tích trực tiếp con của các vành và các định lý về giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đinh Lê Hoàng Thư

TÍCH TRỰC TIẾP CON CỦA CÁC VÀNH
VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đinh Lê Hoàng Thư

TÍCH TRỰC TIẾP CON CỦA CÁC VÀNH
VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán-Tin và
Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi thực
hiện luận văn trong thời gian cho phép.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí. Thầy
đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng lực
của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những mặt thiếu sót. Rất mong nhận được ý
kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 09 năm 2013

Đinh Lê Hoàng Thư

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 5
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành và môđun. ........................................................5
1.2. Căn Jacobson ...............................................................................................................7
1.3. Vành Artin nửa nguyên thủy: ....................................................................................9

CHƯƠNG 2: TÍCH TRỰC TIẾP CON CỦA CÁC VÀNH VÀ CÁC ĐỊNH LÝ
VỀ GIAO HOÁN. ...................................................................................................... 15
2.1. Tích trực tiếp con của các vành ...............................................................................15
2.2. Các định lý về giao hoán. ..........................................................................................19

2.3. Mở rộng các định lý về giao hoán ...........................................................................23
2.4. Định lý Herstein với giao hoán tử cấp n và vành con Boolean. ............................33
2.4.1. Định lý Herstein với giao hoán tử cấp n .............................................................33
2.4.2. Các định lý về giao hoán trên lớp vành con Boolean ..........................................37

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 45

2


BẢNG KÝ HIỆU

E (M )

: Vành các tự đồng cấu của nhóm cộng M

D

: Vành chia

Dn

: Vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trên D

F (G )

: Đại số nhóm G trên trường F

J ( R ) hoặc J : Căn Jacobson

J ( R ) = ( 0)

: R là vành nửa đơn

N

: Tập các phần tử lũy linh

o (G )

: Cấp của nhóm

Z ( R)

: Tâm của vành R

[ x; y ]

: Giao hoán tử cộng

x −1 y −1 xy

: Giao hoán tử nhân

[ x1 , x2 ,..., xn ]

: Giao hoán tử cộng cấp n

3

LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1905, Wedderburn chứng minh được rằng một vành chia hữu hạn là một
trường. Ngoại trừ vẻ đẹp nội tại của chính bản thân nó, kết quả này còn đóng vai trò quan
trọng trong nhiều lĩnh vực của đại số. Với chúng tôi, điều này có ý nghĩa như một điểm xuất
phát cho việc nghiên cứu các vành với những điều kiện thích hợp nào thì có tính chất giao
hoán. Bên cạnh đó, việc tìm hiểu khái niệm tích trực tiếp con của các vành và phép biểu
diễn một vành thành tích trực tiếp con của một họ các vành con của nó cũng đặt ra một vấn
đề cần giải quyết là “Phép biểu diễn đó đóng vai trò gì trong việc chứng minh các định lý về
giao hoán cho một số lớp các vành?”.
Đây là lý do chúng tôi chọn đề tài “Tích trực tiếp con của các vành và các định lý
về giao hoán” để nghiên cứu và tìm hiểu.
Luận văn gồm có hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, tính chất của vành và môđun, Căn
Jacobson cùng với các tính chất của căn Jacobson, đưa ra các khái niệm cơ bản về các lớp
vành quan trọng như vành Artin, vành Noether, vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố, vành
nguyên thủy, vành nửa nguyên thủy.
Chương 2: Tích trực tiếp con của các vành và các định lý về giao hoán
Chương này chúng tôi đưa ra khái niệm tích trực tiếp con của một họ các vành và khả
năng phân tích một vành thành tích trực tiếp con của một họ các vành con nào đó, đồng thời
tìm hiểu khả năng ứng dụng điều đó vào việc chứng minh một loạt các định lý về giao hoán
vốn được áp dụng cho các vành chia nay được mở rộng chứng minh các định lý về giao
hoán cho lớp các vành rộng hơn vành chia.

4


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, tính chất của vành và môđun, Căn
Jacobson cùng với các tính chất của căn Jacobson, đưa ra các khái niệm cơ bản về các lớp
vành quan trọng như vành Artin, vành Noether, vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố, vành
nguyên thủy, vành nửa nguyên thủy... Các vành được xét trong luận văn này nếu không nói
gì thêm là không giao hoán và có thể không có đơn vị.

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành và môđun.
Định nghĩa 1.1.1
R là vành nếu R cùng với phép cộng là một nhóm Aben, với phép nhân có tính chất

kết hợp, phân phối hai phía đối với phép cộng.
Các ideal được xét trong luận văn là ideal phải, còn ideal hai phía được viết gọn là
ideal.
Các khái niệm vành con, vành thương, vành các thương, đồng cấu, đẳng cấu, các định
lý đẳng cấu được xem như thông thường.
Định nghĩa 1.1.2
Cho M là nhóm Aben với phép cộng, M được cho là R - môđun nếu có ánh xạ từ
M × R đến M sao cho mỗi cặp (m; r ) ∈ M × R cho tương ứng mr ∈ M thỏa điều kiện.

a. m(a + b) = ma + mb .
b. (m + n)a = ma + na .
c. m(ab) = (ma)b .
∀m, n ∈ M , ∀a, b ∈ R .

Định nghĩa 1.1.3
M là R - môđun thì tập A( M ) =
{r ∈ R / Mr =
0} được gọi là tập linh hóa của M

trong R.

Định nghĩa 1.1.4
M được gọi là R - môđun trung thành nếu Mr = (0) kéo theo r = 0 . Như vậy M là

R - môđun trung thành khi và chỉ khi A ( M ) = ( 0 ) .

Mệnh đề 1.1.5
A( M ) là ideal hai phía của R , hơn nữa M là R / A( M ) – môđun trung thành.

5


Kí hiệu E ( M ) là tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M . Khi đó, E ( M )
lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường.
Cho M là một R - môđun, với mỗi a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M sao cho

mTa= ma, ∀m ∈ M . Do M là một R - môđun nên Ta là một tự đồng cấu của nhóm cộng M
. Vậy ta có Ta ∈ E ( M ) .
Lại xét φ : R → E ( M ) cho bởi aφ = Ta thì φ là một đồng cấu vành và ker φ = A ( M )
nên ta có:
Mệnh đề 1.1.6
R / A( M ) đẳng cấu với một vành con của vành E ( M ) .

