sử dụng số phức để nghiên cứu các phép biến đổi mobius

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI MOBIUS

GVHD
SVTH

: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
:
Võ Thanh Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


Mục Lục
Lời mở đầu........................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 :

MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN ........................................................... 2

I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC ...................................................................................... 2
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. ............................................................... 2
2. Tọa độ liên hợp. ...................................................................................................... 2
3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. ............................................................. 2
4. Vectơ và số phức. .................................................................................................... 2
5. Các phép toán số phức. ............................................................................................ 3

6. Căn bậc n của đơn vị. ............................................................................................... 5
II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN ...................................................................... 5
1. Phép biến hình. ........................................................................................................ 5
2. Phép tịnh tiến........................................................................................................... 6
3. Phép quay. ............................................................................................................... 6
4. Phép vị tự. ............................................................................................................... 6
5. Hệ thức giữa ba điểm. ............................................................................................. 7
6. Đối xứng trục .......................................................................................................... 7
7. Phép nghịch đảo. ..................................................................................................... 8
8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss. ...................................................................... 8
9. Tích của các phép biến hình. .................................................................................... 8
10. Phép đối hợp......................................................................................................... 10
III. TỈ SỐ KÉP ............................................................................................................... 10
1. Định nghĩa và giải thích. ....................................................................................... 10
2. Các tính chất. ......................................................................................................... 11
3. Trường hợp có một điểm ở vô tận......................................................................... 11
4. Tỉ số kép thực. ....................................................................................................... 12
IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ................................................................. 12
1. Đường thẳng ........................................................................................................... 12
2. Đường tròn ............................................................................................................ 14
Chương 2:

NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN........................................................... 15

I. NHỮNG TÍNH CHẤT CHUNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN ............................. 15


1. Định nghĩa. ............................................................................................................. 15
2. Xác định một phép biến đổi tròn. ........................................................................... 16
3.Tính bất biến của tỉ số kép. ..................................................................................... 18

4. Phép biến đổi tròn. ................................................................................................. 19
5. Sự bảo toàn góc. ..................................................................................................... 19
6. Tích hai phép biến đổi tròn. ................................................................................... 20
7. Nhóm tròn của mặt phẳng. ..................................................................................... 21
8. Định nghĩa. ............................................................................................................. 21
II. PHÉP ĐỒNG DẠNG ............................................................................................... 21
1. Định nghĩa. ............................................................................................................. 21
2. Các tính chất. .......................................................................................................... 22
3. Tâm của phép đồng dạng. ...................................................................................... 23
4. Xác định một phép đồng dạng. .............................................................................. 24
5. Nhóm các phép tịnh tiến. ....................................................................................... 25
6. Nhóm các phép dời hình. ....................................................................................... 25
7. Nhóm các phép tịnh tiến và các phép vị tự. ........................................................... 26
8. Đồng dạng hoán vị. ................................................................................................ 27
9. Đồng dạng đối hợp. ............................................................................................... 27
III. PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN KHÔNG ĐỒNG DẠNG. ................................................ 28
1. Các điểm giới hạn. ................................................................................................. 28
2. Các điểm bất biến. ................................................................................................. 29
3. Phân tích một phép biến đổi tròn khác phép đồng dạng. ....................................... 32
4. Định nghĩa. ............................................................................................................. 32
IV. PHÉP ĐỐI HỢP MOBIUS ...................................................................................... 33
1. Phương trình. .......................................................................................................... 33
2. Điều kiện đủ. .......................................................................................................... 33
3. Các tính chất. .......................................................................................................... 33
4. Xác định một phép đối hợp. .................................................................................. 34
CHƯƠNG 3:

BÀI TẬP TỔNG HỢP .......................................................................... 36

I. Một số vấn đề cơ bản. .................................................................................................... 36

1. Ứng dụng phép quay quanh một điểm. ...................................................................... 36


2. Điều kiện trực giao, thẳng hàng và đồng viên. ......................................................... 37
3. Tam giác đồng dạng. .................................................................................................. 39
4. Tam giác đều. ............................................................................................................. 40
5. Tích thực của hai số phức. ......................................................................................... 43
II. Toán tổng hợp. .............................................................................................................. 44
Tài liệu tham khảo ............................................................................................................. 70


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Lời mở đầu

Số phức xuất hiện từ đầu thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của Toán học về giải
các phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ
và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học, kĩ thuật. Hình học xuất hiện trong cả
Toán học và Vật lí, thậm chí cả trong kinh tế cơ bản. Nhiều vấn đề của Hình học được
đơn giản hóa một cách kì diệu khi nhìn dưới góc độ của số phức và việc ứng dụng số
phức vào nghiên cứu Toán học nói chung và Hình học nói riêng đã được tiến hành từ
lâu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.
Trong đề tài của mình em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức trong hình
học. Ở chương 1 là một số vấn đề lí thuyết cơ bản của số phức thường được sử dụng
trong việc giải toán hình học.
Chương 2, tập trung trình bày các phép biến đổi tròn như : phép biến đổi
Mobius, nhóm các phép đồng dạng, phép biến đổi tròn không đồng dạng, phép đối

hợp Mobius.
Trong chương 3, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức như phép quay,
tích thực của các số phức,… vào việc giải các bài toán hình học phẳng.

