nghiên cứu dạy học các phép toán ở trường trung học cơ sở, trường hợp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Hữu Phước

NGHIÊN CỨU DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ:
TRƯỜNG HỢP TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI
CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Hữu Phước

NGHIÊN CỨU DẠY HỌC CÁC PHÉP TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ:
TRƯỜNG HỢP TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI
CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
2


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn
nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

1


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Vũ Như Thư Hương, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban giảng viên chuyên ngành didiactic Toán trường ĐHSP
TPHCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và cũng
đầy hứng thú về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện
việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán, Thư viện Trường THCS Bình Anquận 8 đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ trong quá trình học cũng như thực nghiệm.
Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả những người bạn của tôi, những người
đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia

đình tôi, đặc biệt là cha và mẹ tôi đã lo lắng, động viên, là động lực và cung ứng mọi điều
kiện để tôi có thể hoàn thành khóa học này.

Lê Hữu Phước

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC VIẾT TẮT ............................................................................................. 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Ghi nhận ban đầu ...........................................................................................................6
2. Khung lí thuyết tham chiếu ...........................................................................................8
3. Câu hỏi nghiên cứu .......................................................................................................10
4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................10

CHƯƠNG 1: TÍNH PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG
TRONG GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC .......................................................................... 12
1.1. Giáo trình Đại số đại cương ......................................................................................12
1.2. Giáo trình Số học .......................................................................................................15
1.3. Sự mở rộng các cấu trúc đại số và các con đường mở rộng các tập hợp số .........17
1.4. Về khái niệm chữ .......................................................................................................18

CHƯƠNG 2: TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP
CỘNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ ....................... 23
2.1. Phân tích chương trình toán THCS giai đoạn 1994- 2002 .....................................24
2.2. Phân tích chương trình toán THCS hiện hành .......................................................25

2.3. Phân tích Sách giáo khoa giai đoạn 1994-2002 .......................................................26
2.3.1. Sách giáo khoa Toán 6 .......................................................................................... 26
2.3.2. Sách giáo khoa Toán 7 .......................................................................................... 28
2.4. Các tổ chức toán học (giai đoạn 1994-2002) ............................................................31
2.4.1. Toán 6 .................................................................................................................... 31
2.4.2. Toán 7 .................................................................................................................... 32
2.5. Phân tích sách giáo khoa hiện hành .........................................................................38
2.5.1. Sách giáo khoa Tiểu học : Toán 4 ......................................................................... 38
2.5.2. Sách giáo khoa toán 6 ........................................................................................... 45
2.5.3. Sách giáo khoa Toán 7 .......................................................................................... 48
2.6. Các tổ chức toán học (giai đoạn hiện hành) ............................................................49
2.6.1. Toán 6 .................................................................................................................... 49
2.6.2. Toán 7 .................................................................................................................... 54

CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 63
3.1. Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm.................................................63
3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) ................................................................................64
3.2.1. Nội dung các bài toán thực nghiệm....................................................................... 64
3.2.2. Xây dựng các bài toán thực nghiệm ...................................................................... 65
3


3.2.3 Phân tích chi tiết các bài toán ................................................................................. 66
3.3. Phân tích hậu nghiệm (posteriori) ............................................................................71

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 78
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 79

4

DANH MỤC VIẾT TẮT
THCS : Trung học cơ sở
SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

SBT

: Sách bài tập

5


MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu
1.1. Ghi nhận 1
Trong thực tế đời sống, trong kinh doanh, trong sản xuất,… người ta thường cần đến một số
kĩ năng tính toán như: tính nhanh, tính đúng, tính hợp lí,... nhưng không phải lúc nào cũng
có sẵn giấy bút hay máy tính. Trong khi có nhiều trường hợp dạy học Toán, một số người lại
nghĩ rằng học toán là chỉ cần nắm vững lí thuyết, có ý tưởng tìm được hướng giải quyết bài
toán là đủ. Theo tác giả Phạm Gia Đức :
“Thực tế có tình trạng không ít giáo viên coi nhẹ vấn đề này, cho rằng học sinh
chỉ cần học sinh nắm khái niệm, quy tắc, định lí”… “vả lại trong không ít ngành
nghề, công việc thường xuyên là tính toán, làm đi làm lại những bài toán cụ thể,

