tôpô metric mở rộng của trái đất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vương Hiển

TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG
CỦA TRÁI ĐẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
i


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vương Hiển

TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG
CỦA TRÁI ĐẤT
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số

: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
ii


MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 1
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .......................................................................................... 3
MỞ ĐẦU........................................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................... 8
1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô ................................................................... 8
1.1.1. Không gian tôpô .......................................................................................................... 8
1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô ........................................................................................... 8
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận ................................................................................................. 9
1.1.4. Không gian tôpô con ................................................................................................... 9
1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên .......................................................................................... 9
1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập ......................................................................................... 9
1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng .................................................................. 10
1.1.8. Các tiên đề tách ......................................................................................................... 10
1.1.9. Các tiên đề đếm được ................................................................................................ 11
1.2. Không gian compact ..................................................................................................... 11
1.2.1. Không gian compact.................................................................................................. 11
1.2.2. Không gian compact đếm được................................................................................. 12
1.2.3. Không gian compact địa phương .............................................................................. 12
1.2.4. Ánh xạ đầy đủ ........................................................................................................... 12
1.2.5. Không gian Cech-đầy đủ ........................................................................................... 12
1.2.6. Không gian giả compact ............................................................................................ 12
1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa được ....................................................... 12
1.3.1. Không gian mêtric ..................................................................................................... 12
1.3.2. Không gian mêtric hóa được ..................................................................................... 13

1.3.3. Định lý phạm trù Baire .............................................................................................. 13
1.3.4. Định lý HANAI – MORITA – STONE .................................................................... 13


1.3.5. Phép biến đổi Mobius
và một số tính chất .............................................................. 14
1.3.6. Tỷ số kép ................................................................................................................... 14
1.3.7. Metric hyperbolic ...................................................................................................... 15
1.4. Không gian paracompact .............................................................................................. 16
1


1.4.1. Không gian paracompact ........................................................................................... 16
1.4.2. Không gian paracompact đếm được .......................................................................... 16
1.4.3. Không gian Fréchet tại một điểm .............................................................................. 16
1.5. Không gian phân tầng ................................................................................................... 16
1.5.1. Định nghĩa ................................................................................................................. 16
1.5.2. M 1 - không gian, M 3 - không gian .......................................................................... 16
1.6. Không gian Nagata ........................................................................................................ 16
1.7. Hàm ceiling ..................................................................................................................... 17
1.8. Arbelos ............................................................................................................................ 17

CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT ................................. 18
2.1. Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic........................................................................................ 18
2.2. Tôpô phân tầng .............................................................................................................. 21
2.3. Dạng của các lân cận tại biên........................................................................................ 27
2.4. Các tôpô được đơn giản hóa ......................................................................................... 32

KẾT LUẬN .................................................................................................................... 39
TÀI LIỆU KHAM KHẢO ............................................................................................ 41

2


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

Kí hiệu

Ý nghĩa

clU ,U

: Bao đóng của tập U.

B ( x, r )

: Quả cầu mở tâm x , bán kính r.

V ( x, s )

: Quả cầu cực hạn tại x kích thước s.

ω

: Tập chỉ số bao gồm các số tự nhiên.

x

: Họ các lân cận của x .

g J

: Hạn chế của hàm g lên cung J.

3


Trong lịch sử tồn tại và phát triển, nhân loại luôn luôn phải đương đầu với các tai họa thiên
nhiên, như lũ lụt, hạn hán, bão tố, động đất, sóng thần, núi lửa…
Trong các tai họa thiên nhiên đó, có lẽ động đất là tai họa khủng khiếp nhất, bởi vì chỉ trong
vài giây đồng hồ cả một thành phố có thể bị sụp đổ hoàn toàn, cả một khu vực có thể bị sụt lún
và đôi khi những dòng sông cũng bị đổi dòng do hậu quả của những trận động đất cực mạnh.
Điều đáng sợ hơn là cho đến nay khoa học và kỹ thuật đương đại vẫn chưa dự báo chính xác
thời điểm và địa điểm động đất sẽ xảy ra.
Do đó, con người chưa có biện pháp phòng chống chủ động đối với từng trận động đất,
cũng như trong phòng chống bão hay lũ lụt. Theo các kết quả thống kê tỉ mỉ của các nhà địa
chấn, hằng năm trên toàn địa cầu xảy ra hơn 1 triệu trận động đất với các độ mạnh khác nhau,
trong số đó có khoảng 100 ngàn động đất con người cảm nhận được, 100 trận động đất gây tác
hại và chỉ 1 trận động đất gây thảm họa lớn, nghĩa là cứ nửa phút xảy ra một động đất. Có thể
nói động đất yếu xảy ra ở mọi nơi trên địa cầu, vì lòng đất không lúc nào yên tĩnh.

