nhóm con c chuẩn tắc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Đậu Thị Huế

NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Đậu Thị Huế

NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong
khoa Toán của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá
trình học tập tại khoa.
Xin cảm ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu
quả.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013.

1


MỞ ĐẦU
Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn và cấu trúc
của nhóm đã được nghiên cứu rộng rãi. Tính chuẩn tắc của một nhóm con trong một nhóm
hữu hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn. Ta đã biết rằng
nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G.
Định lý nổi tiếng của B. Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và
chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố trong G.
Gần đây, có nhiều kết quả nghiên cứu về nhóm hữu hạn khá thú vị, chẳng hạn: G là
nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M là c-chuẩn tắc trong G. Ngoài ra,
nhóm con c-chuẩn tắc còn có nhiều ứng dụng khác trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm
hữu hạn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu.
Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [9], trình bày một số kết quả về nhóm
con c-chuẩn tắc và tính chất của nó, đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc
cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của

nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được, tổng quát một
số định lý nổi tiếng bằng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc.
Luận văn gồm 2 chương:
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để
dùng trong luận văn.
CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG
Chương này sẽ trình bày về khái niệm nhóm con c-chuẩn tắc và một số tính chất của
nó. Sau đó nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được
và nhóm siêu giải được. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện
chuẩn tắc bằng điều kiện yếu hơn là c-chuẩn tắc.

2


BẢNG KÝ HIỆU

Hx

Nhóm con liên hợp với H.

NG ( H )

Chuẩn hóa tử của H trong G.

CG ( H )

Tâm hóa tử của H trong G.

Z (G )

Tâm của G.

H ≤G, H
H là nhóm con của nhóm G, H là nhóm con thực sự của nhóm G.

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.

M < ⋅G

M là nhóm con tối đại của nhóm G.

H char G

H là nhóm con đặc trưng của G.

H N

Tích nửa trực tiếp của N và H.

Syl p ( G )

Tập các p-nhóm con Sylow của G.

[ x1, x2 ]

x1−1x2−1x1x2 - hoán tử của x1 và x2 .

G′

[G , G ] - Nhóm con hoán tử của nhóm G.

i
G( )

Nhóm con hoán tử bậc i của nhóm G.

Φ (G )

Nhóm con Frattini của nhóm G.

F (G )

Nhóm con Fitting của nhóm G.

Op ( G )

p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G.

Aut (G )

Nhóm các tự đẳng cấu của G.

γ iG

Dãy tâm dưới của nhóm G.

ζ iG

Dãy tâm trên của nhóm G.

HG

Core(H) - Nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H.

3


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
MỤC LỤC .................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 5
1.1 Một số khái niệm .......................................................................................................... 5
1.2 Nhóm con á chuẩn tắc ................................................................................................ 12
1.3 Nhóm con Hall ............................................................................................................ 13
1.4 Nhóm p-giải được ....................................................................................................... 14
1.5 Nhóm giải được ........................................................................................................... 16
1.6. Nhóm lũy linh ............................................................................................................ 20
1.7. Nhóm con Frattini ..................................................................................................... 24
1.8. Nhóm siêu giải được .................................................................................................. 26

CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG ........................... 32
2.1 Nhóm con c-chuẩn tắc ................................................................................................ 32
2.2 Tính chất cơ bản ......................................................................................................... 33
2.3. Một số kết quả chính ................................................................................................. 41

2.4. Ứng dụng .................................................................................................................... 48

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 53

4


CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1.1.
x
Cho H là một nhóm con của G. Với mỗi x ∈ G, nhóm con H=

h
{=
x

x −1hx h ∈ H } của G

được gọi là nhóm con liên hợp với H trong G.
Định nghĩa 1.1.2.

