tập nghiệm của phương trình vi tích phân volterra đối số lệch phi tuyến loại hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH
PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN
LOẠI HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI
HYPERBOLIC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Lê Hoàn Hóa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
T
1

T
1

BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG .............................................................. 4
T
1

T
1

PHẦN MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 6
T
1

T
1

CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM .................................... 13
T
1

T
1

1.1.Giới thiệu bài toán. .....................................................................................................13
T
1

T
1

1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng. ..............................................................16
T
1

T
1

1.3. Tính khác rỗng của tập nghiệm................................................................................33
T
1

T
1

CHƯƠNG 2. TÍNH
T
1

T
1

Rδ

T
1

CỦA TẬP NGHIỆM ..................................................... 34
T
1

2.1. Khái niệm và tính chất của tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ .................34
T
1

T
1

T
1

T
1

2.2.Hệ ngược và giới hạn ngược ([12]) ...........................................................................35
T
1

T
1

2.2.1.Định nghĩa hệ ngược ..............................................................................................35
T
1

T
1

2.2.2.Giới hạn ngược ......................................................................................................36
T
1

T
1

2.3. Tính Rδ của tập nghiệm .............................................................................................36
T
1

T
1

T
1

T
1

CHƯƠNG 3. TÍNH CONTINUUM CỦA TẬP NGHIỆM .................................... 56
T
1

T
1

3.1.Bậc tôpô của trường compact ....................................................................................56
T
1

T
1

3.2.Tính continuum của tập nghiệm ...............................................................................57
T
1

T
1

CHƯƠNG 4. MỘT DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
T
1

T
1

(T ) .......... 66

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 69
T
1

T
1

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 71
T
1

T
1


BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG


Tập hợp các số tự nhiên {1, 2,...}

+

Tập hợp   {0}

σ

Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn σ



Tập hợp các số thực



Tập hợp các số thực không âm

+

σ

Tập hợp các số thực lớn hơn hoặc bằng σ

Ω

Bao đóng của Ω

∂Ω

Biên của Ω

conv ( Ω )

Bao lồi đóng của Ω

A× B

Tích Descartes của hai tập hợp A và B

∏ Xα

Tích Descartes của họ ( X α )α∈I

(X, • n)

Không gian Frechet X với họ nửa chuẩn

( E, • )

Không gian Banach E với chuẩn •

•

Chuẩn trên không gian Banach X

α∈I

X

{ • n }n

X*

Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

C ( Ω, E )

Không gian các hàm liên tục u : Ω → E

C1 ( Ω, E )

Không gian các hàm khả vi liên tục u : Ω → E

Cr

Không gian các hàm liên tục u : [ − r ,0] → E

Cσ

Không gian các hàm liên tục u : [ − r , σ ] → E

f : X → Y, f

A

Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập con A ⊂ X

L1 ( Ω )

Không gian các hàm khả tích u : Ω → 

L ( E, F )

Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F

{ Xα ,παβ , Ω}

Hệ ngược


{

}

lim ← X α

Giới hạn ngược của hệ ngược X α , π αβ , Ω

f g

Hợp thành của hai ánh xạ f và g

D ⊂ E, i : D → E

Ánh xạ nhúng định bởi i ( u ) = u

I : X → X ,IX : X → X

Ánh xạ đồng nhất trên X

B ( x, r )

Quả cầu mở tâm x bán kính r

B ( x, r )

Quả cầu đóng tâm x bán kính r

deg ( f , D, p )

Bậc tôpô của trường compact f trên tập D tại p .

■

Kết thúc chứng minh

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng. Các
kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lý, hóa học, sinh học cũng như
trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học.
Khi khảo sát một phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của
nó. Khi phương trình đã có nghiệm thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu nghiệm có
duy nhất hay không và trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm thì tập nghiệm có
những tính chất gì?
Năm 1890, Peano chứng minh rằng bài toán Cauchy
T
0


 x′ ( t ) = g ( t , x ( t ) )


 x ( 0 ) = x0
n
(với t ∈ [ 0, a ] ⊂  và g : [ 0, a ] × 
→ n là hàm liên tục) có nghiệm địa phương mặc dù

tính duy nhất nghiệm không được đảm bảo. Nhận xét này đã thúc đẩy việc nghiên cứu cấu
T
0

trúc tập nghiệm
T
0

T
0

S

trong trường hợp
T3
0

T3
0

T3
0

T
0

T
0

T
0

T
0

của bài toán Cauchy. Một điểm đáng lưu ý là chính Peano đã chỉ ra rằng,
T3
0

n = 1,

tất cả các tập=
S (t )

T3
0

T3
0

{ x ( t ) : x ∈ S } đều là continuum (tức compact

liên thông khác rỗng) trong tôpô thông thường của  , với

t

thuộc một lân cận của t0 .

Năm 1923, Kneser đã tổng quát kết quả này cho trường hợp n bất kỳ. Năm 1928,
T
0

T3
0

Hukuhara chứng minh rằng

S

T3
0

là continuum ngay cả khi thay



n

bằng không gian Banach

thực tùy ý. Do đó tính chất continuum còn được gọi là tính chất Hukuhara-Kneser.
Một tính chất đặc biệt hơn của
T
0

S

được tìm thấy năm 1942 bởi Aronszajn. Trong [1]

Aronszajn đã cải thiện kết quả của Kneser bằng cách chứng minh tập nghiệm
T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

S

của bài toán

Cauchy thậm chí còn là Rδ tập- một trường hợp đặc biệt của tập continuum. Điều này dẫn
đến

S

là acyclic, nghĩa là nếu không có tính Lipschitz của vế phải

g

thì

S

có thể có nhiều

hơn một phần tử nhưng theo quan điểm tôpô đại số thì nó tương đương với một điểm, theo

nghĩa nó có cùng các nhóm đồng điều giống như không gian một điểm. Do đó, một số tác
giả gọi tính chất Rδ là tính chất Aronszajn.