Trang 1


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

CHƯƠNG 1 :

SVTH: Võ Thanh

MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.
Xét số phức z  x  iy ( x , y   ).
Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc nhau. Điểm Z (x , y ) được
gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z .
Ngược lại, với mỗi điểm thực Z 1(x 1, y1 ) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất một
số phức z 1  x 1  iy1 , z 1 được gọi là tọa độ phức của điểm Z 1 .
Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức được
gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức.
Hệ quả.
10. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực. Trục Oy là quỹ tích ảnh của các
số ảo. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của
mặt phẳng Gauss.
20. Số –z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.

2. Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z  x  iy luôn xác định và được kí hiệu z  x  iy đọc là “

z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox .
3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.
Cho một số phức z  x  iy , ta có thể viết z ở dạng lượng giác

z  r (cos q  i sin q ),
trong đó r  x 2  y 2  [0, ) được gọi là mođun của z và q  [0, 2p) là số đo của

góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z .
* Sử dụng công thức Euler cos q  i sin q  e iq
Số phức z  x  iy có thể được viết như sau z  re iq được gọi là dạng mũ của z .
Khi z  0 , ta chọn r  0 và q tùy ý.
Ta có
z  re iq .

4. Vectơ và số phức.


Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ , tọa độ vectơ của Z đối
với cực O . Khi đó nói rằng z được biểu diễn bởi vectơ này. Số phức và vectơ có
Trang 2


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

môđun bằng nhau và ta có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argument
của vectơ.
5. Các phép toán số phức.
5.1 Phép cộng.
Nếu n số phức z k  x k  iyk (k  1, 2,.., n ) có n ảnh Z k thì tổng của chúng là
z  z 1  z 2  ...  z n (1)

có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình
  

học OZ  OZ 1  OZ 2  ...  OZ n (2).
Giả sử Z x , y  . Ta tìm tọa độ của Z dựa
vào phương trình (2). Bằng cách lấy đại số trên
trục Ox , sau đó trên trục Oy , ta có được hai
phương trình đại số x   x k , y = yk .
Do đó x  iy   (x k  iyk ) , đây chính là

phương trình (1).
5.2 Phép trừ.

 
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì hiệu số

z  z1  z 2

được biểu thị bởi hiệu số hình học
  
OZ  OZ 1  OZ 2
của những vectơ tương ứng.
Ta có z  z 1  (z 2 )  z 1  z 2 .

Điểm Z 2 đối xứng với Z 2 qua O.
Từ mục 5.1, ta có
    
OZ  OZ 1  OZ 2  OZ 1  OZ 2 (3).


 

Hệ quả. Phương trình (3) được viết lại OZ  Z 2Z 1 , vì vậy Z 2Z 1 giống như OZ biểu
thị hiệu z 1  z 2 .
5.3 Phép nhân.
Trang 3


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các
 
vectơ OZ 1, OZ 2 thì tích
z  z 1z 2


được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơ


OZ 1 theo cách như sau:


10. Quay vectơ OZ 1 quanh O một góc bằng với

argument của vectơ OZ 2 .

20. Nhân vectơ vừa thu được với mođun của

vectơ OZ 2 .
Nếu r1, r2 và q1, q2 là mođun và argument của z 1, z 2 thì ta có
iq

z 1  r1e 1 , z 2  r2e
Vì vậy z  z 1z 2  r1r2e

i q2

i (q1 q2 )

Khi đó arg z   q1  q2 và mođun của z là r1r2  OZ 1.OZ 2 .
Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 . Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là
đỉnh thứ ba trong tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OUZ 2 với


OZ 1
OZ

(Ox ,OZ )  q1  q2,
.
OZ 2 OU  1
5.4 Phép chia.
 

z
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì tỉ số z  1
z2


được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo ra từ vec tơ OZ 1 như sau:

10. Quay OZ 1 quanh O một góc bằng

với  arg(OZ 2 ) ;

20. Chia vectơ vừa thu được cho

mođun của vectơ OZ 2 .

Trang 4


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Sử dụng mục 5.3, dựng điểm Z là ảnh hình học của z và z 

r1 i (q1 q2 )
.
e
r2

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OZ 2U .
Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.
6. Căn bậc n của đơn vị.
6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức.
Xét số nguyên dương n  2 và một số phức z 0  0 . Phương trình
Z n  z0  0

(1)

được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z 0 . Ta gọi nghiệm Z của phương trình
(1) là một căn bậc n của z 0 .
Định lí. Đặt z 0  r (cos q  i sin q ) là một số phức với r  0 và q  [0, 2p).
Căn bậc n của z 0 gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức

q  2k p
q  2k p
 i sin
), k  0,1,..., n  1.
n
n
6.2 Căn bậc n của đơn vị.
Z k  n r (cos

Một nghiệm của phương trình Z n  1  0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Vì 1  cos 0  i sin 0 , từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc n
của đơn vị là

ek  cos

2k p

2k p
 i sin
, k  0,1, 2,..., n  1
n
n

II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN
1. Phép biến hình.
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt phẳng
Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w .
Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó
10. với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;
20. mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z .
Như vậy phép biến hình w là một - một; điểm Z  là tương ứng của điểm Z .
Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  với điểm Z được gọi là phép biến hình ngược của

w , kí hiệu w 1 .
Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm
Z tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z  của điểm Z  tương ứng với Z .