{

}

x G Hx =
H được gọi là

Cho H là một nhóm con của G. Khi đó tập hợp N G ( H ) =∈

chuẩn hóa tử của H trong G.
Định nghĩa 1.1.3.
Cho H là một nhóm con của G. Tâm hóa tử của H trong G là tập hợp
CG ( H ) =

{ x ∈ G xh =

hx, ∀h ∈ H } .

Tâm hóa tử của G trong G được ký hiệu là Z(G) và được gọi là tâm của G.
Nhận xét:
i) Z ( G )  G.

( )

ii) A C ⊂ Z B C

⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : ab =ba
⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a −1b −1ab ∈ C.

Định lý 1.1.4.
Cho H là nhóm con của G. Khi đó CG ( H )  N G ( H ) .
Hệ quả 1.1.5.
Nếu H  G thì CG ( H )  G.
5


Định lý 1.1.6.

Nếu G là một nhóm hữu hạn và H ≤ G thì số nhóm con của G liên hợp với H bằng chỉ số
của N G ( H ) trong G.
Định nghĩa 1.1.7.
Cho G là nhóm và X là tập con khác rỗng của G. Core của X trong G là hợp của tất cả
các nhóm con chuẩn tắc của G chứa trong X, ký hiệu là XG. Nếu không tồn tại nhóm con
chuẩn tắc của G nào chứa trong X thì ta quy ước XG=1.
Nhận xét:
Cho H là nhóm con của nhóm G. Khi đó HG là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm
trong H và H G =  g −1 Hg.
g∈G

Định nghĩa 1.1.8.

Một nhóm con M của nhóm G được gọi là một nhóm con tối đại của G nếu không
tồn tại nhóm con K thực sự nào của G sao cho M < K < G, ký hiệu là M < ⋅ G.
Định nghĩa 1.1.9.
Cho G là một nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G. H được gọi là nhóm con
chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H ≠ 1 và không tồn tại nhóm con K  G sao cho
1 < K < H.

Mệnh đề 1.1.10.
Mọi nhóm con thực sự của nhóm G đều nằm trong một nhóm con tối đại nào đó
của G.
Mệnh đề 1.1.11.
HK  L = ( H  L ) K .
Cho H, K, L là các nhóm con của nhóm G và K ⊆ L. Khi đó

Bổ đề 1.1.12.
6

Nếu S là một nhóm con tối đại của G có SG = 1 và N ≠ 1 là nhóm con chuẩn tắc của G, C
là tâm hóa tử của N trong G thì C  S = 1 và C hoặc bằng 1 hoặc là nhóm con chuẩn tắc tối
tiểu của G.
Chứng minh.
Vì SG = 1 và N là nhóm con chuẩn tắc của G nên N ≤/ S . Do đó, G = NS .

Ta có

C = CG ( N )=

{ g ∈ G gn=

∀x ∈ G, ∀g ∈ CG ( N ) , ∀n ∈ N ,
gx ) n. ( x g x ) n
(x =
−1

−1

−1

−1

{g ∈ G g =

ng , ∀n ∈ N }=

}

ngn −1 , ∀n ∈ N .

ta có:

−1
x=
g ( xnx −1 ) g −1 xn −1 x −1 ( xnx −1 ) gg −1 xn −1

−1
= nx
=
xn −1 1.

Vậy

(x

Suy ra,
Vì

−1

gx ) n = n ( x −1 gx ) .

Do đó,

( C  S )  S . Vậy nên,

Từ đó

Hay

CG ( N )  G.

S ≤ NG ( C  S ) .

∀g ∈ CG ( N ) , ∀n ∈ N : gn =ng

Do đó,

x −1 gx ∈ CG ( N ) .

nên

N ⊂ CG ( C ) ⊂ CG ( C  S ) ⊂ N G ( C  S ) .

=
G NS ≤ N G ( C  S ) .

G = NG ( C  S ) .