Cũng theo hướng nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, năm 1986 trong bài báo [2]
T
0

F.S.De Blasi và J.Myjak chứng minh được tính Rδ của tập nghiệm bài toán Darboux

 z xy = f ( x, y, z )

=
( x ) ; z ( 0, y ) ψ ( y )

 z ( x,0 ) φ=

với I = [ 0,1] ; φ ,ψ : I →  d là các hàm liên tục tuyệt đối cho trước thỏa φ ( 0 ) = ψ ( 0 ) và ánh
T
0

d
xạ f : Q × 
→ d (trong đó

( i ) f (.,., z )

Q= I × I )

đo được với mọi

thỏa mãn các điều kiện sau

z∈

d

;

T
0

( ii ) f ( x, y,.)

liên tục với hầu hết ( x, y ) ∈ Q ;

T
0

( iii ) Tồn tại một hàm khả tích α : Q → [0, ∞ )

thỏa mãn f ( x, y, z ) ≤ α ( x, y ) với mọi

T
0

( x, y , z ) ∈ Q ×  d .
T
0

Gần đây, năm 2005 trong [10] A.Dutkiewicz và S.Szufla xem xét phương trình tích

phân
t

x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds

( *)

0

với các giả thiết sau:
T
0

Giả sử D = [ 0, a ] là một đoạn compact của
T
0



, ( E, •

) là không gian Banach đầy đủ

yếu theo dãy và B =
{ x ∈ E : x ≤ b} .
Ta xét họ B
T
0

gồm tất cả các tập bị chặn khác rỗng của E . Với

T
0

T
0

nghĩa β=
( A) inf {ε > 0 : tồn tại một tập compact yếu

K

A ∈B

ta định
T
0

T
0

}

thỏa mãn A ⊂ K + ε B ( 0,1) (trong

đó B ( 0,1) =∈
{ x E : x ≤ 1} ).
T

0

(i )

f : D× B → E

( ii ) K ( t , s ) =

liên tục yếu và thỏa f ( t , x ) ≤ M với mọi ( t , x ) ∈ D × B ;

H (t, s )

( t − s )r

, trong đó

0 < r <1

và

H

là một hàm số thực liên tục;

T
0

( iii ) Đặt
T
0

c = max H ( t , s ) . Lấy số dương d cố định thỏa mãn d ≤ a và Mc.
t , s∈D

d 1−r
1− r

Đặt J = [ 0, d ] . Giả sử tồn tại hàm liên tục không giảm g : [ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) thỏa mãn g ( 0 ) = 0 ,


g (t ) > 0

với

1

δ

mọi

t >0

1  s  1−r
∫ s  g ( s )  ds = ∞

0 

và

β ( f ( J × X ) ) ≤ g ( β ( X ) ) với mọi

(δ

>0

cho

trước)

sao

cho

X ⊂ B.

Hai tác giả gọi nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là hàm liên tục yếu
T
0

t

x:J → B

thỏa x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds . Khi đó, A.Dutkiewicz và S.Szufla chứng minh
0

được tập nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là continuum trên không gian các hàm
liên tục yếu Cw ( J , E ) .
Một số kết quả về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong các tài liệu [1]-[7], [10],

T
0

[12], [14], [15], [18], [21], [23]-[25], [28], [29]. Riêng các kết quả về tính Rδ của tập nghiệm
được đề cập trong [3], [6], [14], [15], [21], [25], [28], [29]. Tổng quan một số kết quả chính
về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong [14].
Như vậy là chúng ta đã phát họa một số nét sơ lược về hướng nghiên cứu cấu trúc tập
T
0

nghiệm của phương trình vi tích phân nhằm nói lên vị trí, nguồn gốc phát sinh vấn đề
nghiên cứu của đề tài. Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp hữu hiệu thường
được sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của một phương trình.
Rõ ràng việc mô tả cấu trúc tập điểm bất động của một toán tử trên không gian vectơ
T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

sẽ dẫn đến những kết quả tương ứng cho tập nghiệm của một phương trình. Lý do cho nhận
T
0

xét này là việc tìm nghiệm của một phương trình trên một không gian vectơ luôn có thể quy
về việc tìm điểm bất động của một toán tử thích hợp. Chẳng hạn nếu

X

vectơ, f là một toán tử trên

thì x0 là nghiệm của

X

và

y

là một phần tử cố định của

X

là một không gian

phương trình f ( x ) = y khi và chỉ khi x0 là điểm bất động của toán tử

T

định bởi

T ( x=
) f ( x) + x − y .

Vì lý do đó mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là một công cụ hữu hiệu trong
T
0

mục tiêu nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình vi tích phân. Và như
vậy, sự phát triển của các kết quả về cấu trúc tập điểm bất động của các loại toán tử trên
không gian vectơ cũng sẽ thúc đẩy mạnh mẽ những tiến bộ trong việc nghiên cứu cấu trúc
tập nghiệm của các lớp phương trình tương ứng.


Năm 1955, Krasnosel’skii đưa ra một định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử
T

0

có dạng tổng của một ánh xạ co

U

và một ánh xạ hoàn toàn liên tục C . Kết quả này đã thúc

đẩy quá trình nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các loại phương trình vi tích phân mà
nghiệm của phương trình đó là điểm bất động của một toán tử thỏa các điều kiện của Định
lý Krasnosel’skii.
Nhiều tác giả tìm cách mở rộng Định lý này bằng cách thay đổi “kiểu co” của toán
T
0

tử co

U

sao cho

U

vẫn có điểm bất động duy nhất. Mỗi lần như vậy, các tác giả trên lại kết

hợp với toán tử hoàn toàn liên tục

C

để từ đó mở rộng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii

ứng với toán tử co mới.
Cũng theo dòng chảy này, năm 1994 trong [17] L.H.Hoa và K.Schmitt đã đề nghị
T
0

một Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trên không gian lồi địa phương đầy đủ theo
dãy. Một điểm thú vị là ngoài sự tồn tại điểm bất động thì tàng ẩn trong chứng minh của hai
tác giả chúng ta còn thấy tồn tại một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng

sao cho mọi điểm bất

D

động đều thuộc D .
Đối với mục tiêu nghiên cứu tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động một
T
0

toán tử

F

thì sự kiện tồn tại tập bị chặn M chứa tập điểm bất động của
T
0

T
0

F

thật sự có ý nghĩa.

