k – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ BẢO TRÂM

K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ
CONG HẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ BẢO TRÂM

K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ
CONG HẰNG
Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011


MỤC LỤC

MỤC LỤC ..................................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 2
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................................2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................................2
5. Cấu trúc của luận văn ...........................................................................................................2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ..................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG................................... 5
1.1 Độ cong tiết diện của đa tạp Rieman...............................................................................5
1.2

Không gian có độ cong hằng..........................................................................................7

1.3 Một vài ví dụ về đa tạp Riemann có độ cong hằng .........................................................9

CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT .................................................... 14
2.1 Phức Stiefel và đa tạp Grassman ...................................................................................14
2.2 Phạm trù Bund  ...........................................................................................................15
2.3 Việc xây dựng trên các phân thớ vectơ .........................................................................18
2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund  ( B ) ................................................19
2.5 Nửa vành Vect ( B ) .....................................................................................................23
2.6 Nhóm thứ nhất của K – lý thuyết tôpô, K ( X ) ............................................................26
2.6.1 Định lý phân loại ....................................................................................................26
2.6.2 Hàm tử K ( X ) .......................................................................................................26
~

2.6.3 Hàm tử K ( X ) ........................................................................................................27
2.6.4 Mô tả K ( X ) ..........................................................................................................29

CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG
HẰNG ......................................................................................................................... 33


3.1 Tôpô tổng quát và việc xây dựng các phân thớ vectơ ...................................................33
3.2 Phương pháp sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K – nhóm .............................36
3.2.1. Tích ngoài cho K ( X ) ...........................................................................................36
3.2.2 Ứng dụng tính K ( S 2 ) ; K ( CP1 ) ; K ( S 2 ) ; K ( CP1 ) ....................................................38
~

~

3.3 Phương pháp sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott ..................39
3.3.1 Các dãy khớp của K – nhóm ..................................................................................39
3.3.2 Tích ngoài rút gọn ..................................................................................................42
3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott ...........................................................................................42
3.3.4 Tính K – nhóm của một số không gian ..................................................................43
3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều .............................................................................45
3.4.1 Đối đồng điều .........................................................................................................45
3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều ...............................................................47
3.5 Một số phương pháp khác .............................................................................................48
3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương ...............................................48
3.5.2 Lũy linh của K ( X ) ................................................................................................48
3.5.3 Sử dụng nhóm K ( X , Y ) ........................................................................................49

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 51

Trần Thị Bảo Trâm

K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới TS. Nguyễn Thái Sơn, người thầy đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn nà.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy cô giảng viên trong
khoa Toán – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dạy bảo tôi tận
tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn
tốt nghiệp.
Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 10 năm 2011
Học viên

Trần Thị Bảo Trâm


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học tôpô, các kiến thức về
hình học vi phân, hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie, đại số Lie, K – lý
thuyết, K – hàm tử đóng vai trò rất quan trọng. Từ các kiến thức biệt lập từ các môn học nói
trên, lý thuyết về không gian có độ cong hằng và K – lý thuyết của các không gian có độ
cong hằng như một sợi dây nối xâu chuỗi chúng thành một thể thống nhất. Do đó để củng cố
kiến thức và phát triển khả năng nghiên cứu, chúng tôi chọn đề tài K – lý thuyết của một số

không gian có độ cong hằng.
2. Mục đích nghiên cứu
Như trên đã trình bày chúng tôi muốn hệ thống hóa các kiến thức cơ bản trong
chương trình thạc sĩ như: hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie và đại số Lie, K
– lý thuyết, K – hàm tử; sử dụng chúng một cách hiệu quả, đặc biệt là phương pháp K – hàm
tử nhằm tính K – nhóm của các không gian có độ cong hằng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các không gian có độ cong hằng.

3.2. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là hình học Rieman, hình học vi phân, độ cong
Rieman. Ngoài ra chúng tôi còn sử dụng các kiến thức về hình học vi phân hiện đại, lý
thuyết liên thông, các kiến thức về K – lý thuyết, K – hàm tử.
4. Phương pháp nghiên cứu
Từ các kiến thức có sẵn trong chương trình đào tạo thạc sĩ, chúng tôi tìm hiểu các
kiến thức nâng cao ngoài chương trình đào tạo, liên hệ các kết quả này với các kiến thức
trong chương trình để tính K – nhóm của các không gian có độ cong hằng bằng phương
pháp K – hàm tử.
5. Cấu trúc của luận văn
1. Chương 1: Sơ lược về các không gian có độ cong hằng
2. Chương 2: Tìm hiểu về K – lý thuyết
3. Chương 3: K – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

BẢNG KÝ HIỆU
Các ký hiệu sau đây sẽ được sử dụng trong suốt luận văn:
Set:

Phạm trù tập hợp

Top:

Phạm trù các không gian tôpô

CW:

Phạm trù các phức CW

Grp:

Phạm trù các nhóm

TopGrp:

Phạm trù các nhóm tôpô

Ab:

Phạm trù các nhóm aben

SemiRng:

Phạm trù nửa vành

Rng:

Phạm trù vành

Bund n :

Phạm trù các phân thớ vec tơ phức n – chiều

Bund n ( B )

Phạm trù các phân thớ vec tơ phức n – chiều trên B

Vect ( B ) :

Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vectơ trên B

Vectk ( B ) :

Nửa nhóm các lớp tương đương của các phân thớ vectơ k - chiều trên B

[ f ]:

Lớp đồng luân của ánh xạ f

νΚ :

Phạm trù các không gian vectơ n chiều trên trường Κ.

n


Trần Thị Bảo Trâm

K- lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG
Do đối tượng chính của luận văn này là các không gian có độ cong hằng nên trong
chương 1, chúng tôi sẽ nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian có độ cong hằng cùng
một số ví dụ về một số không gian có độ cong hằng sẽ được đề cập trong chương 3.
1.1 Độ cong tiết diện của đa tạp Rieman
Cho đa tạp Rieman ( M , g ) . Với p ∈ M và X , Y , Z ∈ x ( M ) xét ánh xạ:

=
G ( X , Y , Z ,U ) g ( X , Z ) g ( Y ,U ) − g ( X ,U ) g ( Y , Z )

(1.1.1)

Ta có G là  - đa tuyến tính và:
 G ( X , Y , Z ,U ) =
−G (Y , X , Z ,U ) =
−G ( X , Y ,U , Z ) =
G ( Z ,U , X , Y )

0
 G ( X , Y , Z ,U ) + G ( Y , Z , X ,U ) + G ( Z , X , Y ,U ) =
 ( ∇ X G )(Y , Z ,U ,V ) + ( ∇Y G )( Z , X ,U ,V ) + ( ∇ Z G )( X , Y ,U ,V ) =0 .
Nếu X , Y ∈ Tp M thì:

=
G ( X , Y , X , Y ) g ( X , X ) g (Y , Y ) − g ( X , Y ) g ( X , Y )
= X . Y − ( X .Y ) = X . Y − sin 2 ( X , Y )
2

2

2

2

2

(1.1.2)

Như vậy nếu X , Y độc lập tuyến tính thì G ( X , Y , Z ,U ) chính là diện tích hình bình
hành tạo bởi X và Y . Vậy G ( X , Y , X , Y ) ≠ 0. Giả sử rằng X ', Y ' ∈ Tp M sao cho không gian
con hai chiều π sinh bởi X , Y và X ', Y ' trùng nhau. Khi đó:
X '=
α X + βY ,Y ' =
γ X + δY.

Vì X ', Y ' độc lập tuyến tính nên chúng không tỷ lệ, tức là αδ − βγ ≠ 0 . Dễ thấy rằng:
'
R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y
=
)

(αδ − βγ )

'
G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y
=
)

(αδ − βγ )

'

2 '

2

R ( X ,Y , X ,Y )

G ( X ,Y , X ,Y )

Suy ra:
'

R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' )

G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' )

=

R ( X ,Y , X ,Y )
G ( X ,Y , X ,Y )


'

Đẳng thức trên cho thấy:

R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' )

G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' )

là một hàm số theo không gian con hai

chiều π ⊂ Tp M và độc lập đối với X , Y . Ta gọi π là mặt phẳng tiếp xúc với M tại p hay π
là mặt phẳng tiết diện của Tp M tại p.
Định nghĩa 1.1.1. Cho đa tạp Riemann ( M , g ) . Với p ∈ M , ta gọi π là mặt phẳng tiết diện
của Tp M tại p và X , Y ∈ π là hai vectơ độc lập tuyến tính. Khi đó
'
R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' )
R ( X ,Y , X ,Y )
(1.1.3)
K p (π ) =
−
=
−
'
'
'
'
G ( X ,Y , X ,Y )
G ( X ,Y , X ,Y )
'

được gọi là độ cong tiết diện của M tại ( p, π ) . Đôi khi ta cũng gọi K p (π ) là độ cong tiết
diện của mặt phẳng π ⊂ Tp M tại p hoặc độ cong tiết diện của M tại p ứng với mặt phẳng
tiếp xúc không suy biến π .
Định lý 1.1.1. Cho đa tạp Riemann ( M , g ) và p ∈ M . Khi đó, tenxơ cong của M tại p được
xác định một cách duy nhất bởi độ cong tiết diện của tất cả các không gian tiếp xúc của

Tp M tại p.
Chứng minh.
Giả sử R ( X , Y , Z ,U ) là ánh xạ  - đa tuyến tính thỏa mãn các tính chất của tenxơ
cong ' R ( X ' , Y ' , X ' , Y ' ) và với mọi X , Y ∈ Tp M độc lập tuyến tính ta có:

R ( X ,Y , X ,Y ) 'R ( X ,Y , X ,Y )
.
=
G ( X ,Y , X ,Y ) G ( X ,Y , X ,Y )
Ta cần chứng minh R ( X , Y , Z ,U ) = ' R ( X , Y , Z ,U ) với mọi X , Y , Z ,U ∈ Tp M . Đặt:

H=
( X , Y , Z ,U ) R ( X , Y , Z ,U ) − ' R ( X , Y , Z ,U ) (1.1.4)
thì H là ánh xạ  - đa tuyến tính và:

H ( X , Y , Z ,U ) =
− H ( Y , X , Z ,U ) =
− H ( X , Y ,U , Z ) =
H ( Z ,U , X , Y )
H ( X , Y , Z ,U ) + H ( Y , Z , X ,U ) + H ( Z , X , Y ,U ) =
0 (1.1.5)
Ta chứng minh H ( X , Y , Z ,U ) = 0. Thật vậy, từ cách đặt thì H ( X , Y , X , Y ) = 0. Do đó:

H ( X + Z ,Y , X + Z ,Y ) =
0 ⇔ H ( X ,Y , Z ,Y ) =
0.
Tương tự:

H ( X , Y + U , Z , Y + U ) =0 ⇔ H ( X , Y , Z ,U ) + H ( X ,U , Z , Y ) =0 .
Suy ra:

H ( X , Y , Z ,U ) =
− H ( X ,U , Z , Y ) =
H ( X ,U , Y , Z )
=H (Y , Z , X ,U )

(1.1.6 )

= − H (Y ,U , X , Z ) =
H (Y ,U , Z ,U )
=H ( Z , X , Y ,U )

(1.1.7)

Thay vào ta có:

3H ( X , Y , Z ,U ) =
0 ⇔ H ( X , Y , Z ,U ) =
0.
Ta có điều phải chứng minh.