4


MỞ ĐẦU
Xuất phát từ những trận động đất, các nhà toán học trên thế giới trong đó có các nhà toán
học Nhật Bản đã quan tâm nghiên cứu cơ chế các trận động đất đưa chúng vào trong mô hình
toán học nhằm tìm ra nguyên nhân để khắc phục và giảm tối đa những thiệt hại do các trận
động đất gây ra.
Lấy ý tưởng từ những trận động đất nhà toán học người Nhật Akio Kato, Department of

Mathematics; National Defense Acedemy đã nghiên cứu những cơn sóng địa chấn để khái quát
quát hóa chúng thành mô hình toán học.
Một trận động đất truyền bởi hai loại sóng: sóng khối và sóng bề mặt. Đầu tiên chúng lan
truyền xuyên qua Trái Đất sau đó trên bề mặt Trái Đất. Tốc độ truyền của sóng khối có xu
hướng tăng với độ sâu, sóng bề mặt tương đối chậm hơn sóng khối.
Ý tưởng chúng ta đưa ra sóng khối lấy đường trắc địa của đĩa Poincaré  (đĩa mở đơn vị)
với metric hyperbolic ρ để tôpô của phần trong Trái Đất cảm sinh bởi metric hyperbolic ρ .
Mặt khác sóng bề mặt lan truyền trên đường tròn lớn của bề mặt Trái Đất, là đường tròn biên
của tiết diện ngang của Trái Đất. Do đó, sóng bề mặt được đo bởi độ dài đường cong Euclide
thông thường trên đường tròn biên. Vì vậy, chúng ta thấy rằng mô hình đơn giản hóa  của

Trái Đất có một cấu trúc đa metric: metric hyperbolic ρ trên  và metric Euclide d trên đường
cong biên S 1 = ∂ . Dĩ nhiên, metric Euclide được xác định không chỉ trên biên mà còn trên
toàn bộ  . Chúng ta xác định cấu trúc của những tôpô mới tương ứng theo cả hai metric trên.
Chúng ta muốn định nghĩa những tôpô mới trên đĩa đóng đơn vị  hoặc tiết diện ngang của
trái đất mà trên đó có những tôpô đặc trưng dựa theo các hiện tượng trên. Dĩ nhiên, chúng ta
phải đơn giản hóa tiết diện ngang của Trái Đất để loại bỏ những chi tiết địa chất.

5


Hình 1.1. Mô hình được đơn giản hóa của Trái Đất
Luận văn của chúng tôi nhằm nghiên cứu một số phương pháp mà Akio Kato đã đưa ra về
bốn tôpô mới của Trái Đất lấy ý tưởng từ sự truyền của những sóng địa chấn. Tất cả chúng là

 và phân tầng, nhưng không metric hóa được, chúng không phải không
không gian Lindelof
gian Fréchet cũng không đơn liên. Chúng ta đơn giản hóa những tôpô này để có được ba tôpô
địa phương co rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất.
Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục

vụ cho việc nghiên cứu ở các phần sau, Chương 2 giới thiệu một số Tôpô metric mở rộng của
Trái Đất và một số nhận xét, bổ đề, các tính chất quan trọng của chúng. Trong phần kết luận
chúng ta sẽ trình bày một số nhận xét các kết quả trên và định hướng mở rộng cho luận văn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh.
Trong quá trình học tập và viết luận văn, lúc đầu chúng tôi còn bỡ ngỡ trong việc nghiên cứu
luận văn nhưng thầy đã động viên và giúp đỡ chúng tôi rất nhiều từ việc nghiên cứu các bài báo
khoa học, cách tìm tài liệu và bổ sung những kiến thức thiếu sót của chúng tôi. Nhờ sự tận tình
chỉ dạy nghiên cứu khoa học của thầy không những giúp chúng tôi tự tin hơn trong việc hoàn
thành luận văn mà còn giúp chúng tôi rất nhiều trong đời sống xã hội. Tôi xin bày tỏ lòng biết
6


ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy trên
lớp Hình Học và Tôpô khóa 22 cùng quý thầy trong Tổ Hình Học, Khoa Toán – Tin Trường
Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương
pháp tiếp cận làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám
hiệu, Phòng Tổ Chức Hành Chính, Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau đại học, Phòng Kế
Hoạch – Tài Chính Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.