Lý do ở đây là vì thông thường các kết quả về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất
động toán tử

F

đòi hỏi

F

phải là ánh xạ compact. Nhưng bằng cách hạn chế

thì ta chỉ cần tính hoàn toàn liên tục của

F

F

trên tập

M

để thu được tính continuum và tính Rδ của tập

điểm bất động.
Xuất phát từ ý tưởng chính đó, trong luận văn chúng tôi tiến hành nghiên cứu cấu
T

0

trúc tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic
t

) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0.
u′ ( t =
(T )

0

 0u= ϕ ∈ Cr .
Công cụ chính được sử dụng là Định lý điểm bất động của toán tử dạng

Krasnosel’skii trong không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy, Định lý về tính continuum
T
0

T
0

và tính Rδ của giới hạn ngược, Định lý về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động
ánh xạ hoàn toàn liên tục.
Trong [20], [21] chúng tôi đòi hỏi tính hoàn toàn liên tục của
T
0

tính khác rỗng và tính Rδ của tập nghiệm phương trình

f

để lần lượt thu được


t

) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0.
u′ ( t =

0

 0u= ϕ ∈ Cr .

Trong luận văn này chúng tôi mở rộng kết quả của [20]. Bằng cách thay tính hoàn
T
0

toàn liên tục bằng một tính chất nhẹ hơn - tính chất L1 − Caratheodory , chúng tôi không chỉ
thu được tính khác rỗng mà còn thu được cả tính continuum của tập nghiệm.
Kết cấu luận văn bao gồm phần mở đầu và bốn chương.
T
0

Chương 1. Tính khác rỗng của tập nghiệm.
T
0

Chương 2. Tính Rδ của tập nghiệm.
T
0

T
0

Chương 3. Tính continuum của tập nghiệm.
T
0

T
0

Chương 4. Một dạng tổng quát của phương trình (T ) .
Kết thúc luận văn là một vài kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Sau đây là phần giới thiệu cho từng chương.
Mở đầu Chương 1, chúng tôi đưa ra định nghĩa các không gian hàm cùng các ký hiệu
T
0

cần thiết và giới thiệu về phương trình mà luận văn nghiên cứu cùng các giả thiết kèm theo.
Sau đó chúng tôi đưa ra các khái niệm thiết yếu và chứng minh một số mệnh đề quan
T
0

trọng. Trong đó, Định lý 1.2.10 và Định lý 1.2.12 chiếm giữ vị trí đặc biệt trong luận văn.
Chúng tôi kết thúc Chương 1 bằng các định lý về sự khác rỗng của tập nghiệm.
T
0

Chương 2 mở đầu bằng việc trình bày các khái niệm tập co rút tuyệt đối, tập acyclic,
T

0

tập Rδ , hệ ngược, giới hạn ngược và một số tính chất liên quan.
Chúng tôi cũng đưa ra một nhận xét được trích dẫn trong [28] về việc một tập Rδ thì
T
0

acyclic và continuum nhưng một tập continuum có thể không là Rδ . Điều đó cho thấy tính
Rδ phân biệt và thật sự mạnh hơn tính continuum.

Sử dụng một kết quả của Gabor chúng tôi đưa ra một hệ quả về tính Rδ của tập điểm
T
0

bất động – Hệ quả 2.3.2. Hệ quả này giúp ta khẳng định nếu một toán tử

T

tục xác định trên tập con bị chặn khác rỗng của một không gian Banach và
thiết của hệ quả thì tập điểm bất động của

T

hoàn toàn liên
T

thỏa các giả

là Rδ .

Hệ quả 2.3.2 có hình thức khá tương đồng với Định lý Krasnosel’skii-Perov. Giả
T
0

T
0

thiết của hệ quả này được thay đổi đôi chút so với Định lý Krasnosel’skii-Perov. Sửa đổi


này giúp ta thu được tính Rδ - tính chất này mạnh hơn tính continuum trong kết luận của
Định lý Krasnosel’skii-Perov.
Một khó khăn nảy sinh đó là Hệ quả 2.3.2 phát biểu trên không gian Banach nhưng
tập nghiệm của phương trình (T ) lại là tập con của không gian Frechet các hàm liên tục

C ([ 0, ∞ ) , E ) .
Khó khăn này được giải quyết bằng cách sử dụng giới hạn ngược của hệ ngược. Ta
lấy một tập con đóng khác rỗng M ⊂ C ([ 0, ∞ ) , E ) . Bằng cách =
đặt M n

{x [

0,n ]

: x∈M

} ta

thấy M n là tập con của không gian Banach X n = C ([ 0, n ] , E ) . Sau đó chúng tôi chứng minh
rằng

M

đẳng cự với giới hạn ngược lim← M n .

Mặt khác, trong [12] Gabor đã chứng minh tính Rδ của lim← M n khi tất cả M n là Rδ .
Do đó để chứng minh lim← M n là Rδ chúng tôi tìm cách chứng minh M n là Rδ . Kết hợp với
sự kiện tính Rδ là một bất biến tôpô ta thấy

M

cũng là Rδ .

Trong Định lý 2.3.13, chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật này vào việc chứng minh tính Rδ
T
0

của tập nghiệm phương trình (T ) . Đây là định lý quan trọng của luận văn và đã được công
bố trong [21].
Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính chất yếu hơn – tính continuum của tập
nghiệm. Để thu được tính continuum chúng tôi đã giảm được đòi hỏi hoàn toàn liên tục trên
f

mà chỉ cần

f

là L1 − Caratheodory .

Để đạt mục đích, từ Định lý Krasnosel’ski-Perov chúng tôi đưa ra một định lý về tính

continuum của tập điểm bất động – Định lý 3.2.2. Sau đó chúng tôi áp dụng định lý này
cùng kỹ thuật giới hạn ngược vào việc chứng minh tập nghiệm của phương trình (T ) là
continuum - điều này được thể hiện trong Định lý 3.2.5. Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.5 là hai
kết quả chính của chương.
Trong chương 4, chúng tôi đưa ra chứng minh cho tính continuum và tính Rδ của tập
T
0

nghiệm một dạng phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến mà phương trình

(T )

chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình này.
Trong luận văn, ký hiệu ■ được dùng để kết thúc một chứng minh. Về mặt hình thức
T
0

T
0

chúng tôi đánh số các Mệnh đề, Định lý, Định nghĩa, Chú ý, Hệ quả bằng thứ tự của


chương, mục và tiểu mục mà chúng có mặt (ví dụ Định lý 1.2.12 có nghĩa là Định lý này
nằm ở chương 1, mục 1.2, tiểu mục 1.2.12).
Trong khi trình bày, những vấn đề nào được trích dẫn sẽ chỉ nêu kết quả và nguồn
T
0

gốc trích dẫn mà không đưa ra chứng minh. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến

các tác giả có tài liệu được chúng tôi trích dẫn trong luận văn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Hoàn Hóa.
T
0

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy phản biện đã đọc kỹ luận văn và giúp tác giả
T
0

nhiều ý kiến quý báu.
Tác giả cũng xin cảm ơn các Thầy Cô ở Khoa Toán Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ
T
0

Chí Minh, Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã động viên
giúp đỡ, tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè - những người đã luôn ở
T
0

bên quan tâm và động viên tác giả. Sự giúp đỡ của họ đã góp phần không nhỏ vào việc hoàn
T
0

thành luận văn này.

