GIÁO TRÌNH AN TOÀN THÔNG TIN CHƯƠNG 1 AN TOÀN dữ LIỆU TRÊN MẠNG máy TÍNH

MỤC LỤC


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

CHƯƠNG 1
AN TOÀN DỮ LIỆU TRÊN MẠNG MÁY TÍNH
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin việc ứng dụng các
công nghệ mạng máy tính trở nên vô cùng phổ cập và cần thiết. Công nghệ mạng máy
tính đã mang lại những lợi ích to lớn.
Sự xuất hiện mạng Internet cho phép mọi người có thể truy cập, chia sẽ và khai thác
thông tin một cách dễ dàng và hiệu quả. Các công nghệ E-mail cho phép mọi người có
thể gửi thư cho người khác cũng như nhận thư ngay trên máy tính của mình. Gần đây có
công nghệ E-business cho phép thực hiện các hoạt động thương mại trên mạng máy
tính. Việc ứng dụng các mạng cục bộ trong các tổ chức, công ty hay trong một quốc gia
là rất phong phú. Các hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng hàng ngày có thể chuyển
hàng tỷ đôla qua hệ thống của mình. Các thông tin về kinh tế, chính trị, khoa học xã hội
được trao đổi rông rãi.
Tuy nhiên lại nảy sinh vấn đề về an toàn thông tin. Đó cùng là một quá trình tiến
triển hợp logic: khi những vui thích ban đầu về một siêu xa lộ thông tin, bạn nhất định
nhận thấy rằng không chỉ cho phép bạn truy nhập vào nhiều nơi trên thế giới, Internet
còn cho phép nhiều người không mời mà tự ý ghé thăm máy tính của bạn.
Thực vậy, Internet có những kỹ thuật tuyệt vời cho phép mọi người truy nhập, khai
thác, chia sẻ thông tin. Những nó cũng là nguy cơ chính dẫn đến thông tin của bạn bị hư
hỏng hoặc phá huỷ hoàn toàn.
Có những thông tin vô cùng quan trọng mà việc bị mất hay bị làm sai lệch có thể
ảnh hưởng đến các tổ chức, các công ty hay cả một quốc gia. Các thông tin về an ninh
quốc gia, bí mật kinh doanh hay các thông tin tài chính là mục tiêu của các tổ chức tình
báo nước ngoài về chính trị hay công nghiệp hoặc kẻ cắp nói chung. Bọn chúng có thể

làm mọi việc có thể để có được những thông tin quý giá này. Thử tưởng tượng nếu có
kẻ xâm nhập được vào hệ thống chuyển tiền của các ngân hàng thì ngân hàng đó sẽ chịu
những thiệt hại to lớn như mất tiền có thể dẫn tới bị phá sản. Chưa kể nếu hệ thông
thông tin an ninh quốc gia bị đe doạ thì hậu quả không thể lường trước được.
Theo số liệu của CERT(Computer Emegency Response Team - “Đội cấp cứu máy
tính”), số lượng các vụ tấn công trên Internet được thông báo cho tổ chức này là ít hơn
200 vào năm 1989, khoảng 400 vào năm 1991, 1400 vào năm 1993, và 2241 vào năm
1994. Những vụ tấn công này nhằm vào tất cả các máy tính có mặt trên Internet, các
máy tính của tất cả các công ty lớn như AT&T, IBM, các trường đại học, các cơ quan
nhà nước, các tổ chức quân sự, nhà băng... Một số vụ tấn công có quy mô khổng lồ (có
tới 100.000 máy tính bị tấn công). Hơn nữa, những con số này chỉ là phần nổi của
tảng băng. Một phần rất lớn các vụ tấn công không được thông báo, vì nhiều lý do,
trong đó có thể kể đến nỗi lo bị mất uy tín, hoặc đơn giản những người quản trị hệ
thống không hề hay biết những cuộc tấn công nhằm vào hệ thống của họ.
Không chỉ số lượng các cuộc tấn công tăng lên nhanh chóng, mà các phương pháp
tấn công cũng liên tục được hoàn thiện. Điều đó một phần do các nhân viên quản trị hệ
thống được kết nối với Internet ngày càng đề cao cảnh giác. Cũng theo CERT, những
cuộc tấn công thời kỳ 1988-1989 chủ yếu đoán tên người sử dụng-mật khẩu (UserIDpassword) hoặc sử dụng một số lỗi của các chương trình và hệ điều hành (security hole)
làm vô hiệu hệ thống bảo vệ, tuy nhiên các cuộc tấn công vào thời gian gần đây bao
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 2


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

gồm cả các thao tác như giả mạo địa chỉ IP, theo dõi thông tin truyền qua mạng, chiếm
các phiên làm việc từ xa (telnet hoặc rlogin).

Để vừa bảo đảm tính bảo mật của thông tin lại không làm giảm sự phát triển của
việc trao đổi thông tin quảng bá trên toàn cầu thì một giải pháp tốt nhất là mã hoá thông
tin. Có thể hiểu sơ lược mã hoá thông tin là che đi thông tin của mình làm cho kẻ tấn
công nếu chặn được thông báo trên đường truyền thì cũng không thể đọc được và phải
có một giao thức giữa người gửi và người nhận để có thể trao đổi thông tin, đó là các cơ
chế mã và giải mã thông tin.
Ngày nay thì việc mã hoá đã trở nên phổ cập. Các công ty phần mềm lớn trên thế
giới đều có nghiên cứu và xây dựng các công cụ, thuật toán mã hoá để áp dụng cho thực
tế. Mỗi quốc gia hay tổ chức đều có những cơ chế mã hoá riêng để bảo vệ hệ thống
thông tin của mình.
Một số vấn đề an toàn đối với nhiều mạng hiện nay:
 Một người dùng chuyển một thông báo điện tử cho một người sử dụng khác. Một
bên thứ ba trên cùng mạng LAN này sử dụng một thiết bị nghe trộm gói để lấy
thông báo và đọc các thông tin trong đó.
 Cũng trong tình huống trên bên thứ ba chặn thông báo, thay đổi các thành phần
của nó và sau đó lại gửi cho người nhận. Người nhận không hề nghi ngờ gì trừ
khi nhận ra thông báo đó là vô lý, và có thể thực hiện vài hành động dựa trên các
thành phần sai này đem lại lợi ích cho bên thứ ba.
 Người dùng log vào một server mà không sử dụng mật khẩu được mã hoá. Một
người khác đang nge trộm trên đường truyền và bắt được mật khẩu logon của
người dùng, sau đó có thể truy nhập thông tin trên server như người sử dụng.
 Một người quản trị hệ thống không hiểu về khía cạnh an toàn và yêu cầu của hệ
thống và vô tình cho phép người dùng khác truy nhập vào thư mục chứa các
thông tin hệ thống. Người dùng phát hiện ra họ có thể có được các thông tin hệ
thống và có thể dùng nó phục vụ cho loựi ích của mình.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 3

Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

CHƯƠNG 2
CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN
Trong phần này sẽ trình bày về một số cơ sở toán học của mã hóa, điều này sẽ giúp
ta nắm được một cách chi tiết hơn về các phương pháp mã hóa.