có khi là rất đơn giản và không phải lúc nào cũng đầy hứng thú. Vì vậy nếu
không quan tâm rèn luyện cho học sinh những kĩ năng tính toán ngay từ nhỏ thì
không đáp ứng được yêu cầu của đời sống lao động” (Phạm Gia Đức, 2000,
Phương pháp dạy học môn toán tập 2, tr.29)
Tác giả cũng nhấn mạnh về vai trò của tính nhanh :
“[...] cách tính nhanh gọn, hợp lí là tiêu chuẩn cần có của một lời giải đẹp, việc
tìm kiếm cách tính nhanh gọn, hợp lí còn góp phần rèn luyện phẩm chất linh hoạt
sáng tạo của tư duy, nó cũng góp phần rèn luyện thói quen giải quyết vấn đề thực
tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm, một điều cần thiết cho cuộc
sống lao động sau này” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán
tập 2, tr.30)
và của tính nhẩm :
“[...] tính nhẩm có tác dụng phát triển về quan sát, óc sáng tạo và phát triển trí
nhớ cho học sinh” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán tập 2,
tr.32)
Để thực hiện được những yêu cầu trên thì việc sử dụng các tính chất của các phép toán là rất
cần thiết trong đó có vai trò đặc biệt của tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng. Hơn nữa, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn có những vai trò
quan trọng khác:
6


“[...] cùng với quy tắc thực hiện phép toán và tính chất của mỗi phép toán, nhiều
tính chất khác về các phép toán trên Z cũng cần giới thiệu với học sinh và cho họ
luyện tập thành thạo như: quy tắc bỏ dấu ngoặc, tính chất đổi dấu các thừa số
trong tích hai số. Các tính chất đó cùng với tính phân phối của phép nhân với
phép cộng và phép trừ, là cơ sở của nhiều phép biến đổi đồng nhất các biểu thức
đại số. Đặc biệt là tính chất
a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0 là cơ sở để có thể giải các phương trình tích sau
này” (Phạm Gia Đức, 2000, Phương pháp dạy học môn toán tập 2, tr.24)

Chúng tôi tự hỏi : Liệu trong sách giáo khoa hiện hành, tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng có thể hiện nội dung này không?
1.2. Ghi nhận 2
Thực tiễn dạy học chúng tôi nhận thấy tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
thường được sử dụng hai chiều, đặc biệt là chiều ngược lại của tính chất này.
Về các phép toán cơ bản, có những tính chất chỉ đúng cho một số phép toán nhưng chưa
chắc đúng cho những phép toán ngược của phép toán đó, trong đó có tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng : tính chất này đúng cho phép nhân ở cả hai hình thức là
một tổng nhân với một số và một số nhân với một tổng nhưng chưa chắc đã đúng cho phép
chia trong trường hợp một số chia cho một tổng. Cũng chính từ thực tiễn dạy học, chúng tôi
quan sát thấy học sinh thường mắc phải sai lầm khi gặp trường hợp này, mà chủ yếu theo
chiều ngược lại, khi áp dụng cho dạng bài tập tính nhanh, tính hợp lí.
Để kiểm chứng nhận định nêu trên, chúng tôi đã tiến hành một khảo sát nhỏ trên đối tượng
là học sinh lớp 7, cụ thể là lớp 7A1 Trường THCS Bình An. Hình thức khảo sát là cho học
sinh làm hai bài toán mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây (bài toán được cho dựa trên bài tập
đã được đề cập trong SGK Toán 7 hiện hành).
Các số được cho trong bài toán đều là phân số, học sinh phải tính toán phức tạp hơn so với
số nguyên vì nếu tính toán bình thường học sinh sẽ phải quy đồng mẫu số. Học sinh đặt thừa
số chung thì trong ngoặc sẽ xuất hiện các phân số cùng mẫu, mà việc đơn giản hai phân số
cùng mẫu sẽ đơn giản hơn. Hơn nữa trong cả hai bài toán, đề bài đều có xuất hiện một lượng
thừa số chung. Đó cũng là một nguyên nhân dẫn học sinh đến việc nghĩ phải đặt thừa số
chung quen thuộc.

