không gian các dãy và ma trận kothe

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Sáu

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Sáu

Chuyên ngành
Mã số

: Toán Giải Tích
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS . TS . LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................ 3

BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG ................................... 4
MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . 5
1.1. Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski [3] ....................... 5
1.2. Không gian vectơ ...................................................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương .......................................8
1.2.2. Định nghĩa không gian metric tuyến tính ................................................9
1.2.3. Sự bổ sung đầy đủ của không gian metric ...............................................9

1.3. Không gian vectơ tôpô ............................................................................. 9
1.4. Không gian lồi địa phương .................................................................... 12
1.5. Đối ngẫu của các không gian định chuẩn, không gian

Banach ...... 14

1.6. Đối ngẫu của không gian tôpô............................................................... 15

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC DÃY ................................... 16
2.1. Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5] ..................................................................... 16
p
2.2. Không gian λ ( A) (1 ≤ p ≤ ∞) , c0 ( A) ......................................................... 26

CHƯƠNG 3: VÀI LỚP KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG
ĐẶC BIỆT ...................................................................................... 46
3.1. Các kiến thức cơ bản của chương.[ 2 ] ................................................. 46
3.2. Không gian Schwartz ............................................................................. 54
3.3. Không gian Montel ................................................................................. 56
3.4. Không gian Frechet ................................................................................ 58

CHƯƠNG 4: MA TRẬN KOTHE............................................... 64

4.1. Ma trận Kothe ........................................................................................ 64
4.2. Cơ sở Schauder ....................................................................................... 86

KẾT LUẬN .................................................................................... 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 89


BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG
K

Tập các số thực  hoặc phức  .



Tập các số tự nhiên.

*

=  \{0} .

E'

Không gian đối ngẫu của không gian E .

E"

Không gian đối ngẫu thứ hai của không gian E .

l p , ( p > 0)

∞

= ( xi )i , xi ∈ K : ∑ xi
i =1


p


< ∞  - Không gian các dãy có


tổng lũy thừa p hữu hạn.
l∞

Không gian các dãy bị chặn.

c0

Không gian các dãy hội tụ về 0.

A = ( a j ,k )

λ p ( A)

( j , k )∈ 2

Ma trận Kothe.



= =
x



 ∞
( x j ) j ∈ K  : x k=:  ∑ x j a j ,k
 j =1

p

1

p

 < ∞, ∀k ∈   



Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma
trận Kothe A tạo thành một dãy thuộc l p .
λ ∞ ( A)

Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma trận
Kothe A tạo thành một dãy thuộc l∞ .

c0 ( A )

Không gian các dãy nhân với mỗi cột của ma
trận Kothe A tạo thành một dãy thuộc c0 .

⋅

p

.k

Chuẩn trên không gian l p .
Nửa chuẩn của không gian λ p ( A) .


Nk

Tập hợp các chỉ số dòng mà có phần tử trên cột
k (của ma trận A ) khác 0.

N bp



−1
 x ∈ K : ( x j b j ) j∈


span( B) , Span B , < B >

Bao tuyến tính của tập B .

.B

Hàm cỡ - Phiếm hàm Minkowski của tập B .

EB

Không gian định chuẩn sinh bởi B ( < B >, . B )

lp


≤ 1 , b ∈ l∞ .


với B ⊂ E - lồi địa phương.
jB

Ánh xạ nhúng từ EB → E , E - lồi địa phương.

Im ( f )

Ảnh của ánh xạ f .

Ker ( f )

Nhân của ánh xạ f .

Ek ; l p ( N k , ak )

Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn
∧



, .k .
.k-  E
.
Ker
k


Ep

Không gian Banach địa phương theo nửa chuẩn

(

p- E

).
∧

Ker ( p )

,.

p

jn

Ánh xạ nhúng từ En → E .

ιk

Ánh xạ chính tắc theo nửa chuẩn . k từ không gian
vectơ E vào Ek .

Π n∈ En

Tích trực tiếp của các không gian En .

⊕i∈I Ei

Tổng trực tiếp của các không gian Ei .

dim E

Số chiều của không gian E .

L ( E, F )

Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào
F.


ιmk : Em → Ek

Ánh xạ tuyến tính liên tục từ Em vào Ek .

M0

Pôla của tập M .

λ '; λ×




p
( y j ) j∈ ∈ K : ∑ x j y j < ∞, ∀ ( x j ) j∈ ∈ λ =λ ( A )  .
j∈



Uk

=

{x ∈ λ :

U k0

=

{ y ∈ λ : y ( x ) ≤ 1, ∀x ∈U } - pôla của U

λU'

Tập U k0 của λ ' .