2.1 Lý thuyết số
2.1.1 Khái niệm đồng dư Modulo
Định nghĩa 1: Giả sử a và b là các số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi
đó ta viết a ≡ b(mod m) nếu m chia hết cho b-a. Mệnh để a ≡ b(mod m) được gọi
là “a đồng dư với b theo mođun m”.
Giả sử chia a và b cho m và ta thu được thương nguyên và phần dư, các phần dư
nằm giữa 0 và m-1, nghĩa là a = q1m + r1 và b = q2m + r2 trong đó 0 ≤ r1 ≤ m-1 và 0 ≤ r2 ≤
m-1. Khi đó có thể dễ dàng thấy rằng a ≡ b(mod m) khi và chỉ khi r1 = r2 .
Ta sẽ dùng ký hiệu a mod m để xác định phần dư khi a được chia cho m (chính là
giá trị r1 ở trên). Như vậy: a≡b(mod m) khi và chỉ khi (a mod m) = (b mod m). Nếu thay
a bằng a mod m thì ta nói rằng a được rút gọn theo modulo m.
Nhận xét: Nhiều ngôn ngữ lập trình của máy tính xác định a mod m là phần dư
trong dải -m+1,…,m-1 có cùng dấu với a. Ví dụ -18 mod 7 sẽ là –4, giá trị này khác
với giá trị 3 là giá trị được xác định theo công thức trên. Tuy nhiên, để thuận tiện ta sẽ
xác định a mod m luôn là một số không âm.
Bây giờ ta có thể định nghĩa số học mođun m: Z m được coi là tập hợp {0,1,…,m-1}
có trang bị hai phép toán cộng và nhân. Việc cộng và nhân trong Z m được thực hiện
giống như cộng và nhân các số thực ngoại trừ một điểm là các kết quả được rút gọn
theo mođun m.
2.1.2 Định lý về đồng dư thức

Định lí 1: Đồng dư thức ax ≡ b (mod m) chỉ có một nghiệm duy nhất x ∈ Zm với
mọi b ∈ Zm khi và chỉ khi UCLN(a,m) = 1.
Ta giả sử rằng, UCLN(a,m) = d >1. Khi đó, với b = 0 thì đồng dư thức ax ≡ 0 (mod
m) sẽ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong Zm là x = 0 và x = m/d.
2.1.3 Khái niệm phần tử nghịch đảo
Định nghĩa 2: Giả sử a ∈ Zm. Phần tử nghịch đảo (theo phép nhân) của a là phần
tử a-1 ∈ Zm sao cho aa-1 ≡ a-1a ≡ 1 (mod m)
Bằng các lý luận tương tự như trên, có thể chứng tỏ rằng a có nghịch đảo theo
mođun m khi và chỉ khi UCLN(a,m) = 1, và nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó phải là
duy nhất. Ta cũng thấy rằng, nếu b = a-1 thì a = b-1. Nếu m là số nguyên tố thì mọi phần
tử khác không của Zm đều có nghịch đảo.
2.1.4 Thuật toán Euclide
Cho hai số tự nhiên a,n. Ký hiệu (a,n) là ước số chung lớn nhất của a,n; φ(n) là số
các số nguyên dương < n và nguyên tố với n. Giả sử n > a. Thuật toán Euclide tìm
UCLN (a,n) được thực hiện bằng một dãy các phép chia liên tiếp sau đây:
Đặt r0 = n, r1 = a,
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 4


Trường Đại học Hải Phòng

r0 = q1r1 + r2 , 0 < r2 < r1

Bài giảng: An toàn thông tin

r1 = q2r2 + r3 , 0 < r3 < r2
………………………
rm-2 = qm-1rm-1 + rm , 0 < rm < rm-1

rm-1 = qmrm
Thuật toán phải kết thúc ở một bước thứ m nào đó. Ta có:
(n,a) = (r0,r1) = (r1,r2) = …… = (rm-1,rm) = rm
Vậy ta tìm được rm = (n,a). Mở rộng thuật toán Euclide bằng cách xác định thêm dãy
số t0, t1,…,tm :
t0 = 0,
t1 = 1,
tj = tj-2 – qj-1tj-1 mod r0 , nếu j ≥ 2 ,
ta dễ chứng minh bằng qui nạp rằng: rj ≡ tjr1 (mod r0)
Do đó, nếu (n,a) = 1, thì tm = a-1 mod n
2.1.5 Phần tử nguyên thủy và logarith rời rạc
Cho số n nguyên dương. Ta biết rằng tập các thặng dư thu gọn theo mođun n (tức là
tập các số nguyên dương < n và nguyên tố với n) lập thành một nhóm với phép nhân
mod n, ta ký hiệu là Z n* . Nhóm đó có cấp (số phần tử) là φ(n). Một phẩn tử g ∈ Zn* có
cấp m, nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho gm = 1 trong Zn*.
Theo một định lý đại số, ta có m |φ(n) (ký hiệu m là ước số của φ(n)) vì vậy với mọi
b ∈ Zn* ta luôn có: bφ(n) ≡ 1 (mod n)
Nếu p là số nguyên tố, thì do φ(p) = p-1, nên ta có với mọi b nguyên tố với p
bp-1 ≡ 1 (mod p)
(1)
Nếu b có cấp p-1, thì p-1 là số mũ bé nhất sao cho có công thức (1), do đó các phần
tử b, b2,…, bp-1 đều khác nhau, và lập thành Zp*. Nói cách khác, b là một phẩn tử sinh,
hay như thường gọi là phần tử nguyên thủy của Zp* ; và khi đó Zp* là một nhóm cyclic.
Trong lý thuyết số, người ta đã chứng minh đươc các định lý sau đây:
• Với mọi số nguyên tố p, Zp* là nhóm cyclic, và số các phần tử nguyên thủy của
Zp* bằng φ(p-1)
• Nếu g là phần tử nguyên thủy theo mođun p, thì β = gi, với mọi i mà (i,p-1) = 1,
cũng là phần tử nguyên thủy theo mođun p
2.1.6 Thặng dư bậc hai và ký hiệu Legendre
Cho p là một số nguyên tố lẻ, và x là một số nguyên dương ≤ p-1. x được gọi là một

thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu phương trình: y2 ≡ x (mod p) có lời giải.
Ta có tiêu chuẩn Euler sau đây: x là thặng dư bậc hai theo mođun p, nếu và chỉ nếu
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 5


Trường Đại học Hải Phòng
(p-1)/2

x

≡ 1 (mod p)

Bài giảng: An toàn thông tin

Tiêu chuẩn đó được chứng minh như sau: Giả sử có x ≡ y2 (mod p). Khi đó có:
x(p-1)/2 ≡ (y2)(p-1)/2 ≡ yp-1 ≡ 1 (mod p) ;
Ngược lại, giả sử rằng x(p-1)/2 ≡ 1 (mod p). Lấy b là một phần tử nguyên thủy (mod p),
ta có x ≡ bi (mod p) với số i nào đó.
Ta có:
x(p-1)/2 ≡ (bi)(p-1)/2 (mod p)
≡ bi(p-1)/2 (mod p)
Vì b có cấp p-1, do đó p-1 phải là ước số của i(p-1)/2, suy ra i phải là số chẵn, và
căn bậc hai của x là ±bi/2.

a
 
đasad  p  =
0 nếu a ≡ 0 (mod p)

1 nếu a là thặng dư bậc hai theo mod p
-1 nếu a không là thặng dư bậc hai theo mod p

Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Với mọi a ≥0, ta định nghĩa ký hiệu Legendre
như sau:

Ta có tính chất quan trọng sau đây: nếu p là số nguyên tố lẻ thì với mọi số nguyên
a≥0, ta có:
a
 
p

≡ a(p-1)/2 (mod p).

2.1.7 Một số thuật toán kiểm tra tính nguyên tố
Ta phát biểu một số tính chất sau đây, chúng là cơ sở cho việc phát triển một số
thuật toán xác suất thử tính nguyên tố của các số nguyên.
Solovay_Strassen :
Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi 1 ≤ a ≤ n-1:
a
 
 n  ≡ a(n-1)/2 (mod n).

