tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP . HỒ CHÍ MINH
-------------------------------

Lathsamivong Kikeo

TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ
CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh -2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP . HỒ CHÍ MINH
-------------------------------

Lathsamivong Kikeo

TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ
CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM
Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.My Vinh Quang

Thành phố Hồ Chí Minh -2011

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này tôi gửi đến

PGS . TS . My Vinh Quang

Người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn , lòng biết ơn chân thành sâu sắc n hất .
Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong : Khoa Toán Trường Đại học
Sư phạm TP . Hồ Chí Minh , Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP . Hồ Chí Minh
và các thầy cô khác đã tham gia giảng dạy , guả n lỷ lớp học , đã trực tiếp truyền đạt
kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập .
Cuối cùng tôi xin cảm ơn tất cả các đồng nghiệp , bạn bè đã động Viên giúp đỡ
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này .

TP . Hồ Chí Minh - 2011
LATH SA MI VONG kikeo


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3
MỤC LỤC ................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 2
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN ........................................................... 3
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN : ............................................................................. 3
1.2 Nhóm các phép thế : .......................................................................................... 4

Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ

LỚP NHÓM ................................................................................................ 9
2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM :.............................................................. 9
2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM : ........................................................ 16
2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM : ........................................................................ 22
2.4 NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA CÁC LỚP NHÓM .............................. 28
2.5. Tâm và nhóm con giao hoán tủ của nhóm nhi diện D 8 và nhóm Quaternion Q8
.................................................................................................................................. 36
2.5.1 Định nghĩa nhóm nhi diện D 8 ........................................................................................... 36
2.5.2. Định lý : .............................................................................................................................. 36
2.5.3 Định nghĩa nhóm Quaternion Q8 ................................................................................... 37
2.5.4

Định lý : ............................................................................................................................ 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 40


MỞ ĐẦU
Tâm và nhóm sinh bởi tập các giao hoán tử là một vấn đề của đại số đại cương.
Trong luận văn này chúng tôi không có tham vọng trình bày đầy đủ chi tiết về tâm và nhóm
giao hoán tử của một nhóm tổng quát mà chủ yếu là xác định tâm và nhóm giao hoán tử của
một số nhóm cơ bản như: nhóm phép thế, nhóm ma trận,... Để xác định được mục tiêu nêu
trên, luận văn chia làm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về nhóm, nhóm con
sinh bởi một tập,. Những kết quả được áp dụng nhiều trong chương 2 sẽ được chứng minh
chi tiết.
Chương 2: Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa một số lớp nhóm phép thế, ma trận
và xác định tập sinh của các lớp nhóm đó; xác định tâm của lớp nhóm phép thế, ma trận; xác

định nhóm của giao hoán tử dựa vào tập sinh của nhóm phép thế, ma trận và xác định tâm
và nhóm con giao hoán tử của các nhóm nhi diện D 8 , nhóm Quaternion Q 8 .

TP. Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2011
Người thực hiện
LATH SA MI VONG KiKeo


Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN :
1.1.1 Định nghĩa: Nhóm X là một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp có
đơn vị e và mọi phần tử x ∈ X đều có phần tử nghịch đảo.
Nếu phép toán của nhóm là giao hoán thì ta gọi nhóm là nhóm giao hoán hoặc nhóm là
nhóm abel.
1.1.2 Định nghĩa: Cho X là một nhóm, A là một tập con khác rỗng của X. Tập A gọi là
nhóm con của X nếu A ổn định với phép toán trong X và A cùng với phép toán cảm sinh là
một nhóm. Ký hiệu: A ≤ X .
Giao của một họ không rỗng các nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của
X. Thật vậy, giả sử đã cho một họ không rỗng ( A α )α∈I các nhóm con của X và A =  A i .
i∈I

Khi đó A ≠ ∅ vì có e ∈ A . Giả sử x,y ∈ A , khi đó x,y ∈ A α , ∀α ∈ I do đó

x.y −1 ∈ A α , ∀α ∈ I , tức là x.y −1 ∈ A . Như vậy A là nhóm con của X.
Giả sử M là một tập con khác rỗng của X. Ta xét họ tất cả các nhóm con của X chứa
M. Họ này không rỗng vì X là một phần tử của họ. Giao của họ đó là một nhóm con của X .
Nhóm con này gọi là nhóm con của X sinh bởi tập M, ký hiệu

M

M . Ta có :

= {a1ε  a εm / a i ∈ M ; εi =±1 ; M=1,2, , n} . Thật vậy, ký hiệu vế phải là A. Vì
1

m

nhóm con M chứa tất cả các a i của M nên M ⊃ A . Mặt khác, nếu a.b ∈ A thì hiển
nhiên a.b ∈ A và a −1 ∈ A nên A là một nhóm con chứa M do đó A ⊃ M . Bởi vậy

A= M .