1 nên C  S = 1.
Vậy C  S  G. Mặt khác, C  S ⊂ S , SG =

Nếu C ≠ 1 thì C ≤/ S nên G = CS . Giả sử 1 ≠ X là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong C
thì X  S = 1 và G = XS .
:S C
=
X G
=

. Vậy X=C. Hay C là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.
Ta có

Bổ đề 1.1.13.
Nếu S là một nhóm con chuẩn tắc tối đại của G, SG = 1 và A, B là hai nhóm con chuẩn tắc
tối tiểu khác nhau của G thì

7


1 A =
G AS
S B  S.
= BS ,=
i) =

ii)

A = CG ( B ) .

Chứng minh.
i) Vì A là nhóm con chuẩn tắc của G, SG = 1 nên A ≤/ S . Do đó, G = AS .
Mặt khác, (

A S)  S

mà SG = 1 nên A  S = 1.

ii) Vì A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của G nên A  B  G . Do tính tối tiểu của A, B
nên A  B = 1.

∀a ∈ A, ∀b ∈ B : aba −1b −1 ∈ A  B =1 nên ab = ba. Suy ra, A ≤ CG ( B ) .

Mà

CG ( B )

là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Do đó

A = CG ( B ) .

Định nghĩa 1.1.14.
Cho H, K là các nhóm con của nhóm G. H được gọi là phần bù của K trong G nếu
G = HK

và H  K = 1.

Định nghĩa 1.1.15.
Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó:
i) Nếu mọi phần tử của G đều có cấp là một lũy thừa của p thì G được gọi là một pnhóm.
ii) Nếu H ≤ G và H là một p-nhóm thì H được gọi là một p-nhóm con của G.
iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối
đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
Định lý 1.1.16.

8


Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số nguyên tố p thì G chứa
một phần tử cấp p.
Hệ quả 1.1.17.

Nhóm G hữu hạn là một p-nhóm khi và chỉ khi

G

là lũy thừa của p.

Định lý 1.1.18.
Z G ≠ 1.
Nếu G ≠ 1 là một p-nhóm hữu hạn thì ( )

Định lý 1.1.19. (Định lý Sylow)
n
=
G p=
m, ( m, p ) 1.

Cho p là một số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn,

Khi đó:

k
i) Với 1 ≤ k ≤ n, tồn tại trong G một nhóm con có cấp p . Nói riêng, tồn tại trong G

các p-nhóm con Sylow.
ii) Mọi p-nhóm con H đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.
iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
iv) Số các nhóm con Sylow của G là ước của m và đồng dư với 1 (mod p).
Mệnh đề 1.1.20.
Cho P là p-nhóm con Sylow của G. Khi đó P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G
nếu và chỉ nếu P là nhóm con chuẩn tắc của G.

Mệnh đề 1.1.21.
Cho P là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.
i) Nếu

NG ( P ) ≤ H ≤ G

thì

H = NG ( H ) .

9


ii) Nếu N  G thì P  N là một p-nhóm con Sylow của N và
G

con Sylow của

N

PN

N là một p-nhóm

.

Chứng minh.
i) Lấy

x ∈ NG ( H )

. Vì

P ≤ H  NG ( H )

x
x
H . Mà P và P x là p-nhóm con
nên P ≤ H =

x
h
xh −1 ∈ N G ( P ) ≤ H .
H = NG ( H ) .
P
=
P
∀
h
∈
H
,
.
Sylow của H nên
Do đó
Hay x ∈ H . Vậy

ii) Ta có

N :=

P  N PN
=
: P PN
=
:P n

p-nhóm con của N. Mặt khác,
con Sylow của N. Tương tự

với

( n, p ) = 1. Vì

N=
: PN N
=
:PN n

PN

với

P  N ≤ N nên P  N là một

( n, p ) = 1 nên

N cũng là p-nhóm con Sylow của

G

N

P  N là p-nhóm

.

Bổ đề 1.1.22. (Bổ đề Frattini)
Cho G là nhóm hữu hạn và H  G. Khi đó nếu P là một p-nhóm con Sylow của H
thì

G = HN G ( P ) .