Nếu n là hợp số thì:
a
 
|{a: 1 ≤ a ≤ n-1,  n  ≡ a(n-1)/2 (mod n)}| ≤ (n-1)/2

Solovay_Strassen (cải tiến bởi Lehmann):
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 6


Trường Đại học Hải Phòng

Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi 1 ≤ a ≤ n-1:

Bài giảng: An toàn thông tin

a(n-1)/2 ≡ ±1 (mod n);
Nếu n là hợp số thì:
|{a: 1 ≤ a ≤ n-1, a(n-1)/2 ≡ ±1(mod n)}| ≤ (n-1)/2

2.2 Lý thuyết về độ phức tạp tính toán
2.2.4 Độ phức tạp tính toán
Lý thuyết thuật toán và các hàm tính ra đời từ những năm 30 đã đặt nền móng cho
các nghiên cứu về các vấn đề “tính được”, “giải được”, và đã thu được nhiều kết quả rất
quan trọng. Nhưng từ cài “tính được” một cách trừu tượng, tiềm năng đến việc tính
được trong thực tế của khoa học tính toán bằng máy tính điện tử là một khoảng cách rất
lớn. Lý thuyết về độ phức tạp tính toán được nghiên cứu bắt đầu từ những năm 60 đã bù
đắp cho khoảng trống đó, cho ta nhiều tri thức cơ bản, đồng thời có nhiều ứng dụng
thực tế rất phong phú.
Độ phức tạp (về không gian hay thời gian) của một quá trình tính toán là số ô nhớ
hay số các phép toán được thực hiện trong quá trình tính toán đó.
Độ phức tạp tính toán của một thuật toán được hiểu là một hàm số f, sao cho với
mỗi n, f(n) là là số ô nhớ hay số các phép toán tối đa mà thuật toán thực hiện quá trình
tính toán của mình trên các dữ liệu vào có độ lớn n.
Độ phức tạp tính toán của một bài toán (của một hàm) được định nghĩa là độ phức
tạp của một thuật toán tốt nhất có thể tìm được để giải bài toán (hay tính hàm) đó.

Một bài toán được cho bởi:
• Một tập các dữ liệu vào Y
• Một câu hỏi dạng R(I)? với I ∈ Y, lời giải bài toán là đúng hay không
Ví dụ:
• Bài toán đồng dư bậc hai
o Dữ liệu: Các số nguyên dương a,b,c
o Câu hỏi: Có hay không số x < c sao cho x2 ≡ a mod b ?
• Bài toán hợp số
o Dữ liệu: Số nguyên dương N
o Câu hỏi: Có hay không hai số m,n > 1 sao cho N = m×n ?
2.2.5 Các lớp phức tạp
Ta định nghĩa P là lớp các bài toán có độ phức tạp thời gian là đa thức tức lớp các
bài toán mà đối với chúng có thuật toán giải bài toán đó trong thời gian đa thức.
Một lớp quan trọng các bài toán đã được nghiên cứu nhiều là lớp NP, tức các bài
toán mà đối với chúng có thuật toán không đơn định để giải trong thời gian đa thức.
Thuật toán không đơn định là một mô hình tính toán trừu tượng, được giả định là sau
mỗi bước có thể có một số hữu hạn bước được lựa chọn đồng thời tiếp sau.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 7


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

Nhiều bài toán được chứng tỏ là thuộc lớp NP, nhưng chưa ai chứng minh được là
chúng thuộc lớp P hay không. Và một vấn đề cho đến nay vẫn còn mở, chưa có lời giải
là: NP = P ?

Một cách trực giác, lớp NP bao gồm các bài toán khó hơn phức tạp hơn các bài toán
thuộc lớp P, nhưng điều có vẻ hiển nhiên trực giác đó vẫn chưa được chứng minh hay
bác bỏ.
Giả sử NP ≠ P, thì trong NP có một lớp con các bài toán được gọi là NP_đầy đủ , đó
là những bài toán mà bản thân thuộc lớp NP, và mọi bài toán bất kỳ thuộc lớp NP đều
có thể qui dẫn về bài toán đó bằng một hàm tính được trong thời gian đa thức.
Cho đến nay, người ta đã chứng minh được hàng trăm bài toán thuộc nhiều lĩnh vực
khác nhau là NP_đầy đủ. Bài toán đồng dư bậc hai kể trên là NP_đầy đủ, bài toán hợp
số không là NP_đầy đủ, nhưng chưa tìm được một thuật toán làm việc trong thời gian
đa thức giải nó.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 8


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

2.3 Hàm một phía và hàm cửa sập một phía
Hàm f(x) được gọi là hàm một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, nhưng việc tính ngược
x=f-1(y) là rất khó. Có thể hiểu “dễ” là tính được trong thời gian đa thức (với đa thức
bậc thấp), và “khó” là không tính được trong thời gian đa thức.
Ví dụ: Hàm f(x) = gx (mod p) (p là số nguyên tố, g là phần tử nguyên thủy theo
mođun p) là hàm một phía. Vì biết x tính f(x) là khá đơn giản, nhưng biết f(x) để
tính x thì với các thuật toán đã biết hiện nay đòi hỏi một khối lượng tính toán cỡ
O(exp(lnp lnlnp)112) phép tính (nếu p là số nguyên tố cỡ 200 chữ số thập phân, thì
khối lượng tính toán trên đòi hỏi một máy tính 1 tỷ phép tính/giây làm việc không
nghỉ trong khoảng 3000 năm)

Hàm f(x) được gọi là hàm cửa sập một phía, nếu tính y = f(x) là dễ, tính x = f -1(y) là
rất khó, nhưng có cửa sập z để tính x = fz-1(y) là dễ
Ví dụ: Cho n = p×q là tích của hai số nguyên tố lớn, a là số nguyên, hàm
f(x)=xa(mod n) là hàm cửa sập một phía, nếu chỉ biết n và a thì tính x = f -1(y) là rất
khó, nhưng nếu biết cửa sập, chẳng hạn hai thừa số của n, thì sẽ tính được
f -1(y)
khá dễ.
Trên đây là hai thí dụ điển hình, và cũng là hai trường hợp được sử dụng rộng rãi về
hàm một phía và hàm cửa sập một phía. Vì đây là những điểm then chốt của lý thuyết
mật mã khóa công khai, nên việc tìm kiếm các loại hàm một phía và cửa sập một phía
được nghiên cứu rất khẩn trương, và đến nay tuy có đạt được một số kết quả, nhưng
việc tìm kiếm vẫn tiếp tục, đầy hứng thú nhưng cũng đầy khó khăn.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 9


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

CHƯƠNG 3
GIỚI THIỆU VỀ MÃ HÓA
3.1 Các thuật ngữ
Hệ mật mã là tập hợp các thuật toán và các thủ tục kết hợp để che dấu thông tin
cũng như làm rõ nó.
Mật mã học nghiên cứu mật mã bởi các nhà mật mã học, người viết mật mã và các
nhà phân tích mã.
Mã hoá là quá trình chuyển thông tin có thể đọc gọi là bản rõ thành thông tin không

thể đọc gọi là bản mã.
Giải mã là quá trình chuyển ngược lại thông tin được mã hoá thành bản rõ.
Thuật toán mã hoá là các thủ tục tính toán sử dụng để che dấu và làm rõ thông tin.
Thuật toán càng phức tạp thì bản mã càng an toàn.
Một khoá là một giá trị làm cho thuật toán mã hoá chạy theo cách riêng biệt và sinh
ra bản rõ riêng biệt tuỳ theo khoá. Khoá càng lớn thì bản mã kết quả càng an toàn. Kích
thước của khoá được đo bằng bit. Phạm vi các giá trị có thể có của khoá được gọi là
không gian khoá.
Phân tích mã là quá trình hay nghệ thuật phân tích hệ mật mã hoặc kiểm tra tính
toàn vẹn của nó hoặc phá nó vì những lý do bí mật.
Một kẻ tấn công là một người (hay hệ thống) thực hiện phân tích mã để làm hại hệ
thống. Những kẻ tấn công là những kẻ thọc mũi vào chuyện người khác, các tay hacker,
những kẻ nghe trộm hay những các tên đáng ngờ khác, và họ làm những việc thường
gọi là cracking
3.2 Định nghĩa hệ mật mã.
Hệ mật mã: là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các tính chất
sau
P ( Plaintext ) là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.
C ( Ciphertext ) là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.
K ( Key ) là tập hợp các bản khoá có thể.
E ( Encrytion ) là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể.
D ( Decrytion ) là tập hợp các qui tắc giải mã có thể.
Chúng ta đã biết một thông báo thường được tổ chức dưới dạng bản rõ. Người gửi
sẽ làm nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu được gọi là bản mã. Bản mã này được gửi
đi trên một đường truyền tới người nhận sau khi nhận được bản mã người nhận giải mã
nó để tìm hiểu nội dung.
Dễ dàng thấy được công việc trên khi sử dụng định nghĩa hệ mật mã :
EK( P) = C và DK( C ) = P
3.3 Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về độ tin cậy, tính toàn vẹn, sự không từ chối và sự xác thực.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 10