1.2 Nhóm các phép thế :
Phép thế trên một tập X là một song ánh từ X lên chính nó. Khi X là tập hợp có n
phần tử thì một phép thế trên X gọi là phép bậc n. Ta thường lấy tập X = {1, 2, , n} . Khi
đó mỗi phép thế f bậc n thường được viết dưới dạng :

2 
n 
 1
f= 

 f (1) f ( 2 )  f ( n ) 
Vì f là song ánh nên các phần tử f(1),f(2),…,f(n) ở dòng dưới điều khác nhau do đó
chúng là hoán vị của n phần tử 1,2,…, n . Như vậy một hoán vị xác định một phép thế bậc n
bằng số các hoán vị của tập có n phần tử và bằng n!
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n ký hiệu là Sn .
Cho f là một phép thế bậc n. Nếu f viết được dưới dạng :

i
f=  1
 i2

i2  im
i3  i1

i m+1  i n 

i m+1  i n 

thì f được gọi là vòng xích độ dài m và ta viết đơn giản là:

f ==
( i1 i 2  i m )

=
( i 2  i m i1 )

Vòng xích độ dài 1 chính là phép thế đồng nhất 1=
x



(1=) ( 2=)


=

(n)

.

Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển trí .
Hai vòng xích f = ( i1  i m ) và g = ( j1  jk ) gọi là độc lập nếu

{i1

,  , i m } ∩ { j1 ,  ,

jk } =
∅

Phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán .
1.2.1 Định lý :Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất
(không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2 .

CHỨNG MINH


Giả sử f là phép thế khác phép thế đồng nhất, khi đó có i 1 sao cho f ( i1 )=

i 2 ≠ i1 do f là

song ánh nên f ( i 2 ) =
i3 ≠ i 2 ; f ( i3 ) =
i 4 ≠ i 2 ,i3 , và cuối cùng f ( i m1 ) = i1 . Đặt

f1 = ( i1i 2  i m1 ) , đầu là vòng xích có độ dài m1 ≥ 2 và f ( i k ) = f1 ( i k ) với k =1,2, ,m1 .

Nếu trong tập

{1, 2,, n} \ {i1i 2 i m }

có j1 sao cho f ( j1 =
) j2 ≠ j1 thì lặp lại quá

trình trên ta sẽ có vòng xích f 2 = ( j1 j2  jm2 ) với độ dài m 2 ≥ 2 và f ( jk ) = f 2 ( jk ) với

k = 1,2, ,m 2 .
Tiếp tục, nếu trong tập

{1, 2,, n} \ {i1 ,i 2 ,,i m , j1 , j2 ,, jm2 }

có

l 1 sao cho

f ( l1 =
) l2 ≠ l1 thì tương tự như trên ta có vòng xích f3 = ( l1l2  lm3 ) với độ dài m3 ≥ 2 và

f ( lk ) = f 3 ( lk ) với k = 1,2, ,m3 .
Cứ tiếp tục quá trình trên, cuối cùng ta được các vòng xích độc lập f1 ,f 2 , ,f r và

f = f1  f 2  f r
Bây giờ ta giả sử f còn có sự phân tích thành tích các vòng xích độc lập khác:

f = g1  g 2  g s khi đó có g k sao cho :

g=

k ( i1 )

f=
( i1 )

f=
1 ( i1 )

i2

g=
k (i2 )

f=
(i2 )

f=
1 ( i2 )

i3

g=
k ( i m1 )

f=
( i m1 )

f=
1 ( i m1 )

i1k

Do đó g k = f1 , không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử g1 = f1 . Khi đó ta sẽ có:

f 2  f r = g 2  g s
Tiếp tục lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta sẽ có r = s và f i = g i với mọi i = 1,2, ,r
và định lý được chứng minh.

1.2.2 Hệ quả: Mọi phép thế đều phân tích được thành tích các chuyển trí.
CHỨNG MINH


Do định lý trên ta chỉ cần chứng minh đối với phép thế đồng nhất 1x và các vòng xích. Thật
vậy ta có 1x = ( i j)( i j) , còn nếu f là vòng xích thì kiểm tra trực tiếp ta có

=
f

i1i 2  i m )
(=
( i1i m )( i1i m-1 )( i1i3 )( i1i 2 ) .