Đặc biệt nếu M là R -môđun trung thành thì A ( M ) = ( 0 ) khi đó R được xem là
vành con của vành E ( M ) . Bây giờ ta xét xem những phần tử nào trong E ( M ) mà giao
hoán được với tất cả Ta .
Định nghĩa 1.1.7
Ta đặt C ( M )= {ψ ∈ E ( M ) / ψ Ta = Taψ , ∀a ∈ R} .
Khi đó C ( M ) là vành con của vành E ( M ) , hơn nữa nó cũng là vành các tự đồng cấu
môđun của M .
Định nghĩa 1.1.8

M được gọi là R -môđun bất khả quy nếu MR ≠ ( 0 ) và M không có R -môđun con

thật sự , tức là M chỉ có các môđun con là (0) và M .
Mệnh đề 1.1.9 (Bổ đề Schur)
Nếu M là R - môđun bất khả quy thì C ( M ) là vành chia.
Định nghĩa: Một ideal phải ρ của vành R được gọi là chính qui nếu tồn tại a ∈ R
sao cho x − ax ∈ ρ , ∀x ∈ R .
Ngoài ra nếu M là R - môđun bất khả quy thì M cũng có tính chất đặc biệt sau:
Mệnh đề 1.1.10
Nếu M là R - môđun bất khả quy thì M đẳng cấu (như là một môđun) với R môđun thương R / ρ , trong đó ρ là ideal phải tối đại, chính qui nào đó của R . Ngược lại,
nếu ρ là một ideal phải, tối đại, chính qui nào của R thì R / ρ là R - môđun bất khả quy.
6


1.2. Căn Jacobson
Một trong những điều tuyệt đẹp trong lý thuyết cấu trúc vành là những vành mà có
căn Jacobson của nó bằng 0, bởi những vành như thế thì nó có cấu trúc là tích trực tiếp con
của các vành nguyên thủy mà có những ảnh hưởng lớn trong quá trình chứng minh tính giao
hoán trong luận văn này, hơn nữa nếu nó giao hoán thì vành đó là tích trực tiếp con của các
trường.
Định nghĩa 1.2.1
Căn Jacobson của R , ký hiệu J ( R ) , là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa
mọi R - môđun bất khả quy. Nếu R không có môđun bất khả quy thì ta qui ước J ( R ) = R .
Có thể có nhiều loại căn khác nhau, nhưng căn mà chúng ta đang xét là căn Jacobson.
Theo định nghĩa thì J ( R ) = ∩ A( M ) , M chạy khắp các R - môđun bất khả quy, chúng ta
cũng biết A( M ) là ideal hai phía nên J ( R ) cũng là ideal hai phía.
Định nghĩa 1.2.2
Cho ρ là ideal phải của R ta có: ( ρ : R ) =
{x ∈ R / Rx ⊂ ρ } .
Khi ρ là ideal phải tối đại chính quy của R thì ( ρ : R ) ≅ A( M )

Mệnh đề 1.2.3
J ( R ) = ∩( ρ : R ) với ρ chạy khắp các ideal phải tối đại chính quy của R .

Ngoài kết quả này chúng ta còn có kết quả đẹp hơn đó là :
Mệnh đề 1.2.4
J ( R ) = ∩ ρ với ρ chạy khắp các ideal phải tối đại chính quy của R .

Chúng ta thấy với định nghĩa và các mệnh đề trên thì căn Jacobson có những đặc tính
đẹp, vậy thì các phần tử nằm trong căn Jacobson thì thế nào.
Chúng ta sẽ quan sát các phần tử nằm trong căn Jacobson qua các định nghĩa và các
mệnh đề sau:
Định nghĩa 1.2.5
 a ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại phần tử a′ ∈ R sao cho
a + a′ + a.a′ =
0 thì a′ được gọi là tựa khả nghịch phải của a (tương tự chúng ta cũng định

nghĩa đối với tựa khả nghịch trái, tựa chính quy trái).
Hơn nữa nếu R có đơn vị thì a là tựa chính quy phải khi và chỉ khi 1 + a có nghịch
đảo phải trong R .

7


 Ta nói một ideal phải của R là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều là
tựa chính qui phải.
Mệnh đề 1.2.6
J ( R ) là ideal tựa chính quy phải của R và nó chứa tất cả các ideal phải tựa chính

quy phải của R . Do đó J ( R ) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất của R .
Định nghĩa 1.2.7

 Phần tử a ∈ R gọi là lũy linh nếu a m = 0 , với m là số tự nhiên

≠ 0 nào đó

 α là nil-ideal phải (trái, hai phía) nếu mỗi phần trong α là lũy linh.
 α là ideal lũy linh phải (trái, hai phía) nếu có một số nguyên dương m sao cho
a1a2 ...am = 0 với mọi a1 , a2 ,..., am ∈ α .
Nhận xét:
Cho I , J là hai ideal phải (trái, hai phía) của R thì IJ là nhóm con đối với phép
cộng của R sinh bởi tất cả các tích ab, a ∈ I , b ∈ J khi đó IJ là ideal phải (trái, hai phía)

I n I n−1I , ∀n ∈ * . Từ đó I là ideal lũy
của R . Định nghĩa theo quy nạp chúng ta cũng có =
linh phải (trái, hai phía) nếu tồn tại số nguyên dương m sao cho I m = 0 .
Giả sử ta có ∃n ∈ * sao cho a n = 0 , ta đặt b =− a + a 2 − a 3 + ... + (−1) n −1 a n −1 , khi đó
ta có a + b + ab =
0 , vậy mọi phần tử lũy linh trong R đều có tính chất là tựa chính quy
phải. Vì lẽ đó ta có mọi nil-ideal phải trong R đều tựa chính quy phải.
Mệnh đề 1.2.8
Mọi nil-ideal phải hoặc trái trong R đều chứa trong J ( R ) .
Một đại số A trên trường F là một không gian vectơ trên F sao cho trên A có một
phép nhân và cùng với phép nhân này A là một vành. Hơn nữa, cấu trúc không gian vectơ

=
có thể khớp với cấu trúc vành theo luật : k ( ab
)

)b
( ka=

a ( kb ) ; ∀k ∈ F , ∀a, b ∈ A .