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

 Độ tin cậy: cung cấp sự bí mật cho các thông báo và dữ liệu được lưu bằng
việc che dấu thông tin sử dụng các kỹ thuật mã hóa.
 Tính toàn vẹn: cung cấp sự bảo đảm với tất cả các bên rằng thông báo còn lại
không thay đổi từ khi tạo ra cho đến khi người nhận mở nó.
 Tính không từ chối: có thể cung cấp một cách xác nhận rằng tài liệu đã đến từ
ai đó ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó.
 Tính xác thực: cung cấp hai dịch vụ: đầu tiên là nhận dạng nguồn gốc của một
thông báo và cung cấp một vài sự bảo đảm rằng nó là đúng sự thực. Thứ hai là
kiểm tra đặc tính của người đang logon một hệ thống và sau đó tiếp tục kiểm
tra đặc tính của họ trong trường hợp ai đó cố gắng đột nhiên kết nối và giả
dạng là người sử dụng
3.4 Các phương pháp mã hoá
3.4.1 Mã hoá đối xứng khoá bí mật
Định nghĩa: Thuật toán đối xứng hay còn gọi thuật toán mã hoá cổ điển là thuật
toán mà tại đó khoá mã hoá có thể tính toán ra được từ khoá giải mã. Trong rất nhiều
trường hợp, khoá mã hoá và khoá giải mã là giống nhau. Thuật toán này còn có nhiều
tên gọi khác như thuật toán khoá bí mật, thuật toán khoá đơn giản, thuật toán một
khoá. Thuật toán này yêu cầu người gửi và người nhận phải thoả thuận một khoá trước
khi thông báo được gửi đi, và khoá này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của thuật
toán này vẫn phụ thuộc và khoá, nếu để lộ ra khoá này nghĩa là bất kỳ người nào cũng
có thể mã hoá và giải mã thông báo trong hệ thống mã hoá.

Sự mã hoá và giải mã của thuật toán đối xứng biểu thị bởi :
EK( P ) = C và DK( C ) = P
Bản rõ
Mã hoá
Giải mã
Bản rõ
Bản mã
Khoá
Hình 3.1. Mã hoá với khoá mã và khoá giải giống nhau

Trong hình vẽ trên thì :
K1có thể trùng K2, hoặc
K1 có thể tính toán từ K2, hoặc
K2 có thể tính toán từ K1.

3.4.1.1

Nơi ứng dụng

Sử dụng trong môi trường mà khoá đơn dễ dàng được chuyển như là trong cùng một
văn phòng. Cũng dùng để mã hoá thông tin để lưu trữ trên đĩa.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 11


Trường Đại học Hải Phòng

3.4.1.2

Bài giảng: An toàn thông tin

Các vấn đề đối với phương pháp mã hoá này

Các phương mã hoá cổ điển đòi hỏi người mã hoá và người giải mã phải cùng chung
một khoá. Khi đó khoá phải được giữ bí mật tuyệt đối, do vậy ta dễ dàng xác định một
khoá nếu biết khoá kia.
Hệ mã hoá đối xứng không bảo vệ được sự an toàn nếu có xác suất cao khoá người
gửi bị lộ. Trong hệ khoá phải được gửi đi trên kênh an toàn nếu kẻ địch tấn công trên
kênh này có thể phát hiện ra khoá.
Vấn đề quản lý và phân phối khoá là khó khăn và phức tạp khi sử dụng hệ mã hoá
cổ điển. Người gửi và người nhận luôn luôn thông nhất với nhau về vấn đề khoá. Việc
thay đổi khoá là rất khó và dễ bị lộ.
Khuynh hướng cung cấp khoá dài mà nó phải được thay đổi thường xuyên cho mọi
người trong khi vẫn duy trì cả tính an toàn lẫn hiệu quả chi phí sẽ cản trở rất nhiều tới
việc phát triển hệ mật mã cổ điển.
3.4.2 Mã hoá phi đối xứng khoá công khai
Định nghĩa: Vào những năm 1970 Diffie và Hellman đã phát minh ra một hệ mã
hoá mới được gọi là hệ mã hoá công khai hay hệ mã hoá phi đối xứng.
Thuật toán mã hoá công khai là khác biệt so với thuật toán đối xứng. Chúng được
thiết kế sao cho khoá sử dụng vào việc mã hoá là khác so với khoá giải mã. Hơn nữa
khoá giải mã không thể tính toán được từ khoá mã hoá. Chúng được gọi với tên hệ
thống mã hoá công khai bởi vì khoá để mã hoá có thể công khai, một người bất kỳ có
thể sử dụng khoá công khai để mã hoá thông báo, nhưng chỉ một vài người có đúng
khoá giải mã thì mới có khả năng giải mã.
Trong nhiều hệ thống, khoá mã hoá gọi là khoá công khai (public key), khoá giải mã
thường được gọi là khoá riêng (private key).

Trong hình vẽ trên thì :

K1 không thể trùng K2, hoặc
K2 không thể tính toán từ K1.
Đặc trưng nổi bật của hệ mã hoá công khai là cả khoá công khai (public key) và bản
tin mã hoá (ciphertext) đều có thể gửi đi trên một kênh thông tin không an toàn.

3.4.2.1

Nơi ứng dụng

Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet khi mà khoá chuyển tương
đối khó khăn.

3.4.2.2

Điều kiện hệ mã hóa khóa công khai

Diffie và Hellman đã xác đinh rõ các điều kiện của một hệ mã hoá công khai như
sau:
1. Việc tính toán ra cặp khoá công khai KB và bí mật kB dựa trên cơ sở các điều kiện
ban đầu phải được thực hiện một cách dễ dàng, nghĩa là thực hiện trong thời gian
đa thức.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 12


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

2. Người gửi A có được khoá công khai của người nhận B và có bản tin P cần gửi
đi thì có thể dễ dàng tạo ra được bản mã C.
C = EKB (P) = EB (P)
Công việc này cũng trong thời gian đa thức.
3. Người nhận B khi nhận được bản tin mã hóa C với khoá bí mật k B thì có thể giải
mã bản tin trong thời gian đa thức.
P = DkB (C) = DB[EB(M)]
4. Nếu kẻ địch biết khoá công khai KB cố gắng tính toán khoá bí mật thì khi đó
chúng phải đương đầu với trường hợp nan giải, trường hợp này đòi hỏi nhiều yêu
cầu không khả thi về thời gian.
5. Nếu kẻ địch biết được cặp (K B,C) và cố gắng tính toán ra bản rõ P thì giải quyết
bài toán khó với số phép thử là vô cùng lớn, do đó không khả thi.
3.5 Các hệ mã hóa đơn giản
Đối tượng cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh không mật
cho hai người sử dụng (tạm gọi là Alice và Bob) sao cho đối phương (Oscar) không thể
hiểu được thông tin được truyền đi. Kênh này có thể là một đường dây điện thoại hoặc
một mạng máy tính. Thông tin mà Alice muốn gửi cho Bob (bản rõ) có thể là một văn
bản tiếng Anh, các dữ liệu bằng số hoặc bất cứ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý. Alice sẽ
mã hoá bản rõ bằng một kháo đã được xacs định trước và gửi bản mã kết quả trên kênh.
Oscar có bản mã thu trộm được trên kênh song không thể xác định nội dung của bản
rõ, nhưng Bob (người đã biết khoá mã) có thể giải mã và thu được bản rõ.
Ta sẽ mô tả hình thức hoá nội dung bằng cách dung khái niệm toán học như sau:
Định nghĩa:
Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D) thoả mãn các điều kiện sau:
P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.
C là một tập hữu hạn các bản mã có thể.
K (không gian khoá) là tập hữu hạn các khoá có thể.
Đối với mỗi k∈ K có một quy tắc mã ek: P → C và một quy tắcv giải mã tương ứng
dk ∈ D. Mỗi ek: P → C và dk: C → P là những hàm mà:

dk(ek (x)) = x với mọi bản rõ x ∈ P.
Trong tính chất 4 là tính chất chủ yếu ở đây. Nội dung của nó là nếu một bản rõ x
được mã hoá bằng ek và bản mã nhận được sau đó được giải mã bằng dk thì ta phải thu
được bản rõ ban đầu x. Alice và Bob sẽ áp dụng thủ tục sau dùng hệ mật khoá riêng.
Trước tiên họ chọn một khoá ngẫu nhiên K ∈ K . Điều này được thực hiện khi họ ở
cùng một chỗ và không bị Oscar theo dõi hoặc khi họ có một kênh mật trong trường
hợp họ ở xa nhau. Sau đó giả sử Alice muốn gửi một thông baó cho Bob trên một kênh
không mật và ta xem thông báo này là một chuỗi:
x = x1,x2 ,. . .,xn
với số nguyên n ≥ 1 nào đó. Ở đây mỗi ký hiệu của mỗi bản rõ xi ∈ P , 1 ≤ i ≤ n. Mỗi
xi sẽ được mã hoá bằng quy tắc mã ek với khoá K xác định trước đó. Bởi vậy Alice sẽ
tính yi = ek(xi), 1 ≤ i ≤ n và chuỗi bản mã nhận được:
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 13


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

y = y1,y2 ,. . .,yn
Oscar
Bộ giải mã
Bộ mã hoá
Bob
Alice
Kênh an toàn
Nguồn khoá
sẽ được gửi trên kênh. Khi Bob nhận đươc y1,y2 ,. . .,yn anh ta sẽ giải mã bằng hàm

giải mã dk và thu được bản rõ gốc x1,x2 ,. . .,xn. Hình dưới là một ví dụ về một kênh
liên lạc
Hình 3.3. Kênh liên lạc
Rõ ràng là trong trường hợp này hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh ( tức là ánh xạ 11), nếu không việc giải mã sẽ không thực hiện được một cách tường minh. Ví dụ
y = ek(x1) = ek(x2)
trong đó x1 ≠ x2 , thì Bob sẽ không có cách nào để biết liệu sẽ phải giải mã thành x1
hay x2 . Chú ý rằng nếu P = C thì mỗi hàm mã hoá là một phép hoán vị, tức là nếu tập
các bản mã và tập các bản rõ là đồng nhất thì mỗi một hàm mã sẽ là một sự sắp xếp lại
(hay hoán vị ) các phần tử của tập này.
Do các ví dụ của chúng ta xét trên tập dữ liệu là bảng chữ cái nên chúng ta coi bảng
chữ cãi tiếng anh là tập hợp gồm 26 giá trị như bảng bên dưới.
A B C D E F
G H I
J
K L M
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

13

14

15 16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

3.5.1 Mã dịch vòng
Mã dịch vòng được xác định trên Z26 (do có 26 chữ cái trên bảng chữ cái tiếng Anh)
mặc dù có thể xác định nó trên Zm với modulus m tuỳ ý. Dễ dàng thấy rằng, MDV sẽ
tạo nên một hệ mật như đã xác định ở trên, tức là dK (eK(x)) = x với mọi x∈ Z26 .

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 14


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Giả sử P = C = K = Z26 với 0 ≤ k ≤ 25 , định nghĩa:
eK(x) = x +K mod 26
và

dK(x) = y -K mod 26

(x,y ∈ Z26)

Nhận xét: Trong trường hợp K = 3, hệ mật thường được gọi là mã Caesar đã từng
được Julius Caesar sử dụng.
Ta sẽ sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông
thường bằng cách thiết lập sự tương ứnggiữa các kí tự và các thặng dư theo modulo 26
như sau: A ↔ 0,B ↔ 1, . . ., Z ↔ 25.
Ví dụ 1:

Giả sử khoá cho MDV là K = 11 và bản rõ là: wewillmeetatmidnight
Trước tiên biến đổi bản rõ thành dãy các số nguyên nhờ dùng phép tương ứng trên.
Ta có:
22 4
22 8
11 11 12 4
4
19
0

19

12

8

3

13

8

6

7

19

sau đó cộng 11 vào mỗi giá trị rồi rút gọn tổng theo modulo 26
7

15 7
19 22 22 23 15 15 4
11

4

23

19

14

24

19

17

18

4

Cuối cùng biến đổi dãy số nguyên này thành các kí tự thu được bản mã sau:
HPHTWWXPPELEXTOYTRSE
Để giả mã bản mã này, trước tiên, Bob sẽ biến đổi bản mã thành dãy các số nguyên
rồi trừ đi giá trịcho 11 ( rút gọn theo modulo 26) và cuối cùng biến đổi lại dãy nàythành
các ký tự.
Nhận xét: Trong ví dụ trên , ta đã dùng các chữ in hoa cho bản mã, các chữ thường
cho bản rõ để tiện phân biệt. Quy tắc này còn tiếp tục sử dụng sau này.
Nếu một hệ mật có thể sử dụng được trong thực tế thì nó phảo thoả mãn một số tính

chất nhất định. Ngay sau đây sẽ nêu ra hai trong số đó:
1. Mỗi hàm mã hoá eK và mỗi hàm giải mã d K phải có khả năng tính toán được
một cách hiệu quả.
2. Đối phương dựa trên xâu bản mã phải không có khả năng xác định khoá K đã
dùng hoặc không có khả năng xác định được xâu bản rõ x.
Tính chất thứ hai xác định (theo cách khá mập mờ) ý tưởng ý tưởng "bảo mật". Quá
trình thử tính khoá K (khi đã biết bản mã y) được gọi là mã thám (sau này khái niệm
này sẽ đực làm chính xác hơn). Cần chú ý rằng, nếu Oscar có thể xác định được K thì
anh ta có thể giải mã được y như Bob bằng cách dùng dK. Bởi vậy, việc xác định K chí
ít cũng khó như việc xác định bản rõ x.
Nhận xét: MDV (theo modulo 26) là không an toàn vì nó có thể bị thám theo
phương pháp vét cạn. Do chỉ có 26 khoá nên dễ dàng thử mọi khoá dK có thể cho tới
khi nhận được bản rõ có nghĩa. Điều này được minh hoạ theo ví dụ sau:
Ví du 2: Cho bản mã
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 15