Vì độ cong tiết diện K p (π ) xác định hoàn toàn tenxơ cong R nên nếu K p (π ) = 0
với mọi π ⊂ Tp M và mọi p ∈ M thì ta phải có R ( X , Y ) Z = 0 với mọi X , Y , Z ∈ χ ( M ) ,
tức là, đa tạp là phẳng.
Trong định nghĩa K p (π ) , nếu ta chọn { X , Y } là cơ sở trực chuẩn của π ⊂ Tp M thì:

g (=
X , X ) g=
(Y , Y ) 1, g=
( X ,Y ) 0 .
Do đó (1.1.3) trở thành:

K p (π ) = − ' R ( X , Y , X , Y ) (1.1.8)
Định nghĩa 1.1.2. Cho đa tạp Rieman ( M , g ) và p ∈ M . Nếu độ cong tiết diện K p (π ) tại p
không phụ thuộc vào π thì ta nói M di động tại p ∈ M .
Khi M di động tại p, ta ký hiệu độ cong tiết diện của M tại ( p, π ) là K ( p ) , tức là
với X , Y ∈ Tp M độc lập tuyến tính thì:
'

R ( X , Y , X , Y ) = − K ( p ) G ( X , Y , X , Y ) (1.1.9)

Bằng cách tương tự như trong chứng minh định lý 1.1.1, ta có thể chứng minh được
với mọi X , Y , Z ,U ∈ Tp M thì:
'

R ( X , Y , Z ,U ) =
− K ( p ) G ( X , Y , Z ,U ) =
− K ( p )  g ( X , Z ) g (Y ,U ) − g ( X ,U ) g (Y , Z )  .

1.2

Không gian có độ cong hằng

Định nghĩa 1.2.1. Cho đa tạp Rieman

(M

n

, g ) . Nếu M di động tại mọi điểm p ∈ M và

K ( p=
) K= const thì M được gọi là đa tạp có độ cong hằng.


Như vậy,

(M

n

, g ) được gọi là đa tạp có độ cong hằng nếu độ cong tiết diện

K ( p ) = const với mọi π ⊂ Tp M và với mọi p ∈ M . Đa tạp Rieman có độ cong hằng
thường được gọi là dạng không gian. Thông thường, trong văn nói, một dạng không gian
được hiểu là một đa tạp Rieman đơn liên, đầy đủ, có độ cong tiết diện hằng.
Ví dụ, mặt cầu, mặt phẳng là những mặt trong không gian Euclide E 3 có các độ cong
toàn thể là hằng, do đó chúng là những đa tạp Rieman hai chiều có độ cong hằng. Bất kỳ hai
đa tạp Rieman có độ cong hằng đều đẳng cự địa phương.
Định lý 1.2.1. (Định lý F. Schur). Cho ( M n , g ) là đa tạp Rieman liên thông với n ≥ 3 . Nếu
độ cong tiết diện K p (π ) độc lập với π ⊂ Tp M thì M là đa tạp có độ cong hằng.
Chứng minh.
Theo giả thiết thì M di động tại p, tức là K p (π ) = K ( p ) và:
'

R ( X , Y , Z ,V ) =

− K ( p )  g ( X , Z ) g (Y ,V ) − g ( X ,V ) g (Y , Z ) 

Suy ra:

( ∇ K ) ( p )  g ( X ,V ) g (Y , Z ) − g ( X , Z ) g (Y ,V ) (1.2.10)
( ∇ R ) ( X , Y , Z ,V ) =
'

U

U

Kết hợp với đẳng thức ( ∇U ' R ) ( X , Y , Z ,V ) =
g ( ( ∇U R ) ( X , Y ) Z ,V ) . Do đó ta có:

g ( ( ∇U R ) ( X , Y )=
Z ,V ) g (UK )( p ) ( g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y ) ,V  (1.2.11)
Vì V tùy ý và g không suy biến nên phải có:

, Y ) Z (UK )( p ) ( g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y )
( ∇U R ) ( X=

(1.2.12)

Hoán vị vòng quanh U , X , Y trong (1.2.12) ta được:

,U ) Z ( XK )( p ) ( g (U , Z ) Y − g (Y , Z )U )
( ∇ X R )(Y=

(1.2.13)

, X ) Z (YK )( p ) ( g ( X , Z )U − g (U , Z ) X )
( ∇Y R )(U=

(1.2.14)

Cộng (1.2.12),(1.2.13),(1.2.14) theo vế và sử dụng đồng nhất thức Bianchi thứ hai, ta có:

(UK )( p )  g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y  + ( XK )( p )  g (U , Z ) Y − g (Y , Z )U 
+ (YK )( p )  g ( X , Z )U − g (U , Z ) X  =0

(1.2.15)

Vì dim M ≥ 3 nên với X tùy ý, ta có thể chọn Y , Z ,U sao cho X , Y , Z trực giao lẫn nhau,
U = Z và g ( Z , Z ) = 1. Khi đó ta có:

g=
( X , Y ) g=
( X , Z ) g=
(Y , Z ) 0, g=
(U , Z ) 1 .


Thay vào ta có:

( XK )( p ) Y − (YK )( p ) X

=
0.

Vì X , Y độc lập tuyến tính nên:

=
YK )( p )
( XK
)( p ) (=

0

Suy ra:

∇ X K ( p ) = 0, ∀X ∈ Tp M
tức là K ( p=
) K= const. Vì p ∈ M tùy ý nên M là đa tạp có độ cong hằng.



Định lý Schur suy ra rằng nếu một đa tạp Rieman liên thông ( M n , g ) với n ≥ 3 là di
động khắp nơi thì nó là đa tạp có độ cong hằng. Khi đó, với mọi X , Y , Z ∈ Tp M thì:

R ( X ,Y ) Z =
K  g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y  (1.2.16)
Do đó trên đa tạp Rieman liên thông ( M n , g ) với n ≥ 3 thì các điều sau là tương đương:

K=
1. K=
( p ) const với mọi π ⊂ Tp M và với mọi p ∈ M .
p (π )
2. R ( X , Y ) Z =
K  g (Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y  với mọi X , Y , Z ∈ Tp M .

