iđêan tối đại trong Rs,

giả sử p ⊆ p1 sao cho p1 ∩ S = ∅, kéo theo p1 ∈ Ω và p1 ∈ Ass(M) điều này mâu thuẩn với

Soc(M) = 0. Vì có chiều Goldie hữu hạn nên một đơn cấu cốt yếu ∐i=1n R/pi → M cảm sinh
thành một Rs-đơn cấu cốt yếu
bao gồm cả tập đích.

∐i=1n (Rs/piRS) → MS, trong đó tập nguồn là vành artin

Bổ sung được thể hiện trong (2.1.1)(f), từ dãy giảm Imf ⊃ Imf2 ⊃…. với mỗi
có Imfm/Imfm+1 ≅ Cokerf là nửa artin.

m ≥1 ta

Hệ quả 2.1.6. Cho M là môđun căn và M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao
cho Soc(M/U) = 0. Khi đó M thỏa điều kiện min tương đương.

Chứng minh : Theo (2.1.2) thì ta có M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn, mặt khác M là
môđun căn nên P(M) = M, vì thế với mọi p ∈ Ass(M) ta có dim(R/p) ≤ 1 theo (2.1.1)(e).

Cũng theo (2.1.5) ta có M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M) = 0.
Vì thế ta nói M thỏa điều kiện min tương đương.
Hệ quả 2.1.7. Cho dim(R) ≤ 1 và R-môđun M. Các điều sau tương đương:

(i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0.
(ii) M thỏa điều kiện min tương đương.
(iii) M/L(M) có số chiều Goldie hữu hạn.

Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun và M = M/L(M). Khi đó các điều kiện sau tương
đương:
(i) M thỏa điều kiện min và max đối với lớp môđun con U sao cho
(ii) M thỏa điều kiện min tương đương và ⋂Ann( M ) =
20

AnnR ( M ) .

Soc(M/U) = 0.


(iii) M thỏa điều kiện max tương đương và với mỗi đơn cấu g: M → M thì Cokerg là
nửa artin.
Chứng minh: (i ⇒ ii) hoặc (i⇒ iii) được bổ sung trong (2.1.2) hoặc (2.1.5).

(ii ⇒ i) Trong chứng minh của (2.1.5)(iii ⇒ i) ta có thể giả sử M là môđun đế khác 0 và

chỉ ra với S = R ∖ ⋃Ass(M) thì MS là RS-môđun có chiều dài hữu hạn. Với

b = ⋂Ass(M) thì bRS chỉ là căn Jacobson của các vành nửa địa phương RS và ⋂Ass(M) =

e
e
AnnR ( M ) tức là b M = 0 với mỗi e ≥ 1, vì vậy MS được giản ước bởi (bRS) . Khi đó MS là

RS-môđun artin và có chiều dài hữu hạn.

(iii ⇒ i) Từ cách chứng minh của (2.1.5)(iii) ta có thể giả sử M là môđun đế, theo (2.1.2)

ta có một môđun con hữu hạn sinh B sao cho M/B là nửa artin. Khi đó
và đặc biệt M có chiều Goldie hữu hạn và Ass(M) = Ass(B). Mỗi

B lớn trong M

x ∈ R không phải là

ước của 0 trên B và cũng không là ước của 0 trên M, do đó theo giả thiết thì M/xM là nửa
artin, vì vậy ta có dãy khớp AnnM/B(x) → B/xB →M/xM (cũng như B/xB).

Với mỗi m ∈ Ω thì dimRm(Bm) = 1. Thật vậy, vì m ⊄ ⋃Ass(B) nên ta chọn một phần tử x

∈ m sao cho không là ước của 0 trên B. Khi đó dimRm(Bm/(x/1).Bm) = 0 trong đó x/1 ∈ mRm
không là ước của 0 trên Bm. Vì vậy với mỗi p ∈ Ass(B) thì

thể, nên dim(R/p) = 1.

p ⊊ p1 ⊊ m là không

Hệ quả 2.1.9. M là coatomic và M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con U sao cho
Soc(M/U) = 0. Khi đó M cũng thỏa điều kiện max tương đương.