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

JBCRCLQRWCRVNBJENBWRWN
ta sẽ thử liên tiếp các khoá giải mã d0 ,d1 .. . và y thu được:
jbcrclqrwcrvnbjenbwrwn
iabqbkpqvbqumaidmavqvm
hzapajopuaptlzhclzupul
gyzozinotzoskygbkytotk
jxynyhmnsynrjexfajxsnsj

ewxmxglmrxmqiweziwrmri
dvwlwfklqwlphvodyhvqlqh
cuvkvejkpvkogucxgupkpg
btujudijoujnftbwfojof
astitchintimesavesnine
Tới đây ta đã xác định được bản rõ và dừng lại. Khoá tương ứng K = 9.
Trung bình có thể tính được bản rõ sau khi thử 26/2 = 13 quy tắc giải mã. Như đã
chỉ ra trong ví dụ trên , điều kiện để một hệ mật an toàn là phép tìm khoá vét cạn phải
không thể thực hiện được; tức không gian khoá phải rất lớn. Tuy nhiên, một không gian
khoá lớn vẫn chưa đủ đảm bảo độ mật.
3.5.2 Mã thay thế
Một hệ mật nổi tiếng khác là hệ mã thay thế. Hệ mật này đã được sử dụng hàng trăm
năm. Trò chơi đố chữ "cryptogram" trong các bài báo là những ví dụ về MTT. Trên thực
tế MTT có thể lấy cả P và C đều là bộ chữ cái tiếng anh, gồm 26 chữ cái. Ta dùng Z 26
trong MDV vì các phép mã và giải mã đều là các phép toán đại số. Tuy nhiên, trong
MTT, thích hợp hơn là xem phép mã và giải mã như các hoán vị của các kí tự.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Cho P =C = Z26 . K chứa mọi hoán vị có thể của 26 kí hiệu 0,1, . . . ,25
Với mỗi phép hoán vị π ∈K , ta định nghĩa:
eπ(x) = π(x)
và

dπ(y) = π -1(y)

trong đó π -1 là hoán vị ngược của π.
Sau đây là một ví dụ về phép hoán vị ngẫu nhiên π tạo nên một hàm mã hoá (cũng
như trước, các kí hiệu của bản rõ được viết bằng chữ thường còn các kí hiệu của bản mã
là chữ in hoa).
a
b

c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
M
X
N
Y
A
H
P
O
G
Z
Q
W
B
T
n
o
p
q
r
s

t
u
v
w
x
y
Z
S
F
L
R
C
V
M
U
E
K
J
D
I
Như vậy, eπ (a) = X, eπ (b) = N,. . . . Hàm giải mã là phép hoán vị ngược. Điều này
được thực hiện bằng cách viết hàng thứ hai lên trước rồi sắp xếp theo thứ tự chữ cái. Ta
nhận được:
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 16


Trường Đại học Hải Phòng

A
d
N
b

B
l
O
g

C
r
P
f

Bài giảng: An toàn thông tin

D
y
Q
j

E
v
R
q

F
o
S

n

G
h
T
m

H
e
U
u

I
z
V
s

J
x
W
k

K
w
X
a

L
p
Y

c

M
T
Z
I

Bởi vậy dπ (A) = d, dπ(B) = 1, . . .
Bài tập: giải mã bản mã sau bằng cách dùng hàm giải mã đơn giản:
M G Z V Y Z L G H C M H J M Y X S S E M N H A H Y C D L M H A.
Mỗĩ khoá của MTT là một phép hoán vị của 26 kí tự. Số các hoán vị này là 26!, lớn
hơn 4 ×10 26 là một số rất lớn. Bởi vậy, phép tìm khoá vét cạn không thể thực hiện
được, thậm chí bằng máy tính. Tuy nhiên, sau này sẽ thấy rằng MTT có thể dễ dàng bị
thám bằng các phương pháp khác.
3.5.3 Mã Apphin
MDV là một trường hợp đặc biệt của MTT chỉ gồm 26 trong số 26! các hoán vị có
thể của 26 phần tử. Một trường hợp đặc biệt khác của MTT là mã Affine được mô tả
dưới đây. trong mã Affine, ta giới hạn chỉ xét các hàm mã có dạng:
e(x) = ax + b mod 26,
a,b ∈ Z26 . Các hàm này được gọi là các hàm Affine (chú ý rằng khi a = 1, ta có MDV).
Để việc giải mã có thể thực hiện được, yêu cầu cần thiết là hàm Affine phải là đơn
ánh. Nói cách khác, với bất kỳ y ∈ Z26, ta muốn có đồng nhất thức sau:
ax + b ≡ y (mod 26)
phải có nghiệm x duy nhất. Đồng dư thức này tương đương với:
ax ≡ y-b (mod 26)
Vì y thay đổi trên Z26 nên y-b cũng thay đổi trên Z26 . Bởi vậy, ta chỉ cần nghiên cứu
phương trình đồng dư:
ax ≡ y (mod 26)
(y∈ Z26 ).
Ta biết rằng, phương trình này có một nghiệm duy nhất đối với mỗi y khi và chỉ khi

UCLN(a,26) = 1 (ở đây hàm UCLN là ước chung lớn nhất của các biến của nó). Trước
tiên ta giả sử rằng, UCLN(a,26) = d >1. Khi đó, đồng dư thức ax ≡ 0 (mod 26) sẽ có ít
nhất hai nghiệm phân biệt trong Z26 là x = 0 và x = 26/d. Trong trường hợp này, e(x) =
ax + b mod 26 không phải là một hàm đơn ánh và bởi vậy nó không thể là hàm mã hoá
hợp lệ.
Giải thích theo một cách khác như sau:
Phép lập mã được cho bởi một hàm apphin dạng:
e(x) = ax + b mod 26
Để có được phép giải mã tương ứng, tức là để cho phương trình sau có nghiệm:
ax + b = c mod 26
có lời giải đối với x (với bất kỳ c cho trước), theo một định lý số học, điều kiện cần và
đủ là a nguyên tố với 26, tức là UCLN(a,26) = 1. Khi UCLN(a,26)=1 thì có:
a-1 ⊆ Z26 sao cho a.a-1=a-1.a=1 mod 26.
và do đó nếu y=ax+b mod 26 thì x=a-1(y-b) mod 26 và ngược lại
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 17


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Cho P = C = Z26 và giả sử P = { (a,b) ∈ Z26 × Z26 : UCLN(a,26) =1 }
Với K = (a,b) ∈K , ta định nghĩa:
eK(x) = ax +b mod 26
và

dK(y) = a-1(y-b) mod 26, x,y ∈ Z26

Ví dụ: Giả sử K = (7,3). Như đã nêu ở trên, 7-1 mod 26 = 15.
Hàm mã hoá là
eK(x) = 7x+3
Và hàm giải mã tương ứng là:
dK(x) = 15(y-3) = 15y -19
Ở đây, tất cả các phép toán đều thực hiện trên Z26.
Ta sẽ kiểm tra liệu dK(eK(x)) = x với mọi x Z26 không?.
Dùng các tính toán trên Z26 , ta có
dK(eK(x)) =dK(7x+3) =15(7x+3)-19 = x +45 - 19 = x.
Để minh hoạ, ta hãy mã hoá bản rõ "hot". Trước tiên biến đổi các chữ h, o, t thành
các thặng du theo modulo 26. Ta được các số tương ứng là 7, 14 và 19.
Bây giờ sẽ mã hoá:
7x7 +3 mod 26 = 52 mod 26 = 0
7 x14 + 3 mod 26 = 101 mod 26 =23
7 x19 +3 mod 26 = 136 mod 26 = 6
Bởi vậy 3 ký hiệu của bản mã là 0, 23 và 6 tương ứng với xâu ký tự AXG. Việc giải
mã sẽ do bạn thực hiện như một bài tập.
3.5.4 Mã Vigenère
Trong cả hai hệ MDV và MTT (một khi khoá đã được chọn) mỗi ký tự sẽ được ánh
xạ vào một ký tự duy nhất. Vì lý do đó, các hệ mật còn được gọi hệ thay thế đơn biểu.
Bây giờ ta sẽ trình bày ( trong hùnh 1.5) một hệ mật không phải là bộ chữ đơn, đó là hệ
mã Vigenère nổi tiếng. Mật mã này lấy tên của Blaise de Vigenère sống vào thế kỷ XVI.
Sử dụng phép tương ứng A ⇔ 0, B ⇔ 1, . . . , Z ⇔ 25 mô tả ở trên, ta có thể gắn
cho mỗi khoa K với một chuỗi kí tự có độ dài m được gọi là từ khoá. Mật mã Vigenère
sẽ mã hoá đồng thời m kí tự: Mỗi phần tử của bản rõ tương đương với m ký tự.
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Cho m là một số nguyên dương cố định nào đó.
Định nghĩa P = C = K = (Z26)m . Với khoá K = (k1, k2, . . . ,km) ta xác định :
eK(x1, x2, . . . ,xm) = (x1+k1, x2+k2, . . . , xm+km)

và
dK(y1, y2, . . . ,ym) = (y1-k1, y2-k2, . . . , ym-km)
trong đó tất cả các phép toán được thực hiện trong Z26
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 18