Định nghĩa 1.2.2. Đa tạp Rieman ( M n , g ) được gọi là đẳng hướng tại p ∈ M nếu

K p (π ) = K ( p ) với mọi π ⊂ Tp M và được gọi là đẳng hướng nếu nó đẳng hướng tại mọi
điểm.
Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi đa tạp Riemann

(M

n

, g ) có độ cong hằng K gọi là eliptic,

hyperbolic hoặc phẳng (Euclide địa phương) tương ứng khi K > 0, K < 0, K =
0.
1.3 Một vài ví dụ về đa tạp Riemann có độ cong hằng
Ví dụ 1.3.1. Trên M =  n với mêtric thông thường:
2
ds
=

( du )

1 2

+ ... + ( du n )

2

thì Γijk = 0, ∀i, j , k = 1, n. Do đó Rijkh = 0, tức là, R ( X , Y ) Z = 0 với mọi X , Y , Z ∈ Tp M . Từ
đó K = 0. Vậy  n là đa tạp Riemann có độ cong hằng K = 0, hay  n là phẳng.

Ví dụ 1.3.2. Quả cầu mở M ==
BRn {u ∈  n : u < R} với mêtric:


( du )

1 2

ds = 4 R
2

4

(R

+ ... + ( du n )
2

2

)

2 2

−u

chính là mô hình Poincaré của không gian Lobachevski n chiều. Khi n ≥ 2 thì không gian
Lobachevki BRn là một đa tạp Rieman có độ cong hằng K = −
Chứng minh.
Ta có gii

=

1
, hay BRn là hyperbolic.
2
R

4R4
=
; gij 0 với mọi i ≠ j .
2 2
2
R −u

(

)

Áp dụng công thức Koszul:


∂ ∂
2g  ∇ ∂
, j
i

∂u
j ∂u
 ∂u


∂
∂
∂
gij + i g jj − j g ji
 =
j
∂u
∂u
 ∂u

∂
∂
∂
2
⇔ 2Γ=
g jj
gij + i g jj − j g ji ⇔ Γ jji
=
j
2 2
2
∂u
∂u
∂u
R −u
j
ji

Do đó:

=
Γ jji

(

) (

4u i
R2 − u

)

2 3

∂Γ jji
2u i
R 2 − | u |2 +2(u i ) 2
.
⇒
=
2
R 2 − | u |2
∂u i
( R 2 − | u |2 ) 2

Tương tự, ta có:


∂ ∂  ∂
∂

∂
2g  ∇ ∂
, j  = i gij + i g ji − j gii
i
 i ∂u ∂u  ∂u
∂u
∂u
 ∂u

∂
∂
∂
2
4u j
j
j
.
⇔ 2Γii g jj = j gij + i g ji − j gii ⇔ Γ ji 2
=−
2
2 2
2
∂u
∂u
∂u
R −u
R −u

(

Do đó Γiij =−

)

∂Γiij
uj
− R 2 + | u |2 −2(u j ) 2
.
2
⇒
=
( R 2 − | u |2 ) 2
R 2 − | u |2
∂u j

Mặt khác ta có:
Rijij =

'

Ta tính được K ( p) =
mở M là K = −

− ' Rijij
gii .g jj

=

Rijij =

4R2

(R − | u | )
2

2

2

4R2
4R4
.
( R 2 − | u |2 ) 2 R 2 − | u |2

(

)

2

.

−16 R 6
( R 2 − | u |2 ) 4
1
. Do đó độ cong của quả cầu
=
−
.
R2

( R 2 − | u |2 ) 4
16 R8

1
.
R2

Ví dụ 1.3.3. Lấy M là một đa tạp Rieman với mêtric:




( du )
=

1 2

ds

2

+ ... + ( du n )

 K 2
1 + u 
4



2

2

trong đó K ∈  . Khi đó M là một đa tạp có độ cong hằng K. Mêtric có dạng này được đưa
ra bởi B. Riemann trong diễn văn khai mạc tại Đại học Gottingen ở Đức năm 1854.
Chứng minh.
Ta có gii
=

1
; gij 0 với mọi i ≠ j .
=
2
 K 2
1 + u 
4



Áp dụng công thức Koszul:


∂ ∂
2g  ∇ ∂
, j
i

∂u
j ∂u
 ∂u

j
⇔ 2Γ=
ji g jj


∂
∂
∂
g
g
g ji
+
−
 =
ij
jj
j
i
j
u
u
u
∂
∂
∂


∂
∂
∂

2
− Ku i
j
+
−
⇔
Γ
=
g
g
g
ij
jj
ji
ji
2
3
∂u j
∂u i
∂u j
 K 2
 K 2
1 + u 
1 + u 
4
4





K 2 K
j
1 + u − (u i ) 2
i
∂Γ
−
−
Ku
K
ji
4
2
Do
đó: Γ jji
=
=
⇒
.
2
i
K
2
2

∂u
 K 2
2 1 + u 
1 + u 
4



4



Tương tự, ta có:


∂ ∂  ∂
∂
∂
2g  ∇ ∂
, j  = i gij + i g ji − j gii
i
 i ∂u ∂u  ∂u
∂u
∂u
 ∂u

2
Ku i
∂
∂
∂
j
j
⇔ 2Γ
=
g

g
+
g
−
g
⇔
Γ
=
ii jj
ij
ji
ii
ji
2
3
∂u j
∂u i
∂u j
 K 2
 K 2
1 + u 
1 + u 
4
4




K 2 K
1 + u − (u j ) 2

j
j
∂Γ
u
K
4
2
.
Do đó Γiij =− 2
⇒ iij = .
2
2
2
R −|u|
∂u
 K 2
1 + u 
4



Mặt khác ta có:

Rijij =

'

Rijij

−K

2

 K 2
1 + u 
4


1
−K
.
.
=
2
2
 K 2  K 2
1 + u  1 + u 
4
4

 



4

 K 2
1 + u 
− ' Rijij
−K
4

 =
Ta tính được K ( p) =
=
−
K . Do đó độ cong của quả cầu
.
2
gii .g jj
1
K
2


1 + u 
4



1
.