Trang 5


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

2. Phép tịnh tiến.
Đặt A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và đặt a và

z là các tọa độ phức của chúng.
 


Điểm Z’ mà ZZ  OA được gọi là ảnh của Z trong phép tịnh tiến theo vectơ OA .
Khi đó, phương trình của phép tịnh tiến là
z  z a

3. Phép quay.
Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là a , và
đặt a là một số thực cho trước, dương, bằng 0, hoặc
âm. Phép quay quanh A một góc có giá trị đại số a ,
mỗi điểm Z trong mặt phẳng cho ta một điểm Z .
 
Các vectơ AZ , AZ biểu thị các số phức


z   a, z - a , khi đó AZ  thu được từ AZ bằng phép
quay, ta có
z   a  (z  a )e ia .
Khi đó, phương trình của phép quay góc a quanh điểm có tọa độ phức a là
z   ze ia  a(1  e ia )
Hệ quả. Khi ta quay một góc a  p (hoặc a  p) quanh A , ta có phép đối xứng
tâm A khi đó

e ip  cos p  i sin p  1 ,
Phương trình của nó là z   z  2a .
4. Phép vị tự.
Một điểm A cho trước của tọa độ phức a
và một số thực k  0 , âm hoặc dương. Nếu ta đặt

một trục tùy ý trên đường thẳng chứa điểm A và
Trang 6


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

một điểm Z bất kì, lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho ta có hệ thức

AZ 

k
AZ
thì Z  gọi là ảnh của Z qua phép vị tự tâm A tỉ số k.
Khi đó phương trình của phép vị tự là
z   kz  a(1  k )
Chú ý. Giá trị 1,  1 của k cho ta phép đồng nhất và phép đối xứng tâm A.
5. Hệ thức giữa ba điểm.

Ba điểm cho trước A, B, C với các tọa độ phức
lần lượt là a, b, c nếu AB, AC là giá trị đại số của
các đoạn trên trục a1, a2 được đặt một cách tùy ý trên
đường thẳng AB, AC ta có

c  a  (b  a )e

i (a1 ,a 2 )

AC

,
AB
trong đó (a1, a2 ) là góc định hướng có a1 là cạnh đầu và
a2 là cạnh cuối.

6. Đối xứng trục
Trên một đường thẳng cho trước lấy hai điểm A, B , gọi điểm Z  là điểm đối xứng
với điểm Z qua đường thẳng này trong mặt
phẳng tọa độ. Gọi d1, d2 là các trục được đặt một
cách tùy ý trên đường thẳng AZ và BZ , và đặt
d1 và d2 là các trục đối xứng với d1, d2 qua

đường thẳng AB. Ta có phương trình của phép
đối xứng có dạng

a z a z

b z b z
hoặc

z 

a b
a b

z

ab  ab

a b

.

Trang 7


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

7. Phép nghịch đảo.
Đặt p là phương tích của phép nghịch đảo cực M có tọa độ phức m ; gọi d là một
trục được đặt một cách tùy ý trên đường thẳng chứa điểm M và một điểm Z nào đó
trong mặt phẳng; đặt Z  là nghịch đảo của Z . Ta có
(7)
MZ .MZ   p
và phương trình của phép nghịch đảo cực M phương
tích p là

(z   m )(z  m )  p
z 

mz  p  mm

.
z m
Chú ý. Khi M trùng O và p  1 , phương trình của
phép nghịch đảo là

hoặc

z 

1
z

.

8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss.
Mặt phẳng Gauss (được gắn với hệ tọa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận
tương ứng với z bằng vô cực.
Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng Gauss
một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M .
9. Tích của các phép biến hình.
Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z 1 , ta viết Z 1  w1[Z ] và phép
biến hình w2 biến điểm Z 1 thành một điểm Z 2 ta viết Z 2  w2 [Z 1 ]
Khi đó, ta có Z 2  w2 w1[Z ] hay ta có thể viết Z 2  w2w1[Z ] (11)
Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z 2 được gọi là
tích các phép biến hình w1, w2 được thực hiện theo thứ tự này,
Phương trình (11) và Z 2  w(Z ) cho phép ta quy ước w  w2w1 .
Trong kí hiệu tích w2w1 , thừa số thứ hai w1 được thực hiện đầu tiên trong phép biến
đổi.
Thí dụ:
10. Tích của hai phép tịnh tiến.

