nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯƠNG HỮU DŨNG

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH
TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯƠNG HỮU DŨNG

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH
TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011


Mục lục
Mục lục ............................................................................................. i
Lời cảm ơn .................................................................................... iii
Bảng kí hiệu ................................................................................... iv
Lời mở đầu ...................................................................................... v
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị ..................................................... 1
1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường ............................................1
1.2. Phép co sơ cấp .....................................................................................2

Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một
trường ....................................................................................................... 4
2.1. Lưới và nhóm con lưới .......................................................................4
2.2. Lưới đồng dạng ...................................................................................6
2.3. Lưới tối đại ........................................................................................10
2.4. Lưới trên vành đơn...........................................................................13
2.5. Ma trận chứa trong chuẩn hóa tử ...................................................17
2.6. Các bổ đề về phép co sơ cấp ............................................................18
2.7. Nhóm con chứa nhóm các ma trận đường chéo ............................28
2.8. Chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường ...................31

Kết luận ......................................................................................... 36
Tài liệu tham khảo........................................................................ 38


Chỉ mục.......................................................................................... 39

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời cám ơn đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường
Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, nhất là các thầy cô trong tổ bộ môn Toán, những người đã
tận tình dạy dỗ chúng tôi trong suốt quá trình học đại học cũng như cao học. Chính những kiến
thức mà chúng tôi học được từ các thầy cô trong suốt những năm qua là nền tảng quan trọng để
tôi có hoàn thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứu khoa
học lâu dài sau này.
Hơn hết, tôi xin chân thành cám ơn thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải là người đã trực tiếp
hướng dẫn và khích lệ tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Thầy đã giúp tôi tự tin hơn trong
quá trình tìm hiểu cũng như đi sâu nghiên cứu về Toán học.
Tôi cũng không quên sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn cùng khóa đã giúp đỡ, cho tôi
những lời khuyên và các tài liệu bổ ích trong việc học Toán.
Xin gởi lời cám ơn đến người thân và gia đình, nhất là người mẹ - là người đã luôn động
viên, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn và người vợ - là người bạn đã hỗ trợ tôi trong
suốt quá trình thực hiện luận văn.


Bảng kí hiệu

R là một vành có đơn vị 1
GL(n,R)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R
K- là một trường
GL(n,K)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K
D(n,K)- nhóm con các ma trận đường chéo
T(n,K)- nhóm con các ma trận tam giác trên

δ ij - kí hiệu Kronecker
e=e k - ma trận đơn vị có cấp k
eij - đơn vị ma trận, có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở các vị trí khác

tij (α )= e + α eij - phép co sơ cấp (transvection)

[ε1,..., ε n ] - ma trận đường chéo có ε i nằm ở vị trí (i,i)
dij (ε ) - ma trận đường chéo với ε ở vị trí (i,i), ε −1 ở vị trí (j,j) và 1 ở các vị trí còn lại trên

đường chéo chính
d r ( ε )- ma trận đường chéo có ε ở vị trí (r,r) và 1 ở các vị trí (i,i)khác
[a,b]=a−1b −1ab -giao hoán tử của a và b

N G (H) - chuẩn hóa tử của H trong G

σ = (σ ij ) - lưới các ideal của vành R
M (σ ) - tập các ma trận vuông a=(a ij ) với a ij ∈ σ ij
G(σ ) - nhóm con lưới của GL(n,R)
N (σ ) - chuẩn hóa tử của G(σ ) trong GL(n,R)


Lời mở đầu

Năm 1976, Z.I. Borevich đã nghiên cứu dàn các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát
GL(n, K) trên trường K chứa nhóm con D(n, K) các ma trận đường chéo. Một điều rất thú vị là
đối với mọi trường K thỏa |K| ≥ 7, dàn này hữu hạn và không phụ thuộc vào trường K. Hơn nữa,
trong tất cả những trường hợp này các nhóm con T(n, K), D(n, K) đều thỏa một tính chất chung
là: mỗi một nhóm con của nhóm GL(n, K) đều nằm giữa một nhóm con nào đó và chuẩn hóa tử
của nó.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách chi tiết một bài báo của Borevich
(xem [4]). Đây là bài báo đầu tiên, đặt nền móng cho hướng nghiên cứu về cấu trúc các nhóm
con trong nhóm tuyến tính trên vành chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Cụ thể là trên vành
nửa địa phương (semilocal ring), vành chính qui Von Newman. Từ việc trình bày chi tiết lại bài
báo, chúng tôi mong muốn sẽ có thêm tài liệu tham khảo chi tiết hơn cho vấn đề này, giúp cho