Chứng minh.
x
x
H nên P và P x liên hợp với nhau trong H, do đó tồn tại
Với mọi x ∈ G, P ≤ H =

h∈H

x
h
h −1 x ∈ N G ( P ) .
sao cho P = P . Vậy nên,

=
x h ( h −1 x ) ∈ HN G ( P ) .

Suy ra

Vậy

G ≤ HN G ( P ) .

Hay

G = HN G ( P ) .

Định nghĩa 1.1.23.
Cho G là một nhóm. Nếu ánh xạ ϕ : G → G là một đẳng cấu thì ϕ được gọi là một
tự đẳng cấu của G. Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G được ký hiệu là Aut(G).
Định nghĩa 1.1.24.
Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu H char G,
ϕ H = H , ∀ϕ ∈ Aut ( G ) .
nếu ( )
10


Mệnh đề 1.1.25.
ϕ H ≤ H , ∀ϕ ∈ Aut ( G )
i) Nếu ( )
thì H char G.

ii) Nếu H char G thì H  G.
iii) Nếu H char K và K char G thì H char G.
iv) Nếu H char K và K  G thì H  G.

Định nghĩa 1.1.26.
Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. G được gọi là nhóm p-đóng nếu G
có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc.

Mệnh đề 1.1.27.
Nhóm con của một nhóm p-đóng là một nhóm p-đóng.
Chứng minh.
Giả sử G là một nhóm p-đóng và A ≤ G. Khi đó tồn tại p-nhóm con Sylow P của G
sao cho P  G.
Đặt P1 = P  A thì P1 là p-nhóm con Sylow của A. Rõ ràng P1  A. Do đó A là nhóm
p-đóng.
Định nghĩa 1.1.28.
Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. H là nhóm con của G sao cho
=
G HN
=
, H  N 1.

Khi đó ta nói G là tích nửa trực tiếp của N và H, ký hiệu là

G = H  N.

Định nghĩa 1.1.29.
Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó G được gọi là một
p-nhóm Aben sơ cấp nếu G   p ×  p × ... ×  p .
11


Nhận xét:
Một p-nhóm hữu hạn G là p-nhóm Aben sơ cấp nếu G là nhóm aben thỏa mãn điều kiện
x p = 1, ∀x ∈ G.

Định nghĩa 1.1.30.
Nhóm G được gọi là nhóm đơn đặc trưng nếu G khác 1 và G chỉ có hai nhóm con đặc

trưng là 1 và G.

1.2 Nhóm con á chuẩn tắc
Định nghĩa 1.2.1.
Cho G là một nhóm hữu hạn, H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại nhóm
=
, H1 ,..., H n G sao cho H = H 0  H1  ...  H n .
con H 0 H=

Định nghĩa 1.2.2.
Cho K  H , H là nhóm con á chuẩn tắc của G. Ta nói
H

nếu

H

K là thương hợp thành của G

K là nhóm đơn.

Định nghĩa 1.2.3.
Cho G là một nhóm. Một dãy cơ bản trong G là dãy các nhóm con chuẩn tắc
N i +1

1 = N 0 ≤ N1 ≤ ... ≤ N n = G của G thỏa điều kiện

G

Ni

,=
∀i 1,..., n − 1.

N i +1

Khi đó, các nhóm thương

N i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của

N i được gọi là thương chính.

Định nghĩa 1.2.4.
Cho G là một nhóm, M là nhóm con tối đại của G. Chỉ số chuẩn tắc của nhóm con tối đại
M trong G là cấp của nhóm thương

H

K của G, trong đó H là tối tiểu trong tập các phần bù

chuẩn tắc của M trong G, K là nhóm con của M. Khi đó, chỉ số chuẩn tắc được ký hiệu là

η (G : M ).
12


Bổ đề 1.2.5 [3, Lemma 1]

η (G : M )

được xác định duy nhất bởi M.