TP.Hồ Chí Minh – Mùa hè 2011

Nguyễn Ngọc Trọng

CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM
Năm 1981, trong [16] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi
T
0

tuyến loại Hyperbolic có dạng

(t ) u (t )
u′ ( t ) + A =


u ( 0 ) = u0

t

∫ g ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ 0
0

Và năm 1996, trong [26] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích
T
0

phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic
t


u′ ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ t0


t0


u ( t0 ) = u0

Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự đàn
T
0

hồi của các vật rắn. Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình vi
tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch.

1.1.Giới thiệu bài toán.
Cho

r > 0.

Đặt  =
+

Ta ký hiệu • là chuẩn của không gian Banach E .

∆ {( t , s ) ∈ 
[0, ∞ ) và=
+ × + : s ≤ t } , ∆ n =∆  [ 0, n ]

2

với

n∈

.

C
=
C ([ −r ,0] , E ) với chuẩn
=
u 0 sup { u ( t ) : t ∈ [ − r ,0]} .
r
C ([ −r , ∞ ) , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ −r , ∞ ) vào E .
Với

t≥0

đặt  t : C ([ − r , ∞ ) , E ) → Cr định bởi
 t ( u )(θ=
) u ( t + θ ) với θ ∈ [ −r , 0] .

Với t ∈ [ 0, d ] đặt  t : C ([ − r , d ] , E ) → Cr định bởi

 t ( u )(θ=
) u ( t + θ ) với θ ∈ [ −r , 0] .

Với mỗi
u : [ 0, n ] → E .

n∈

đặt X n = C ([ 0, n ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục

Đặt X = C (  + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ 
Đặt F= E × Cr với chuẩn

( x, y )=

x + y 0 và

Η=

 ×F

+

vào E .

( t , x ) Η=

với chuẩn

t+ x.

Ta ký hiệu • L( E , E ) ; • L( C , E ) lần lượt là chuẩn trên không gian các ánh xạ tuyến tính
r
liên tục L ( E , E ) và L ( Cr , E ) .
Ta thấy

là tập đóng nên ∆ n =∆  [ 0, n ] là tập đóng chứa trong tập compact [ 0,n ] .
2

2

∆

Do đó ∆ n là tập compact.
Định nghĩa 1.1.1
T
0

Cho
T
0

T :D →Y
T
0

T

là các không gian lồi địa phương, tập con

X ,Y

D⊂ X

và toán tử liên tục

.

gọi là hoàn toàn liên tục nếu với mọi tập con bị chặn

ta có T ( A) là tập

A

của

Y

ta đều có T −1 ( M ) là tập

D

compact tương đối.
T
0

T

gọi là compact nếu T ( D ) là tập compact tương đối.

T
0

T

gọi là ánh xạ riêng nếu với mọi tập con compact

con compact của

M

của

D.

T
0

Chú ý 1.1.2

( i ) Toán tử compact thì hoàn toàn liên tục.
( ii ) Nếu

D

( iii ) Cho
nhúng

bị chặn và

D

i:D → X

T

hoàn toàn liên tục thì

là tập con bị chặn của

X

định bởi i ( x ) = x . Khi đó

và

i −T

T

compact.

T :D→ X

hoàn toàn liên tục. Xét ánh xạ

là ánh xạ riêng.

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra đối số
lệch phi tuyến loại Hyperbolic
t

) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0. trong
u′ ( t =
(T )

0


 0u= ϕ ∈ Cr .

đó { A ( t )}t ≥0 là họ toán tử tuyến tính liên tục từ
liên tục từ Cr vào

E

E

vào

và k :  + → E là ánh xạ liên tục.

Ta đưa ra một số điều kiện sau

E

, { L ( t )}t ≥0 là họ toán tử tuyến tính


(T .1) t  A ( t ) và t  L ( t ) liên tục.
(T .2 ) V :  + × F → E

liên tục và tồn tại hàm liên tục ω : 
+ →

+

sao cho

V ( t , x ) − V ( t , y ) ≤ ω ( t ) x − y với mọi x, y ∈ F và t ∈  + .

(T .3)

f :∆× F → E

là hàm

(T .3.1) Với mọi

(

hC ∈ L1 [ 0, n ]

2

L1 − Caratheodory,

nghĩa là

hàm τ  f (τ , x ) Borel đo được;

x∈F

(T .3.2 ) Với hầu hết τ ∈ ∆

hàm x  f (τ , x ) liên tục;

(T .3.3) Với

và mỗi hằng số

mỗi

n∈

) và tập compact K

trong

C

C > 0,

tồn tại hàm không âm

sao cho f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với mọi

E

x∈F

thỏa x ≤ C và với hầu hết ( t , s ) ∈ ∆ n . Trong đó L1 ( Ω ) là không gian các hàm u : Ω → 
khả tích trên

Ω.

(T.3)

f :∆× F → E

(T .4 )

lim

f ( t , s, x )

x →∞

x

hoàn toàn liên tục.
= 0 đều theo ( t , s ) trên mỗi tập con bị chặn bất kỳ của ∆ .

Định nghĩa 1.1.3
T
0

u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (T ) nếu u 0,∞ ) ∈ C1 ([ 0, ∞ ) , E ) và u
[

thỏa phương trình (T ) , ở đây C1 ([ 0, ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục
u : [ 0, ∞ ) → E .