7


Bài toán: Tính nhanh (nếu có thể)
−2 3 4
−1 4 4
a)  +  : +  +  :

 3

b)

7 5  3

7 5

5  1 5  5  10 18 
: − + : − 
9  11 23  9  11 23 

Trong những lời giải thu được, chúng tôi quan tâm đến hai lời giải sau:
a)

b)

Nhận xét:
Ở đây, chúng tôi nhận thấy học sinh đặt “thừa số chung” dường như chỉ theo thói quen mà
không cần kiểm tra tính đúng sai của công thức, ngay cả khi kết quả là trường hợp một số
chia cho 0, học sinh vẫn ghi kết quả là 0.
Hơn nữa đã xuất hiện sai lầm trong câu b, như chúng tôi đã nhận định ở trên khi học sinh sử
dụng công thức: a : b + a : c = a : ( b + c )
 Vấn đề: sai lầm này là do đâu? Còn những sai lầm nào khác tương tự như sai lầm này
không?
Vì những lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài : “Nghiên cứu dạy học các phép toán ở
trường trung học cơ sở: trường hợp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng”.

2. Khung lí thuyết tham chiếu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các

yếu tố lí thuyết sau đây:
2.1. Lý thuyết nhân chủng học
8


Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “Quan hệ thể chế”,
“quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
“Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng rỗng: mỗi tri thức đều xuất
hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là cắm sâu vào một
hoặc nhiều thể chế” (Chevallard, 1989).
Theo Chevallard: “Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O là tập hợp
những tác động qua lại mà X có thể có đối với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về
nó,…Quan hệ cá nhân đối với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết về O” trong đó cần
xác định rõ rằng đối tượng tri thức O mà chúng tôi cần quan tâm ở đây là tính chất phân
phối của phép nhân đối với phép cộng và cá nhân X là học sinh.
Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu
các tổ chức toán học và việc nghiên cứu đó phải đặt R(X,O) trong R(I,O). Các praxéologie
là một khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định
mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một
bộ phận gồm bốn thành phần [Τ,τ ,θ , Θ] trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho
phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho
công nghệ θ.
Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến một đối tượng tri thức O cho phép chúng
tôi làm rõ mối quan hệ của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân
X duy trì đối với tri thức O.
2.2. Quy tắc hành động
Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến
thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy
tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với
các quy trình hay câu trả lời của học sinh.

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh,
vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định
phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không
rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà
học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy
tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó.
9


3. Câu hỏi nghiên cứu
Câu 1. Ở cấp độ tri thức bác học, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng có
những đặc trưng gì?
Câu 2. Mối quan hệ thể chế gắn với đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng có những đặc trưng gì? Có những tổ chức toán học nào xoay quanh đối
tượng trên?
Câu 3. Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh với
đối tượng tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng? Những sai lầm, khó
khăn nào học sinh thường gặp phải liên quan đến đối tượng trên? Nguyên nhân của
những sai lầm, khó khăn đó?

4. Phương pháp nghiên cứu
Từ những ghi nhận ban đầu, chúng tôi tiến hành lựa chọn khung lí thuyết tham chiếu và đưa
ra hệ thống câu hỏi nghiên cứu.
Sơ đồ nghiên cứu:
NGHIÊN CỨU TRI THỨC
KHOA HỌC:
Giáo trình đại học

NGHIÊN CỨU TRI THỨC
CẦN GIẢNG DẠY:

Thể chế dạy học Toán cấp THCS
giai đoạn 1994-2002

NGHIÊN CỨU
TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY:
Thể chế dạy học Toán cấp THCS hiện hành

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
Quan hệ cá nhân của học sinh

Sơ đồ 1.1 phương pháp nghiên cứu

10


+ Chúng tôi dành chương 1 để nghiên cứu đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối
với phép cộng ở độ tri thức khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi thứ nhất. Cụ thể chúng tôi
tiến hành tìm hiểu và phân tích ở một số giáo trình đại học. Đây cũng là một phần cơ sở
tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học ở chương 2.
Vì điều kiện không cho phép nên chúng tôi không tìm hiểu lịch sử hình thành và quá trình
phát triển của đối tượng.
+ Chúng tôi dành chương 1 cho phân tích mối quan hệ thể chế nhằm mục đích trả lời cho
câu hỏi thứ hai. Cụ thể:
Chúng tôi tiến hành phân tích và đối chiếu đặc trưng của đối tượng tính chất phân phối của
phép nhân đối với phép cộng trong chương trình, SGK hiện hành và chương trình, SGK giai
đoạn 1994-2002. Cơ sở tham chiếu cho phần phân tích này là nghiên cứu tri thức khoa học
liên quan đến đối tượng đã được trình bày ở chương 1 của luận văn.
Sự lựa chọn này được giải thích sơ lược như sau:
SGK hiện hành và SGK giai đoạn 1994-2002 là hai bộ SGK ở hai giai đoạn liên tiếp nhau.
Do đó chúng tôi nghĩ rằng chương trình, SGK hiện hành có mối liên hệ rất gần với chương