việc hiểu rõ hơn bài báo nhằm mục đích có hướng giải quyết cho bài toán mở của bài báo gốc.
Nội dung Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về nhóm tuyến tính
tổng quát trên trường, định nghĩa phép co sơ cấp và các tính chất của nó.
Chương 2. Đây là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi đưa ra khái niệm lưới và nhóm
con lưới, chứng minh đẳng thức G
=
(σ ) GL (n, K ) ∩ ( e + M (σ ) ) trên trường K, tiếp theo là
những khái niệm lưới đồng dạng, lưới tối đại, lưới trên vành đơn. Các khái niệm này giúp cho
việc chứng minh Định lý 2.8.1 về việc mô tả chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường.
Sau đó, chúng tôi sẽ mô tả ma trận chứa trong chuẩn hóa tử qua Mệnh đề 2.5.1 và mô tả các phép
co sơ cấp trong nhóm con trung gian H qua các Bổ đề 2.6.1 đến 2.6.5. Các mệnh đề và các bổ đề
này

làm

cơ

sở

cho

việc

chứng

minh

Định

lý

2.7.1:

Cho

K

là

trường


| K |=
≥ 7, G GL (n,=
K ), D D(n, K ), H là nhóm con bất kỳ của D ≤ H ≤ G . Khi đó tồn tại duy

nhất D-lưới σ các ideal trong K sao cho
G(σ ) ≤ H ≤ N (σ ) ,

trong đó N (σ ) = NG (G(σ )) .
Cuối cùng là phần Kết luận và đề nghị bài toán mở.


Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị

1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường
Cho K là trường.
K* = K \{0}.
M(n,K) là vành các ma trận vuông cấp n.

a = (a ij ) ∈ M(n,K).
E là ma trận đơn vị.
GL(n,K) được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K, gồm tất cả các ma
trận vuông khả nghịch hệ số trên K.
Với mọi i,j = 1, …, n, e ij là ma trận có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở tất cả các vị trí khác, e ij được
gọi là đơn vị ma trận. Kiểm tra trực tiếp ta được
e neáu j = k
eijekl =  il
0 neáu j ≠ k .

Với mọi a = (a ij ), ta có
a =∑ aij eij =0 ⇔ aij =0, ∀i, j.
i, j

Suy ra M(n,K) là không gian vectơ trên K với cơ sở là {e ij }.


1.2. Phép co sơ cấp
Với mọi α ∈ K và i ≠ j , ta đặt
tij (α )= e + α eij

gọi là phép co sơ cấp (transvection).
Với β ∈ K , ta có
tij (α )tij ( β ) =
(e + α eij )(e + β eij )
=
e + α eij + β eij + αβ eije ji
=e + (α + β )eij
= tij (α + β )

Lấy β = −α , ta được
tij (α )tij (−α ) =tij (0) =e ⇒ (tij (α ))−1 =tij (−α )

Suy ra
tij (α ) ∈ GL (n, K ) .

Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có được các mối quan hệ sau:
( E1) tij (α )tij=
( β ) tij (α + β ).
( E2 ) [tij (α ), tkl (β=
)] e nếu j ≠ k , i ≠ l.
( E3 ) [tij (α ), t jk ( β )] = tik (αβ ) nếu i, j, k , i là những chỉ số khác nhau.
( E4 ) σ t ji (α )σ −1 =
tij (−εαε ), với ε ∈ R* ,σ =
tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε ).

Nếu n ≥ 3 thì (E 4 ) có thể được suy ra từ (E 1 )-(E 3 ).
Với các phần tử ε1,..., ε n ∈ R* , ký hiệu [ε1,..., ε n ] là ma trận đường chéo có ε i nằm ở vị trí
(i,i). Ta thấy [ε1,..., ε n ] là một phần tử của GL(n,R).
Với i ≠ j , ký hiệu dij (ε ) là ma trận đường chéo có ε nằm ở vị trí (i,i), ε −1 nằm ở vị trí
(j,j), và 1 ở các vị trí khác. Kiểm tra trực tiếp ta được các cơng thức sau:


( E5 ) d ji (ε ) =tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε )tij (−1)t ji (1)tij (−1).
( E6 ) [ε1,..., ε n ]t ij (α ) = tij (ε iαε −j 1 )[ε1,..., ε n ].
( E7 ) [η1,...,ηn ][ε1,...,ε n ] = [η1ε1,...,ηnε n ].