7


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương 1 này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm phục vụ cho các chương tiếp
theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản
trong các không gian tôpô, không gian metric hóa được và các kiến thức liên quan của luận
văn.
Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp các
phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [2], [3], [4], [6].

1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô
1.1.1. Không gian tôpô
Một không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) bao gồm một tập hợp X và một họ τ các tập con
của X thỏa các điều kiện sau:
(τ 1 ) ∅ ∈τ và X ∈τ .
(τ 2 ) Nếu U1 ∈τ và U 2 ∈τ thì U1 ∩ U 2 ∈τ .
(τ 3 ) Nếu A ⊂ τ thì  A ∈τ .
Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không
gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X
được gọi là tôpô trên X.
1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô
 Giả sử ( X ,τ ) là một không gian tôpô. Một họ B ⊂ τ gọi là một cơ sở của không gian

tôpô ( X ,τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc B
.
 Một họ σ ⊂ τ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu họ tất cả các giao

hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ .
 Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó.

8


1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận
 Cho X là không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là một lân cận của

điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là
lân cận mở của x.
 Một họ  x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều

tồn tại lân cận U ∈  x sao cho U ⊂ V .
1.1.4. Không gian tôpô con
Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô và một tập A ⊂ X . Khi đó, họ τ A =
{G ∩ A : G ∈τ }
là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X.
Không gian ( A,τ A ) gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô

( X ,τ ) .

1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên
 Cho không gian tôpô ( X ,τ ) và tập A ⊂ X , phần trong Ao của A là hợp của tất cả các

tập mở bị chứa trong A, bao đóng

A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên

của A là ∂A = A − A .
o

 Một tập của các tập hợp được gọi là bảo toàn bao đóng nếu cho bất kỳ tập con, hợp của

các bao đóng bằng bao đóng của các hợp.
 Một tập A ⊂ X gọi là trù mật nếu

A = X , hay A trù mật nếu mọi tập con mở của X

chứa một điểm của A.

( )

 Tập A ⊂ X gọi là không đâu trù mật nếu A

o

= ∅.

1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập
 Một điểm x ∈ X là một điểm hội tụ của A ⊂ X nếu x ∈ A \ { x} . Tập tất cả các điểm

hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu Ad .
 Điểm thuộc tập

A \ Ad gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập của không gian X

khi và chỉ khi tập { x} là tập mở, tức là { x} = X \ X \ { x} hay x ∉ X \ { x} .

9


1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng
 Cho ( X ,τ ) và (Y ,τ ') là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới Y gọi là liên tục tại

x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho
f (U ) ⊂ V , nghĩa là, f −1 (V ) là một lân cận của x.
 Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở G trong X, f ( G ) là tập mở trong Y.
 Ánh xạ f gọi là đóng nếu mọi tập đóng G trong X, f ( G ) là tập đóng trong Y.
 Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 đều là ánh xạ liên

tục.

1.1.8. Các tiên đề tách

T0 -không gian: Không gian tôpô X là T0 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ
x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x.

T1 -không gian: Không gian tôpô X là T1 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y
của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x.

T2 -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là T2 -không gian nếu
hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y
sao cho U ∩ V =
∅.

T3 -không gian (Không gian chính quy):
Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x ∈ X , mọi tập con đóng  của

X không chứa x , tồn tại các tập con mở U , V sao cho

x ∈ U ,  ⊂ V ,U ∩ V =
∅.
Tương đương mọi x ∈ X , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x nghĩa là
tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈U ⊂ U ⊂ V .

10


Không gian tôpô X là T3 -không gian nếu X là T1 -không gian và thỏa mãn điều kiện
chính quy.

T 1 -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian Tychonoff): Không gian

3

2

tôpô X là T 1 -không gian nếu X là T1 -không gian và với mỗi x ∈ X , mỗi tập con đóng
3

2

F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x) = 0 và

f (F ) = 1.
T4 -không gian (không gian chuẩn tắc):
Không gian tôpô X là T4 -không gian nếu X là T1 -không gian và với hai tập con đóng
A, B bất kỳ không giao nhau trong

X , tồn tại các tập mở rời nhau U và V sao cho

A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V =
∅.
1.1.9. Các tiên đề đếm được
 Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X

đều có một cơ sở lân cận đếm được.
 Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ

sở đếm được.
 Không gian chính quy mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là

 . Như vậy, một không gian chính quy thỏa tiên đề đếm được thứ hai là

không gian Lindelof
 .
không gian Lindelof

1.2. Không gian compact
1.2.1. Không gian compact
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và
mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn, nghĩa là mọi phủ mở {U s }s⊂ S của không gian X
tồn tại một tập hữu hạn {s1 , s2 ,..., sk } ⊂ S thỏa X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk .

11


1.2.2. Không gian compact đếm được
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không
gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn.
1.2.3. Không gian compact địa phương
Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi

x ∈ X có một lân cận U của x thỏa U là một không gian con compact của X. Mọi không
gian compact địa phương là không gian Tychonoff.
1.2.4. Ánh xạ đầy đủ
Ánh xạ liên tục

f : X → Y là đầy đủ nếu X là một không gian Hausdorff, f là ánh xạ

−1
đóng và tất cả các thớ f ( y ) là các tập con compact của X.

Đơn ánh

f : X → Y xác định trên một không gian Hausdorff X là đầy đủ khi và chỉ khi

nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng đồng phôi và tập f ( X ) đóng trong Y.
1.2.5. Không gian Cech-đầy đủ
Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một Gδ -tập trong các
compact hóa Hausdorff của nó.
1.2.6. Không gian giả compact
Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian
Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn.

1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa được
1.3.1. Không gian mêtric
Định nghĩa: Một không gian mêtric là một cặp

d : X × X → [ 0, + ∞ ) thỏa mãn các điều kiện sau:
(M1) d ( x, y ) = 0 khi và chỉ khi x=y,
(M2) d ( x, y ) = d ( y, x ) với mọi

x, y ∈ X ,
12

( X ,d )

gồm một tập X và một hàm


(M3) d ( x, y ) + d ( y, z ) ≥ d ( x, z ) với mọi

x, y , z ∈ X .

Nhận xét: Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm d gọi
là mêtric trên tập X và số d ( x, y ) được gọi là khoảng cách giữa x và y.
Nếu hàm d : X × X → [ 0, + ∞ ) thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện
(M1’)

d ( x, x) = 0 với mọi x ∈ X

thì được gọi là một giả mêtric trên tập X.
Với mọi không gian mêtric ( X , d ) , họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô
này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô
với tôpô sinh bởi mêtric.
1.3.2. Không gian mêtric hóa được
Không gian tôpô

( X ,τ ) gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một

không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric d trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric d
trùng với tôpô τ của X ( τ = τ d ).
Không gian
và

( X ,τ ) mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô τ ' trên X sao cho τ ' ⊂ τ

( X ,τ ') mêtric hóa được.

1.3.3. Định lý phạm trù Baire
Trong không gian metric đầy X, giao của một họ đếm được những tập trù mật trong X là
trù mật trong X.
1.3.4. Định lý HANAI – MORITA – STONE

Với mọi ánh xạ đóng f : X → Y của không gian metric hóa được X lên một không gian Y
các điều kiện sau là tương đương:

( i ) Không gian Y là metric hóa được.
( ii ) Không gian Y là đếm được thứ nhất.

( iii ) Với mọi

y ∈ Y tập Fr f −1 ( y ) là tập compact.

13



1.3.5. Phép biến đổi Mobius
và một số tính chất

Định nghĩa: Một phép biến đổi Mobius
là một hàm
T : ∞ → ∞
z=
 T ( z)

az + b
,
cz + d

ad − bc ≠ o

(1)

Tính chất:
 Phép biến đổi (1) là ánh xạ bảo giác 1-1 của mặt phẳng phức.


dưới tích các ánh xạ tạo thành một nhóm phép
 Các phép biến đổi Mobius

.
biến đổi Mobius

biến mọi đường tròn hoặc đường thẳng thành
 Phép biến đổi Mobius
đường tròn hoặc đường thẳng.