Hàm dấu là ánh xạ sign: Sn → R xác định như sau:

sign ( f ) =

i-j

∏ f ( i ) − f ( j)

{i,j}∈X
i≠ j

1.2.3 Định lý : Dấu của một chuyển trí bằng -1
CHỨNG MINH
Giả sử f =

( kl ) , khi đó

sign ( f ) =

∏ f ( i ) − f ( j)

i-j

{i,j}∈X
i≠ j

=

i-j

i-j

i-j

× ∏
× ∏
×
∏

{ } { } f ( i ) − f ( j) { } { } f ( i ) − f ( j) { } { } { } f ( i ) − f ( j)
i,j =
k,l

i,j ∩ k,l =
φ

i,j ∩ k,l =
k

i≠ j

i≠ j

i-j
k-l
i-j
i-k
i-l
=× ∏
×∏ ×∏
=
−l
l-k {i,j}∩{k,l}=
φ i-j
i ≠ k,l i-l
i ≠ k,l i-k
{i,j}∩{k,l}=
{l} f ( i ) − f ( j)

×

∏
i≠ j

i≠ j

1.2.4 Định lý : Ta có các khẳng định sau:
1) sign ( f ) ∈ {−1,1} với mọi f ∈ Sn
2) Hàm sign có tính chất nhân tức là sign(f.g) = sign(f).sign(g)

CHỨNG MINH
1) Vì mọi phép thế đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí nên giả sử

=
f

=
( i1i 2 i m )

( i1i m )( i1i m-1 )( i1i3 )( i1i 2 )

(tích của m-1 chuyển trí) suy ra

sign(f) = sign((i1i m )(i1i m-1 ) (i1i3 )(i1i 2 ))

= sign ( i1i m ) .sign(i1i m-1 ) sign ( i1i3 ) .sign ( i1i 2 )


=

−1.(−1).....(−1)(−1).
Nếu m chẵn thì m-1 lẻ do đó Sign(f) = -1

Nếu m lẻ thì m-1 chẵn do đó Sign(f) = 1
2) Giả sử f có thể biểu diễn dưới dạng :

 g (1)
g ( 2)  g ( n ) 
f = 

 f  g (1) f  g ( 2 )  f  g ( n ) 
do đó sign ( f ) =

g ( i ) − g ( j)

∏ f  g ( i ) − f  g(j)

{i,j}∈X

nên

i≠ j

=
sign ( f ) .sign ( g )

g ( i ) − g ( j)

i-j

∏ f  g ( i ) − f  g ( j) × ∏ g(i)-g(j)

{i,j∈X}

{i,j}∈X

i≠ j

=

i≠ j

i-j
=
∏
{i,j∈X} f  g(i)-f  g(j)

sign(f  g)

i≠ j

1.3 Nhóm Ma trận : Cho F là một trường
Cho m,n là hai số nguyên dương A được gọi là một ma trận m.n trên F nếu A là một
bảng hình chử nhật gồm n.m phần tử thuộc F được viết thành m dòng (mỗi dòng có n phần
tử ) và thành n cột (mỗi cột có m phần tử ) như sau :

 a11 a12
a
a 22
A =  21

 

a m1 a m2

 a1n 
 a 2n 



 a mn 

Kí hiệu M(m.n,F) là tập hợp tất cả các ma trận m.n trên F. Đặc biệt khi m = n , kí
hiệu M(n,F) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên F.
1.3.1 Định lý : Cho A là ma trận vuông cấp n không suy biến khi đó bằng hữu hạn các phép
biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc cột) ta có thể đưa A về dạng đường chéo có các phần tử trên
chéo chính a11= 
= a n-1n-1= 1 , a nn = det(A) .


CHỨNG MINH
Vì A là ma trận không suy biến nên không có dòng nào có các phần tử điều bằng 0.
Xét phần tử khác 0 đầu tiên của dòng 1 (trừ a 11 ) giả sử là a 1k thay cột 1 bằng cột 1 cộng (a 11 +1)/a 1k nhân với cột k ta được phần tử a11 = 1 . (Nếu a11 = 1 bỏ qua bước 1) nhân dòng 1
với –a t1 rồi cộng vào các dòng thứ t (t = 2,3,…,n) thì được các phần tử trên cột 1 bằng 0 trừ
a 11 . Tương tự, nhân cột 1 với–a 1t rồi cộng vào các cột thứ t (t = 2,3,…,n) thì thu được các
phần tử trên dòng 1 bằng 0 trừ a 11 .
Xét phần tử khác 0 đầu tiên của dòng hai (trừ a 22 ) giả sử là a 2j thay cột 2 bằng cột 2
cộng ( −a 22 + 1) / a 2j nhân với cột j ta được phần tử a 22 = 1 (nếu a 22 = 1 bỏ qua bước này )
để biến đổi các phần tử trên dòng 2 và trên cột 2 bằng 0 ta làm tương tự như trên .
Cứ tiếp tục cho đến bước thứ n-1 ta được ma trận chéo có các phần tử trên đường
chéo chính a 11 = … = a n-1n-1 = 1, a nn = det(A). Vậy định lý được chứng minh.