Cho=
a (aij ) ∈ M (n, K ) . Việc nhân ma trận a về bên trái với một phép co sơ cấp tij (α )
tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với a:

(E) Thay dòng thứ i của ma trận a bởi dòng thứ i cộng với α "lần" dòng thứ j ( α được
nhân về bên trái).
Tương tự, việc nhân ma trận a về bên phải với một phép co sơ cấp tij (α ) tương đương
với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với ma trận a:
(E') Thay cột thứ j của ma trận a bởi cột thứ j cộng với α "lần" cột thứ i ( α được nhân từ
bên phải).


Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một
trường

2.1. Lưới và nhóm con lưới
Cho R là vành bất kỳ với đơn vị 1 và n ∈  . Xét bảng
σ
= (σ ij ),1 ≤ i, j ≤ n ,

gồm n2 các ideal hai phía σ ij của R.
Bảng này được gọi là lưới các ideal của R có bậc n nếu
σ irσ rj ⊆ σ ij , ∀i, j, r.

(2.1)

Lưới σ được gọi là D-lưới nếu σ ij= R, ∀i.
Cho σ là lưới, ta kí hiệu
M=
(σ ) {a = (aij ) ∈ M(n,R): aij ∈ σ ij , ∀i,j}

Do (2.1) nên M (σ ) là vành con của M(n,R).
Ma trận đơn vị e ∈ M (σ ) ⇔ σ là D-lưới.
Tập hợp e + M (σ=

) {e+ a: a ∈ M(σ )} là hệ nhân.
Nếu σ là D-lưới thì M(σ )= e + M (σ ) .
Trên tập tất cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các
lưới σ và τ , ta viết σ ≤ τ nếu σ ij ⊆ τ ij , ∀i, j. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Nếu
lưới σ và τ là hai lưới thì σ ∩ τ= (σ ij ∩ τ ij ) cũng là một lưới.
Định nghĩa 2.1.Cho σ là lưới bất kỳ các ideal của R có bậc n. Nhóm con lớn nhất của G
= GL(n,R) nằm trong e + M (σ ) được gọi là nhóm con lưới của G ứng với lưới σ , và
được kí


hiệu là G(σ ) .
Nếu σ là D-lưới thì G(σ ) được gọi là nhóm con D-lưới.
Theo định nghĩa, a ∈ G(σ ) ⇔ a, a −1 ∈ e + M (σ ) .
Mệnh đề 2.1. Cho K là trường. Khi đó
G(σ ) = G ∩ (e + M (σ )) vôùi moïi löôùi σ ,

trong đó G = GL(n,K).
Chứng minh. Với mọi a ∈ G ∩ (e + M (σ )) , ta cần chứng minh a−1 ∈ G ∩ (e + M (σ )) hay
a −1 − e ∈ M (σ ) .

Do a khả nghịch nên theo Định lý Cayley – Hamilton, ta có
P a (a) = 0,

(2.2)

trong đó
Pa (t ) =−
( 1)n t n + ... + a1t + a0 vôùi a0 =det a ≠ 0.

Ta có a − e ∈ M (σ ) . Mặt khác, từ (2.2) ta có

Pa (a) =−
( 1)n a n + ... + a1a + a0e =0.

Suy ra
a((−1)n a n + ... + a1e) =
−a0e ,

nên
a −1 =
−

1
((−1)n a n + ... + a1e).
a0

Do đó
a −1 =
−

1
1
((−1)n + ... + a1 )e − ((−1)n (a n −1 − e) + ... + a2 (a − e)).
a0
a0

Đặt
α=
−

1

1
((−1)n + ... + a1 ), b =
− ((−1)n (a n −1 − e) + ... + a2 (a − e)).
a0
a0

Ta có α ∈ K , b ∈ M (σ ) . Khi đó,


a −1 =α e + b,α ∈ K , b ∈ M (σ ) .