2.2. Điều kiện min đối với môđun con căn.
Bởi vì môđun minimax M thuộc lớp 𝔅 nên trong mỗi dãy giảm U1 ⊃ U2 ⊃… các

môđun con căn của M thì dừng. Điều kiện min trong (2.2.3) cung cấp cho ta một định lí cấu
trúc, cụ thể cho ta tính chất (ii) như trong điều kiện (2.1.2)(iii) là điều đáng ngạc nhiên. Từ
đó kéo theo (2.2.7) ta có được đẳng thức 𝔅 = 𝔉.

Bổ đề 2.2.1. Cho M là chia được với bất kỳ iđêan nguyên tố liên kết với nó và cho B là
môđun con của M sao cho M/B là artin. Khi đó M/P(B) cũng là artin.
Chứng minh: Từ giả thiết của M ta có với mỗi môđun con hữu hạn sinh V của M có một
iđêan a sao cho aV = 0 và aM = M. Thật vậy, khi V = 0 thì là hiển nhiên và khi

21


V ≠ 0 thì Ass(V) = {p1,…,pn} và b = p1…pn. Theo giả thiết thì bM = M mà

⋂Ass(V) nên beV = 0 với e ≥ 1 vì vậy a = be.

b⊂

Giả sử M/B là artin. Với mọi m ∈ Ass (M/B), ta có B/mB là hữu hạn sinh, vì trong dãy

khớp Tor1R(M/B, R/m) → B ⊗ R R/m → M ⊗ R R/m ta có thành phần đầu tiên là hữu hạn sinh
và thứ ba là 0. Với mỗi m ∉ Ass(M/B) ta có B là m-chia được, vì mỗi x ∈ m, x ∉ Ass(M/B)
thì đồng cấu nhân với x: M/B → M/B là song ánh để

một môđun con hữu hạn sinh V của B sao cho

Tor1R(M/B, R/m) = 0. Ta chọn

V + mB = B với mọi m ∈ Ass(M/B), từ

một iđêan a với aV = 0 và aM = M thì aB là môđun căn và vì dãy khớp
Tor1R ( M / B, R / a ) → B ⊗ R R / a → M ⊗ R R / a

nên aB cũng là artin. Vì aB ⊂ P(B) nên M/P(B) cũng là artin.

Bổ đề 2.2.2. 𝔉’ như trong (2.1.2) là lớp tất cả các R-môđun, là mở rộng của một môđun hữu

hạn sinh theo một môđun nửa artin. Cho M là một R-môđun căn và nếu mỗi môđun con căn
U ⊊ M thỏa U ∈ 𝔉’ thì khi đó M ∈ 𝔉’.

Chứng minh : Bước 1: Bổ sung R là một miền nguyên và M là môđun xoắn chia được.

Giả sử M ∉ 𝔉’, khi đó ta chọn một môđun con B ⊊ M sao cho M/B là artin và khi đó theo

(2.2.1) thì M/P(B) cũng là artin, vì vậy theo giả thiết P(B) ∈ 𝔉’ kéo theo M ∈ 𝔉’, điều này

trái với giả sử.

Bước 2: Với R là vành tùy ý. Giả sử M ∉ 𝔉’ vì thế tập {x ∈ R/ xM ≠M} là một iđêan

nguyên tố, ta đặt là p và pM ⊊ M. Trên miền nguyên R =R/p thì M1= M/pM là môđun căn

và không thuộc 𝔉’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M1 thuộc 𝔉’. Thay vì R ta ký
hiệu là R, khi đó M1 là chia được và theo Bước 1 không là môđun xoắn. Vì vậy M2=
M1/T(M1) là chia được, xoắn và không thuộc 𝔉’, nhưng mỗi môđun con căn thực sự của M2

là thuộc 𝔉’. Khi đó M2 ≅ K, dim(R) >1 sao cho với 0 ≠ q ∉ Ω để Rq ⊊ K và vì Rq là R-

môđun căn nên Rq cũng thuộc 𝔉’. Môđun con căn thực sự của môđun xoắn chia được K/Rq

đều thuộc 𝔉’, theo Bước 1 thì K/Rq ∈ 𝔉’, M2∈ 𝔉’ và điều này mâu thuẫn với điều chứng

minh.