T được xác định bởi 3 giá trị
 Phép biến đổi Mobius

T (=
Z i ) w=
1, 2,3 .
i, i

Không mất tính tổng quát, phép biến đổi Mobius
còn có dạng:
T=
( z ) µ.

z − z0

,=
µ 1, z0 < 1
1 − z0 . z

(2)

Phép biến đổi (2) ánh xạ đường tròn đơn vị Γ lên chính nó, đĩa D lên chính
nó. Chúng ta sẽ gọi hàm (2) là ánh xạ đĩa.
1.3.6. Tỷ số kép
Cho 4 số phức z0 , z1 , z2 , z3 phân biệt, chúng ta định nghĩa tỷ số kép như sau:

( z0 z1 , z2 , z3 ) =

( z2 − z0 ) .( z3 − z1 )
( z1 − z0 ) .( z3 − z2 )

Nhận xét:

 Thay z1 , z2 hoặc z0 , z3 chúng ta có tỷ số kép nghịch đảo:

( z0 , z2 , z1 , z3 ) = ( z0 , z1 , z2 , z3 ) ,
−1
( z3 , z1 , z2 , z0 ) = ( z0 , z1 , z2 , z3 ) .
−1


T:
 Cho z1 , z2 , z3 phân biệt, chúng ta xác định một phép biến đổi Mobius
14

=
T ( z)

z , z1 , z2 , z3 )
(=

 z − z2   z3 − z1 


.
 z − z1   z3 − z2 


T , ta có:
 Với phép biến đổi Mobius
.
Zi

Z1

Z2

Z3

T(Zi )

∞

0

1

1.3.7. Metric hyperbolic

{

}

Trong mặt phẳng phức  , ta ký hiệu đĩa mở đơn vị  =∈
z  z <1
( đĩa Poincaré  ).
Đặt X = =  ∪ S , S = ∂ là biên đường tròn đơn vị z =1.

Định nghĩa: Một không gian metric hyperbolic là cặp ( X , ρ ) và một hàm

ρ:X×X →

( z, w )  ρ ( z, w ) = log (α , z, w, β )
(với z, w là 2 điểm trên đường hyperbolic L (α , β ) ) thỏa mãn các điều kiện:

( i ) ρ ( z, w ) ≥ 0& ρ ( z, w ) = 0 ⇔ z = w
( ii ) ρ ( z, w ) = ρ ( w, z )
( iii ) ρ ( z, w) ≤ ρ ( z, y ) + ρ ( y, w ) , ∀z, w, y ∈ X
Nhận xét:

 Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm ρ gọi là metric
hyperbolic trên tập X và ρ ( z , w ) là khoảng cách giữa z và w .
 Thay z và w hoặc α và β ta có nghịch đảo của tỷ số kép nên giá trị tuyệt đối của

logarit là không đổi.
 Chú ý rằng trong metric hyperbolic bất đẳng thức tam giác

ρ ( z , w ) < ρ ( z , y ) + ρ ( y, w ) , trừ trường hợp z, y, w cùng nằm trên
h- đường thẳng với y giữa z và w ta có ρ=
( z, w ) ρ ( z, y ) + ρ ( y, w ) .

15


1.4. Không gian paracompact
1.4.1. Không gian paracompact
Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian
paracompact nếu mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương.
1.4.2. Không gian paracompact đếm được
Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian
paracompact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa
phương.
1.4.3. Không gian Fréchet tại một điểm
Một không gian Y được gọi là Fréchet tại một điểm
A ⊆ Y và

y ∈ Y nếu khi

y ∈ clA , tồn tại một dãy hội tụ an trong A mà an → y .

1.5. Không gian phân tầng
1.5.1. Định nghĩa
Một không gian Tôpô X là một không gian phân tầng nếu X là T1 và mỗi tập mở U ⊂ X ,
∞

ta có thể gán một dãy {U n }

n=1

của các tập con mở của X sao cho :

(i ) U n ⊂ U ,

(ii)  ∞n=1U n =U ,
(iii ) U n ⊂ Vn với bất kỳ U ⊂ V .

1.5.2. M 1 - không gian, M 3 - không gian
 M 1 -không gian là không gian chính quy với một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng.
 M 3 -không gian là không gian chính quy với một tựa cơ sở σ - bảo toàn bao đóng

1.6. Không gian Nagata
Định nghĩa: Một không gian Nagata X là T1 − không gian sao cho với mỗi

16


∞

∞

x ∈ X tồn tại dãy các lân cận của x , {U n ( x )}n=1 và {Sn ( x )}n=1 sao cho:

(1)

∞

Với mỗi x ∈ X , {U n ( x )}n=1 là 1 cơ sở lân cận địa phương của x ,

( 2 ) Với mọi

x, y ∈ X , Sn ( x ) ∩ Sn ( y ) ≠ ∅ hàm ý x ∈ U n ( y ) .
∞

∞

, {Sn ( x )}n 1 được gọi là 1 cấu trúc
Nhận xét: Cặp thứ tự =
{U n ( x )}n 1 =
∞

∞

Nagata của X nếu và chỉ nếu với mỗi x , {U n ( x )}n=1 và {Sn ( x )}n=1 là
các dãy lân cận của x thỏa mãn hai điều kiện trên.