Từ đó suy ra
a −1 −
=
e a −1(e − a)
=(α e + b)(e − a)
= α (e − a) + b(e − a) ∈ M (σ ).

Vậy a−1 ∈ G ∩ (e + M (σ )) .

2.2. Lưới đồng dạng
Cho R là vành, n ≥ 2 . Giả sử σ là một lưới các ideal bậc n trong vành R và π ∈ Sn .. Với
mọi 1 ≤ i, j ≤ n, ta định nghĩa
τ ij = σ π (i),π ( j ) .

Khi đó τ = (τ ij ) cũng là một lưới bậc n và ta kí hiệu τ = σ π . Ta nói σ và τ là hai lưới
đồng dạng nếu tồn tại π ∈ Sn sao τ = σ π . Với π ∈ Sn xét ma trận Pπ = (δ iπ ( j ) ) ,
trong đó δ kl là ký hiệu Kronecker.
Nhận xét 2.2. 1. Tương ứng π → Pπ xác định một đơn cấu từ S n vào GL(n, R).
Chứng minh. Xét ánh xạ

ϕ : Sn → GL (n, R)
π  Pπ = (δ iπ ( j ) )

Ta sẽ chứng minh ϕ là đồng cấu. Ta có


Pπ Pτ = (δ iπ ( j ) )(δ iτ ( j ) )
= (∑ δ iπ ( j )eij )(∑ δ kτ (l)ekl )
i, j

kl

n

= ∑ ( ∑ δ iπ ( j )δ jτ (l) )eil.
kl j =1

τ (l) j=
Nếu=
0 , j0 1,..., n thì τ (l) ≠ j, ∀j ≠ j0 . Suy ra
δ j τ (l) = 1 vaø δ jτ (l) = 0, ∀j ≠ j0 .
0

Do đó
Pπ Pτ = ∑ δ iπ ( j )eil.
0
i,l

= ∑ δ iπ (τ (l))eil.
i,l

= ∑ δ i,πτ (l)eil.
i,l

= Pπτ

Từ đó ta có
) P=
Pτ ϕ (π )ϕ (τ ).
ϕ (πτ
=
πτ Pπ=

Suy ra ϕ là đồng cấu.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh ϕ là đơn cấu. Giả sử ϕ (π ) = ϕ (τ ) , suy ra
Pπ = Pτ ,

hay

(δiπ ( j) ) = (δiτ ( j) ) .
Do đó
π (=
j ) τ ( j ), ∀
j 1,..., n.
=

Suy ra

π =τ
Vậy ϕ là đơn cấu.

Nhận xét 2.2.2 G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ đối với mọi lưới σ và mọi π ∈ Sn .
Chứng minh. Theo chứng minh trên ta có
Pπτ = Pπ Pτ

Thay τ = π −1 , ta được
Pπ P −=
P −=
P=
id (δ=
ij ) e.
π 1
ππ 1

Suy ra
Pπ−1 = P −1 .
π

Với mọi a ∈ G(σ ) , vì G(σ =
) (e + M (σ )) nên
a =+
e b, b =
(bij ) ∈ M (σ ), bij ∈ σ ij .

Ta có
Pπ−1aPπ =
P
(e + b)Pπ =
e + P bPπ

π −1
π −1

Đặt
B = P bPπ .
π −1

Ta có
Bij (δ −1 b11 + ... + δ −1 bn1 )δ1π ( j ) + ... + (δ −1 b1n + ... + δ −1 bnn )δ nπ ( j ) .
=
iπ (1)
iπ (n)
iπ (1)
iπ (n)

Giả sử π ( j ) = k ,1 ≤ k ≤ n. Khi đó
=
Bij (δ −1 b1k + ... + δ −1 bnk ).
iπ (1)
iπ (n)

Giả=
sử i π −1( p),1 ≤ p ≤ n. Khi đó
Bij ==
b pk bπ (i)π ( j ) ∈ σ π (i)π ( j ) =
(σ π )ij .

Từ đó
Pπ−1aPπ = e + B ∈ (e + M (σ π )) ∩ G = G(σ π ), ∀a ∈ G(σ ).

Suy ra


Pπ−1G(σ )Pπ ⊆ G(σ π ).

Tương tự ta chứng minh được
Pπ G(σ π )Pπ−1 ⊆ G(σ ).

Hay
G(σ π ) ⊆ Pπ−1G(σ )Pπ .