Chú ý 1.1.4

( i ) Ta thấy rằng nếu
Thật vậy, do

f

f

( )

thỏa T.3 thì

liên tục nên

f

( t , s ) ∈ [0, n]2 . Khi đó
thỏa x ≤ C .

(

hC ∈ L1 [ 0, n ]

2

thỏa (T .3) .

thỏa (T .3.1) và (T .3.2 ) .

Do ∆ n × BF ( 0, C ) bị chặn nên

BF ( 0, C ) =
{ x ∈ F : x ≤ C} ). Đặt

f

KC =

) và

(

)

là tập compact (ở đây

(

)

và

f ∆ n × BF ( 0, C )
f ∆ n × BF ( 0, C )

hC ( t , s ) = 1 với mọi

f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với mọi ( t , s ) ∈ ∆ n và

x∈F


( ii ) Bây
(T .3) , (T .4 ) và
Xét

giờ chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy tồn tại hàm
f

E=

f :∆× F → 

f

thỏa điều kiện

( )

không thỏa T.3 .
và lấy hàm không âm, bị chặn, không liên tục h ∈ L1 ( 
+×

+

).

Đặt

định bởi f ( t , s, x ) = h ( t , s ) với mọi ( t , s, x ) ∈ ∆ × F .

Vì với mọi x ∈ F , ánh xạ τ  f (τ , x ) chính là h nên từ tính đo được của h ta thấy

(T .3.1)

thỏa mãn. Ta thấy (T .3.2 ) và (T .4 ) cũng thỏa.

Hơn nữa f ( t , s, x ) ∈ h ( t , s ) .{1} với mọi ( t , s, x ) ∈ ∆ × F nên (T .3.3) cũng thỏa.
Vì

f

không liên tục nên cũng không hoàn toàn liên tục. Do đó

f

( )

không thỏa T.3 .

■

1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng.
Đặt g :  + × Cr → E định bởi
g ( t , u=
) A(t ) u ( 0) + L (t ) u + V (t, u ( 0) , u ) + k (t ) .

Ta chú ý rằng  t u ( 0 ) = u ( t ) nên với mọi u ∈ C ([ − r , ∞ ) , E ) ta có
A(t ) u (t ) + L (t ) tu + V (t, u (t ) , tu ) + k (t ) =
g (t,  tu ) .

Với σ

≥0

đặt  σ =
{n ∈  : n > σ } .
[σ , ∞ ) ,  σ =

Ta chú ý rằng C ([ − r , ∞ ) , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ − r , ∞ ) vào
E

với họ nửa chuẩn đếm được { • n }

n∈ σ

định nghĩa như=
sau: x n sup { x ( t ) : t ∈ [ − r , n ]}

với n ∈  σ .
Ta thấy =
metric ρ ( x, y )

∑

n∈ σ

{

2− n.min 1, x − y n

}

tương thích với họ nửa chuẩn

{ • n }n∈ σ .
C ([ −r ,σ ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục u : [ −r ,σ ] → E với
Đặt C=
σ
chuẩn
=
u σ sup { u ( t ) : t ∈ [ − r , σ ]} .


Với mỗi n ∈  σ ta đặt Yn = C ([σ , n ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục

{

}

u n sup u ( t ) : t ∈ [σ , n ] .
=
u : [σ , n ] → E với chuẩn

Đặt Y = C (  σ , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ  σ vào
chuẩn đếm được

bởi: u n
{ • n }n∈ σ định=

Ta thấy=
metric d ( x, y )

∑

{

E

với họ nửa

}

sup u ( t ) : t ∈ [σ , n ] với n ∈  σ .

{

2− n.min 1, x − y

n∈ σ

n

}

tương thích với họ nửa chuẩn

{ • n }n∈ σ .
Chú ý rằng khi σ

=0

ta có=

X=

, C0 C=
, Yn X n .
+=
r ,Y
0

Lấy ϕ ∈ Cσ . Ta xét phương trình (Tσ )
t

′
g ( t ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  s u ) ds
u ( t ) =

0

u ( t ) ϕ ( t )

, t ≥ σ.

(Tσ )

Ta

, t ∈ [ − r , σ ].

thấy phương trình (T ) chính là phương trình (T0 ) .
Với

u ∈Y

đặt u : [ −r , ∞ ) → E được định nghĩa như sau

u ( s ) + ϕ (σ ) − u (σ ) , s ≥ σ .
u (s) = 
, s ∈ [ − r , σ ].

ϕ ( s )

Với u ∈ C ([σ , d ] , E ) đặt u : [ − r , d ] → E được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.1


u ( s ) + ϕ (σ ) − u (σ ) , s ∈ [σ , d ].
u (s) = 
, s ∈ [ − r , σ ].

ϕ ( s )

T
0

u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (Tσ ) nếu u σ ,∞ ) ∈ C1 ([σ , ∞ ) , E ) và u
[

thỏa phương trình (Tσ ) , ở đây C1 ([σ , ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục
u : [σ , ∞ ) → E .

Ta thấy phương trình (Tσ ) tương đương với phương trình tích phân sau

t
t s


=
+
,
u
t
g
s
u
ds


 ∫ f ( s,τ , u (τ ) , τ u ) dτ  ds + ϕ (σ )
(
)
(
)
s

∫
∫



σ
σ0




u ( t ) ϕ ( t )

(

,t ≥ σ .
, t ∈ [ − r , σ ].

)

Đặt ζ :  + × Y → Η định bởi ζ ( t , u ) = t , u ( t ) ,  t ( u ) .
Đặt

V :Y → Y
t

(

,

G :Y → Y

định bởi

( ))

V ( u )( t ) = ∫ g s,  s u ds + ϕ (σ ) , G ( u )( t ) =
σ

là tập điểm bất động của

Đặt

Σ

Khi

u ∈Σ

và

S

t ≥σ

.

là tập nghiệm phương trình (Tσ ) .

u ( t )
thì u (σ ) = ϕ (σ ) nên u ( t ) = 
ϕ ( t )

Định lý 1.2.2
T
0

V +G

s

∫  ∫ f ( s, ζ (τ , u ) )dτ  ds với
σ0

t

,t ≥ σ
, t ∈ [ −r ,σ ]

T
0

Với n ∈  σ và

x, y

(i ) x n ≤ 2

x

liên tục trên [σ , n ] ta có
n

+ ϕσ.

