các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG

CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA
ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN
TRƯỜNG HỮU TỶ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HỨA THỊ HẠ PHƯƠNG

CÁC ĐIỂM XOẮN HỮU TỶ CỦA
ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN
TRƯỜNG HỮU TỶ
Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Tiến sĩ Phan Dân

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Với việc hoàn thành Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của
mình tới TS. Phan Dân – người đã định hướng cho tôi lựa chọn đề tài và hướng dẫn
trong suốt quá trình thực hiện.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
1. Ban chủ nhiệm Khoa và Quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình học, Khoa
Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã
giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của khóa học Cao học, giúp tôi
nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và các phương pháp học
tập hữu ích, giúp tôi hoàn thành việc tiếp cận nội dung các học trình và
định hướng đề tài cho luận văn tốt nghiệp.
2. Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Phòng Tổ chức-Hành chính,
Phòng Kế hoạch-Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Hữu Cầu huyện Hóc Môn
thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
3.

Các đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Thành Phố Hồ Chí Minh, 06/ 2012
Tác giả
Hứa Thị Hạ Phương


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................ 3

MỤC LỤC ...................................................................................................................... 4
CÁC KÝ HIỆU .............................................................................................................. 6
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Lịch sử của vấn đề ............................................................................................ 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................... 3
4. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 3
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 4
6. Cấu trúc luận văn .............................................................................................. 4
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................................................ 7
1.1

Nhóm aben hữu hạn sinh ............................................................................... 7

1.2

1.2 Đa tạp affine và đa tạp xạ ảnh ............................................................... 9

1.2.1 Đa tạp affine ............................................................................................. 9
1.2.2 Đa tạp xạ ảnh.......................................................................................... 11
1.3 Tổng quan về đường cong elliptic................................................................. 16
1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝒒 ................................................ 18
1T

1.5 Đường cong elliptic trên trường số thực ℝ ................................................... 19
1T

1.6 Đường cong elliptic trên trường số phức ℂ .................................................. 20
1T

Chương 2:CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERTRASS TRÊN ℚ ........ 25

2.1 Tổng quan về các đường cong dạng Weiertrass trên ℚ ................................ 25
1T

2.1.1 Đường cong affine và đường cong xạ ảnh ............................................. 25

2.1.2 Phương trình Weiertrass dạng dài và ngắn ............................................ 25
2.1.3 j – bất biến của đường cong elliptic ....................................................... 26
2.2 Các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic trên ℚ ................. 27
1T

2.2.1 Các định lý cơ bản.................................................................................. 27
2.2.2 Nhóm các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ .................................................. 30
2.2.3 Sự phân bố của các điểm hữu tỷ và xoắn hữu tỷ ................................... 30


2.2.4 Hạng đại số và hai bài toán cơ bản ........................................................ 30
2.3 Mô tả chung về luật nhóm và các j – bất biến của một số họ đường cong ... 34
2.3.1 Luật nhóm và một số phương pháp xác định điểm bội .......................... 34
2.3.2 Các j – bất biến của các họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên

tố) ...................................................................................................................... 44
2.4 Mô tả các nhóm con xoắn của một số họ đường cong elliptic ...................... 44
2.4.1 Các thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ ............................................. 45
2.4.2 Các nhóm xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝒙, 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒑𝟐 (𝒑 nguyên tố) . 53

2.4.3 Nhóm con xoắn của họ 𝒚𝟐 = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 ..................................... 56
1T

2.4.4 Các tính toán cho Bảng 2.1 .................................................................... 57

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 61
Phụ lục A: BẢNG TÍNH TOÁN .................................................................................. 62
Phụ lục B: CHU KỲ 𝝎𝟏 VÀ 𝝎𝟐, THUẬT TOÁN AM – GM ................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 72


CÁC KÝ HIỆU
Ý nghĩa

Ký hiệu
ℤ

Vành số nguyên.

𝔽𝑞

Trường hữu hạn có 𝑞 phần tử.

�
𝕂

Bao đóng đại số của trường 𝕂.

ℚ

Trường số thực.

ℝ

ℂ

𝐼 (𝑉 )

𝕂 [𝑋 ]

Trường hữu tỷ.

Trường số phức.
Idean 𝐼 của đa tạp 𝑉.

Vành các đa thức biến 𝑋 trên trường 𝕂.

Δ(𝐸)

Bậc của đa thức 𝑓.

𝑗(𝐸)

j – bất biến của đường cong elliptic 𝐸.

deg (𝑓)
𝐸(ℚ)

𝐸 (ℚ)[𝑛]
𝐸 (ℚ)tor
#𝐸(ℚ)
𝒪

𝒜𝑛

𝒫𝑛
℘

𝐺𝑘

𝜓𝑛
𝜌𝑝
𝐿

ℱ (𝐿 )

𝜔𝑖 (𝐿)
𝑇(𝐴)

Biệt thức của đường cong elliptic 𝐸.

Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic 𝐸.
Nhóm các điểm hữu tỷ có bậc hữu hạn chia hết 𝑛.

Nhóm con xoắn hữu tỷ của đường cong elliptic 𝐸.

Số các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic 𝐸.

Điểm ở vô tận 𝒪 của đường cong elliptic 𝐸.
Không gian affine 𝑛 chiều trên trường 𝕂.

Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trên trường 𝕂.
Hàm ℘ Weierstrass.
Chuỗi Eisenstein.

Đa thức chia thứ 𝑛.

Phép quy gọn theo số nguyên tố 𝑝.
Dàn 𝐿.

Miền cơ bản của dàn 𝐿.

Chu kỳ thứ 𝑖 của dàn 𝐿.

Nhóm con xoắn của nhóm aben 𝐴.