1.3.2 Mệnh đề : GL(n.) =
{ A ∈ M(n.)/det(A) ≠ 0} thì ( GL(n.),.) là một nhóm

CHỨNG MINH
Với mọi ma trận A,B,C thuộc GL ( n. ) vì phép nhân ma trận có tính kết hợp nên
(A.B).C = A.(B.C). Tồn tại phần tử đơn vị E là ma trận đơn vị cấp n mà A.E = E.A với mọi
A thuộc GL(n.) , mọi ma trận A thuộc GL(n.) thì det(A) khác 0 nên luôn tồn tại ma trận
nghịc đảo A-1 và=
A.A −1

−1
A
=
.A

E.


Chương 2: TÂM VÀ NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ CỦA MỘT SỐ
LỚP NHÓM

2.1 ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ LỚP NHÓM :
2.1.1 Nhóm phép thế :

(Sn ,.)

là một nhóm vì phép nhân của các ánh xạ có tính kết hợp, có đơn vị e là phép

thế đồng nhất e=

=
x

I(1=
)

( 2=
)

=

( n ) . Mọi phép thế f thuộc Sn đều có nghịch

đảo là ánh xạ ngược f 1 của f
2.1.2 Mệnh đề Bộ phận A n gồm các phép thế chẵn là một nhóm con chuẩn tắc của Sn .
CHỨNG MINH
Trước hết ta chứng minh A n là nhóm con của Sn : tích của hai phép thế chẵn là một
phép thế chẵn và nghịch đảo một phép thế chẵn là một phép thế chẵn nên A n ổn định với
phép toán trong Sn mà Sn là nhóm hữu hạn nên A n là nhóm con của Sn . Để chứng minh A n
là nhóm con chuẩn tắc của Sn thì cần chứng minh với mọi f thuộc A n và với mọi g thuộc Sn
thì g −1fg thuộc A n . Thật vậy
2
=
sign(g -1fg) sign(g -1 )sign(f)sign(g)
= sign
=
(g)sign(f) 1

2.1.3 Mệnh đề: K =

{e, (12 )( 34 ) , (13)( 24 ) , (14 )( 23)} là một nhóm con chuẩn tắc của S

gọi là nhóm Klein.
CHỨNG MINH
Bảng nhân của K như sau:

4

,


•
e

e

(12 )( 34 ) (13)( 24 ) (14 )( 23)

e

(12 )( 34 ) (13)( 24 ) (14 )( 23)

(12 )( 34 ) (12 )( 34 )

e

(14 )( 23) (13)( 24 )

(13)( 24 ) (13)( 24 ) (14 )( 23)

e

(12 )( 34 )

(14 )( 23) (14 )( 23) (13)( 24 ) (12 )( 34 )

e

Nhìn vào bảng nhân ta thấy K là nhóm con giao hoán của nhóm S4 . Do đó, K là nhóm con
chuẩn tắc của S4 .
2.1.4 Nhóm ma trận :
Ta dùng các ký hiệu sau:

{

}

SL ( n, ) =
A ∈ SL ( n, ) /det ( A ) =
1

T ( n, ) là tập hợp các ma trận tam giác trên định thức khác 0
D ( n, ) là tập hợp các ma trận đường chéo có định thức khác 0
UT ( n, ) là tập hợp nhưng ma trận tam giác trên có các phần tử trên
đường chéo chính bằng 1

UT m ( n, ) là tập hợp các ma trận thuộc UT ( n, ) với m –1 đường chéo phía
trên song song với đường chéo chính bằng 0
2.1.5 Định lý : Các khẳng định sau là đúng:

1) SL ( n, ) là nhóm con của GL ( n, )
2) T ( n, ) là nhóm con của GL ( n, )
3) D ( n, ) là nhóm con của nhóm T ( n, )
4) UT ( n, ) là nhóm con của T ( n, )
5) UT ( n, ) ≥ UT1 ( n, ) ≥ UT 2 ( n, ) ≥ … ≥ UT m-1 ( n, ) ≥ UT m ( n, )


CHỨNG MINH
1) Với mọi A,B ∈ SL ( n, )=
thì det ( A ) 1=
, det ( B ) 1 nên

=
det ( A.B ) det
=
( A) .det ( B ) 1 do đó A.B ∈ SL ( n, )
Với mọi A ∈ SL ( n, ) thì det ( A ) = 1 ≠ 0 nên tồn tại A−1 và det
=
=
(A) 1
( A-1 ) 1/det
suy ra A−1 ∈ SL ( n, )
Thỏa 2 điều kiện về nhóm con nên SL ( n, ) là nhóm của GL ( n, ) .
2) Với mọi A, B thuộc T ( n, )

a11 x x x   b11

a 22 x x  

A.B =

×

 x 

 
0
a nn  


x
b 22

x
x


0

x
x
x 
 a11b11
 
a 22 b 22 x
x 
=
 

x 
 


b nn  
0
a nn b nn 
x
x
x

Thật vậy ,

=
( A.B )ij

n

=
a ik b kj
∑
k=1

i-1

n

k=1

k=i

=
a ik b kj

∑ a ik bkj +∑

i-1

n

k=1

k=i

∑ 0.b kj +=
∑ a ik .0 0 với i > j

Suy ra A.B ∈ T ( n, )
Với mọi A ∈ T ( n, ) thì det ( A ) ≠ 0 do đó tồn tại A−1=
: A−1
Tính ∆

a11

i < j : Ai j

x x … x
 x … x
i+j
0 x x
=
( -1)
↑  x

0
a11

=
i j=
: A ii

( -1)