Vậy G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ . đối với mọi lưới σ và mọi π ∈ Sn .
Ký hiệu N (σ ) là chuẩn hóa tử của G(σ ) trong GL(n,R). Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2. Cho σ là một D-lưới bậc n trong R và π ∈ Sn . Khi đó ma trận Pπ nằm
trong N (σ ) nếu và chỉ nếu σ π = σ . Đặt
P(σ ) ={Pπ |π ∈ Sn ,σ π =σ }.

Khi đó ta có
P(σ )G(σ ) ⊆ N (σ ).

Chứng minh. Nếu σ π = σ thì G(σ ) = Pπ−1G(σ )Pπ .
Suy ra
Pπ ∈ N (σ ).

Ngược lại, nếu Pπ ∈ N (σ ) thì
Pπ−1G(σ )Pπ = G(σ ).

Do chứng minh trên ta đã có G(σ π ) = Pπ−1G(σ )Pπ nên
G(σ ) = G(σ π )

Phản chứng, giả sử σ π ≠ σ . Khi đó, tồn tại i,j sao cho (σ π )ij ≠ σ ij .
Do đó tồn tại α ∈ σ ij ,α ∉ (σ π )ij .


Xét ma trận a = tij (α ). Ta có a ∈ G(σ ) và a ∉ G(σ π ) (mâu thuẫn với G(σ ) = G(σ π ) ).
Vậy σ π = σ .
Nhận xét 2.2.4 i) (σ π )τ = σ πτ . Thật vậy,
π)
πτ
=
((σ π )τ )ij (σ=
τ (i)τ ( j ) σ=
πτ (i),πτ ( j ) (σ )ij

ii) Pπ−1P(σ )Pπ = P(σ π ). Thật vậy,
−1P(σ )P
−1
Pπ=
π {Pπ aPπ | a ∈ P(σ )}

={Pπ−1aPπ | a = Pτ ,τ ∈ Sn ,σ τ =
σ}
={Pπ−1Pτ Pπ | τ ∈ Sn ,σ τπ =
σπ}
−1
=
{P
| τ ∈ Sn ,(σ π )π τπ =
σπ}
−

1
π τπ
τ
={P | τ 0 ∈ Sn ,(σ π ) 0 =
σπ}
τ0

= P(σ π ).

iii) Pπ−1N (σ )Pπ = N (σ π ). Thật vậy,
1N (σ )P
−1
Pπ−=
π {Pπ aPπ |a ∈ N(σ )}

={Pπ−1aPπ | a −1G(σ )a=G(σ )}
=N(σ π ).
−1 −1
−1
−1
−1 −1
=
[Vì
( Pπ−1aPπ )−1G(σ )(Pπ−1aPπ ) P=
π a Pπ Pπ G(σ )Pπ Pπ aPπ Pπ a G(σ )aPπ
π
−1
= P=
π G(σ )Pπ G(σ ).]

iv) Cho π ∈ Sn bất kỳ, từ i), ii), iii) ta có hai đẳng thức N (σ ) = P(σ )G(σ ) và
N (σ π ) = P(σ π )G(σ π ) tương đương với nhau.

2.3. Lưới tối đại
Ký hiệu I là lưới đơn vị, nghĩa là lưới mà trong đó mọi phần tử đều bằng R. Trên tập tất
cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các lưới σ và τ , ta viết


σ ≤ τ nếu σ ij ⊆ τ ij , ∀i, j. Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Ta nói lưới σ là một

lưới tối đại nếu σ ≠ I và không tồn tại một lưới τ nào thỏa mãn
σ < τ < I.

Giả sử µ là một ideal cho trước và 1 ≤ r ≤ n − 1. . Định nghĩa τ = (τ ij ) như sau:
τ ij = µ nếu i > r và j ≤ r còn τ kl = R tại mọi vị trí khác. Khi đó, τ là một D-lưới và ký

hiệu nó là τ (r , µ ) . Thật vậy, ta sẽ chứng minh τ ikτ kj ⊆ τ ij với mọi i, j, k.
• Giả sử i > r và j ≤ r thì τ ij = µ . Nếu k ≤ r thì
=
τ ik µ=
vaø τ kj R.

Suy ra
τ ikτ kj= µ R= µ= τ ij .

Nếu k > r thì
=
τ kj µ=
vaø τ ik R.