𝐴⊕𝐵

gdc(𝑎, 𝑏)
𝑥
� �
𝑝

Tổng trực tiếp của 𝐴 và 𝐵.

Ước chung lớn nhất của 𝑎 và 𝑏.
Ký hiệu Legendre.


PHẦN MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Trong Lịch sử phát triển của Toán học có rất nhiều giả thuyết và nhiều bài toán

mở mà sự tồn tại suốt một thời gian dài đã từng làm cho nhiều thế hệ các nhà Toán
học dồn nhiều công sức và niềm say mê nghiên cứu và đặc biệt hơn là hầu hết
những bài toán đó đều có cách đặt vấn đề và mô tả rất đơn giản – chẳng hạn như bài
toán chia ba một góc bằng thước và compa, bài toán tô màu bản đồ, các bài toán của
Hilbert, bài toán chứng minh Định lý lớn Fermat,… Riêng bài toán chứng minh
Định lý lớn Fermat (còn được gọi là Định lí Fermat-Wiles) là một trong những vấn
đề thời sự của Toán học trong suốt ba thế kỷ qua và mới được giải quyết trọn vẹn
vào năm 1994 bởi Wiles và Taylor có lẽ là vấn đề thuộc loại thú vị và được các
nhà khoa học quan tâm nhiều nhất. Đây là một Bài toán thuộc về lĩnh vực Lý
thuyết số nhưng đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa
học. Điều đặc biệt là trong quá trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người
ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ thuật cũng như phương pháp nghiên
cứu của rất nhiều ngành khoa học khác nhau như Lý thuyết số, Đại số giao hoán,
Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, và trong
số đó có sự đóng góp rất quan trọng của ngành Hình học Đại số. Lý thuyết về các
đa tạp, các đường cong đại số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các
dạng modular,… là các khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu có liên
quan là những tiệm cận theo nhiều hướng khác nhau của lời giải bài toán Fermat.
Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm
hiểu và giới thiệu một số các kiến thức cơ bản về “Lý thuyết về các đường cong
Elliptic” cùng với việc mô tả sự phân bố của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ trên
chúng.
Trong phạm vi đề tài, chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường các số
hữu tỷ được mô tả dưới dạng Weierstrass.


Vì vậy đề tài được mang tên:
“Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ”

2.

Lịch sử của vấn đề
Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu vấn đề “Các điểm hữu tỷ của đường cong

Elliptic trên Q”, cũng như phương pháp giải quyết vấn đề nêu ra trong Luận văn
dựa trên một số kết quả sau đây:
a) Một là: Xuất phát từ một kết quả rất thú vị về tính chất tách trực tiếp một
nhóm aben hữu hạn sinh bất kỳ (nghĩa là các Z-modun hữu hạn sinh)
thành phần xoắn và không có xoắn của nó, và mỗi một phần đó là tổng
trực tiếp của các nhóm aben cyclic không thể tách được.
b) Hai là: Sự tiếp cận các phương pháp mô tả cấu trúc nhóm các điểm hữu
tỷ (và nhóm con xoắn của nó) của đường cong Elliptic trên Q , nhờ vào:
- Định lí Mordell-Weil khẳng định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một
đường cong elliptic là một nhóm aben hữu hạn sinh,
- Định lí Mazur mô tả cấu trúc của nhóm con các điểm có cấp hữu hạn
trong nhóm các điểm hữu tỷ.
- Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng của nhóm các điểm xoắn hữu tỷ
của họ các đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y2 = x3+Ax+B với A,
B là các số nguyên. Từ kết quả này ta nhận được một thuật toán xác
định các điểm xoắn hữu tỷ.
c) Ba là: Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm của nhóm các điểm
hữu tỷ trên các đường cong Elliptic.

Nhìn qua có vẻ như người ta có thể “nắm bắt” ngay được nhóm các điểm hữu tỷ
vì chúng có cách mô tả tường minh và chỉ có hữu hạn phần tử. Tuy nhiên sự thực


hoàn toàn khác xa với điều đó, vì những khó khăn gặp phải ngay cả khi sử dụng
thuật toán tìm kiếm mô tả các điểm xoắn bằng các phần mềm máy tính.

Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các
điểm xoắn hữu tỷ trên một số họ đường cong trên Q được cho dưới dạng
Weierstrass. Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng này đã và đang tiếp tục được
phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước.

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu mô tả cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường

cong Elliptic dưới dạng Weierstrass trên trường các số hữu tỷ (Định lý MordellWeil).
- Xét một số họ các đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 –px, với p là số
nguyên tố, nhằm mục đích là mô tả nhóm các điểm xoắn hữu tỷ trên chúng.
- Phân loại và xác định nhóm con xoắn của các điểm hữu tỷ trên một số họ
đường cong có phương trình dạng: y2 = x3 - p2, với p là số nguyên tố.
- Xét đường cong y2 = x3 + 2x2 - 3x và giải quyết bài toán mô tả nhóm con các
điểm xoắn hữu tỷ.

4.

Mục đích nghiên cứu
- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(Q) của đường cong Elliptic

E trên Q.
- Mô tả nhóm con xoắn của E(Q) đối với một số lớp đường cong Elliptic.


- Trình bày chi tiết các thuật toán xác định nhóm con xoắn các điểm hữu tỷ
của đường cong Elliptic trên Q thông qua mối liên hệ với các kết quả nghiên cứu
các họ đường cong trên trường hữu hạn và các đường cong trên trường số phức ,

ngoài phương pháp xác định trực tiếp bằng cách sử dụng định lý Nagell-Lutz.

5.

Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở xuất phát cho việc thực hiện các nội dung được bàn tới trong luận văn này

là dựa trên sự kết hợp các kết quả cơ bản (đã trình bày ở trên) về:
-

Cấu trúc của các nhóm aben hữu hạn sinh

-

Cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ (Định lý Mordell-Weil)

và sử dụng các công cụ nghiên cứu cơ bản của Đại số - Lý thuyết số để xác định và
mô tả các đối tượng cần quan tâm.
Xuyên suốt nội dung, các Định lí Nagell-Lutz và Định lí Mazur được dùng để
xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong đặc biệt, với các j-bất biến trên
các họ đường cong này. Đây là một trong những hướng nghiên cứu và các phương
pháp được dùng khá phổ biến trong việc nghiên cứu các đường cong Elliptic trong
thời gian gần đây, đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều tác giả trong
nhiều năm gần đây, gắn liền với các Thuật toán máy tính và Lý thuyết mã hóa thông
tin. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như các thuật toán được
dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được sử dụng trong
[2], [3], [13].

6.

Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm 2 chương
Chương 1: Kiến thức cơ bản.


Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công
bố trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:
- Các định lí cơ bản mô tả sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh.
- Các đa tạp xạ ảnh, afin.
- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu cơ bản về đường cong elliptic trên
các trường số Q, R, C và F q .
Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên Q
- Tổng quan về các đường cong dạng Weierstrass trên Q. Các j-bất biến.
- Các Định lí cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ, các điểm
xoắn hữu tỷ của các đường cong Elliptic trên Q: Định lý Mordell-Weil, Định lý
Nagell-Lutz và Định lý Mazur.
- Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q.
- Mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến của các họ y2 = x3 –px,
y2 = x3 - p2, với p là số nguyên tố.
- Nhóm con xoắn của các họ: y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2 và
của đường cong: y2 = x3 + 2x2 - 3x

Phần kết luận
Trong luận văn sẽ đưa ra các kết luận về:
- Các điểm xoắn hữu tỷ của đường cong Elliptic trên Q, với một số họ các
đường cong Elliptic cụ thể và đưa ra sự mô tả chung về luật nhóm, các j-bất biến
trên chúng.
- Nhóm con xoắn của các họ y2 = x3 –px, y2 = x3 - p2

- Nhóm con xoắn của y2 = x3 + 2x2 - 3x
Trong Luận văn này cũng giới thiệu nội dung cơ bản và ứng dụng của các Thuật
toán Doud, Schoof, …


Chương 1.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Nhóm aben hữu hạn sinh

Trong phần này sẽ giới thiệu một số kết quả quen biết về các nhóm aben hữu hạn
sinh.
Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm aben 𝐴 được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn

các phần tử 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐴 sao cho với mỗi 𝑥 ∈ 𝐴, tồn tại các số nguyên 𝑘1 , … , 𝑘𝑛
thỏa 𝑥 = ∑𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑎𝑖 .

Định nghĩa 1.1.2 Cho 𝐴 là một nhóm aben. Nhóm con xoắn của 𝐴, kí hiệu 𝑇(𝐴),
là tập :

𝑇(𝐴) ≔ {𝑎 ∈ 𝐴: ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑛𝑎 = 0}.

Định nghĩa 1.1.3 Một nhóm aben 𝐴 được gọi là không có xoắn nếu 𝑇(𝐴) = {0}.

Định nghĩa 1.1.4 ℤ𝑛 ≔ ℤ ⨁ … ⨁ ℤ (tổng của 𝑛 bản ) được gọi là nhóm aben tự
do hạng 𝑛.

Bổ đề 1.1.5 Cho 𝐴 là một nhóm aben, khi đó 𝐴/𝑇(𝐴) là không có xoắn.

Định nghĩa 1.1.6 Cho 𝐴 là một nhóm aben và 𝐵, 𝐶 là các nhóm con của 𝐴. Ta nói

𝐴 là tổng trực tiếp trong của 𝐵 và 𝐶, kí hiệu 𝐴 = 𝐵 ⊕ 𝐶, nếu 𝐴 = 𝐵 + 𝐶 và

𝐵 ∩ 𝐶 = {0}, trong đó 𝐵 + 𝐶 = {𝑏 + 𝑐: 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑐 ∈ 𝐶 }.

Định lý 1.1.7 Nếu 𝐴 là nhóm aben hữu hạn sinh không có xoắn mà có một tập sinh
có lực lượng bé nhất với 𝑛 phần tử thì 𝐴 đẳng cấu với nhóm aben tự do có hạng 𝑛.

Chứng minh Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của 𝐴.

Nếu A là một nhóm xyclic (nghĩa là nhóm được sinh bởi một phần tử khác 0 duy

nhất của nhóm), khi đó 𝐴 ≅ ℤ. Giả sử mệnh đề đúng với tất cả những nhóm aben

hữu hạn sinh không có xoắn với tập sinh nhỏ nhất có ít hơn 𝑛 phần tử. Giả sử 𝐴 là


không có xoắn và {𝑎1 , … , 𝑎𝑛 } là tập sinh nhỏ nhất của 𝐴. Nếu 𝑇(𝐴/〈𝑎1 〉) = {0} thì
𝐴/〈𝑎1 〉 là không có xoắn và sinh bởi 𝑛 − 1 phần tử, khi đó 〈𝑎1 〉 ≅ ℤ. Nếu 𝑇(𝐴/
〈𝑎1 〉) không là nhóm tầm thường thì sẽ có nhóm con 𝐵 của 𝐴 sao cho 𝑇(𝐴/〈𝑎1 〉) ≅