1.3 Nhóm con Hall
Định nghĩa 1.3.1.
 n
 k ,  = 1.
Cho k , n ∈ . Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k là ước của n và  k 

Định nghĩa 1.3.2.
Nếu G là một nhóm hữu hạn thì mọi nhóm con H của G có cấp là một ước Hall của
được gọi là một nhóm con Hall của G, tức là

G

( H , G : H ) = 1.

Ví dụ:
Một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn là một nhóm con Hall.
Định nghĩa 1.3.3.
Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố. Đặt π ′ là phần bù của π trong tập hợp
tất cả các số nguyên tố. Khi đó, nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố đều
nằm trong π thì n được gọi là một π -số. Nếu a là π -số và b là π ' -số thì a và b nguyên tố
cùng nhau.
Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π -số thì G được gọi là một π nhóm.
Nếu π là một tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta ký hiệu p-số thay cho π -số và p'-số
thay cho π ′ -số. Khi đó rõ ràng một π -nhóm chính là một p-nhóm.
Định nghĩa 1.3.4.
m
Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp ap , với a là một p'-số thì

một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p'-nhóm con Hall của G hay còn gọi là một
p-phần bù.
13


Nhận xét:
Giả sử H, K là p-nhóm con của G, K  G. Khi đó H  K là một p-nhóm. Suy ra
H

( H  K ) là một p-nhóm. Vì

HK

K

≅H

( H  K ) nên

HK

K là p-nhóm. Do đó HK là p-

nhóm. Vậy nhóm con được sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là một p-nhóm.
Đây là p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G, ký hiệu là

Op ( G ) .

Định nghĩa 1.3.5.
Nhóm hữu hạn G được gọi là p-lũy linh nếu G có một p-phần bù chuẩn tắc.

Mệnh đề 1.3.6.
Nếu p-nhóm con Sylow của G nằm trong tâm của chuẩn hóa tử của nó trong G thì G có
p-phần bù chuẩn tắc.
Mệnh đề 1.3.7.
Cho G là một nhóm hữu hạn, p là ước nguyên tố bé nhất của

G

và P là một p-nhóm con

Sylow của G. Nếu P là một nhóm cyclic thì G có một phần bù chuẩn tắc.
Chứng minh.
Xét tác động liên hợp
*: N G ( P ) × P → P

( g, x)  g * x = xg
N G ( P )( x ) ={ x g ∈ P : g ∈ N G ( P )} .
x
Khi đó quỹ đạo của
trong P là
Rõ ràng
N G ( P )( x ) < p.

nên

Mà

N G ( P )( x ) = 1.

N G ( P )( x )

Hay

là ước của

N G ( P )( x ) = { x} .

NG ( P ) ,

Vậy

p là ước nguyên tố bé nhất của

P ≤ Z ( NG ( P ) ) .

chuẩn tắc.

1.4 Nhóm p-giải được
Định nghĩa 1.4.1.
14

NG ( P )

Do đó G có một p-phần bù


Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Ta nói G là nhóm p-giải được nếu
tất cả các thương hợp thành của G là p-nhóm hay p'-nhóm.
Định lý 1.4.2.
N,G

N

G
,
N đều là nhóm p-giải được thì G là nhóm p-giải được.
cả hai nhóm
Nếu

Chứng minh.
K

Giả sử

J là một thương hợp thành của G. Khi đó

K

J là nhóm đơn và K là nhóm con á

chuẩn tắc của G.
Ta có
hoặc

J  J ( K  N )  K.

Vì J là nhóm con chuẩn tắc tối đại của K nên

J (K  N ) = K

J ( K  N ) = J.

Giả sử

J ( K  N ) = K.