( ii ) x ( t ) − y ( t ) ≤ 2

x− y

( iii )  t ( x ) −  t ( y ) 0 ≤ 2
( iv )  t ( x ) 0 ≤ 2

x

n

n

với mọi t ∈ [ − r , n ].

x − y n với mọi t ∈ [ 0, n ]

+ ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ]

Chứng minh
 x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ

( i ) Ta có x ( s ) = 


ϕ ( s )

, s ∈ [ −r ,σ ]

Nếu s ∈ [ − r , σ ] thì x ( s ) ≤ ϕ ( s ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ .
Nếu s ∈ [σ , n ] thì x ( s ) ≤ x ( s ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ .
Vậy x ≤ 2 x n + ϕ σ .
n

( ii ) Ta có

 x ( s ) − y ( s ) −  x (σ ) − y (σ ) 
x(s) − y (s) =


0

, s ≥σ
, s ∈ [ −r ,σ ]


Khi t ∈ [ − r , σ ] ta có x ( t ) − y ( t ) =≤
0 2 x− y n.
Khi t ∈ [σ , n ] ta có x ( t ) − y ( t ) ≤ x ( t ) − y ( t ) + x (σ ) − y (σ ) ≤ 2 x − y n .
Vậy x ( t ) − y ( t ) ≤ 2 x − y

n

với mọi t ∈ [ − r , n ] .

Bây giờ ta chứng minh ( iii ) , ( iv ) .
Lấy θ ∈ [ − r , 0] và t ∈ [ 0, n ] thì t + θ ∈ [ − r , n ] .

( iii ) Theo ( ii )

ta có x ( t + θ ) − y ( t + θ ) ≤ 2 x − y n .

Vậy  t ( x ) (θ ) −  t ( y ) (θ ) ≤ 2 x − y

Do đó  t ( x ) −  t ( y ) ≤ 2 x − y
0

( iv )

n

n

với mọi θ ∈ [ −r ,0] , t ∈ [ 0, n ] .

với mọi t ∈ [ 0, n ] .


 x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ
Ta có x ( s ) = 
, s ∈ [ −r ,σ ]

ϕ ( s )

Nếu t + θ ∈ [ − r , σ ] thì x ( t + θ ) = ϕ ( t + θ ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ .
Nếu t + θ ∈ [σ , n ] thì x ( t + θ ) ≤ x ( t + θ ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ .
Vậy  t ( x ) (θ ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi θ ∈ [ − r , 0] và t ∈ [ 0, n ] .
Do đó  t ( x ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ] .

■

0

Định lý 1.2.3

ζ ( t , u ) Η ≤ t + 4 u n + 2 ϕ σ với mọi n ∈  σ , t ∈ [ 0, n ] , u ∈ Y .

ζ liên tục và

Chứng minh
Lấy ( t , u ) ∈  + × Y và dãy

{( tn , un )}n ⊂  + × Y

thỏa lim ( tn , un ) = ( t , u ) .
n→∞

Do u liên tục nên lim u ( tn ) = u ( t ) .
n→∞

Lấy m ∈  σ sao cho t , tn ∈ [ 0, m ] với mọi
Lấy ε

> 0,

u ( t1 ) − u ( t2 ) <

do u liên tục đều trên

n∈

.

[ −r , m]

 ε
nên tồn tại δ ∈  0,  sao cho
 8

ε với mọi t , t ∈ − r , m thỏa mãn t − t < δ .
]
1 2 [
1
2
8


Vì lim tn = t , lim u ( tn ) = u ( t ) và lim un = u nên tồn tại n0 ∈  sao cho với mọi
n→∞

n→∞

n→∞

n ≥ n0 ta có

ε
( i ) tn − t < δ < .
8

( ii ) u ( tn ) − u ( t ) <
( iii ) un − u m <
θ ∈ [ − r ,0] , n ≥ n0

Với

ta

ε
32

ε
8

.

.

t + θ ∈ [ −r , m] ,

thấy

tn + θ ∈ [ − r , m ]

và

tn + θ − ( t + θ ) = tn − t < δ .

Vậy  t ( u ) (θ ) −  t ( u ) (θ )= u ( tn + θ ) − u ( t + θ ) < ε với mọi θ ∈ [ − r , 0] và n ≥ n0 .
n
8

Do đó  t ( u ) −  t ( u ) ≤ ε với mọi n ≥ n0 .
n

0

8

Khi đó ta có

( )

( )0

ζ ( t n , u n ) − ζ ( t , u ) Η = t n − t + u n ( t n ) − u ( t ) +  tn u n −  t u
≤ tn − t + un ( tn ) − u ( tn ) + u ( tn ) − u ( t )

( )

( ) 0 + t (u ) − t (u ) 0

+  tn u n −  tn u
≤ tn − t + 2 un − u
+ 2 un − u

m

m

n

+ u ( tn ) − u ( t )

()

( )0

+  tn u −  t u

≤ tn − t + 4 un − u

m

()

( )0.

+ u ( t n ) − u ( t ) +  tn u −  t u

Từ đó ζ ( tn , un ) − ζ ( t , u ) ≤ ε với mọi n ≥ n0 .
Η
2

Do vậy ta có lim ζ ( tn , un ) = ζ ( t , u ) . Từ đó ta thấy ζ liên tục.
n→∞

Với mọi n ∈  σ , t ∈ [ 0, n ] và
ζ (t, u )

Η

u ∈Y

ta có

( ) 0 ≤ t + u n + t (u ) 0 ≤ t + 4 u n + 2 ϕ σ .

= t + u (t ) + t u

Định lý 1.2.4
Khi

Σ≠∅

ta đặt φ : Σ → S định bởi φ ( u ) = u . Khi đó φ là phép đẳng cự.

Chứng minh

■


Lấy

u ∈Σ .