𝐵/〈𝑎1 〉. Do đó, với bất kỳ phần tử 𝑏 ∈ 𝐵\{0}, tồn tại một số nguyên 𝑖 ∈ ℤ\{0} sao
cho 𝑖𝑏 ∈ 〈𝑎1 〉. Suy ra tồn tại 𝑗 ∈ ℤ sao cho 𝑖𝑏 = 𝑗𝑎1 . Ta định nghĩa 𝑓: 𝐵 ⟶ ℚ: 𝑏 ⟼

𝑗/𝑖 và 𝑓 (0) ≔ 0. Khi đó, dễ thấy ker𝑓 = {0} và ta có 𝑓 là một đơn ánh. Suy ra

𝐵 ≅ 𝑓 (𝐵). Nếu 𝐵 là nhóm hữu hạn sinh thì 𝐵 là nhóm cyclic. Giả sử 𝐵 =
〈𝑏1 , … , 𝑏𝑚 〉. Khi đó, 𝑓(𝐵) = 〈𝑓(𝑏1 ), … , 𝑓(𝑏𝑚 )〉 = 〈𝑗1 /𝑖1 , … , 𝑗𝑚 /𝑖𝑚 〉 là nhóm con

của nhóm cyclic và do đó cyclic. Nếu 𝐵 = 𝐴 thì 𝐴 là nhóm tự do sinh bởi một phần

tử. Nếu không, ta sẽ có 𝐴/𝐵 = 〈𝑎�1 , … , 𝑎�𝑛 〉 = 〈𝑎�2 , … , 𝑎�𝑛 〉 và 𝐴/𝐵 ≅ (𝐴〈𝑎1 〉)/

(𝐵〈𝑎1 〉) ≅ (𝐴〈𝑎1 〉)/𝑇(𝐴〈𝑎1 〉). Như vậy 𝐴/𝐵 là nhóm không có xoắn và được sinh
bởi nhiều nhất 𝑛 − 1 phần tử, do đó theo quy nạp nó là nóm aben tự do có hạng
𝑚 < 𝑛. Suy ra 𝐴 ≅ 𝐵⨁ℤ𝑚 , từ đó 𝐵 ≅ 𝐴/ℤ𝑚 và 𝐵 là nhóm hữu hạn sinh.

Định lý 1.1.8
𝐴/𝑇(𝐴).

Chứng minh

Cho 𝐴 là một nhóm aben hữu hạn sinh. Khi đó 𝐴 ≅ 𝑇(𝐴) ⊕

Giả sử 𝐴 = 〈𝑎1 , … , 𝑎𝑛 〉.

∎

Khi đó 𝐴/𝑇(𝐴) = 〈𝑎�1 , … , 𝑎�𝑛 〉. Vì vậy

𝐴/𝑇(𝐴) là nhóm hữu hạn sinh. Cho 〈𝑥̅1 , … , 𝑥̅𝑚 〉 là một tập sinh nhỏ nhất của

𝐴/𝑇(𝐴). Nếu 𝑎� ∈ 𝐴/𝑇(𝐴) thì 𝑎� = ∑𝑚
𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥̅𝑖 với mọi 𝑘𝑖 ∈ ℤ. Dẫn đến 𝑎 −
∑𝑚
𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥̅𝑖 ∈ 𝑇 (𝐴). Do đó, 𝐴 = 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 + 𝑇(𝐴). Hơn nữa, vì 𝐴/𝑇 (𝐴) là không
có xoắn nên 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 ∩ 𝑇(𝐴) = {0}. Suy ra 𝐴 = 〈𝑥1 , … , 𝑥𝑚 〉 ⊕ 𝑇(𝐴).

Hệ quả 1.1.9

Mỗi một nhóm aben hữu hạn sinh đều là tổng trực tiếp của một

nhóm hữu hạn và một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn.

∎


1.2 1.2 Đa tạp affine và đa tạp xạ ảnh
Trong phần này, ta sẽ mô tả một số đối tượng cơ bản được nghiên cứu trong hình
� đóng đại số của 𝕂 từ
học đại số. Ta sẽ dùng 𝕂 để ký hiệu một trường bất kỳ và 𝕂
đây về sau.

1.2.1 Đa tạp affine
Định nghĩa 1.2.1.1 Không gian affine 𝑛 chiều là tập các bộ 𝑛 phần tử
𝑛
� }.
𝒜 𝑛 = 𝒜𝕂
� ≔ {𝑃 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ): 𝑥𝑖 ∈ 𝕂

Một cách tương tự, tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝒜𝑛 là tập

𝑛
𝒜𝕂
≔ {𝑃 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝒜𝑛 : 𝑥𝑖 ∈ 𝕂}.

� [𝑋 ] = 𝕂
� [𝑋 ] là

� [𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ] là một vành đa thức 𝑛 biến và cho 𝐼 ⊂ 𝕂
Cho 𝕂

𝑛
một idean. Với mỗi một 𝐼 như vậy, ta liên kết một tập con của 𝒜𝕂
�.
𝑛
𝑉𝐼 = {𝑃 ∈ 𝒜𝕂
� : 𝑓 (𝑃 ) = 0 với mọi 𝑓 ∈ 𝐼 }.