(K  N )
Vì

(J  N)

≅

(K  N )

(K  N ) J

≅

(K  N ) J
J

đơn và K  N là nhóm con á chuẩn tắc của N. Vì vậy
N. Mà N là nhóm p-giải được nên

KN

K
KN
=
J

J  N là nhóm
nên

KN

J  N là thương hợp thành của

J  N là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó,

K

J là p-

nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là nhóm p-giải được.
Giả sử

J ( K  N ) = J.

( KN N )
Vì

( KN N )
( KN N )

(

JN

N)

≅ KN =
JN

K ( JN )
JN

( JN N )

là nhóm đơn và

( JN N )

là thương hợp thành của

KN

≅K

= K
= K
K  JN
J
J (K  N )

N là nhóm con á chuẩn tắc của

G

15

N

.

G

Mà

G

nên

.
N Vì vậy

N là nhóm p-giải được nên


( KN N )

( JN N ) là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó, K J

là p-nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là

nhóm p-giải được.
Định lý 1.4.3.
Cho G là nhóm p-giải được. Khi đó:
i) Nếu N ≤ G thì N là nhóm p-giải được.
G

ii) Nếu N  G thì

N là nhóm p-giải được.

1.5 Nhóm giải được
Định nghĩa 1.5.1.
=
G
0  G1  ...  Gn
Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các
nhóm con 1 G=
Gi +1

thỏa điều kiện

Gi là nhóm aben.

Định nghĩa 1.5.2.
Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy aben.
Định nghĩa 1.5.3.
a, b ] = a −1b −1ab
a, b
[
a
,
b
∈
G
,
Với mỗi

ký hiệu
và gọi [ ] là hoán tử của a và b. Nhóm con

của G sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con hoán tử của G, ký hiệu là
G′ = [G, G ] .

Định lý 1.5.4.
Cho G là một nhóm. Khi đó:
G, G ]  G
i) [

G

và

ii) Nếu H  G và

[G, G ] là một nhóm giao hoán.

G

H giao hoán thì [G, G ] ≤ H .

16


Định nghĩa 1.5.5.
Cho G là một nhóm, đặt
() ′
(G=

)

(+)
G ( ) G, G=
=
0

i 1

i

G (i ) , G (i )  , ∀i ≥ 0.



(i )
Nhóm con G được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G.

( 0)
(1)
( 2)
Dãy các nhóm con hoán tử G = G ≥ G ≥ G ≥ ... được gọi là dãy dẫn xuất của G.

Định lý 1.5.6.
Cho G là một nhóm. Khi đó:
(i )
i) G char G, ∀i ∈ .

(G( ) )

(+ )
G
=
i j

ii)

i

( j)

, ∀i, j ∈ .

Định lý 1.5.7.
=
G là một dãy aben của nhóm giải được G thì G (i ) ≤ Gn −i , ∀i ≥ 0.
0  G1  ...  Gn
Nếu 1 G=
(n)
Đặc biệt, G = 1.

Chứng minh.
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo i.
( 0)
Với i = 0 : G = G ≤ Gn = G.

( i +1)

(i )
G

=
Giả sử G ≤ Gn −i . Khi đó,

Gn −i

Mặt khác,

Gn −(i +1)

G(

≤ Gn −(i +1) .

Do đó,

i +1)

(G( ) )′ ≤ (G
i

n −i

)′ .

Gn −i )′ ≤ Gn −(i +1) .
(
là nhóm aben nên

(n)
(n)

Đặc biệt, G ≤ 1 nên G = 1.

17


Hệ quả 1.5.8.
(n)
Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n ∈  sao cho G = 1.

Hệ quả 1.5.9.
(1)
Nếu tồn tại một nhóm con H ≠ 1 của G sao cho H = H thì G không giải được.