Trang 8


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện

Hải

SVTH: Võ Thanh

 
Đặt a1, a2 là các số phức được biểu thị bởi các vectơ OA1, OA2 xác định bởi phép

tịnh tiến w1, w2 .
Nếu điểm Z biến thành Z 1 qua w1 và Z 1 biến thành điểm Z 2 qua w2 , tức là
z 1  z  a1 (12)

z 2  z 1  a2 (13)

thì phương trình của phép biến hình w2w1 cho phép biến đổi trực tiếp từ điểm Z
thành Z 2 là:
z 2  z  a1  a 2

 
Điều này chứng tỏ rằng tích w2w1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1  OA2 .

20 . Tích của hai phép quay.
Gọi a1, a2 lần lượt là tọa độ phức của các tâm A1 và A2 của phép quay góc có giá
trị đại số a1, a2 .
Nếu phép quay w1 biến điểm Z thành
Z 1 và phép quay w2 biến điểm Z 1 thành điểm
Z 2 , tức là

z 1  ze

ia1

z 2  z 1e

ia2

ia

 a1(1  e 1 )
ia

 a2 (1  e 2 )

thì phương trình của phép biến hình w2w1 mà
biến điểm Z thành điểm Z 2 là

z 2  ze

i (a1 a2 )

ia

 a1(1  e 1 )e

ia2

ia

 a2 (1  e 2 ) (14).

+ Nếu các phép quay w1 , w2 có cùng tâm nghĩa là A1  A2  A hay a1  a2  a ( a

là tọa độ phức của A ) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A , góc quay là a1  a2 .
+ Nếu các phép quay khác tâm:
* Nếu e

i (a1 a2 )

 1 hay a1  a2  2k p (k  ) thì (14) biểu diễn một phép tịnh tiến.

* Nếu a1  a2  2k p (k  ) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A(a ) , góc quay
ia

là a1  a2 , trong đó a 

a1(1  e 1 )e

ia2

1 e

 a2 (1  e

i ( a1 a2 )

Trang 9

ia2

).

GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

10. Phép đối hợp.
Một phép biến hình w được gọi là phép đối hợp nếu qua w điểm Z biến thành
điểm Z  và điểm Z  cũng biến thành Z .
Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa là

ww  1 hoặc w 2  1 .
Hơn nữa, ta thấy rằng một phép biến hình là đối hợp nếu bình phương của nó là
phép đồng nhất.
Nếu nhân hai vế của phương trình trên với w 1 , ta được
www 1  w 1 hay w  w 1 .

Do đó, một phép biến hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó.
Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp.
III. TỈ SỐ KÉP
1. Định nghĩa và giải thích.
Tỉ số kép (A.R.) của bốn điểm phân biệt Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng Gauss,
theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua tọa độ
phức z 1, z 2, z 3, z 4 được kí hiệu
(Z 1Z 2Z 3Z 4 ) hoặc (z 1z 2z 3z 4 ) và

(z 1z 2z 3z 4 ) 

z1  z 3 z1  z 4
:
.

z2  z 3 z2  z 4

Ta đặt các trục tùy ý a13 , a14 , a23, a24 trên
các đường thẳng Z 1Z 3 , Z 1Z 4 , Z 2Z 3, Z 2Z 4 có thể
phân biệt hoặc trùng nhau. Giả sử (x , y )  

p
,
2

ta có (II. 5)
z1  z 3
Z Z i (a ,a ) z  z 4
Z Z i (a ,a )
 3 1 e 23 13 ; 1
 4 1 e 24 14 ,
z2  z 3
z2  z 4
Z 3Z 2
Z 4Z 2

Khi đó

(z 1z 2z 3z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

Nếu ta chọn các trục a13 , a14 , a23, a24 sao cho

)e

i [(a23 ,a13 )(a24 ,a14 )]

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

dương, khi đó tỉ số này

là môđun của tỉ số kép và một argument là (a23, a13 )  (a24 , a14 ).
Trang 10


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy
( z 1z 2z 3z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (

Z 1Z 3
Z 2Z 3

:

Z 1Z 4
Z 2Z 4

)e

 
 
i [(Z 2Z 3 ,Z1Z 3 )(Z 2Z 4 ,Z1Z 4 )]

.

2. Các tính chất.
Tính chất cơ bản của tỉ số kép của bốn số thực hoặc bốn số phức cho phép ta chứng
minh các tính chất sau đây của tỉ số kép cho bốn điểm trong mặt phẳng Gauss.
10. Một tỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nếu ta thay đổi hai điểm
và cùng lúc ta thay đổi hai điểm kia; ta nhận được giá trị nghịch đảo nếu thay đổi hai
điểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với đơn vị nếu ta thay đổi hai
điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng.
20. Với 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá trị và
3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia.

(Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (Z 2Z 1Z 4Z 3 )  (Z 3Z 4Z 1Z 2 )  (Z 4Z 3Z 2Z1 )  l
1
(Z 1Z 2Z 4Z 3 )  (Z 2Z 1Z 4Z 3 )  (Z 4Z 3Z 1Z 2 )  (Z 3Z 4Z 2Z 1 ) 

l
(Z 1Z 3Z 2Z 4 )  (Z 3Z 1Z 4Z 2 )  (Z 2Z 4Z 1Z 3 )  (Z 4Z 2Z 3Z1 )  1  l
1
(Z 1Z 3Z 4Z 2 )  (Z 3Z 1Z 2Z 4 )  (Z 4Z 2Z 1Z 3 )  (Z 2Z 4Z 3Z 1 ) 
1l

(Z 1Z 4Z 2Z 3 )  (Z 4Z 1Z 3Z 2 )  (Z 2Z 3Z1Z 4 )  (Z 3Z 2Z 4Z1 ) 

l 1
l

(Z 1Z 4Z 3Z 2 )  (Z 4Z 1Z 2Z 3 )  (Z 3Z 2Z 1Z 4 )  (Z 2Z 3Z 4Z1 ) 

l
.
l 1

1
l 1
, (Z 1Z 4Z 2Z 3 ) 
của tỉ số kép có
1l
l
được bằng cách giữ có định điểm đầu tiên và hoán vị vòng tròn ba điểm còn lại là ba tỉ
số cơ bản của tỉ số kép.
40. Nếu bốn điểm phân biệt thì tỉ số kép của chúng khác 1, 0,  .
30. (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  l , (Z 1Z 3Z 4Z 2 ) 

1
1


z  z 2 z1  z 4
50. Ta có (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  1
1
1

z1  z 2 z1  z 3

một hệ thức trình bày tỉ số kép như là một hàm số của hiệu số giữa một tọa độ phức
với một trong số ba tọa độ khác.
3. Trường hợp có một điểm ở vô tận.
Ta kí hiệu  cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức của nó.
Trang 11


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Ta định nghĩa

 z  z z  z  z  z
3
4
3
 1
(Z 1Z 2Z 3)  lim (z 1z 2z 3z 4 )  lim  1
: 1


Z 4 
Z 4   z  z
z 2  z 4  z 2  z 3
 2
3
Hệ quả. Với mỗi số phức z , tỉ số kép được xác định bởi điểm Z , điểm U trên trục
Ox có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta
(ZUO )  (Z 10)  z .
4. Tỉ số kép thực.
Để tỉ số kép của bốn điểm Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng phức là thực điều kiện
cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc một
đường tròn. Khi đó tỉ số kép này được xét cũng tương tự như tỉ số kép được xét trong
hình học sơ cấp.
IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1. Đường thẳng
1.1. Điểm chia đoạn thẳng.
Nếu z 1, z 2 , z lần lượt là tọa độ phức của các điểm Z 1, Z 2 và Z . Khi đó Z chia
đoạn thẳng Z 1Z 2 với tỉ số là k 

ZZ 1
ZZ2

z 1  kz2
(1)
1k
Hệ quả. Với k  1 ta có tọa độ phức trung điểm của đoạn thẳng Z 1Z 2 là

Ta có z 

z

1.2. Phương trình tham số.

z1  z 2
.
2

Nếu một đường thẳng đi qua điểm A a  và song song với đường thẳng nối gốc O và
điểm B b  thì phương trình tham số của nó là

z  a  bt  

(2)
trong đó t là tham số thực xác định trong khoảng
(, ) .
Hệ quả.
10. Mỗi đường thẳng thực chứa vô số điểm
của mặt phẳng Gauss.Từ phương trình (2) thấy
rằng có vô số giá trị của t , do đó z cũng vô hạn.
Trang 12


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

20. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z 1(z 1 ), Z 2 (z 2 ) là:
z  z 1  (z 1  z 2 )t


vì vectơ Z 2Z 1 có phương của đường thẳng biểu diễn bởi số z 1  z 2 .

30. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng, khi t là một số thực, ta có:
z 3  z 1  t(z 1  z 2 )


 Z 1Z 3  tZ 2Z 1 .

Đây là cách tổng quát để biểu diễn sự thẳng hàng của ba điểm.
1.3. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường thẳng của mặt phẳng Gauss có dạng:

az  az  b  0

(3)

trong đó b là một số thực. Đường thẳng này luôn đi qua điểm có tọa độ phức là 

b
2a

và vuông góc với véctơ biểu diễn bởi số a .
Hệ quả.
10. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Z 1(z 1 ), Z 2 (z 2 ) là:

z
z1
z2

z 1

z1 1  0
z 1

(4)

2

2 . Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng nếu:
0

z1
z2
z3

z1

1

z2 1  0
z 1
3

3 . Đường thẳng qua điểm Z 1(z 1 ) và song song với vectơ biểu diễn bởi số phức
0

c là:
z z 1
z1 z 1  0
1
c c 0

1.4. Điều kiện trực giao, thẳng hàng.
Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt M i (z i ), i  1, 2, 3, 4 .
Tính chất 1. Các điểm M 1, M 2, M 3 thẳng hàng khi và chỉ khi
Trang 13

z 3  z1
 .
z 2  z1


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Tính chất 2. Các đường thẳng M 1M 2 và M 2M 4 trực giao khi và chỉ khi
z1  z 2
 i .
z3  z4

2. Đường tròn
2.1. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường tròn trong mặt phẳng Gauss có dạng:

zz  az  az  b  0

(1)

trong đó b   , tọa độ phức của tâm là ( a ) và bình phương bán kính là ( aa  b ).
2.2. Phương trình tham số.