Định nghĩa 1.2.1.2 Một tập đại số (affine) là một tập bất kỳ có dạng 𝑉𝐼 . Nếu 𝑉 là

một tập đại số thì idean của 𝑉 được định nghĩa bởi

� {𝑋 }: 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉 }.
𝐼 (𝑉 ) = {𝑓 ∈ 𝕂

Một tập đại số được xác định trên 𝕂 nếu idean 𝐼(𝑉) của nó được sinh bởi các đa

thức trong 𝕂[𝑋 ]. Ta ký hiệu tập này bởi 𝑉/𝐾. Nếu 𝑉 được xác định trên 𝕂, thì tập
các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập hợp

Ví dụ 1.2.1.3
như

𝑛
.
𝑉𝕂 = 𝑉 ∩ 𝒜𝕂

Tập đại số 𝑉: 𝑌 2 = 𝑋 3 + 17 có nhiều điểm ℚ - hữu tỷ, chẳng hạn

(−2,3),

(234,378661),

�

137 2651
�.
,
64 512


Định nghĩa 1.2.1.4 Một tập đại số affine 𝑉 được gọi là một đa tạp affine nếu 𝐼(𝑉)
� [𝑋 ].
là một idean nguyên tố trong 𝕂

Chú ý là nếu V được định nghĩa trên 𝕂 thì sẽ không đủ nếu ta chỉ kiểm tra

I(V/K) có nguyên tố trong 𝕂[X] hay không. Ví dụ, xét idean X12 − 2X 22 trong

ℚ [X 1 , X 2 ].

Định nghĩa 1.2.1.5 Cho 𝑉 là một đa tạp. Chiều của 𝑉, ký hiệu bởi 𝑑𝑖𝑚(𝑉), là bậc
� (𝑉) trên 𝕂
�.
siêu việt của 𝕂
Ví dụ 1.2.1.6

𝑛
� (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ). Tương tự, nếu

� �𝒜𝕂
Chiều của 𝒜𝑛𝕂� là 𝑛, vì 𝕂
�� = 𝕂

𝑉 ⊂ 𝒜𝑛𝕂� được cho bởi phương trình đa thức khác hằng
thì dim(𝑉 ) = n − 1.

Định nghĩa 1.2.1.7

𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 0,

� [𝑋] là tập các
Cho 𝑉 là một đa tạp, 𝑃 ∈ 𝑉 và 𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ 𝕂

phần tử sinh của 𝐼𝑉 . Khi đó, 𝑉 là không kỳ dị (hoặc trơn) tại 𝑃 nếu ma trận 𝑚 × 𝑛
�

𝜕𝑓𝑖
(𝑃 )�
𝜕𝑋𝑗
1≤𝑖≤𝑚
1≤𝑗≤𝑛

có hạng 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚(𝑉 ). Nếu 𝑉 không kỳ dị tại mọi điểm thì ta nói rằng 𝑉 là không kỳ
dị (hoặc trơn).

Ví dụ 1.2.1.8

Cho 𝑉 được định nghĩa bởi phương trình đa thức khác hằng

𝑓 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 0. Khi đó Ví dụ 1.2.1.6 nói rằng dim(𝑉 ) = 𝑛 − 1, do đó 𝑃 ∈ 𝑉 là

một điểm kỳ dị nếu và chỉ nếu

𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑃 ) = ⋯ =
(𝑃) = 0.
𝜕𝑋1
𝜕𝑋𝑛


1.2.2 Đa tạp xạ ảnh
Định nghĩa 1.2.2.1 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trên 𝕂, ký hiệu 𝒫 𝑛 hay 𝒫𝕂�𝑛 , là tập

tất cả các bộ ( 𝑛 + 1 ) phần tử

(𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) ∈ 𝔸𝑛+1

sao cho tồn tại ít nhất một phần tử 𝑥𝑖 khác 0.

Hai bộ (𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) và (𝑦1 , … , 𝑦𝑛+1 ) được gọi là tương đương nếu tồn tại một số
� \{0} sao cho 𝑥𝑖 = 𝜆𝑦𝑖 với mọi 𝑖. Một lớp quan hệ tương đương
𝜆∈𝕂
� \{0}}
{(𝜆𝑥1 , … , 𝜆𝑥𝑛+1 ): 𝜆 ∈ 𝕂

được ký hiệu bởi [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] và 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 được gọi là các tọa độ thuần nhất của

một điểm trong 𝒫 𝑛 . Tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ trong 𝒫 𝑛 là tập

𝒫𝕂𝑛 = {[𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫 𝑛 :tất cả 𝑥𝑖 ∈ 𝕂}.

Nhận xét 1.2.2.2 Chú ý là nếu 𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 , ta không thể suy ra mỗi

𝑥𝑖 ∈ 𝕂. Tuy nhiên, nếu chọn một 𝑖 nào đó sao cho 𝑥𝑖 ≠ 0 thì ta có 𝑥𝑗 /𝑥𝑖 ∈ 𝕂 với
mọi 𝑗.

� [𝑋 ] = 𝕂
� [𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ] là thuần nhất bậc 𝑑
Định nghĩa 1.2.2.3 Một đa thức 𝑓 ∈ 𝕂
nếu

�.
𝑓 (𝜆𝑋1 , … , 𝜆𝑋𝑛+1 ) = 𝜆𝑑 𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝜆 ∈ 𝕂

� [𝑋] là thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất.
Một idean 𝐼 ⊂ 𝕂
Với mỗi idean thuần nhất 𝐼 ta liên kết một tập con của 𝒫𝕂�𝑛 bởi quy tắc
𝑉𝐼 = �𝑃 ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑓 ∈ 𝐼 thuần nhất�.


Định nghĩa 1.2.2.4 Một tập đại số xạ ảnh là tập bất kỳ có dạng 𝑉𝐼 với một idean 𝐼

thuần nhất. Nếu 𝑉 là một tập đại số xạ ảnh thì idean thuần nhất của 𝑉, ký hiệu là
� [𝑋] sinh bởi
𝐼(𝑉), là idean của 𝕂

� [𝑋 ]: 𝑓 là thuần nhất và 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉�.
�𝑓 ∈ 𝕂

Một 𝑉 như vậy được định nghĩa trên 𝕂, ký hiệu là 𝑉/𝕂, nếu idean 𝐼(𝑉) của nó

được sinh bởi các đa thức thuần nhất trong 𝕂[𝑋 ]. Nếu 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂 thì

tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập

𝑉 (𝕂) = 𝑉 ∩ 𝒫𝕂𝑛 .