R2
Ví dụ 1.3.4. Mặt cầu S Rn =
R} với mêtric cảm sinh bởi mêtric Euclide của
{u ∈  n+1 : u =

mở M là K = −

không gian  n+1 :

( du )

1 2

ds 2 = 4 R 4

(

là một đa tạp Riemann có độ cong hằng K =
Chứng minh.
Ta có gii
=

+ ... + ( du n )

R2 + u

2

)

2 2

1
. Vậy S Rn là eliptic.
2
R

4R4
=

; gij 0 với mọi i ≠ j .
2 2
2
R +u

(

)

Áp dụng công thức Koszul:


∂ ∂
2g  ∇ ∂
, j
i

∂u
j ∂u
 ∂u


∂
∂
∂
gij + i g jj − j g ji
 =
j
∂u
∂u

 ∂u

∂
∂
∂
2
⇔ 2Γ=
g jj
gij + i g jj − j g ji ⇔ Γ jji
=
j
2 2
2
∂u
∂u
∂u
R +u
j
ji

Do đó:

(

Γ jji

) (R

−4u i
2

+u

)

2 3

∂Γ jji
2u i
R 2 + | u |2 −2(u i ) 2
=2
⇒
=
−
2.
R + | u |2
∂u i
( R 2 + | u |2 ) 2

Tương tự, ta có:


∂ ∂  ∂
∂
∂
=
2g  ∇ ∂
,
g +
g −

g
 i ∂u i ∂u j  ∂u i ij ∂u i ji ∂u j ii
 ∂u

∂
∂
∂
2
4u j
j
j
⇔ 2Γ
=
gij + i g ji − j gii ⇔ Γ ji 2 =
ii g jj
2
2 2
∂u j
∂u
∂u
R +u
R2 + u

(

Do đó

Γiij

∂Γiij

uj
R 2 + | u |2 −2(u j ) 2
=− 2
⇒
=2.
( R 2 + | u |2 ) 2
R + | u |2
∂u j

Mặt khác ta có:
Rijij

=

−4 R 2

(

R 2 + | u |2

)

2

,

)


'

Rijij = −

4R2
4R4
.
( R 2 + | u |2 ) 2 R 2 + | u |2

(

)

2

.

− ' Rijij
16 R 6
( R 2 + | u |2 ) 4
1
. Do đó độ cong của quả cầu mở
Ta tính được =
K ( p) =
=
.
2
2 4
8
gii .g jj ( R + | u | )
R2

16 R

S Rn là K =

1
.
R2

Như vậy, các không gian  n , BRn , S Rn là các không gian có độ cong hằng tương ứng là

1
1
và thường được gọi là các mô hình không gian có độ cong hằng.
K=
0, K =
− 2 ,K =
R
R2


CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT
Nội dung chủ yếu của phần này là trình bày các nét cơ bản về K – lý thuyết tôpô phức. Do
đó ở đây chúng tôi trình bày sơ lược về các nội dung sau:
• Đa tạp Grassman vì cần dùng nó cho việc phân loại các đẳng cấu vectơ.
• Các phân thớ vectơ phức cùng với các phép toán tổng trực tiếp và tích tensor trên các
phân thớ này (chủ yếu là thừa hưởng một cách tự nhiên từ tích trực tiếp và tích tensor
của các không gian vectơ).
• Các định nghĩa về các nhóm thứ nhất không rút gọn được K ( X ) và nhóm thứ nhất rút
~

gọn được K ( X ) của K – lý thuyết tôpô. Chúng tôi sẽ cung cấp các mô tả bình thường
và mô tả hình học của mỗi nhóm đồng thời chỉ ra rằng K ( X ) được trang bị cấu trúc
vành.
Các định nghĩa trình bày sau đây chủ yếu được tham khảo từ [8].
2.1 Phức Stiefel và đa tạp Grassman
Ta giả sử tôpô của tất cả các đa tạp được giới thiệu trong phần này thừa hưởng tôpô thông
thường của .
Định nghĩa 2.1.1. Ta định nghĩa đa tạp phức Stiefel như sau:
Wn (  k ) =
I n , n ≤ k}
{ A ∈ M k×n (  ) | A*.A =

trong đó A* là ma trận chuyển vị liên hợp của A .
Nói theo một cách khác, Wn (  k ) là tập của tất cả n hệ tọa độ (n phức của các vectơ trực
chuẩn) trong  k với n ≤ k . Xét về khía cạnh tôpô, nó là một không gian compact, như một không
gian con đóng của tích trực tiếp của n bản copy của mặt cầu S k −1 .
Định nghĩa 2.1.2. Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau:
Gn (  k ) = { không gian vec tơ con n - chiều của  k , n ≤ k

},

tức là tập tất cả các mặt phẳng n - chiều trong  k cùng qua gốc tọa độ.
Ví dụ: Ma trận G1 (  k ) là tập tất cả các đường thẳng trong  k đi qua gốc tọa độ. Để hiểu rõ hơn về
đa tạp này, ta xét phép chiếu tự nhiên sau:


ρ
→
→ Gn (  k )
Wn (  k ) 

 
 
v1 ,..., vn  v1 ,..., vn ,

(

)

(

)

cho phép ta xem Gn (  k ) như một không gian compact với tôpô thương. Một CW - cấu trúc cũng
được xác định sao cho mỗi Wn (  k ) là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể chỉ ra rằng Gn (  k )
là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k ( k − n ) .
Ta

có

 k ⊂  k +1 ⊂ ...

Dãy

này

cảm

sinh

dãy

các

đa

tạp

phức

Stiefel

Wn (  k ) ⊂ Wn (  k +1 ) ⊂ ... và dãy các đa tạp phức Grassman phức Gn (  k ) ⊂ Gn (  k +1 ) ⊂ ...