Suy ra
τ ikτ kj= Rµ= µ= τ ij .

• Trường hợp còn lại τ ij = R. Suy ra
τ ikτ kj ⊆ R =
τ ij .

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có τ ikτ kj ⊆ τ ij với mọi i, j, k hay τ là lưới. Do đó, theo
cách xác định τ ta có τ là D-lưới.
Mệnh đề 2.3. Nếu µ là một ideal tối đại của R và 1 ≤ r ≤ n − 1 thì τ (r , µ ) là lưới tối đại.
Chứng minh. Giả sử τ (r , µ ) ≤ σ ≤ I và τ (r , µ ) ≠ σ ta chứng minh σ = I . Ta chỉ cần chứng
minh σ ij = R với mọi i > r và j ≤ r. Thật vậy, ta có τ ij= µ ⊂ σ ij và τ ij ≠ σ ij . Do µ tối đại
nên σ ij = R. Còn lại =
R τ kl ⊆ σ kl nên σ kl = R. Vậy σ = I .
Định lý 1. Lưới σ là tối đại khi và chỉ khi σ đồng dạng với một lưới τ (r , µ ) trong đó
1 ≤ r ≤ n − 1 và µ là một ideal tối đại nào đó.


Chứng minh. Nếu σ đồng dạng với một lưới τ (r , µ ),1 ≤ r ≤ n − 1, µ là một ideal tối đại
nào đó thì σ tối đại.
Giả sử σ là lưới tối đại. Vì σ ≠ I nên tồn tại ideal tối đại µ chứa ideal σ ij nào đó

(

)

của lưới σ . Xét σ ij + µ là lưới khác I và σ = (σ ij ) ≤ (σ ij + µ ) .
Do σ là lưới tối đại nên
=
σ (σ=

ij ) (σ ij + µ ).

Nếu σ ij ⊆ µ thì ta có
µ ⊆ σ ij + µ = σ ij ⊆ µ .

Suy ra
σ ij = µ .

Nếu σ ij ⊄ µ thì ta có
µ ⊆ σ ij + µ vaø µ ≠ σ ij + µ .

Do µ tối đại nên σ ij + µ =
R. Suy ra
σ ij = σ ij + µ = R.

Vậy mỗi ideal σ ij của lưới σ hoặc bằng R hoặc bằng µ .
Vì σ ≠ I nên tồn tại ideal bên ngoài đường chéo chính của σ không phải là ideal đơn vị
R.
Do đó khi thay các ideal σ ii trên đường chéo chính bởi R, ta được một D-lưới khácđơn
vị và chứa σ . Do σ tối đại nên D-lưới này bằng σ . Như vậy, mọi lướitối đại đều là Dlưới.
Trong lưới σ , ideal tối đại µ có mặt trong cột thứ nhất [vì nếu trong cột thứ nhất
không có µ , mà cột thứ l có µ , ta sẽ dùng phép thế (1 l) để chuyển µ về cột thứ nhất] và
ideal đơn vị R cũng có mặt trong cột thứ nhất σ11 = R . Ta ký hiệu i 1 = 1, i 2 , …, i r là chỉ


số của các dòng i sao cho σ i1 = R và σ k1 = µ nếu k ≠ i1,..., ir . Ta có 1 ≤ r ≤ n − 1, ta chọn
một phép hoán vị π ∈ Sn sao cho
=
π (1) i1=
,..., π (r ) ir .

Đặt σ ' = σ π . Vì π (1) = 1, nên ta có σ i'1 = σ π (1)1. Điều này có nghĩa là trong lưới σ ' có r
ideal đầu tiên trong cột 1 là R và tất cả các ideal trong cột 1 là µ .
 R neáu 1 ≤ i ≤ r,

σ i'1 = 

 µ neáu i > r.

Nếu r + 1 ≤ i ≤ n và 1 ≤ j ≤ r thì
σ ij' σ j' 1 = σ ij' R = σ ij' ⊆ σ i'1 = µ .

Suy ra
σ ij' = µ .

Do đó σ ' ≤ τ (r , µ ).
Do σ tối đại nên σ ' tối đại.
Do đó

σ ' = τ (r , µ ) .
Vậy σ π = τ (r , µ ) hay lưới σ đồng dạng với lưới τ = τ (r , µ ).