Ví dụ 1.2.2.5 Một đường trong 𝒫2 là một tập đại số cho bởi phương trình tuyến

tính

𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 = 0

� không đồng thời bằng 0. Nếu giả sử 𝑐 ≠ 0 thì một đường như vậy
với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂

được định nghĩa trên một trường bất kỳ chứa 𝑎/𝑐 và 𝑏 /𝑐. Một cách tổng quát hơn,

một siêu phẳng trong 𝒫 𝑛 được cho bởi phương trình

𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 𝑋𝑛+1 = 0

� không đồng thời bằng 0.
với các 𝑎𝑖 ∈ 𝕂

Nhận xét 1.2.2.6 Một điểm của 𝒫ℚ𝑛 có dạng [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] với 𝑥𝑖 ∈ ℚ. Nhân với
một số hữu tỷ 𝜆 ∈ ℚ thích hợp, ta có thể loại bỏ mẫu số và các nhân tử chung khỏi
các 𝑥𝑖 . Nói cách khác, mỗi 𝑃 ∈ 𝒫ℚ𝑛 có thể viết dưới dạng tọa độ thuần nhất thỏa

𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ∈ ℤ và gcd(𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) = 1.

Như vậy, nếu một idean của tập 𝑉/ℚ được sinh bởi các đa thức thuần nhất

𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ ℚ[𝑋] thì việc mô tả 𝑉 (ℚ) tương đương với việc tìm nghiệm của phương
trình thuần nhất


𝑓1 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = ⋯ = 𝑓𝑚 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = 0

với các số 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa 1.2.2.7 Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu idean
� [𝑋 ].
thuần nhất 𝐼(𝑉) của nó là một idean nguyên tố trong 𝕂

𝑛
Rõ ràng 𝒫𝕂�𝑛 có thể chứa nhiều thành phần giống với 𝒜𝕂
� . Chẳng hạn, với mỗi

0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ta có phép nhúng sau

𝜙𝑖 : 𝒜𝑛𝕂� ⟶ 𝒫𝕂�𝑛 ,

(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ⟼ [𝑥1 : … : 𝑥𝑖−1 : 1: 𝑥𝑖 : … : 𝑥𝑛 ].

Ta ký hiệu 𝐻𝑖 là siêu phẳng trong 𝒫𝕂�𝑛 xác định bởi 𝑋𝑖 = 0,

𝐻𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : . . . : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 = 0},

Và 𝑈𝑖 là phần bù của 𝐻𝑖 ,

𝑈𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 ≠ 0} = 𝒫𝕂�𝑛 \𝐻𝑖 .

Khi đó, tồn tại một song ánh tự nhiên
𝑛
𝜙𝑖−1 : 𝑈𝑖 ⟶ 𝒜𝕂
�,

𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1
𝑥𝑛+1
𝑥1 𝑥2
[𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ⟼ � , , … ,
�.
,
,…,
𝑥𝑖 𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖
𝑥𝑖

Với mỗi 𝑖 cố định, thông thường ta sẽ xác định 𝒜𝑛𝕂� với tập 𝑈𝑖 trong 𝒫𝕂�𝑛 thông qua
ánh xạ 𝜙𝑖 .

� [𝑋 ]. Khi đó,
Bây giờ cho 𝑉 là một tập đại số xạ ảnh với idean thuần nhất 𝐼(𝑉 ) ⊂ 𝕂

𝑛
𝑛

−1
� [𝑌] được
𝑉 ∩ 𝒜𝕂
� = 𝜙𝑖 (𝑉 ∩ 𝑈𝑖 ) là một tập đại số affine với idean 𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝕂
�� ⊂ 𝕂

cho bởi

𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝑛𝕂� � = {𝑓 (𝑌1 , … , 𝑌𝑖−1 , 1, 𝑌𝑖+1 , … , 𝑌𝑛 ): 𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼(𝑉 )}.


Chú ý là các tập hợp 𝑈0 , … , 𝑈𝑛 phủ toàn bộ 𝒫𝕂�𝑛 , do đó một đa tạp xạ ảnh 𝑉 bất kỳ sẽ

được phủ bởi 𝑉 ∩ 𝑈0 , … , 𝑉 ∩ 𝑈𝑛 , với mỗi tập hợp như vậy là một đa tạp affine

thông qua một ánh xạ 𝜙𝑖−1 thích hợp. Quy trình thay thế đa thức 𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ) bởi
đa thức 𝑓 (𝑌1 , … , 𝑌𝑖−1 , 1, 𝑌𝑖+1 , … , 𝑌𝑛 ) được gọi là nghịch thuần nhất hóa

(dehomogenization) tương ứng với 𝑋𝑖 .

� [Y], ta định
Quy trình này cũng có thể được thực hiện ngược lại. Với mỗi f(Y) ∈ 𝕂
nghĩa

𝑋1
𝑋𝑖−1 𝑋𝑖+1
𝑋𝑛
,
, … , �,
𝑓 ∗ (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 𝑋𝑖𝑑 𝑓 � , … ,

𝑋𝑖
𝑋𝑖
𝑋𝑖
𝑋𝑖

Trong đó, 𝑑 = deg (𝑓) là số nguyên nhỏ nhất sao cho 𝑓 ∗ là một đa thức. Ta nói 𝑓 ∗
là thuần nhất hóa (homogenization) của 𝑓 tương ứng với 𝑋𝑖 .