Khi đó V ( u )( t ) + G ( u )( t ) =
u ( t ) với t ≥ σ , nghĩa là

s

+


τ

τ
τ
u (t ) =
g
s
u
ds
f
s
u
u
d
,
,
,
,

 ds + ϕ (σ ) .
(
)
s
τ
∫
∫∫

σ
σ0

t

Do

u ∈Σ

(

( ))

(

t

nên u ( t ) = u ( t ) với mọi

t ≥σ

( ))

. Vậy với

t ≥σ

ta có

s

+


u (t ) =

g
s
u
ds
f
s
σ
u
τ
u
d
τ
,
,
,
,

 ds + ϕ (σ ) .
(
)
s
τ
∫
∫∫

σ
σ0


(

t

( ))

t

(

( ))

Ta luôn có u ( t ) = ϕ ( t ) với mọi t ∈ [ − r , σ ] nên điều trên tương đương với u ∈ S . Vậy
φ là ánh xạ.

Lấy

y∈S .

Khi đó

t
t s


=
+
,
y
t
g

s
y
ds


 ∫ f ( s,τ , y (τ ) , τ y ) dτ  ds + ϕ (σ )
 ( ) ∫ ( s )
∫



σ
σ0



 y (t ) ϕ (t )

,t ≥ σ .
, t ∈ [ − r , σ ].

Đặt u = y [σ ,∞ ) .
Do u=
( t ) u=
( t ) y ( t ) với mọi
(σ ) y=
(σ ) ϕ (σ ) nên u=

t ≥σ

.

Ta lại có u=
( t ) ϕ=
( t ) y ( t ) với mọi t ∈ [ −r ,σ ] nên u = y .
Do vậy với mọi

t ≥σ

ta có

t
ts

+
,
u (t ) =
g
s
u
ds

s
∫
∫  ∫ f s,τ , u (τ ) , τ u dτ  ds + ϕ (σ ) .
σ
σ0


(

( ))

(

Tức =
là u V ( u ) + G ( u ) hay nói cách khác
Như vậy là tồn tại
Lấy
Do

để φ ( u )= u= y . Vậy φ là toàn ánh.

nên x ( t ) = x ( t ) và y ( t ) = y ( t ) với

Vậy x ( t ) = y ( t ) với mọi
Lấy

u ∈Σ .

thỏa φ ( x ) = φ ( y ) . Khi đó x ( t ) = y ( t ) với mọi

x, y ∈ Σ
x, y ∈ Σ

u ∈Σ

( ))

x, y ∈ Σ ,

t ≥σ

. Do đó

x = y.

t ≥σ

t ≥σ

.

.

Ta suy ra φ là đơn ánh.

ta có x=
(σ ) y=
(σ ) ϕ (σ ) . Do đó ta có

x ( s) − y ( s) , s ≥ σ
x(s) − y (s) =

, s ∈ [ −r ,σ ]

0


Với s ∈ [σ , n ] ta có x ( s ) − y ( s =

)
Do đó x − y

n

≤ x− y

n

x(s) − y (s) ≤ x − y .
n

với mọi n ∈  σ .

Với s ∈ [σ , n ] ta có x ( s ) − y ( s )=

x(s) − y (s) ≤ x − y n .

Với s ∈ [ − r , σ ] ta có x ( s ) − y ( s ) =0 ≤ x − y n .
Do đó x ( s ) − y ( s ) ≤ x − y n với mọi s ∈ [ − r , n ] .
Vậy x − y ≤ x − y n .
n

Như vậy x − y = x − y
n

Vậy với mọi

x, y ∈ Σ

với mọi n ∈  σ .

n

ta có

( ) ∑
n∈

ρ (φ ( x ) ,=
φ ( y ) ) ρ=
x, y

{

2− n.min 1, x − y

σ

∑

=

n∈ σ

{

n

}

}

2 .min =
1, x − y n
d ( x, y ) .
−n

Từ đó φ là phép đẳng cự.

■

Định lý 1.2.5
g

liên tục. Với mỗi

n∈

tồn tại cn > 0 sao cho g ( t , x ) − g ( t , y ) ≤ cn x − y 0 với mọi

x, y ∈ Cr và t ∈ [ 0, n ] .

Chứng minh.
Lấy ( t , x ) ∈  + × Cr và dãy

{( tn , xn )}n ⊂  + × Cr

thỏa lim ( tn , xn ) = ( t , x ) .
n→∞

Vì t  A ( t ) , t  L ( t ) liên tục nên lim A ( tn ) = A ( t ) và lim L ( tn ) = L ( t ) .
n→∞

n∈

Do vậy tồn tại

M >0

lim xn = x

nên

sao cho

A ( tn )

n→∞

L( E , E )

≤ M và

L ( tn )

Do

và

L ( Cr , E )

≤ M với mọi

.
Vì

n→∞

lim xn ( 0 ) = x ( 0 ) .

n→∞

lim V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) = V ( t , x ( 0 ) , x ) và lim k ( tn ) = k ( t ) .

n→∞

n→∞

Mặt khác ta có

V

k

liên

tục

nên

g ( tn , xn ) − g ( t ,=
x)

A ( tn ) xn ( 0 ) − A ( t ) x ( 0 ) + L ( tn ) xn − L ( t ) x
+V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) − V ( t , x ( 0 ) , x ) + k ( tn ) − k ( t )

≤ A ( tn )

L( E , E )

+ L ( tn )

. xn ( 0 ) − x ( 0 ) + A ( tn ) − A ( t )

L ( Cr , E )

. xn − x 0 + L ( tn ) − L ( t )

L( E , E )

L ( Cr , E )

. x (0)

. x0

+ V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) − V ( t , x ( 0 ) , x ) + k ( tn ) − k ( t )
≤ M xn ( 0 ) − x ( 0 ) + A ( tn ) − A ( t )

+ M xn − x 0 + L ( tn ) − L ( t )

L( E , E )

L ( Cr , E )

. x ( 0)

. x0

+ V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) − V ( t , x ( 0 ) , x ) + k ( tn ) − k ( t ) .
Từ đó lim g ( tn , xn ) = g ( t , x ) . Vậy
n→∞

Vì t  A ( t ) , t  L ( t ) và

ω

g

liên tục.

liên tục nên tồn tại

cn max A ( t ) L E , E + max L ( t ) L C , E + 2 max ω ( t ) + 1.
=
(
) t∈[0,n]
( r )
t∈[ 0,n ]

t∈[ 0,n ]

Với mọi x, y ∈ Cr và t ∈ [ 0, n ] ta có
A ( t ) ( x ( 0 ) − y ( 0 ) ) + L ( t )( x − y ) + V ( t , x ( 0 ) , x ) − V ( t , y ( 0 ) , y )

g ( t , x ) − g=
(t, y )

≤ A(t )

L( E , E )

. x ( 0) − y ( 0) + L (t )

(

L ( Cr , E )

. x− y0

)

■

là họ nửa chuẩn tách trên

+ ω ( t ) x ( 0 ) − y ( 0 ) + x − y 0 ≤ cn x − y 0 .