0
k

. b , b ∈ λ ∞ ( A) ; . k

'

k

k

.

Hàm cỡ của U k0 .

*

y b , b ∈ λ ∞ ( A) ; y

x k ≤ 1} , ∀k ∈  .

*
k

1
q


q 
p 
p
=  ∑ y jbj =

< ∞, q :
  λ λ ( A ) ,1 < p=
.
p −1 
 j∈
 

ΓA

Bao tuyệt đối lồi của tập A .

( jn : En → E )n∈

Hệ qua nạp.

ind n→ En

Giới hạn quy nạp của hệ quy nạp ( jn : En → E )n∈ .



Kết thúc chứng minh .


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong giải tích nói chung và giải tích hàm nói riêng, không gian
Vectơ tôpô và vài lớp không gian lồi địa phương đặc biệt là những kiến

thức mà tôi đã được học và tìm hiểu. Tuy vậy, Ma trận Kothe và không
gian λ p ( A) , c0 ( A) là kiến thức liên quan đến mảng trên mà tôi chưa có
dịp tìm hiểu, mặt khác nó là kiến thức tôi thích và quan tâm.
Chúng tôi chọn đề tài này để tìm hiểu sâu về “Không gian các dãy và
ma trận Kothe”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu mối liên hệ giữa ma trận Kothe và không gian các dãy.
3. Đối tượng nghiên cứu:
“Không gian các dãy và ma trận Kothe”.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Giải tích hàm.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu:
Luận văn sẽ là một tài liệu để hiểu sâu thêm về ma trận Kothe và mối
liên hệ với các không gian hàm.
6. Cấu trúc luận văn:
Kết cấu của luận văn bao gồm phần mở đầu và bốn chương.
Chương 1. Các định nghĩa và khái niệm cơ bản.
Chương 2. Không gian các dãy.
Chương 3. Một vài không gian lồi địa phương đặc biệt.
Chương 4. Ma trận Kothe.
Kết thúc luận văn là một vài kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Sau đây là phần giới thiệu cho từng chương.


2

Chương 1: Chúng tôi đưa ra các định nghĩa, các định lý cần thiết
cho các chương sau.
Chương 2: Mở đầu chương 2 chúng tôi nêu một số tính chất của
không gian l p . Sau đó, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất,

định lý liên quan đến không gian các dãy tựa như không gian l p đó là
các không gian λ p ( A) , c0 ( A) . Nó bao gồm không gian các dãy ( xi )i có
∞

∑x
i =1

i

p

< ∞ , tức là không gian l p , mặt khác nó còn là không gian các dãy

( xi )i mà khi nhân với mỗi cột của ma trận đặc biệt - ma trận Kothe
A = ( ai , j )

i , j∈

thì ta lại được một dãy ( xi ai , j )i∈ , j = 1, 2,.. thuộc l p .

Từ 2.2.4 đến 2.2.7 chúng tôi chứng minh λ p ( A) , c0 ( A) là không
gian vectơ; không gian khả metric đầy đủ và là không gian lồi địa
phương. Từ đó dẫn tới định lý 2.2.8: khẳng định rằng λ p ( A) , c0 ( A) là
không gian Frechet.
Định lý 2.2.11 khẳng định λ p ( A)(1 < p < ∞ ) là không gian phản
xạ và là không gian thùng.
Mục 2.2.14.1 là các chứng minh của định lý 2.2.14.2. Định lý
này cho ta biết không gian đối ngẫu của không gian λ p ( A)(1 ≤ p < ∞ ) .
Định lý 2.2.15.2 xác định hàm cỡ của một tập trong λ p ( A)  .
'

Kết thúc chương 2 là định lý cho ta biết c0 ( A ) = λ ∞ ( A ) .
"

Chương 3: Giới thiệu một số không gian lồi địa phương đặc biệt,
đó là: Không gian Schwartz, Không gian Montel, Không gian Frechet.
Mối quan hệ giữa không gian Schwartz và không gian Montel.