1.7. Hàm ceiling
Hàm ceiling được ký hiệu f ( x ) = x  hoặc f ( x ) = ceiling ( x ) là một hàm gán với x số
nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x.

1.8. Arbelos
Arbelos là một miền mặt phẳng được tạo bởi một nửa đường tròn đường kính bằng 1 với
các nửa đường tròn đường kính lần lượt là

r và 1 − r .

Hình 1.2. Arbelos

17


CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT
Trong chương này của luận văn, chúng ta sẽ tìm hiểu một số cấu trúc của các tôpô bao gồm:
Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , tôpô phân tầng τ , tôpô τ ( ctbl ) , tôpô τ ( fn ) và tôpô τ ( N ) .
Trong phần 2.1 chúng ta giới thiệu Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic τ ρ , không gian ( X ,τ ) của

 khả đối xứng và phân tầng, nhưng không phải
chúng ta trong phần 2.2 là không gian Lindelof
không gian Fréchet cũng không đơn liên. Chúng ta nghiên cứu cấu trúc của tôpô τ này trong
phần 2.3 và sau đó trong phần 2.4 chúng ta sẽ hoàn thiện nó để có được ba tôpô địa phương co
rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất..

2.1. Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic
Trong phần còn lại của luận văn này, chúng ta dùng ρ để chỉ metric hyperbolic, d là

{

}

metric Euclide trên mặt phẳng phức . 
=z ∈  z < 1

là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng

phức  . X = =  ∪ S , S = ∂ là biên đường tròn đơn vị z =1.

Cho bất kỳ hai điểm phân biệt z , w∈ nằm trên một đường trắc địa L (α , β ) sao cho
L (α , β ) là một cung tròn mở trực giao với S tại hai điểm đầu mút α và β thuộc S. Khoảng

cách hyperbolic ρ ( z , w ) được xác định như sau:
ρ ( z , w ) = log (α , z , w, β )
 w −α   z −α 
Trong đó (α , z , w, β ) ký hiệu tỷ số kép 
 
 , tỷ số kép này là một số thực
 w−β   z −β 

dương do bốn điểm α , z, w và β trên đường tròn được xác định bởi đường trắc địa
L (α , β ) . Một tính chất quan trọng của khoảng cách hyperbolic là nó bất biến dưới phép biến



Như vậy, nếu một phép biến đổi Mobius
biến đường trắc địa L (α , β ) thành
đổi Mobius.
đường kính L ( −1, +1) sao cho bốn điểm α , z , w và β biến đổi tương ứng −1 < r1 < r2 < +1 ,
thì khoảng cách ρ ( z , w ) có thể được tính như sau:

(*) ρ ( r1 , r2 )=

log ( −1, r1 , r2 , +1) = log

Nhận xét:
18

1 + r2

1 + r1
− log
.
1 − r2
1 − r1


 Khi z hoặc w tiến gần tới điểm biên α hoặc β thì khoảng cách ρ ( z , w ) tăng dần về vô

cực.
 Chúng ta có thể mở rộng ρ để X =  bằng cách xác định ρ ( x, y ) = ∞ khi một trong x

hoặc y là trên biên S. Phần mở rộng ρ này mặc dù không phải là một “metric”, ý tưởng đưa
ra rằng biên S là nằm vô cùng xa từ bên trong và những điểm biên là “rời rạc”.
 Chú ý bên trong  , metric hyperbolic ρ và metric Euclide d cảm sinh cùng tôpô.