Bây giờ chúng ta xem xét Căn Jacobson của A được xem như là vành và Căn
Jacobson của A được xem như là một đại số có khác nhau không, điều này được khẳng
định là như nhau.
Chứng minh:
Đặt ρ là ideal phải tối đại chính quy của A , A được xem như là một vành. Khi đó
ρ cũng tự nhiên là không gian vectơ con của A trên F , vì nếu không thì F ρ ⊄ ρ , tuy

8


nhiên từ các tính chất của định nghĩa đại số thì F ρ là ideal phải của A , ρ là tối đại nên ta
2
có =
A F ρ + ρ , ta có A = ( F ρ + ρ ) A ⊂ ( F ρ ) A + ρ A ⊂ ρ ( FA) + ρ ⊂ ρ , vì ρ chính quy

nên có phần tử a ∈ A để mà x − ax ∈ ρ với mọi phần tử x ∈ A nhưng mà ax ∈ A2 ⊂ ρ , vì
vậy ta có x ∈ ρ hay ρ = A .
Như vậy ideal phải tối đại chính quy của A như là vành cũng là ideal phải tối đại
chính quy của A như là một đại số và căn Jacobson của chúng là trùng nhau.
Một câu hỏi được đặt ra nữa là : Nếu ta thương hóa R bởi căn Jacobson của nó thì
vành thương nhận được sẽ có căn Jacobson như thế nào ? Câu trả lời tương đối đẹp như
sau :
Mệnh đề 1.2.9 J ( R / J ( R )) = (0) .
Định nghĩa 1.2.10 R được gọi là vành nửa nguyên thủy nếu J ( R ) = 0 .
Như vậy theo mệnh đề trên ta có R / J ( R ) là vành nửa nguyên thủy với bất kì vành
R

Mệnh đề 1.2.11 Nếu A là ideal của R thì J ( A)= A ∩ J ( R) .
Vì vậy nếu R là vành nửa nguyên thủy thì mọi ideal của R cũng vậy.
Gọi Rn là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành R và J ( R )n là vành các
ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành J ( R ) . Khi đó ta luôn có :
Mệnh đề 1.2.12 J ( Rn ) = ( J ( R)) n .

1.3. Vành Artin nửa nguyên thủy:
Chúng ta xem xét lớp vành Artin nửa nguyên thủy là lớp vành có những tính chất rất
đặc biệt, bởi mỗi vành như thế được biểu diển dưới dạng tổng hữu hạn các vành Artin đơn,
(i )
(i )
(2)
(k )
(i )
hơn nữa R ≅ ∆ (1)
n1 ⊕ ∆ n2 ⊕ ... ⊕ ∆ nk , ∆ ni là vành các ma trận ni × ni trên ∆ , ∆ là vành chia,

như vậy với vành Artin nửa nguyên thủy chúng ta có thể nhìn thấy cấu trúc phân tích của
vành theo vành các ma trận, mà vành các ma trận thì chúng ta đã quen và biết khá nhiều các
tính chất về nó.
Định nghĩa 1.3.1
Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập không rỗng các ideal phải của R
đều có phần tử tối tiểu.

9


Chúng ta có thể nói một cách ngắn gọn vành Artin phải là vành Artin. Chúng ta có
thể chứng minh được R là vành Artin khi và chỉ khi bất kỳ dãy giảm các ideal phải của R
là ρ1 ⊃ ρ 2 ⊃ ... ⊃ ρ n ⊃ ... sẽ dừng tại n nào đó, nói cách khác tồn tại một n nào đó để cho

ρ n= ρ n+1= ρ n+ 2= ...= ...
Nếu R là vành Artin thì căn Jacobson của R như thế nào, nó có đặc tính gì không ?
Mệnh đề 1.3.2 Nếu R là vành Artin thì J ( R ) là ideal lũy linh.
Hệ quả 1.3.3 Nếu R là Artin thì bất kỳ nil-ideal phải ( trái, hai phía ) của R đều lũy
linh.
Định nghĩa 1.3.4

e.
Phần tử e ∈ R gọi là lũy đẳng nếu e ≠ 0, e 2 =
Mệnh đề 1.3.5
Cho R là vành không có ideal lũy linh khác không, giả sử ρ ≠ 0 là ideal phải tối
tiểu của R thì ρ = eR , với e là phần tử lũy đẳng nào đó của R .
Mệnh đề 1.3.6:
Cho R là vành, a là phần tử của R sao cho a 2 − a là lũy linh thì a là phần tử lũy
linh hoặc có đa thức g ( x) với các hệ số nguyên thì e = ag (a ) là phần tử lũy đẳng khác
không.
Mệnh đề 1.3.7
Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là ideal phải không lũy linh của R thì ρ chứa phần
tử lũy đẳng khác không.
Trong trường hợp đặc biệt chúng ta có mối quan hệ căn Jacobson và vành eRe
Mệnh đề 1.3.8
Cho R là vành bất kỳ thì J (eRe) = eJ ( R )e với e là lũy đẳng trong R .
Mệnh đề 1.3.9
R là vành không có ideal lũy linh khác (0), e là phần tử lũy đẳng của R . Khi đó eR

là ideal phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia.
Hệ quả 1.3.10:
R là vành không có ideal lũy linh khác không, khi đó eR là ideal phải tối tiểu của R

khi và chỉ khi Re là ideal trái tối tiểu của R , với e là phần tử lũy đẳng nào đó trong R .
Định nghĩa 1.3.11
10


Cho trường F và nhóm G hữu hạn có cấp o(G ) . Ta gọi F (G ) là đại số nhóm của G
trên trường F là

{∑ a g
i

i

/ ai ∈ F , gi ∈ G} với các phần tử của nhóm được xem là độc lập

tuyến tính trên F , phép cộng theo cách tự nhiên, phép nhân sử dụng luật phân phối và
gi g j được tính theo phép nhân trong G .