2.4. Lưới trên vành đơn
Định lý 2. Mọi D-lưới các ideal bậc n ≥ 2 trong một vành đơn R là giao của các lưới tối
đại.
Chứng minh. Lấy σ là một D-lưới khác đơn vị bất kì trong R, và cho=
σ k1 (0)(k ≠ 1). Để
chứng minh định lí ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một lưới tối đại ω sao cho
σ ≤ ω , ωk1 =
(0).

Ta kí hiệu i1 = 1, i2 ,..., ir là chỉ số của các dòng i sao cho σ i1 = R. Hơn thế, xét phép thế
π ∈ Sn với

π (1) = i1 = 1,..., π (r ) = ir , π (r + 1) = k .

Khi đó như trong chứng minh Định lí 1 ta có
σπ ≤τ =
τ (r ,(0)).

Dễ thấy rằng lưới tối đại ω = τ π

−1

thỏa hai điều kiện (2.3), định lí được chứng minh.

Giả sử n ≥ 2 được biểu diễn thành tổng
n = k1 + ... + km (m ≥ 1)

của các số tự nhiên k 1 ,…,k m và giữ nguyên thứ tự của các số hạng này. Nếu σ là lưới
bậc n, ta có thể liên kết sự phân tích (2.4) với một biểu diễn của lưới này ở dạng ma trận
khối
 σ 11

 21
σ = σ
 .....
 m1
σ



σ 12 ...... σ 1m 
σ 22 ...... σ 2m 



σ m2 ... σ mm 

.....

.... ....

trong đó σ ij là mảng chữ nhật các ideal gồm k i dòng và k j cột. Hệ có thứ tự k 1 ,…,k m của
các số hạng trong (2.4) được gọi là kiểu của biểu diễn.
Một lưới σ bậc n được gọi là D-lưới dạng ma trận khối kiểu k 1 ,…,k m nếu trong biểu
diễn dạng ma trận khối (2.5) của nó ứng với biểu diễn (2.4) tất cả các khối trên đường
chéo là đơn vị
(khối gồm tất cả các ideal đơn vị). Ta gọi một D-lưới dạng ma trận khối (2.5) là một
D-lưới bậc thang kiểu k 1 ,…,k m nếu tất cả các khối σ ij (i > j ) nằm bên dưới đường chéo
chính là khối 0 (khối gồm tất cả các ideal 0).


Bổ đề 2.4. Trong một D-lưới dạng ma trận khối (2.5), tất cả các ideal trong cùng một
khối đều bằng nhau.
Chứng minh. Lấy các ideal σ kr và σ ks cùng nằm trên khối σ ij (i ≠ j ). Khi đó ideal σ rs
nằm trong khối σ jj và do đó σ rs = R . Từ điều kiện σ krσ rs ⊆ σ ks ta suy ra σ kr ⊆ σ ks .
Nhờ tính đối xứng ta cũng có bao hàm thức ngược lại σ kr ⊇ σ ks , do đó tất cả các ideal
trong cùng một dòng
của khối σ ij đều bằng nhau. Tương tự ta cũng có các ideal trong cùng một cột của khối

σ ij đều bằng nhau.

Hệ quả. Cho R là một vành đơn, σ là D-lưới dạng ma trận khối (2.5). Khi đó mỗi khối
σ ij với i ≠ j sẽ hoặc gồm tất cả ideal đơn vị hoặc gồm tất cả ideal 0.

Định lý 3. Mỗi D-lưới các ideal trên một vành đơn đồng dạng với D-lưới bậc thang nào
đó.
Chứng minh. Giả sử σ là một D-lưới bất kì trên vành đơn R. Nếu σ là một lưới đơn vị
thì σ có dạng ma trận khối (2.5) với m=1 (trong trường hợp này sự phân tích (2.4) trở
thành dạng đơn), do đó lưới đơn vị là D-lưới bậc thang. Giả sử σ không là D-lưới đơn vị.
Ta chọn trong σ một cột có số ideal 0 nhiều nhất, và đặt là cột 1. Nếu i 1 =1,i 2 , … , i r là
chỉ số của tất cả các dòng thứ i sao cho σ i1 = R và π là một phép thế bậc n với
,..., π (r ) ir thì trong lưới σ ' = σ π tất cả hình chữ nhật phía dưới có cấp (n-r) × r
π (1) i1=
=

gồm các ideal 0 [ σ ij =0 khi i >r và j ≤ r xem chứng minh của Định lí 1]. Nói cách khác,
σ đồng dạng với một lưới dạng
 σ 11