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

Ví dụ: Giả sử m =6 và từ khoá là CIPHER.
Từ khoá này tương ứng với dãy số K=(2,8,15,4,17).
Giả sử bản rõ là xâu: thiscryptosystemisnotsecure
Ta sẽ biến đổi các phần tử của bản rõ thành các thặng dư theo modulo 26, viết chúng
thành các nhóm 6 rồi cộng với từ khoá theo modulo 26 như sau:
Bởi vậy, dãy ký tự tương ứng của xâu bản mã sẽ là:
19 7
8
18 2
17 24 15 19 14 18
V2 P X 8Z G I15
A X I7 V W4P U 17
B T T2M J P
Z I T7W Z4T
8 W I15

24
17

21
15
23
25
6
8
0
23
8
21
22
Để giải mã ta có thể dùng cùng từ khoá nhưng thay cho cộng, ta 15
trừ cho nó theo

modulo 26.

18

19

4

22

25

19

12

8

18

13

14

19

18

4

2

m
Ta thấy rằng
các
khoá7có thể
2
8 từ15
4 với17số độ
2 dài 8m trong
15 mật
7 mã4Vigenère
17 là 26 , bởi
vậy, thậm chí
pháp8tìm kiếm
20 với1 các giá

19 trị19m khá
12 nhỏ,
9 phương
15 22
15 vét
8 cạn
19 cũng yêu cầu
thời gian khá lớn. Ví dụ, nếu m = 5 thì không gian khoá cũng có kích thước lớn hơn 1,1
20 khoá
17 này4 đã đủ lớn để ngăn ngừa việc tìm khoá bằng tay( chứ không phải
× 107 . Lượng
2
15
dùng máy tính). 8

Trong hệ mật Vigenère có từ khoá độ dài m,mỗi ký tự có thể được ánh xạ vào trong
m ký tự có thể có (giả sử rằng từ khoá chứa m ký tự phân biệt). Một hệ mật như vậy
được gọi là hệ mật thay thế đa biểu (polyalphabetic). Nói chung, việc thám mã hệ thay
thế đa biểu sẽ khó khăn hơn so việc thám mã hệ đơn biểu.
3.5.5 Mã HILL
Trong phần này sẽ mô tả một hệ mật thay thế đa biểu khác được gọi là mật mã Hill.
Mật mã này do Lester S.Hill đưa ra năm 1929. Giả sử m là một số nguyên dương, đặt P
= C = (Z26)m . Ý tưởng ở đây là lấy m tổ hợp tuyến tính của m ký tự trong một phần tử
của bản rõ để tạo ra m ký tự ở một phần tử của bản mã.
Ví dụ nếu m = 2 ta có thể viết một phần tử của bản rõ là x = (x 1,x2) và một phần tử
của bản mã là y = (y1,y2). Ở đây, y1cũng như y2 đều là một tổ hợp tuyến tính của x1và x2.
Chẳng hạn, có thể lấy
y1 = 11x1+ 3x2
y2 = 8x1+ 7x2
Tất nhiên có thể viết gọn hơn theo ký hiệu ma trận như sau

11 8 
( y1 y 2 ) = ( x1 x2 ) 
÷
 3 7

Nói chung, có thể lấy một ma trận K kích thước m × m làm khoá.
Nếu một phần tử ở hàng i và cột j của K là k i,,j thì có thể viết K = (ki,,j), với x = (x1,
x2, . . . ,xm) ∈ P và K ∈K , ta tính y = eK(x) = (y1, y2, . . . ,ym) như sau:
 k1,1 ... k1,1 

÷
( y1 , ..., y m ) = ( x1 ,..., xm )  ... ... ... ÷
k
÷
 m,1 ... km,m 

Nói một cách khác y = xK.
Chúng ta nói rằng bản mã nhận được từ bản rõ nhờ phép biến đổi tuyến tính. Ta sẽ
xét xem phải thực hiện giải mã như thế nào, tức là làm thế nào để tính x từ y. Bạn đã
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 19


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

làm quen với đại số tuyến tính sẽ thấy rằng phải dùng ma trận nghịch đảo K -1 để giả mã.
Bản mã được giải mã bằng công thức y K-1 .

Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Cho m là một số nguyên dương có định. Cho P = C = (Z26 )m và cho
K = { các ma trận khả nghịch cấp m × m trên Z26}
Với một khoá K ∈K ta xác định
eK(x) = xK
và

dK(y) = yK -1

Tất cả các phép toán được thực hiện trong Z26
Ví dụ:
11 8 
K =
÷
 3 7
Giả sử có khóa
 7 18 
K −1 = 
÷
 23 11 
Từ các tính toán trên ta có:

Giả sử cần mã hoá bản rõ "July". Ta có hai phần tử của bản rõ để mã hoá: (9,20)
(ứng với Ju) và (11,24) (ứng với ly).
Ta tính như sau:

11 8 
(9, 20) 
÷ = (99 + 60,72 + 140) = (3, 4)
 3 7

Và

11 8 
(11, 21) 
÷ = (121 + 72,88 + 168) = (11, 22)
 3 7

Bởi vậy bản mã của July là DELW. Để giải mã Bob sẽ tính:
 7 18 
 7 18 
(3, 4) 
(11, 22) 
÷ = (9, 20)
÷ = (11, 24)
23
11
23
11




và

Như vậy Bob đã nhận được bản đúng.
Cho tới lúc này ta đã chỉ ra rằng có thể thực hiện phép giải mã nếu K có một nghịch
đảo. Trên thực tế, để phép giải mã là có thể thực hiện được, điều kiện cần là K phải có
nghịch đảo. ( Điều này dễ dàng rút ra từ đại số tuyến tính sơ cấp, tuy nhiên sẽ không
chứng minh ở đây). Bởi vậy, chúng ta chỉ quan tâm tới các ma trận K khả nghich. Tính

khả nghịch của một ma trận vuông phụ thuộc vào giá trị định thức của nó. Để tránh sự
tổng quát hoá không cần thiết, ta chỉ giới hạn trong trường hợp 2×2.
Định nghĩa : Định thức của ma trận A = (a,i j ) cấp 2× 2 là giá trị
det A = a1,1 a2,2 - a1,2 a2,1
Một ma trận thức K là có nghịch đảo khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Tuy
nhiên, điều quan trọng cần nhớ là ta đang làm việc trên Z 26 . Kết quả tương ứng là ma
trận K có nghịch đảo theo modulo 26 khi và chỉ khi UCLN(det K,26) = 1.
Định lý: Giả sử A = (ai j) là một ma trận cấp 2 × 2 trên Z26 sao cho:

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 20


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

 a2,2
A−1 = (det A) −1 
 − a2,1
det A = a1,1a2,2 - a1,2 a2,1 có nghịch đảo. Khi đó

−a1,2 
÷
a1,1 

Trở lại ví dụ đã xét ở trên . Trước hết ta có:
 11 8 
Det 

÷
 3 7  =(11.7-8.3) mod 26 = 77 - 24 mod 26 = 53 mod 26 =1

Vì 1-1 mod 26 = 1 nên ma trận nghịch đảo là
−1

11 8 
 7 −8   7 18 

÷ =
÷= 
÷
 3 7
 −3 11   23 11  (do theo modulo 26)