3

Chương 4: Trình bày định nghĩa ma trận Kothe, mối quan hệ
giữa ma trận Kothe với các không gian lồi địa phương đặc biệt đã nêu ở
chương 3.
Mở đầu chương 4 là định nghĩa ma trận Kothe, kế sau đó là bổ
đề 4.1.1. Bổ đề này dùng để chuẩn bị cho chứng minh trong định lý
trọng tâm của chương là định lý Dieudonne- Gomes. Định lý này nói về
điều kiện của ma trận Kothe để λ p ( A) là không gian Montel. Tiếp theo
đó là định lý 4.1.3 nói về điều kiện của ma trận Kothe để λ p ( A) là
không gian Schwartz.
Phần cuối của chương chúng tôi trình bày định nghĩa cơ sở
Schauder và mối liên hệ giữa cơ sở này với không gian λ 1 ( A) .
Trong luận văn, kí hiệu  được dùng để kết thúc chứng minh.
Về mặt hình thức chúng tôi đánh số các bổ đề, định lý, hệ quả, định
nghĩa, chú ý, nhận xét bằng thứ tự của chương, mục và tiểu mục mà
chúng có mặt ( ví dụ: Định lý 4.1.6.5 có nghĩa là Định lý này nằm ở
chương 4, mục 1, nhóm tiểm mục 6, tiểu mục 5 ). Sau các mục, tiểu
mục, hoặc định lý, bổ đề, kí hiệu [n]: chẳng hạn: “2.1. Không gian
l p (0 < p ≤ ∞) [5] “ nghĩa là mục 2.1 được tham khảo trong tài liệu số [5].

Nếu không chú thích gì thêm thì nội dung luận văn được viết chủ yếu
dựa theo tài liệu tham khảo số [6] và một phần dựa vào các tài liệu
tham khảo còn lại.
Trong khi trình bày, những vấn đề nào được trích dẫn sẽ nêu kết
qủa và có thể có chứng minh. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới các tác giả có tài liệu mà chúng tôi trích dẫn trong luận văn.


4

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu
đáo của: PGS. TS. Đậu Thế Cấp, PGS. TS. Lê Hoàn Hóa. Tác giả xin
bày tỏ sự kính trọng sâu sắc và lòng biết ơn chân thành đến các quý
Thầy.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy cô phản biện đã
đọc kĩ luận văn và giúp tác giả nhiều ý kiến quý báu.
Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô ở Khoa toán
Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy
chúng tôi trong nhiều năm học cao học, và chân thành cảm ơn các Thầy
cô Phòng Sau Đại Học, Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã
động viên giúp đỡ, tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt qúa trình
học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè –
những người đã luôn ở bên quan tâm và động viên tác giả trong suốt
quá trình học và làm luận văn. Sự giúp đỡ của họ đã góp phần không
nhỏ vào việc hoàn thành luận văn này.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2011

Đặng Thị Sáu

5

CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski [3]
1
p

1
q

Với p, q ∈ , p > 1, q > 1: + = 1, n ∈  , xi , yi ( i = 1, 2,..., n ) có thể thực hoặc
phức, ta chứng minh :
1

1

n
 n
p p 
q q
a. ∑ xi yi ≤  ∑ xi  .  ∑ yi  (Bất đẳng thức Holder);
=i 1 =
i1=
 i1

n

1

1

1

 n
 n
 n
p p
p p
p p
b.  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  (Bất đẳng thức Minkowski),
=
=
i1

 i 1=
 i1


và mở rộng cho trường hợp tổng vô hạn.
Chứng minh
a) Xét hàm số ϕ ( t ) =

tp 1
t ) t p −1 − 1 và
+ − t , t ≥ 0 . Ta có: ϕ ' (=
p p

tại t 1,=

ϕ (1) 0 . Suy ra : ϕ ( t ) ≥ 0 với
ϕ ' ( t ) = 0 ⇔ t = 1 . Hàm ϕ đạt cực tiểu =
t ≥ 0 . Hay t <

tp 1
u p vq
(*).
=
t u.v −1/( p −1) , u ≥ 0, v ≥ 0 , ta có : u.v ≤
+ , ∀t ≥ 0 . Thay
+
p p
p
q

Đặt
1

1

 n
 n
p p
q q
,
x p =
x
y
y
=

∑
∑
i
i


 .
q
=
 i 1=

i1


Giả sử
x

p

> 0, y

q

xi . yi
x p y

Lấy tổng ta có:

xi
,v

=
x p

=
u
> 0 với

≤
q

xi
p x

p
p
p

+

yi
q y

yi
, i 1, 2,...n , ta có :
=
y p
q
q
q

,i =
1, 2,..., n.


6

n

n

∑

xi . yi

x

y

=i 1

p

≤

∑
i −1

+

p

p x

q

n

p

xi

∑y
=i 1

q y

p

q

i

=
1 .(1)

q
q

Suy ra :
1

n

∑
i= 1

1

n
 n
p p 
q q
xi . yi ≤  ∑ xi   ∑ yi  =
x p y q.
 i −1
  i= 1


Bất đẳng thức Holder trường hợp chuỗi
Nếu=
x ( xi )i ∈ l p và=
y ( yi )i ∈ lq thì
đặt
1