Mệnh đề 1.3.12 (Định lý Maschke’s)
Cho G là nhóm hữu hạn có cấp o(G ) , F là trường có đặc số 0 hoặc đặc số p
không là ước của o(G ) thì F (G ) là nửa nguyên thủy.
Chú ý trong mệnh đề 1.3.5 đã chỉ ra rằng một ideal phải tối tiểu trong vành không có
nil-ideal khác không thì tồn tại một lũy đẳng, thật ra trong vành Artin nửa nguyên thủy
không cần thiết với điều kiện tối tiểu, sau đây ta có mệnh đề sau :
Mệnh đề 1.3.13
Cho R là vành Artin nửa nguyên thủy, p ≠ 0 là ideal phải của R thì ρ = eR với e
là phần tử lũy đẳng của R .
Hệ quả 1.3.14 Cho R là vành Artin nửa nguyên thủy và A khác không là ideal của
R thì =
A eR

= Re , e là lũy đẳng nằm trong tâm của R .

Hệ quả 1.3.15 R là vành Artin nửa nguyên thủy thì R có phần tử đơn vị hai phía.
Mệnh đề 1.3.16
Mọi ideal của vành Artin nửa nguyên thủy là vành Artin nửa nguyên thủy.
Định nghĩa 1.3.17
Vành R được gọi là vành đơn nếu R 2 ≠ 0 và R không có ideal nào khác ngoài (0)
và R .
Từ Mệnh đề 1.3.16 chúng ta khai thác sâu hơn ta được định lý Wedderburn như sau :
Mệnh đề 1.3.18 ( Định lý Wedderburn )
R là vành Artin nửa nguyên thủy thì R là tổng trực tiếp của một số hữu hạn của

vành Artin đơn và R = A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An trong đó Ai là các vành đơn và Ai quét hết các
ideal tối tiểu của R .
Định nghĩa 1.3.19
Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một môđun bất khả quy trung
thành.
Mệnh đề 1.3.20

11


R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi trong R tồn tại ρ là ideal phải, tối đại, chính

quy của R sao cho ( ρ : R ) = (0) . Và khi đó R là nửa nguyên thủy, hơn nữa nếu R giao
hoán thì nó là trường.
Chúng ta xét vành R là vành nguyên thủy, M là R - môđun bất khả quy trung thành,
ta đặt C ( M ) = ∆ thì theo bổ đề Schur thì ∆ là một vành chia. Khi đó chúng ta xem xét M
như là không gian vectơ phải trên ∆ và mα được xác định như là một tác động của α , như
là một phần của E ( M ) trên M , với m ∈ M , α ∈ ∆ .

Định nghĩa 1.3.21
R được cho là tác động dày đặc trên M (hoặc R được cho là dày đặc trên M ) nếu

với mỗi hệ vectơ {v1 , v2 ,..., vn } ⊂ M và chúng độc lập tuyến tính trên ∆ và bất kỳ n phần tử

w1 , w2 ,..., wn ∈ M thì tồn tại phần tử r ∈ R sao cho wi = vi r , với mọi i = 1, 2,..., n .
Chú ý rằng trong trường hợp M có số chiều hữu hạn trên ∆ và nếu R tác động dày
đặc trên M thì R đẳng cấu với Hom∆ ( M , M ) = ∆ n là vành các ma trận n × n trên ∆ , với

n = dim ∆ M . Vì vậy tính chất dày đặc là sự tổng quát của vành các phép biến đổi tuyến
tính. Với định lý dày đặc sau đây được đề xuất bởi Jacobson và Chevalley sẽ bật ra toàn bộ
lý thuyết cấu trúc vành.
Mệnh đề 1.3.22 ( Định lý dày đặc)
Cho R là vành nguyên thủy,

M là R - môđun bất khả quy, trung thành, nếu

∆ =C ( M ) thì R là vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên ∆ .

Định nghĩa 1.3.23
R là vành các phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ V trên vành chia D

có:
a) Tính bắc cầu đơn nếu v ∈ V , v ≠ 0 , w ∈ V thì có r ∈ R : w =
vr .
b) Tính bắc cầu đôi nếu v1 , v2 độc lập tuyến tính trên D và w1 , w2 ∈ V thì có

r ∈ R : w1 = v1r , w2 = v2 r .
* Hơn nữa điều ngược lại của định lý dày đặc cũng đúng vì thật chất nếu V là không
gian vectơ trên vành chia, R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đơn thì R

là vành nguyên thủy.

12


Thật vậy, vì R là vành các phép biến đổi tuyến tình trên V , thì R có V như là
môđun trung thành. Ta cần chứng minh là V là R - môđun bất khả quy, xét
0 ≠ N ⊂ V ⇒ ∃n ∈ N , ∀v ∈ V do tính bắt cầu có r trong R sao cho v = nr ∈ N ⇒ N = V .

Và nếu R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắc cầu đôi thì ta có mệnh đề
sau:
Mệnh đề 1.3.24
Nếu R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đôi trong không gian
vectơ V trên vành chia D thì R là dày đặc trên V và giao hoán tử của R trên V trùng
với D .
Mệnh đề 1.3.25
R là vành nguyên thủy thì tồn tại một vành chia D sao cho : hoặc R đẳng cấu với

vành các ma trận vuông cấp n ( Dn ) lấy hệ tử trên D , hoặc với mỗi số nguyên dương m , tồn
tại vành con Sm của R có ảnh đồng cấu là Dm .
Định nghĩa 1.3.26
P là ideal của R gọi là ideal nguyên tố nếu B, C ⊂ R là các ideal và B.C ⊂ P thì

B ⊂ P hoặc C ⊂ P .
R gọi là vành nguyên tố nếu (0) là ideal nguyên tố.

Hoặc R gọi là vành nguyên tố nếu, ∀a, b ∈ R sao cho aRb = (0) thì ta có a = 0 hoặc
b = 0 . Hoặc R có mọi linh hóa phải các ideal phải đều bằng 0

Mệnh đề 1.3.27 Mọi vành nguyên thủy đều nguyên tố.