2i

x


i

0

a nn

x
x
a i-1i-1

x
x
x
a i+1i+i

0

…
…
…
x


x
x
x
x
x
a nn

≠ 0

1
∆∗
det ( A )


A11
Suy ra A -1
=

1
det ( A )

x
A 22

…
…


0

x
x
∈ T ( n,R )
x
A nn

3) Với mọi A, B thuộc D ( n, ) thì

a11
  b11
0

 
a 22

 
A.B = 
× 


 

a nn  

0

 a11.b11

0
 

a 22 .b 22
 

=




 



b nn  
a nn .b nn 
0

0

b 22

0

Suy ra A, B thuộc D ( n, ) .

Với mọi A , B thuộc D ( n, ) thì det(A) khác 0 do đó tồn tại A -1 với

=
A -1

Khi đó A

Vì A.A -1

-1

1
a
 11

= 





1
∆∗
det ( A )











1 
a nn 

0

1
a 22

0

1

0
a

a11
  11

0

 
1

a 22

 


a 22
=
×





 





a nn  
0
1 

0

a nn 

1
0 


 1



 


 0
1


1

0
a


 11
 a11
0


1


a


22

×
a 22
=



 



 



 
a
0
nn 
1 

0

a nn 

A -1.A

Suy ra A -1
=

1
a
 11









1
0 


 1


 


 0
1 






 ∈ D ( n, )



1 
a nn 

0

1
a 22

0

Vậy D ( n, ) là nhóm con của T ( n, )
Hơn nữa,

B.A

 b11
 a11

0
0

 

b 22
a 22

 

=
×







 


b nn  
a nn 
0
0

 b11.a11












b nn .a nn 

0

b 22 .a 22

0

= A.B
nên D ( n, ) là nhóm con giao hoán.

4) Với mọi A, B thuộc UT ( n, )

=
A.B

1 x x x  1 x x x 
 1 x x  1 x x

 × =


 x 
 x

 

1   0
1 
 0

Thật vậy, với i > j thì ( AB )ij=

n

∑ a ik bkj=

k=1

i-1

1 x x x 
 1 x x

 ∈ UT ( n, )

 x


1 
 0

∑ a ik bkj +
k=1

bij +
ii a

n

∑a

k=i+1

ik

b kj

i-1

∑ 0.b

=

n

kj

k=1

k=i+1

n

Với i = j thì ( AB )ii=

i-1

∑ a ik bki=

∑ a ik b ki +

k=1

=

+ 1.0 + ∑ a ik =
.0 0
bii +
ii a

k=1

i-1

∑ 0.bki + 1.1 +
k=1

∑a

ik

b ki

k=i+1

n

∑a

n

ik

.0
=

1

k=i+1

Với mọi A thuộc UT ( n, ) thì det ( A ) = 1 khác 0 nên tồn tại A -1 và
A -1 =

1
∆∗ =∆∗
det ( A )

Tính ∆

1
i < j , A ij =( -1)

i+j

x x …
 x …
0 x
↑ 

0

i

x
1 x x x

x
1 x x
x = 0 ; i = j , A ii = ( -1)2i
=1
 x
x
0
1
1

1 x x x 
 1 x x

 ∈ UT ( n, )

 x


1 
 0

Suy ra A -1
=

Vậy UT ( n, ) là nhóm con của T ( n, )

5) Trước hết ta chứng minh UT1 ( n, ) ≤ UT ( n, ) . Với mọi A, B thuộc UT1 ( n, ) ,
ta có

1 0 x x 

1 0 x x 
1 0 x x 
 1  x
 1  x
 1  x




 ∈ UT1 ( n, )
×
=
A.B =



 0
 0
 0






1 
1 
1 
 0
 0

 0
Thật vậy,=
( AB )ij

n

=
a ik b kj
∑
k=1

0với i > j


( AB )ii+1=

n

∑a

=
ik b ki+1

k=1

=

i-1

∑a

ik b ki+1 +

bii+1 +
ii a

abi+1i+i +
ii+1

k=1

n

∑a

ik

b ki+1

k=i+2

i-1

∑ 0.bki+1 + 1.0 + 0.1 +
k=1

n

∑a

ik

.0
= 0

k=i+2

Với mọi A thuộc UT1 ( n, ) thì det ( A )= 1 ≠ 0 nên tồn tại A -1 và
A -1 =

1
∆∗ = ∆∗
det ( A )