1

 ∞
 ∞
p p

q q
x p =
xi  , y q  ∑ yi  .
=
∑
=
 i 1=

i1


xi
,v
=
x p

Giả sử x p > 0, y q > 0 với
=
u
xi . yi
x p y

xi

≤

yi
, i 1, 2,... , khi đó (*) trở thành:
=
y p

p

p x

q

p

+

q

yi

q

q y

p

,i =
1, 2,...

q

Với mọi n ∈  , do (1) ta có:
n

n

∑ x .y
i

i=1

x

p

i

y

≤

∑x

i

i −1

p x

q

n

p

p

+

∑y

i

i=1

q y

p

∞

q

q

≤

∑x

i

i −1

p

p x

q

∞

p

p

+

∑y
i=1

q y

q

i
q

=
1

q

∞

Do chuỗi số thực không âm có dãy tổng riêng phần bị chặn nên

∑ x .y
i

i =1

x

p

i

y

tụ và
∞

∑
x

y

=i 1

∞

∑
i= 1

∞

xi . yi
p

q

≤

∑
i −1

xi

p x
1

∞

p

p
p

+

∑y
=i 1

q y

q

i
q

=
1.

q
1

∞
 ∞
p p 
q q
xi . yi ≤  ∑ xi   ∑ yi  =
x p yq
 i −1
  i= 1


q

hội


7

b. Ta có
n

∑

n

∑

xi + yi =
p

=i 1 =i 1

xi + yi

p −1

n

xi + yi ≤ ∑ xi + yi

=i 1

p −1

n

. xi + ∑ xi + yi

=i 1

p −1

. yi

Áp dụng bất đẳng thức Holder cho mỗi số hạng:
1

1

n
 n
p p
( p −1) q  q 
.
.
x
y
x
x
y
x
+
≤
+
∑ i i
i
i
∑ i
 ∑ i 
=i 1 =
 i 1=

 i1

n

p −1

1

n

∑

=i 1

1

n
 n
p q 
p p
xi + yi . xi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  ( do ( p − 1) q =
p )
=
 i 1=
 i1

p −1


. y ≤ ∑ x + y



n





n

1
q


p
.  ∑ yi 


n

p −1
( p −1) q
i
i
i
i
i
=i 1 =i 1 =i 1

∑x +y

1

n

∑

=i 1

1
p

1

n
 n
p q 
p p
xi + yi . yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ yi  ( do ( p − 1) q =
p )
=
 i 1=
 i1

p −1

1

1

1

1

n
n
 n
 n
p q 
p p
p q 
p p
Suy ra : ∑ xi + yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  +  ∑ xi + yi  .  ∑ yi 
1
i 1
=i =
 i 1=
 =
  i 1=
 i1

n

p

n

∑

=i 1

1
1
1
 n

n
 n


p q
p p
p p

xi + yi ≤  ∑ xi + yi  .  ∑ xi  +  ∑ yi  
=
=
i 1
  i 1 =
 i1
 


p

1

Giả sử

n

∑x +y
i =1

i

i

p

1 1
 n
p q
> 0. Chia cả hai vế cho  ∑ xi + yi  và do 1 − = , ta
q p
 i =1


được:
1
p

1
p

1
p





p
p
p
 ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  (2)
=
=
i1

 i 1=
 i1

n

n

n

Hay x + y p ≤ x p + y p .
Bất đẳng thức Minkowski trường hợp chuỗi
Cho ( xi )i , ( yi )i là hai dãy số có thể thực hoặc phức thỏa mãn:
∞

∑x

p

∞

< ∞, ∑ yi

i
=i 1 =i 1

p

< ∞, p > 1 .


8

Ta chứng minh:
1

1

1

 ∞
 ∞
 ∞
p p
p p
p p
x
y
x
+
≤
+

i
∑ i

 ∑ i   ∑ yi  .
=
=
i1

 i 1=
 i1


Với mọi n ∈  , do (2) ta có
1

1

1

1

1

 n
 n
 n
 ∞
 ∞
p p
p p

p p
p p
p p
x
y
x
y
x
+
≤
+
≤
+
i
∑ i

∑ i  ∑ i 
 ∑ i   ∑ yi  .
=
=
i1

 i 1=
  i 1=

 i 1=
 i1


Do chuỗi số thực không âm có dãy tổng riêng phần bị chặn nên

∞

∑x +y
i =1

i

p

i

hội

tụ và
1
p

1
p

1
p




p
p
p

 ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  , p > 1 .
=
=
i1

 i 1=
 i1

∞

∞

∞

1.2. Không gian vectơ
1.2.1. Định nghĩa: Không gian Bannach địa phương

Cho E là không gian vectơ và p là nửa chuẩn trên E . Dễ thấy
0} là không gian vectơ con của E và
Kerp :=
Np =
{x ∈ E : p ( x ) =
x + Np

p

:=
p ( x) là một chuẩn trên E

Np

, khi đó  E N , . p  là không
p


∧

gian định chuẩn chưa đầy đủ. Kí hiệu E p :=  E N , . p  là không gian
p


Bannach bổ sung đầy đủ của không gian  E N , . p  . Ta gọi E p là
p


không gian Bannach địa phương theo nửa chuẩn p . Kí hiệu
ι p : E → E p , x  x + N p là ánh xạ chính tắc. Ta có ι p ( x=
) p p ( x ) , ∀x ∈ E .