Đây chính là ma trận đã có ở trên.
3.5.6 Mã hoán vị
Tất cả các hệ mật thảo luận ở trên ít nhiều đều xoay quanh phép thay thế: các ký tự
của bản rõ được thay thế bằng các ký tự khác trongbản mã. Ý tưởng của MHV là giữ
các ký tự của bản rõ không thay đổi nhưng sẽ thay đổi vị trí của chúng bằng cách sắp
xếp lại các ký tự này. MHV (còn được gọi là mã chuyển vị) đã được dùng từ hàng trăm
năm nay. Thật ra thì sự phân biệt giữa MHV và MTT đã được Giovani Porta chỉ ra từ
1563. Định nghĩa hình thức cho MHV được nêu ra bên dưới.
Không giống như MTT, ở đây không có các phép toán đại số nào cần thực hiện khi
mã hoá và giải mã nên thích hợp hơn cả là dùng các ký tự mà không dùng các thặng dư
theo modulo 26. Dưới đây là một ví dụ minh hoạ
Định nghĩa: Một hệ mật là một bộ 5 (P,C,K,E,D)
Cho m là mộ số nguyên dương xác định nào đó. Cho P = C = (Z26 )m và cho K
gồm tất cả các hoán vị của {1, . . ., m}. Đối một khoá π ( tức là một hoán vị) ta
xác định

eπ(x1, . . . , xm ) = (xπ(1), . . . , xπ(m))
và

dπ(x1, . . . , xm ) = (yπ -1(1), . . . , yπ -1(m))

trong đó π -1 là hoán vị ngược của π
Ví dụ: Giả sử m = 6 và khoá là phép hoán vị ( π ) sau:
1
2
3
4
5
6
3

5

1

6

4

2

1

2

3

4

5

6

3

6

1

5

2

4
Hoán vị π
Hoán vị π-1

Khi đó phép hoán vị ngược π -1 sẽ tương ứng như trên:
Bây giờ giả sử có bản rõ
Shesellsseashellsbytheseashore
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 21


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

Trước tiên ta nhóm bản rõ thành các nhóm 6 ký tự:
shesel | lsseas | hellsb | ythese | ashore
Bây giờ mỗi nhóm 6 chữ cái được sắp xếp lại theo phép hoán vị π, ta có:
EESLSH | SALSES | LSHBLE | HSYEET | HRAEOS
Như vậy bản mã là
EESLSH SALSES LSHBLE HSYEET HRAEOS
Như vậy bản mã đã được mã theo cách tương tự bằng phép hoán vị đảo π -1.
Thực tế mã hoán vị là trường hợp đặc biệt của mật mã Hill. Khi cho phép hoán vị π
của tập {1, . . . ,m}, ta có thể xác định một ma trận hoán vị m × m thích hợp Kπ= {ki,j}
 1 neu j=π (i)
ki , j = 
0 neu nguoc lai
theo công thức:

(ma trận hoán vị là ma trận trong đó mỗi hàng và mỗi cột chỉ có một số "1", còn tất
cả các giá trị khác đều là số "0". Ta có thể thu được một ma trận hoán vị từ ma trận đơn
vị bằng cách hoán vị các hàng hoặc cột).
Dễ dàng thấy rằng, phép mã Hill dùng ma trận K π trên thực tế tương đương với phép
mã hoán vị dùng hoán vị π. Hơn nữa K-1π= Kπ -1 tức ma trận nghịch đảo của Kπ là ma
trận hoán vị xác định theo hoán vị π -1. Như vậy, phép giải mã Hill tương đương với
phép giải mã hoán vị.

Kπ =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1

và K-1π =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 22


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

0 1 0 0 0 0
Đối với hoán vị π được dung trong ví dụ trên, các ma trận hoán vị kết hợp là:
Bạn có thể kiểm tra để thấy rằng, tích của hai ma trận này là một ma trận đơn vị.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 23


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

CHƯƠNG 4
HỆ MÃ HÓA DES
Ngày 15.5.1973. Uỷ ban tiêu chuẩn quốc gia Mỹ đã công bố một khuyến nghị cho
các hệ mật trong Hồ sơ quản lý liên bang. Điều này cuối cùng đã dẫn đến sự phát triển
của Chuẩn mã dữ liệu (DES) và nó đã trở thành một hệ mật được sử dụng rộng rãi nhất
trên thế giới. DES được IBM phát triển và được xem như một cải biên cuả hệ mật
LUCIPHER. Lần đầu tiên DES được công bố trong Hồ sơ Liên bang vào ngày
17.3.1975. Sau nhiều cuộc trânh luận công khai, DES đã được chấp nhận chọn làm
chuẩn cho các ứng dụng không được coi là mật vào 5.1.1977. Kể từ đó cứ 5 năm một
lần, DES lại được Uỷ ban Tiêu chuẩn Quốc gia xem xét lại. Lần đổi mới gàn đây nhất
của DES là vào tháng 1.1994 và tiếp tới sẽ là 1998. Người ta đoán rằng DES sẽ không
còn là chuẩn sau 1998.

4.1Mô tả DES
Mô tả đầy đủ của DES được nêu trong Công bố số 46 về các chuẩn xử lý thông tin
Liên bang (Mỹ) vào 15.1.1977. DES mã hoá một xâu bít x của bẳn rõ độ dài 64 bằng
một khoá 54 bít. Bản mã nhận được cũng là một xâu bít có độ dài 48. Trước hết ta mô tả
ở mức cao của hệ thống.
4.1.1 Thuật toán DES
1. Với bản rõ cho trước x, một xâu bít x 0 sẽ được xây dựng bằng cách hoán vị các bít
của x theo phép hoán vị cố định ban đầu IP.
Ta viết:x0= IP(X) = L0R0, trong đó L0 gồm 32 bít đầu và R0 là 32 bít cuối.
2. Sau đó tính toán 16 lần lặp theo một hàm xác định.
Ta sẽ tính LiRi, 1≤i≤16 theo quy tắc sau:
Li = Ri-1
Ri = Li-1 ⊕ f(Ri-1,Ki)
trong đó: kí hiệu phép hoặc loại trừ của hai xâu bít (cộng theo modulo 2). f là một
hàm mà ta sẽ mô tả ở sau, còn K1,K2, . . . ,K16 là các xâu bít độ dài 48 được tính như
hàm của khoá K. (trên thực tế mỗi Ki là một phép chọn hoán vị bít trong K). K1, . . .,

K16 sẽ tạo thành bảng khoá. Một vòng của phép mã hoá được mô tả trên hình dưới.

GV. Lê Đắc Nhường

Trang 24


Trường Đại học Hải Phòng

Bài giảng: An toàn thông tin

3. Áp dụng phép hoán vị ngược IP-1 cho xâu bít R16L16, ta thu được bản mã y.
Tức là y=IP-1(R16L16).
Hãy chú ý thứ tự đã đảo của L16 và R16.
4.1.2 Mô tả hàm f
Hàm f có hai biến vào: biến thứ nhất A là xâu bít độ dài 32, biến thứ hai J là một xâu
bít độ dài 48. Đầu ra của f là một xâu bít độ dài 32.
Các bước sau được thực hiện:

1. Biến thứ nhất A được mở rộng thành một xâu bít độ dài 48 theo một hàm mở rộng
cố định E. E(A) gồm 32 bít của A (được hoán vị theo cách cố định) với 16 bít xuất
hiện hai lần.
2. Tính E(A) ⊕ J và viết kết quả thành một chuỗi 8 xâu 6 bít = B1B2B3B4B5B6B7B8.
3. Bước tiếp theo dùng 8 bảng S1, S2, ... ,S8 ( được gọi là các hộp S ). Với mỗi Si là một
bảng 4×16 cố định có các hàng là các số nguyên từ 0 đến 15. Với xâu bít có độ dài 6
(Kí hiệu Bi = b1b2b3b4b5b6), ta tính Sj(Bj) như sau: Hai bít b1b6 xác định biểu diễn nhị
GV. Lê Đắc Nhường

Trang 25