Định nghĩa 1.2.6 ([17])
Cho

X

là không gian lồi địa phương và F

Cho

D

là tập con của

X

và cho toán tử

U :D→ X

X

.

.

, định nghĩa U a : D → X bởi U a=
( x) U ( x) + a .

Với mỗi

a∈ X

Toán tử

U :D→ X

gọi là co theo điều kiện ( A ) trên tập con

Ω

của

X

nếu

( A.1) Với bất kỳ a ∈ Ω ta có U a ( D ) ⊂ D ;
( A.2 ) Với bất kỳ
ε > 0,

(

tồn tại

r ∈

a∈Ω

và

và δ

)

p ∈F

>0

tồn tại ka ∈  + thỏa tính chất: Với bất kỳ

sao cho với

{(

x, y ∈ D

thỏa α ap ( x, y ) < ε + δ

)

}

p
α ap U ar ( x ) ,U ar ( y ) < ε , trong đó α a ( x, y =
) max p U ai ( x ) − U aj ( y ) : i, =j 0, ka .

Mệnh đề 1.2.7 ([17])

thì


Cho

là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách F

X

đầy đủ theo dãy của
Cho

X

.

là toán tử liên tục đều trên

U

, D là tập con

D

(tức là với p ∈ F

và ε

> 0,

tồn tại δ

>0

sao

cho nếu p ( x − y ) < δ thì dẫn đến p (U ( x ) − U ( y ) ) < ε ).
Giả sử

U

là co theo điều kiện ( A ) trên tập con

được định nghĩa tốt và liên tục trên

Ω

của

X

. Khi đó toán tử ( I − U )

−1

Ω.

Chú ý 1.2.8 ([17])

( i ) Từ chứng minh Mệnh đề 1.2.7 trong [17] ta thấy rằng với bất kỳ a ∈ Ω , toán tử U a
−1

có duy nhất

( x=) ( I − U ) ( a )
( I − U )−1 ( a ) và
với mọi x ∈ D .
( ii ) Nếu trong điều kiện ( A) , δ được chọn độc lập với a ∈ Ω thì với các giả thiết của Mệnh đề

điểm bất động trên

1.2.7 ta có ( I − U )

lim U an
n→∞

D

là

−1

liên tục đều trên

Ω.

Mệnh đề 1.2.9 ([17])
Cho
tách trên

X

X

là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy và F

là họ nửa chuẩn

.

Cho U và

( B.1) U

C

là các toán tử trên

X

thỏa mãn

co theo điều kiện ( A ) trên X ;

( B.2 ) Với

bất kỳ

p ∈F

, tồn tại k > 0 ( k phụ thuộc vào p ) thỏa mãn

p (U ( x ) − U ( y ) ) ≤ kp ( x − y ) với mọi x, y ∈ X ;

( B.3) Tồn

tại x0 ∈ X thỏa tính chất: Với bất kỳ

(

p ∈F

, tồn tại

r ∈

và

)

λ ∈ [ 0,1) ( r và λ phụ thuộc p ) sao cho p U xr0 ( x ) − U xr0 ( y ) ≤ λ p ( x − y ) với mọi x, y ∈ X ;

( B.4 ) C

hoàn toàn liên tục và

p ( C ( A ) ) < ∞ với

đó p ( A ) sup { p ( x ) : x ∈ A} ;
=

( B.5) p lim
x →∞

p (C ( x ))
p ( x)

( )

Khi đó

U +C

= 0 với mọi p ∈ F

.

có điểm bất động.

Định lý 1.2.10
Với mỗi n ∈  σ và với bất kỳ

x, y , z ∈ Y

ta có

A ⊂ X , p ( A) < ∞ ,

trong


Vz j ( x ) − Vz j ( y )

n

 2 ( n − σ ) cn 
≤
j!

j

x− y

n

với mọi j ∈  .

Từ đó V thỏa các điều kiện ( B.1) − ( B.3) của Mệnh đề 1.2.9.
Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh

 2 ( t − σ ) cn 
Vz ( x )( t ) − Vz ( y )( t ) ≤ 
j!
j

j

x− y

j

n

với mọi t ∈ [σ , n ] và

j∈

.

(1)

Ta sẽ chứng minh (1) bằng quy nạp theo j .
Với

t ) V ( x )( t ) + z (=
t)
j = 1 , vì Vz ( x )(=

∫ g ( s,  s ( x ) ) ds + ϕ (σ ) + z ( t )
t

nên với mọi

σ

t ∈ [σ , n ] ta có

(

t

( )) (

( ))

t

()

( ) 0ds

Vz ( x )( t ) − Vz ( y )( t ) ≤ ∫ g s,  s x − g s,  s y ds ≤ cn ∫  s x −  s y
σ

σ

t

2 ( t − σ ) cn x − y n .
≤ 2cn ∫ x − y n ds =
σ

Vậy (1) đúng với

j = 1.

Giả sử (1) đúng với

(

j=

p ≥ 1.

) (

Ta chứng minh

 s Vzp ( x ) −  s Vzp ( y )

)

0

 2 ( s − σ ) cn 
≤
p!

p

x− y

n

với mọi s ∈ [σ , n ].

Theo giả thiết quy nạp ta có

Vzp

( x )( t )

− Vzp

 2 ( t − σ ) cn 
( y )( t ) ≤ 
p!

p

x− y

n

với mọi t ∈ [σ , n ] .

( 2)

Với mỗi s ∈ [σ , n ] và θ ∈ [ − r , 0] ta có
Vzp ( x )( s + θ ) − Vzp ( y )( s + θ )


p
p
 s Vz ( x ) (θ ) −  s Vz ( y ) (θ ) = − Vzp ( x )(σ ) − Vzp ( y )(σ ) 
; s + θ ∈ [σ , n ]

; s + θ ∈ [ −r ,σ ]
0

(

)

(

)

Vì θ ≤ 0 và ( 2 ) nên khi s + θ ∈ [σ , n ] ta có