9

1.2.2. Định nghĩa không gian metric tuyến tính

Một không gian vectơ cùng với một metric có phép cộng liên tục
đều và phép nhân vô hướng liên tục gọi là một không gian metric tuyến
tính.
1.2.3. Sự bổ sung đầy đủ của không gian metric

Cho trước một không gian metric X bất kì, bao giờ cũng tồn tại

một không gian metric X ' đầy đủ thỏa mãn hai điều kiện sau:
a. X đẳng cự với một bộ phận của X '
b. X trù mật trong X ' ( X = X ' )
1.3. Không gian vectơ tôpô
1.3.1. Định nghĩa
Cho X là một tập, họ τ các tập con của X gọi là tôpô trên
X nếu họ τ có tính chất:
a) ∅ ∈τ ; X ∈τ ;
b) U i ∈τ , i ∈ I thì

U

i

∈τ ;

i∈I

c) U ,V ∈τ thì U ∩ V ∈τ .
Tập X cùng với tôpô τ được gọi là không gian tôpô X = (X, τ )
1.3.2. Định nghĩa
Cho X là một không gian tôpô. Tập con U của X được gọi
là một lân cận của điểm a ∈ X nếu tồn tại tập mở G sao cho a ∈
G ⊂ U.
Họ U các lân cận của điểm a được gọi là một cơ sở lân
cận của a nếu mọi lân cận U của a đều tồn tại V ∈ U sao cho V
⊂ U.
1.3.3. Định nghĩa

10

Cho E là không gian vectơ trên trường K. Một tôpô trên E gọi là
tương thích nếu phép cộng : + : E × E  E , (x, y)  x+ y là liên tục
và phép nhân vô hướng : K × E  E , (λ, x)  λx là liên tục.
Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích
trên nó là một không gian vectơ tôpô.
1.3.4. Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff nếu mọi cặp
điểm khác nhau x, y ∈ X, tồn tại hai lân cận không giao nhau U,
V của x , y. ( Nói cách khác hai điểm khác nhau bao giờ cũng có
thể tách được bởi hai lân cận rời nhau. Vì vậy không gian
Hausdorff còn được gọi là không gian tách và tôpô của nó được
gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff )
1.3.5. Định nghĩa
Cho tập con A của không gian vectơ E. Khi đó,
a) A được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y thuộc A ta
có λx + (1- λ)y thuộc A với mọi λ thuộc [0; 1].
b) A được gọi là tập cân nếu với mọi x thuộc A thì
λx thuộc A với mọi λ thuộc [-1; 1].
c) A được gọi là tập tuyệt đối lồi nếu A vừa là tập
lồi vừa là tập cân.
n
 n

d) ΓA ∑ λ j x j : λ j ∈ K , x j ∈ A,1 ≤ j ≤ n, ∑ λ j ≤ 1, n ∈  
=
=
 j 1 =j 1


e) A được gọi là tập hút nếu E =

 n A.

n∈

1.3.6. Định nghĩa Hàm cỡ
Cho không gian vectơ E trên trường K và một tập con tuyệt đối
lồi A của E , định nghĩa phiếm hàm Minkowski hay hàm cỡ,


11

. A : E →  ∪ {∞} bởi x A= inf {λ > 0 : x ∈ λ A} , với inf ∅ :=∞ và
=
λA:

{λ a : a ∈ A} .
1.3.7. Bổ đề
Nếu A là tập tuyệt đối lồi của K không gian vectơ E , và bao

tuyến tính của A (Span( A ) := < A > - Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến
tính hữu hạn của A - Không gian con sinh bởi A .) bằng E thì  A là một
nửa chuẩn trên E .
1.3.8. Định nghĩa EB và jB
Cho E là không gian lồi địa phương, kí hiệu B ( E ) là tập tất cả
các tập con tuyệt đối lồi và bị chặn của E . Nếu B thuộc B ( E ) thì . B
là một chuẩn trên < B >. Định nghĩa EB := (< B >, . B ). Vì B bị chặn
trong E nên ánh xạ nhúng jB : EB  E là liên tục.