Tính ∆

Với i < j thì A
=
ij

Với

1 0 x x x 
   x x


i+j

0  x
0

=
( -1)


↑ 0

 0
i 1 


i = j thì A ii = 1

=
A i+1,i

Suy ra A -1
=

1 0 x x x 
   x x


2i+i


0
x

=
-1

( )


↑  0

 0 i
1 


0

1 0 x x 
 1  x

 ∈ UT1 ( n, )

 0


1 
 0

Vậy UT1 ( n, ) là nhóm con của UT ( n, )
Tiếp đến ta chứng minh UT m ( n, ) ≤ UT m-1 ( n, ) . Với mọi A, B thuộc UT m ( n, ) .
Ta có

1 0 … 0 x x  1 0 … 0 x x  1 0 … 0 x x 
 1 
 x   1 
 x   1 

 x 


 
 
 
0 
0 
0
A.B = 
×
 =

   
   
  


 0 
 0 
 0

 
 

 0
1   0
1   0
1 

Thậy vậy, ( AB )ii+j =

n

∑a

ik

b ki+j

k=1

=

i-1

∑ a ik bki+j + a ii bii+j + … + a ii+jbi+ji+1 +
k=1

=

i-1

∑ 0.b

ki+1

+ 1.0 + … + 0.1 +

k=1

n

∑

a ik b ki+j

k=i+j+i

n

∑a

ik

=
.0

0

k=i+2

Suy ra A.B ∈ UT m ( n, )
Với mọi A thuộc UT m ( n, ) thì det( A)= 1 ≠ 0 nên tồn tại A -1 và
A -1 =

1
∆∗ = ∆∗
det ( A )

( )

Tính ∆ : Tương tự như trên ta có A ij =
0 i
1

=
=
k 1,2…m
A i+k,i

( -1)

2i+k

0 … 0 x x
 
 x
 
0
=
0  
↑  0

0

Suy ra A -1

; A ii =
1

i

0

1

1 0 … 0 x x 
  
 x 


 
0

 ∈ UT m ( n, )





 0



1 
0

Vậy UT m ( n, ) là nhóm con của UT m-1 ( n, )

2.2 TẬP SINH CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM :
Ta dùng các ký hiệu sau:

eij : là ma trận vuông cấp n có phần tử ở hàng i cột j bằng 1 còn lại bằng 0
e : là ma trận đơn vị cấp n
t ij ( α ) =

e + αeij

( i ≠ j)

t ij ( α ) gọi là ma trận sơ cấp


d ( β )=

e + ( β-1) e nn

dig ( a11 , a 22 , … , a nn ) là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính
là ( a11 , a 22 , … , a nn )
2.2.1 Bổ đề:Thực hiện một phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A có nghĩa là nhân bên trái A
với một ma trận sơ cấp t ij ( α ) thích hợp:
+ Nhân bên phải A với ma trận t ij ( α ) tương đương với thay cột j bằng cột j cộng

α nhân cột i
+ Nhân bên trái A với ma trận t ij ( α ) tương đương với thay dòng i bằng dòng i cộng

α nhân dòng j

c j= c j +αci

A 
→B ⇔
=
B
di= di +αd j

A 
→B ⇔ B
=

A.t i j ( α )
t i j ( α ) .A

với B ma trận thu được từ A bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và cột
CHỨNG MINH

A.t ij ( α )

 a11
 

 a i1

= 
 a j1

 
a

 n1

 a11
 

 a i1

 
 a j1

 
a
 n1

… a1i

… a ii

… a1j

… a ji

… a ij

… a jj

… a ni

… a nj

… a1i

… a ii

… a1j +αa1i

… a ji

… a ij +αa ii

… a jj +αa ji

… a ni

… a nj +αa ni

… a1n  1 … 0 … 0 … 0 
  
 


1
α
0
… a in  

 


×

1
0
… a jn  

 
 

 

… a nn  
0
1
… a1n 


… a in 


… a jn 



… a nn 


 a11
 

 a i1


c ↔ c +αc
A →  
 a j1

 
a
 n1
j

j

… a1i

… a ii

… a1j +αa1i

… a ji

… a ij +αa ii

… a jj +αa ji

… a ni

… a nj +αa ni

i

… a1n 



… a in 

 =B
… a jn 



… a nn 

Suy ra=
B A.t ij ( α )

1 … 0 … 0 … 0 
 a11
 
 
 



α
1
0
 a i1





 ×  


 a j1
1
0



 