Nhận xét : Tâm của vành nguyên tố là miền nguyên
Mệnh đề 1.3.28 (Định lý Wedderburn-Artin)
Cho R là vành Artin đơn. Khi đó R đẳng cấu với Dn , Dn là vành các ma trận vuông
cấp n với các hệ tử trong D , hơn nữa n là duy nhất và D được xác định sai khác một đẳng
cấu. Ngược lại, với mọi vành chia D thì Dn là vành Artin đơn.
Định lý Wedderburn-Artin có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong nhiều trường hợp
đặc biệt của vành Artin, với mệnh đề1.3.18 thì bất kỳ vành Artin nửa nguyên thủy nào cũng
là tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin đơn kết hợp với mệnh đề1.3.28 thì ta có mệnh
đề sau
Mệnh đề 1.3.29
13


(i )
(2)
(k )
Nếu R là vành Artin nửa nguyên thủy thì : R ≈ ∆ (1)
n1 ⊕ ∆ n2 ⊕ ... ⊕ ∆ nk với ∆ ni

là vành các ma trận ni × ni trên vành chia ∆ ( i ) .
Trong trường hợp đặc biệt đối với các R đại số đơn hữu hạn chiều trên trường đóng
đại số F thì R được phân tích rõ ràng hơn
Định nghĩa 1.3.30
Cho đại số A trên trường F , a ∈ A được gọi là đại số trên trường F nếu có đa
thức khác không p ( x) ∈ F ( x) sao cho p (a ) = 0 . Đại số A được gọi là đại số trên trường
F nếu mọi phần tử a của A đều đại số trên trường F .

Chú ý: Nếu A hữu hạn chiều trên trường F thì A đại số trên trường F .
Định nghĩa : Trường F gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức f ( x ) ∈ F ( x ) bậc
lớn hơn hoặc bằng 1 đều có nghiệm trong F .

Mệnh đề 1.3.31
Cho F là trường đóng đại số. Nếu D đại số chia có tính chất đại số trên F thì D
trùng với F .
Với mệnh đề1.3.31 cùng với các mệnh đề1.3.28, 1.3.29 ta có :
Mệnh đề 1.3.32
Cho F là trường đóng đại số, A là đại số nửa nguyên thủy hữu hạn trên F thì

A ≈ F1 ⊕ F2 ⊕ ... ⊕ Fn .
Ta có tâm của tổng trực tiếp là tổng trực tiếp các tâm, ngoài ra ta cũng có tâm của Fni
là một chiều trên F ( vì tâm là FI ni với I ni là ma trận đơn vị ni × ni vì thế k = dim F Z A nói
cách khác ta có :
Hệ quả 1.3.33
Nếu A được cho như mệnh đề 1.3.32 thì số các thành phần tổng trực tiếp của A
bằng số chiều các tâm của A trên F .
G là nhóm hữu hạn có cấp là o(G ) , F là trường đóng đại số có đặc số 0 hoặc p

không là ước của o(G ) thì F (G ) = Fn1 ⊕ Fn2 ⊕ ... ⊕ Fnk

14


CHƯƠNG 2: TÍCH TRỰC TIẾP CON CỦA CÁC VÀNH VÀ CÁC
ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN.
2.1. Tích trực tiếp con của các vành
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày khái niệm tích trực tiếp con của các vành, sự
phân tích của các vành thành tích trực tiếp con của các vành con, bởi các ứng dụng của nó
trong các định lý về giao hoán ở những phần sau. Cụ thể, chúng tôi sẽ mô tả vành nửa
nguyên thủy qua tích trực tiếp con các vành nguyên thủy và đó cũng là cấu trúc của các
vành nửa nguyên thủy. Ngoài ra ta còn có một lớp vành khác cũng khá quan trọng đó là lớp
các vành, mà mỗi vành đều không có các ideal lũy linh khác không, khi đó nó phân tích

thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố, mà mỗi vành nguyên tố thì chúng ta khá là quen
thuộc cùng với các thuộc tính của chúng.
Định nghĩa 2.1.1
Tích trực tiếp của các vành Rγ , ( γ là nằm trong tập chi số I nào đó) là tập

Rγ
=
∏
γ
∈I

{ f : I →  R / f (γ ) ∈ R , ∀γ ∈ I }
γ ∈I

γ

γ

với cấu trúc vành cho bởi các phép toán :

( f + g )(γ ) = f (γ ) + g (γ ) và ( f .g )(γ ) = f (γ ).g (γ ) .

Định nghĩa 2.1.2
Tổng trực tiếp của các vành Rγ , ( γ là nằm trong tập chi số I nào đó) là tập

{

Rγ =→
f :I
 Rγ / f (γ ) =

0 tại hầu hết các γ ∈ I trừ một số hữu hạn γ } với cấu trúc
∑
γ
γ
∈I

∈I

vành cho bởi các phép toán : ( f + g )(γ ) = f (γ ) + g (γ ) và ( f .g )(γ ) = f (γ ).g (γ ) .
Ta đặt π γ là phép chiếu chính tắc của

Rγ
∏
γ
∈I

lên Rγ .

Định nghĩa 2.1.3
Một vành R được gọi là một tích trực tiếp con của các vành {Rγ },γ ∈ I nếu tồn tại
một đơn cấu ϕ : R → ∏ Rγ sao cho Rϕπ γ= Rγ , ∀γ ∈ I .
γ ∈I

Nhận xét:

15





Tổng trực tiếp của các vành {Rγ },γ ∈ I ,  ∑ Rγ  là con của tích trực tiếp của các
 γ ∈I 


vành {Rγ },γ ∈ I ,  ∏ Rγ 
 γ ∈I 
Tích trực tiếp con có thể xem là vành con của tích trực tiếp của họ các vành
{Rγ },γ ∈ I (do đơn cấu ϕ ).

Tổng trực tiếp hoặc tích trực tiếp của các vành là tồn tại duy nhất (sai khác một phép
đẳng cấu). Nhưng tích trực tiếp con của các vành không tồn tại duy nhất.
Mệnh đề 2.1.4
Cho R là một vành tùy ý và ϕγ : R → Rγ là các toàn cấu của R lên các vành Rγ . Đặt
U γ = ker ϕγ khi đó R là một tích trực tiếp con của các vành Rγ khi và chỉ khi
U γ (0), γ ∈ I .
=

Chứng minh:
R
⇒) Do ϕγ : R → Rγ là toàn cấu nên theo định lý Noether ta có: Rγ ≅ R ker ϕ =
Uγ
γ

Do R là tích trực tiếp con của Rγ nên tồn tại đơn cấu ϕ : R → ∏ Rγ thỏa
γ ∈I

Rϕπ γ = Rγ , ∀γ ∈ I ⇒ ϕπ γ : R → Rγ là toàn cấu.