Ta đặt
Wn ( ∞ ) := lim Wn (  k ) và G n ( ∞ ) := lim Gn (  k )

→k


→k

ta thu được hai không gian với tôpô giới hạn trực tiếp.
2.2 Phạm trù Bund 
Định nghĩa 2.2.1. Một phân thớ vectơ phức là một bộ ba ξ = ( E , p, B ) trong đó E và B là các
không gian tôpô và thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)

Ánh xạ p : E → B liên tục và toàn ánh;

(ii)

Với mọi b ∈ B , không gian p −1 ( b ) có cấu trúc của một không gian vec tơ phức V;

(iii)

Điều kiện tầm thường địa phương: với mọi b ∈ B , tồn tại một lân cận mở U b của b và
một đồng phôi
ϕU : U b × V 
→ p −1 ( b )
b

thỏa mãn
p  ϕUb ( b, v ) = b, với mọi ( b, v ) ∈ U b × V .

Hơn nữa, ϕ phù hợp với cấu trúc không gian vectơ trên các thớ, tức là
→ p −1 ( b ) là một đẳng cấu của các không gian vectơ với mọi b ∈ B.
ϕU |{b}×V : {b} × V 
b

Thuật ngữ:
• Với bất kỳ phân thớ vectơ ξ = ( E , p, B ) , ta có E là không gian tổng thể, B là không gian đáy
và p là ánh xạ chiếu của phân thớ;
• Với mọi b, không gian p −1 ( b ) là thớ của phân thớ vectơ tại b ∈ B , ta sẽ ký hiệu là Eb .


Chú ý về số chiều: Cho ξ = ( E , p, B ) là một phân thớ vectơ phức. Nếu với mỗi b ∈ B , số chiều của
thớ Eb là giống nhau và bằng hằng số n ≥ 0, ta nói rằng ξ là một phân thớ vectơ phức n - chiều và
ta có thể thay không gian vectơ phức V bằng  n trong định nghĩa trên.
Chú ý 2.2.1. Ta có thể định nghĩa phân thớ vectơ thực (quatenion) n - chiều theo cách tương tự
(thay  n bằng  n hoặc H n ). Tuy nhiên, ở đây ta chỉ tập trung vào các phân thớ vectơ phức, do đó

“phức” đôi khi sẽ không được nhắc đến nếu không gây nhầm lẫn gì.
Ta có một số ví dụ về phân thớ vectơ phức n - chiều.
Ví dụ 2.2.1. Phân thớ tầm thường n - chiều trên B,
=
ε

( B ×  , p, B ) ,
n

trong đó
p : B × n → B

( b, v )  b

là phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ nhất.
Ví dụ 2.2.2. (Phân thớ tổng thể) Cho Gn (  k ) là một đa tạp phức Grassman. Ta định nghĩa
En (  k ) =

{(V , v ) ∈ G (  ) × 
k

n

k

}

| v ∈V ,

và phép chiếu

π : En (  k ) 
→
→ Gn (  k )

(V , v )

(

 V.

)

Bộ ba γ n ,k = En (  k ) , π , Gn (  k ) là một phân thớ phức chính tắc n - chiều.
Ví dụ 2.2.3. Ta định nghĩa:
En' (  k ) =

{(V , v ) ∈ G (  ) × 
k

n

k

}

| u ∈V ⊥ ,

và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên
π : En' (  k ) 
→

→ Gn (  k ) .

(

)

Bộ ba ηn ,k = En' (  k ) , π , Gn (  k ) là phân thớ phức ( k − n ) - chiều. Khi phép toán tổng trực tiếp trên
các phân thớ được xác định, ta thấy rằng hai phân thớ này có mối liên hệ với nhau, cụ thể là
ηn ,k ⊕ γ n ,k là phân thớ tầm thường k - chiều trên Gn (  k ) .

Chú ý 2.2.2. Hai ví dụ trên vẫn đúng nếu ta xét k = ∞.


Một đồng cấu phân thớ vectơ là một ánh xạ bảo toàn các thớ và là ánh xạ tuyến tính trên
mỗi thớ. Ta có định nghĩa chính xác hơn như sau:
Định nghĩa 2.2.2. Cho ξ = ( E , p, B ) và ξ ' = ( E , p, B ) là hai phân thớ vectơ. Một đồng cấu của các
phân thớ ( f , g ) : ξ 
→ ξ ' được xác định bởi hai ánh xạ: f : E 
→ E ' và g : B 
→ B ' sao cho biểu
đồ sau giao hoán,

tức là p '  f = g  p và thu hẹp
f : p −1 ( b ) 
→ p −1 ( f ( b ) )

là ánh xạ tuyến tính với mọi b ∈ B.
Chú ý 2.2.3. Trong định nghĩa trước ta có thể xét B = B ' . Khi đó các phân thớ ξ và ξ ' có
→ ξ ' thỏa tam giác giao hoán sau:
cùng đáy B và đồng cấu ( f , id B ) : ξ 

Định nghĩa 2.2.3. Hai phân thớ ξ và ξ ' trên cùng một không gian đáy B được gọi là đẳng
cấu với nhau nếu tồn tại một đồng cấu phân thớ ( f , id B ) : ξ 
→ ξ ' sao cho f : E 
→ E ' là
một đồng phôi và thu hẹp f : p −1 ( b ) 
→ p −1 ( b ) là một đẳng cấu tuyến tính trên mỗi thớ,
với mọi b ∈ B.
Ở mục này, ta có thể đề cập đến phạm trù của các phân thớ vectơ phức, mà ta ký hiệu
là Bund  . Vật của phạm trù và các xạ được định nghĩa như trong định nghĩa 2.2.1. và 2.2.2.
Luật kết hợp và phần tử đơn vị của các xạ giống với phạm trù Top và ν  .
Chú ý rằng với mỗi B ∈ Top , Bund  cho ta phạm trù con Bund  ( B ) là phạm trù của
các phân thớ vectơ trên B.
Cuối cùng số chiều được bảo toàn, tức là với mọi n ≥ 0 , các phân thớ vectơ phức n chiều cũng tạo ra một phạm trù mà ta ký hiệu là Bund  .
n


2.3 Việc xây dựng trên các phân thớ vectơ
Định nghĩa 2.3.1. Cho ξ = ( E , p, B ) là một phân thớ vectơ phức và f : Y 
→ B là một ánh
xạ liên tục. Phân thớ cảm sinh bởi f từ ξ , ký hiệu là f * (ξ ) được định nghĩa như sau:
Đặt Y ×B E 
→ E , khi đó ta muốn biểu đồ sau giao hoán:
→ Y và pE : Y ×B E 

Chú ý rằng Y ×B E :=
f * ( E ) là không gian tổng thể của f * (ξ ) , chính xác hơn là cái kéo lùi của pY
và pE .
Mệnh đề 2.3.1. ([1], Mệnh đề 1.7). Các thu hẹp của một phân thớ vectơ p : E 
→ B × I trên

B × {0} và B × {1} là đẳng cấu với nhau nếu B là không gian compact Hausdorff.