𝑛
Định nghĩa 1.2.2.8 Cho 𝑉 ⊂ 𝒜𝕂
� là một tập đại số affine với idean 𝐼 (𝑉 ). Ta có thể

xem 𝑉 như là tập con của 𝒫𝕂�𝑛 thông qua

𝜙𝑖

𝑛
𝑛
𝑉 ⊂ 𝒜𝕂
� �⎯⎯⎯� 𝒫𝕂
�.

Bao đóng xạ ảnh của 𝑉, ký hiệu là 𝑉� , là một tập đại số xạ ảnh với idean thuần nhất

𝐼(𝑉� ) sinh bởi

Định lý 1.2.2.9

{𝑓 ∗ (𝑋 ): 𝑓 ∈ 𝐼 (𝑉 )}.

𝑛
(a) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó, 𝑉� là một đa tạp xả ảnh và 𝑉 = 𝑉� ∩ 𝒜𝕂
�.

𝑛
(b) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó, 𝑉 ∩ 𝒜𝕂
� là một đa tạp affine, và ta có
𝑛
𝑉 ∩ 𝒜𝕂
�

hoặc

𝑛
����������
𝑉=𝑉
∩ 𝒜𝕂
�.

(c) Nếu một đa tạp affine (xạ ảnh) 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂, thì 𝑉� (tương ứng
𝑛
𝑉 ∩ 𝒜𝕂
� ) cũng được định nghĩa trên 𝕂.


Từ Định lý 1.2.2.9, ta suy ra mỗi đa tạp affine có thể được xác định bởi một đa
tạp xạ ảnh duy nhất. Thực tế, vì ta cảm thấy dễ dàng hơn về mặt ký hiệu khi làm
việc với tọa độ affine, ta sẽ thường nói rằng « cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh » và viết

xuống một phương trình không thuần nhất nào đó. Khi đó, ta hiểu ngầm rằng 𝑉 là

một đóng xạ ảnh của một đa tạp affine 𝑊 tương ứng. Các điểm trong tập 𝑉\𝑊
được gọi là điểm ở vô tận trên 𝑉.

Ví dụ 1.2.2.10 Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi phương trình
𝑉: 𝑌 2 = 𝑋 3 + 17.

Với cách nói trên, ta thực tế phải hiểu rằng 𝑉 là một đa tạp trong 𝒫𝕂�2 cho bởi

phương trình

𝑌� 2 𝑍̅ = 𝑋� 3 + 17𝑍̅ 3 ,

Thông qua phép xác định 𝑋 = 𝑋� /𝑍̅ và 𝑌 = 𝑌�/𝑍̅.

Đa tạp này có một điểm ở vô tận là [0: 1: 0], nhận được khi ta cho 𝑍̅ = 0. Vậy,trong
trường hợp cụ thể 𝕂 = ℚ, ta có

2
: 𝑦 2 = 𝑥 3 + 17� ∪ {[0: 1: 0]}.
𝑉 (ℚ) = �(𝑥, 𝑦) ∈ 𝒜ℚ

Trong Ví dụ 1.2.1.3 ta đã nêu ra một số điểm của 𝑉 (ℚ). Trong Chương 2, ta sẽ

đưa ra quy tắc để tính được vô số các điểm trên 𝑉 (ℚ). Đa tạp 𝑉 là một đường cong

elliptic, và như vậy, đây là ví dụ đầu tiên về các đa tạp mà chúng ta sẽ quan tâm

chính trong đề tài này.
Định nghĩa 1.2.2.11

𝑛
𝑛
Cho 𝑉/𝕂 là một đa tạp xạ ảnh và chọn 𝒜𝕂
� ⊂ 𝒫𝕂
� sao cho

𝑛
𝑛
𝑉 ∩ 𝒜𝕂
� ≠ ∅. Chiều của 𝑉 là chiều của 𝑉 ∩ 𝒜𝕂
�.

Định nghĩa 1.2.2.12

Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh và 𝑃 ∈ 𝑉. Chọn 𝒜𝑛 ⊂ 𝒫 𝑛 với

𝑃 ∈ 𝒜𝑛 . Khi đó, 𝑉 là không kỳ dị (hoặc trơn) tại 𝑃 nếu 𝑉 ∩ 𝒜𝑛 không kỳ dị tại 𝑃.


1.3 Tổng quan về đường cong elliptic
Trong phần này ta sẽ xem xét các khái niệm và định lý về một đường cong
elliptic trên trường bất kỳ.
Định nghĩa 1.3.1 Đường cong elliptic 𝐸 trên trường 𝕂 được được định nghĩa bởi
phương trình

𝑌 2 𝑍 + 𝑎1 𝑋𝑌𝑍 + 𝑎3 𝑍 3 = 𝑋 3 + 𝑎2 𝑋 2 𝑍 + 𝑎4 𝑋𝑍 2 + 𝑎6 𝑍 3 ,

𝑎𝑖 ∈ 𝕂 ∀𝑖.

(1.1)

𝑎𝑖 ∈ 𝕂 ∀𝑖

(1.2)

Như đã nhận xét ở trên, để thuận tiện về mặt ký hiệu, ta sẽ viết sử dụng phương
trình affine không thuần nhất
𝑦 2 + 𝑎1 𝑥𝑦 + 𝑎3 = 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎4 𝑥 + 𝑎6 ,

để thay thế cho phương trình (1.1), và ngầm hiểu rằng 𝐸 là một đa tạp trong không
gian xạ ảnh 𝒫𝕂2 . Chú ý là phương trình (1.2) nhận được thông qua phép biến đổi

𝑥 = 𝑋/𝑍 và 𝑦 = 𝑌/𝑍, và được gọi là phương trình Weiertrass.