Trong mặt phẳng Gauss, phương trình
at  b
(3)
ct  d
trong đó a, b, c, d là các hằng số phức thỏa ad  bc  0 (4) và t là tham số có thể
lấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:
z

d
là số thực.
c
20. một đường tròn trong tất cả các trường hợp còn lại.
Ngược lại, bất kì đường thẳng nào và bất kì đường tròn thực nào cũng có thể
được biểu diễn bởi một phương trình có dạng (3).
10. một đường thẳng nếu c  0 hoặc nếu

Trang 14


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

Chương 2:

SVTH: Võ Thanh

NHỮNG PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN

I. NHỮNG TÍNH CHẤT CHUNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TRÒN
1. Định nghĩa.

Cho z, z’ là tọa độ phức của hai điểm Z, Z’ trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, và
a, b , g, d là các hằng số thực hoặc ảo.
Xét phương trình

azz ' b z  g z ' d  0

(1)

là một song tuyến tính giữa z và z’. Bằng cách viết phương trình dưới dạng

z (az ' b )  g z ' d  0 ,
chúng ta thấy rằng, nếu cho z’một giá trị tùy ý, để phương trình cho một và chỉ một
giá trị của z (không bao gồm ∞), khi đó điều kiện cần và đủ là các phương trình
az ' b  0;

g z ' d  0

gặp mâu thuẫn, hay

ad  bg  0

(2)

hoặc bằng cách viết phương trình dưới dạng

z '(az  g )  b z  d  0
thì mỗi giá trị của z có tương ứng một và chỉ một giá trị của z’.
Do đó, nếu bất phương trình (2) xảy ra, phương trình (1) kết hợp với mỗi điểm thực Z
của ω - phẳng có một và chỉ một điểm Z’ của ω’ - phẳng được thêm vào, và ngược lại.
Phép biến đổi 1 – 1 của mặt phẳng Gauss vào chính nó được gọi là phép biến đổi tròn

của mặt phẳng phức. Nó cũng được gọi là một phép biến đổi Mobius gọi theo tên của
nhà hình học người Đức, người đã khám phá ra nó vào năm 1853.
Giải theo z’, bằng cách đặt
b  a,  d  b, a  c, g  d ,

phương trình (1) của phép biến đổi trở thành

z'

az  b
,
cz  d

ad  bc  0

Ta nói rằng z’ là một hàm biến đổi tròn của z.

Trang 15

(3)


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

2. Xác định một phép biến đổi tròn.
Định lí. Một phép biến đổi tròn được xác định nếu biết ba điểm phân biệt, tùy ý mà ta
kí hiệu là Z 1 , Z 2 , Z 3 và ba điểm phân biệt, tùy ý tương ứng với chúng là Z 1' , Z 2' , Z 3' .

Chứng minh.
Nếu
z 1  z 2  z 3 và z 1'  z 2'  z 3'

(4)

là tọa độ phức của các điểm đã cho, chúng ta phải có hệ các điều kiện
az 1z 1'  b z 1  g z 1'  d  0
az 2z 2'  b z 2  g z 2'  d  0

(5)

az z  b z 3  g z  d  0
'
3 3

'
3

trong đó ma trận

z z '
 1 1
z z '
 2 2
 '
z 3z 3
các hệ số của các ẩn a, b , g, d

1

z 2 z 2' 1

z 3 z 3' 1

có hạng là 3.
z1

z 1'

(6)

Thật vậy, giả sử ma trận (6) có hạng nhỏ hơn 3 thì ta sẽ có

z 1z 1'
1  z 2z 2'

z 1' 1

z 1' 1

z1

z 2' 1  0,

2  z 2

z 3z 3' z 3' 1

z 2' 1  0

z 3 z 3' 1

và do đó cũng có

z 1' 1

0

1  z 2  z 2 (z  z ) z
'
1

'
2
'
3

'
1
'
1

z 3 (z  z ) z

'
2
'
3

0

0

1  z 2 (z  z ) z  z
1

'
2
'
3

'
1
'
1

'
2
'
3

z 3 (z  z ) z  z

1
'
1
'
1

1  (z 2'  z 1' )(z 3'  z 1' )(z 2  z 3 )  0

1

điều này trái với giả thiết (4).
Các số a, b , g, d được xác định bằng một thừa số chung tùy ý, phép biến đổi tròn là
duy nhất, và phương trình của nó là

zz '

z

z' 1

z 1z 1'

z1

z 1' 1

z 2z 2'

z2

z 2' 1

0

z 3z 3' z 3 z 3' 1
Trang 16

(7)

GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

thu được bằng cách kết hợp các phương trình (1) và (5) thỏa mãn điều kiện là các giá
trị a, b , g, d không đồng thời bằng không.
Trong chứng minh trên, giả sử rằng tất cả các điểm đều thuộc phần hữu hạn của mặt
phẳng. Ta xét ba trường hợp còn lại.
10 Một điểm duy nhất, giả sử là Z 1 , ở vô tận. Trước hết, phương trình đầu tiên của (5)
được thay bởi

az 1'  b  0

(8)

và ma trận ứng với (6) là

z '
1 0 0
 1
z z ' z z ' 1 
 2 2 2 2

 '