Định lý 2.3.1. ([1], Định lý 1.6). Cho một phân thớ vectơ p : E 
→ B và các ánh xạ đồng luân
f 0 , f1 : A 
→ B . Khi đó các phân thớ cảm sinh f 0* ( E ) và f1* ( E ) là đẳng cấu với nhau nếu A là

không gian Hausdorff compact.
B ) và ξ '
Định nghĩa 2.3.2. Cho ξ = ( E1 , p1 , =

( E2 , p2 , B ) ∈ Bund ( B ) . Ta định nghĩa phân thớ mới
n

như sau:
ξ ⊕ ξ ' := ( E1 ⊕ E2 , p1 ⊕ p2 , B )

trong đó
E1 ⊕=
E2 :

{( e , e ) ∈ E × E
1

2

1

2

| p1 (=
e1 ) p2 ( e2 )}

và ánh xạ chiếu:
p1 ⊕ p2 : E1 ⊕ E2 
→B

được xác định bởi

( e1 , e2 )  p1 ( e1 ) = p2 ( e2 ) .
Phép toán ξ ⊕ ξ ' được gọi là tổng Whitney của ξ và ξ ' và là tích trong phạm trù

Bund n ( B ) .
Như đã đề cập trong phần trước, tiếp theo ta có thể định nghĩa một đẳng cấu:
≅
→ε k
f : ηn ,k ⊕ γ n ,k 


( (V , x ) , (V , y ) )  (V , x + y ) ,
trong đó V ∈ Gn (  k ) , (V , x ) ∈ En (  k ) , (V , x ) ∈ En' (  k ) . Vì với mọi z ∈  k , có một sự phân tích
duy nhất z= x + y trong đó x ∈ V và y ⊥ x. Do sự phân tích này là liên tục trên V (tổng trực
tiếp của các không gian vectơ), ánh xạ f là một đẳng cấu trên Gn (  k ) .
Để kết thúc định nghĩa 2.3.2, với ξ và ξ ' như trên, ta có:
E1 ⊕ E2 ≅ E1 ×B E2 ,

do tính chất của cái kéo lùi trong biểu đồ dưới đây và định nghĩa 2.3.2, ta có biểu đồ

2.4 Các hàm tử liên tục và các phép toán trên Bund  ( B )
Tổng Whitney mà chúng ta vừa định nghĩa cho các phân thớ vectơ trên không gian

đáy B được bảo toàn từ tổng trực tiếp của các không gian vec tơ, và là phép toán tích trong
phạm trù Bund  ( B ) . Điều này cho phép ta tổng quát hóa cho các phép toán khác: mọi phép
toán liên tục trên các không gian vectơ cho phép ta xác định một phép toán tương ứng trên
các phân thớ vectơ một cách tự nhiên. Phần sau của mục này sẽ giải thích rõ hơn về khẳng
định trên.
Trong định nghĩa dưới đây, ta xét Κ là  hoặc  . Nhắc lại rằng các vật của ν K là
các không gian vectơ hữu hạn chiều trên Κ .
Định nghĩa 2.4.1. Một hàm tử F : vΚ 
→ vΚ được gọi là liên tục nếu với mọi cặp

( M , N ) ∈ ObvΚ , ánh xạ
FM , N : vΚ ( M , N ) 
→ vΚ ( F ( M ) , F ( N ) )

là liên tục với tôpô thông thường của Κ .
Tiếp theo ta tập trung xét Κ = , và mục tiêu của ta là kết hợp một hàm tử F bất kỳ
với hàm tử
=
F ' : F ' ( B ) : Bund  ( B ) 
→ Bund  ( B ) ,


sao cho nếu B = { x0 } là một không gian một điểm, ta có:
=
F'

Cho ξ
=

x0 }

{=

F.

()

( E , p, B ) ∈ Bund ( B ) . Ta định nghĩa
F ' : ObBund  ( B ) 
→ ObBund  ( B )

ξ  F ' (ξ ) = ( E ' , p ' , B ) ,

trong đó
'
=
E ' F=
(E):

 F ( E ) ∈ Set ,
b

b∈B

và

( p : E →→
'

B=
) : x ∈ F ( Eb )  b.

'

Tiếp theo ta cần cung cấp cho E ' một tôpô sao cho F ' (ξ ) trở thành một phân thớ
vectơ. Với mục đích như trên, ta cần sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.1. ([5], Bổ đề 4.4) Cho U và V là các tập con mở của B và cho
≈
≈
ϕU : EU 
→U × M và ϕV : EV 
→V × N lần lượt là các tầm thường địa phương của E trên

≈
U và V, trong đó M, N là các không gian vectơ hữu hạn chiều. Cho ϕU' : EU' 
→U × F ( M )
≈
và ϕV' : EV' 
→V × F ( N ) là các song ánh được cảm sinh bởi F trên mỗi thớ. Nếu ta cung

cấp cho EU' và EV' các tôpô được cảm sinh bởi các song ánh này thì hai tôpô phù hợp trên
EU'  EV' = EU' V và EU' V là mở trong EU' và EV' .