 


a
0
1
 n1


=
t ij ( α ) A




a i1

= 







a11

+ αa j1

a j1

a n1




a i1

d ↔ d +αd
A → 





i

i

j

…
a1i

… a ii + αa ji

…

… a1i

… a ii
… a ji

… a ij

… a jj

… a ni

… a nj

a1j

…

a ji

…

a ni

…

a nj

…
a1i

… a ii + αa ji

…

a1j

a1n




… a in + αa jn 

 =B

…
a jn




…

a nn

…

…

a ji

… a ij + αa jj

…
a jj

…

a ni

…

a nj

Suy ra B
1 nên det ( A ) = det ( B ) .
= t ij ( α ) .A . Hơn nữa, det ( t ij ( α ) ) =

( e + αe ) ( e - αe )= e − α e e=
( e - αe ) ( e + αe =
) e − α e e= e

Vậy t ij ( α ) .t ij ( −α )=

t ij ( −α ) .t ij ( α =
)

2

ij

ij ij

2

ij

2

ij

ij

2

ij ij

… a1n 


… a in 



… a jn 



… a nn 




… a in + αa jn 



…
a jn




…
a nn

…

… a ij + αa jj

…
a jj

a11


+ αa j1

a j1

a n1

… a1j

e ,

a1n


do đó t ij-1 ( α=
) t ij ( −α ) .

2.2.2 Định lý: Ta có các khẳng định sau

 ) < t ij ( α ) , d ( β ) / α,β ∈ ∗ , i ≠ j >
1)GL ( n,=
 ) < t ij ( α ) / α ∈ ∗ , i ≠ j >
2)SL ( n,=
3)T ( n,
=
)

t ij ( α ) ,dig ( a11 , a 22 , … , a nn ) / α , a11 , a 22 , … , a nn ∈ ∗ , i < j

)

4)UT m ( n,=

t ij ( α ) / α ∈ ∗ , j - i ≥ m
CHỨNG MINH

1) GL ( n,=
 ) < t ij ( α ) ,d ( β ) / α,β ∈ ∗ , i ≠ j > .
Với mọi A thuộc GL ( n, ) thì định thức A khác 0 đặt det ( A ) = β ≠ 0 , bằng hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp ta có thể đưa A về dạng đường chéo có các phần tử trên đường
chéo chính là a11 , a 22 , … , a nn . Theo bổ đề trên A → d ( β ) .
Suy ra d ( β ) =
t1 t 2 … t r .A.t r+1 … t s , t i là các ma trận sơ cấp

( t1 t 2 … t r ) d (β )( t =
r+1 … t s )

=
⇒ A

-1

t -1r t -1r-1 … t1-1 d ( β ) t s-1 … t -1r+1

-1

viết A t1′ t′2 … t′r d ( β )
mà t ij-1 ( α=
=
) t ij ( −α ) do đó ta có thể

t′r+1…t′s

Theo định lý nhóm con sinh bởi một tập thì

 ) < t ij ( α ) ,d ( β ) / α,β ∈ ∗ , i ≠ j >
GL ( n,=
2) SL ( n,=
 ) < t ij ( α ) / α ∈ ∗ , i ≠ j > .
A thuộc SL ( n, ) thì det ( A ) = 1 mà SL ( n, )

Với mọi

là nhóm con của

GL ( n, ) nên A thuộc GL ( n, ) = < t ij ( α ) ,d ( β ) / α,β ∈ ∗ , i ≠ j > dó đó A có dạng
A t1ε t ε2 … t εr d ( β )
=
1

2

r

εβ

t εr+1 … t sε ; trong đó εi ∈ {−1,1} .
s

r+1

suy ra det(A) =
det(t1ε t ε2 … t εr d ( β )
1

2

r

β neáu εβ =
1

= 1
 neáu εβ =−1
β

εβ

t εr+1 … t sε ) =
det(d(β)εβ )
r+1

s


mà det ( A ) = 1 nên β =1

A

ta lại có d (=
β ) e + ( β − 1) e nn do đó

d (1) = e nên

ε
ε
ε
ε
ε
t=
t1ε t ε2 … t εr .t εr+1 … t sε .Trong đó,
1 t 2 … t r .e. t r+1 … t s
1

2

r

s

r+1

1

2

r

r+1

s

t i ( α i ) neáu ε i = 1
t εi i ( α i ) = 
t i ( - α i ) neáu ε i = -1

t i ( α i ) là ma trận sơ cấp.
Suy ra SL ( n, ) = < t ij ( α ) / α ∈ ∗ , i ≠ j > .
3) T ( n,=
)

t ij ( α ) ,dig ( a11 ,a 22 ,…,a nn ) /α ,a11 , a 22 ,..,a nn ∈ ∗ ,i < j

Với mọi A thuộc T ( n, )

a11 x x x 

a 22 x x 

⇔ A =

 x


0
a nn 


Do det(A) khác 0 nên a 11 khác 0. Nhân cột 1 với –a 1k / a 11 rồi cộng vào các cột thứ