Nhưng khi chúng ta xét tương ứng những quả cầu mở, chúng ta phải quan tâm đến vị trí của
các tâm của chúng.
 Quả cầu mở hyperbolic

Bρ ( z0 ; r0 ) =
{ z ∈ : ρ ( z0 , z ) < r0 }
Với tâm hyperbolic z0 ∈ và bán kính hyperbolic là 0 < r0 < 1 , đồng nhất với một số quả
cầu mở Euclide

Bd ( z1 ; r1 ) =
{ z ∈ : d ( z1 , z ) < r1}
Với tâm Euclide z1 ∈ và bán kính Euclide 0 < r1 < 1 , nhưng tâm hyperbolic z0 phụ thuộc
tâm Euclide z1 đối với biên S; nghĩa là z0 = t z1 với mỗi t > 1 nếu z0 ∈  \ {0}. Vì vậy, nếu z0
tiến gần tới biên, những quả cầu hyperbolic đồng tâm Bρ ( z0 ; r ) với bán kính 0 < r < ∞ trông

giống như những vòng cực hạn hoặc những quả cầu cực hạn (xem hình 2.1)

19


.
Hình 2.1. Những vòng tròn đồng tâm Hyperbolic
Chúng ta giới thiệu một tôpô τ ρ trên đĩa đóng X =  như sau:
 Cho một điểm x ∈ S và 0 < s < 2 , lấy V ( x; s ) ký hiệu hợp của điểm x với quả cầu mở

Euclide, tiếp xúc trong tại x ∈ S , đường kính của Euclide độ dài s. Chúng ta gọi V ( x; s ) này
là một quả cầu cực hạn tại x kích thước s. Như vậy, định nghĩa bản thân của những quả cầu
cực hạn hoàn toàn phụ thuộc vào metric Euclide d:

V ( x; s ) =
{ x} ∪ Bd ( (1 − s 2 ) x ; s 2 ) .
 Xác định τ ρ là một tôpô trên X=  ∪ S được tạo ra bởi tất cả các quả cầu cực hạn với

tôpô metric thông thường trên  . Chúng ta gọi một tôpô đĩa tiếp xúc hyperbolic này được
cảm sinh từ các mở rộng “metric” ρ . Không gian ( X ,τ ρ ) này là hợp của các đĩa Poincaré
 với không gian đóng S rời rạc không đếm được.

 Ký hiệu Ct = ∂V ( x ; t ) là đường tròn biên của quả cầu cực hạn V ( x; t ) .

V ( x; s ) có thể được viết  0
(

)

ρ Ct1 \ { x} , Ct2 \ { x} = ρ (1 − t1 ,1 − t2 ) , và phụ thuộc này chỉ trên t1 và t2 (xem bổ đề 2.2.2).

20


Do đó, chúng ta có thể thấy rằng các quả cầu cực hạn V ( x; s ) bao gồm các “tâm” x và
những đường tròn “hyperbolic đồng tâm” Ct ( 0 < t < s ) .
 Vì vậy, giả sử một trận động đất xảy ra tại x thì sóng khối sẽ lan truyền trên V ( x; s )

đến thời gian s sẽ hình thành mặt sóng Ct ( 0 < t < s ) . Mặt khác, sóng bề mặt cũng sẽ truyền
từ x tới một vài cung J chứa x trên biên S. Do đó, tập hợp các dạng V ( x; s ) ∪ J sẽ đại diện
cho những miền trên mà trận động đất tại x sẽ lan truyền đến thời gian s.
Ngoài tôpô đĩa tiếp xúc hyperbolic, chúng ta sẽ đề cập một số tôpô khác chẳng
hạn tôpô phân tầng được giới thiệu sau đây.

2.2. Tôpô phân tầng


Cho J = a b là một cung mở trên biên S với hai điểm đầu mút a và b, và g : J → ( 0,1] là
hàm bất kỳ, không nhất thiết liên tục. Đặt:

V ( g ) =  V ( x ; g ( x )) ,
x ∈J

ở đây V ( g ) là hợp những quả cầu cực hạn tại x ∈ J kích thước 0 < g ( x ) ≤ 1. Xác định τ là
một tôpô trên X=  ∪ S sinh bởi tôpô thông thường trên  và tất cả các tập của V ( g ) , trong
đó J và g được chọn một cách tùy ý (xem hình 2.2).

Hình 2.2. Một số các lân cận điển hình.
Nhận xét tôpô τ thô hơn τ ρ (những quả cầu cực hạn không còn mở), và ( X ,τ ) là hợp của

những đĩa Poincaré  và các đường tròn Euclide S = S 1. Tôpô τ là một trong những tôpô