Định lý 1.5.10.
Mọi nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được.
Chứng minh.
(n)
Giả sử G là nhóm giải được. H là nhóm con của G. Khi đó tồn tại n ∈  sao cho G = 1.
n
(n)
(n)
1. Do đó, H ( ) = 1. Vậy H giải được.
Vì H ≤ G nên H ≤ G =

Định lý 1.5.11.
Nếu G giải được và f : G → H là một toàn cấu thì H giải được.
Chứng minh.
(n)
Vì G là nhóm giải được nên tồn tại n ∈  sao cho G = 1.

Nếu

H = f (G )

Do đó

( )

=
H ( ) f G ( ) , ∀i.
i

thì bằng quy nạp ta chứng minh được

i

( )

(n)
( n)
=
H
f G=
f=
(1) 1.

Vậy H giải được.
Định lý 1.5.12.
H, G
H đều giải được thì G giải được.

Nếu H  G và cả hai nhóm

Chứng minh.

18


Đặt

K =G

.
H Do H và K giải được nên tồn tại m, n ∈  sao cho H ( m ) = 1 và K ( n ) = 1. Xét

( )

f G ( n ) = 1,
(n)
(n)
f
:
G
→
K
.
K
=
1
Do
nên

tức là G ≤ H .
đồng cấu tự nhiên

Hệ quả 1.5.13.
Nếu H và K là hai nhóm giải được thì H × K giải được.
Định lý 1.5.14.
Cho H1 , H 2 ,..., H n là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu
G

H1

,G

H2

,..., G

H n là nhóm

n

∩ Hi

giải được thì

G

i =1

là nhóm giải được.

Chứng minh.
Xét đồng cấu nhóm
n

ϕ : G → ⊗G H
i =1

i

g  ( gH1 ,..., gH n )

Ta có

}

{

n

 Hi .
Kerϕ =
g ∈ G ( gH1 ,..., gH n ) =
0 =

G

n

 Hi

Do đó

≅ Im ϕ .

i =1

i =1

n

n

⊗G

Mặt khác,

i =1

H i là nhóm giải được. Mà

Im ϕ ≤ ⊗ G
i =1

H i nên Im ϕ

là nhóm giải được.
G

Vậy

n

∩ Hi
i =1

là nhóm giải được.

Định lý 1.5.15.
Nếu G là một nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là
p-nhóm con Aben sơ cấp.
Chứng minh.
19


Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Vì G là nhóm giải được nên N giải
(1)
(1)
(1)
được, do đó N ≠ N . Mặt khác, N char N nên N  G. Từ tính tối tiểu của N suy ra

N (1) = 1. Hay [ N , N ] = 1. Vậy N là một nhóm Aben.

Gọi P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó, với mọi
nhóm con Sylow của N nên

ϕ ( P) = Px.

ϕ ( P)

ϕ ∈ Aut ( N ) ϕ ( P )
,
cũng là một p-

liên hợp với P trong N, tức là tồn tại x ∈ N sao cho

x
ϕ P = P.
Mà N là nhóm Aben nên P = P. Suy ra ( )
Vậy P char N . Do đó P  G.

Mặt khác, P ≠ 1 nên do tính tối tiểu của N ta có P = N . Vậy N là một p-nhóm con Aben của
G.
Đặt

{

}

H =∈
x N xp =
1.

Chứng minh tương tự ta có H là một nhóm con đặc trưng của N.

Do đó H  G. Mà N là một p-nhóm nên H ≠ 1. Vậy H = N , hay mọi phần tử khác 1 trong N
đều có cấp p. Vậy N là một p-nhóm con Aben sơ cấp.
Mệnh đề 1.5.16.
Nếu G là nhóm đơn giải được hữu hạn thì G là nhóm có cấp là một số nguyên tố.
Định lý 1.5.17.

Mọi nhóm cấp lẻ đều là nhóm giải được.
Định lý 1.5.18.
Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) G là nhóm giải được.
ii) Mọi thương hợp thành của G đều có cấp nguyên tố.
iii) G là p-giải được với mọi p là ước nguyên tố của

1.6. Nhóm lũy linh
Định nghĩa 1.6.1.

20

G.