Đặt ϕπ γ = ϕγ , khi đó ta có: U γ =
ker ϕγ =

0} .
{a ∈ R | aϕγ =

{

}

a R | ( a ) (ϕπ γ ) ==∈
0 {a R | aϕ =
Suy ra U γ =∈
(..., 0,...)} .

Suy ra  γ U γ =∈
(..., 0,...) , ∀γ }
{a R | aϕ =
= {a ∈ R | aϕ = ( 0, 0,..., 0 ) , ∀γ } = 0

Vậy  γ U γ = 0 .
⇐) Ta có U γ = ker ϕγ ; giả sử  γ U γ = 0 .

Xét ϕ : R → ∏ Rγ ≅ ∏ R U , định bởi r  (..., r + U γ ,...) .
γ ∈I
γ ∈I
γ
Khi đó ta có:
ker ϕ = {r ∈ R | rϕ = (..., 0,...)} = {r ∈ R | r ∈ U γ , ∀γ } = 0 .

16

Suy ra ϕ là đơn cấu, suy ra ϕ ( R ) ≅ R , Suy ra
cấu, nên suy ra

πγ

ϕ ( R)

πγ

ϕ ( R)

≅

πγ
R

πγ

, ∀γ . Mà

R

là toàn

là toàn cấu. Do đó Rϕπ γ = Rγ . Vậy R là tích trực tiếp con của Rγ .

Định nghĩa 2.1.5
R được gọi là vành bất khả quy trực tiếp con, nếu giao của tất cả các ideal khác

không của nó khác không.

Với định nghĩa này ta luôn có R không có sự biểu diển không tầm thường như là
tích trực tiếp con của các vành Rγ .
R là vành nửa nguyên tố nếu R không chứa ideal lũy linh khác không.

Như vậy R là vành nguyên tố thì R là vành nửa nguyên tố.
Mệnh đề 2.1.6
Bất kì vành khác không R nào cũng có thể được biểu diễn như tích trực tiếp con của
các vành bất khả quy trực tiếp con.
Chứng minh:
Cho 0 ≠ a ∈ R , ta đặt U a là ideal tối đại của R theo quan hệ bao hàm và không chứa

(0),0 ≠ a ∈ R vì vậy R là tích trực
a điều này tồn tại bởi bổ đề Zorn. Rõ ràng là U=
a
tiếp con của các vành Ra = R / U a . Bây giờ ta có a + U a khác không là nằm trong mọi ideal
khác không của Ra = R / U a , (bởi mọi ideal K=' K + U a trong Ra = R / U a mà không chứa

a + U a vì vậy K không chứa a , ta suy ra K nằm trong U a do U a là ideal tối đại không
chứa a , do đó K’=(0). Do đó Ra = R / U a là vành trực tiếp con bất khả quy.
Mệnh đề 2.1.7
R là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R là tích trực tiếp con của các vành nguyên

tố.
Chứng minh:

( ⇒ ) Giả sử

R là vành nửa nguyên tố. Đặt {U i } là tập hợp các ideal nguyên tố của R .

{ U }.

Khi đó U i = ( 0 ) . Vì thế R là tích trực tiếp con của các vành nguyên tố R

i

( ⇐ ) Ngược lại, giả sử có một phép biểu diễn tích trực tiếp con

R → ∏ Ri , trong đó Ri

U i : ker ( R → Ri ) là một ideal nguyên tố, và
là các vành nguyên tố. Khi đó, với bất kì i :=
17


U i = ( 0 ) . Vì Nil R phải chứa trong U i = ( 0 ) nên nó phải bằng (0). Vậy R là vành nửa
nguyên tố.
Nhận xét:
Như vậy nếu R là vành không có nil-ideal khác không thì R không chứa ideal lũy
linh vì vậy R là tích trực tiếp con của các vành nguyên tố Ra (tâm của vành nguyên tố là
miền nguyên).
Chứng minh:
Lấy a ∈ R là một phần tử không lũy linh và đặt Wa là một ideal cực đại của R theo
sự loại trừ tất cả a n . Nếu A, B là các ideal của R sao cho AB ⊂ Wa và A ⊄ Wa , B ⊄ Wa .
Khi đó, a n1 ∈ Wa + A, a n2 ∈ Wa + B do đó:

a n1 + n2 ∈ ( Wa + A )( Wa + B ) ⊂ Wa + AB ⊂ Wa (Vô lí)
Do đó, Wa là một ideal nguyên tố của R và Ra = R

Wa

là một vành nguyên tố. Khi

a chạy khắp các phần tử không lũy linh của R ,  Wa là một nil-ideal, do đó bằng (0). Vì
vậy R là tích trực tiếp của các vành nguyên tố Rα .
Đặc biệt khi R là vành có không có phần tử lũy linh thì R phân tích được thành tích
trực tiếp con các vành nguyên tố.
Chúng ta có nhận xét rằng Ra có tính chất mạnh hơn nữa, đó là nếu a là ảnh của a
trong Ra và nếu U là ideal khác không của Ra thì (a ) n (U ) ∈ U ( đó là các lũy thừa của a
đều nằm trong ideal khác không của Ra ).
Mệnh đề 2.1.8
R là vành nửa nguyên thủy khi và chỉ khi R biểu diễn thành tích trực tiếp con các

vành nguyên thủy.
Chứng minh:

(⇒)

Nếu R là vành nửa nguyên thủy thì

J ( R ) = (0)

mặt khác ta có:

∩( ρ : R ) =
J ( R) =
(0) , với ρ là ideal phải tối đại chính quy của R . Ta có R là tích trực

tiếp con các vành Rρ = R / ( ρ : R ) là các vành nguyên thủy (do mệnh đề 1.3.20).