σ'=

0


* 

(1)
σ 

trong đó σ 11 và σ (1) là các khối vuông có cấp là r và n-r (với 1 ≤ r ≤ n − 1 ). Do cách chọn
cột 1 là cột có nhiều ideal 0 nhất nên mỗi cột của lưới (2.6) chứa nhiều nhất n-r ideal 0.
Suy ra khối σ 11 gồm các ideal đơn vị.
Ta xét mảng σ (1) các ideal như là khối đường chéo trong (2.6). Ta có σ (1) là một D-lưới
cấp n-r trong R. Nếu σ (1) là lưới đơn vị thì định lí được chứng minh. Nếu σ (1) không là
lưới đơn vị, ta sẽ làm tương tự như trên. Cụ thể là, áp dụng cho σ (1) một phép thế thích
hợp của các số r+1, …, n ta sẽ đưa lưới σ (1) về dạng
 σ 22

σ'=

0


* 

(2)
σ 

trong đó σ 22 là khối gồm những ideal đơn vị. Tiếp theo, tồn tại một phép thế π ' của
các phần tử 1, … , n mà π ' không tác động lên các phần tử 1, … , r sao cho
 σ 22 *

'
π
0
=
=
σ '' (σ

σ 22
')

 0
0




* .

(2)
σ 

*

Tiếp tục quá trình trên, ta đến bước thứ k ta được D-lưới bậc thang. Định lý được chứng
minh
Định lý 4. Cho σ và σ ' là hai D-lưới bậc thang kiểu (k 1 , … , k m ) và (k' 1 , … , k' m ) trên
vành đơn R. Nếu lưới σ và σ ' đồng dạng với nhau thì kiểu của chúng bằng nhau sai
khác thứ tự của các thành phần, đặc biệt m'=m.
Chứng minh. Nếu trong vành phép nhân của các ideal có tính giao hoán thì mỗi lưới σ
có thể được đặt tương ứng với lưới σ 0 với (σ 0 )ij = σ ijσ ji . Đối với hai lưới đồng dạng σ
và τ các lưới σ 0 và τ 0 cũng đồng dạng với nhau. Cho R là vành đơn và σ là D-lưới bậc
thang kiểu (k 1 ,…, k m ) trong R. Trong lưới σ 0 , trên đường chéo chính sẽ chứa các khối


đơn vị có cấp là k 1 ,…,k m và tất cả các ideal ở các vị trí khác là (0). Số các khối trên
đường chéo chính có cấp k được xác định nhờ số các cột chứa n-k ideal (0).

2.5. Ma trận chứa trong chuẩn hóa tử
Mệnh đề 2.6. Cho R là vành giao hoán, trong đó tồn tại θ ∈ R * sao cho 1 – θ ∈ R * . Cho
σ là D-lưới bậc n ≥ 2, a= (aij ) ∈ G= GL (n, R). Điều kiện cần và đủ để a ∈ N (σ ) là các điều

kiện sau thỏa mãn
i)air a 'rj ∈ σ ij ,
ii)airσ rs a 'sj ⊆ σ ij ,

với mọi i,j,r,s, i ≠ j, r ≠ s, trong đó a' ij là phần tử nằm ở vị trí thứ (i,j) của ma trận a-1.
) . Xét b adr (θ )a −1 ∈ G(σ ) .Với mọi i ≠ j, ta có
Chứng minh. Giả sử a ∈ N (σ=
=
bij ai1a '1 j + ... + airθ a 'rj + ... + ain a 'nj
= ai1a '1 j + ... + air a 'rj + ... + ain a 'nj + air (θ − 1)a 'rj
= air (θ − 1)a 'rj ∈ σ ij .

Suy ra air a 'rj ∈ σ ij .
Với r ≠ s. Chọn ξ ∈ σ rs tùy ý, ta có trs (ξ ) ∈ G(σ ).
Xét atrs (ξ )a−1 ∈ G(σ ) = G ∩ (e + M (σ )) . Ta có
atrs (ξ )a −1= e + ∑ airξ a 'sj eij .
ij

Suy ra
airξ a 'sj ∈ σ ij

Hay
airσ rs a 'sj ⊆ σ ij .