trình, SGK giai đoạn 1994-2002.
Qua việc tìm hiểu và quan sát các bộ SGK ở hai giai đoạn này thì chúng tôi nhận thấy có
nhiều điểm giống và khác nhau cả về nội dung lẫn hình thức trình bày. Cụ thể là khi thay
đổi chương trình và SGK thì có nhiều nội dung được giữ lại, nhưng cũng có những nội dung
mới được thêm vào và lượt bỏ bớt những nội dung cũ.
Sau khi phân tích chương trình và SGK, chúng tôi tiến hành tổng hợp lại để đưa ra dự kiến
những sai lầm, khó khăn mà học sinh có thể gặp phải và từ đó đưa ra giả thuyết nghiên cứu.
+ Chúng tôi dành chương 3 cho phần thực nghiệm nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi thứ 3 vì
câu hỏi này liên quan đến sự ảnh hưởng của thể chế lên quan hệ cá nhân học sinh.Vì vậy để
trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh.
Hình thức thực nghiệm trên đối tượng học sinh là bài toán thực nghiệm, thông qua những
bài làm và câu trả lời của học sinh, chúng tôi tin rằng sau khi phân tích sẽ chỉ rõ được sự
ảnh hưởng của thể chế lên quan hệ các nhân này và tính thỏa đáng của các giả thuyết đưa.

11


CHƯƠNG 1: TÍNH PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP
CỘNG TRONG GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC
Trong chương này chúng tôi quyết định chọn và phân tích hai bộ giáo trình vốn được chọn
làm tài liệu giảng dạy tại trường ĐHSP TP.HCM là các giáo trình:
-

Đại số đại cương của tác giả Hoàng Xuân Sính (NXBGD 2007)

-

Số học của tác giả Đậu Thế Cấp (NXBGD 2005).

1.1. Giáo trình Đại số đại cương

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được xuất hiện trong định nghĩa vành:
Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong X kí
hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . (người ta thường kí hiệu như vậy) và gọi là
phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
X cùng với phép cộng là một nhóm aben
X cùng với phép nhân là một nửa nhóm
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z∈ X ta có
x. ( y + z ) = x. y + x.z

( y + z ) .x =y.x + z.x
(Hoàng Xuân Sính, 2007, tr.18)
Trong định nghĩa này tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng không chỉ nói
lên mối liên hệ giữa hai phép toán này trong một vành mà còn là một điều kiện cần để định
nghĩa khái niệm vành (một đối tượng của đại số hiện đại), và cũng là đối tượng trung gian
để định nghĩa một số khái niệm khác như miền nguyên, trường,…
Điểm đáng lưu ý là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được đưa ra dưới
cả hai hình thức là một phần tử nhân với một tổng và một tổng nhân với một phần tử, điều
này có thể giải thích vì với phép nhân này thì tập hợp X chỉ là nửa nhóm nên có thể chưa có
yếu tố giao hoán.
Hơn nữa là trong đại số mà đặc biệt vành người ta chủ yếu quan tâm tới hai phép toán là
phép cộng và phép nhân, phép toán ngược của phép cộng là phép trừ cũng dần được đưa

12


vào, nhưng phép toán ngược của phép nhân là phép chia chưa được đề cập trong vành mà nó
được đề cập ở một khái niệm đại số khác là trường.
Một câu hỏi được đặt ra là: ngoài vai trò là điều kiện của khái niệm vành như trên thì tính
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn đóng vai trò gì trong một vành X? Hệ
quả của tính chất này đối với phép trừ và phép chia (hai phép toán ngược của phép cộng và

nhân)?
Định lý sau đây sẽ trả lời cho câu hỏi này:
Ngoài các tính chất là nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành
còn có một số tính chất được suy ra từ luật phân phối.
Định lí 1
Cho X là một vành. Với mọi x,y,z∈X ta có:
i ) x ( y − z ) = xy − xz ,

( y − z) x =

yx − yz

ii ) 0=
x x=
0 0
iii ) x ( − y ) =
xy
− xy, ( − x )( − y ) =
(−x) y =

Chứng minh:
Theo luật phân phối ta có xy= x ( ( y − z ) + z )= x ( y − z ) + xz
ta suy ra x ( y − z ) = xy − xz đẳng thức thứ hai cũng được chứng minh tương tự
Theo (i) ta có 0 x =( y − y ) x =yx − yx =0 =xy − xy =x ( y − y ) =x0
Từ (i) và (ii) ta được:
x (− y) =
x (0 − y ) =
x0 − xy =
0 − xy =
− xy =

0 y − xy
=−
(0 x) y =
(−x) y

ta suy ra ( − x )( − y ) =
xy
−x =
− xn
−x =
xn
Đặc biệt, với mọi số nguyên n > 0 ta được ( )
nếu n chẵn và ( )
n

n

nếu n lẻ. (Hoàng Xuân Sính, 2007, tr.80)
Như vậy ở đây tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng đóng vai trò công cụ để
xây dựng một số tính chất quan trọng khác.