1.3.9. Định nghĩa không gian khả metric
Không gian vectơ tôpô E gọi là khả metric nếu có metric
sinh ra tôpô của E.
Không gian vectơ tôpô E gọi là khả metric đầy đủ nếu có metric
sinh ra tôpô của E và với metric đó E là đầy đủ.
1.3.10. Định lý
1.3.10.1. Cho E là không gian vectơ tôpô đồng thời
Hausdorff. E là khả metric nếu và chỉ nếu E có một cơ sở
lân cận đếm được của 0.
1.3.10.2. Không gian vectơ E có một họ đếm được các
nửa chuẩn { pn }n∈I và tách (nghĩa là mọi phần tử x khác không
trong E, tồn tại một nửa chuẩn pn trong họ nửa chuẩn đã cho, sao
cho pn ( x ) > 0). Khi đó E là không gian vectơ tôpô lồi địa
phương khả metric với metric d cảm sinh ra tôpô trên E là :


12

d ( x, y ) = max n∈

cn pn ( x − y )
với ( cn )n là dãy số dương hội tụ về 0.
1 + pn ( x − y )

1.3.11. Lưu ý:
Khi khảo sát về không gian vectơ tôpô, thường ta xét không gian
đó là Hausdorff , nên ta thống nhất khi nhắc đến không gian vectơ tôpô,
nghĩa là không gian vectơ tôpô đó thỏa Hausdorff.
1.3.12. Định nghĩa
Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy

trong E đều hội tụ.
1.4. Không gian lồi địa phương
1.4.1. Định nghĩa
Không gian vectơ tôpô (Hausdorff) E được gọi là không
gian lồi địa phương nếu mỗi x thuộc E có cơ sở lân cận (của 0)
gồm các tập lồi.
Một tôpô τ làm cho không gian E thành không gian lồi
địa phương được gọi là tôpô lồi địa phương (trên E).
1.4.2. Nhận xét
Không gian lồi địa phương E khả metric nếu và chỉ nếu có
một cơ sở lân cận đếm được, tuyệt đối lồi của 0.
1.4.3. Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương
Giả sử {Ρα }α∈Ι là một họ các nửa chuẩn trên không gian
vectơ E. Kí hiệu ε ( Ι ) là họ các tập con hữu hạn khác rỗng của I.
Với mọi M thuộc ε ( Ι ) , đặt Ρ M ( x=) maxα∈M Ρα ( x ) . Họ các tập có
dạng
U M ,ε ( a ) = { x ∈ E : Ρ M ( x − a ) < ε }


13

=

 { x ∈ E : Ρα ( x − a ) < ε }

α ∈M

=

 Uα ε ( a ), ∀M ∈ ε ( Ι ) , ε > 0, a ∈ E

α ∈M

,

là cơ sở một tôpô trên E. Với tôpô này, E là không gian vectơ tôpô có
một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không Hausdorff. Tôpô này là
tôpô tương thích yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι liên
tục, gọi là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι .
Nếu họ nửa chuẩn trên có thêm tính chất với mọi x thuộc E, x
khác 0 tồn tại α ∈ Ι : Pα ( x ) > 0 ( hay ta gọi họ nửa chuẩn {Ρα }α∈Ι có tính
chất tách) thì tôpô xác định theo cách trên là tôpô lồi địa phương được
gọi là tôpô lồi địa phương sinh bởi họ nửa chuẩn đã cho.
Nhận xét: Mọi không gian định chuẩn đều là không gian
lồi địa phương.
1.4.4. Định nghĩa hệ cơ bản các lân cận của 0 của không gian
lồi địa phương.
Cho E lồi địa phương. Họ U các lân cận của 0 trong E được gọi
là hệ cơ bản các lân cận của 0, nếu mỗi lân cận U của 0 tồn tại lân cận
V thuộc U và ε > 0 sao cho εV ⊂ U.
1.4.5. Định nghĩa hệ cơ bản các nửa chuẩn
Họ ( . α )α∈A các nửa chuẩn liên tục trên không gian lồi địa
phương E được gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn, nếu các tập
Uα =

{x ∈ E :

x

α

< 1} , ∀α ∈ A là hệ cơ bản các lân cận của 0.

1.4.6. Định nghĩa tập bị chặn trong không gian lồi địa
phương
Tập con B của không gian lồi địa phương E được gọi là tập bị
chặn nếu với mỗi lân cận U của 0 tồn tại ε > 0 : ε B ⊂ U .