'
z 3z 3 z 3 z 3 1 



có hạng là 3 bằng cách nhìn ba cột cuối.
Phương trình duy nhất của phép biến đổi tròn khi đó là

zz '

z

z' 1

1

0

0

zz

z2

1

zz

z3 z

'
2
'

3

z

'
1

'
2 2
'
3 3

z

0

1

Ta thấy rằng phương trình này có thể nhận được từ (7) bằng cách chia các phần tử của
dòng 2 cho z 1 và cho z 1   .
20 Một điểm của mỗi bộ ba ở vô tận, và hai điểm này không tương ứng, giả sử là Z 1 ,
Z 2 ’. Hai phương trình đầu của (5) được thay thế bằng (8) và
az 2  g  0

Ma trận

z '
1 0 0
 1
z

0 1 0
 2
 '

'
z 3z 3 z 3 z 3 1 
có hạng là 3 và phương trình duy nhất của phép biến đổi tròn là
zz '

z

z' 1

z 1'
z2

1
0

0
1

z 3z 3' z 3 z 3'
Trang 17

0
0
0
1

GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

30 Hai điểm tương ứng, gọi là Z 1 , Z 1 ’, trùng với điểm tại vô tận. Các phương trình
điều kiện (5) được viết lại là
a  0,

b z 2  g z 2'  d  0,
b z 3  g z 3'  d  0,
và do ma trận
z z ' 1
 2 2 
z z ' 1
 3 3 
có hạng là 2, phép biến đổi tròn duy nhất có phương trình

z

z' 1

z2

z 2' 1  0

z 3 z 3' 1
3.Tính bất biến của tỉ số kép.
Định lí. Tỉ số kép của bốn điểm bất kì Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 bằng với tỉ số kép của bốn điểm

tương ứng với nó là Z 1' , Z 2' , Z 3' , Z 4' qua phép biến đổi tròn bất kì của mặt phẳng phức.
Chứng minh.
Ta phải thấy rằng

(z 1' z 2' z 3' z 4' )  (z 1z 2z 3z 4 )
hoặc, giả sử tám điểm là hữu hạn, thì

z 1'  z 3'

:

z 1'  z 4'

z 2'  z 3' z 2'  z 4'



z1  z 3 z1  z 4
:
z2  z 3 z2  z 4

(9)

Từ phương trình (1) của phép biến đổi tròn ta thu được

z 1'  z 3' 

(ad  bg )(z 1  z 3 )
(az 1  g )(az 3  g )

(10)

và tương tự cho các trường hợp còn lại, từ đó ta có được phương trình (9). Phương
trình này cũng có thể kiểm tra bằng việc bắt đầu với vế phải.
Bây giờ giả sử z 1' bằng vô cực, tức là Z 1' ở vô tận. Điều này có được nếu, khi a  0 ta
được z 1  

g
, hoặc, khi a  0 , ta được z 1   . Vì
a
(z z z )  (z z z ) 
' ' '
2 3 4

' ' '
4 3 2

Trang 18

z 4'  z 2'
z 3'  z 2'


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

Bằng cách biểu diễn như (10), ta được

(z 2' z 3' z 4' ) 

z 4  z2 z 3  z2
:
az 4  g az 3  g

Trong trường hợp đầu, bằng cách thay
trường hợp thứ hai, (11) trở thành

(z 2' z 3' z 4' ) 

(11)

g
bởi z 1 ta thu được quan hệ cần tìm; trong
a

z 4  z2
 (z 4z 3z 2)  (z 2z 3z 4 )
z 3  z2

4. Phép biến đổi tròn.
Phép biến đổi được gọi là tròn vì tính chất sau.
Mỗi đường cong của tập hợp chứa các đường thẳng và đường tròn của mặt phẳng
thì biến thành một đường cong cũng thuộc tập đó.
Thật vậy, gọi l là đường thẳng hay đường tròn bất kì, Z 1 , Z 2 , Z 3 là ba điểm cố định và
Z là điểm di động trên l , và Z 1 ’, Z 2 ’, Z 3 ’, Z’ là các điểm tương ứng với chúng qua
phép biến đổi tròn bất kì của mặt phẳng phức.
Tỉ số kép (Z 1 Z 2 Z 3 Z) là số thực; điều này cũng đúng cho (Z 1 ’Z 2 ’Z 3 ’Z’), và điểm Z’ do
đó biểu diễn đường thẳng hay đường tròn l’ qua các điểm Z 1 ’, Z 2 ’, Z 3 ’.