13


Nhận xét:
Theo các tính chất ở trên thì tính chất (i) là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
trừ, tính chất này được chứng minh dựa trên cơ sở là tính phân phối của phép nhân đối với
phép cộng.
Nếu đưa các kết quả trên vào các tập hợp số, mà điển hình là vành số nguyên ℤ thì tính chất

(ii) là cở sở giải thích vì sao tích một số nhân với 0 bằng 0, kết quả được quy ước ở chương
trình phổ thông.
Tương tự như vậy, tính chất (iii) giải thích cho các quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu, hai
số nguyên trái dấu.
Trong một vành chỉ thực hiện được ba phép toán là phép cộng, trừ và phép nhân. Phép chia
phép toán ngược của phép nhân không thực hiện được trong vành mà thực hiện được trong
một trường. Tuy nhiên theo tài liệu này sau khi định nghĩa trường thì không còn nhắc lại
tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và hệ quả của nó đối với phép chia,
mọi phép chia đều đưa về phép nhân thông qua mối quan hệ phần tử nghịch đảo.
Nếu xét trong trường hợp các tập hợp số thì:
ℕ là nhóm con của vành ℤ (phép cộng và phép nhân thông thường)
ℤ là vành con của trường ℚ

ℚ là trường con của trường đầy đủ ℝ

ℝ là trường con của trường đóng đại số ℂ

Trong đó ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ lần lượt là tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số

phức.

Như vậy, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng còn đóng vai trò giải thích
một số kết quả toán học mà cụ thể là các kết quả thường quy ước, hay đó là quy tắc tính
toán số học như chúng tôi đã phân tích ở trên.
Theo những phân tích trên ta có thể thấy được tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng được xuất hiện trong vành các số nguyên ℤ và được bảo toàn trong các tập hợp
số ℚ, ℝ, ℂ.

Vấn đề đặt ra là : theo những phân tích ở trên thì trong đại số tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng được xuất hiện khái niệm vành. Trong các tập hợp số bắt đầu là

vành số nguyên ℤ. Vậy có chứng minh nào cho việc đưa tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng vào tập hợp số tự nhiên ℕ?
14


Để trả lời câu hỏi này chúng tôi nghiên cứu giáo trình Số học như sau :

1.2. Giáo trình Số học
Để trả lời cho câu hỏi trên, chúng tôi ghi nhận từ tài liệu Số học của tác giả Đậu Thế Cấp
như sau:
Trước tiên tác giả định nghĩa lại tập hợp số tự nhiên ℕ thông qua hệ tiên đề với kí hiệu 0 và
quan hệ cơ bản là “kề sau”.

Hệ tiên đề được phát biểu như sau:
0 là một số tự nhiên, tức là 0∈ ℕ

0 không phải là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào.
Với mọi số tự nhiên n có một và chỉ một số tự nhiên n’ kề sau nó
Nếu số tự nhiên m là kề sau của số tự nhiên n và m cũng là kề sau của số tự nhiên
k thì n=k
Nếu A là một tập con của tập N các số tự nhiên sao cho:
0∈A
m∈A suy ra m’∈A
thì A trùng với tập ℕ

(Đậu Thế Cấp, 2005. Tr. 5)
Sau đó tác giả có định nghĩa lại bốn phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia và trong bốn phép toán
này, tác giả chỉ trình bày tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân
1.Định nghĩa phép cộng
Phép cộng các số tự nhiên được định nghĩa quy nạp như sau:

m+0=
m
m + n ' = (m + n) '

Ta có tổng m + n với mọi cặp số tự nhiên m, n
2.Định nghĩa phép nhân
Phép nhân số tự nhiên được định nghĩa quy nạp như sau:

ta có tích m.n với mọi cặp số tự nhiên m,n
Nhận xét: kí hiệu 0’=1, với mợi n∈ ℕ ta có:
15


n’=n + 1
Định lí 1 với mọi n, m, p∈ ℕ ta có:

m + n = n + m; m.n = n.m (tính chất giao hoán)