14

1.4.7. Định nghĩa hệ cơ bản các tập bị chặn
Một hệ B các tập bị chặn của E- lồi địa phương được gọi là hệ
cơ bản các tập bị chặn nếu với mỗi tập bị chặn A của E tồn tại một B
thuộc B và λ > 0 : A ⊂ λ B
1.4.8. Định lý
E là không gian lồi địa phương có ( . α )α∈A là hệ cơ bản các nửa
chuẩn. B con E là bị chặn nếu và chỉ nếu sup x∈B x α ≤ ∞, ∀α ∈ A .

1.5. Đối ngẫu của các không gian định chuẩn, không gian
Banach
1.5.1. Không gian đối ngẫu
Cho X là một không gian định chuẩn trên trường K . Không gian
liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , ký hiệu
X ' := L ( X , K ) là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên X .
Với định nghĩa trên, ta có thể kiểm chứng được rằng X ' là
một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra,
với mỗi phần tử f thuộc X ' , đặt f = sup x∈X , x =

f ( x ) thì X ' trở
1
thành một không gian định chuẩn. Hơn nữa X ' còn là không gian
Banach.
Vì X ' là một không gian định chuẩn nên đến lượt nó cũng
có không gian liên hiệp, ký hiệu X " = ( X ' ) và ta còn gọi X " là
'

không gian đối ngẫu (hay không gian liên hợp) thứ hai của X .
Về mặt không gian định chuẩn, mối liên hệ giữa X và X '
không rõ ràng lắm, trừ trường hợp X có số chiều hữu hạn. Tuy
nhiên, mối liên hệ giữa X và X " chặt chẽ hơn: X được xem


15

như là một không gian định chuẩn con của X " . Vì vậy mỗi phần
tử x của X , ngoài bản chất là một vectơ thông thường, nó còn là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian "lớn
hơn" là X ' , theo công thức x ∈ X ⇒ x ∈ X " :
x (=
f)

f ( x ) , ∀f ∈ X ' .

Nếu X = X " thì không gian định chuẩn X

được gọi là không gian phản xạ.
Bằng cách tương tự, ta có thể định nghĩa không gian đối
ngẫu thứ ba, thứ tư,... thứ n của một không gian định chuẩn.

1.5.2. Định lý : Ánh xạ chính tắc ϕ : X  X " tuyến tính
đẳng cự. Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự từ X vào X " .
1.5.3. Không gian phản xạ: Không gian định chuẩn X
được gọi là phản xạ nếu X = X " hay nói khác đi X " ⊂ X .
1.6. Đối ngẫu của không gian tôpô.
Cho E là không gian vectơ tôpô trên trường K . Kí hiệu E ' := L ( E , K ) Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K , E * :=  ( E , K ) Không gian các phiếm hàm tuyến tính từ E vào K . Khi đó E ' , E * là không
gian vectơ trên K với các phép toán ( f1 + f 2 )( x ) =f1 ( x ) + f 2 ( x ) , (α f1 )( x ) =α f1 ( x )
và E ' được gọi là không gian đối ngẫu của E , E * được gọi là không gian đối
ngẫu đại số của E .


16

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC DÃY
2.1. Không gian l p (0 < p ≤ ∞) [5]
Bổ đề
∞

l p ( xi )i , xi ∈ K : ∑ xi
=
i =1


p


< ∞ , p > 0 .


l p (0 < p ≤ ∞) là không gian vectơ trên trường K .

Thật vậy:
Với p > 0 , ta xét tập l p gồm các dãy số x = ( xi )i thỏa

∞

∑x
i =1

i

p

<∞.

Nếu x ∈ l p thì với mọi số λ ta =
có: λ x ( λ xi )i∈ ∈ l p .
*

Lấy x, y ∈ l=
, y ( yi )i∈ . Với i = 1, 2,... , ta có:
( xi )i∈=
p, x
*

*

xi + yi ≤ xi + yi ≤ 2 max { xi , yi }
⇒ xi + yi

p

≤ 2 p  max { xi , yi }

(

≤ 2 p xi + yi
∞

⇒ ∑ xi + yi

=i 1

p

p

p

p

).

∞
 ∞
p
p 
≤ 2 p  ∑ xi + ∑ yi  < ∞ .
=
 i 1 =i 1



Với phép cộng và phép nhân như trên l p (0 < p ≤ ∞) là không gian vectơ.
2.1.1. Không gian l p (1 ≤ p < ∞)
2.1.1.1 Định nghĩa
l p (1 ≤ p < ∞) là không gian tất cả các dãy x = ( xn )n∈* các

phần tử trong K sao cho

∞

∑x
n =1

2.1.1.2. Định lý

n

p

< ∞.