21


chúng ta nghiên cứu trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ ra ( X ,τ ) là một không gian chính quy với
một cơ sở mở σ -bảo toàn bao đóng, nghĩa là , một M 1 -không gian.
Nhận xét 2.2.1.
Trong lý thuyết của các không gian metric mở rộng:
 M 1 -không gian là không gian chính quy với một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng.
 M 3 -không gian hoặc không gian phân tầng là không gian chính quy với một tựa cơ sở σ -

bảo toàn bao đóng.
(Một tập hợp các tập con B của một không gian X là tựa cơ sở nếu bất kỳ x ∈ U với U mở thì
có một số B ∈B với x ∈ int ( B ) ⊂ B ⊂ U ).
 Các không gian metric hóa được Fσ là những không gian có thể được biểu diễn như một

hợp đếm được các không gian con đóng metric hóa được.
Tất cả không gian trong các ví dụ của luận văn chúng ta là Fσ -metric hóa được. Lớp các
không gian phân tầng có các tính chất chẳng hạn như “tập con”, “tích đếm được”, và “ánh xạ
đóng”.
Cho ví dụ, Gary Gruenhage đã chỉ ra rằng có thể lấy bất kỳ 2 không gian phân tầng và dán
chúng lại với nhau bởi ánh xạ đóng bất kỳ; các không gian tổng cũng là phân tầng.
 Chúng ta có thể sử dụng “không gian mở rộng” như sau:

Cho ( X ,τ ρ ) là không gian trong phần 2.1 với tôpô tiếp xúc đĩa τ ρ , và chúng ta ký hiệu
không gian này như X 0=  ∪ S0 , trong đó S0 ký hiệu biên ∂ với các tôpô rời rạc, trong khi
vẫn giữ ký hiệu S cho đường tròn Euclide thông thường. Lấy ϕ :S0 → S là ánh xạ đồng nhất;
ánh xạ ϕ này có thể được xem như một song ánh liên tục từ không gian con đóng rời rạc S0
của X 0 lên đường tròn đơn vị S. Chú ý rằng không gian tôpô mở rộng X 0 ∪ϕ S này là đồng

nhất với τ của chúng ta.
Trong các tài liệu, các định lý bảo toàn khác cho những không gian mở rộng đã được chứng
minh, nhưng tiếc là chúng ta không thể áp dụng chúng ở đây bởi vì chúng chủ yếu là các dạng
mà các không gian mở rộng Y ∪h Z có một tính chất P nếu cả hai Y và Z có P. Chúng có các
tính chất “chuẩn tắc”, “đơn điệu chuẩn tắc”, và “phân tầng” đã được biết.
22


Nhưng trong trường hợp của chúng ta

X 0 ∪ϕ S , không gian X 0 không chuẩn tắc cũng

không phân tầng.
Chúng ta thấy rằng τ là chính quy. Bổ đề dưới đây là quan trọng để chứng tỏ rằng sự liên hệ
giữa Euclide và Hyperbolic được tính thông qua những quả cầu cực hạn.
Bổ đề 2.2.2.
Cho bất kỳ điểm x ∈ S và bất kỳ 0 < s ≤ 1 , khoảng cách giữa quả cầu cực hạn V ( x;3−1 s ) và
 \ V ( x; s ) lớn hơn 1 tương ứng với metric hyperbolic:

ρ (V ( x;3−1 s ) \ { x} ,  \ V ( x; s ) ) > loge 3 = 1.098... > 1.
Chứng minh. Bằng phép quay chúng ta có thể giả thiết rằng x = 1 . Khoảng cách giữa

(

)

V x;3−1 s và  \ V ( x; s ) được tính bởi ρ ( r1 , r2 ) , trong đó r1 = 1 − s và r2 = 1 − 3−1 s . Bởi công thức

(*) trong phần 2.1,
ρ=

( r1 , r2 ) log

1 + r2
1 − r1
.
+ log
1 + r1
1 − r2

Số hạng đầu tiên là dương do r2 > r1 , trong đó số hạng thứ 2 là log 3 .

□

Cho V ( g ) được xác định như trên.
Bổ đề 2.2.3.
Khoảng cách giữa V ( 3−1 g ) và  \V ( g ) lớn hơn 1 tương ứng với metric hyperbolic.
Chứng minh. Theo định nghĩa, V ( 3−1 g ) là hợp của V ( x;3−1 g ( x ) ) với mọi x ∈ J .
Khoảng cách giữa V ( x;3−1 g ( x ) ) và  \V ( g ) là lớn hơn 1 (theo bổ đề 2.2.2.).
Kết quả, chúng ta có được bổ đề 2.2.3.

□

Bổ đề 2.2.4.
Cho clτ ký hiệu bao đóng trong τ . Ta có:
cl V ( g=
)

τ

[ J ] ∪ clρ (V ( g ) \ J ) ,

23