(

)

k k = 2 , 3 , … , n thì ta được các phần tử trên dòng 1 bằng 0, tương tự đối với dòng 2

(

)

nhân cột 2 với –a 2t / a 22 rồi cộng vào các cột thứ t t = 3 , … , n ta được các phần tử trên
dòng 2 bằng 0. Khi thực hiện phép biến đổi trên dòng 2 thì dòng 1 không thay dổi vì các
phần tử trong dòng 1 bằng 0
Cứ tiếp tục cho đến dòng thứ n-1 thì ta đưa A về dạng đường chéo. Trong quá trình
biến đổi ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại là nhân một số với cột i rồi cộng
vào các cột i + 1 , i + 2 , … , n
Suy

A = dig ( a11 , a 22 , … , a nn ) . t1 t 2 … t r

ra

j =
i + k , k =
1 , … , n-1




với

=
tk

nên i = j

Vậy ta được

T ( n,=
)

t ij ( α ) ,dig ( a11 , a 22 , … , a nn ) / α , a11 , a 22 , … , a nn ∈ ∗ , i < j

4) UT m ( n,=
)

t

α ) / α ∈ ∗ , j - i
(
ij

≥ m

t ij ( α )


1 0 … 0 x x 
 1 0



x






0
Với mọi A thuộc UT m ( n, ) ⇔ A = 

  


 0



1 
0

(

)

Nhân cột 1 với -a 1k rồi cộng vào các cột k k =
m + 1 , m + 2 , … , n thì ta được
các phần tử trên dòng 1 (trừ a 11 =1) bằng 0, tương tự ta nhân cột 2 với –a 2t rồi cộng vào các

(

)

cột t t =
m + 2 , m + 3 , … , n ta đưa được các phần tử trên dòng 2 bằng 0 (trừ a 22 ). Khi
ta biến đổi trên dòng 2 thì dòng 1 không thay đổi vì các phần tử trong dòng 1 bằng 0, cứ
tiếp tục cho đến bước thứ n-1 ta đưa được A về dạng đường chéo có các phần tử trên đường
chéo chính bằng 1 nên A → e trong quá trình biến đổi ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp
trên cột là nhân cột i với 1 số rồi cộng vào cột i + m , i + m + 1 ,…, n hay tương ứng với

A.t ij ( α ) trong đó j = i + m , i + m +1 , … , n nên

j - i ≥ m . Khi đó

e = A.t1.t 2 .….t k

suy ra

A = e.t -1k t -1k-1 … t1-1 mà t ij-1 ( α ) = t ij ( -α ) nên A = t1′ .t′2 … t′k
Vậy UT m ( n,=
)

t

ij

( α ) / α ∈ ∗ , j - i

≥ m

2.2.3 Định lý : Ta có các khẳng định sau

1) =
Sn

( ij) / ∀i,j ∈ X

2) =
An

( ijk ) / ∀i,j,k ∈ X

CHỨNG MINH


1) Do mọi phép thế bậc n đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí nghĩa là với
mọi f thuộc
S n thì f
=

n

∏ (i j ) , i
k k

j ∈ X theo định lý nhóm con sinh bởi một tập thì

k k

k=1

=

Sn
2) Ta luôn=
có ( ij)( ik )

( ij) / ∀i,j ∈ X

.

=
( ijk
) , ( ij)( k1) ( i1j)( jk1) mà mỗi phép thế bậc

chẵn thì

có thể phân tích thành một số chẵn các chuyển trí và theo trên cứ tích hai chuyển trí cho ta
một hay 2 vòng xích độ dài 3 do đó f=
thuộc A n thì f

n

∏ ( i j k ) ; i ,j ,k
t t

t

t

t

t

∈ X nên theo

t=i

A
=
n

định lý nhóm con sinh bởi 1 tập thì

2.3 TÂM CỦA CÁC LỚP NHÓM :
Cho nhóm X, tập con C ( X )=

( ijk ) / ∀i,j,k ∈ X

{ a ∈ X / ax=

.

xa , ∀x ∈ X

} của X gọi là tâm của

nhóm X
2.3.1 Mệnh đề : C(X) là nhóm con giao hoán của nhóm X và mọi nhóm con của C(X) đều
là nhóm con chuẩn tắc của X
CHỨNG MINH

C ( X ) ≠ ∅ vì luôn có e là đơn vị của X mà ex= xe , ∀x ∈ X do đó e ∈ C ( X )

C ( X ) ổn định với phép toán trong X ∀a,b ∈ C ( X ) , thì ta có

-1
-1
 axa
 ax = xa
=
 = xaa
⇔  -1

bx
=
xb
=
b xb
b-1bx

=

(

)

x
x

⇒ a b-1xb a-1 = x

(1)
(2)

∀x ∈ X