17

l p (1 ≤ p < ∞) là không gian định chuẩn với chuẩn
1

 ∞
p p

x p :  ∑ xn  < ∞ .
=
 n =1


Chứng minh
Ta dễ dàng kiểm tra x p là một chuẩn.
2.1.1.3. Định lý
l p (1 ≤ p < ∞) là không gian Banach với chuẩn
1

 ∞
p p
x p :  ∑ xn  < ∞ .[ 3 ]
=
 n =1


Chứng minh
Cho ( x k )k là dãy cơ bản trong l p , x k = ( xnk )n . Với mỗi n ∈  ,
do : xnk − xnk +i ≤ x k − x k +i p , ∀i, k ∈  . Nên với n ∈  cố định, dãy

(x )

k
n k∈

là dãy cơ bản trong  , vậy chúng hội tụ. Đặt

=

xn lim xnk , n ∈  và x = ( xn )n . Ta chứng minh x ∈ l p và
k →∞

lim x − x k
k →∞

xk

p

p

=
0 . Do ( x k ) là dãy cơ bản nên tồn tại M > 0 sao cho
k

≤ M , k ∈  . Với n ∈  cố định, do bất đẳng thức Minkowski:
1

1

1

1

p
pp
 n
 n k pp
 n

 n
p p
k
k
k p
x
x
x
x
x
x
≤
−
+
=
−
+
(
)
i
∑ i 
∑ i i 
 ∑ xi 
∑ i i

=
=
 i 1=

i 1


 i 1=

i 1

1

pp
 n
≤  ∑ xi − xik  + M
 i =1


1

n
pp

k
 do
xi  ≤ x k
  ∑
i =1



p


≤M




=
=
xik , i 1, 2,..., n , nên tồn tại k0 ∈  sao cho
Do xi lim
k →∞


18

n

∑
i =1

xi − xik0

p

< 1 . Suy ra

n

∑x
i =1

∞

i

p

< (1 + M ) , n ∈  .
p

Do chuỗi không âm ∑ xi có tổng riêng phần bị chặn nên
p

i =1

hội tụ, nghĩa là x ∈ l p .
Ta chứng minh lim x k = x trong ( l p . p ) . Với ε > 0 cho
trước, do ( x k )k là dãy cơ bản nên tồn tại k0 ∈  sao cho với k ≥ k0
và j ∈  thì x k + j − x k

p

<

ε
3

. Với n ∈  cố định và k ≥ k0 , ta có: ( từ

bất đẳng thức Minkowski)
1

1

1

p
p
p
 n
 n
 n k+ j
k p
k+ j p 
k p
x
x
x
x
−
≤
−
+
∑ i i 
∑ i i
  ∑ xi − xi 
=
 i 1=

i1 =
 i1

1

p p
 n
≤  ∑ xi − xik + j  + x k + j − x k
 i =1


p

, ∀j ∈ 

1

p p
ε
 n
≤  ∑ xi − xik + j  + , ∀j ∈ 
3
 i =1

+j
Do lim xik=
x=
1, 2,3,.., n, nên tồn tại j0 ∈  sao cho
i,i
j →∞
1

p
ε

 n
k + j0 p 
x
x
−
∑
i
i

 <3
 i =1


suy ra với k ≥ k0 thì
1

p
2ε
 n
k p
 ∑ xi − xi  < 3 , ∀n ∈  .
 i =1


Cho n → ∞ , ta có:
1

p p
2ε
 ∞

x − x k =  ∑ xi − xik  <
<ε .
p
3
 i =1



19

Vậy x = lim x k trong ( l p . p ) và như vậy ( l p . p ) là không
gian Banach
2.1.1.4. Đối ngẫu của l p (1 < p < ∞)
Định lý [ 4 ]
Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x* trên không gian
l p (1 < p < ∞) , tồn tại một phần tử duy nhất y=

( an ) ∈ lq ,

1 1
+ = 1,
p q

sao cho
∞

∑ a ξ , ∀=x (ξ ) ∈ l

x* ( x=
)

n =1

n n

n

p

,

và
1

x
=
*

 ∞
q q
y q  ∑ an 
=
 n =1


Ánh xạ φ : lq → ( l p ) xác định bởi
'

∞

(φ y ) x = ∑ anξ n , y = ( an ) ∈ lq , x = (ξ n ) ∈ l p là một phép đẳng cự tuyến
n =1

tính.
Ta nói rằng đối ngẫu của không gian l p là không gian lq
với p, q ∈ ]1, ∞[ thỏa

1 1
+ =
1.
p q

Chứng minh
1, n = k
=
, n 1, 2,... . Dễ dàng thấy rằng mỗi
0, n ≠ k

Đặt
=
en (=
δ nk )k =1 
∞

phần tử=
x (ξ n ) ∈ l p được biểu diễn một cách duy nhất dưới
∞

dạng x = ∑ ξ n en .
n =1