Tiếp theo ta có thể định nghĩa tôpô trên E ' . Cho {U i } là một phủ mở của B, và cho
≈
ϕi : EU 
→U i × M i là một tầm thường của E trên U i với mọi i ∈ I . Do tính hàm tử của F,
i

≈
các đẳng cấu ϕi cảm sinh các song ánh EU' 

→U i × F ( M i ) với mọi i ∈ I , và với cách này
i

EU' i sẽ được cung cấp một tôpô thích hợp. Thật ra, ta cần cung cấp cho E ' tôpô lớn nhất làm

cho ánh xạ bao hàm EU' 
→ E ' liên tục. Điều này là có thể vì theo bổ đề trước, với mỗi cặp
i

( i, j ) các tôpô trên

EU' i và EU' j là phù hợp trên EU' i U j nên EU' i U j là một tập con mở của EU' i

và EU' . Ta có thể chỉ ra rằng tôpô này phụ thuộc vào việc chọn phủ và việc chọn các tầm
j

thường.
Ta cần định nghĩa hàm tử F ' trên các đồng cấu phân thớ. Cho hai phân thớ
ξ = ( E , p, B ) và η = ( G, q, B ) , và một đồng cấu ϕ : ξ 
→η . F ' (ϕ ) được định nghĩa như sau:


F : MorBund  ( B ) 
→ MorBund  ( B )

(ϕ : ξ → η )  F ' (ϕ ) : F ' ( E ) → F ' ( G ) ,
với F ' (ϕ ) = ϕ ' là tuyến tính được xác định trên mỗi thớ bởi
=
ϕb' : F (ϕb ) : F ( Eb ) 
→ F ( Gb ) với mọi b ∈ B.

Áp dụng
Như đã đề cập trước đó, ta quan tâm đến việc chứng minh tính tự nhiên của các phép
toán tổng trực tiếp và tích tensor được cảm sinh từ các không gian vectơ trên các phân thớ
vectơ. Đặc biệt, điều này suy ra tính hàm tử của hai phép toán trên Bund  ( B ) .
Ta xét hai hàm tử liên tục:
S , T : vn ( B ) × vn ( B ) 
→ vn ( B )

S ( M , N=
) M ⊕ N ; T ( M , N=) M ⊗ N .

Theo các nhận xét trên, S ' được xác định bởi:
S ' : ObBund  ( B ) × ObBund  ( B ) 
→ ObBund  ( B )

(ξ ,η )  S ' (ξ ,η ) = ( H , π , B ) ,
với
=
H S ' ( E , G )(
=
B) :

,G )  E
 F (E =
b

b∈B

b

b

⊕ Gb

b∈B

và π : H 
→
→ B là ánh xạ chiếu trên B.
Chú ý rằng nếu B
=

{b} , S ' ( E , G ) ({b}=)

F ( Eb , Gb=
) Eb ⊕ Gb . Nói theo cách khác, thớ

của ξ ⊕ η trên b là tổng trực tiếp của các thớ của ξ và η trên b, sao cho điều kiện () thỏa
mãn.
Mặt khác
S ' : MorBund  ( B ) × MorBund  ( B ) 
→ MorBund  ( B )

(ϕ ,ψ )  S ' (ϕ ,ψ ) : S ' ( E , G ) → S ' ( P, Q )
được xác định trên mỗi thớ bởi:
S ' (ϕb ,ψ b ) :=ϕb +ψ b = S (ϕb ,ψ b ) .

Ta thấy rằng việc xây dựng trên được “định nghĩa tốt”: nếu f : ξ ⊕ η 
→ ς là một

ánh xạ phân thớ song tuyến tính trên mỗi thớ ∀b ∈ B , khi đó f xác định một đồng cấu phân


thớ vectơ g : ξ ⊗η 
→ ς được thành lập từ phép nhân tử hóa thông thường của các ánh xạ
song tuyến tính qua tích tenxơ (của các không gian vectơ) trên mỗi thớ.
Hơn nữa, tất của các tính chất thông thường của phép giao hoán và phân phối của ⊕
và ⊗ trong ν  mở rộng cho Bund  ( B ) .
Mệnh đề 2.4.1. Cho F , G : vK 
→ vK là hai hàm tử liên tục, và cho τ : F ⇒ G là phép biến
đổi tự nhiên, tức là,
τ : ObvK 
→ MorvK
M  τ ( M ) : F ( M ) → G ( M ).

τ cảm sinh một phép biến đổi tự nhiên τ ' : F ' ⇒ G ' :
→ MorBund K ( B )
τ ' : ObBund K ( B ) 
→ G ' (ξ ) .
ξ  τ ' (ξ ) : F ' (ξ ) 

Đặc biệt, nếu τ ( M ) : F ( M ) 
→ G ( M ) là một đẳng cấu với mọi M ∈ vK thì τ ' (ξ ) cũng là
một đẳng cấu với mọi ξ ∈ Bund K ( B ) .
Tiếp theo ta chứng minh tích tenxơ có tính kết hợp trong Bund  ( B ) . Xét
F , G : v × v × v 
→ v

F (M , N, K ) = (M ⊗ N ) ⊗ K
G (M , N, K ) = M ⊗( N ⊗ K ) .

Cả hai ánh xạ trên đều liên tục. Xét phép biến đổi tự nhiên giữa F và G được cho bởi
τ ( M , N , K ) : ( M ⊗ N ) ⊗ K 
→M ⊗(N ⊗ K )

(m ⊗ n) ⊗ k  m ⊗ (n ⊗ k ) .
Ta thấy τ được định nghĩa tốt, tuyến tính và có ánh xạ ngược. Vì vậy nó là một đẳng cấu
tuyến tính của các không gian vectơ.
Các hàm tử cảm sinh
F ' , G ' : Bund K ( B ) × Bund K ( B ) × Bund K ( B ) 
→ Bund K ( B )

được cho bởi
F ' (ξ ,η , ζ ) = (ξ ⊗η ) ⊗ ζ
G ' (ξ ,η , ζ ) =ξ ⊗ (η ⊗ ζ ) ,

và phép biến đổi tự nhiên được cảm sinh bởi