( ⇐)

Ri = R

Ui

Ngược lại, giả sử R được biểu diễn thành tích trực tiếp con của các vành
, trong đó Ri là các vành nguyên thủy. Khi đó, với bất kì i =
: U i : ker ( R → Ri ) là
18


một ideal nguyên thủy, và U i = ( 0 ) . Từ đó J ( R ) có các ánh xạ vào ideal tựa chính quy
của

Ri , nên nó phải có ánh xạ vào (0). Do đó

J ( R ) ⊂ U i , ∀i ⇒ J ( R ) ⊂

U i =
( 0) ⇒ J ( R ) =
( 0 ) . Vậy R là vành nửa nguyên thủy.
Hơn nữa nếu R là giao hoán thì R là tích trực tiếp con các trường.
Mệnh đề 2.1.9
Mọi phần tử lũy đẳng tâm eα trong vành bất khả quy trực tiếp con Rα có đơn vị thì

eα = 0 hoặc eα = 1 .
Chứng minh:
Giảsử eα ≠ 0, eα ≠ 1, eα là lũy đẳng tâm khi đó A = eα Rα là ideal và A ≠ (0) vì eα ≠ 1

{r − reα / r ∈ Rα } khi đó ta có B ≠ {0} và B là ideal, ta lại
nên có : r : r − eα r ≠ 0 , đặt B =

eα e=
eα r '− eα eα r ' điều
có A ∩ B =
(0) vì x ∈ A ∩ B thì x= eα r= r '− eα r ' suy ra e=
αr
αr
này mâu thuẫn với Rα là trực tiếp con bất khả quy.

2.2. Các định lý về giao hoán.
Bổ đề 2.2.1
Cho D là vành chia có đặc số p ≠ 0 và Z là tâm của D . Giả sử có 1 phần tử a ∈ D ,
p
1
ai ≠ a
a ∉ Z , sao cho a = a với n ≥ 1 , khi đó tồn tại một phần tử x ∈ D sao cho: xax −=
n

với i là một số nguyên nào đó.
Từ bổ đề trên ta có thể chứng minh một định lý rất nổi tiếng của Wedderburn:
Định lý 2.2.2 ( Định lý Wedderburn)
Một vành chia hữu hạn là một trường.
Bổ đề 2.2.3
Nếu D là vành chia có đặc số p ≠ 0 và G ⊂ D là nhóm con nhân hữu hạn của D thì
G là nhóm giao hoán và do đó G cyclic.

Bổ đề 2.2.4
Cho D là vành chia, trong đó với mọi a ∈ D , tồn tại số nguyên n ( a ) > 1 sao cho

a

n( a )

= a . Khi đó D là một trường.
Chứng minh
19


Vì 2 ∈ D và 2m = 2 với m > 1, điều này chứng tỏ D có đặc trưng p ≠ 0 , với p là số
nguyên tố. Nếu D không giao hoán thì có phần tử a ∈ D, a ∉ Z , Z là tâm của D . Đặt P là
trường nguyên tố (trường con bé nhất trong tâm) của Z, vì a là đại số trên P , P ( a ) là
trường hữu hạn với p s phần tử, do đó a p = a . Bây giờ tất cả các điều kiện của bổ đề 2.2.1
s

1
đã được thỏa mãn, vì vậy có phần tử b ∈ D sao cho bab −=
a i ≠ a . Với mối quan hệ này,

cùng với điều kiện bậc hữu hạn của a, b dẫn đến a, b là phần tử sinh của một nhóm con
nhân hữu hạn G của D, và theo bổ đề 2.2.3 thì G là nhóm giao hoán, như vậy ab = ba với
a, b ∈ D mâu thuẫn bab −1 ≠ a . Vậy D là giao hoán. Bổ đề đã được chứng minh.

Sau đây ta xét một trường hợp khái quát hóa của định lý Wedderburn, mở rộng cho
vành R bất kì để thấy rõ vai trò của tích trực tiếp con.
Định lý 2.2.5 (Định lý Jacobson)
Cho R là một vành, trong đó với mọi a ∈ R , tồn tại một số nguyên n(a ) > 1 ( n(a ) phụ
thuộc vào a ) sao cho a n ( a ) = a , khi đó R là vành giao hoán.
Chứng minh :
Trước tiên, ta chứng minh R là vành nửa nguyên thủy.
Thật vậy, giả sử a ∈ J ( R ) thì từ a n ( a ) = a ta suy ra a = 0.

Vì khi đó a (1 − a n ( a )−1 ) =
0 mà a n ( a )−1 ∈ J ( R ) nên khả nghịch. Vậy a=0 hay J ( R ) = ( 0 )
Theo mệnh đề 2.1.8 thì R là tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy Rα , mỗi Rα
như là ảnh đồng cấu của R nên nó thừa hưởng điều kiện a n ( a ) = a . Hơn nữa, các vành con
của Rα và ảnh đồng cấu của nó thoả các điều kiện trên.
Khi Rα là vành nguyên thủy thì theo mệnh đề 1.3.25 hoặc Rα đẳng cấu Dn (vành các
ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trên D), ( D là vành chia) hoặc có số m > 1, Dm là ảnh đồng
cấu của một vành con nào đó của Rα .
Cũng vì vậy nếu Rα không đẳng cấu với D thì ta có Dk nào đó , k > 1 và Dk có tính
chất a n ( a ) = a với a ∈ Dk , n(a ) > 1 . Điều này rõ ràng sai vì có phần tử

20


0
0
a=
...

0

1
0
...
0

...
...
...
...

0
0 
với a 2 = 0 không thỏa tính chất a n ( a ) = a .
...

0

Vì vậy Rα là một vành chia nên nó giao hoán do bổ đề 2.2.4 và R là tích trực tiếp con
của các vành giao hoán Rα . Vì thế R phải giao hoán.
Định lý 2.2.6 (Định lý Jacobson-Herstein)
R là vành bất kì thỏa với mỗi x, y ∈ R , tồn tại số nguyên n( x, y ) > 1 sao cho

( xy − yx) n ( x , y ) =−
( xy yx) thì R giao hoán.

Chứng minh :
Để chứng minh định lý này ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.7
Cho D là một vành chia thỏa mãn với mỗi a, b ∈ D có số nguyên n(a, b) > 1 mà
(ab − ba ) n ( a ,b ) =−
(ab ba) thì D giao hoán.

Chứng minh
Giả sử D không giao hoán. Vì vậy có a, b ∈ D để c = ab − ba ≠ 0 . Theo giả thiết ta có
c m = c với m > 1.