( m + n ) + p = m + (n + p); ( m.n ) . p = m. ( n. p ) (tính chất kết hợp)
m. ( n + p ) = m.n + m. p (tính chất phân phối)

m + p =n + p ⇒ m =n; m. p =n. p ⇒ m =n (tính chất chính quy)

(Đậu Thế Cấp,2005, tr.7)
Như vậy ở đây tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng không được đề cập ở
định nghĩa mà được đưa vào trong định lí và cũng không gọi đầy đủ tên của tính chất này
mà chỉ gọi là “tính chất phân phối” điều đó có nghĩa là khi nói đến tính chất phân phối nghĩa
là nhằm nói đến tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Tính chất này (iii) không được tác giả trình bày chứng minh trong tài liệu mà dựa vào những
chứng minh tương tự trong tài liệu này, chúng tôi trình bày chứng minh quy nạp theo p như

sau:
Theo định nghĩa phép nhân ta có (iii) đúng với p = 0
Nếu đẳng thức đúng với p tức là p. ( m + n ) = p.m + p.n thì theo định nghĩa phép nhân:
p '. ( m + n )= p. ( m + n ) + ( m + n )= p.m + p.n + m + n= p.m + m + pn + n= p ' m + p ' n

Như vậy đẳng thức được chứng minh.
Có thể khẳng định được rằng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng có mặt
trong tập hợp số tự nhiên là đã được chứng minh, theo cách xây dựng hệ tiên đề về số tự
nhiên.
Giáo trình này chỉ quan tâm một hình thức tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng (một số nhân với một tổng) mà không quan tâm đến những hệ quả của tính chất này.
Thông qua những kết quả trên, chúng tôi tổng hợp lại những ghi nhận như sau:
Cả hai bộ giáo trình chủ yếu quan tâm đến phép nhân, phép cộng và những lí thuyết đại số
được xây dựng dựa trên hai phép toán này nói chung và trường hợp tính phân phối của phép
nhân đối với phép cộng nói riêng.
Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng xuất hiện dưới hai hình thức nhưng được
ưu tiên dưới hình thức một số nhân với một tổng. Đã xuất hiện công thức tính phân phối của
16


phép nhân đối với phép trừ. Phép toán ngược của phép nhân là phép chia, ít được đề cập và
tính chất “một tổng chia cho một số” không được các giáo trình đề cập.

1.3. Sự mở rộng các cấu trúc đại số và các con đường mở rộng các tập hợp số
Sự mở rộng các câu trúc đại số mà chúng tôi nghiên cứu được từ giáo trình “Đại số đại
cương” của tác giả Hoàng Xuân Sính như sau:
Nửa nhóm nhómvànhmiền nguyêntrường
Trong nửa nhóm hoặc nhóm chỉ thực hiện được một phép toán, trong vành thực hiện được
hai phép toán do đó xuất hiện phép trừ như là phép cộng với phần tử đối và người ta xem
phép cộng và phép trừ là một. Trong một trường phép chia được thực hiện như là phép nhân

với phần tử nghịch đảo, do đó phép nhân và phép chia người ta cũng xem như là một. Nói
cách khác là không có sự phân biệt giữa phép cộng với phép trừ, giữa phép nhân với phép
chia. Xét trên tập hợp số thì (N,+) chỉ là nửa nhóm mà trong nửa nhóm thì chỉ có một phép
toán nên không có tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Nhưng (N,.) cũng
là nữa nhóm. Vậy trong tập hợp N có hai phép toán cộng và nhân nên có thể có tính chất
phân phối của phép nhân đối với phép cộng và điều này đã được chứng minh nhờ vào quan
hệ “số kề sau”.
Khi định nghĩa vành thì cần có hai phép toán hai ngôi , nên “tính chất phân phối” đã trở
thành tiên đề và với quan hệ phần tử đối thì trong vành người ta xem phép cộng và phép trừ
là một. Trong một trường với quan hệ phần tử nghịch đảo, người ta xem phép nhân và phép
chia là một. Do đó người ta không thực hiện phép chia mà sẽ chuyển về phép nhân, và nếu
hiểu như vậy sẽ dẫn đến tránh được quy tắc hành động a : ( b + c )= a : b + a : c và phép
chia cũng có tính chất phân phối.
Nếu xét về sự mở rộng các tập hợp số thì có hai con đường trình bày sự mở rộng các hệ
thống số. Con đường thứ nhất là theo sự mở rộng các cấu trúc đại số, xuất phát từ hệ thống
số tự nhiên N, người ta có thể xây dựng hệ thống số nguyên Z, hệ thống số hữu tỉ Q, hệ
thống số thực R rồi tới hệ thống số phức. Con đường thứ 2 là theo chiều dài phát triển của
lịch sử toán học, đi từ hệ thống số tự nhiên N qua hệ thống số biểu diễn bởi phân số Q+( tức
là hệ thống số hữu tỉ không âm) tới hệ thống số hữu tỉ Q, còn hai bước sau thì giống con
đường thứ nhất” (trang 8,9). Ta có thể sơ đồ hóa hai con đường trên như sau: NZQR
và NQ+QR. Cũng theo SGV6: “Chương trình mới chủ trương mở rộng hệ thống số
17