Mệnh đề 2.2.3. Cho một R-môđun căn M. Các điều sau tương đương:
(i) M thỏa điều kiện min đối với lớp môđun con căn.
(ii) M là mở rộng cốt yếu một môđun hữu hạn sinh theo một môđun nửa artin.
22


(iii) M có chiều Goldie hữu hạn và mỗi môđun thương đế của M có hữu hạn các iđêan
nguyên tố liên kết, mỗi môđun con căn của M có hữu hạn các iđêan nguyên tố đối liên
kết.
Nếu môđun căn M thỏa điều kiện tương đương thì:

(a) M là bổ sung yếu.
(b) Với mỗi m ∈ Ω thì Mm là một môđun minimax.

(c) ⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝑀) = �𝐴𝑛𝑛𝑅 (𝑀).

Chứng minh: (i ⇒ ii) Chúng ta cần chứng minh M ∈ 𝔉′ và M có chiều Goldie hữu hạn.

Giả sử M ∉ 𝔉′, khi đó tập {X ⊂ M/ X là một môđun căn và X ∉ 𝔉′} có một phần tử tối tiểu
X0, từ tính chất tối tiểu mà mỗi môđun con căn thật sự của X0 đều thuộc 𝔉′, tức là theo

(2.2.2) thì X0 cũng thuộc 𝔉′. Điều này là không thể.

Nếu M ∈ 𝔉′ thì M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn.Theo (2.1.1)(c) thì L(M) là môđun

căn, do đó tập { X ⊂ L(M)/ X là môđun căn và L(M)/X là môđun artin} có một phần tử tối

tiểu là X0. Ta giả sử X0 khác 0, ta chọn như Bước 1 của chứng minh (2.2.2) một môđun B ⊊

X0 sao cho X0/B là artin và theo (2.2.1) thì L(M)/P(B) là môđun artin, điều này trái với tính
chất tối tiểu của X0. Vì vậy X0 = 0, do đó L(M) là môđun artin.
(ii ⇒ iii) Rõ ràng là M có chiều Goldie hữu hạn. Với mỗi môđun thương môđun đế của

M/U ta chỉ ra Coass(M/U) ⊂ Ass(M/U) ⊂Ass(M). Thật vậy, lấy p ∈ Ass(M/U) thì có một p0

∈ Ass(M) với p0 ⊂ p, và từ (2.1.1)(e) thì dim(R/p0) ≤ 1, vì p ∉ Ω và nên p0 = p = Ass(M).

AnnR ( M / U ) nên tồn tại p ∈
Lấy q ∈ Coass(M/U), vì theo (2.1.2) ta có ∩Ass( M / U ) =

Ass(M/U) sao cho p ⊂ q và vì q ∉ Ω nên dim(R/p)=1 kéo theo

Ass(M/U).

p=q∈

Vì giả thiết (ii) nên ta có môđun con căn, chúng ta cần chỉ ra Coass(M) là hữu hạn: Rõ
ràng có L(M) là môđun artin và với M/L(M) ta có điều phải chứng minh.
(iii ⇒ i) Đầu tiên ta cần chứng minh với mỗi môđun con U của M có tính chất sau: nếu

M/U là môđun đế thì U là môđun căn và L(M) ⊂ U. Từ Soc(M/U)=0 kéo theo L(M) ⊂ U và

theo giả thiết thì Ass(M/U) cũng như Coass(M/U) đều là hữu hạn. Theo (2.1.1)(c) thì
Tor1R(M/U,R/m)=0, vì vậy U ⊗ R R/m = 0 với mọi m ∈ Ω tức là U là môđun căn. Ngược lại
23