Cho G là nhóm. Một dãy tâm của G là dãy các nhóm con chuẩn tắc
1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G của G thỏa

Gi +1

Gi

≤ Z  G  ,=
∀i 0,..., n − 1.
 Gi 

Định nghĩa 1.6.2.
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn
nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G.
Định nghĩa 1.6.3.

Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con γ i G của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
, γ i +1
γ 1G G=
=

[γ iG, G ] , ∀i.

Mệnh đề 1.6.4.
Các mệnh đề sau đúng với mọi i ∈  :
i) γ i G char G.
ii) γ i +1G ≤ γ i G.
γ iG

iii)

G



γ i +1G ≤ Z  γ i +1G  .

(i )
G
≤ γ i +1G.
iv)

v) Nếu H ≤ G thì γ i H ≤ γ i G.
Định nghĩa 1.6.5.
Dãy các nhóm G = γ 1G ≥ γ 2G ≥ ... được gọi là dãy tâm dưới của nhóm G.
Nhận xét:

Dãy này có thể không kết thúc ở 1 nên nó không là dãy aben.
Định nghĩa 1.6.6.

21


Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con ζ i G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
ζ 0G 1,=
ζ i +1G vi−1  Z  G ζ G   , ∀i
=
vi : G → G
ζ i G là đồng cấu tự nhiên, nghĩa là
i

 
với

ζ i +1G

G



ζ i G = Z  ζ i G  .

Mệnh đề 1.6.7.
Các mệnh đề sau đúng với mọi i ∈  :
i) ζ i G char G.
ii)

[ζ i +1G, G ] ≤ ζ iG.

Định nghĩa 1.6.8.
Dãy 1 = ζ 0G ≤ ζ 1G ≤ ... được gọi là dãy tâm trên của G.
Nhận xét:
Dãy này có thể không kết thúc ở G nên nó không là dãy aben.
Định lý 1.6.9.
Giả sử 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G là một dãy tâm trong nhóm lũy linh G. Khi đó:
i) γ i G ≤ Gn −i +1 , vì vậy γ n +1G = 1.
ii) Gi ≤ ζ i G , vì vậy ζ nG = G.
iii) Lớp lũy linh của G bằng độ dài của dãy tâm trên và bằng độ dài của dãy tâm dưới.
Nhận xét:
Nhóm G là lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n ∈ N sao cho γ n +1G = 1.
Nhóm G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n ∈ N sao cho ζ nG = G.
Định lý 1.6.10.
22


Mọi nhóm lũy linh đều giải được.
Chứng minh.
Giả sử G là nhóm lũy linh. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho γ n +1G = 1.
(n)
1.
Theo MỆNH ĐỀ 1.6.4. G ≤ γ n +1G =
(n)
Vậy G = 1. Do đó G giải được.

Định lý 1.6.11.
Mọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh.
Chứng minh.

Nếu ζ i G ≠ G thì

G

ζ i G ≠ 1 và

G

ζ i G là p-nhóm hữu hạn nên

 ≠ 1.
Z  G

 ζ iG 

ζ i +1G
G

=
ζ i G Z  ζ i G  ≠ 1
Mặt khác,
nên ζ i G là nhóm con thực sự của ζ i +1G.

Do G hữu hạn nên phải tồn tại n ∈  sao cho ζ nG = G. Vậy G là nhóm lũy linh.
Định lý 1.6.12.
Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó :
i) Nếu N ≤ G thì N là nhóm lũy linh.
ii) Nếu N  G thì

G

N là nhóm lũy linh.

Định lý 1.6.13.
Nếu H và K là nhóm lũy linh thì H × K là nhóm lũy linh.
Định nghĩa 1.6.14.
Một nhóm G được gọi là thỏa điều kiện chuẩn hóa nếu mọi nhóm con thực sự H của G
đều thỏa

H < NG ( H ) .

23