hoàn toàn theo con đường thứ nhất NZQR” (trang 9). Đây cũng là con đường thường
được sử dụng trong khoa học toán để mở rộng các tập hợp số vì con đường này thể hiện quá
trình mở rộng các cấu trúc đại số, đó là sự phát triển trong nội tại toán học như do nhu cầu
của việc luôn thực hiện được phép trừ , luôn thực hiện được phép chia,… trong việc thực
hiện các phép toán trên cùng một tập hợp số. Như vậy ta thấy rằng những phép toán không
những giúp ta thực hiện tính toán, giải toán,… mà việc thực hiện được hay không một phép

toán còn là 1 trong những nguyên nhân dẫn đến việc phải mở rộng tập hợp số, nói xa hơn thì
chính là quá trình mở rộng các cấu trúc đại số.
Mặc dù khi xây dựng các tập hợp số, SGK Toán THCS hiện hành đã đi theo con đường mở
rộng các cấu trúc đại số như đã nói ở trên, nhưng xây dựng số nguyên SGK không đặt vấn
đề như là một yêu cầu của việc mở rộng một vị nhóm cộng N thành nhóm cộng Z, SGK lại
đặt vấn đề thông qua những ví dụ thực tiễn hay toán học như là nhiệt độ, độ cao trung
bình,lãi, nợ,… để cho học sinh thấy được sự cần thiết phải mở rộng tập hợp số tự nhiên,việc
“mở rộng tập hợp số tự nhiên thành tập hợp số nguyên thông qua hình ảnh trục số(mở rộng
tia số thành trục số)”(SGV 6 tập một). Tuy nhiên theo SGV 6 (tập 2) “ Việc mở rộng Z ở
đây được đặt ra như một yêu cầu phát triển của nội bộ toán học: Mở rộng Z thành một tập
hợp số mới để phép chia thực hiện được với mọi số khác 0.”
Trong tập hợp R các phép toán được thừa hưởng từ các tập hợp số trước đó nên phép chia
không được xây dựng thông qua nhân với phần tử nghịch đảo, đó cũng là một nguyên nhân
dẫn đến học sinh mắc sai lầm nêu trên. Phần phân tích thể chế ở chương sau sẽ làm rõ hơn
nguyên nhân của sai lầm.

1.4. Về khái niệm chữ
Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của hữ và bước chuyển từ việc thao
tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tôi tìm được tài liệu sau:
Nguyễn Thiện Chí (2010), Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông,
luận văn thạc sĩ.
Qua việc tìm hiểu luận văn của tác giả, chúng tôi cho rằng tác giả đã có những phân tích khá
chi tiếc cũng như những tài liệu mà tác giả tham khảo là uy tín và chất lượng. Vì vậy chúng
tôi sẽ không phân tích lại vấn đề khái niệm chữ, mà xin trích lại phần phân tích của tác giả
như sau:
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí (2010):
18


“Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ

Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời nhằm giải
quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các
lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong
trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn:
Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn
ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu
thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ
một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.
Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa vào
việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết
tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên
hơn.
Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử dụng để
chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như
một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5].
−

Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số, δ v
−

v

chỉ bình phương của ẩn số, x chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay lũy thừa của
−

nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x được viết là δ x v β (trong đó β =2). Như vậy, kí
5

hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch ngang trên đầu, chẳng hạn
α =1, β =2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ

vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn dần thành x.
Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ
bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) có dạng
như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).
Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng kí hiệu
p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu m (là chữ đầu

của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ.
Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F. Vìète
(1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các phụ âm thông
19


thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho phép viết các phương
trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các
nguyên âm a, e…
Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như hiện
nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng
đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các kí hiệu
của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng được thừa
nhận rộng rãi.
Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tôi xin
trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các chữ thay
thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, không có công cụ đó –
ngôn ngữ của các công thức – không thể có được sự phát triển của toán học. Đặc biệt ký
hiệu chữ và các phép toán trên những ký hiệu đó, ngay từ thế kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra
đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng
của giải tích toán học, trong đó sự biến thiên liên tục của một đại lượng thường tương ứng
với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó”

Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:
- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn (viết
tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước chuyển quan trọng
từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số biểu thị bằng
chữ.
- Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được dùng để
biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập hợp giá trị.
- Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ hằng số, ẩn
số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương của ẩn số.v.v . Điều
này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ .
Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ
Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ các đơn
vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi chuyển sang đại số các
chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu thức 5g có thể được giải thích
5*g trong đó g chỉ một số.
20


Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó
ông phân biệt:
- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số
- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán
- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn
- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm
- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị
- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]
Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa của
các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:
Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các
đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một

nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng về nghĩa: các chữ bây giờ
được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần số mét, m chỉ một số và với danh
nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)
Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị
rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm
rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện
tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta
gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách
hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu. Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan
niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11]
Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu chữ” trong
dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục) đã chỉ ra rằng:
“Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa dạng: khi thì biểu thị một số
tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ
số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải
giải quyết những tình huống trong đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61]. Đặc
biệt, tác giả đã đưa ra kết luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới
phép chia Euclide mà ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải
những khó khăn, lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ. Đặc biệt, học sinh
21


có xu hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu học
với các chữ.” [19, tr.64]
Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng sư phạm của khái
niệm chữ như sau:
- Chữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là một nhãn,
chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số. Điều này cho thấy tính
đa nghĩa của kí hiệu chữ.”
Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong

các tình huống có sự hiện diện của a. ( b + c ) = a.b + a.c thì a đóng vai trò là một số hay
một tổng? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau.
“- Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh khác
nhau. Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa của “ký hiệu
chữ”.
- Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số
cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số biểu thị
bằng chữ.”
Vấn đề đặt ra là:
-

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng được đưa vào thể chế dạy học
toán trung học cơ sở như thế nào? Vai trò của tính chất này?

-

Những tính chất được suy ra từ tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
có được thể chế quan tâm?

-

Ảnh hưởng của thể chế dạy học lên đối tượng học sinh như thế nào?

Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích thể chế dạy học
Toán trung học cơ sở về nội dung này ngay trong chương 2 sau đây.

22


CHƯƠNG 2: TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI

VỚI PHÉP CỘNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Ở TRUNG HỌC
CƠ SỞ
Như chúng tôi đã nói ở phần trước, mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế
gắn với đối tượng “tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng”.
Số học được xem như kết thúc vào những năm đầu THCS sau khi mở rộng và hoàn thiện hệ
thống số tới tập hợp số thực. Vì vậy trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ phân tích
“tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng” trong chương trình và SGK các khối
lớp 4, 6 và 7.
Chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK toán Tiểu học, phân tích chương trình,
SGK toán THCS cả hai giai đoạn: giai đoạn hiện hành và giai đoạn 1994- 2002. Chúng tôi
xin nói rõ thêm rằng giữa hai chương trình này không có thêm chương trình nào xen giữa.
Chúng tôi tìm cách trả lời cho những câu hỏi sau:
-

Mối quan hệ thể chế với đối tượng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng có những đặc trưng gì?

-

Có thể dự kiến được những sai lầm nào của học sinh khi thao tác với đối tượng này?

Những tài liệu làm cơ sở cho phân tích chương này là:
-

Sách giáo khoa toán 4, NXBGD, 2012.

-

Sách giáo khoa toán 7, NXBGD, 2002.

-

Sách giáo viên toán 7, NXBGD, 2002.

-

Sách bài tập toán 7, NXBGD, 2002.

-

Sách giáo khoa toán 6, NXBGD, 2002.

-

Sách giáo viên toán 6, NXBGD, 2002.

-

Sách bài tập toán 6, NXBGD, 2002.

-

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán trung học cơ sở, NXBGD,
2010.

-

Sách giáo khoa toán 7, NXBGD, 1996.

-

Sách giáo khoa toán 6, NXBGD, 1996.

23