Chú ý là đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình (1.1) chỉ có duy

nhất một điểm ở vô tận là [0: 1: 0] (tương tự Ví dụ 1.2.2.10). Ta ký hiệu điểm này
là 𝒪. Như vậy, tập hợp tất cả các điểm của 𝐸 trong trường 𝕂 sẽ là

𝐸 (𝕂) ≔ {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝕂2 thỏa phương trình Weierstrass}⋃{𝒪 },

Ta ký hiệu số các điểm trong 𝐸 (𝕂) là #𝐸 (𝕂).

Khi char(𝕂) ≠ 2, phép thế 𝑦 ⟼ 2𝑦 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎3 đưa phương trình Weierstrass
(1.2) về dạng đơn giản hơn là
trong đó,

𝑦 2 = 4𝑥 3 + 𝑏2 𝑥 2 + 2𝑏4 𝑥 + 𝑏6 ,

𝑏2 = 𝑎12 + 4𝑎2 ,

𝑏4 = 2𝑎4 + 𝑎1 𝑎3 ,

𝑏6 = 𝑎32 + 4𝑎6 .

(1.3)


𝑥−3𝑏2

Và khi char(𝕂) ≠ 2,3, phép thế (𝑥, 𝑦) ⟼ (
dạng

36

,

𝑦

108

) đưa phương trình (1.3) về

𝑦 2 = 𝑥 3 − 27𝑐4 𝑥 − 54𝑐6 ,

trong đó,

𝑐4 = 𝑏22 − 24𝑏4 ,

𝑐6 = −𝑏23 + 36𝑏2 𝑏4 − 216𝑏6 .

Nói tóm lại, ta luôn có thể đưa phương trình Weierstrass (1.2) về dạng
khi char(𝕂) ≠ 2,3.

𝑦 2 = 𝑥 3 + 𝐴𝑥 + 𝐵

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình Weierstrass dạng ngắn.

Định nghĩa 1.3.2 Cho 𝐸 là đường cong eliptic trên trường 𝕂 được định nghĩa bởi
phương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4).

Biểu thức 𝛥 = Δ(𝐸 ) = 4𝐴3 + 27𝐵2 được gọi là biệt thức của 𝐸.

Đường cong elliptic 𝐸 được gọi là không kỳ dị nếu 𝛥 ≠ 0. Nếu Δ = 0, ta nói đường
cong elliptic 𝐸 là kỳ dị.
Ví dụ 1.3.3

Xét đường cong elliptic 𝐸: 𝑦 2 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥. Lần lượt thực hiệc

các phép biến đổi như trên, ta sẽ đưa 𝐸 về phương trình Weierstrass dạng ngắn. Ta

có 𝑎1 = 𝑎3 = 0, 𝑎2 = 2, 𝑎4 = −3, 𝑎6 = 0. Suy ra 𝑏2 = 8, 𝑏4 = −6, 𝑏6 = 0. Do đó,

𝑐4 = 208, 𝑐6 = −2240. Vậy phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝑦 2 =

𝑥 3 − 5616𝑥 + 120960 với Δ(𝐸 ) = −31345665638 = −216 314 .

Ta sẽ chỉ tập trung nghiên cứu đường cong elliptic không kỳ dị từ đây về sau. Do
đó, khi nhắc đến một đường cong elliptic và không đề cập gì thêm nữa thì ta sẽ
ngầm hiểu đường cong này là không kỳ dị.

(1.4)


1.4 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝒒

Trong phần này và các phần tiếp theo của chương này, ta sẽ lần lượt xem xét một
cách khái quát các đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞 , trường số thực ℝ và

trường số phức ℂ. Nội dung của phần này sẽ chủ yếu giới thiệu một phương pháp

đơn giản để tính số điểm trên một đường cong elliptic trên trường hữu hạn, nhằm hỗ
trợ cho các thuật toán ở chương sau để tính nhóm xoắn trên một đường cong elliptic
𝐸 trên trường hữu tỷ ℚ. Thuật toán Schoof, một phương pháp phức tạp hơn và do

đó hiệu quả hơn, sẽ được giới thiệu ở chương sau (Mục 2.3.1) sau khi ta đã có các
khái niệm cần thiết.
Định lý 1.4.1 (Hasse) Cho 𝐸 là một đường cong elliptic trên trường hữu hạn 𝔽𝑞 ,
khi đó

�𝑞 − 1 − #𝐸�𝔽𝑞 �� ≤ 2�𝑞.
𝑥

Nhắc lại ký hiệu Legendre � � cho một số nguyên tố lẻ 𝑝 được định nghĩa như
𝑝

sau:

+1,
𝑥

� � = � −1,
𝑝
0,

nếu 𝑡 2 ≡ 𝑥 (mod 𝑝) có nghiệm 𝑡 ≢ 0 (mod 𝑝)
nếu 𝑡 2 ≡ 𝑥 (mod 𝑝) không có nghiệm 𝑡
nếu 𝑥 ≡ 0 (mod 𝑝).

Ta tổng quát hóa ký hiệu này cho một trường hữu hạn bất kỳ 𝔽𝑞 , với 𝑞 lẻ, bằng cách

định nghĩa cho một 𝑥 ∈ 𝔽𝑞 ,

+1, nếu 𝑡 2 ≡ 𝑥 có nghiệm 𝑡 ∈ 𝔽×𝑞
𝑥
� � = �−1, nếu 𝑡 2 ≡ 𝑥 không có nghiệm 𝑡 ∈ 𝔽𝑞
𝔽𝑞
0, nếu 𝑥 = 0.

Định lý 1.4.2 Cho (𝐸 ): 𝑦 2 = 𝑥 3 + 𝐴𝑥 + 𝐵 là đường cong elliptic trên trường hữu

hạn 𝔽𝑞 . Khi đó