Nếu 0 ≠ λ ∈ Z , Z là tâm của D thì λ c = λ (ab − ba ) = (λ a )b − b(λ a ) . Vì vậy theo giả
thiết ta có số nguyên n > 1 nào đó sao cho: (λ c) n = λ c
Ta đặt q = (m − 1)(n − 1) + 1 . Khi đó c m = c nên c m−1 = 1

( m −1)( n −1)
Với q − 1= (m − 1)(n − 1) suy ra
: c q −1 c=
1 . Ta có c q = c , (λ c) q = λ c , vì vậy
=

(λ q − λ )c =
0 . Do D là vành chia và c ≠ 0 nên ta có λ q = λ .

Vì λ q = λ với mọi 0 ≠ λ ∈ Z , q > 1 nên Z có đặc trưng p ≠ 0 . Ta gọi P là trường
nguyên tố của Z . Ta cần chứng minh rằng nếu D không giao hoán thì ta có thể chọn được
a, b để mà không chỉ c = ab − ba ≠ 0 mà thật ra thậm chí c ∉ Z . Nếu điều này không xảy ra

thì mọi giao hoán tử cấp hai trong D phải thuộc Z . Do đó c ∈ Z và a (ab) − (ab)a ∈ Z và
a ( ab) − ( ab) a = a ( ab − ba ) = ac

21


Suy ra a ∈ Z , do đó c = 0 (trái giả thiết c ≠ 0 ). Như vậy nếu D không giao hoán thì
có c = ab − ba ≠ 0 và c ∉ Z . Do c là phần tử đại số trên trường nguyên tố P nên c p = c
k

với k > 0 .
Như vậy tất cả các giả thiết của bổ đề 2.2.1 được thỏa mãn nên có x ∈ D sao cho
1
= c i x ≠ cx .
xcx −=
c i ≠ c đó là xc

Đặc biệt d = xc − cx ≠ 0 nhưng dc = ( xc − cx)c = xc 2 − cxc = c i ( xc − cx) = c i d
Nhưng do d là giao hoán tử cấp 2 nên d t = d với t > 1 và dcd −1 = c i . Vì thế tồn tại
nhóm con nhân G của D hữu hạn sinh bởi c, d . Theo bổ đề 2.2.3 ta có G là giao hoán.
Điều này trái với giả thiết cd ≠ dc .Như vậy bổ đề được chứng minh.
Từ bổ đề này, ta có thể hoành thành chứng minh định lý 2.2.6
Cho R là một vành thỏa với mỗi xy ∈ R , có số nguyên n( x, y ) > 1 sao cho
( xy − yx) n ( x , y ) =−
( xy yx)

Nếu R là nửa nguyên thủy thì R là tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy Rα ,
và mỗi Rα như là ảnh đồng cấu của R nên nó thừa hưởng điều kiện trên. Hơn nữa các vành
con của Rα và ảnh đồng cấu của nó cũng có các điều kiện trên.
Do vậy để chỉ ra R giao hoán, ta chỉ cần chứng minh các Rα như thế, hay nói cách
khác ta có thể giả sử R là vành nguyên thủy.
Trường hợp R ≅ D với D là vành chia, vậy R là giao hoán (sử dụng bổ đề 2.2.7)
Trường hợp có số k > 1 , Dk là ảnh đồng cấu của vành con nào đó của R . Ta cần
chứng minh rằng điều này không thể xảy ra . Nếu nó xảy ra thì Dk với vai trò của ảnh đồng
cấu của một vành con của R sẽ thừa hưởng tính chất ( xy − yx) n ( x , y ) =−
( xy yx) . Thế nhưng
điều này không đúng khi ta chọn các phần tử sau :

1
0
x=
...

0

0
0

...
0

...
...
...
...

0
0
0
0 
, y=
...
...


0
0

1
0
...
0

...
...
...
...

0
0 
...

0

Khi đó 0 ≠ y = xy − yx và y 2 = 0
Vì thế nếu R là nửa nguyên thủy (nửa đơn) thì R là giao hoán.
22


Bây giờ giả sử R là vành bất kì thỏa mãn ( xy − yx) n ( x , y ) =−
( xy yx) thì R / J ( R ) là nửa
nguyên thủy thỏa giả thiết.
Do đó theo luận lập trên R / J ( R ) giao hoán. Vì vậy ∀x, y ∈ R ta có xy − yx ∈ J ( R ) .
Trong trường hợp này ta có ( xy − yx) n ( x , y ) =−
( xy yx) . Do định lý 2.2.5 ta có xy − yx =
0.
Nói cách khác ta đã chứng minh R là giao hoán.

2.3. Mở rộng các định lý về giao hoán
Bây giờ, ta mở rộng các kết quả trong phần đầu theo một hướng khác, trong đó có
định lý về giao hoán của Herstein dưới đây được xét trên lớp vành không có nil-ideal khác
không, (định lý này cũng đúng trên vành nửa nguyên tố) là sự tổng quát hóa của định lý về
giao hoán của Jacobson. Sau đây là một vài định nghĩa và các tính chất bổ sung trong lý
thuyết mở rộng trường.
Định nghĩa 2.3.1
Cho K, F là các trường, trong đó K là trường mở rộng đại số của trường F, một
phần tử a ∈ K được gọi là tách được trên F nếu có đa thức tối tiểu của nó trên F không có
nghiệm bội.

Vì một đa thức p ( x ) có nghiệm bội khi và chỉ khi p ( x ) và
nên một đa thức bất khả quy có nghiệm bội chỉ khi

dp ( x )
có nhân tử chung
dx

dp ( x )
= 0 . Như vậy ta có:
dx

Nếu F có đặc số 0 thì p ( x ) là hằng. Vì vậy mọi phần tử của K là tách được trên F.
Nếu F có đặc số p ≠ 0 , với

dp ( x )
= 0 thì p ( x ) = g ( x p ) , khi đó ta tìm được số k sao
dx

cho nếu a ∈ K thì a p là tách được trên F, tuy nhiên cũng có thể xảy ra là a p ∈ F .
k

k

Định nghĩa 2.3.2
Cho K là mở rộng đại số trên trường F, a ∈ K , tồn tại số nguyên k để mà a p ∈ F thì
k

ta nói a là hoàn toàn không tách được trên F.
Một mở rộng đại số K trên F được gọi là mở rộng tách được trên F nếu mọi phần tử
của nó tách được trên F.

Tập hợp tất cả các phần tử không tách được trên F tạo thành một trường con của K.
Tương tự, các phần tử trong K tách được trên F lập thành một trường con của K.
23