5. Sự bảo toàn góc.
Định lí. Nếu hai đường cong l, l 1 cắt nhau tại điểm Z, tọa độ phức của nó khác -d/c
, tạo một góc có giá trị đại số là θ thì ảnh l’, l 1 ’ của nó qua phép biến đổi tròn có
phương trình (3) cắt nhau tại Z’, tương ứng với Z, tạo một góc θ +kπ, k∈ Z.
Ta nói rằng phép biến đổi tròn bảo toàn góc (sai khác kπ) cả về độ lớn và dấu, hay
phép biến đổi tròn là một phép biến đổi bảo giác thuận.
Chứng minh.
Đặt
z = f(t)
là phương trình của l. Tiếp tuyến tại điểm Z thì song song với



dz
, và ta có thể định hướng
dt
tiếp tuyến dương theo chiều của vectơ này.

véctơ OT là vectơ biểu diễn bởi
Phương trình của l’ là

z'

af (t )  b
cf (t )  d

Trang 19


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện

Hải

SVTH: Võ Thanh

và tiếp tuyến tại điểm Z’ tương ứng với Z, với giả sử rằng cf(t) + d ≠ 0, thì song song



với véctơ OT ' là vecto biểu diễn bởi

dz '
ad  bc dz

.
dt
(cz  d )2 dt
Nếu φ là argument của

ad  bc
thì khi đó ta có
(cz  d )2


(Ox,OT ')  f  (Ox,OT )

và, cho các đường cong l 1 , l 1 ’ bởi một phép đối xứng thích hợp kí hiệu,


'
(Ox,OT1 )  f  (Ox,OT1 )

Từ các mối quan hệ này ta thu quan hệ cần tìm (sai khác k2π) được bằng cách trừ vế
theo vế.

Nếu chiều dương của tiếp tuyến với l1' tại Z’ ngược với chiều của véctơ OT1' , thì góc

của nó với véctơ OT ' là q  (2k  1)p , định lý được chứng minh.
6. Tích hai phép biến đổi tròn.
Định lí. Tích hai phép biến đổi tròn là một phép biến đổi tròn.
Chứng minh.
Cho
a1zz 1  b 1z  g1z 1  d1  0,

a1d1  b 1g1  0

(12)

là một phương trình của phép biến đổi tròn w1 , qua đó mỗi điểm Z tương ứng với
điểm Z 1 , và
a2z 1z 2  b 2z 1  g 2z 2  d2  0,

a2d2  b 2 g 2  0

(13)

là một phương trình của phép biến đổi tròn w2 , qua đó mỗi điểm Z 1 tương ứng với
điểm Z 2 .
Tích w  w2w1 của các phép biến đổi tròn này là phép biến đổi cho phép chúng ta
chuyển từ Z sang Z 2 . Kết quả là phương trình của nó có được bằng cách khử z 1 từ
(12) và (13), và là
(a1g 2  a2b 1 )zz 2  (a1d2  b 1b 2 )z  (g1g 2  a2d1 )z 2  g1d2  b 2d1  0

Đây là một phương trình song tuyến tính của z , z 2 .Vì

Trang 20

(14)


GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện
Hải

SVTH: Võ Thanh

(a1g 2  a2b 1 )(g1d2  b 2d1 )  (a1d2  b 1b 2 )(g1g 2  a2d1 )  (a1d1  b 1g1 )(a2d2  b 2 g 2 )  0
nên w là một phép biến đổi tròn.

7. Nhóm tròn của mặt phẳng.
Một tập các phép biến hình tạo thành một nhóm nếu nó thỏa mãn hai tính chất sau:
10 tích hai phép biến hình bất kì của tập hợp là một phép biến hình của tập hợp đó.
20 biến đổi ngược của mỗi phép biến hình của tập thì thuộc tập đó.
Tập hợp các phép biến đổi tròn

z'

az  b
,
cz  d

ad  bc  0

có hai tính chất đó theo mục 6 và bởi việc thay a bằng d và d bằng a thì
phương trình (15) thành phép biến hình ngược tương ứng. Ta gọi nhóm này là nhóm
tròn của mặt phẳng.
8. Định nghĩa.
Ta gọi một điểm là điểm bất biến của một phép biến đổi tròn nếu nó trùng với điểm
tương ứng của nó.
Một phép biến đổi tròn khác phép đồng nhất có nhiều nhất hai điểm bất biến.
Thật vậy, có một phép biến đổi tròn duy nhất có ba điểm bất biến là phép biến đổi
đồng nhất.
Để thuận lợi ta kí hiệu mặt phẳng Gauss bởi ω hay ω’ , theo đó ta xét tập các điểm
Z hoặc ảnh Z’của chúng tương ứng qua một phép biến đổi tròn.
Điểm giới hạn L của ω - phẳng của một phép biến đổi tròn ℜ là điểm mà điểm
tương ứng L’ của nó ở vô tận của ω’- phẳng. Điểm giới hạn M’ của ω’ - phẳng thì
tương ứng với điểm M ≡ L’ tại vô tận trong ω - phẳng. Các điểm L, M’ cũng là các
điểm tương ứng của điểm tại vô tận trong các phép dời ℜ -1và ℜ.
II. PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Định nghĩa.
Phép biến đổi tròn với phương trình
b z  g z ' d  0,

bg  0

(1)

hay

z'

az  b
,

d

ad  0

(2)

trong đó, a hay c bằng không, số hạng zz ' không có mặt, gọi là một phép đồng dạng.

Trang 21